בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · שאלות לפי נושא

שאלות בגרות 571 לפי נושא – הסתברות

כל השאלות בנושא הסתברות מבחינות הבגרות בשאלון 571, מהבחינה החדשה ביותר אחורה. עץ הסתברות, טבלה דו־ממדית, הסתברות מותנית וברנולי. בכל שאלה: הנוסח המלא, ומתחתיו פתרון מלא שלב אחר שלב.

⬅️ חזרה לקורס: הסתברות – 571

📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 571 לפי נושא

20 שאלות פתורות: 20 מבחינות 571 של 2021–2026, מהחדשה לישנה. לוחצים על מועד ועוברים ישר לשאלה. כל שאלה פתורה עד הסוף, שלב אחר שלב, והנוסחה בצד.

📊 טבלה דו־ממדית

📅 חורף 2026, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בשכבה י"א של תיכון עירוני גדול חלק מן התלמידים הם מדריכים בתנועת נוער והשאר אינם מדריכים.

בשכבה זו לחלק מן התלמידים יש רישיון נהיגה ולשאר אין רישיון נהיגה.

חצי מן התלמידים שיש להם רישיון נהיגה הם מדריכים בתנועת נוער.

אחוז התלמידים המדריכים מבין התלמידים שיש להם רישיון שווה לאחוז התלמידים שאין להם רישיון מבין התלמידים המדריכים.

בוחרים באקראי תלמיד מבין תלמידי השכבה.

ההסתברות שהתלמיד שנבחר הוא מדריך או שיש לו רישיון היא 0.45.

א. מצאו כמה אחוזים מן התלמידים בשכבה זו הם מדריכים.

ב. בוחרים באקראי תלמיד מבין התלמידים שאין להם רישיון. מהי ההסתברות שתלמיד זה הוא מדריך?

בוחרים באקראי 5 תלמידים מבין התלמידים שאין להם רישיון.

ג. (1) מהי ההסתברות שנבחר יותר ממדריך אחד?

(2) ידוע שנבחר יותר ממדריך אחד. מהי ההסתברות כי מספר המדריכים שנבחרו הוא זוגי?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – אחוז המדריכים

נסמן: M – התלמיד מדריך; L – יש לו רישיון; L̄ – אין לו רישיון.

"חצי מבעלי הרישיון הם מדריכים":

P(M | L) = 12📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

"אחוז המדריכים מבין בעלי הרישיון שווה לאחוז חסרי הרישיון מבין המדריכים":

P(L̄ | M) = P(M | L) = 12

P(L | M) = 1 − 12 = 12

נסמן P(M ∩ L) = x. מן ההגדרה של הסתברות מותנית:

xP(L) = 12 ⟸ P(L) = 2x📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

xP(M) = 12 ⟸ P(M) = 2x

"מדריך או בעל רישיון" – איחוד:

P(M ∪ L) = 2x + 2x − x📐 הסתברות של איחודP(A ∪ B) =P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

= 3x

3x = 0.45

x = 0.15

P(M) = 2 · 0.15 = 0.3

✅ פתרון סופי: 30% מן התלמידים מדריכים

סעיף ב – מדריך מבין חסרי הרישיון

P(L) = 2x = 0.3

P(L̄) = 1 − 0.3 = 0.7📐 מאורע משליםP(Ā) = 1 − P(A)

P(M ∩ L̄)

= P(M) − P(M ∩ L)

= 0.3 − 0.15 = 0.15

P(M | L̄) = P(M ∩ L̄)P(L̄)📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

= 0.150.7

P(M | L̄) = 1570 = 314

≈ 0.214

✅ פתרון סופי: 314 ≈ 0.214

סעיף ג (1) – יותר ממדריך אחד

בוחרים 5 תלמידים מבין חסרי הרישיון (השכבה גדולה, ולכן הבחירות בלתי תלויות). כל אחד מדריך בהסתברות 314. X – מספר המדריכים שנבחרו: התפלגות ברנולי עם n = 5, p = 314.

"יותר ממדריך אחד" = כל המקרים חוץ מ־0 או 1 מדריכים:

P(X > 1) = 1 − P(X📐 מאורע משליםP(Ā) = 1 − P(A)

= 0) − P(X = 1)

P(X = 0) = (1114)⁵📐 נוסחת ברנוליP(X = k) =(nk) · p^k · (1 − p)^{n − k}

≈ 0.29945

P(X = 1) = 5 · 314 · (1114)⁴📐 נוסחת ברנוליP(X = k) =(nk) · p^k · (1 − p)^{n − k}

≈ 0.40834

P(X > 1)

≈ 1 − 0.29945 − 0.40834

P(X > 1) ≈ 0.2922

✅ פתרון סופי: ≈ 0.292

סעיף ג (2) – מספר זוגי של מדריכים

ידוע ש־X > 1, כלומר X הוא 2, 3, 4 או 5. מספר זוגי מבין אלה: 2 או 4.

