בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 572 (35572) · שאלות לפי נושא
שאלות בגרות 572 לפי נושא – וקטורים במרחב
כל השאלות בנושא וקטורים במרחב מבחינות הבגרות בשאלון 572, מהבחינה החדשה ביותר אחורה. וקטורים בתיבה, בפירמידה ובמנסרה: הצגה, מכפלה סקלרית, זוויות וישרים ומישורים. בכל שאלה: הנוסח המלא, ומתחתיו פתרון מלא שלב אחר שלב.
📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 572 לפי נושא
17 שאלות פתורות: 17 מבחינות 572 של 2022–2026, מהחדשה לישנה. לוחצים על מועד ועוברים ישר לשאלה. כל שאלה פתורה עד הסוף, שלב אחר שלב, והנוסחה בצד.
📅 קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע.
המקצוע AS הוא גובה הפירמידה. אורך המקצוע AS שווה לאורך צלע הריבוע ABCD.
הנקודה E נמצאת על המקצוע SD כך ש־SE = 34SD.
הנקודה N נמצאת על המקצוע SC כך ש־SN = kSC. k הוא פרמטר.
נסמן: AS = w, AB = v, AD = u.
א. הביעו באמצעות k ו־u , v , w את הווקטור EN.
נתון: |EN| = √64 · |w|.
ב. מצאו את הערך של k.
הציבו k = 12, וענו על הסעיפים ג–ד.
ממקמים את הפירמידה במערכת צירים כך ש־A(0 , 0 , 0), B(0 , 12 , 0). הקודקוד D נמצא על החלק החיובי של ציר ה־x, והקודקוד S נמצא על החלק החיובי של ציר ה־z.
ג. (1) מצאו את שיעורי הנקודות E ו־N.
(2) מצאו את משוואת המישור ENB.
ד. האם נפח הפירמידה SENB גדול מנפח הפירמידה CENB, קטן ממנו או שווה לו? נמקו את תשובתכם.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הבעת הווקטור EN
נלך מ־E ל־N דרך הקודקוד S:
EN = ES + SN📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ + QR = PR
הווקטור SD – נלך מ־S ל־A ומשם ל־D:
SD = SA + AD📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ + QR = PR
SD = −w + u📐 וקטור נגדיQP = −PQ
הווקטור SC – מ־S ל־A, ל־B, ל־C. בריבוע BC = AD = u:
SC = SA + AB + BC📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ + QR = PR
SC = −w + v + u
הווקטור ES – נתון SE = 34SD, ולכן:
ES = −34SD📐 וקטור נגדיQP = −PQ
ES = −34(−w + u)
ES = −34u + 34w
הווקטור SN:
SN = kSC = k(u + v − w)
SN = ku + kv − kw
נחבר:
EN
= −34u + 34w + ku + kv − kw
EN
= (k − 34)u + kv
+ (34 − k)w
הסרטוט בקנה מידה (בהמשך יתברר ש־k = 12, ולכן N היא אמצע SC). המשולש ENB מסומן בתכלת:
✅ פתרון סופי: EN = (k − 34)u + kv + (34 − k)w
סעיף ב – הערך של k
נסמן את אורך צלע הריבוע ב־a. נתון ש־AS שווה לצלע, ולכן:
|u| = |v| = |w| = a
u ו־v הן צלעות סמוכות בריבוע, ולכן מאונכות. AS הוא גובה הפירמידה, ולכן w מאונך לבסיס, כלומר ל־u ול־v:
u · v = 0 , u · w = 0 ,📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟸ a · b = 0
v · w = 0
נחשב את |EN|2. כשפותחים את המכפלה, כל המכפלות המעורבות מתאפסות, ונשארים רק הריבועים:
|EN|2📐 גודל וקטור בריבוע|a|2 = a · a
= (k − 34)2|u|2 + k2|v|2
+ (34 − k)2|w|2
מתקיים (34 − k)2 = (k − 34)2, ולכן:
|EN|2
= (k − 34)2a2 + k2a2
+ (k − 34)2a2
|EN|2
= [2(k − 34)2 + k2] a2
מצד שני, לפי הנתון:
|EN|2 = (√64)2 · |w|2
= 616a2
= 38a2
נשווה ונחלק ב־a2 (a > 0):
2(k − 34)2 + k2 = 38
2(k2 − 32k + 916) + k2 = 38
2k2 − 3k + 98 + k2 = 38
3k2 − 3k + 98 − 38 = 0
3k2 − 3k + 34 = 0
נחלק ב־3:
k2 − k + 14 = 0
(k − 12)2 = 0📐 נוסחת הכפל המקוצר(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
k = 12
כלומר N היא אמצע המקצוע SC.
✅ פתרון סופי: k = 12
סעיף ג (1) – שיעורי E ו־N
צלע הריבוע היא AB = 12, ולכן גם AD = 12 ו־AS = 12. לפי המיקום שבשאלה:
A(0 , 0 , 0) ,
B(0 , 12 , 0)
D(12 , 0 , 0)
C(12 , 12 , 0)
S(0 , 0 , 12)
הנקודה E. קודם הווקטור SD:
SD = D − S📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
= (12 − 0 , 0 − 0 , 0 − 12)
= (12 , 0 , −12)
SE = 34 · (12 , 0 , −12)
= (9 , 0 , −9)
E = S + SE📐 נקודה בעזרת וקטורP = S + SP
= (0 + 9 , 0 + 0 , 12 − 9)
E(9 , 0 , 3)
הנקודה N. עם k = 12:
SC = C − S📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
= (12 , 12 , −12)
SN = 12 · (12 , 12 , −12)
= (6 , 6 , −6)
N = S + SN📐 נקודה בעזרת וקטורP = S + SP
= (0 + 6 , 0 + 6 , 12 − 6)
N(6 , 6 , 6)
✅ פתרון סופי: E(9 , 0 , 3) , N(6 , 6 , 6)
סעיף ג (2) – משוואת המישור ENB
שני וקטורים במישור:
EN = N − E📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
= (6 − 9 , 6 − 0 , 6 − 3)
= (−3 , 6 , 3)
EB = B − E📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
= (0 − 9 , 12 − 0 , 0 − 3)
= (−9 , 12 , −3)
נחפש וקטור נורמל n = (a , b , c) המאונך לשניהם (מכפלה סקלרית 0):
−3a + 6b + 3c = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟸ a · b = 0
−9a + 12b − 3c = 0
נחבר את שתי המשוואות (c מתבטל):
−12a + 18b = 0
18b = 12a
b = 23a
נבחר a = 3, ואז b = 2. נציב במשוואה הראשונה:
−3 · 3 + 6 · 2 + 3c = 0
−9 + 12 + 3c = 0
3c = −3
c = −1
n = (3 , 2 , −1)
משוואת המישור, ונמצא את d בעזרת הנקודה B(0 , 12 , 0):
3x + 2y − z + d = 0📐 משוואת מישורax + by + cz + d = 0(a , b , c) – וקטור נורמל
3 · 0 + 2 · 12 − 0 + d
= 0
24 + d = 0
d = −24
3x + 2y − z − 24 = 0
בדיקה: E: 27 + 0 − 3 − 24 = 0 ✓ ; N: 18 + 12 − 6 − 24 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: 3x + 2y − z − 24 = 0
סעיף ד – השוואת הנפחים
לשתי הפירמידות SENB ו־CENB יש אותו בסיס – המשולש ENB. הגובה של כל אחת הוא המרחק של הקודקוד (S או C) מן המישור ENB.
ולכן, כשהבסיס משותף, משווים רק את הגבהים:📐 נפח פירמידהV = 13 · S · hS – שטח הבסיס, h – הגובה
מרחק S(0 , 0 , 12) מן המישור 3x + 2y − z − 24 = 0:
hS📐 מרחק נקודה ממישורd = |ax0 + by0 + cz0 + d|√a2 + b2 + c2
= |3 · 0 + 2 · 0 − 12 − 24|√32 + 22 + (−1)2
hS = |−36|√14 = 36√14
מרחק C(12 , 12 , 0) מן המישור:
hC📐 מרחק נקודה ממישורd = |ax0 + by0 + cz0 + d|√a2 + b2 + c2
= |3 · 12 + 2 · 12 − 0 − 24|√14
hC = |36 + 24 − 24|√14 = 36√14
hS = hC
הבסיס משותף והגבהים שווים, ולכן הנפחים שווים.
(אפשר לראות זאת גם בלי חישוב: הנקודה N, אמצע SC, נמצאת במישור, ולכן S ו־C נמצאות משני צדי המישור במרחקים שווים ממנו.)
✅ פתרון סופי: הנפחים שווים
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | EN = (k − 34)u + kv + (34 − k)w |
|---|---|
| סעיף ב | k = 12 |
| סעיף ג (1) | E(9 , 0 , 3) , N(6 , 6 , 6) |
| סעיף ג (2) | 3x + 2y − z − 24 = 0 |
| סעיף ד | שווים |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′.
נסמן: AA′ = w , AB = v , AD = u.
הנקודה E היא אמצע המקצוע BB′.
א. הביעו את EA ו־EC באמצעות u, v ו־w.
הנקודה M מקיימת BM = 16u − 23v + 112w.
ב. הביעו את EM באמצעות u, v ו־w.
נתון: EM = a · EA + b · EC. a ו־b הם פרמטרים.
ג. (1) מצאו את הערך של a ואת הערך של b. (2) האם הנקודה M נמצאת במישור AEC? נמקו את תשובתכם.
נתון כי |w| = 4 והווקטור BM מאונך למישור AEC.
ד. מצאו את הערך של |u| ואת הערך של |v|.
ה. חשבו את המרחק בין הנקודה B ובין המישור AEC.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הבעת EA ו־EC
בתיבה המקצועות המקבילים שווים ומקבילים, ולכן: BB′ = w, BC = u, BA = −v.
E אמצע BB′, ולכן EB = −12w (מ־E יורדים חצי מקצוע אל B).
EA = EB + BA📐 נוסחה: חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ = PR + RQ
EA = −12w − v
EA = −v − 12w
EC = EB + BC📐 נוסחה: חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ = PR + RQ
EC = −12w + u
EC = u − 12w
✅ פתרון סופי: EA = −v − 12w , EC = u − 12w
סעיף ב – הבעת EM
EM = EB + BM📐 נוסחה: חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ = PR + RQ
EM = −12w + 16u − 23v + 112w
נכנס את המקדמים של w:
−12 + 112 = −612 + 112 = −512
EM = 16u − 23v − 512w
✅ פתרון סופי: EM = 16u − 23v − 512w
סעיף ג (1) – הערכים של a ו־b
נציב את הביטויים מסעיף א:
a · EA + b · EC = a(−v − 12w) + b(u − 12w)
= bu − av − a2w − b2w
= bu − av − a + b2w
הווקטורים u, v, w אינם באותו מישור, ולכן אפשר להשוות את המקדמים בשני הצדדים של EM = aEA + bEC:📐 משפט: השוואת מקדמיםאם שלושה וקטורים אינם במישור אחד, ההצגה של וקטור בעזרתם היא יחידה
מקדם u:
b = 16
מקדם v:
−a = −23
a = 23
בדיקה במקדם w:
−a + b2 = −23 + 162 = −562 = −512 ✓
✅ פתרון סופי: a = 23 , b = 16
סעיף ג (2) – האם M במישור AEC
מצאנו מספרים a ו־b שמקיימים את שלוש המשוואות (גם את הבדיקה במקדם w), כלומר:
EM = 23EA + 16EC
הווקטור EM הוא צירוף של שני וקטורים במישור AEC שיוצאים מהנקודה E, ו־E עצמה נמצאת במישור. לכן גם הנקודה M נמצאת במישור AEC.
