בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 472 (35472) · שאלות לפי נושא
שאלות בגרות 472 לפי נושא – וקטורים במרחב
כל השאלות בנושא וקטורים במרחב מבחינות הבגרות בשאלון 472, מהבחינה החדשה ביותר אחורה. וקטורים בתיבה, בפירמידה ובמנסרה: הצגה, אורכים, זוויות ומכפלה סקלרית. בכל שאלה: הנוסח המלא, ומתחתיו פתרון מלא שלב אחר שלב.
📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 472 לפי נושא
17 שאלות פתורות: 17 מבחינות 472 של 2022–2026, מהחדשה לישנה. לוחצים על מועד ועוברים ישר לשאלה. כל שאלה פתורה עד הסוף, שלב אחר שלב, והנוסחה בצד.
📅 קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ שבסיסה ABCD הוא ריבוע. הנקודה F היא אמצע המקצוע BC. הנקודה E נמצאת על האלכסון A′C′, כך שמתקיים A′E = 34 A′C′.
נסמן: AB = u , BC = v , AA′ = w.
א. הביעו באמצעות u , v ו־w את הווקטורים A′E ו־FE.
נתון כי אורך מקצוע הבסיס הוא 4.
ב. חשבו את האורך של הווקטור A′E.
נתון: |A′E| = |FE|.
ג. הראו כי התיבה היא קובייה.
ד. (1) הראו כי FE מאונך ל־A′C′. (2) חשבו את שטח המשולש A′FC′.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הבעת הווקטורים
בתיבה, מקצועות מקבילים ושווים הם וקטורים שווים: A′B′ = AB = u , B′C′ = BC = v , CC′ = AA′ = w.
הווקטור A′E: קודם האלכסון A′C′ – הולכים מ־A′ ל־B′ ואז ל־C′:
A′C′ = A′B′ + B′C′ = u + v📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ
הנקודה E נמצאת על האלכסון, ו־A′E = 34A′C′:
A′E = 34(u + v) = 34u + 34v📐 כפל וקטור במספרk(a + b) = ka + kb
הווקטור FE: הולכים מ־F ל־C, עולים ל־C′, ומשם הולכים על האלכסון אחורה עד E:
FE = FC + CC′ + C′E📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ
F אמצע BC, ולכן FC = 12BC = 12v. וגם CC′ = w.
A′E הוא 34 מהאלכסון, ולכן מה שנשאר, EC′, הוא 14 מהאלכסון. הכיוון מ־C′ ל־E הפוך:
C′E = −EC′ = −14(u + v) = −14u − 14v📐 וקטור נגדיYX = −XY
מציבים את שלושת החלקים:
FE = 12v + w − 14u − 14v
מכנסים את האיברים עם v:
12v − 14v = 24v − 14v = 14v
FE = −14u + 14v + w
✅ פתרון סופי: A′E = 34u + 34v , FE = −14u + 14v + w
סעיף ב – האורך של הווקטור A′E
הבסיס ABCD הוא ריבוע עם צלע 4, ולכן |u| = |v| = 4, וגם u מאונך ל־v:
u · v = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
u2 = |u|2 = 42 = 16 , v2 = 16📐 אורך וקטור|a|2 = a · a = a2
מחשבים את ריבוע האורך של A′E:
|A′E|2 = (34u + 34v)2📐 אורך וקטור|a|2 = a · a = a2
= (34)2u2 + 2 · 34 · 34 u·v + (34)2v2📐 ריבוע של סכום(a + b)2= a2 + 2a·b + b2
= 916 · 16 + 2 · 916 · 0 + 916 · 16
= 9 + 0 + 9 = 18
|A′E| = √18 = √(9 · 2) = 3√2 ≈ 4.24📐 כפל שורשים√(a · b) = √a · √b
בדיקה בדרך אחרת: במשולש A′B′C′ הזווית ב־B′ ישרה (פינה של ריבוע):
A′C′2 = 42 + 42 = 16 + 16 = 32📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
A′C′ = √32 = 4√2 ← A′E = 34 · 4√2 = 3√2 ✓
✅ פתרון סופי: |A′E| = 3√2 ≈ 4.24
סעיף ג – התיבה היא קובייה
נסמן את גובה התיבה |w| = h. המקצוע AA′ מאונך לבסיס, ולכן w מאונך גם ל־u וגם ל־v:
u · w = 0 , v · w = 0 , u · v = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
מחשבים את ריבוע האורך של FE:
|FE|2 = (−14u + 14v + w)2📐 אורך וקטור|a|2 = a · a = a2
פותחים ריבוע של סכום של שלושה וקטורים – שלושה ריבועים ועוד פעמיים כל מכפלה של שניים:
= 116u2 + 116v2 + w2 − 216u·v − 24u·w + 24v·w📐 ריבוע של סכום שלושה(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2+ 2ab + 2ac + 2bc
כל המכפלות הסקלריות שוות 0 (הווקטורים מאונכים זה לזה):
= 116 · 16 + 116 · 16 + h2 = 1 + 1 + h2 = 2 + h2
נתון |A′E| = |FE|, ולכן גם הריבועים שווים. מסעיף ב: |A′E|2 = 18.
2 + h2 = 18
h2 = 18 − 2 = 16
h = √16 = 4 (אורך חיובי)
בדיקה בשרטוט: נוריד אנך מ־E לבסיס, לנקודה G. מ־F ל־G הולכים 1 אחורה בכיוון u ו־1 קדימה בכיוון v:
FG2 = 12 + 12 = 2 , FE2 = FG2 + EG2 = 2 + h2 ✓📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
אז כל המקצועות שווים: AB = BC = 4 (ריבוע) וגם AA′ = 4. בתיבה כל 12 המקצועות שווים ל־4, ולכן היא קובייה.
✅ פתרון סופי: h = 4 = AB = BC ← התיבה היא קובייה
סעיף ד (1) – FE מאונך ל־A′C′
שני וקטורים מאונכים אם המכפלה הסקלרית שלהם היא 0. מסעיף א: A′C′ = u + v.
FE · A′C′ = (−14u + 14v + w) · (u + v)📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
פותחים סוגריים – כל איבר מהסוגריים הראשונים כפול כל איבר מהשניים:
= −14u2 − 14u·v + 14v·u + 14v2 + w·u + w·v📐 פתיחת סוגריים(a + b + c)(d + e)= ad + ae + bd + be + cd + ce
מציבים u2 = v2 = 16 (הקובייה מסעיף ג) וכל מכפלה של שני וקטורים מאונכים היא 0:
= −14 · 16 − 0 + 0 + 14 · 16 + 0 + 0
= −4 + 4 = 0
✅ פתרון סופי: המכפלה הסקלרית היא 0, ולכן FE ⊥ A′C′
סעיף ד (2) – שטח המשולש A′FC′
הנקודה E נמצאת על הצלע A′C′, ו־FE מאונך לה (סעיף ד (1)). לכן FE הוא הגובה מהקודקוד F לצלע A′C′.
אורך הצלע: A′C′ = |u + v| = 4√2 (סעיף ב).
אורך הגובה: FE = A′E = 3√2 (נתון בסעיף ג, ו־A′E חושב בסעיף ב).
S = A′C′ · FE2 = 4√2 · 3√22📐 שטח משולשS = צלע · גובה2
√2 · √2 = 2, ולכן 4√2 · 3√2 = 12 · 2 = 24:
📐 כפל שורשים√a · √a = aS = 242 = 12
✅ פתרון סופי: S = 12 יחידות שטח
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | A′E = 34u + 34v FE = −14u + 14v + w |
|---|---|
| סעיף ב | 3√2 ≈ 4.24 |
| סעיף ג | גובה 4 = מקצוע הבסיס ← קובייה |
| סעיף ד (1) | המכפלה הסקלרית 0 ← מאונכים |
| סעיף ד (2) | S = 12 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם פירמידה ABCS. המקצוע AS מאונך למישור הבסיס ABC. הנקודה E היא אמצע המקצוע BS. הנקודה F נמצאת על המקצוע BC כך ש־BF = 23 BC.
נסמן: AB = u , AC = v , AS = w
א. הביעו באמצעות u, v ו־w את הווקטורים האלה: BC , BS , AE , AF.
נתון: ∢BAC = 120 מעלות, |u| = |v| = 6 , |w| = 8.
ב. חשבו את נפח הפירמידה.
ג. (1) מצאו את הערך של u · v. (2) הוכיחו כי AE מאונך ל־AF.
ד. (1) מצאו את הערך של |AF|. (2) חשבו את שטח המשולש EAF.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הבעת הווקטורים
הסרטוט בקנה מידה (מחושב מהנתונים של סעיף ב). הקווים המקווקווים הם מקצועות מוסתרים. בסגול: AE ו־AF.
הווקטור BC: הולכים מ־B ל־A ואז מ־A ל־C.
BC = BA + AC📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)XY = XA + AY
BA = −AB = −u📐 וקטור נגדיBA = −AB
BC = −u + v
הווקטור BS: מ־B ל־A ואז מ־A ל־S.
BS = BA + AS📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)XY = XA + AY
BS = −u + w📐 וקטור נגדיBA = −AB
הווקטור AE: מ־A ל־B ואז מ־B ל־E. הנקודה E אמצע BS, ולכן BE הוא חצי מ־BS.
AE = AB + BE📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)XY = XA + AY
BE = 12BS = 12(−u + w)📐 אמצע קטעBE = 12BS
AE = u − 12u + 12w
AE = 12u + 12w
הווקטור AF: מ־A ל־B ואז מ־B ל־F. נתון BF = 23 BC ו־F על BC, ולכן BF = 23BC.
AF = AB + BF📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)XY = XA + AY
BF = 23BC = 23(−u + v)📐 נתון: חלוקת קטעBF = 23BC
AF = u − 23u + 23v
מחשבים את המקדם של u: 1 − 23 = 13
AF = 13u + 23v
✅ פתרון סופי: BC = −u + v
BS = −u + w
AE = 12u + 12w
AF = 13u + 23v
BS = −u + w
AE = 12u + 12w
AF = 13u + 23v
סעיף ב – נפח הפירמידה
AS מאונך למישור הבסיס, ולכן AS הוא הגובה של הפירמידה: h = AS = |w| = 8. הבסיס הוא המשולש ABC (מודגש בתכלת).
שטח הבסיס – שתי צלעות והזווית שביניהן: AB = AC = 6, ∢BAC = 120 מעלות.
SABC = 12 · 6 · 6 · sin120📐 שטח משולשS = 12 · a · b · sin∢C
sin120 = √32 ≈ 0.866
SABC = 18 · √32 = 9√3 ≈ 15.59
V = 13 · 9√3 · 8📐 נפח פירמידהV = 13 · Sבסיס · h
V = 72√33 = 24√3 ≈ 41.57
✅ פתרון סופי: V = 24√3 ≈ 41.57 יחידות נפח
סעיף ג (1) – המכפלה הסקלרית u · v
הזווית בין u ל־v היא הזווית BAC, כלומר 120 מעלות.
u · v = |u| · |v| · cos120📐 מכפלה סקלריתa · b = |a| · |b| · cos∢(a,b)
cos120 = −12
u · v = 6 · 6 · (−12)
u · v = 36 · (−12) = −18
✅ פתרון סופי: u · v = −18
סעיף ג (2) – הוכחה ש־AE מאונך ל־AF
מספיק להראות שהמכפלה הסקלרית AE · AF שווה 0.