P(X = 2)📐 נוסחת ברנוליP(X = k) =(nk) · p^k · (1 − p)^{n − k}

= 10 · (314)² · (1114)³

≈ 0.22273

P(X = 4) = 5 · (314)⁴ · 1114📐 נוסחת ברנוליP(X = k) =(nk) · p^k · (1 − p)^{n − k}

≈ 0.00828

P(X = 2 , 4 | X > 1)📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

= P(X = 2) + P(X = 4)P(X > 1)

= 0.22273 + 0.008280.29221

= 0.231010.29221 ≈ 0.791

✅ פתרון סופי: ≈ 0.791

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	30%
סעיף ב	314 ≈ 0.214
סעיף ג (1)	≈ 0.292
סעיף ג (2)	≈ 0.791

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 43 – בגרות חורף 2026 (הסתברות)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בבית אריזה גדול אורזים שני סוגי פירות בלבד: לימונים ותפוזים. חלק מן הפירות מיועדים לייצוא והשאר אינם מיועדים לייצוא.

ההסתברות לבחור באקראי שני תפוזים מבין כל הפירות בבית האריזה היא 0.4096. בוחרים באקראי פרי אחד מבין כל הפירות בבית האריזה.

א. מהי ההסתברות שנבחר לימון?

ההסתברות לבחור באקראי תפוז מבין הפירות שמיועדים לייצוא היא 35. ההסתברות לבחור באקראי לימון מבין הפירות שאינם מיועדים לייצוא היא 15. בוחרים באקראי פרי אחד מבין כל הפירות בבית האריזה.

ב. מהי ההסתברות שנבחר פרי המיועד לייצוא?

בוחרים באקראי שני פירות מבין כל הפירות בבית האריזה.

ג. ידוע שנבחרו שני לימונים. מהי ההסתברות שאחד מהם מיועד לייצוא והאחר אינו מיועד לייצוא?

בוחרים באקראי 4 פירות מבין כל הפירות בבית האריזה. ידוע שלפחות אחד מהם מיועד לייצוא.

ד. מהי ההסתברות שלכל היותר 3 מבין הפירות שנבחרו מיועדים לייצוא?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הסתברות ללימון

נסמן: T – תפוז, L – לימון, E – פרי המיועד לייצוא, Ē – פרי שאינו מיועד לייצוא.

בית האריזה גדול, ולכן כל בחירה של פרי לא משנה את ההסתברויות בבחירה הבאה (בחירות בלתי תלויות). נסמן P(T) = p.

p · p = 0.4096📐 נוסחה: מכפלת הסתברויות של מאורעות בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)

p² = 0.4096 ⇐ p = √0.4096 = 0.64

P(L) = 1 − 0.64 = 0.36📐 נוסחה: מאורע משליםP(A') = 1 − P(A)

✅ פתרון סופי: P(L) = 0.36

סעיף ב – הסתברות לפרי לייצוא

נסמן P(E) = x. אז P(Ē) = 1 − x.

נתון P(T|E) = 35 ו־P(L|Ē) = 15, ולכן P(T|Ē) = 1 − 15 = 45.

P(T) = P(E) · P(T|E) + P(Ē)📐 נוסחה: נוסחת ההסתברות השלמה (סכום ענפים בעץ)P(A) = P(B) · P(A|B) +
+ P(B′) · P(A|B′)

· P(T|Ē)

0.64 = x · 35 + (1 − x) · 45

0.6x + 0.8 − 0.8x = 0.64

−0.2x = −0.16 ⇐ x = 0.8

נחשב את ההסתברויות של כל צירוף (מכפלת ענפים בעץ):

P(T ∩ E) = 0.8 · 0.6 = 0.48

P(L ∩ E) = 0.8 · 0.4 = 0.32

P(T ∩ Ē) = 0.2 · 0.8 = 0.16

P(L ∩ Ē) = 0.2 · 0.2 = 0.04

ונסכם בטבלה דו־ממדית:

	תפוז	לימון	סה״כ
לייצוא	0.48	0.32	0.8
לא לייצוא	0.16	0.04	0.2
סה״כ	0.64	0.36	1

✅ פתרון סופי: P(E) = 0.8

סעיף ג – שני לימונים

בכל אחד משני הפירות שנבחרו (מהטבלה):

P(L ∩ E) = 0.32

P(L ∩ Ē) = 0.04

P(L) = 0.36

המאורע "אחד לייצוא והאחר לא" יכול לקרות בשני סדרים (הראשון לייצוא והשני לא, או להפך).