✅ פתרון סופי: כן, הנקודה M נמצאת במישור AEC
סעיף ד – אורכי u ו־v
התיבה בקנה מידה (|u| = 2, |v| = 1, |w| = 4): המישור AEC בתכלת, והווקטור BM בירוק
בתיבה המקצועות מאונכים זה לזה, ולכן המכפלה הסקלרית של כל שניים מהם היא 0:
u · v = u · w = v · w = 0📐 נוסחה: וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
BM מאונך למישור AEC, ולכן הוא מאונך לשני וקטורים שאינם מקבילים במישור, EA ו־EC:
ישר מאונך למישור אם הוא מאונך לשני ישרים נחתכים במישור.📐 משפט: ישר מאונך למישורמאונך לשני ישרים נחתכים במישור
המכפלה עם EA:
BM · EA = 0📐 נוסחה: וקטורים מאונכיםa · b = 0
(16u − 23v + 112w) · (−v − 12w) = 0
כל המכפלות של שני וקטורים שונים מתאפסות. נשארות רק מכפלות v · v ו־w · w:
(−23) · (−1) · |v|2 + 112 · (−12) · |w|2 = 0📐 נוסחה: מכפלה של וקטור בעצמוa · a = |a|2
23|v|2 − 124|w|2 = 0
23|v|2 − 124 · 16 = 0
23|v|2 = 23
|v|2 = 1
|v| = 1
המכפלה עם EC:
BM · EC = 0📐 נוסחה: וקטורים מאונכיםa · b = 0
(16u − 23v + 112w) · (u − 12w) = 0
16|u|2 + 112 · (−12) · |w|2 = 0📐 נוסחה: מכפלה של וקטור בעצמוa · a = |a|2
16|u|2 − 124 · 16 = 0
16|u|2 = 23
|u|2 = 4
|u| = 2
✅ פתרון סופי: |u| = 2 , |v| = 1
סעיף ה – המרחק בין B למישור AEC
הנקודה M נמצאת במישור AEC (סעיף ג), והווקטור BM מאונך למישור (נתון). לכן BM הוא האנך מ־B למישור, והמרחק המבוקש הוא האורך |BM|.
|BM|2 = BM · BM📐 נוסחה: אורך וקטור|a|2 = a · a
|BM|2 = (16u − 23v + 112w) · (16u − 23v + 112w)
המכפלות המעורבות מתאפסות (מקצועות מאונכים), ונשארים הריבועים:
|BM|2 = 136|u|2 + 49|v|2 + 1144|w|2
|BM|2 = 136 · 4 + 49 · 1 + 1144 · 16
|BM|2 = 19 + 49 + 19
|BM|2 = 69 = 23
|BM| = √23 ≈ 0.82
✅ פתרון סופי: √23 ≈ 0.82
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | EA = −v − 12w , EC = u − 12w |
|---|---|
| סעיף ב | EM = 16u − 23v − 512w |
| סעיף ג (1) | a = 23 , b = 16 |
| סעיף ג (2) | כן |
| סעיף ד | |u| = 2 , |v| = 1 |
| סעיף ה | √23 ≈ 0.82 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2026, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA'B'C'D'.
נתון כי משוואת המישור A'B'C'D' היא x + 4y − 8z − 142 = 0, וכי B(0 , 7 , 6).
א. מצאו את אורך המקצוע BB'.
נתון כי הצגה פרמטרית של הישר AB היא x = (0 , 7 , 6) + t(0 , 2 , 1). אורך המקצוע AB הוא 5√5, ושיעור ה־y של הקודקוד A הוא שלילי.
ב. מצאו את שיעורי הקודקוד A.
ג. מצאו את משוואת המישור ABB'A'.
נתונה נקודה M(k , 1 , 3). k הוא פרמטר חיובי. נתון כי גודל הזווית שבין הישר AB ובין הישר AM הוא 60 מעלות.
ד. מצאו את הערך של k (תוכלו להשאיר שורש בתשובתכם).
נתון כי הנקודה M נמצאת על המישור DCC'D'.
ה. מצאו את נפח התיבה.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – אורך המקצוע BB'
בתיבה המקצוע BB' מאונך לפאה A'B'C'D', והנקודה B' נמצאת עליה. לכן אורך BB' הוא המרחק של B מהמישור A'B'C'D':
BB'📐 מרחק נקודה ממישורd = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|√A2 + B2 + C2
= |0 + 4 · 7 − 8 · 6 − 142|√12 + 42 + (−8)2
BB' = |28 − 48 − 142|√1 + 16 + 64
BB' = |−162|√81 = 1629 = 18
✅ פתרון סופי: BB' = 18
סעיף ב – שיעורי הקודקוד A
הנקודה A על הישר AB, ולכן לאיזשהו t:
A = (0 , 7 + 2t , 6 + t)
הווקטור מ־B ל־A:
BA = t(0 , 2 , 1)
|BA| = |t| · √0 + 4 + 1📐 אורך וקטור|u| = √x2 + y2 + z2
= |t|√5
|t|√5 = 5√5
|t| = 5 ⇒ t = 5
או
t = −5
שיעור ה־y של A הוא 7 + 2t, והוא שלילי:
t = 5: 7 + 10 = 17 > 0
t = −5: 7 − 10
= −3 < 0 ✓
A = (0 , 7 − 10 , 6 − 5)
= (0 , −3 , 1)
✅ פתרון סופי: A(0 , −3 , 1)
סעיף ג – משוואת המישור ABB'A'
המישור מכיל את כיוון AB: (0 , 2 , 1).
הוא מכיל גם את המקצוע BB', שמאונך למישור A'B'C'D' – ולכן כיוון BB' הוא הנורמל של המישור הזה: (1 , 4 , −8).
נחפש נורמל n = (a , b , c) המאונך לשני הכיוונים:📐 מכפלה סקלרית(a1, a2, a3) · (b1, b2, b3)= a1b1 + a2b2 + a3b3וקטורים מאונכים ⇐ המכפלה = 0
(a , b , c) · (0 , 2 , 1)
= 0
⇒ 2b + c = 0
(a , b , c) · (1 , 4 , −8)
= 0
⇒ a + 4b − 8c = 0
מהמשוואה הראשונה: c = −2b. נציב בשנייה:
a + 4b + 16b = 0
⇒ a = −20b
נבחר b = −1: a = 20 , c = 2.
n = (20 , −1 , 2)
20x − y + 2z + D = 0📐 משוואת מישורAx + By + Cz + D = 0(A, B, C) – הנורמל
נציב את הנקודה A(0 , −3 , 1):
20 · 0 − (−3) + 2 · 1 + D
= 0
5 + D = 0 ⇒ D = −5
20x − y + 2z − 5 = 0
בדיקה: הנקודה B(0 , 7 , 6): 0 − 7 + 12 − 5 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: 20x − y + 2z − 5 = 0
סעיף ד – מציאת k
הכיוון של AB: u = (0 , 2 , 1). הווקטור AM:
AM = M − A
= (k − 0 , 1 + 3 , 3 − 1)
= (k , 4 , 2)
cos 60📐 זווית בין ישריםcos = |u · v||u| · |v|
= |(0 , 2 , 1) · (k , 4 , 2)|√5 · √k2 + 16 + 4
12 = |0 + 8 + 2|√5 · √k2 + 20
12 = 10√5 · √k2 + 20
√5 · √k2 + 20 = 20
נעלה בריבוע:
5(k2 + 20) = 400
k2 + 20 = 80
k2 = 60
k חיובי:
k = √60 = 2√15 ≈ 7.75
✅ פתרון סופי: k = √60 = 2√15
סעיף ה – נפח התיבה
הפאה DCC'D' מקבילה לפאה ABB'A', והמרחק ביניהן הוא אורך המקצוע BC. הנקודה M על הפאה DCC'D', ולכן BC שווה למרחק של M מהמישור ABB'A' (סעיף ג):
BC📐 מרחק נקודה ממישורd = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|√A2 + B2 + C2
= |20√60 − 1 + 2 · 3 − 5|√202 + (−1)2 + 22
BC = 20√60√405
נפשט: √60 = 2√15, √405 = 9√5:
BC = 40√159√5 = 40√39 ≈ 7.70
V = AB · BC · BB'📐 נפח תיבהV = אורך · רוחב · גובה
V = 5√5 · 40√39 · 18
V = 5√5 · 80√3
V = 400√15 ≈ 1549.19
✅ פתרון סופי: V = 400√15 ≈ 1549.19
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | BB' = 18 |
|---|---|
| סעיף ב | A(0 , −3 , 1) |
| סעיף ג | 20x − y + 2z − 5 = 0 |
| סעיף ד | k = √60 = 2√15 |
| סעיף ה | 400√15 ≈ 1549.19 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה AOBA′O′B′ שבסיסה AOB הוא משולש ישר זווית, ∢AOB = 90.
הנקודה K היא אמצע המקצוע AB.
הנקודה E נמצאת על הקטע O′B כך ש־O′E = 13 · O′B.
הנקודה N נמצאת על הקטע AE כך ש־AN = 34 · AE.
נסמן: OA = u , OB = v , OO′ = w.
א. (1) הביעו באמצעות u , v , w את O′N.
(2) הוכיחו כי הנקודות O′ , N , K נמצאות על ישר אחד, ומצאו את היחס בין O′N ובין O′K.
נתון: O(0 , 0 , 0) , A(4 , 0 , 0) , E(0 , 1 , 6). הקודקוד B נמצא על החלק החיובי של ציר ה־y, והקודקוד O′ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־z.
ב. מצאו את שיעורי הנקודות B ו־N.
ג. מצאו את משוואת המישור A′KB′.
ד. (1) מצאו את המרחק בין הנקודה N ובין המישור A′KB′.
(2) מצאו את נפח הפירמידה NA′KB′.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א (1) – הווקטור O′N
נבנה את הווקטור צעד אחר צעד:
O′N = O′A + AN📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ + QR = PR
O′A = O′O + OA = −w + u
AE = AO′ + O′E
O′B = O′O + OB = −w + v
AE = (w − u) + 13(−w + v)
AE = −u + 13v + 23w
AN = 34AE = −34u + 14v + 12w
O′N = u − w − 34u + 14v + 12w
O′N = 14u + 14v − 12w
✅ פתרון סופי: O′N = 14u + 14v − 12w
סעיף א (2) – O′, N, K על ישר אחד
K אמצע AB, ולכן OK = 12(u + v):
O′K = O′O + OK📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ + QR = PR
O′K = 12u + 12v − w
נשווה לתוצאה של (1):
O′N = 12(12u + 12v − w)
O′N = 12O′K📐 נקודות על ישר אחדאם PQ = t · PR – הנקודות P, Q, R על ישר אחד
הווקטורים יוצאים מאותה נקודה O′ ומקבילים, ולכן O′ , N , K על ישר אחד, ו־N היא אמצע O′K.