נתונים שנצטרך: AS מאונך למישור הבסיס, ולכן הוא מאונך לכל ישר בבסיס – גם ל־AB וגם ל־AC:
w · u = 0 , w · v = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
u · u = |u|2 = 62 = 36📐 מכפלה של וקטור בעצמוa · a = |a|2
נציב את הביטויים מסעיף א ונפתח סוגריים (כל איבר כפול כל איבר):
AE · AF = (12u + 12w) · (13u + 23v)📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
= 12·13 u·u + 12·23 u·v + 12·13 w·u + 12·23 w·v
= 16 u·u + 13 u·v + 16 w·u + 13 w·v
מציבים u·u = 36, u·v = −18 (סעיף ג1), w·u = 0, w·v = 0:
= 16 · 36 + 13 · (−18) + 16 · 0 + 13 · 0
= 6 − 6 + 0 + 0 = 0
AE · AF = 0📐 וקטורים מאונכיםa · b = 0 ⟸ a ⊥ b
✅ פתרון סופי: המכפלה הסקלרית היא 0, ולכן AE ⊥ AF (הזווית EAF ישרה)
סעיף ד (1) – האורך של AF
אורך וקטור בריבוע = המכפלה הסקלרית שלו בעצמו:
|AF|2 = AF · AF = (13u + 23v)2📐 אורך וקטור|a|2 = a · a
= (13)2u2 + 2 · 13 · 23 u·v + (23)2v2📐 נוסחת הכפל המקוצר(a + b)2 = a2 + 2a·b + b2
= 19 · 36 + 49 · (−18) + 49 · 36
= 4 − 8 + 16 = 12
|AF| = √12 = √4 · 3 = 2√3 ≈ 3.46
✅ פתרון סופי: AF = 2√3 ≈ 3.46
סעיף ד (2) – שטח המשולש EAF
בסעיף ג (2) הוכחנו שהזווית EAF ישרה, ולכן AE ו־AF הם הניצבים של המשולש. חסר לנו האורך של AE:
|AE|2 = (12u + 12w)2📐 אורך וקטור|a|2 = a · a
= (12)2u2 + 2 · 12 · 12 u·w + (12)2w2📐 נוסחת הכפל המקוצר(a + b)2 = a2 + 2a·b + b2
= 14 · 36 + 12 · 0 + 14 · 64
כאן הצבנו w2 = 82 = 64.
וגם u·w = 0 (AS מאונך ל־AB).
= 9 + 0 + 16 = 25
|AE| = √25 = 5
עכשיו שטח משולש ישר זווית – חצי מכפלת הניצבים:
SEAF = 12 · 5 · 2√3📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
SEAF = 5√3 ≈ 8.66
✅ פתרון סופי: SEAF = 5√3 ≈ 8.66 יחידות שטח
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | BC = −u + v BS = −u + w AE = 12u + 12w AF = 13u + 23v |
|---|---|
| סעיף ב | V = 24√3 ≈ 41.57 |
| סעיף ג (1) | u · v = −18 |
| סעיף ג (2) | AE · AF = 0 ← מאונכים |
| סעיף ד (1) | AF = 2√3 ≈ 3.46 |
| סעיף ד (2) | S = 5√3 ≈ 8.66 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2026, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ שבסיסה ABCD הוא מקבילית. הנקודה M היא אמצע המקצוע C′D′, והנקודה P מקיימת AP = 34AA′.
נסמן: AB = u , AD = v , AA′ = w.
א. הביעו באמצעות u , v ו־w את הווקטורים CM ו־PM.
נתון: ∢DAB = 60 מעלות, |v| = 10 , |u| = 8.
ב. מצאו את הערך של כל אחת מן המכפלות הסקלריות האלה: u·w , v·w , u·v.
נתון: נפח המנסרה הוא 480√3.
ג. מצאו את הערך של |w|.
ד. הוכיחו כי PM מאונך ל־CM.
ה. (1) הראו כי |PM| = √165. (2) חשבו את שטח המשולש PMC.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הבעת הווקטורים CM ו־PM
המנסרה לפי קנה מידה (u = 8 , v = 10 , w = 12 , זווית 60 מעלות בבסיס). בירוק: CM, בסגול: PM. קווים מקווקווים – מקצועות נסתרים.
מה ידוע במנסרה: כל המקצועות הצדדיים שווים ומקבילים, ולכן CC′ = AA′ = w. הבסיס העליון A′B′C′D′ הוא העתק של הבסיס התחתון, ולכן A′D′ = AD = v ו־D′C′ = AB = u (במקבילית צלעות נגדיות שוות ומקבילות).
הווקטור CM: הולכים מ־C למעלה ל־C′ ואז לאמצע M:
CM = CC′ + C′M📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
M אמצע C′D′, ולכן C′M = 12C′D′. הכיוון מ־C′ ל־D′ הפוך לכיוון של u, ולכן C′D′ = −u:
C′M = 12 · (−u) = −12u
CM = w − 12u
הווקטור PM: הולכים מ־P למעלה ל־A′, משם ל־D′ ומשם לאמצע M:
PM = PA′ + A′D′ + D′M📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
AP = 34w, ולכן הקטע שנשאר עד A′ הוא רבע מהמקצוע:
PA′ = w − 34w = 14w
A′D′ = v
D′M = 12D′C′ = 12u
PM = 12u + v + 14w
✅ פתרון סופי: CM = w − 12u , PM = 12u + v + 14w
סעיף ב – המכפלות הסקלריות
המנסרה ישרה, ולכן המקצוע הצדדי AA′ מאונך למישור הבסיס, כלומר מאונך לכל ישר בבסיס – גם ל־AB וגם ל־AD.
w ⊥ u ⟹ u·w = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a·b = 0
w ⊥ v ⟹ v·w = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a·b = 0
הזווית בין u ל־v היא ∢DAB = 60 מעלות:
u·v = |u|·|v|·cos60📐 מכפלה סקלריתa·b = |a|·|b|·cos(הזווית)
u·v = 8 · 10 · 12 = 40
✅ פתרון סופי: u·w = 0 , v·w = 0 , u·v = 40
סעיף ג – אורך המקצוע הצדדי
שטח הבסיס – מקבילית שצלעותיה |u| = 8 ו־|v| = 10 והזווית ביניהן 60 מעלות:
Sבסיס = 8 · 10 · sin60📐 שטח מקביליתS = a · b · sin(הזווית ביניהן)
sin60 = √32 Sבסיס = 80 · √32 = 40√3
המנסרה ישרה, ולכן הגובה שלה הוא אורך המקצוע הצדדי: h = |w|.
480√3 = 40√3 · |w|📐 נפח מנסרהV = Sבסיס · h
מחלקים את שני האגפים ב־40√3:
|w| = 480√340√3 = 12
✅ פתרון סופי: |w| = 12
סעיף ד – הוכחה ש־PM מאונך ל־CM
נראה שהמכפלה הסקלרית PM·CM שווה 0. נציב את הביטויים מסעיף א ונכפול כל איבר בכל איבר:
PM·CM = (12u + v + 14w) ·(w − 12u)
= 12u·w − 14u·u + v·w − 12v·u + 14w·w − 18w·u
מציבים את מה שמצאנו: u·w = 0 , v·w = 0 , u·v = 40, ואת הריבועים:
u·u = |u|2 = 82 = 64 w·w = |w|2 = 122 = 144📐 אורך וקטור|a|2 = a·a
= 12·0 − 14·64 + 0 − 12·40 + 14·144 − 18·0
= 0 − 16 + 0 − 20 + 36 − 0 = 0
PM·CM = 0 ⟹ PM ⊥ CM📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a·b = 0
✅ פתרון סופי: הוכחנו: PM·CM = 0 ולכן PM ⊥ CM
סעיף ה – אורך PM ושטח המשולש PMC
(1) אורך PM – מעלים בריבוע (כופלים את הווקטור בעצמו):
|PM|2 = (12u + v + 14w) ·(12u + v + 14w)📐 אורך וקטור|a|2 = a·a
= 14|u|2 + |v|2 + 116|w|2 + 2·12u·v + 2·18u·w + 2·14v·w
מציבים: |u|2 = 64 , |v|2 = 100 , |w|2 = 144 , u·v = 40 והמכפלות עם w שוות 0:
= 644 + 100 + 14416 + 40 + 0 + 0
= 16 + 100 + 9 + 40 = 165
|PM| = √165 ✓ (כנדרש)
(2) בסעיף ד הוכחנו שהזווית ∢PMC ישרה, ולכן PM ו־CM הם הניצבים במשולש PMC. נחשב את אורך CM:
|CM|2 = (w − 12u)·(w − 12u)📐 אורך וקטור|a|2 = a·a
= |w|2 − 2·12u·w + 14|u|2
= 144 − 0 + 644 = 144 + 16 = 160
|CM| = √160
המשולש PMC (בתכלת) במנסרה, לפי קנה מידה. הזווית ב־M ישרה.
SPMC = √165 · √1602📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
√165 · √160 = √26,400 = √(400 · 66) = 20√66
SPMC = 20√662 = 10√66 ≈ 81.24
✅ פתרון סופי: |PM| = √165 , SPMC = 10√66 ≈ 81.24 יחידות שטח
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | CM = w − 12u PM = 12u + v + 14w |
|---|---|
| סעיף ב | u·w = 0 v·w = 0 u·v = 40 |
| סעיף ג | |w| = 12 |
| סעיף ד | הוכחה: PM·CM = 0 |
| סעיף ה | |PM| = √165 S = 10√66 ≈ 81.24 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת SABC. נסמן: AB = u , AC = v , AS = w. הנקודה E נמצאת על המקצוע SB, והנקודה F נמצאת על המקצוע SC. נתון: SE = 34SB , SF = 34SC.
א. הביעו באמצעות u , v ו־w את הווקטורים SE , BC ו־SF.
ב. (1) הביעו באמצעות u ו־v את הווקטור EF. (2) הסבירו מדוע EF מקביל ל־BC.
נתון: B(1 , −1 , 3) , C(13 , 15 , 3).
ג. מצאו את ההצגה האלגברית של הווקטור BC ושל הווקטור EF.
נתון: E(5 , 1 , 6).
ד. מצאו את שיעורי הנקודה F.
נתון: A(4 , 12 , 3).
ה. (1) מצאו את גודל הזווית EAF. (2) חשבו את שטח המשולש EAF.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הבעת SE , BC , SF
הפירמידה לפי הנקודות האמיתיות של השאלה: A(4,12,3), B(1,−1,3), C(13,15,3), והקודקוד S(17,7,15) שמתקבל מהנתונים. בירוק: EF. קו מקווקו – מקצוע נסתר.
SB: הולכים מ־S ל־A ומשם ל־B. הכיוון מ־S ל־A הפוך ל־w:
SB = SA + AB = −w + u = u − w📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
SE = 34SB = 34(u − w)
BC = BA + AC = −u + v📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
BC = v − u
SC = SA + AC = v − w📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
SF = 34SC = 34(v − w)
✅ פתרון סופי: SE = 34u − 34w , BC = v − u , SF = 34v − 34w
סעיף ב – הווקטור EF ולמה הוא מקביל ל־BC
(1) הולכים מ־E חזרה ל־S ומשם ל־F:
EF = ES + SF = −SE + SF📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
= −34(u − w) + 34(v − w)
= −34u + 34w + 34v − 34w
האיברים עם w מתקזזים (34w − 34w = 0):
EF = 34v − 34u = 34(v − u)
(2) מסעיף א: BC = v − u, ולכן:
EF = 34BC📐 וקטורים מקביליםa = k·b ⟹ a ∥ b
הווקטור EF הוא כפולה של BC במספר, ולכן הם באותו כיוון ו־EF ∥ BC.
✅ פתרון סופי: EF = 34v − 34u ; EF = 34BC ⟸ EF ∥ BC
סעיף ג – ההצגה האלגברית של BC ו־EF
BC = C − B = (13 − 1 , 15 − (−1) , 3 − 3)📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
BC = (12 , 16 , 0)
EF = 34BC = 34(12 , 16 , 0)📐 כפל וקטור במספרk(x , y , z) = (kx , ky , kz)
34·12 = 9 34·16 = 12 34·0 = 0
EF = (9 , 12 , 0)
✅ פתרון סופי: BC = (12 , 16 , 0) , EF = (9 , 12 , 0)
סעיף ד – שיעורי F
F = E + EF📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
F = (5 + 9 , 1 + 12 , 6 + 0) = (14 , 13 , 6)
✅ פתרון סופי: F(14 , 13 , 6)
סעיף ה – הזווית EAF ושטח המשולש EAF
(1) הזווית EAF היא הזווית בין הווקטורים AE ו־AF:
AE = E − A = (5 − 4 , 1 − 12 , 6 − 3) = (1 , −11 , 3)📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
AF = F − A = (14 − 4 , 13 − 12 , 6 − 3) = (10 , 1 , 3)📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
AE·AF = 1·10 + (−11)·1 + 3·3 = 10 − 11 + 9 = 8📐 מכפלה סקלרית (רכיבים)(x1,y1,z1)·(x2,y2,z2) =x1x2 + y1y2 + z1z2
|AE| = √(12 + (−11)2 + 32) = √(1 + 121 + 9) = √131📐 אורך וקטור|(x,y,z)| = √(x2 + y2 + z2)
|AF| = √(102 + 12 + 32) = √(100 + 1 + 9) = √110📐 אורך וקטור|(x,y,z)| = √(x2 + y2 + z2)
cos(∢EAF) = 8√131 · √110 = 8√14,410 ≈ 0.06664📐 זווית בין וקטוריםcos(הזווית) = a·b|a|·|b|
∢EAF ≈ 86.18 מעלות
המשולש EAF (בתכלת) בתוך הפירמידה, לפי הקואורדינטות. הקשת מסמנת את הזווית ב־A.