ההסתברות לשני לימונים שאחד מהם לייצוא והאחר לא:

2 · 0.32 · 0.04 = 0.0256

ההסתברות לשני לימונים:

0.36 · 0.36 = 0.1296

P = 0.02560.1296 = 2561296 = 1681 ≈ 0.198📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A|B) = P(A ∩ B)P(B)

✅ פתרון סופי: 1681 ≈ 0.198

סעיף ד – ארבעה פירות

כל פרי מיועד לייצוא בהסתברות 0.8, באופן בלתי תלוי. נסמן ב־X את מספר הפירות המיועדים לייצוא מבין 4 – זה ניסוי ברנולי עם n = 4 , p = 0.8.

P(X = 0) = 0.2⁴ = 0.0016📐 נוסחה: נוסחת ברנוליP(X = k) = (n מעל k) ·
· p^k · (1 − p)^{n − k}

P(X = 4) = 0.8⁴ = 0.4096

P(X ≥ 1) = 1 − 0.0016 = 0.9984📐 נוסחה: מאורע משליםP(A') = 1 − P(A)

"לכל היותר 3 לייצוא" וגם "לפחות אחד לייצוא" זה 1 ≤ X ≤ 3:

P(1 ≤ X ≤ 3) = 1 − P(X

= 0) − P(X = 4)

= 1 − 0.0016 − 0.4096 = 0.5888

P(X ≤ 3 | X ≥ 1) = 0.58880.9984📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A|B) = P(A ∩ B)P(B)

= 58889984 = 2339 ≈ 0.590

✅ פתרון סופי: 2339 ≈ 0.590

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	0.36
סעיף ב	0.8
סעיף ג	1681 ≈ 0.198
סעיף ד	2339 ≈ 0.590

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – עץ עם נעלמים והסתברות מותנית

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

במחקר שנעשה בקרב תלמידים בבית ספר מסוים נבדק הקשר בין חברות בתנועת נוער ובין התנדבות בקהילה.

80% מן החברים בתנועת נוער מתנדבים בקהילה.

בוחרים באקראי 5 תלמידים שחברים בתנועת נוער (הוצאה עם החזרה).

א. מהי ההסתברות שבחרו לפחות תלמיד אחד שמתנדב ולפחות תלמיד אחד שאינו מתנדב?

נתון כי 55% מן התלמידים אינם חברים בתנועת נוער ואינם מתנדבים, ו־112 מן התלמידים שאינם חברים בתנועת נוער מתנדבים.

ב. כמה אחוזים מן התלמידים חברים בתנועת נוער?

במחקר השתתפו 100 תלמידים סך הכול.

ג. כמה מן התלמידים חברים בתנועת נוער ואינם מתנדבים?

ד. בוחרים באקראי 3 מן התלמידים שאינם מתנדבים (הוצאה ללא החזרה).

(1) מהי ההסתברות שהתלמיד הראשון שנבחר חבר בתנועת נוער ושני התלמידים שנבחרו אחריו אינם חברים בתנועת נוער?

(2) מהי ההסתברות שאחד מן התלמידים שנבחרו חבר בתנועת נוער והשניים האחרים אינם חברים בתנועת נוער, אם ידוע שהתלמיד הראשון שנבחר אינו חבר בתנועת נוער?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – לפחות מתנדב אחד ולפחות לא־מתנדב אחד

כל תלמיד שנבחר מתנדב בהסתברות 0.8, והבחירות בלתי תלויות (עם החזרה). המאורע המשלים: כולם מתנדבים או כולם לא מתנדבים:

P = 1 − 0.8⁵ − 0.2⁵📐 מאורע משליםP(Ā) = 1 − P(A)

P = 1 − 0.32768 − 0.00032

P = 0.672

✅ פתרון סופי: 0.672

סעיף ב – אחוז החברים בתנועת נוער

נסמן: Y – חבר בתנועת נוער, V – מתנדב. נתון:

P(Ȳ ∩ V̄) = 0.55 , P(V | Ȳ) = 112

P(V̄ | Ȳ) = 1 − 112 = 1112

P(Ȳ ∩ V̄)P(Ȳ) = 1112📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

P(Ȳ) = 0.55 · 1211 = 0.6

P(Y) = 1 − 0.6 = 0.4

✅ פתרון סופי: 40%

סעיף ג – חברים שאינם מתנדבים

100 · 0.4 = 40

40 תלמידים חברים בתנועת נוער, ו־20% מהם אינם מתנדבים:

40 · 0.2 = 8

✅ פתרון סופי: 8 תלמידים

סעיף ד (1) – הראשון חבר, השניים הבאים לא

התלמידים שאינם מתנדבים: 8 חברים בתנועת נוער ועוד 100 · 0.55 = 55 שאינם חברים – סך הכול 63. בוחרים ללא החזרה:

P = 863 · 5562 · 5461📐 הוצאה ללא החזרהבכל שלב קטן מספר התלמידים שנשארו

P = 23760238266 = 132013237 ≈ 0.0997

✅ פתרון סופי: ≈ 0.0997

סעיף ד (2) – בהינתן שהראשון אינו חבר

הראשון אינו חבר. נשארו 62 תלמידים: 8 חברים ו־54 שאינם חברים. צריך שמבין השניים הבאים בדיוק אחד יהיה חבר (חבר ואז לא חבר, או לא חבר ואז חבר):

P = 862 · 5461 + 5462 · 861📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

P = 8643782 = 4321891 ≈ 0.228

✅ פתרון סופי: ≈ 0.228

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	0.672
סעיף ב	40%
סעיף ג	8 תלמידים
סעיף ד (1)	≈ 0.0997
סעיף ד (2)	≈ 0.228

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – עץ עם נעלמים והסתברות מותנית

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2024, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

ביישוב מסוים הוחלט לערוך סקר בנוגע להקמת פארק ביישוב.

בסקר השתתפו תושבים מבוגרים וצעירים בלבד.

כל אחד מן התושבים שהשתתף בסקר כתב אם הוא תומך בהקמת הפארק או מתנגד להקמתו (לא היו נמנעים).

כל התושבים המבוגרים שהשתתפו בסקר תמכו בהקמת הפארק.

בחרו באקראי בתושב אחד מבין התושבים שהשתתפו בסקר.

נסמן ב־p את ההסתברות שהתושב שנבחר היה צעיר.

נסמן ב־k את ההסתברות שהתושב שנבחר תמך בהקמת הפארק.

א. הביעו באמצעות p ו־k את ההסתברות שהתושב שנבחר היה צעיר התומך בהקמת הפארק.

מחצית מן התושבים הצעירים שהשתתפו בסקר תמכו בהקמת הפארק.

37 מן המשתתפים בסקר שתמכו בהקמת הפארק היו צעירים.

ב. מצאו את p ואת k.

יוסי, כתב חדשות מקומי, ריאיין באקראי 6 מן התושבים הצעירים שהשתתפו בסקר.

ג. מהי ההסתברות שלפחות אחד מהם תמך בהקמת הפארק ולפחות אחד מהם התנגד להקמת הפארק?

לאחר מכן ריאיין יוסי באקראי, בזה אחר זה, 5 תושבים שהשתתפו בסקר.

ד. מהי ההסתברות שבדיוק 3 מן המרואיינים האלה היו צעירים, ושהמרואיין האחרון מהם היה צעיר?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – צעיר שתומך

נסמן: Y – צעיר, S – תומך. כל מבוגר תומך, ולכן:

P(Ȳ) = 1 − p

P(Ȳ ∩ S) = P(Ȳ) = 1 − p

P(S) = P(Y ∩ S) + P(Ȳ ∩ S)📐 חלוקה לשני מאורעות זריםP(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B̄)

k = P(Y ∩ S) + 1 − p

P(Y ∩ S) = k + p − 1

✅ פתרון סופי: p + k − 1

סעיף ב – הערכים של p ו־k

מחצית מן הצעירים תמכו:

P(S | Y) = P(Y ∩ S)P(Y) = 12📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

p + k − 1p = 12

2p + 2k − 2 = p

k = 1 − p2

37 מן התומכים היו צעירים:

P(Y | S) = P(Y ∩ S)P(S) = 37📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

לפי המשוואה הראשונה P(Y ∩ S) = p2:

p2 = 37 k

p2 = 37 (1 − p2)