✅ פתרון סופי: על ישר אחד, O′N : O′K = 1 : 2
סעיף ב – שיעורי B ו־N
נסמן B(0 , b , 0) ו־O′(0 , 0 , h). לפי הנתון על E:
E = O′ + 13O′B📐 נקודה בעזרת וקטורP = S + SP
O′B = (0 , b , −h)
E = (0 , b3 , h − h3)
= (0 , b3 , 2h3)
b3 = 1 ⟸ b = 3
2h3 = 6 ⟸ h = 9
B(0 , 3 , 0) , O′(0 , 0 , 9)
עכשיו u = (4 , 0 , 0) , v = (0 , 3 , 0) , w = (0 , 0 , 9). לפי סעיף א:
O′N
= (1 , 0 , 0) + (0 , 0.75 , 0)
− (0 , 0 , 4.5)
O′N = (1 , 0.75 , −4.5)
N = O′ + O′N📐 נקודה בעזרת וקטורP = S + SP
N
= (0 + 1 , 0 + 0.75 , 9 − 4.5)
N = (1 , 0.75 , 4.5)
✅ פתרון סופי: B(0 , 3 , 0) , N(1 , 0.75 , 4.5)
סעיף ג – משוואת המישור A′KB′
A′(4 , 0 , 9) , B′(0 , 3 , 9) ,
K(2 , 1.5 , 0)
A′B′ = (−4 , 3 , 0)📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
A′K = (−2 , 1.5 , −9)
נחפש נורמל (a , b , c) המאונך לשני הווקטורים:
−4a + 3b = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟸ a · b = 0
−2a + 1.5b − 9c = 0
מהמשוואה הראשונה b = 4a3. נציב בשנייה: −2a + 2a − 9c = 0, כלומר c = 0. ניקח a = 3:
(a , b , c) = (3 , 4 , 0)
3x + 4y + d = 0📐 משוואת מישורax + by + cz + d = 0(a , b , c) – וקטור נורמל
A′: 12 + 0 + d = 0 ⟸ d
= −12
3x + 4y − 12 = 0
בדיקה: K: 6 + 6 − 12 = 0 ✓ , B′: 0 + 12 − 12 = 0 ✓
(זו בעצם הפאה ABB′A′ של המנסרה: K נמצא על AB.)
✅ פתרון סופי: 3x + 4y − 12 = 0
סעיף ד (1) – המרחק של N מן המישור
d📐 מרחק נקודה ממישורd = |ax0 + by0 + cz0 + d|√a2 + b2 + c2
= |3 · 1 + 4 · 0.75 + 0 − 12|√32 + 42 + 02
d = |3 + 3 − 12|5 = 65 = 1.2
✅ פתרון סופי: d = 1.2
סעיף ד (2) – נפח הפירמידה NA′KB′
בסיס הפירמידה: המשולש A′KB′ שבמישור. הגובה: המרחק של N מן המישור, 1.2.
A′B′ = √(−4)2 + 32 + 02 = 5📐 מרחק בין שתי נקודות במרחבd = √(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
המשולש נמצא בפאה המלבנית ABB′A′. K על הצלע AB, ולכן הגובה מ־K לצלע A′B′ שווה לגובה המנסרה, 9:
SA′KB′ = 5 · 92 = 22.5📐 שטח משולשS = a · h2
V = 13 · 22.5 · 1.2📐 נפח פירמידהV = 13 · S · hS – שטח הבסיס, h – הגובה
V = 9
✅ פתרון סופי: V = 9
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א (1) | 14u + 14v − 12w |
|---|---|
| סעיף א (2) | 1 : 2 |
| סעיף ב | B(0 , 3 , 0) N(1 , 0.75 , 4.5) |
| סעיף ג | 3x + 4y − 12 = 0 |
| סעיף ד (1) | 1.2 |
| סעיף ד (2) | V = 9 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מקבילית.
SA הוא גובה הפירמידה.
הנקודה M היא אמצע האלכסון BD.
נסמן: AS = w , AD = v , AB = u.
א. הביעו באמצעות u , v , w את הווקטור SM.
נתון כי SM מאונך ל־DB.
ב. הוכיחו כי |u| = |v|.
נתון: A(0 , 0 , 0) , B(0 , 5 , 0) , S(0 , 0 , 6) , D(3 , p , 0) , p > 0.
ג. מצאו את שיעורי הנקודות D ו־C.
דרך האלכסון AC מעבירים מישור המקביל למקצוע SD. המישור חותך את המקצוע SB בנקודה K.
ד. מצאו את משוואת המישור.
ה. לפניכם שתי טענות I–II. קבעו בעבור כל אחת מן הטענות אם היא נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעותיכם.
I. הישר KM מקביל לישר SD.
II. כל ישר שמאונך למישור ACK, מאונך לישר SD.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הווקטור SM
M אמצע BD, ולכן:
AM = 12(u + v)📐 אמצע קטע (וקטורים)AM = 12(AB + AD)
SM = SA + AM📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ + QR = PR
SM = −w + 12u + 12v
✅ פתרון סופי: SM = 12u + 12v − w
סעיף ב – הוכחה ש־|u| = |v|
DB = DA + AB = u − v
הווקטורים מאונכים, ולכן המכפלה הסקלרית 0:
(12u + 12v − w) · (u − v) = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟸ a · b = 0
SA גובה, ולכן w מאונך לבסיס: w · u = w · v = 0. נפתח:
12u2 − 12u · v
+ 12v · u − 12v2 − 0 + 0 = 0
12|u|2 − 12|v|2 = 0📐 ריבוע וקטורa · a = |a|2
|u|2 = |v|2
|u| = |v|
✅ פתרון סופי: הוכח: |u| = |v|
סעיף ג – שיעורי D ו־C
לפי סעיף ב, AD = AB. AB = 5:
AD = √32 + p2 + 02 = 5📐 אורך וקטור|(a , b , c)| = √a2 + b2 + c2
9 + p2 = 25
p2 = 16 ⟸ p = 4 (p > 0)
D(3 , 4 , 0)
במקבילית BC = AD = (3 , 4 , 0):
C = B + AD📐 נקודה בעזרת וקטורP = S + SP
= (0 + 3 , 5 + 4 , 0)
C(3 , 9 , 0)
✅ פתרון סופי: D(3 , 4 , 0) , C(3 , 9 , 0)
סעיף ד – משוואת המישור
AC = (3 , 9 , 0)
SD = (3 , 4 , −6)📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
המישור מכיל את AC ומקביל ל־SD, ולכן הנורמל (a , b , c) מאונך לשניהם:
3a + 9b = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟸ a · b = 0
3a + 4b − 6c = 0
מהראשונה a = −3b. נציב: −9b + 4b − 6c = 0, כלומר c = −5b6. ניקח b = −6:
(a , b , c) = (18 , −6 , 5)
המישור עובר דרך A(0 , 0 , 0), ולכן d = 0:
18x − 6y + 5z = 0📐 משוואת מישורax + by + cz + d = 0(a , b , c) – וקטור נורמל
✅ פתרון סופי: 18x − 6y + 5z = 0
סעיף ה – הטענות I ו־II
הנקודה K: הצגה פרמטרית של הישר SB:
(0 , 0 , 6) + s(0 , 5 , −6)
= (0 , 5s , 6 − 6s)
נציב במישור:
0 − 30s + 5(6 − 6s) = 0
30 − 60s = 0 ⟸ s = 12
K(0 , 2.5 , 3)
טענה I. M אמצע BD: M(1.5 , 4.5 , 0).
KM = (1.5 , 2 , −3)
= 12(3 , 4 , −6)
KM = 12SD
הווקטורים מקבילים (וגם: K ו־M אמצעי SB ו־BD, כלומר KM קטע אמצעים במשולש SBD). טענה I נכונה.
טענה II. המישור ACK הוא המישור מסעיף ד, והוא מקביל ל־SD. ישר המאונך למישור מקביל לנורמל (18 , −6 , 5), ולפי הבנייה בסעיף ד:
(18 , −6 , 5) · (3 , 4 , −6)
= 54 − 24 − 30 = 0
כלומר כיוון כל ישר כזה מאונך לכיוון SD. טענה II נכונה.
הסרטוט בקנה מידה (המישור ACK בירוק, KM בסגול):
✅ פתרון סופי: I – נכונה ; II – נכונה
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | 12u + 12v − w |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג | D(3 , 4 , 0) C(3 , 9 , 0) |
| סעיף ד | 18x − 6y + 5z = 0 |
| סעיף ה | I נכונה, II נכונה |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2025, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת SABC. הנקודה E היא אמצע המקצוע BC.
נסמן: AE = u , EC = v.
נתון: |u + v| = |u − v|.
א. הוכיחו כי AE מאונך ל־BC.
נתון: הקטע SE הוא גובה בפירמידה והאורך שלו הוא 20.
A(0 , 0 , 0) , B(6 , 8 , 0).
הקודקוד C נמצא על החלק החיובי של ציר ה־x, ושיעור ה־z של הקודקוד S הוא חיובי.
ב. מצאו את שיעורי הקודקודים C ו־S.
הנקודה F נמצאת על המקצוע SC כך ש־SF = 14SC.
דרך הנקודה F מעבירים ישר המקביל לישר AC, וחותך את המישור ABS בנקודה M.
ג. (1) מצאו הצגה פרמטרית של הישר FM.
(2) מצאו את שיעורי הנקודה M.
ד. מצאו פי כמה גדול נפח הפירמידה MABC מנפח הפירמידה FAEC. נמקו את תשובתכם.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – AE מאונך ל־BC
נעלה את שני האגפים בריבוע:
|u + v|2 = |u − v|2📐 ריבוע וקטורa · a = |a|2
u2 + 2u · v + v2
= u2 − 2u · v + v2
4u · v = 0
u · v = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟸ a · b = 0
BC = 2v (E אמצע BC), ולכן AE ⊥ BC.
✅ פתרון סופי: הוכח: AE ⊥ BC
סעיף ב – שיעורי C ו־S
במשולש ABC הקטע AE הוא תיכון וגם גובה, ולכן המשולש שווה שוקיים: AC = AB.
AB = √62 + 82 = 10📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
C(10 , 0 , 0)
E = (6 + 102 , 8 + 02 , 0)
= (8 , 4 , 0)
הבסיס במישור z = 0, והגובה SE מאונך לו, ולכן S נמצא ישר מעל E, בגובה 20:
S(8 , 4 , 20)
✅ פתרון סופי: C(10 , 0 , 0) , S(8 , 4 , 20)
סעיף ג (1) – הישר FM
SC = (10 − 8 , 0 − 4 , 0 − 20)
= (2 , −4 , −20)
F = S + 14SC📐 נקודה בעזרת וקטורP = S + SP
= (8 , 4 , 20) + (0.5 , −1 , −5)
F(8.5 , 3 , 15)
הישר מקביל ל־AC = (10 , 0 , 0), ונוכל לקחת וקטור כיוון (1 , 0 , 0):
✅ פתרון סופי: x = (8.5 , 3 , 15) + t(1 , 0 , 0)
סעיף ג (2) – הנקודה M
מישור ABS: נחפש נורמל (a , b , c) המאונך ל־AB = (6 , 8 , 0) ול־AS = (8 , 4 , 20):
6a + 8b = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟸ a · b = 0
8a + 4b + 20c = 0
מהראשונה b = −3a4. ניקח a = 4: b = −3, ואז 32 − 12 + 20c = 0, כלומר c = −1:
4x − 3y − z = 0📐 משוואת מישורax + by + cz + d = 0(a , b , c) – וקטור נורמל
נציב את נקודת הישר:
4(8.5 + t) − 3 · 3 − 15 = 0
34 + 4t − 24 = 0 ⟸ t = −2.5
M = (8.5 − 2.5 , 3 , 15)
✅ פתרון סופי: M(6 , 3 , 15)
סעיף ד – יחס הנפחים
שתי הפירמידות עם בסיס במישור z = 0 (בסיס ABC):
• MABC: בסיס ABC, גובה = שיעור ה־z של M = 15.
• FAEC: בסיס AEC, גובה = שיעור ה־z של F = 15.
E אמצע BC, ולכן התיכון AE מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח:
SAEC = 12SABC
VMABCVFAEC = 13 · SABC · 1513 · 12SABC · 15 = 2📐 נפח פירמידהV = 13 · S · hS – שטח הבסיס, h – הגובה
הסרטוט בקנה מידה (FM בסגול):
✅ פתרון סופי: פי 2
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | C(10 , 0 , 0) S(8 , 4 , 20) |
| סעיף ג (1) | (8.5 , 3 , 15) + t(1 , 0 , 0) |
| סעיף ג (2) | M(6 , 3 , 15) |
| סעיף ד | פי 2 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע. הנקודה E היא מפגש אלכסוני הבסיס, והנקודה F היא אמצע המקצוע BC. נסמן: SE = u , SF = v , SB = w.