(2) שטח המשולש לפי שתי צלעות והזווית ביניהן:
S = 12 · √131 · √110 · sin86.18📐 שטח משולשS = 12·a·b·sin(הזווית)
√131 ≈ 11.446 √110 ≈ 10.488 sin86.18 ≈ 0.99778
S ≈ 0.5 · 11.446 · 10.488 · 0.99778 ≈ 59.89
✅ פתרון סופי: (1) ∢EAF ≈ 86.18 מעלות
(2) S ≈ 59.89 יחידות שטח
(2) S ≈ 59.89 יחידות שטח
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | SE = 34(u − w) BC = v − u SF = 34(v − w) |
|---|---|
| סעיף ב | EF = 34(v − u) EF = 34BC ⟸ מקבילים |
| סעיף ג | (12 , 16 , 0) (9 , 12 , 0) |
| סעיף ד | F(14 , 13 , 6) |
| סעיף ה | 86.18 מעלות S ≈ 59.89 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם פירמידה ABCE. הנקודה D היא אמצע המקצוע BC. הנקודה M נמצאת על ED כך ש־EM = 23ED. המקצוע AE הוא גובה בפירמידה. נתון: הזווית BAC היא 90 מעלות.
נסמן: AB = u , AC = v , AE = w.
א. הביעו באמצעות u , v ו־w את הווקטורים BC , ED ו־AM.
נתון: |u| = |v| = |w| = 12.
ב. (1) הוכיחו כי AM מאונך ל־ED. (2) הוכיחו כי AM מאונך למישור BEC.
נתון: A(0 , 0 , 0). הקודקוד B נמצא על החלק החיובי של ציר ה־x, הקודקוד C נמצא על החלק החיובי של ציר ה־y, והקודקוד E נמצא על החלק החיובי של ציר ה־z.
ג. (1) מה הם שיעורי הנקודות B , C ו־E? (2) מצאו את שיעורי הנקודות D ו־M.
ד. חשבו את שטח המשולש AMD.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הבעת הווקטורים
הווקטור BC: מ־B חוזרים ל־A ומשם הולכים ל־C:
BC = BA + AC = −u + v📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ
BA = −AB = −u📐 וקטור נגדיYX = −XY
הווקטור ED: מ־E יורדים ל־A, ומשם הולכים ל־D:
ED = EA + AD📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ
EA = −w📐 וקטור נגדיYX = −XY
D אמצע BC, ולכן AD הוא חצי מסכום הווקטורים לקצוות:
AD = 12(u + v) = 12u + 12v📐 אמצע קטע (וקטורים)AD = 12(AB + AC)
ED = 12u + 12v − w
הווקטור AM: מ־A עולים ל־E ומשם 23 מהדרך אל D:
AM = AE + EM = w + 23ED📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ
= w + 23(12u + 12v − w)📐 כפל וקטור במספרk(a + b) = ka + kb
= w + 13u + 13v − 23w
מכנסים את האיברים עם w: w − 23w = 13w
AM = 13u + 13v + 13w
✅ פתרון סופי: BC = −u + v , ED = 12u + 12v − w , AM = 13u + 13v + 13w
סעיף ב (1) – AM מאונך ל־ED
AE גובה, ולכן w מאונך לבסיס – גם ל־u וגם ל־v. הזווית BAC ישרה, ולכן u מאונך ל־v:
u · v = 0 , u · w = 0 , v · w = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
u2 = v2 = w2 = 122 = 144📐 אורך וקטור|a|2 = a · a = a2
AM · ED = 13(u + v + w) · (12u + 12v − w)📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
פותחים סוגריים. כל מכפלה של שני וקטורים שונים היא 0, ולכן נשארים רק הריבועים:
= 13(12u2 + 12v2 − w2)📐 פתיחת סוגריים(a + b + c)(d + e + f)= ad + ae + af + bd + …
= 13(12 · 144 + 12 · 144 − 144)
= 13(72 + 72 − 144) = 13 · 0 = 0
✅ פתרון סופי: המכפלה הסקלרית 0, ולכן AM ⊥ ED
סעיף ב (2) – AM מאונך למישור BEC
מספיק להראות ש־AM מאונך לשני ישרים נחתכים במישור BEC. הישר ED כבר נבדק בסעיף ב (1). נבדוק גם את BC:
AM · BC = 13(u + v + w) · (−u + v)📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
= 13(−u2 + v2)📐 פתיחת סוגריים(a + b + c)(d + e)= ad + ae + bd + be + cd + ce
= 13(−144 + 144) = 0
ED ו־BC נמצאים במישור BEC ונחתכים בנקודה D. AM מאונך לשניהם.
📐 ישר מאונך למישורישר המאונך לשני ישרים נחתכים במישור – מאונך למישור✅ פתרון סופי: AM מאונך למישור BEC
סעיף ג – שיעורי הנקודות
A בראשית, והמקצועות AB , AC , AE באורך 12 על החלקים החיוביים של הצירים:
B(12 , 0 , 0) , C(0 , 12 , 0) , E(0 , 0 , 12)
D אמצע BC:
D(12 + 02 , 0 + 122 , 0 + 02) = D(6 , 6 , 0)📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22 , z1 + z22)
את M מקבלים מ־AM – כל וקטור בכיוון ציר באורך 12:
u = (12 , 0 , 0) , v = (0 , 12 , 0) , w = (0 , 0 , 12)
AM = 13(12 , 12 , 12) = (4 , 4 , 4)📐 כפל וקטור במספרk(a + b) = ka + kb
M = A + AM = (0 + 4 , 0 + 4 , 0 + 4) = (4 , 4 , 4)
בדיקה: גם בדרך שנייה: EM = 23ED ← M = E + 23(D − E) = (0 , 0 , 12) + 23(6 , 6 , −12) = (4 , 4 , 4) ✓
✅ פתרון סופי: B(12 , 0 , 0) , C(0 , 12 , 0) , E(0 , 0 , 12) ; D(6 , 6 , 0) , M(4 , 4 , 4)
סעיף ד – שטח המשולש AMD
M נמצאת על ED, ו־AM מאונך ל־ED (סעיף ב (1)). לכן הזווית AMD ישרה, והמשולש AMD ישר זווית ב־M.
AM = |(4 , 4 , 4)| = √(16 + 16 + 16) = √48 = 4√3 ≈ 6.93📐 אורך וקטור במרחב|(x , y , z)| = √(x2 + y2 + z2)
MD = D − M = (6 − 4 , 6 − 4 , 0 − 4) = (2 , 2 , −4)📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
MD = √(4 + 4 + 16) = √24 = 2√6 ≈ 4.90📐 אורך וקטור במרחב|(x , y , z)| = √(x2 + y2 + z2)
S = AM · MD2 = 4√3 · 2√62📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
√3 · √6 = √18 = 3√2📐 כפל שורשים√a · √b = √(a · b)
S = 8 · 3√22 = 12√2 ≈ 16.97
בדיקה: ב־AMD: AM2 + MD2 = 48 + 24 = 72 , AD2 = 62 + 62 = 72 ✓📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
✅ פתרון סופי: S = 12√2 ≈ 16.97 יחידות שטח
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | BC = −u + v ED = 12u + 12v − w AM = 13(u + v + w) |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה (מכפלה סקלרית 0) |
| סעיף ג | B(12,0,0) , C(0,12,0) , E(0,0,12) D(6,6,0) , M(4,4,4) |
| סעיף ד | 12√2 ≈ 16.97 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2025, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′. הנקודה M היא מפגש האלכסונים בפאה BCC′B′. נקודה P נמצאת על המקצוע DD′ ומקיימת DP = 13 DD′.
נסמן: AB = u , BC = v , AA′ = w
א. הביעו את הווקטורים AP ו־MP באמצעות u, v ו־w.
נתון: |v| = 8 , |w| = |u| = 24.
ב. (1) הוכיחו כי הווקטור AP מאונך לווקטור MP. (2) חשבו את שטח המשולש APM.
נתון: D(0, 0, 0). הקודקוד A נמצא על החלק החיובי של ציר ה־x, הקודקוד C נמצא על החלק החיובי של ציר ה־y והקודקוד D′ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־z.
ג. (1) מצאו את שיעורי הקודקודים C′ , B , C. (2) מצאו את שיעורי הנקודה M.
ד. מצאו את גודל הזווית PMB.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הבעת הווקטורים
בתיבה המקצועות המקבילים שווים ובאותו כיוון: AD = BC = v, DD′ = CC′ = AA′ = w. בסגול בסרטוט: AP ו־MP.
הווקטור AP: מ־A ל־D ואז מ־D ל־P.
AP = AD + DP📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)XY = XZ + ZY
DP = 13DD′ = 13w📐 נתון: חלוקת קטעDP = 13DD′
AP = v + 13w
הווקטור AM: M היא מפגש האלכסונים של המלבן BCC′B′, ולכן היא אמצע האלכסון BC′.
BC′ = BC + CC′ = v + w📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)XY = XZ + ZY
BM = 12BC′ = 12v + 12w📐 אמצע קטע (אלכסוני מלבן חוצים זה את זה)BM = 12BC′
AM = AB + BM = u + 12v + 12w📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)XY = XZ + ZY
הווקטור MP: מ־M ל־A ואז מ־A ל־P.
MP = MA + AP = −AM + AP📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)XY = XZ + ZY
MP = −u − 12v − 12w + v + 13w📐 וקטור נגדיMA = −AM
מחשבים את המקדמים: של v: −12 + 1 = 12; של w: −12 + 13 = −36 + 26 = −16.
MP = −u + 12v − 16w
✅ פתרון סופי: AP = v + 13w
MP = −u + 12v − 16w
MP = −u + 12v − 16w
סעיף ב (1) – הוכחה ש־AP מאונך ל־MP
בתיבה כל שלושת המקצועות היוצאים מקודקוד מאונכים זה לזה, ולכן:
u·v = 0 , u·w = 0 , v·w = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
v·v = 82 = 64 , w·w = 242 = 576📐 מכפלה של וקטור בעצמוa · a = |a|2
AP · MP = (v + 13w) · (−u + 12v − 16w)📐 פתיחת סוגריים(a + b)(c + d + e) = ac + ad + ae + bc + bd + be
= −v·u + 12v·v − 16v·w − 13w·u + 16w·v − 118w·w
מציבים: כל המכפלות של וקטורים שונים הן 0:
= 0 + 12 · 64 − 0 − 0 + 0 − 118 · 576
= 32 − 32 = 0
AP · MP = 0📐 וקטורים מאונכיםa · b = 0 ⟸ a ⊥ b
✅ פתרון סופי: המכפלה הסקלרית היא 0, ולכן AP ⊥ MP
סעיף ב (2) – שטח המשולש APM
הזווית APM ישרה (סעיף ב1), ולכן AP ו־MP הם הניצבים. נחשב את אורכם:
|AP|2 = (v + 13w)2📐 אורך וקטור|a|2 = a · a
= v2 + 2 · 13 v·w + 19w2📐 נוסחת הכפל המקוצר(a + b)2 = a2 + 2a·b + b2
= 64 + 0 + 5769 = 64 + 64 = 128
|AP| = √128 = √64 · 2 = 8√2
|MP|2 = (−u + 12v − 16w)2📐 אורך וקטור|a|2 = a · a
כשהווקטורים מאונכים זה לזה, כל המכפלות המעורבות הן 0, ונשארים רק הריבועים:
= u2 + 14v2 + 136w2📐 ריבוע של סכום שלושה(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
= 576 + 644 + 57636 = 576 + 16 + 16 = 608
|MP| = √608 = √16 · 38 = 4√38 ≈ 24.66
SAPM = 12 · 8√2 · 4√38📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
= 16√76 = 16 · 2√19 = 32√19 ≈ 139.48📐 כפל שורשים√(a · b) = √a · √b
✅ פתרון סופי: SAPM = 32√19 ≈ 139.48 יחידות שטח
סעיף ג (1) – שיעורי C′ , B , C
D בראשית. אורכי המקצועות: DA = BC = 8, DC = AB = 24, DD′ = AA′ = 24.