7p = 6 − 3p

10p = 6

p = 0.6

k = 1 − 0.3 = 0.7

✅ פתרון סופי: p = 0.6 , k = 0.7

סעיף ג – לפחות תומך אחד ולפחות מתנגד אחד

כל צעיר תומך בהסתברות 12 (לפי הנתון), והראיונות בלתי תלויים. המאורע המשלים: כל 6 תומכים או כל 6 מתנגדים:

P = 1 − (12)⁶ − (12)⁶📐 מאורע משליםP(Ā) = 1 − P(A)

P = 1 − 164 − 164

P = 6264 = 3132

✅ פתרון סופי: 3132 ≈ 0.969

סעיף ד – בדיוק 3 צעירים והאחרון צעיר

כל מרואיין הוא צעיר בהסתברות p = 0.6. המרואיין האחרון (החמישי) צעיר, ובין 4 הראשונים בדיוק 2 צעירים:

P = 0.6 · C(4 , 2) · 0.6² · 0.4²📐 נוסחת ברנוליP(X = k) =
C(n , k) · p^k · (1 − p)^n−k

P = 0.6 · 6 · 0.36 · 0.16

P = 0.20736 = 6483125

✅ פתרון סופי: 6483125 = 0.20736

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	p + k − 1
סעיף ב	p = 0.6 , k = 0.7
סעיף ג	3132 ≈ 0.969
סעיף ד	6483125 = 0.20736

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – עץ עם נעלמים והסתברות מותנית

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד ב׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

המנויים של עיתון מסוים גרים בחיפה או בתל אביב בלבד.

בבוקר מסוים חלק מן המנויים קיבלו את העיתון בזמן, והשאר לא קיבלו אותו בזמן.

ההסתברות שמנוי שגר בחיפה קיבל את העיתון בזמן היא 34.

ההסתברות שמנוי שקיבל את העיתון בזמן גר בחיפה היא 59.

נסמן ב־p את ההסתברות שמנוי שנבחר באקראי גר בחיפה.

א. הביעו באמצעות p את ההסתברות שמנוי שנבחר באקראי גר בתל אביב וקיבל את העיתון בזמן.

נתון: ההסתברות שמנוי שנבחר באקראי גר בתל אביב ולא קיבל את העיתון בזמן גדולה פי 1.5 מן ההסתברות שמנוי שנבחר באקראי גר בתל אביב וקיבל את העיתון בזמן.

ב. מהו אחוז המנויים שקיבלו את העיתון בזמן?

בוחרים באקראי שני מנויים שלא קיבלו את העיתון בזמן.

ג. מהי ההסתברות שהראשון גר בתל אביב והשני גר בחיפה?

בבוקר זה התקשרו 6 מנויים שלא קיבלו את העיתון בזמן.

ד. מהי ההסתברות שלכל היותר 4 מהם גרים בחיפה?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – גר בתל אביב וקיבל בזמן

נסמן: H – גר בחיפה, A – גר בתל אביב, Z – קיבל את העיתון בזמן.

P(H) = p , P(A) = 1 − p

לפי הנתון הראשון:

P(Z | H) = 34

P(H ∩ Z) = P(H) · P(Z | H) = 34p📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

לפי הנתון השני:

P(H | Z) = P(H ∩ Z)P(Z) = 59📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

34pP(Z) = 59

P(Z) = 34p · 95 = 2720p

מי שקיבל בזמן גר בחיפה או בתל אביב:

P(A ∩ Z) = P(Z) − P(H ∩ Z)📐 נוסחה: הסתברות שלמהP(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B)

P(A ∩ Z) = 2720p − 1520p = 1220p = 35p

✅ פתרון סופי: 35p

סעיף ב – אחוז המקבלים בזמן

לפי הנתון:

P(A ∩ Z̄) = 1.5 · 35p = 910p

כל מנוי מתל אביב קיבל בזמן או לא קיבל בזמן:

P(A) = P(A ∩ Z) + P(A ∩ Z̄)📐 נוסחה: הסתברות שלמהP(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B)

1 − p = 35p + 910p

1 − p = 1510p = 1.5p

1 = 2.5p

p = 0.4

נציב ב־P(Z) מסעיף א:

P(Z) = 2720 · 0.4 = 0.54

✅ פתרון סופי: 54%

סעיף ג – הראשון מתל אביב והשני מחיפה

נחשב את ההסתברויות של מי שלא קיבל בזמן (p = 0.4):

P(Z̄) = 1 − 0.54 = 0.46📐 נוסחה: מאורע משליםP(A) = 1 − P(Ā)