א. הביעו באמצעות u , v , w את הווקטורים BC ו־DC.
הקטע SE הוא גובה הפירמידה. נתון: |u| = 7.
ב. מצאו את הערך של u · w.
נתון: BA = (−3 , 4 , 5).
ג. מצאו את גודל הזווית שבין SB ובין בסיס הפירמידה.
נתון: E(0 , 4 , 5). מישור הבסיס ABCD מקביל לציר ה־z.
ד. מצאו את משוואת המישור שעליו מונח בסיס הפירמידה.
נתון: שיעור ה־x של הקודקוד B הוא 3.
ה. מצאו את שיעורי הקודקוד B.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הווקטורים BC ו־DC
F אמצע BC, ולכן BC = 2BF:📐 חיבור וקטוריםXY = SY − SX
BF = SF − SB = v − w
BC = 2v − 2w
בריבוע, הקטע EF (ממרכז הריבוע לאמצע הצלע BC) מקביל ל־DC, באותו כיוון, ושווה לחצי ממנו:
EF = SF − SE = v − u
DC = 2EF = 2v − 2u
✅ פתרון סופי: BC = 2v − 2w , DC = 2v − 2u
סעיף ב – המכפלה u · w
w = SB = SE + EB = u + EB
u · w = u · u + u · EB
SE גובה – מאונך לבסיס, ולכן מאונך ל־EB שבבסיס:📐 מכפלה סקלריתa · a = |a|2וקטורים מאונכים: המכפלה = 0
u · EB = 0
u · w = |u|2 + 0 = 49
✅ פתרון סופי: u · w = 49
סעיף ג – הזווית בין SB לבסיס
|BA| = √9 + 16 + 25 = √50📐 אורך וקטור|u| = √x2 + y2 + z2
= 5√2
צלע הריבוע 5√2, ולכן האלכסון 5√2 · √2 = 10 ו־EB = 5 (חצי אלכסון).
ההיטל של SB על הבסיס הוא EB, ולכן הזווית המבוקשת היא ∢SBE. במשולש ישר הזווית SEB:
tan(∢SBE) = SEEB = 75 = 1.4📐 טריגונומטרייה במשולש ישר זוויתtan = נגדי חלקי ליד
∢SBE ≈ 54.46
✅ פתרון סופי: ∢SBE ≈ 54.46 מעלות
סעיף ד – משוואת מישור הבסיס
המישור מקביל לציר ה־z, ולכן הנורמל שלו מאונך לכיוון (0 , 0 , 1): נורמל מהצורה n = (a , b , 0).
המישור מכיל את הכיוון BA = (−3 , 4 , 5):📐 מכפלה סקלרית(a1, a2, a3) · (b1, b2, b3)= a1b1 + a2b2 + a3b3וקטורים מאונכים ⇐ המכפלה = 0
(a , b , 0) · (−3 , 4 , 5)
= 0
−3a + 4b = 0
נבחר a = 4 , b = 3:
n = (4 , 3 , 0)
4x + 3y + D = 0📐 משוואת מישורAx + By + Cz + D = 0
המישור עובר דרך E(0 , 4 , 5):
0 + 12 + D = 0 ⇒ D = −12
✅ פתרון סופי: 4x + 3y − 12 = 0
סעיף ה – שיעורי B
B(3 , y , z) נמצאת במישור הבסיס:
4 · 3 + 3y − 12 = 0
⇒ y = 0
לפי סעיף ג, EB = 5:
√(3 − 0)2 + (0 − 4)2 + (z − 5)2📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
= 5
9 + 16 + (z − 5)2 = 25
(z − 5)2 = 0 ⇒ z = 5
בדיקה: הזווית בין האלכסון BE = (−3 , 4 , 0) לצלע BA: cos = 9 + 165 · 5√2 = 1√2 – 45 מעלות, כמו בריבוע ✓
✅ פתרון סופי: B(3 , 0 , 5)
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | BC = 2v − 2w DC = 2v − 2u |
|---|---|
| סעיף ב | 49 |
| סעיף ג | ≈ 54.46 מעלות |
| סעיף ד | 4x + 3y − 12 = 0 |
| סעיף ה | B(3 , 0 , 5) |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
נתונים שני ישרים ℓ1 ו־ℓ2. לפניכם הצגה פרמטרית של כל אחד מן הישרים:
ℓ1 : x = t(−1 , 3 , 0)
ℓ2 : x = (1 , −3 , 0) + m(0 , k , 1)
k הוא פרמטר. הנקודה A היא נקודת החיתוך של הישרים ℓ1 ו־ℓ2.
א. מצאו את שיעורי הנקודה A.
ב. נתון שהקוסינוס של הזווית בין הישרים ℓ1 ו־ℓ2 הוא 3√25. מצאו את הערך של k שבעבורו זה מתקיים.
הציבו k = 2 וענו על הסעיפים ג–ה.
המישור מכיל את הישרים ℓ1 ו־ℓ2 (בשאלון המישור מסומן באות יוונית; כאן נקרא לו פשוט "המישור").
ג. מצאו את משוואת המישור.
הנקודה B נמצאת על הישר ℓ2, והנקודה O היא ראשית הצירים. המשולש AOB הוא שווה שוקיים, AO = AB.
ד. הסבירו מדוע המשולש AOB נמצא במישור.
מן הנקודה A מעלים אנך למישור ומסמנים עליו את הנקודה S. נתון: נפח הפירמידה SAOB הוא 14√23.
ה. מצאו את שיעורי הנקודה S (את שתי האפשרויות).
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – נקודת החיתוך A
נשווה את שתי ההצגות (נקודה משותפת לשני הישרים):
t(−1 , 3 , 0) =📐 נוסחה: נקודת חיתוך של ישריםמשווים את הרכיבים: x = x , y = y , z = z
= (1 , −3 , 0) + m(0 , k , 1)
נכתוב משוואה לכל רכיב:
x: −t = 1
y: 3t = −3 + mk
z: 0 = m
מהמשוואה של z: m = 0. מהמשוואה של x: t = −1.
נבדוק במשוואה של y:
3 · (−1) = −3 + 0 · k
−3 = −3 ✔
המשוואה מתקיימת לכל k. נציב t = −1 בישר ℓ1:
A = −1 · (−1 , 3 , 0)
A = (1 , −3 , 0)
✅ פתרון סופי: A(1 , −3 , 0)
סעיף ב – הערך של k
וקטורי הכיוון של הישרים:
u = (−1 , 3 , 0)
v = (0 , k , 1)
נחשב את המכפלה הסקלרית ואת האורכים:
u · v = −1 · 0 + 3 · k + 0 · 1📐 נוסחה: מכפלה סקלרית(a , b , c) · (d , e , f) == ad + be + cf
u · v = 3k
|u| = √((−1)2 + 32 + 02) = √10📐 נוסחה: אורך וקטור|(a , b , c)| = √(a2 + b2 + c2)
|v| = √(02 + k2 + 12) = √(k2 + 1)📐 נוסחה: אורך וקטור|(a , b , c)| = √(a2 + b2 + c2)
נציב בנוסחת הזווית בין ישרים:
|3k|√10 · √(k2 + 1) = 3√25📐 נוסחה: הזווית בין שני ישריםcos = |u · v||u| · |v|u , v – וקטורי הכיוון
שני האגפים חיוביים, ולכן נעלה בריבוע:
9k210(k2 + 1) = 9 · 225 = 1825
נכפיל בהצלבה:
25 · 9k2 = 18 · 10(k2 + 1)
225k2 = 180k2 + 180
45k2 = 180
k2 = 4
k = 2 או k = −2
בשני המקרים |3k| = 6 ו־k2 + 1 = 5, ולכן שני הערכים מתאימים.
✅ פתרון סופי: k = 2 או k = −2
סעיף ג – משוואת המישור
עם k = 2 וקטורי הכיוון במישור הם:
u = (−1 , 3 , 0)
v = (0 , 2 , 1)
נסמן את הנורמל n = (a , b , c). הוא מאונך לשני הכיוונים:
n · u = −a + 3b = 0📐 נוסחה: וקטור נורמל למישורn · u = 0 , n · v = 0u , v – שני כיוונים במישור
n · v = 2b + c = 0📐 נוסחה: וקטור נורמל למישורn · u = 0 , n · v = 0u , v – שני כיוונים במישור
מהמשוואה הראשונה a = 3b, ומהשנייה c = −2b. נבחר b = 1:
n = (3 , 1 , −2)
משוואת המישור:
3x + y − 2z + d = 0📐 נוסחה: משוואת מישורax + by + cz + d = 0(a , b , c) – הנורמל
המישור מכיל את ℓ1, ולכן הוא עובר דרך ראשית הצירים (הנקודה של ℓ1 עבור t = 0):
3 · 0 + 0 − 2 · 0 + d = 0
d = 0
בדיקה עם A(1 , −3 , 0):
3 · 1 + (−3) − 2 · 0 = 0 ✔
✅ פתרון סופי: 3x + y − 2z = 0
סעיף ד – למה המשולש AOB נמצא במישור
הנקודה O היא ראשית הצירים, והיא נמצאת על הישר ℓ1 (עבור t = 0).
הנקודה A היא נקודת החיתוך של הישרים, והנקודה B נמצאת על הישר ℓ2.
שני הישרים ℓ1 ו־ℓ2 מוכלים במישור, ולכן כל שלושת הקודקודים A, O ו־B נמצאים במישור.
משולש שכל קודקודיו נמצאים במישור – כולו נמצא במישור.
✅ פתרון סופי: כל קודקודי המשולש נמצאים על הישרים ℓ1 ו־ℓ2 שבמישור, ולכן המשולש AOB נמצא במישור
סעיף ה – שיעורי הנקודה S
הנקודה B על הישר ℓ2 (עם k = 2):
B(1 , −3 + 2m , m)
נחשב את AO (מ־A(1 , −3 , 0) לראשית):
AO = √(12 + (−3)2 + 02) = √10📐 נוסחה: אורך וקטור|(a , b , c)| = √(a2 + b2 + c2)
נחשב את AB:
AB = B − A = (0 , 2m , m)
AB = m(0 , 2 , 1)
AB = |m| · √(0 + 4 + 1) = |m|√5📐 נוסחה: אורך וקטור|(a , b , c)| = √(a2 + b2 + c2)
לפי הנתון AO = AB:
|m|√5 = √10
|m| = √2
יש שתי נקודות B אפשריות (m = √2 או m = −√2), ובשתיהן שטח המשולש יוצא זהה, כפי שנראה.
הזווית OAB היא הזווית בין הקטעים AO ו־AB, שנמצאים על הישרים ℓ1 ו־ℓ2. לכן הזווית OAB שווה לזווית בין הישרים או משלימה אותה ל־180 מעלות – ובשני המקרים לסינוס אותו ערך.