A על החלק החיובי של ציר ה־x במרחק 8 מ־D, C על ציר ה־y במרחק 24, ו־D′ על ציר ה־z במרחק 24:
A(8, 0, 0) , C(0, 24, 0) , D′(0, 0, 24)
B: מ־A זזים כמו מ־D ל־C (24 בכיוון ציר ה־y):
B = A + DC = (8, 0, 0) + (0, 24, 0) = (8, 24, 0)📐 חיבור וקטורים בשיעורים(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2)
C′: מ־C עולים 24 בכיוון ציר ה־z:
C′ = C + DD′ = (0, 24, 0) + (0, 0, 24) = (0, 24, 24)📐 חיבור וקטורים בשיעורים(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2)
✅ פתרון סופי: C(0, 24, 0)
B(8, 24, 0)
C′(0, 24, 24)
B(8, 24, 0)
C′(0, 24, 24)
סעיף ג (2) – שיעורי M
M אמצע האלכסון BC′ (אלכסוני מלבן חוצים זה את זה):
M = (8 + 02, 24 + 242, 0 + 242)📐 אמצע קטע במרחבM = (x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22)
M = (4, 24, 12)
✅ פתרון סופי: M(4, 24, 12)
סעיף ד – גודל הזווית PMB
הזווית PMB היא הזווית בין הווקטורים MP ו־MB (שניהם יוצאים מ־M).
הנקודה P: DP = 13 · 24 = 8 על ציר ה־z, ולכן P(0, 0, 8).
MP = P − M = (0 − 4, 0 − 24, 8 − 12) = (−4, −24, −4)📐 וקטור בין שתי נקודותMP = P − M
MB = B − M = (8 − 4, 24 − 24, 0 − 12) = (4, 0, −12)📐 וקטור בין שתי נקודותMB = B − M
MP · MB = (−4) · 4 + (−24) · 0 + (−4) · (−12) = −16 + 0 + 48 = 32📐 מכפלה סקלרית בשיעורים(a1, a2, a3) · (b1, b2, b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3
|MP| = √(−4)2 + (−24)2 + (−4)2 = √16 + 576 + 16 = √608📐 אורך וקטור|(a, b, c)| = √(a2 + b2 + c2)
|MB| = √42 + 02 + (−12)2 = √16 + 0 + 144 = √160📐 אורך וקטור|(a, b, c)| = √(a2 + b2 + c2)
cos∢PMB = 32√608 · √160 = 32311.90 ≈ 0.1026📐 זווית בין וקטוריםcos∢ = a · b|a| · |b|
∢PMB ≈ 84.11 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢PMB ≈ 84.11 מעלות
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | AP = v + 13w MP = −u + 12v − 16w |
|---|---|
| סעיף ב (1) | AP · MP = 0 ← מאונכים |
| סעיף ב (2) | S = 32√19 ≈ 139.48 |
| סעיף ג (1) | C(0, 24, 0) B(8, 24, 0) C′(0, 24, 24) |
| סעיף ג (2) | M(4, 24, 12) |
| סעיף ד | ≈ 84.11 מעלות |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם פירמידה ABCDE שבסיסה ABCD הוא ריבוע. הנקודה M נמצאת על המקצוע EC כך שמתקיים CM = 23CE. AE מאונך לבסיס הפירמידה. נסמן: AB = v , AD = u , AE = w. נתון: |w| = |u|.
א. (1) הביעו את הווקטורים AM , CE באמצעות u , v ו־w. (2) הוכיחו כי AM מאונך ל־CE.
נתון: האורך של צלע הריבוע ABCD הוא 6, A(0 , 0 , 0). הקודקוד B נמצא על החלק החיובי של ציר ה־x, הקודקוד D על החלק החיובי של ציר ה־y, והקודקוד E על החלק החיובי של ציר ה־z.
ב. (1) מצאו את שיעורי הקודקודים E ו־C. (2) מצאו את שיעורי הנקודה M.
ג. חשבו את שטח המשולש AMC.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הבעת CE ו־AM, והוכחת ניצבות
הפירמידה לפי קנה מידה (צלע 6, גובה 6). בירוק: CE, בסגול: AM, והזווית הישרה ב־M.
(1) בריבוע BC = AD = u, ולכן AC = AB + BC = v + u.
CE = CA + AE = −(u + v) + w📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
CE = −u − v + w
AM = AC + CM = u + v + 23(−u − v + w)📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
= u + v − 23u − 23v + 23w
AM = 13u + 13v + 23w
(2) מה ידוע: בריבוע u ⊥ v; AE מאונך לבסיס, ולכן w ⊥ u ו־w ⊥ v. לכן כל המכפלות המעורבות שוות 0:
u·v = 0 u·w = 0 v·w = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a·b = 0
צלעות הריבוע שוות, ו־|w| = |u|. נסמן את האורך המשותף s: |u| = |v| = |w| = s.
AM·CE = (13u + 13v + 23w) ·(−u − v + w)
כופלים כל איבר בכל איבר – נשארים רק הריבועים (כל השאר 0):
= −13|u|2 − 13|v|2 + 23|w|2📐 אורך וקטור|a|2 = a·a
= −13s2 − 13s2 + 23s2 = 0
AM·CE = 0 ⟹ AM ⊥ CE📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a·b = 0
✅ פתרון סופי: (1) CE = −u − v + w , AM = 13u + 13v + 23w
(2) הוכחנו AM·CE = 0
(2) הוכחנו AM·CE = 0
סעיף ב – שיעורי E , C , M
(1) B על ציר ה־x במרחק 6 מ־A: B(6 , 0 , 0). D על ציר ה־y: D(0 , 6 , 0). |w| = |u| = 6 ו־E על ציר ה־z:
E(0 , 0 , 6)
C = A + AB + AD = (0,0,0) + (6,0,0) + (0,6,0)📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
C(6 , 6 , 0)
(2) CM = 23CE:
CE = E − C = (0 − 6 , 0 − 6 , 6 − 0) = (−6 , −6 , 6)📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
CM = 23(−6 , −6 , 6) = (−4 , −4 , 4)
M = C + CM = (6 − 4 , 6 − 4 , 0 + 4) = (2 , 2 , 4)
✅ פתרון סופי: (1) E(0 , 0 , 6) , C(6 , 6 , 0)
(2) M(2 , 2 , 4)
(2) M(2 , 2 , 4)
סעיף ג – שטח המשולש AMC
בסעיף א הוכחנו AM ⊥ CE, ו־M נמצאת על CE, ולכן AM ⊥ MC: המשולש AMC ישר זווית ב־M, והניצבים הם AM ו־MC.
המשולש AMC (בתכלת) לפי קנה מידה; הזווית ב־M ישרה.
AM = (2 , 2 , 4) |AM| = √(4 + 4 + 16) = √24📐 אורך וקטור|(x,y,z)| = √(x2 + y2 + z2)
MC = (6 − 2 , 6 − 2 , 0 − 4) = (4 , 4 , −4) |MC| = √(16 + 16 + 16) = √48📐 אורך וקטור|(x,y,z)| = √(x2 + y2 + z2)
SAMC = √24 · √482📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
√24 · √48 = √1,152 = √(576 · 2) = 24√2
SAMC = 24√22 = 12√2 ≈ 16.97
✅ פתרון סופי: SAMC = 12√2 ≈ 16.97 יחידות שטח
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | CE = −u − v + w AM = 13u + 13v + 23w הוכחה: AM·CE = 0 |
|---|---|
| סעיף ב | E(0 , 0 , 6) C(6 , 6 , 0) M(2 , 2 , 4) |
| סעיף ג | 12√2 ≈ 16.97 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD. הבסיס ABCD הוא ריבוע שאורך צלעו הוא 4.
נסמן: AB = u , AD = v , AS = w.
א. הביעו באמצעות u , v ו־w, אם יש צורך, את הווקטור SD.
נתון: SD · AD = 0.
ב. מצאו את הערך של w · v.
נתון: |SC| = √17 , w · u = w · v.
ג. מצאו את הערך של |w|.
ד. (1) הוכיחו כי SC מאונך ל־BC ול־DC. (2) מצאו את נפח הפירמידה SABCD.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הווקטור SD
הולכים מ־S ל־D דרך A:
SD = SA + AD📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ
SA = −AS = −w📐 וקטור נגדיYX = −XY
SD = −w + v = v − w
✅ פתרון סופי: SD = v − w
סעיף ב – הערך של w · v
SD · AD = 0
(v − w) · v = 0
פותחים סוגריים:
v · v − w · v = 0
v · v = v2 = |v|2 = 42 = 16📐 ריבוע של וקטורa2 = |a|2
(אורך v הוא אורך צלע הריבוע AD = 4.)
16 − w · v = 0 w · v = 16
✅ פתרון סופי: w · v = 16
סעיף ג – האורך של w
מבטאים את SC: מ־S ל־A, ומ־A ל־C (אלכסון הריבוע):
SC = SA + AB + BC📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ
בריבוע BC = AD = v (צלעות נגדיות שוות ומקבילות), ולכן:
SC = −w + u + v
מעלים בריבוע:
|SC|2 = (u + v − w)2📐 ריבוע של וקטורa2 = |a|2
= u2 + v2 + w2 + 2u·v − 2u·w − 2v·w📐 ריבוע של סכום שלושה וקטורים(a + b + c)2= a2 + b2 + c2+ 2a·b + 2a·c + 2b·c
מה ידוע לנו:
u2 = 42 = 16 , v2 = 16
u · v = 0 (בריבוע AB ⊥ AD)📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
v · w = 16 (סעיף ב) , u · w = v · w = 16 (נתון)
(√17)2 = 16 + 16 + |w|2 + 0 − 2 · 16 − 2 · 16
17 = 32 + |w|2 − 64
17 = |w|2 − 32
|w|2 = 49 |w| = 7 (אורך הוא חיובי)
✅ פתרון סופי: |w| = 7
סעיף ד (1) – SC מאונך ל־BC ול־DC
מספיק להראות שהמכפלה הסקלרית שווה 0. בריבוע BC = v , DC = u.
SC · BC = (u + v − w) · v📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
= u·v + v2 − w·v = 0 + 16 − 16 = 0
SC · DC = (u + v − w) · u
= u2 + v·u − w·u = 16 + 0 − 16 = 0
שתי המכפלות שוות 0, ולכן SC ⊥ BC ו־SC ⊥ DC. ✓
✅ פתרון סופי: הוכח: SC ⊥ BC , SC ⊥ DC
סעיף ד (2) – נפח הפירמידה
SC מאונך לשני ישרים נחתכים בבסיס (BC ו־DC), ולכן הוא מאונך למישור הבסיס – SC הוא הגובה של הפירמידה.
📐 ישר מאונך למישורישר שמאונך לשני ישרים נחתכים במישור – מאונך לכל המישורh = |SC| = √17
Sבסיס = 4 · 4 = 16
V = 16 · √173 ≈ 16 · 4.1233 ≈ 21.99📐 נפח פירמידהV = Sבסיס · h3
בדיקה: SC מאונך לבסיס, ולכן המשולש ACS ישר־זווית ב־C.