P(H ∩ Z̄) = P(H) − P(H ∩ Z)

P(H ∩ Z̄) = 0.4 − 34 · 0.4 = 0.1

P(A ∩ Z̄) = 910 · 0.4 = 0.36

בין מי שלא קיבלו בזמן:

P(A | Z̄) = 0.360.46 = 1823📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

P(H | Z̄) = 0.10.46 = 523📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

הבחירות של שני המנויים בלתי תלויות (אוכלוסייה גדולה):

P = 1823 · 523📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)

P = 90529 ≈ 0.170

✅ פתרון סופי: 90529 ≈ 0.170

סעיף ד – לכל היותר 4 מחיפה

כל אחד מ־6 המנויים (שלא קיבלו בזמן) גר בחיפה בהסתברות 523, באופן בלתי תלוי. זו התפלגות ברנולי עם n = 6 , p = 523.

"לכל היותר 4" – המשלים הוא "5 או 6":

P(X ≤ 4) =📐 נוסחה: מאורע משליםP(A) = 1 − P(Ā)

= 1 − P(X = 5) − P(X = 6)

P(X = 5) = 6 · (523)⁵ · 1823📐 נוסחה: נוסחת ברנוליP(X = k) == C(n , k) · p^k · (1 − p)^n−k

P(X = 5) ≈ 0.00228

P(X = 6) = (523)⁶📐 נוסחה: נוסחת ברנוליP(X = k) == C(n , k) · p^k · (1 − p)^n−k

P(X = 6) ≈ 0.00011

P(X ≤ 4) ≈ 1 − 0.00228 − 0.00011

P(X ≤ 4) ≈ 0.9976

✅ פתרון סופי: ≈ 0.9976

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	35p
סעיף ב	54%
סעיף ג	90529 ≈ 0.170
סעיף ד	≈ 0.9976

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 37 – בגרות 2023 מועד ב

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד א׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

במכללה גדולה, הועלתה הצעה לקצר את הפסקת הצוהריים כדי לסיים מוקדם יותר את יום הלימודים.

בעקבות זאת ערכו משאל ובו השתתפו כל תלמידי שנה א׳ וכל תלמידי שנה ב׳.

על פי תוצאות המשאל התברר כי 80% מן המשתתפים שבעד ההצעה הם תלמידי שנה א׳. עוד התברר כי מספר תלמידי שנה א׳ שבעד ההצעה שווה למספר תלמידי שנה ב׳ שנגד ההצעה. מבין המשתתפים במשאל לא היו נמנעים.

נסמן ב־p את ההסתברות לבחור באקראי תלמיד שבעד ההצעה מבין כל התלמידים שהשתתפו במשאל.

א. בחרו באקראי אחד מתלמידי שנה ב׳. מהי ההסתברות שהוא נגד ההצעה?

ידוע כי ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי מבין תלמידי שנה א׳ הוא בעד ההצעה, גדולה ב־1335 מן ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי מבין תלמידי שנה ב׳ הוא בעד ההצעה.

ב. חשבו את הערך של p.

ג. בחרו באקראי אחד מן המשתתפים במשאל. חשבו את ההסתברות שמתקיים לפחות אחד משני התנאים האלה: I. המשתתף שנבחר הוא תלמיד שנה ב׳. II. המשתתף שנבחר בעד ההצעה.

ד. בחרו באקראי 5 מן המשתתפים במשאל. ידוע כי כל החמישה שנבחרו הם תלמידי שנה ב׳. מהי ההסתברות שלפחות שניים מהם בעד ההצעה וגם לפחות שניים מהם נגד ההצעה?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – תלמיד שנה ב׳ שנגד ההצעה

נסמן: S – בעד ההצעה, A – שנה א׳, B – שנה ב׳. נתון P(S) = p.

P(A ∩ S) = 0.8p📐 הסתברות של חיתוךP(A ∩ S) = P(S) · P(A | S)

P(B ∩ S) = 0.2p

מספר תלמידי שנה א׳ שבעד שווה למספר תלמידי שנה ב׳ שנגד:

P(B ∩ S̄) = P(A ∩ S) = 0.8p

P(B) = P(B ∩ S) + P(B ∩ S̄)

P(B) = 0.2p + 0.8p = p

P(S̄ | B) = 0.8pp = 0.8📐 הסתברות מותניתP(X | Y) = P(X ∩ Y)P(Y)