לפי סעיף ב הקוסינוס של הזווית בין הישרים הוא 3√25. נמצא את הסינוס:
sin2 = 1 − (3√25)2 = 1 − 1825 = 725📐 נוסחה: זהות טריגונומטריתsin2x + cos2x = 1
sin(OAB) = √75
שטח המשולש AOB:
S = 12 · AO · AB · sin(OAB)📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sin C
S = 12 · √10 · √10 · √75
S = 12 · 10 · √75 = √7
הגובה של הפירמידה הוא AS (האנך למישור הבסיס). נציב בנוסחת הנפח:
13 · √7 · AS = 14√23📐 נוסחה: נפח פירמידהV = 13 · Sבסיס · h
√7 · AS = 14√2
AS = 14√2√7 = 14 · √2√7
AS = 14 · √147 = 2√14
האנך למישור דרך A – וקטור הכיוון שלו הוא הנורמל n = (3 , 1 , −2):
S = (1 , −3 , 0) + s(3 , 1 , −2)📐 נוסחה: ישר מאונך למישורוקטור הכיוון של האנך = הנורמל של המישור
S = (1 + 3s , −3 + s , −2s)
אורך הקטע AS:
AS = |s| · √(9 + 1 + 4) = |s|√14📐 נוסחה: אורך וקטור|(a , b , c)| = √(a2 + b2 + c2)
|s|√14 = 2√14
|s| = 2
s = 2 או s = −2
נציב:
עבור s = 2:
S = (1 + 6 , −3 + 2 , −4)
S = (7 , −1 , −4)
עבור s = −2:
S = (1 − 6 , −3 − 2 , 4)
S = (−5 , −5 , 4)
━ המשולש AOB (כחול) ━ האנך למישור (סגול) ━ מקצועות הפירמידה (ירוק)
הסרטוט בהטלה מרחבית לפי השיעורים האמיתיים (עם B שעבורו m = √2).
✅ פתרון סופי: S(7 , −1 , −4) או S(−5 , −5 , 4)
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | A(1 , −3 , 0) |
|---|---|
| סעיף ב | k = 2 או k = −2 |
| סעיף ג | 3x + y − 2z = 0 |
| סעיף ד | הסבר |
| סעיף ה | S(7 , −1 , −4) או S(−5 , −5 , 4) |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2024, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
נתונים הישר ℓ: x = (−1 , 5 , −11) + t(m − 1 , 5 − m , −2)
והמישור P: 3x + my + (m + 6)z + 4 = 0. m הוא פרמטר.
(בשאלון המישור מסומן באות יוונית; כאן נקרא לו P.)
א. הראו כי לכל ערך של m הישר ℓ אינו מקביל למישור P.
נתון כי הישר ℓ ניצב למישור P וחותך אותו בנקודה A.
ב. מצאו את הערך של הפרמטר m.
ג. מצאו את שיעורי הנקודה A.
ד. לפניכם טענה: קיים מישור אחד בלבד המכיל את הישר ℓ ועובר דרך הנקודה (5 , −5 , −9). קבעו אם הטענה נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעתכם.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הישר אינו מקביל למישור
וקטור הכיוון של הישר והנורמל של המישור:
u = (m − 1 , 5 − m , −2)
n = (3 , m , m + 6)
הישר מקביל למישור (או מוכל בו) רק אם u · n = 0. נחשב:📐 ישר מקביל למישורוקטור הכיוון של הישר מאונך לנורמל: u · n = 0
נחשב את המכפלה הסקלרית:📐 מכפלה סקלריתu · n = u1n1 + u2n2 + u3n3
u · n
= 3(m − 1) + m(5 − m) − 2(m + 6)
= 3m − 3 + 5m − m2 − 2m − 12
= −m2 + 6m − 15
נבדוק אם הביטוי יכול להתאפס:
−m2 + 6m − 15 = 0
m2 − 6m + 15 = 0
b2 − 4ac = 36 − 60 = −24 < 0📐 מספר הפתרונות של משוואה ריבועיתb2 − 4ac < 0 – אין פתרון
למשוואה אין פתרון, ולכן לכל ערך של m המכפלה הסקלרית שונה מאפס:
u · n ≠ 0
כלומר הישר אינו מקביל למישור (הוא תמיד חותך אותו).
✅ פתרון סופי: הוכחה – u · n = −m2 + 6m − 15 ≠ 0
סעיף ב – הערך של m
הישר ניצב למישור, ולכן וקטור הכיוון מקביל לנורמל:📐 ישר ניצב למישורוקטור הכיוון של הישר מקביל לנורמל: u = k · n
(m − 1 , 5 − m , −2)
= k(3 , m , m + 6)
משוואה לכל רכיב:
(1) m − 1 = 3k
(2) 5 − m = mk
(3) −2 = k(m + 6)
מ־(1):
k = m − 13
נציב ב־(3):
−2 = (m − 1)(m + 6)3
−6 = m2 + 5m − 6
m2 + 5m = 0
m(m + 5) = 0
m = 0
או
m = −5
נבדוק ב־(2):
m = 0: k = −13
5 − 0 = 0 · k ⟸ 5 = 0 ✗
m = −5: k = −63 = −2
5 + 5 = (−5)(−2) ⟸ 10 = 10 ✓
✅ פתרון סופי: m = −5
סעיף ג – הנקודה A
נציב m = −5:
ℓ: x = (−1 , 5 , −11)
+ t(−6 , 10 , −2)
P: 3x − 5y + z + 4 = 0
נקודה כללית על הישר:
(−1 − 6t , 5 + 10t , −11 − 2t)
נציב במשוואת המישור:
3(−1 − 6t) − 5(5 + 10t)
+ (−11 − 2t) + 4 = 0
−3 − 18t − 25 − 50t − 11 − 2t
+ 4 = 0
−35 − 70t = 0
t = −0.5
x = −1 − 6 · (−0.5) = 2
y = 5 + 10 · (−0.5) = 0
z = −11 − 2 · (−0.5) = −10
בדיקה במישור:
3 · 2 − 5 · 0 + (−10) + 4 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: A(2 , 0 , −10)
סעיף ד – הטענה
נבדוק אם הנקודה (5 , −5 , −9) נמצאת על הישר ℓ (עם m = −5):
−1 − 6t = 5 ⟸ t = −1
y: 5 + 10 · (−1) = −5 ✓
z: −11 − 2 · (−1) = −9 ✓
עבור t = −1 מתקבלת בדיוק הנקודה (5 , −5 , −9), ולכן היא נמצאת על הישר ℓ.
ישר ונקודה שעליו אינם קובעים מישור אחד: אפשר "לסובב" מישור סביב הישר, וכל מישור כזה מכיל גם את הנקודה. יש אינסוף מישורים כאלה.📐 מישור דרך ישר ונקודהישר ונקודה שאינה עליו קובעים מישור אחד בלבד. אם הנקודה על הישר – יש אינסוף מישורים המכילים אותם.
✅ פתרון סופי: הטענה לא נכונה – הנקודה על הישר, ויש אינסוף מישורים כאלה.
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | m = −5 |
| סעיף ג | A(2 , 0 , −10) |
| סעיף ד | לא נכונה |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ שהבסיס שלה, ABCD, הוא מלבן (ראו סרטוט).
הנקודה E נמצאת על המקצוע DD′ כך ש־DE : ED′ = 3 : 2.
הנקודה F נמצאת על האלכסון BD′ ומתקיים: BF = t · BD′. 0 < t < 1 הוא פרמטר.
נסמן: AB = u , AD = v , AA′ = w (וקטורים).
א. הביעו את הווקטורים BD′ ו־FE באמצעות u , v , w ו־t, אם יש צורך.
נתון כי FE מקביל למישור הבסיס ABCD.
ב. מצאו את t.
הנקודה C היא ראשית הצירים. הנקודה B נמצאת על ציר ה־x בכיוון החיובי שלו, והנקודה D נמצאת על ציר ה־y בכיוון החיובי שלו. נתון: F(4 , 9 , 12).
ג. מצאו את |u| , |v| ו־|w|.
מן הנקודה F העבירו ישר המאונך למישור EFBD. ישר זה חותך את הפאה CDD′C′ בנקודה P.
ד. מצאו את שיעורי הנקודה P.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הווקטורים BD′ ו־FE
BD′ = BA + AD + DD′📐 חיבור וקטורים (כלל המצולע)AC = AB + BC
BD′ = −u + v + w
לפי היחס DE : ED′ = 3 : 2: DE = 35 w. וגם BF = t(−u + v + w).
FE = FB + BA + AD + DE
FE = −t(−u + v + w) − u + v + 35w
FE = (t − 1)u + (1 − t)v + (35
− t)w
✅ פתרון סופי: BD′ = −u + v + w
FE = (t − 1)u + (1 − t)v
+ (35 − t)w
FE = (t − 1)u + (1 − t)v
+ (35 − t)w
סעיף ב – הערך של t
הווקטורים u ו־v נמצאים במישור הבסיס, ו־w מאונך לו. FE מקביל לבסיס רק אם המקדם של w הוא 0:
35 − t = 0
t = 35 = 0.6
✅ פתרון סופי: t = 0.6
סעיף ג – אורכי הווקטורים
נסמן CB = b , CD = d , CC′ = h. אז:
B(b , 0 , 0) , D(0 , d , 0)
D′(0 , d , h)
|u| = AB = CD = d , |v| = AD = CB = b , |w| = h.
F = B + 0.6 · BD′📐 נקודה על קטעF = B + t · BD′
BD′ = (−b , d , h)
F = (b − 0.6b , 0.6d , 0.6h)
= (0.4b , 0.6d , 0.6h)
(0.4b , 0.6d , 0.6h)
= (4 , 9 , 12)
b = 10 , d = 15 , h = 20
✅ פתרון סופי: |u| = 15 , |v| = 10 , |w| = 20
סעיף ד – שיעורי הנקודה P
B(10 , 0 , 0) , D(0 , 15 , 0)
E(0 , 15 , 12)
E = D + 0.6 · DD′. נמצא וקטור נורמל n = (a , b , c) למישור EFBD:
DB = (10 , −15 , 0) , DE
= (0 , 0 , 12)
n · DB = 10a − 15b = 0📐 וקטור נורמל למישורמאונך לשני וקטורים במישור:
n · DB = 0 , n · DE = 0
n · DB = 0 , n · DE = 0
n · DE = 12c = 0
c = 0 , a = 1.5b
n = (3 , 2 , 0)
הנקודה F על האלכסון BD′, ולכן היא במישור הזה. הישר דרך F בכיוון הנורמל:
(x , y , z)📐 הצגה פרמטרית של ישרr = A + s · n
= (4 , 9 , 12) + s(3 , 2 , 0)
הפאה CDD′C′ נמצאת במישור x = 0 (המישור yz):
4 + 3s = 0 , s = −43
y = 9 + 2 · (−43) = 193 , z = 12
בדיקה: 0 ≤ 193 ≤ 15 ו־0 ≤ 12 ≤ 20 – הנקודה על הפאה.
✅ פתרון סופי: P(0 , 193 , 12)
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | BD′ = −u + v + w FE = (t − 1)u + (1 − t)v + (35 − t)w |
|---|---|
| סעיף ב | t = 0.6 |
| סעיף ג | |u| = 15 , |v| = 10 , |w| = 20 |
| סעיף ד | P(0 , 193 , 12) |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2023 מועד ב׳, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
בפירמידה ABCD המקצוע DC מאונך למישור ABC. הנקודה E היא אמצע המקצוע AD.
הנקודה F נמצאת על הפאה BCD, ומקיימת: DF = k2 · DB + k · DC (k פרמטר) (ראו סרטוט).
נסמן: AB = u , AC = v , CD = w.
א. הביעו את EF באמצעות u, v, w ו־k.
נתון כי הישר EF מקביל למישור ABC.
ב. מצאו את הערך של k.
נתון: A(0 , 0 , 0) , B(p , 3 , 0) , C(0 , n , 0); p ו־n הם פרמטרים חיוביים.
נתון גם: u · v = 24 , BD = (−4 , 5 , 12).
ג. מצאו את השיעורים של הנקודות B, C ו־D.
ד. מצאו את הנפח של הפירמידה ABCD.