AC2 = 42 + 42 = 32📐 משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
|w|2 = AC2 + SC2 = 32 + 17 = 49 ✓📐 משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
✅ פתרון סופי: V = 16√173 ≈ 21.99
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | SD = v − w |
|---|---|
| סעיף ב | w · v = 16 |
| סעיף ג | |w| = 7 |
| סעיף ד (1) | הוכחה |
| סעיף ד (2) | 16√173 ≈ 21.99 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2024, שאלה 2
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת SABCD שבסיסה ABCD הוא מעוין. הנקודה E היא אמצע המקצוע SC. AS מאונך לבסיס הפירמידה.
נסמן: AB = u , AD = v , AS = w.
א. הביעו באמצעות u, v ו־w את הווקטורים EB ו־ED.
נתון: ∢BAD = 60 מעלות, |u| = |w|.
ב. הוכיחו כי EB מאונך ל־ED.
נתון: A(0 , 0 , 0) , B(2√3 , 2 , 0). הקודקוד D נמצא על החלק החיובי של ציר ה־y. שיעור ה־z של הקודקוד S הוא חיובי.
ג. (1) מצאו את אורך המקצוע AB ואת שיעורי הקודקוד S. (2) חשבו את נפח הפירמידה SABCD.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הבעת EB ו־ED
נבנה מסלולים מנקודה לנקודה דרך וקטורים שאנחנו מכירים. קודם האלכסון AC: במעוין הצלעות הנגדיות שוות ומקבילות, לכן BC = AD = v.
AC = AB + BC = u + v📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
עכשיו SC – מ־S חוזרים ל־A ואז הולכים ל־C:
SC = SA + AC = −w + u + v📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
E אמצע SC, ולכן SE הוא חצי מ־SC:
SE = 12SC = 12u + 12v − 12w📐 אמצע קטעXM = 12XY כש־M אמצע XY
מכאן AE:
AE = AS + SE = w + 12u + 12v − 12w = 12u + 12v + 12w📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
EB: מ־E חוזרים ל־A ואז הולכים ל־B:
EB = EA + AB = −AE + u📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
EB = −12u − 12v − 12w + u = 12u − 12v − 12w📐 וקטור נגדיXY = −YX
ED: מ־E חוזרים ל־A ואז הולכים ל־D:
ED = −AE + v = −12u − 12v − 12w + v📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
ED = −12u + 12v − 12w📐 כינוס איבריםמכנסים איברים דומים: −12v + v = 12v
✅ פתרון סופי: EB = 12u − 12v − 12w
ED = −12u + 12v − 12w
ED = −12u + 12v − 12w
סעיף ב – הוכחה ש־EB מאונך ל־ED
נסמן |u| = a. במעוין כל הצלעות שוות, ולכן גם |v| = a; ונתון |w| = |u| = a.
המכפלות הסקלריות הבסיסיות:
u · v = a · a · cos 60 = a2 · 12 = 12a2📐 מכפלה סקלריתa · b = |a| · |b| · cos ∢
u · w = 0 , v · w = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
(AS מאונך לבסיס, ולכן מאונך לכל ישר בבסיס – גם ל־AB וגם ל־AD.)
u · u = v · v = w · w = a2📐 ריבוע של וקטורa · a = |a|2
נוציא 12 מכל וקטור:
EB · ED = 12 · 12 · (u − v − w) · (−u + v − w)📐 הוצאת גורם משותףמוציאים גורם משותף מכל סוגריים
פותחים סוגריים – כל איבר מהראשון כפול כל איבר מהשני (9 מכפלות):
u · (−u + v − w) = −a2 + 12a2 − 0📐 פתיחת סוגריים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
−v · (−u + v − w) = 12a2 − a2 + 0
−w · (−u + v − w) = 0 − 0 + a2
מחברים:
−a2 + 12a2 + 12a2 − a2 + a2 = 0
EB · ED = ¼ · 0 = 0
EB ⊥ ED📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
✅ פתרון סופי: הוכחנו: EB · ED = 0 ← EB ⊥ ED
סעיף ג (1) – אורך AB ושיעורי S
AB = B − A = (2√3 , 2 , 0)📐 וקטור בין שתי נקודותXY = Y − X
|AB| = √(2√3)2 + 22 + 02 = √12 + 4 = √16 = 4📐 אורך וקטור|(x , y , z)| = √x2 + y2 + z2
S: הבסיס נמצא במישור z = 0 (שיעור ה־z של A ושל B הוא 0, ו־D על ציר ה־y). AS מאונך לבסיס, ולכן הוא על ציר ה־z: S(0 , 0 , z) עם z > 0.
|AS| = |AB| = 4📐 נתון|w| = |u|
S(0 , 0 , 4)
לחישוב הנפח נצטרך גם את D: הוא על החלק החיובי של ציר ה־y, ובמעוין AD = AB = 4, ולכן D(0 , 4 , 0).
cos ∢BAD = AB · AD|AB| · |AD| = 0 + 8 + 04 · 4 = 12📐 בדיקה: זווית בין וקטוריםa · b = |a| · |b| · cos ∢
וזה מתאים לנתון ∢BAD = 60 מעלות.
✅ פתרון סופי: AB = 4
S(0 , 0 , 4)
S(0 , 0 , 4)
סעיף ג (2) – נפח הפירמידה
שטח הבסיס – מעוין עם צלע 4 וזווית 60 מעלות:
SABCD = 4 · 4 · sin 60 = 16 · √32 = 8√3📐 שטח מקבילית (ומעוין)S = a · b · sin ∢
הגובה הוא AS = 4 (מאונך לבסיס):
V = 13 · 8√3 · 4 = 32√33 ≈ 18.48📐 נפח פירמידהV = 13 · S · h
✅ פתרון סופי: V = 32√33 ≈ 18.48 יחידות נפח
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | EB = 12u − 12v − 12w ED = −12u + 12v − 12w |
|---|---|
| סעיף ב | EB · ED = 0 ← מאונכים |
| סעיף ג (1) | AB = 4 S(0 , 0 , 4) |
| סעיף ג (2) | V = 32√33 ≈ 18.48 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 1
📄 נוסח השאלה
נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מלבן. המקצוע SA מאונך לבסיס הפירמידה. הנקודה E היא אמצע המקצוע SC (ראו סרטוט). נסמן: AB = u , AD = v ו־SA = w.
א. הביעו את הווקטורים SC , EB ו־ED באמצעות u , v ו־w.
נתון: EB מאונך ל־ED, |u| = 4 , |v| = 3.
ב. מצאו את |w|.
נתון: D(0 , 0 , 0), הצלע AD מונחת על החלק החיובי של ציר ה־x, הצלע DC מונחת על החלק החיובי של ציר ה־y, שיעור ה־z של הנקודה S הוא חיובי.
ג. מצאו את שיעורי הנקודות A , C ו־S.
ד. חשבו את שטח המשולש DEB.
✏️ פתרון שאלה 1
סעיף א – הבעת SC , EB , ED
הפירמידה לפי קנה מידה (4 על 3, גובה 5). בסגול EB ו־ED, והזווית הישרה ב־E.
במלבן BC = AD = v ו־DC = AB = u.
SC = SA + AB + BC = w + u + v📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
E אמצע SC, ולכן EC = 12SC:
EB = EC + CB = 12(u + v + w) − v📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
EB = 12u − 12v + 12w
ED = EC + CD = 12(u + v + w) − u📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
ED = −12u + 12v + 12w
✅ פתרון סופי: SC = u + v + w
EB = 12u − 12v + 12w
ED = −12u + 12v + 12w
EB = 12u − 12v + 12w
ED = −12u + 12v + 12w
סעיף ב – האורך של w
מה ידוע: במלבן u ⊥ v; SA מאונך לבסיס, ולכן w ⊥ u ו־w ⊥ v:
u·v = 0 u·w = 0 v·w = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a·b = 0
EB·ED = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a·b = 0
14(u − v + w) ·(−u + v + w) = 0
כופלים כל איבר בכל איבר – נשארים רק הריבועים:
−|u|2 − |v|2 + |w|2 = 0📐 אורך וקטור|a|2 = a·a
|w|2 = 16 + 9 = 25 |w| = 5
✅ פתרון סופי: |w| = 5
סעיף ג – שיעורי A , C , S
A על ציר ה־x במרחק AD = |v| = 3; C על ציר ה־y במרחק DC = |u| = 4:
A(3 , 0 , 0) C(0 , 4 , 0)
SA מאונך לבסיס (מקביל לציר ה־z), אורכו 5, ו־S מעל הבסיס:
S = A + (0 , 0 , 5) = (3 , 0 , 5)📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
✅ פתרון סופי: A(3 , 0 , 0) , C(0 , 4 , 0) , S(3 , 0 , 5)
סעיף ד – שטח המשולש DEB
נתון EB ⊥ ED – המשולש DEB ישר זווית ב־E.
E = (3 + 02 , 0 + 42 , 5 + 02) = (1.5 , 2 , 2.5)📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22 , z1 + z22)
B = A + DC = (3 , 4 , 0)📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
EB = (1.5 , 2 , −2.5) |EB| = √(2.25 + 4 + 6.25) = √12.5📐 אורך וקטור|(x,y,z)| = √(x2 + y2 + z2)
ED = (−1.5 , −2 , −2.5) |ED| = √12.5📐 אורך וקטור|(x,y,z)| = √(x2 + y2 + z2)
המשולש DEB (בתכלת) לפי קנה מידה; הזווית ב־E ישרה.
SDEB = √12.5 · √12.52 = 12.52 = 6.25📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
✅ פתרון סופי: SDEB = 6.25 יחידות שטח
📌 סיכום התשובות – שאלה 1
| סעיף א | SC = u + v + w EB = 12u − 12v + 12w ED = −12u + 12v + 12w |
|---|---|
| סעיף ב | |w| = 5 |
| סעיף ג | A(3 , 0 , 0) C(0 , 4 , 0) S(3 , 0 , 5) |
| סעיף ד | 6.25 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2023 מועד ב׳, שאלה 1
📄 נוסח השאלה
תיבה ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד D נמצא בראשית הצירים. הקודקודים A , C , D′ נמצאים על החלקים החיוביים של ציר ה־x, של ציר ה־y ושל ציר ה־z בהתאמה (ראו סרטוט). נתון: AD = 2 , DC = 5, נפח התיבה הוא 80.
א. (1) מצאו את שיעורי הקודקוד D′. (2) כתבו את השיעורים של הקודקודים A , B , C , C′.
נתון: הנקודה E נמצאת על המקצוע CC′ ומקיימת CE = 34CC′. הנקודה F היא אמצע המקצוע DD′. הנקודה K היא נקודת החיתוך של אלכסוני הפאה BB′C′C. הנקודה M נמצאת על הפאה AA′D′D ומקיימת: המרובע FEKM הוא מקבילית.
ב. מצאו את שיעורי הנקודות E , F , K.
ג. (1) חשבו את גודל הזווית FEK. (2) חשבו את שטח המקבילית FEKM.
ד. (1) מצאו את שיעורי הנקודה M. (2) הסבירו מדוע הנקודות A , M , F נמצאות על אותו ישר. (3) חשבו פי כמה שטח המקבילית FEKM גדול משטח המשולש AMK.
✏️ פתרון שאלה 1
סעיף א – שיעורי הקודקודים
(1) הגובה של התיבה הוא DD′. מנפח התיבה:
V = AD · DC · DD′ 80 = 2 · 5 · DD′📐 נפח תיבהV = a · b · c
DD′ = 8010 = 8
D′ על ציר ה־z בגובה 8:
D′(0 , 0 , 8)
(2) A על ציר ה־x במרחק 2, C על ציר ה־y במרחק 5; B – הקודקוד הרביעי של הבסיס, ו־C′ נמצא 8 יחידות מעל C:
A(2 , 0 , 0) B(2 , 5 , 0)
C(0 , 5 , 0) C′(0 , 5 , 8)
✅ פתרון סופי: (1) D′(0 , 0 , 8)
(2) A(2 , 0 , 0) , B(2 , 5 , 0) , C(0 , 5 , 0) , C′(0 , 5 , 8)
(2) A(2 , 0 , 0) , B(2 , 5 , 0) , C(0 , 5 , 0) , C′(0 , 5 , 8)
סעיף ב – שיעורי E , F , K
CC′ = (0 , 0 , 8) E = C + 34CC′ = (0 , 5 , 0) + (0 , 0 , 6)📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
E(0 , 5 , 6)
F = (0 + 02 , 0 + 02 , 0 + 82)📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22 , z1 + z22)
F(0 , 0 , 4)
האלכסונים במלבן חוצים זה את זה, ולכן K הוא אמצע האלכסון BC′:
K = (2 + 02 , 5 + 52 , 0 + 82)📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22 , z1 + z22)
K(1 , 5 , 4)
✅ פתרון סופי: E(0 , 5 , 6) , F(0 , 0 , 4) , K(1 , 5 , 4)
סעיף ג – הזווית FEK ושטח המקבילית
התיבה לפי קנה מידה (2 על 5 על 8). המקבילית FEKM בתכלת, והזווית FEK מסומנת.