✅ פתרון סופי: 0.8

סעיף ב – הערך של p

P(S | B) = 1 − 0.8 = 0.2

P(A) = 1 − p

P(S | A) = 0.8p1 − p📐 הסתברות מותניתP(X | Y) = P(X ∩ Y)P(Y)

0.8p1 − p = 0.2 + 1335

0.8p1 − p = 2035 = 47

5.6p = 4 − 4p

9.6p = 4

p = 49.6 = 512

✅ פתרון סופי: p = 512

סעיף ג – שנה ב׳ או בעד

P(B ∪ S) = P(B) + P(S) − P(B ∩ S)📐 הסתברות של איחודP(X ∪ Y) =
P(X) + P(Y) − P(X ∩ Y)

= p + p − 0.2p = 1.8p

= 1.8 · 512 = 34

✅ פתרון סופי: 34 = 0.75

סעיף ד – לפחות 2 בעד ולפחות 2 נגד

בין תלמידי שנה ב׳ ההסתברות שתלמיד בעד היא 0.2 (סעיף ב). מתוך 5 – לפחות 2 בעד ולפחות 2 נגד פירושו 2 או 3 בעד:

P(2) = C(5,2) · 0.2² · 0.8³📐 נוסחת ברנוליP(k) = C(n,k) · p^k · (1 − p)^n−k

P(2) = 10 · 0.04 · 0.512 = 0.2048

P(3) = C(5,3) · 0.2³ · 0.8²

P(3) = 10 · 0.008 · 0.64 = 0.0512

P = 0.2048 + 0.0512 = 0.256 = 32125

✅ פתרון סופי: 0.256 = 32125

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	0.8
סעיף ב	p = 512
סעיף ג	34 = 0.75
סעיף ד	0.256 = 32125

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – עץ עם נעלמים והסתברות מותנית

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד ב׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בסקר השתתפו אנשים רבים – מבוגרים וצעירים.

בסקר נמצא שמספר המבוגרים ששולטים באנגלית גדול פי 3 ממספר הצעירים ששולטים בה, ומספר המבוגרים שלא שולטים באנגלית גדול פי 223 ממספר המבוגרים ששולטים בה.

נסמן ב־p את ההסתברות לבחור באקראי צעיר ששולט באנגלית מבין כלל המשתתפים בסקר.

א. מצאו את ההסתברות לבחור באקראי מבוגר ששולט באנגלית מבין כלל המבוגרים שהשתתפו בסקר.

ב. בוחרים באקראי שלושה מבוגרים מבין המבוגרים שהשתתפו בסקר. מצאו את ההסתברות שבדיוק שניים מהם שולטים באנגלית.

ג. (1) הביעו באמצעות p את ההסתברות לבחור באקראי צעיר שלא שולט באנגלית מבין כלל המשתתפים בסקר.

(2) הראו כי תחום הערכים האפשרי בעבור p הוא 0 < p < 112.

ידוע כי ההסתברות לבחור באקראי מבוגר מבין משתתפי הסקר שלא שולטים באנגלית שווה להסתברות לבחור באקראי צעיר מבין משתתפי הסקר שלא שולטים באנגלית.

ד. מצאו את הערך של p.

ה. האם המאורעות "לשלוט באנגלית" ו"להיות מבוגר" תלויים זה בזה? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – מבוגר ששולט באנגלית

נבטא כל קבוצה כחלק מכלל המשתתפים. צעירים ששולטים:

מבוגרים ששולטים – פי 3:

מבוגרים שלא שולטים – פי 2⅔ מהמבוגרים ששולטים:

83 · 3p = 8p

כל המבוגרים:

3p + 8p = 11p

מבין המבוגרים, החלק ששולט באנגלית:

P = 3p11p = 311📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

✅ פתרון סופי: 311

סעיף ב – שלושה מבוגרים

כל מבוגר שולט באנגלית בהסתברות 311 ולא שולט בהסתברות 811:

P = C(3 , 2) · (311)² · 811📐 נוסחת ברנוליP = C(n , k) · p^k · (1 − p)^{n − k}

= 3 · 9121 · 811

= 2161331 ≈ 0.162

✅ פתרון סופי: 2161331

סעיף ג (1) – צעיר שלא שולט

סכום ההסתברויות של ארבע הקבוצות הוא 1:

p + 3p + 8p + x = 1

x = 1 − 12p

✅ פתרון סופי: 1 − 12p

סעיף ג (2) – תחום הערכים של p

יש צעירים ששולטים באנגלית, ולכן:

p > 0

וההסתברות של צעיר שלא שולט חייבת להיות חיובית (יש גם צעירים שלא שולטים):