ה. קבעו מהו המצב ההדדי בין הישר EF ובין הישר AB. נמקו את קביעתכם.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הווקטור EF
נבטא כל וקטור באמצעות u, v, w:
AD = AC + CD = v + w📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ + QR = PR
ED = 12AD = 12v + 12w
DB = DA + AB
= −v − w + u
DC = −w
נציב בנתון על DF:
DF = k2(u − v − w) − kw
= k2u − k2v − 3k2w
EF = ED + DF📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ + QR = PR
= 12v + 12w + k2u − k2v − 3k2w
= k2u + 1 − k2v + 1 − 3k2w
✅ פתרון סופי: EF = k2u + 1 − k2v + 1 − 3k2w
סעיף ב – הערך של k
CD מאונך למישור ABC, ולכן w מאונך לכל וקטור במישור:📐 מאונך לווקטוריםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
u · w = 0 , v · w = 0
EF מקביל למישור ABC, ולכן גם הוא מאונך ל־w:
EF · w = 0
k2·0 + 1 − k2·0 + 1 − 3k2|w|2 = 0
|w| ≠ 0, ולכן:
1 − 3k = 0
k = 13
✅ פתרון סופי: k = 13
סעיף ג – הנקודות B, C, D
u = AB = (p , 3 , 0)
v = AC = (0 , n , 0)
u · v = p · 0 + 3n + 0 = 3n📐 מכפלה סקלריתu · n = u1n1 + u2n2 + u3n3
3n = 24 ⟸ n = 8
C(0 , 8 , 0)
D = B + BD
= (p − 4 , 3 + 5 , 0 + 12)
D(p − 4 , 8 , 12)
המישור ABC הוא המישור z = 0, והמקצוע DC מאונך לו. לכן D נמצאת בדיוק מעל C, עם אותם שיעורי x ו־y:
p − 4 = 0 ⟸ p = 4
✅ פתרון סופי: B(4 , 3 , 0) , C(0 , 8 , 0) , D(0 , 8 , 12)
סעיף ד – נפח הפירמידה
הבסיס הוא המשולש ABC במישור z = 0. הצלע AC על ציר ה־y, ו־B במרחק 4 ממנו (שיעור ה־x של B):
AC = 8
SABC = 8 · 42 = 16📐 שטח משולשS = a · h2
הגובה הוא DC, כי DC מאונך לבסיס:
DC = 12
V = 13 · 16 · 12 = 64📐 נפח פירמידהV = 13 · S · h (S – שטח הבסיס, h – הגובה)
✅ פתרון סופי: V = 64
סעיף ה – המצב ההדדי של EF ו־AB
עם k = 13, מסעיף א:
EF = 16u + 13v + 0 · w
= 16(4 , 3 , 0) + 13(0 , 8 , 0)
= (23 , 196 , 0)
מקבילים? AB = (4 , 3 , 0). היחס בין הרכיבים הראשונים הוא 16 ובין השניים 1918 – לא שווה, ולכן הישרים לא מקבילים.
נחתכים?
E = A + D2 = (0 , 4 , 6)📐 אמצע קטעxM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
EF: (0 , 4 , 6) + t(23 , 196 , 0)
AB: s(4 , 3 , 0)
בכל נקודה של EF מתקיים z = 6, ובכל נקודה של AB מתקיים z = 0. אין להם נקודה משותפת.
ישרים שאינם מקבילים ואינם נחתכים הם ישרים מצטלבים.
בסרטוט (בקנה מידה, היטל משופע): הפירמידה, המשולש ABC (תכלת) והקטע EF (סגול):
✅ פתרון סופי: הישרים מצטלבים
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | EF = k2u + 1 − k2v + 1 − 3k2w |
|---|---|
| סעיף ב | k = 13 |
| סעיף ג | B(4 , 3 , 0) C(0 , 8 , 0) D(0 , 8 , 12) |
| סעיף ד | V = 64 |
| סעיף ה | מצטלבים |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2023 מועד א׳, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
נתונה הקובייה ABCDA′B′C′D′ (ראו סרטוט). נסמן: AB = u , AD = v , AA′ = w.
א. הוכיחו כי הישר CA′ מאונך למישור BC′D.
הנקודה E היא נקודת מפגש התיכונים במשולש BC′D.
ב. (1) הביעו את הווקטור CE באמצעות u , v ו־w.
(2) הוכיחו כי הנקודות A′ , E ו־C נמצאות על ישר אחד.
נתון: A(4 , n , p) , C(3 , 4 , 0) , D(0 , 0 , 0) , n ו־p פרמטרים. שיעור ה־z של הנקודה C′ חיובי.
ג. (1) מצאו את שיעורי הנקודה A, והראו כי המישור ABCD הוא המישור z = 0.
(2) מצאו את שיעורי הנקודה C′.
הישר ℓ הוא ישר החיתוך של המישור BC′D עם המישור BCC′B′.
ד. מצאו הצגה פרמטרית של הישר ℓ.
ה. מצאו הצגה פרמטרית של מישור שמכיל את הישר ℓ ואינו חותך את ציר ה־x.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – CA′ מאונך למישור BC′D
נביע את CA′ בדרך C → B → A → A′:
CA′ = CB + BA + AA′ = −v − u + w
שני וקטורים לא מקבילים במישור BC′D:
BD = BA + AD = −u + v
BC′ = BC + CC′ = v + w
נסמן את אורך המקצוע a. נכפול סקלרית:
CA′ · BD =📐 נוסחה: קובייההווקטורים u , v , w מאונכים זה לזה ושווים באורכםu · v = u · w = v · w = 0
= (−u − v + w) · (−u + v)
= |u|2 − |v|2 = a2 − a2 = 0
CA′ · BC′ =
= (−u − v + w) · (v + w)
= −|v|2 + |w|2 = −a2 + a2 = 0
CA′ מאונך לשני וקטורים לא מקבילים במישור, ולכן מאונך למישור BC′D.📐 משפט: ישר מאונך למישורישר מאונך לשני וקטורים לא מקבילים במישור ⟸ מאונך למישור
✅ פתרון סופי: הוכח: CA′ · BD = 0 , CA′ · BC′ = 0
סעיף ב (1) – הווקטור CE
E מפגש התיכונים של המשולש BC′D. ניקח X = C:
CE = 13(CB + CC′ + CD)📐 נוסחה: מפגש התיכוניםXE = 13(XB + XC′ + XD)לכל נקודה X
CB = −v , CC′ = w , CD = −u
CE = 13(−u − v + w)
✅ פתרון סופי: CE = −13u − 13v + 13w
סעיף ב (2) – A′, E, C על ישר אחד
מסעיף א: CA′ = −u − v + w. ולכן:
CA′ = 3 · CE📐 משפט: נקודות על ישר אחדPQ = t · PR⟸ P , Q , R על ישר אחד
הווקטורים מקבילים ויש להם נקודה משותפת C, ולכן A′ , E , C על ישר אחד.
✅ פתרון סופי: הוכח: CA′ = 3CE
סעיף ג (1) – הנקודה A והמישור ABCD
DA = (4 , n , p)
DC = (3 , 4 , 0)
הצלעות DA ו־DC של הריבוע ABCD מאונכות:
DA · DC = 12 + 4n + 0 = 0📐 נוסחה: מכפלה סקלרית(a , b , c) · (d , e , f) == ad + be + cf
n = −3
הצלעות שוות באורכן:
|DC| = √(9 + 16 + 0) = 5📐 נוסחה: אורך וקטור|(a , b , c)| = √(a2 + b2 + c2)
|DA|2 = 16 + 9 + p2 = 25📐 נוסחה: ריבועצלעות סמוכות מאונכות ושוותDA · DC = 0 , |DA| = |DC|
p2 = 0
p = 0
הנקודות A(4 , −3 , 0) , C(3 , 4 , 0) , D(0 , 0 , 0) – לכולן z = 0, והן לא על ישר אחד. לכן המישור ABCD הוא המישור z = 0.
✅ פתרון סופי: A(4 , −3 , 0) , המישור z = 0
סעיף ג (2) – הנקודה C′
המקצוע CC′ מאונך למישור z = 0, ולכן מקביל לציר ה־z, ואורכו 5 (מקצוע הקובייה):
CC′ = (0 , 0 , ±5)📐 נוסחה: ישר מאונך למישורוקטור הכיוון של האנך = הנורמל של המישור
שיעור ה־z של C′ חיובי:
C′ = (3 , 4 , 0) + (0 , 0 , 5)
C′ = (3 , 4 , 5)
✅ פתרון סופי: C′(3 , 4 , 5)
סעיף ד – הישר ℓ
שני המישורים מכילים את הנקודות B ו־C′, ולכן ישר החיתוך הוא BC′.
B = A + DC
B = (4 , −3 , 0) + (3 , 4 , 0)
B = (7 , 1 , 0)
BC′ = (3 − 7 , 4 − 1 , 5 − 0)
BC′ = (−4 , 3 , 5)
ℓ : x = (7 , 1 , 0) +📐 נוסחה: הצגה פרמטרית של ישרx = A + t · d
+ t(−4 , 3 , 5)
✅ פתרון סופי: ℓ : x = (7 , 1 , 0) + t(−4 , 3 , 5)
סעיף ה – מישור שמכיל את ℓ ולא חותך את ציר x
מישור שאינו חותך את ציר ה־x מקביל לו. ניקח את וקטור הכיוון של ציר ה־x, (1 , 0 , 0), כווקטור כיוון שני:
x = (7 , 1 , 0) +📐 נוסחה: הצגה פרמטרית של מישורx = A + t · d1 + s · d2
+ t(−4 , 3 , 5) +
+ s(1 , 0 , 0)
נוודא שציר ה־x לא מוכל במישור: הנורמל (0 , 5 , −3) מאונך לשני וקטורי הכיוון, ומשוואת המישור:
5(y − 1) − 3z = 0
5y − 3z − 5 = 0
נקודה על ציר ה־x, (t , 0 , 0), נותנת −5 ≠ 0 – אין נקודה משותפת.
✅ פתרון סופי: x = (7 , 1 , 0) + t(−4 , 3 , 5) + s(1 , 0 , 0)
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב (1) | 13(−u − v + w) |
| סעיף ב (2) | הוכחה |
| סעיף ג (1) | A(4 , −3 , 0) |
| סעיף ג (2) | C′(3 , 4 , 5) |
| סעיף ד | (7 , 1 , 0) + t(−4 , 3 , 5) |
| סעיף ה | (7 , 1 , 0) + t(−4 , 3 , 5) + s(1 , 0 , 0) |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2023, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
נתונים שני מישורים:
π1 : (k + 2)x + y + (k + 1)z + 11 = 0
π2 : (k + 1)x + y + z − 5 = 0
k הוא פרמטר.
א. הסבירו מדוע בהכרח שני המישורים נחתכים זה עם זה.
ידוע כי ישר החיתוך ℓ1 בין שני המישורים מקביל לישר ℓ2 : x = (1 , 2 , −1) + m(−1 , k , k).
ב. (1) מצאו את הערך של k. (2) מצאו הצגה פרמטרית של הישר ℓ1. (3) מצאו את הזווית בין המישורים π1 ו־π2.
הנקודה P נמצאת על הישר ℓ1 ועל המישור yz. הנקודות A ו־B הן נקודות החיתוך של ציר ה־y עם המישורים π1 ו־π2 בהתאמה.
ג. (1) מצאו את שיעורי הנקודות P , A ו־B. (2) מצאו את שטח המשולש APB.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – למה המישורים נחתכים
n1 = (k + 2 , 1 , k + 1) , n2
= (k + 1 , 1 , 1)
המישורים מקבילים (או מתלכדים) רק אם הנורמלים פרופורציוניים. רכיב ה־y של שניהם הוא 1, ולכן היחס חייב להיות 1, כלומר n1 = n2:📐 מישורים מקביליםהנורמלים פרופורציוניים
k + 2 = k + 1
אין k כזה, ולכן המישורים אף פעם לא מקבילים – הם נחתכים.