(1) הזווית FEK היא הזווית בין הווקטורים EF ו־EK:
EF = F − E = (0 , −5 , −2)📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
EK = K − E = (1 , 0 , −2)📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
EF·EK = 0 · 1 + (−5) · 0 + (−2)(−2) = 4📐 מכפלה סקלרית (רכיבים)(x1,y1,z1)·(x2,y2,z2)= x1x2 + y1y2 + z1z2
|EF| = √(0 + 25 + 4) = √29 |EK| = √(1 + 0 + 4) = √5📐 אורך וקטור|(x,y,z)| = √(x2 + y2 + z2)
cos∢FEK = 4√29 · √5 = 4√145 ≈ 0.3322📐 זווית בין וקטוריםcos(הזווית) = a·b|a|·|b|
∢FEK ≈ 70.6 מעלות
(2) שטח מקבילית = מכפלת שתי צלעות סמוכות בסינוס הזווית ביניהן:
sin∢FEK = √(1 − 16145) = √129145
S = √29 · √5 · √129145 = √145 · √129√145 = √129 ≈ 11.36📐 שטח מקביליתS = a · b · sin(הזווית בין הצלעות)
✅ פתרון סופי: (1) ∢FEK ≈ 70.6 מעלות
(2) S = √129 ≈ 11.36
(2) S = √129 ≈ 11.36
סעיף ד – הנקודה M, ישר אחד, ויחס שטחים
(1) במקבילית FEKM הצלעות הנגדיות שוות ומקבילות: FM = EK.
M = F + EK = (0 , 0 , 4) + (1 , 0 , −2) = (1 , 0 , 2)📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
בדיקה: y = 0 – הנקודה על הפאה AA′D′D ✓
(2)
AM = M − A = (−1 , 0 , 2) AF = F − A = (−2 , 0 , 4)📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
AF = 2 · AM📐 וקטורים מקביליםa = t · b ⟸ a ∥ b
שני הווקטורים מקבילים ויוצאים מאותה נקודה A – לכן A , M , F על ישר אחד, ו־M היא אמצע AF.
הישר AF (סגול) עובר דרך M. המשולש AMK והמשולש FMK (ירוק) – אותו בסיס MK.
(3) האלכסון MK מחלק את המקבילית לשני משולשים חופפים, ולכן:
SFMK = 12 · SFEKM
למשולשים AMK ו־FMK יש אותו בסיס MK. M היא אמצע AF, ולכן A ו־F נמצאות באותו מרחק מהישר MK – הגבהים שווים:
SAMK = SFMK = 12 · SFEKM📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
SFEKMSAMK = 2
✅ פתרון סופי: (1) M(1 , 0 , 2)
(2) AF = 2AM ⟸ על ישר אחד
(3) פי 2
(2) AF = 2AM ⟸ על ישר אחד
(3) פי 2
📌 סיכום התשובות – שאלה 1
| סעיף א | D′(0 , 0 , 8) A(2 , 0 , 0) , B(2 , 5 , 0) , C(0 , 5 , 0) , C′(0 , 5 , 8) |
|---|---|
| סעיף ב | E(0 , 5 , 6) , F(0 , 0 , 4) , K(1 , 5 , 4) |
| סעיף ג | 70.6 מעלות √129 ≈ 11.36 |
| סעיף ד | M(1 , 0 , 2) הסבר פי 2 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2023 מועד א׳, שאלה 1
📄 נוסח השאלה
בפירמידה המשולשת ABCD המקצועות AD, BD ו־CD מאונכים זה לזה (ראו סרטוט). הנקודה E נמצאת על המישור ABC, ומתקיים: BE = 19BA + 49BC.
נסמן: DA = u , DB = v , DC = w.
א. הביעו את הווקטורים BA , BC , DE באמצעות u , v ו־w.
נתון: |u| = 2 , |v| = |w| = 1.
ב. (1) חשבו את אורכי המקצועות BA ו־BC. (2) חשבו את גודל הזווית ABC. (3) חשבו את שטח המשולש ABC.
ג. הוכיחו כי הווקטור DE מאונך למישור ABC.
ד. חשבו את נפח הפירמידה ABCD.
✏️ פתרון שאלה 1
סעיף א – הבעת הווקטורים
BA = BD + DA📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ
BD = −DB = −v📐 וקטור נגדיYX = −XY
BA = −v + u = u − v
BC = BD + DC = w − v
עכשיו BE לפי הנתון:
BE = 19(u − v) + 49(w − v)📐 כפל וקטור במספרk(a + b) = ka + kb
= 19u − 19v + 49w − 49v = 19u − 59v + 49w
DE = DB + BE📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ
= v + 19u − 59v + 49w
= 19u + 49v + 49w
✅ פתרון סופי: BA = u − v
BC = w − v
DE = 19u + 49v + 49w
BC = w − v
DE = 19u + 49v + 49w
סעיף ב (1) – אורכי BA ו־BC
המקצועות AD , BD , CD מאונכים זה לזה, ולכן כל מכפלה סקלרית בין שני וקטורים שונים מבין u , v , w שווה 0.
📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0|BA|2 = (u − v)2 = u2 − 2u·v + v2📐 אורך וקטור|a|2 = a · a = a2
= 4 − 0 + 1 = 5 |BA| = √5 ≈ 2.236
|BC|2 = (w − v)2 = 1 − 0 + 1 = 2 |BC| = √2 ≈ 1.414
✅ פתרון סופי: BA = √5 , BC = √2
סעיף ב (2) – הזווית ABC
הזווית ABC היא הזווית בין BA ל־BC:
BA · BC = (u − v) · (w − v)
= u·w − u·v − v·w + v2 = 0 − 0 − 0 + 1 = 1
cos(∡ABC) = 1√5 · √2 = 1√10 ≈ 0.3162📐 זווית בין וקטוריםcos(∡) = a · b|a| · |b|
∡ABC ≈ 71.57 מעלות
✅ פתרון סופי: ∡ABC ≈ 71.57 מעלות
סעיף ב (3) – שטח המשולש ABC
sin(71.57) ≈ 0.9487
S = 12 · √5 · √2 · sin(71.57)📐 שטח משולש (טריגונומטרי)S = 12 · a · b · sin(∡)
≈ 12 · 3.1623 · 0.9487 ≈ 1.5
בדיקה: בדיוק: sin = 3√10, ולכן S = 12 · √10 · 3√10 = 1.5 ✓
✅ פתרון סופי: S = 1.5 יחידות שטח
סעיף ג – DE מאונך למישור ABC
מספיק להראות ש־DE מאונך לשני וקטורים לא מקבילים במישור, למשל BA ו־BC.
📐 ישר מאונך למישורישר המאונך לשני ישרים נחתכים במישור – מאונך למישורDE · BA = (19u + 49v + 49w) · (u − v)
= 19u2 − 49v2 = 19 · 4 − 49 · 1 = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
DE · BC = (19u + 49v + 49w) · (w − v)
= 49w2 − 49v2 = 49 − 49 = 0
(כל המכפלות המעורבות, כמו u·w, שוות 0.) שתי המכפלות שוות 0 – DE מאונך למישור ABC. ✓
✅ פתרון סופי: הוכח: DE ⊥ ABC
סעיף ד – נפח הפירמידה
נבחר את המשולש BCD כבסיס: הוא ישר זווית ב־D, עם ניצבים DB = DC = 1. המקצוע AD מאונך ל־DB ול־DC, ולכן הוא הגובה לבסיס זה.
SBCD = 1 · 12 = 12📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
V = 12 · 23 = 13📐 נפח פירמידהV = Sבסיס · h3
בדיקה: דרך הבסיס ABC והגובה DE: |DE|2 = 181 · 4 + 1681 + 1681 = 3681, |DE| = 23, V = 1.5 · 233 = 13 ✓
✅ פתרון סופי: V = 13 ≈ 0.333 יחידות נפח
📌 סיכום התשובות – שאלה 1
| סעיף א | BA = u − v BC = w − v DE = 19u + 49v + 49w |
|---|---|
| סעיף ב (1) | √5 , √2 |
| סעיף ב (2) | ≈ 71.57 מעלות |
| סעיף ב (3) | 1.5 |
| סעיף ג | הוכחה |
| סעיף ד | 13 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2023, שאלה 1
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה ABCDA′B′C′D′. הנקודה E היא מפגש אלכסוני הפאה AA′D′D.
נסמן: AB = u , AD = v , AA′ = w. הנקודה F מקיימת: EF = 12u.
א. (1) הביעו את הווקטורים BD′ ו־AE באמצעות u, v ו־w. (2) הוכיחו: BF = 12BD′.
ב. (1) הסבירו מדוע EF מקביל ל־AB. (2) הוכיחו: AB מאונך ל־AE.
נתון: בסיס התיבה ABCD הוא ריבוע שאורך צלעו הוא 2. נפח התיבה הוא 16.
ג. (1) חשבו את אורך המקצוע הצדדי של התיבה. (2) חשבו את אורך הווקטור BF.
ד. (1) חשבו את גודל הזווית ABF. (2) מצאו את הגדלים של שאר הזוויות של המרובע AEFB.
✏️ פתרון שאלה 1
סעיף א (1) – הבעת BD′ ו־AE
BD′: מ־B הולכים ל־A, משם ל־D, ומשם עולים ל־D′:
BD′ = BA + AD + DD′📐 חיבור וקטורים (שרשרת)XY = XZ + ZY
BA = −u , DD′ = AA′ = w📐 וקטור נגדי ווקטורים שוויםXY = −YXמקצועות מקבילים ושווים בתיבה – אותו וקטור
BD′ = −u + v + w
AE: E היא מפגש אלכסוני המלבן AA′D′D, ואלכסוני מלבן חוצים זה את זה – לכן E אמצע האלכסון AD′.
AD′ = AD + DD′ = v + w📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
AE = 12AD′ = 12v + 12w📐 אלכסוני מלבןאלכסוני מלבן חוצים זה את זה
✅ פתרון סופי: BD′ = −u + v + w
AE = 12v + 12w
AE = 12v + 12w
סעיף א (2) – הוכחה ש־BF = ½BD′
מ־B הולכים ל־A, משם ל־E, ומשם ל־F:
BF = BA + AE + EF📐 חיבור וקטורים (שרשרת)XY = XZ + ZY
BF = −u + 12v + 12w + 12u
BF = −12u + 12v + 12w
מוציאים 12 כגורם משותף:
BF = 12(−u + v + w) = 12BD′
✅ פתרון סופי: הוכחנו: BF = 12BD′
סעיף ב (1) – למה EF מקביל ל־AB
EF = 12u = 12AB
a = k · b ⟸ a ∥ b📐 וקטורים מקביליםוקטור שהוא כפולה של וקטור אחר מקביל לו
✅ פתרון סופי: EF הוא כפולה של AB ← EF ∥ AB
סעיף ב (2) – הוכחה ש־AB מאונך ל־AE
בתיבה כל שלושת המקצועות היוצאים מקודקוד מאונכים זה לזה:
u · v = 0 , u · w = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
AB · AE = u · (12v + 12w)
= 12u · v + 12u · w = 12 · 0 + 12 · 0 = 0📐 פילוג במכפלה סקלריתa · (b + c) = a · b + a · c
AB ⊥ AE📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
✅ פתרון סופי: הוכחנו: AB · AE = 0 ← AB ⊥ AE
סעיף ג (1) – אורך המקצוע הצדדי
נסמן ב־h את המקצוע הצדדי AA′. הבסיס ריבוע שצלעו 2:
V = 2 · 2 · h = 4h📐 נפח תיבהV = a · b · c
4h = 16
h = 4
✅ פתרון סופי: המקצוע הצדדי: 4
סעיף ג (2) – אורך BF
קודם אורך האלכסון BD′ – אלכסון התיבה, שמקצועותיה 2, 2 ו־4:
|BD′| = √22 + 22 + 42 = √4 + 4 + 16 = √24 = 2√6📐 אלכסון תיבהd = √a2 + b2 + c2
לפי סעיף א (2), BF הוא חצי מ־BD′:
|BF| = 12 · 2√6 = √6 ≈ 2.45📐 אורך של כפולת וקטור|k · a| = |k| · |a|
✅ פתרון סופי: |BF| = √6 ≈ 2.45
סעיף ד (1) – הזווית ABF
הזווית ABF היא הזווית בין הווקטורים BA = −u ו־BF = −12u + 12v + 12w.
נתונים לחישוב: |u| = 2 , |v| = 2 , |w| = 4, וכל המכפלות u · v , u · w , v · w שוות 0.
BA · BF = −u · (−12u + 12v + 12w)📐 פילוג במכפלה סקלריתa · (b + c) = a · b + a · c
= 12|u|2 − 0 − 0 = 12 · 4 = 2📐 ריבוע של וקטורa · a = |a|2
cos ∢ABF = 22 · √6 = 1√6 ≈ 0.4082📐 זווית בין וקטוריםcos ∢ = a · b|a| · |b|
∢ABF ≈ 65.91 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢ABF ≈ 65.91 מעלות
סעיף ד (2) – שאר הזוויות של AEFB
לפי סעיף ב: EF ∥ AB – לכן AEFB הוא טרפז (בסיסים AB ו־EF). ולפי סעיף ב (2): AB ⊥ AE.
∢EAB = 90📐 סעיף ב (2)AB ⊥ AE
∢AEF + ∢EAB = 180 ⟸ ∢AEF = 180 − 90 = 90📐 זוויות בטרפזבטרפז, סכום שתי זוויות שליד אותה שוק הוא 180 מעלות
∢EFB + ∢ABF = 180 ⟸ ∢EFB ≈ 180 − 65.91 = 114.09📐 זוויות בטרפזבטרפז, סכום שתי זוויות שליד אותה שוק הוא 180 מעלות
בדיקה: 90 + 90 + 114.09 + 65.91 = 360 ✓
✅ פתרון סופי: ∢EAB = 90
∢AEF = 90
∢EFB ≈ 114.09 מעלות
∢AEF = 90
∢EFB ≈ 114.09 מעלות
📌 סיכום התשובות – שאלה 1
| סעיף א (1) | BD′ = −u + v + w AE = 12v + 12w |
|---|---|
| סעיף א (2) | הוכחה |
| סעיף ב | הוכחות: EF ∥ AB , AB ⊥ AE |
| סעיף ג (1) | 4 |
| סעיף ג (2) | √6 ≈ 2.45 |
| סעיף ד (1) | ≈ 65.91 מעלות |
| סעיף ד (2) | 90 , 90 , 114.09 מעלות |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2022 מועד ב׳, שאלה 1
📄 נוסח השאלה
בפירמידה המשולשת ABCD הפאות ABD ו־ACD הן משולשים שווי צלעות (ראו סרטוט). הנקודה E היא אמצע המקצוע CD. הנקודה F נמצאת על המקצוע BD ומחלקת אותו ביחס של BF : FD = 1 : 2.
נסמן: AB = u , AC = v , AD = w. נתון: |u| = |v| = |w| = 6 , ∡BAC = 45 מעלות.
א. חשבו את המכפלות הסקלריות שלפניכם: u · v , u · w , v · w.
ב. (1) הביעו את הווקטורים CD ו־BD באמצעות u , v ו־w (אם יש צורך). (2) הביעו את הווקטורים AE ו־AF באמצעות u , v ו־w (אם יש צורך).
ג. לפניכם שלוש טענות (1)–(3). קבעו אילו מן הטענות נכונות ואילו אינן נכונות. נמקו את כל תשובותיכם. (1) CD מאונך ל־AE. (2) CD מאונך ל־AF. (3) CD מאונך למישור EAF.
✏️ פתרון שאלה 1
סעיף א – המכפלות הסקלריות
הזווית בין u ל־v היא ∡BAC = 45 מעלות:
u · v = 6 · 6 · cos(45) = 36 · √22 = 18√2 ≈ 25.46📐 מכפלה סקלריתa · b = |a| · |b| · cos(∡)
המשולש ABD שווה צלעות, ולכן הזווית בין u ל־w (∡BAD) היא 60 מעלות:
u · w = 6 · 6 · cos(60) = 36 · 12 = 18
גם ACD שווה צלעות, ולכן ∡CAD = 60 מעלות:
v · w = 6 · 6 · cos(60) = 18
✅ פתרון סופי: u · v = 18√2 , u · w = 18 , v · w = 18
סעיף ב (1) – CD ו־BD
CD = CA + AD = −v + w📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ
BD = BA + AD = −u + w
✅ פתרון סופי: CD = w − v , BD = w − u
סעיף ב (2) – AE ו־AF
E אמצע CD:
AE = AC + 12CD = v + 12(w − v) = 12v + 12w📐 אמצע קטע בווקטוריםE אמצע CD ⟸ CE = 12CD
F מחלקת את BD ביחס 1 : 2, ולכן BF הוא שליש מ־BD:
BF = 13BD = 13(w − u)📐 חלוקת קטע ביחסBFBD = 11 + 2 = 13
AF = AB + BF = u + 13w − 13u = 23u + 13w📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ
✅ פתרון סופי: AE = 12v + 12w
AF = 23u + 13w
AF = 23u + 13w
סעיף ג (1) – האם CD מאונך ל־AE?
AE · CD = 12(v + w) · (w − v)📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
= 12(w2 − v2) = 12(36 − 36) = 0
(התיכון לבסיס במשולש שווה צלעות הוא גם גובה.)
✅ פתרון סופי: טענה (1) נכונה
סעיף ג (2) – האם CD מאונך ל־AF?
AF · CD = (23u + 13w) · (w − v)📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
= 23u·w − 23u·v + 13w2 − 13v·w
= 23 · 18 − 23 · 18√2 + 13 · 36 − 13 · 18
= 12 − 12√2 + 12 − 6 = 18 − 12√2 ≈ 1.03 ≠ 0
✅ פתרון סופי: טענה (2) אינה נכונה
סעיף ג (3) – האם CD מאונך למישור EAF?
ישר מאונך למישור מאונך לכל ישר במישור. AF נמצא במישור EAF, אבל לפי ג(2) CD לא מאונך ל־AF.
📐 ישר מאונך למישורישר המאונך למישור – מאונך לכל ישר שבמישור✅ פתרון סופי: טענה (3) אינה נכונה
📌 סיכום התשובות – שאלה 1
| סעיף א | 18√2 , 18 , 18 |
|---|---|
| סעיף ב (1) | CD = w − v BD = w − u |
| סעיף ב (2) | AE = 12v + 12w AF = 23u + 13w |
| סעיף ג | (1) נכונה ; (2) לא ; (3) לא |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2022 מועד א׳, שאלה 1
📄 נוסח השאלה
נתונה הקובייה ABCDA′B′C′D′ (ראו ציור). הנקודות E ו־G הן אמצעי המקצועות AA′ ו־CC′ בהתאמה. הנקודה F מקיימת AF = 14AB. הנקודה H מקיימת D′H = 34D′C′. נסמן: AB = u , BC = v , AA′ = w.
א. (1) הביעו את הווקטורים EF , FG , HG ו־EH באמצעות u , v ו־w. (2) האם המרובע EFGH הוא מקבילית? נמקו.
הנפח של הקובייה הנתונה הוא 512.
ב. (1) מצאו את אורך המקצוע של הקובייה. (2) מצאו את אורכי הווקטורים EF ו־EH.
ג. (1) מצאו את גודל הזווית HEF. (2) מצאו את שטח המרובע EFGH.
✏️ פתרון שאלה 1
סעיף א – הבעת הווקטורים ומקבילית
הקובייה לפי קנה מידה (מקצוע 8) והמרובע EFGH בתכלת; הזווית HEF מסומנת.
(1) בקובייה: A′D′ = BC = v , D′C′ = AB = u , CC′ = w; FB = 34u , HC′ = 14u.
EF = EA + AF = −12w + 14u📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
FG = FB + BC + CG = 34u + v + 12w📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
HG = HC′ + C′G = 14u − 12w📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
EH = EA′ + A′D′ + D′H = 12w + v + 34u📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
(2) EF = HG (וגם FG = EH): זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות ⟸ EFGH מקבילית.
✅ פתרון סופי: (1) EF = 14u − 12w , FG = 34u + v + 12w
HG = 14u − 12w , EH = 34u + v + 12w
(2) כן – EF = HG
HG = 14u − 12w , EH = 34u + v + 12w
(2) כן – EF = HG
סעיף ב – אורך המקצוע ואורכי הווקטורים
a3 = 512 a = 8📐 נפח קובייהV = a3
(2) הווקטורים u , v , w מאונכים זה לזה ואורך כל אחד 8. 14 · 8 = 2 , 12 · 8 = 4 , 34 · 8 = 6:
|EF| = √(22 + 42) = √20📐 פיתגורס במרחב|au + bv + cw|2= a2|u|2 + b2|v|2 + c2|w|2
|EH| = √(62 + 82 + 42) = √116
✅ פתרון סופי: (1) 8
(2) |EF| = √20 ≈ 4.47 , |EH| = √116 ≈ 10.77
(2) |EF| = √20 ≈ 4.47 , |EH| = √116 ≈ 10.77
סעיף ג – הזווית HEF ושטח המרובע
(1) מכפלה סקלרית (u·v = u·w = v·w = 0, |u|2 = 64):
EH·EF = (34u + v + 12w) ·(14u − 12w)📐 מכפלה סקלריתa·b = |a|·|b|·cos(הזווית)
= 316 · 64 − 14 · 64 = 12 − 16 = −4
cos∢HEF = −4√116 · √20 = −4√2,320 ≈ −0.0830📐 זווית בין וקטוריםcos(הזווית) = a·b|a|·|b|
∢HEF ≈ 94.76 מעלות
(2) שטח מקבילית = מכפלת שתי צלעות סמוכות בסינוס הזווית ביניהן:
sin∢HEF = √(1 − 162,320) = √2,3042,320
S = √116 · √20 · √2,3042,320 = √2,304 = 48📐 שטח מקביליתS = a · b · sin(הזווית בין הצלעות)
✅ פתרון סופי: (1) ∢HEF ≈ 94.76 מעלות
(2) S = 48
(2) S = 48
📌 סיכום התשובות – שאלה 1
| סעיף א | EF = HG = 14u − 12w FG = EH = 34u + v + 12w כן |
|---|---|
| סעיף ב | 8 √20 , √116 |
| סעיף ג | 94.76 מעלות 48 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2022 נבצרים, שאלה 1
📄 נוסח השאלה
במנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ הבסיס ABCD הוא מעוין. נתון: אורך צלע המעוין הוא 2, ∢BAD = 60 מעלות, נפח המנסרה הוא 8√3. הנקודה E היא אמצע המקצוע C′D′.
נסמן: AD = u , AB = v , AA′ = w.
א. הבע את הווקטורים B′A ו־B′E באמצעות u, v ו־w.
ב. לפניך שלוש טענות (1–3). קבע אלו מהטענות נכונות. נמק. (1) u · v = 0 (2) u · w = 0 (3) B′A מאונך ל־B′E.
ג. חשב את אורך הגובה של המנסרה.
ד. (1) חשב את אורך הווקטור B′E. (2) חשב את שטח המשולש AB′E.