✅ פתרון סופי: הנורמלים אף פעם לא פרופורציוניים
סעיף ב (1) – הערך של k
ישר החיתוך נמצא בשני המישורים, ולכן הכיוון שלו מאונך לשני הנורמלים. הכיוון של ℓ2 מתאים לו:📐 ישר במישורהכיוון מאונך לנורמל: מכפלה סקלרית 0
(−1 , k , k) · (k + 1 , 1 , 1)
= 0
−k − 1 + k + k = 0
k − 1 = 0
k = 1
בדיקה עם n1:
(−1 , 1 , 1) · (3 , 1 , 2)
= −3 + 1 + 2 = 0
✅ פתרון סופי: k = 1
סעיף ב (2) – הצגה פרמטרית של ℓ1
π1 : 3x + y + 2z + 11 = 0
π2 : 2x + y + z − 5 = 0
נמצא נקודה משותפת עם x = 0:
y + 2z = −11
y + z = 5
z = −16 , y = 21
הכיוון (−1 , 1 , 1) (מסעיף ב(1)):
✅ פתרון סופי: ℓ1 : x = (0 , 21 , −16) + t(−1 , 1 , 1)
סעיף ב (3) – הזווית בין המישורים
cos t = |n1 · n2||n1| · |n2|📐 זווית בין מישוריםcos t = |n1 · n2||n1| · |n2|
n1 = (3 , 1 , 2) , n2
= (2 , 1 , 1)
n1 · n2 = 6 + 1 + 2 = 9
|n1| = √14 , |n2| = √6
cos t = 9√84 ≈ 0.982
t ≈ 10.89
✅ פתרון סופי: ≈ 10.89 מעלות
סעיף ג (1) – הנקודות P , A , B
במישור yz מתקיים x = 0. על ℓ1: −t = 0, t = 0:
P(0 , 21 , −16)
על ציר ה־y: x = 0 , z = 0:
π1 : y + 11 = 0 , A(0 , −11 , 0)
π2 : y − 5 = 0 , B(0 , 5 , 0)
✅ פתרון סופי: P(0 , 21 , −16)
A(0 , −11 , 0) , B(0 , 5 , 0)
A(0 , −11 , 0) , B(0 , 5 , 0)
סעיף ג (2) – שטח המשולש APB
שלוש הנקודות במישור yz. הבסיס AB על ציר ה־y:
AB = 5 − (−11) = 16
הגובה מ־P לציר ה־y הוא |zP| = 16:
S = 16 · 162 = 128📐 שטח משולשS = a · h2
✅ פתרון סופי: S = 128
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | הנורמלים אף פעם לא פרופורציוניים |
|---|---|
| סעיף ב (1) | k = 1 |
| סעיף ב (2) | ℓ1 : x = (0 , 21 , −16) + t(−1 , 1 , 1) |
| סעיף ב (3) | ≈ 10.89 מעלות |
| סעיף ג (1) | P(0 , 21 , −16) A(0 , −11 , 0) , B(0 , 5 , 0) |
| סעיף ג (2) | S = 128 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2022 מועד ב׳, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
נתונה פירמידה OABC שבסיסה משולש ABC.
נסמן: OA = u , OB = v , OC = w.
נתון: |w| = |v| = |u| , ∢AOB = ∢BOC = ∢COA = 90 מעלות.
הנקודה H מקיימת OH = tu + sv + kw , t , s , k הם פרמטרים. נתון כי OH מאונך לבסיס ABC של הפירמידה.
א. הוכיחו כי t = s = k.
הנקודה M נמצאת בבסיס ABC של הפירמידה, והיא נקודת המפגש של תיכוני הבסיס.
ב. הוכיחו כי OM = 13u + 13v + 13w, והסבירו מדוע OM הוא גובה לבסיס ABC של הפירמידה.
הנקודה P נמצאת על הישר ℓ שעליו מונח הגובה לבסיס ABC.
ג. הביעו באמצעות u , v , w את הווקטור OP שבעבורו נפח הפירמידה PABC כפול מנפח הפירמידה OABC (שתי אפשרויות).
ממקמים את הפירמידה OABC במערכת צירים. הנקודה O נמצאת בראשית הצירים, הנקודה A נמצאת על החלק החיובי של ציר ה־x, הנקודה B על החלק החיובי של ציר ה־y, והנקודה C על החלק החיובי של ציר ה־z. נתון: |u| = a.
ד. מצאו את ההצגה הפרמטרית של הישר ℓ שעליו נמצא הקטע OP.
ה. הביעו באמצעות a את משוואת המישור ABC.
ו. נתון כי נפח הפירמידה OABC הוא 2056. חשבו את a.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – t = s = k
נסמן |u| = |v| = |w| = a. הווקטורים מאונכים זה לזה, ולכן כל מכפלה סקלרית מעורבת היא 0.
AB = v − u , AC = w − u
OH מאונך לבסיס, ולכן לשני הווקטורים:
OH · AB =📐 נוסחה: וקטורים מאונכיםa ⟂ b ⟺ a · b = 0a · a = |a|2
= (tu + sv + kw) · (v − u)
= s a2 − t a2 = 0 ⟹ s = t
OH · AC =
= (tu + sv + kw) · (w − u)
= k a2 − t a2 = 0 ⟹ k = t
t = s = k
✅ פתרון סופי: הוכח: t = s = k
סעיף ב – OM גובה
OM = 13(u + v + w)📐 נוסחה: מפגש התיכוניםOM = 13(OA + OB + OC)
זה וקטור מהצורה t(u + v + w) עם t = 13. כמו בסעיף א, וקטור כזה מאונך ל־AB ול־AC:
(u + v + w) · (v − u) =
= a2 − a2 = 0
(u + v + w) · (w − u) =
= a2 − a2 = 0
OM יוצא מהקודקוד O, מאונך לבסיס, והנקודה M בבסיס – לכן OM הוא הגובה של הפירמידה.
✅ פתרון סופי: הוכח: OM = 13(u + v + w)
סעיף ג – הווקטור OP
לשתי הפירמידות אותו בסיס ABC, ולכן הנפח של PABC כפול כשהמרחק של P מהבסיס כפול מ־OM:
hP = 2 · OM📐 נוסחה: נפח פירמידהV = 13 · Sבסיס · h
נכתוב OP = r · OM. המרחק של P מהבסיס הוא |1 − r| · OM:
|1 − r| = 2
r = −1 או r = 3
OP1 = 3OM = u + v + w
OP2 = −OM = −13u − 13v − 13w
✅ פתרון סופי: OP = u + v + w או OP = −13(u + v + w)
סעיף ד – הישר ℓ
A(a , 0 , 0) , B(0 , a , 0)
C(0 , 0 , a)
OM = 13(a , a , a)
וקטור כיוון (1 , 1 , 1), והישר עובר בראשית:
ℓ : x = t(1 , 1 , 1)📐 נוסחה: הצגה פרמטרית של ישרx = A + t · d
✅ פתרון סופי: ℓ : x = t(1 , 1 , 1)
סעיף ה – משוואת המישור ABC
המישור חותך את הצירים ב־a:
xa + ya + za = 1📐 נוסחה: משוואת מישור לפי חיתוכים עם הציריםxp + yq + zr = 1
x + y + z − a = 0
✅ פתרון סופי: x + y + z − a = 0
סעיף ו – הערך של a
נחשב את הנפח עם הבסיס OAB (משולש ישר־זווית) והגובה OC = a:
V = 13 · a · a2 · a = a36📐 נוסחה: נפח פירמידהV = 13 · Sבסיס · h
a36 = 2056 = 1256
a3 = 125
a = 5
✅ פתרון סופי: a = 5
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה והסבר |
| סעיף ג | u + v + w או −13(u + v + w) |
| סעיף ד | t(1 , 1 , 1) |
| סעיף ה | x + y + z − a = 0 |
| סעיף ו | a = 5 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2022 מועד א׳, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
נתונות ארבע נקודות הנמצאות באותו המישור: A(4 , p , −1) , B(7 , 5 , 5) , C(1 , −1 , 2) , D(−2 , 5 , −4) , p הוא פרמטר.
א. מצאו את משוואת המישור ABCD.
ב. חשבו את ערך הפרמטר p.
ג. הוכיחו כי המרובע ABCD הוא ריבוע.
הנקודה S היא קודקוד של פירמידה SABCD שבסיסה ABCD.
המקצוע SC מונח על הישר x = (0 , −4 , 1) + t(1 , 3 , 1) .
נתון כי נפח הפירמידה הוא 81 .
ד. מצאו את שיעורי הנקודה S (שתי אפשרויות).
נתון מישור נוסף, המאונך למקצוע SC. (בשאלון המישור מסומן באות יוונית; כאן נקרא לו P.)
ה. מצאו את הזווית שבין המישור ABCD ובין המישור P.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – משוואת המישור
נמצא שני וקטורים במישור:📐 נוסחה: וקטור בין שתי נקודותAB = B − A
BC = C − B
= (1 − 7 , −1 − 5 , 2 − 5)
= (−6 , −6 , −3)
CD = D − C
= (−2 − 1 , 5 + 1 , −4 − 2)
= (−3 , 6 , −6)
נסמן וקטור נורמל n = (a , b , c). הוא מאונך לשני הווקטורים:📐 משפט: וקטורים מאונכיםu · v = 0
n · BC = −6a − 6b − 3c = 0📐 נוסחה: מכפלה סקלריתu · v = u1v1 + u2v2 + u3v3
2a + 2b + c = 0
n · CD = −3a + 6b − 6c = 0📐 נוסחה: מכפלה סקלריתu · v = u1v1 + u2v2 + u3v3
a − 2b + 2c = 0
נבחר c = −2:
2a + 2b = 2 ⟹ a + b = 1
a − 2b = 4
נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה:
3b = −3 ⟹ b = −1
a = 1 − (−1) = 2
n = (2 , −1 , −2)
משוואת המישור, ונציב את B(7 , 5 , 5):📐 נוסחה: משוואת מישורAx + By + Cz + D = 0(A , B , C) – וקטור נורמל למישור
2x − y − 2z + D = 0
2 · 7 − 5 − 2 · 5 + D = 0
−1 + D = 0 ⟹ D = 1
2x − y − 2z + 1 = 0
בדיקה עם D(−2 , 5 , −4):
2 · (−2) − 5 − 2 · (−4) + 1
= −4 − 5 + 8 + 1 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: 2x − y − 2z + 1 = 0
סעיף ב – הפרמטר p
הנקודה A(4 , p , −1) נמצאת במישור, נציב:📐 נוסחה: משוואת מישורAx + By + Cz + D = 0(A , B , C) – וקטור נורמל למישור
2 · 4 − p − 2 · (−1) + 1 = 0
8 − p + 2 + 1 = 0
11 − p = 0
p = 11
A(4 , 11 , −1)
✅ פתרון סופי: p = 11
סעיף ג – ABCD ריבוע
נבדוק קודם שזו מקבילית:📐 נוסחה: וקטור בין שתי נקודותAB = B − A
AB = B − A
= (7 − 4 , 5 − 11 , 5 + 1)
= (3 , −6 , 6)
DC = C − D
= (1 + 2 , −1 − 5 , 2 + 4)
= (3 , −6 , 6)
AB = DC , לכן ABCD מקבילית.📐 משפט: מקביליתאם AB = DC אז ABCD מקבילית
AD = D − A
= (−2 − 4 , 5 − 11 , −4 + 1)
= (−6 , −6 , −3)
נשווה אורכי צלעות סמוכות:📐 נוסחה: אורך וקטור|u| = √u12 + u22 + u32
|AB| = √9 + 36 + 36 = √81 = 9
|AD| = √36 + 36 + 9 = √81 = 9
מקבילית עם שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין. נבדוק זווית:📐 נוסחה: מכפלה סקלריתu · v = u1v1 + u2v2 + u3v3
AB · AD =
3 · (−6) + (−6) · (−6)
+ 6 · (−3)
= −18 + 36 − 18 = 0
AB ⊥ AD, כלומר זווית A ישרה.📐 משפט: וקטורים מאונכיםu · v = 0
מעוין עם זווית ישרה הוא ריבוע.
✅ פתרון סופי: הוכח: ABCD ריבוע שצלעו 9
סעיף ד – הנקודה S
שטח הבסיס – ריבוע שצלעו 9:
SABCD = 92 = 81
נפח הפירמידה:📐 נוסחה: נפח פירמידהV = Sבסיס · h3
81 = 81 · h3
h = 3
הגובה הוא המרחק של S מהמישור ABCD. הנקודה S על הישר, לכן:
S(t , −4 + 3t , 1 + t)
נשתמש במרחק נקודה ממישור:📐 נוסחה: מרחק נקודה ממישורd = |Ax1 + By1 + Cz1 + D|√A2 + B2 + C2
|2t − (−4 + 3t) − 2(1 + t) + 1|√4 + 1 + 4 = 3
|2t + 4 − 3t − 2 − 2t + 1|3 = 3
|−3t + 3| = 9
−3t + 3 = 9 ⟹ t = −2
−3t + 3 = −9 ⟹ t = 4
t = 4 : S(4 , 8 , 5)
t = −2 : S(−2 , −10 , −1)
(שתי האפשרויות נמצאות משני צדי המישור. בדיקה: עבור t = 1 מתקבלת הנקודה C(1 , −1 , 2) – אכן על הישר.)
▬ הבסיס ABCD (כחול) · ▬ פירמידה עם S(−2 , −10 , −1) (סגול) · ▬ פירמידה עם S(4 , 8 , 5) – בצד השני (ירוק חזק)
בציור: S = (−2 , −10 , −1) , S′ = (4 , 8 , 5). הציור מסובב כך שהבסיס "שוכב".
✅ פתרון סופי: S(4 , 8 , 5) או S(−2 , −10 , −1)
סעיף ה – הזווית בין המישורים
המישור P מאונך ל־SC, לכן וקטור הכיוון של הישר הוא וקטור נורמל של P:
n2 = (1 , 3 , 1)
n1 = (2 , −1 , −2)
נציב בנוסחה:📐 נוסחה: זווית בין מישוריםcos x = |n1 · n2||n1| · |n2|x – הזווית בין המישורים
n1 · n2 =
2 · 1 + (−1) · 3 + (−2) · 1 = −3
|n1| = √4 + 1 + 4 = 3
|n2| = √1 + 9 + 1 = √11
cos x = |−3|3√11 = 1√11 ≈ 0.3015
x ≈ 72.45
✅ פתרון סופי: 72.45 מעלות
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | 2x − y − 2z + 1 = 0 |
|---|---|
| סעיף ב | p = 11 |
| סעיף ג | הוכחה |
| סעיף ד | S(4 , 8 , 5) או S(−2 , −10 , −1) |
| סעיף ה | 72.45 מעלות |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2022 נבצרים, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
נתונה מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ שבסיסה הוא מעוין ABCD (ראה סרטוט).
נקודה F נמצאת על המישור ACD′ כך ש־D′F = t · D′A + 14 · D′C , t הוא פרמטר.
נתון: DF מאונך למישור ACD′ , DC = 4 , זווית ADC = 120 מעלות.
נסמן: DA = u , DC = v , DD′ = w .
א. בטא את DF באמצעות u , v , w ו־t.
ב. מצא את t.
ג. חשב את נפח המנסרה.
נתון: הנקודה D היא ראשית הצירים, הקודקוד A נמצא על החלק החיובי של ציר ה־x, הקודקוד D′ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־z , C = (−2 , √12 , 0) .
ד. מצא את שיעורי הנקודה F.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הווקטור DF
DF = DD′ + D′F📐 נוסחה: חיבור וקטוריםDF = DD′ + D′FD′A = DA − DD′
D′A = DA − DD′ = u − w
D′C = DC − DD′ = v − w
DF = w + t(u − w) + 14(v − w)
DF = tu + 14v + (1 − t − 14)w
DF = tu + 14v + (34 − t)w
✅ פתרון סופי: DF = tu + 14v + (34 − t)w
סעיף ב – הפרמטר t
נתונים שנצטרך (מנסרה ישרה – המקצוע הצדדי מאונך לבסיס):📐 נוסחה: מכפלה סקלריתa · b = |a| · |b| · cos xa · a = |a|2
|u| = |v| = 4
u · v = 4 · 4 · cos 120
= 16 · (−12) = −8
u · w = 0
v · w = 0
DF מאונך למישור ACD′, לכן הוא מאונך ל־AC = v − u:📐 משפט: וקטור מאונך למישורוקטור מאונך למישור ⟺ הוא מאונך לשני וקטורים לא מקבילים במישור (מכפלה סקלרית 0)
DF · (v − u) = 0
tu·v + 14v2 − tu2 − 14u·v = 0
(המחוברים עם w מתאפסים.) נציב:
t · (−8) + 14 · 16
− t · 16 − 14 · (−8) = 0
−8t + 4 − 16t + 2 = 0
−24t + 6 = 0
t = 14
✅ פתרון סופי: t = 14
סעיף ג – נפח המנסרה
DF = 14u + 14v + 12w
נסמן |w| = h (גובה המנסרה). DF מאונך גם ל־D′A = u − w:📐 משפט: וקטור מאונך למישורוקטור מאונך למישור ⟺ הוא מאונך לשני וקטורים לא מקבילים במישור (מכפלה סקלרית 0)
DF · (u − w) = 0
14u2 + 14v·u − 12w2 = 0📐 נוסחה: מכפלה סקלריתa · b = |a| · |b| · cos xa · a = |a|2
14 · 16 + 14 · (−8) − 12h2 = 0
4 − 2 − 12h2 = 0
h2 = 4
⟹ h = 2
שטח הבסיס – מעוין שצלעו 4 וזוויתו 120 מעלות:📐 נוסחה: שטח מקבילית (מעוין)S = a · b · sin x
S = 4 · 4 · sin 120
= 16 · √32 = 8√3
V = 8√3 · 2 = 16√3 ≈ 27.71📐 נוסחה: נפח מנסרהV = Sבסיס · h
✅ פתרון סופי: V = 16√3 ≈ 27.71
סעיף ד – שיעורי F
u = DA = (4 , 0 , 0)
v = DC = (−2 , √12 , 0)
w = DD′ = (0 , 0 , 2)
D היא הראשית, לכן שיעורי F הם רכיבי DF:
DF = 14(4 , 0 , 0)
+ 14(−2 , √12 , 0)
+ 12(0 , 0 , 2)
= (1 , 0 , 0) + (−0.5 , √124 , 0)
+ (0 , 0 , 1)
= (0.5 , √32 , 1)
▬ המנסרה (כחול) · ▬ המשולש ACD′ שבמישור (סגול) · ▬ האנך DF (ירוק חזק)
✅ פתרון סופי: F(0.5 , √32 , 1)
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | tu + 14v + (34 − t)w |
|---|---|
| סעיף ב | t = 14 |
| סעיף ג | 16√3 ≈ 27.71 |
| סעיף ד | F(0.5 , √32 , 1) |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 נבצרים⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2022, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
נתונים שני מישורים: P1 : z − 3 = 0 , P2 : ay + z − 8 = 0 . a הוא פרמטר שונה מ־0.
(בשאלון המישורים מסומנים באות יוונית; כאן נסמן אותם P1 ו־P2.)
הזווית בין המישורים היא 45 מעלות.
א. מצא את הערכים האפשריים בעבור הפרמטר a.
הנקודה A(2 , −2 , 6) נמצאת על אחד המישורים הנתונים. מן הנקודה A הורידו אנך למישור האחר. האנך חותך את המישור האחר בנקודה B.
ב. מצא את אורך הקטע AB.
ℓ הוא ישר החיתוך בין שני המישורים P1 ו־P2.
ג. מצא את ההצגה הפרמטרית של ℓ.
מן הנקודה B העבירו אנך לישר ℓ. האנך חותך את הישר ℓ בנקודה C.
ד. מצא את שטח המשולש ABC (תוכל לסרטט את המשולש במערכת צירים לשם כך).
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הפרמטר a
n1 = (0 , 0 , 1)📐 נוסחה: וקטור נורמלAx + By + Cz + D = 0n = (A , B , C)
n2 = (0 , a , 1)
cos 45 = |0 + 0 + 1|1 · √a2 + 1📐 נוסחה: זווית בין מישוריםcos x = |n1 · n2||n1| · |n2|
√22 = 1√a2 + 1
√a2 + 1 = √2
a2 + 1 = 2
⟹ a2 = 1
a = 1 או a = −1
✅ פתרון סופי: a = 1 , a = −1
סעיף ב – אורך AB
האם A על P1? 6 − 3 = 3 ≠ 0 – לא. לכן A על P2:
a · (−2) + 6 − 8 = 0
−2a = 2
⟹ a = −1
P2 : −y + z − 8 = 0
האנך מ־A למישור P1 : z = 3 מקביל לנורמל (0 , 0 , 1), לכן משנה רק את z:
B(2 , −2 , 3)
AB = |6 − 3| = 3📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודותd2 = (x2 − x1)2+ (y2 − y1)2+ (z2 − z1)2
✅ פתרון סופי: AB = 3
סעיף ג – ישר החיתוך
נקודות על שני המישורים: z = 3 ונציב ב־P2:
−y + 3 − 8 = 0
⟹ y = −5
x חופשי. נקודה על הישר: (0 , −5 , 3), וכיוון: (1 , 0 , 0).📐 נוסחה: הצגה פרמטרית של ישרx = a + tu
ℓ : x = (0 , −5 , 3)
+ t(1 , 0 , 0)
✅ פתרון סופי: ℓ : x = (0 , −5 , 3) + t(1 , 0 , 0)
סעיף ד – שטח המשולש ABC
נקודה כללית על ℓ: C(t , −5 , 3). BC מאונך לכיוון הישר:📐 משפט: וקטורים מאונכיםa · b = 0
BC = (t − 2 , −3 , 0)
(t − 2) · 1 + (−3) · 0
+ 0 · 0 = 0
t − 2 = 0
⟹ t = 2
C(2 , −5 , 3)
כל שלוש הנקודות במישור x = 2, ואפשר לסרטט אותן בצירים y ו־z:
AB = 3 (אנכי)
BC = |−2 − (−5)| = 3 (אופקי)
AB ⊥ BC – משולש ישר זווית ב־B:📐 נוסחה: שטח משולש ישר זוויתS = a · b2
S = 3 · 32 = 4.5
▬ המשולש ABC (ירוק חזק) · ▬ הישר z = 3 במישור x = 2 (תכלת)
✅ פתרון סופי: S = 4.5
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | a = ±1 |
|---|---|
| סעיף ב | AB = 3 |
| סעיף ג | (0 , −5 , 3) + t(1 , 0 , 0) |
| סעיף ד | 4.5 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022⬆️ חזרה לכפתורים
📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 572 לפי נושא
🎓 רוצים להבין את זה לעומק?
בקורסים של מתמטריק כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.
השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il