✏️ פתרון שאלה 1
סעיף א – הבעת B′A ו־B′E
B′A: מ־B′ יורדים ל־B ומשם הולכים ל־A:
B′A = B′B + BA📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
B′B = −w , BA = −v📐 וקטור נגדיXY = −YX
B′A = −v − w
B′E: מ־B′ הולכים ל־C′ ומשם לאמצע C′D′:
B′E = B′C′ + C′E📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
במעוין (ובמנסרה) מקצועות מקבילים ושווים הם אותו וקטור: B′C′ = AD = u, C′D′ = BA = −v. E אמצע C′D′:
C′E = 12C′D′ = −12v📐 אמצע קטעXM = 12XY כש־M אמצע XY
B′E = u − 12v
✅ פתרון סופי: B′A = −v − w
B′E = u − 12v
B′E = u − 12v
סעיף ב – שלוש הטענות
נתונים: |u| = |v| = 2 (צלעות המעוין), והזווית בין u ל־v היא ∢BAD = 60 מעלות.
טענה (1):
u · v = 2 · 2 · cos 60 = 4 · 12 = 2 ≠ 0📐 מכפלה סקלריתa · b = |a| · |b| · cos ∢
← טענה (1) לא נכונה.
טענה (2): במנסרה ישרה המקצוע הצדדי AA′ מאונך לבסיס, ולכן מאונך ל־AD:
u · w = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
← טענה (2) נכונה. (מאותה סיבה גם v · w = 0.)
טענה (3): מחשבים את המכפלה הסקלרית:
B′A · B′E = (−v − w) · (u − 12v)📐 פילוג במכפלה סקלריתa · (b + c) = a · b + a · c
= −v · u + 12v · v − w · u + 12w · v📐 ריבוע של וקטורa · a = |a|2
= −2 + 12 · 4 − 0 + 0 = −2 + 2 = 0
B′A ⊥ B′E📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
← טענה (3) נכונה.
✅ פתרון סופי: טענה (1) – לא נכונה
טענות (2) ו־(3) – נכונות
טענות (2) ו־(3) – נכונות
סעיף ג – גובה המנסרה
SABCD = 2 · 2 · sin 60 = 4 · √32 = 2√3📐 שטח מקבילית (ומעוין)S = a · b · sin ∢
8√3 = 2√3 · h📐 נפח מנסרה (S – שטח הבסיס)V = S · h
h = 8√32√3 = 4
✅ פתרון סופי: גובה המנסרה: 4
סעיף ד (1) – אורך B′E
|B′E|2 = (u − 12v) · (u − 12v)📐 ריבוע של וקטורa · a = |a|2
= |u|2 − 2 · 12u · v + ¼|v|2📐 נוסחת הכפל המקוצר(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
= 4 − 2 + ¼ · 4 = 3
|B′E| = √3 ≈ 1.73
✅ פתרון סופי: |B′E| = √3 ≈ 1.73
סעיף ד (2) – שטח המשולש AB′E
לפי טענה (3) – ∢AB′E = 90 מעלות, כלומר המשולש ישר־זווית ב־B′. לפי סעיף ג |w| = 4. צריך גם את |B′A|:
|B′A|2 = (−v − w) · (−v − w) = |v|2 + 2v · w + |w|2📐 ריבוע של וקטורa · a = |a|2
= 4 + 0 + 16 = 20 , |B′A| = √20 = 2√5
S = 2√5 · √32 = √15 ≈ 3.87📐 שטח משולש ישר־זווית (a, b – הניצבים)S = a · b2
✅ פתרון סופי: S = √15 ≈ 3.87
📌 סיכום התשובות – שאלה 1
| סעיף א | B′A = −v − w B′E = u − 12v |
|---|---|
| סעיף ב | (1) לא נכונה, (2) ו־(3) נכונות |
| סעיף ג | 4 |
| סעיף ד (1) | √3 |
| סעיף ד (2) | √15 ≈ 3.87 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 נבצרים⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2022, שאלה 1
📄 נוסח השאלה
נתונה פירמידה ישרה SABC שבסיסה משולש ABC (ראו סרטוט). אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה הוא 3.
נתון: ∢ASB = ∢BSC = ∢ASC = 30 מעלות.
נסמן: SA = u , SB = v , SC = w.
הנקודה M נמצאת במישור ABC. ידוע כי SM = 13u + 13v + 13w.
א. חשב את המכפלות הסקלריות: u · v , v · w , u · w.
ב. (1) הבע את הווקטורים AB ו־AC באמצעות u , v ו־w. (2) חשב את אורכי הווקטורים AB ו־AC. (3) מצא את גודל הזווית BAC.
ג. הראה כי SM מאונך למישור ABC.
נסמן: SM = m.
ד. הבע את נפח הפירמידה SABC באמצעות m.
✏️ פתרון שאלה 1
סעיף א – המכפלות הסקלריות
הפירמידה לפי קנה מידה אמיתי (מקצוע צדדי 3, זווית ראש 30 מעלות). הווקטורים u, v, w יוצאים מ־S.
שלושת הווקטורים יוצאים מאותה נקודה S, אורך כל אחד 3, והזווית בין כל שניים היא 30 מעלות.
u · v = |u| · |v| · cos30 = 3 · 3 · √32 = 9√32 ≈ 7.79📐 נוסחה: מכפלה סקלריתa · b = |a| · |b| · cosשל הזווית ביניהם
v · w = |v| · |w| · cos30 = 3 · 3 · √32 = 9√32 ≈ 7.79📐 נוסחה: מכפלה סקלריתa · b = |a| · |b| · cosשל הזווית ביניהם
u · w = |u| · |w| · cos30 = 3 · 3 · √32 = 9√32 ≈ 7.79📐 נוסחה: מכפלה סקלריתa · b = |a| · |b| · cosשל הזווית ביניהם
נשתמש גם בריבוע של כל וקטור (מכפלה של וקטור בעצמו):
u · u = |u|2 = 32 = 9 v · v = 9 w · w = 9📐 נוסחה: ריבוע של וקטורa · a = |a|2
✅ פתרון סופי: u · v = v · w = u · w = 9√32 ≈ 7.79
סעיף ב(1) – הבעת AB ו־AC
AB = AS + SB = −u + v📐 נוסחה: חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
כאן AS = −SA = −u (אותו וקטור בכיוון הפוך).
AC = AS + SC = −u + w📐 נוסחה: חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
✅ פתרון סופי: AB = v − u , AC = w − u
סעיף ב(2) – אורכי AB ו־AC
|AB|2 = (v − u)2 = v2 − 2u·v + u2📐 נוסחה: אורך וקטור בריבוע|a|2 = a · a(a − b)2 = a2 − 2a·b + b2
= 9 − 2 · 9√32 + 9 = 18 − 9√3📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)u·v = 9√32 , u2 = v2 = 9
|AB| = √18 − 9√3 ≈ √2.412 ≈ 1.553
|AC|2 = (w − u)2 = w2 − 2u·w + u2📐 נוסחה: אורך וקטור בריבוע|a|2 = a · a(a − b)2 = a2 − 2a·b + b2
= 9 − 2 · 9√32 + 9 = 18 − 9√3📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)u·w = 9√32 , u2 = w2 = 9
|AC| = √18 − 9√3 ≈ √2.412 ≈ 1.553
✅ פתרון סופי: |AB| = |AC| = √18 − 9√3 ≈ 1.55
סעיף ב(3) – הזווית BAC
בסיס הפירמידה ABC מודגש בתכלת. הזווית BAC היא הזווית בין הווקטורים AB ו־AC.
קודם נחשב את המכפלה הסקלרית AB · AC:
AB · AC = (v − u) · (w − u) = v·w − v·u − u·w + u·u📐 נוסחה: פתיחת סוגריים במכפלה סקלרית(a − b) · (c − b)= a·c − a·b − b·c + b·b
= 9√32 − 9√32 − 9√32 + 9 = 9 − 9√32 ≈ 1.206📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)u·v = v·w = u·w = 9√32u·u = 9
cos∢BAC = AB · AC|AB| · |AC| = 9 − 9√32√18 − 9√3 · √18 − 9√3📐 נוסחה: זווית בין וקטוריםcos של הזווית בין הווקטורים= a · b|a| · |b|
= 9 − 9√3218 − 9√3
שימו לב: 18 − 9√3 = 2 · (9 − 9√32), ולכן:
cos∢BAC = 9 − 9√322 · (9 − 9√32) = 12 = 0.5
∢BAC = 60
(בדיקה במספרים: 1.206 ÷ 2.412 = 0.5, כלומר הזווית 60 מעלות.)
✅ פתרון סופי: ∢BAC = 60 מעלות
סעיף ג – SM מאונך למישור ABC
הגובה SM (סגול, מקווקו כי הוא בתוך הפירמידה) יורד לנקודה M שבבסיס.
ישר מאונך למישור אם הוא מאונך לשני ישרים נחתכים במישור. במישור ABC נבחר את AB ו־AC (נחתכים ב־A), ונראה שהמכפלה הסקלרית של SM עם כל אחד מהם היא 0.
SM · AB = 13(u + v + w) · (v − u)📐 נוסחה: מהנתון ומסעיף ב(1)SM = 13(u + v + w)AB = v − u
= 13(u·v − u·u + v·v − v·u + w·v − w·u)📐 נוסחה: פתיחת סוגריים במכפלה סקלרית(a + b) · c = a·c + b·c
= 13(9√32 − 9 + 9 − 9√32 + 9√32 − 9√32) = 13 · 0 = 0📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)u·v = v·w = u·w = 9√32u·u = v·v = w·w = 9
SM · AB = 0 ⟸ SM ⊥ AB📐 נוסחה: וקטורים מאונכיםa · b = 0 ⟺ a ⊥ b
SM · AC = 13(u + v + w) · (w − u)📐 נוסחה: מהנתון ומסעיף ב(1)SM = 13(u + v + w)AC = w − u
= 13(u·w − u·u + v·w − v·u + w·w − w·u)📐 נוסחה: פתיחת סוגריים במכפלה סקלרית(a + b) · c = a·c + b·c
= 13(9√32 − 9 + 9√32 − 9√32 + 9 − 9√32) = 13 · 0 = 0📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)u·v = v·w = u·w = 9√32u·u = v·v = w·w = 9
SM · AC = 0 ⟸ SM ⊥ AC📐 נוסחה: וקטורים מאונכיםa · b = 0 ⟺ a ⊥ b
SM ⊥ AB , SM ⊥ AC ⟸ SM ⊥ ABC📐 משפט: ישר מאונך למישורישר המאונך לשני ישרים נחתכים במישור – מאונך למישור
✅ פתרון סופי: SM ⊥ AB ו־SM ⊥ AC (שני ישרים נחתכים במישור), לכן SM מאונך למישור ABC.
סעיף ד – נפח הפירמידה
הבסיס ABC (תכלת) והגובה SM = m (סגול).
מסעיף ג, SM מאונך לבסיס, ולכן SM = m הוא גובה הפירמידה. נחשב את שטח הבסיס: במשולש ABC ידועות שתי צלעות AB = AC והזווית שביניהן ∢BAC = 60 מעלות.
SABC = 12 · AB · AC · sin∢BAC📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sinשל הזווית שבין הצלעות a ו־ b
= 12 · √18 − 9√3 · √18 − 9√3 · sin60
= 12 · (18 − 9√3) · √32📐 נוסחה: ערך הסינוסsin60 = √32
= (18 − 9√3) · √34 = 18√3 − 274 ≈ 1.044
V = 13 · SABC · h = 13 · 18√3 − 274 · m📐 נוסחה: נפח פירמידהV = 13 · S · hS – שטח הבסיס , h – הגובה
= 18√3 − 2712 m = 6√3 − 94 m ≈ 0.348m
✅ פתרון סופי: V = 6√3 − 94 m ≈ 0.348m
📌 סיכום התשובות – שאלה 1
| סעיף א | 9√32 ≈ 7.79 (לכל שלוש המכפלות) |
|---|---|
| סעיף ב | AB = v − u , AC = w − u |AB| = |AC| = √18 − 9√3 ≈ 1.55 ∢BAC = 60 מעלות |
| סעיף ג | הוכחה: SM·AB = 0 , SM·AC = 0 |
| סעיף ד | V = 6√3 − 94 m ≈ 0.348m |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022⬆️ חזרה לכפתורים
📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 472 לפי נושא
🎓 רוצים להבין את זה לעומק?
בקורסים של מתמטריק כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.
השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il