1 − 12p > 0 ⟸ p < 112

0 < p < 112

✅ פתרון סופי: הוכחה

סעיף ד – הערך של p

מבין שלא שולטים באנגלית: מבוגרים 8p, צעירים 1 − 12p. ההסתברויות המותנות שוות כשהחלקים שווים:

8p8p + 1 − 12p = 1 − 12p8p + 1 − 12p📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

8p = 1 − 12p

20p = 1 ⟸ p = 120

✅ פתרון סופי: p = 120

סעיף ה – תלות

עם p = 0.05. ההסתברות לשלוט באנגלית:

p + 3p = 4p = 0.2

ההסתברות להיות מבוגר:

11p = 0.55

ההסתברות לשלוט באנגלית וגם להיות מבוגר:

3p = 0.15

0.2 · 0.55 = 0.11 ≠ 0.15📐 מאורעות בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)

המכפלה לא שווה להסתברות החיתוך, ולכן המאורעות תלויים.

✅ פתרון סופי: תלויים

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	311
סעיף ב	2161331
סעיף ג (1)	1 − 12p
סעיף ג (2)	הוכחה
סעיף ד	p = 120
סעיף ה	תלויים

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 17 – טבלה דו־ממדית

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בחממה גדולה של פרחים יש אך ורק פרחים לבנים וסגולים.

ההסתברות לבחור באקראי שני פרחים לבנים גדולה פי 2.25 מן ההסתברות לבחור באקראי שני פרחים סגולים.

א. חשבו את אחוז הפרחים הסגולים בחממת הפרחים.

בחממה זו, לכמה מן הפרחים הלבנים, ורק להם, יש עלים גדולים. לשאר הפרחים יש עלים קטנים.

ירדן בחרה באקראי שני פרחים. ההסתברות שירדן בחרה פרח אחד שיש לו עלים קטנים ופרח אחד שיש לו עלים גדולים היא 0.455.

ב. (1) חשבו את אחוז הפרחים בחממה שיש להם עלים גדולים.

(2) חשבו את ההסתברות שירדן בחרה פרח סגול, אם ידוע שרק לאחד מן הפרחים שהיא בחרה יש עלים גדולים.

ג. כינרת הכינה זר מ־7 פרחים לבנים בדיוק, שנבחרו באקראי בחממה.

חשבו את ההסתברות שיש בזר פרח אחד לפחות שיש לו עלים גדולים ופרח אחד לפחות שיש לו עלים קטנים.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – אחוז הפרחים הסגולים

החממה גדולה, ולכן הבחירות בלתי תלויות. נסמן ב־p את ההסתברות לפרח סגול; ההסתברות לפרח לבן 1 − p.

(1 − p)² = 2.25p²📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)

שני האגפים חיוביים, ונוציא שורש:

1 − p = 1.5p

2.5p = 1

p = 0.4

✅ פתרון סופי: 40%

סעיף ב (1) – אחוז הפרחים עם עלים גדולים

נסמן ב־q את ההסתברות לפרח עם עלים גדולים. פרח אחד גדול ואחד קטן – בשני סדרים אפשריים:

2q(1 − q) = 0.455📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)

2q − 2q² = 0.455

2q² − 2q + 0.455 = 0

q = 2 ± √(4 − 3.64)4 = 2 ± 0.64📐 נוסחה: נוסחת השורשיםx = −b ± √(b² − 4ac)2a

q = 0.65

או

q = 0.35

עלים גדולים יש רק לחלק מהפרחים הלבנים, והלבנים הם 60%. לכן q < 0.6, ו־q = 0.65 נפסל.

q = 0.35

✅ פתרון סופי: 35%

סעיף ב (2) – הסתברות מותנית

נסמן: G – רק לאחד הפרחים עלים גדולים (ידוע P(G) = 0.455), S – ירדן בחרה פרח סגול.

אם רק לאחד הפרחים עלים גדולים – הוא לבן (רק ללבנים יש עלים גדולים). כדי שייבחר פרח סגול, הפרח השני צריך להיות סגול (לסגולים תמיד עלים קטנים):

P(S ∩ G) = 2 · 0.35 · 0.4 = 0.28📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)

P(S | G) = 0.280.455📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

P(S | G) = 813 ≈ 0.615

✅ פתרון סופי: 813 ≈ 0.615

סעיף ג – זר של 7 פרחים לבנים

הפרחים בזר לבנים. מבין הלבנים (0.6 מהחממה), לחלק שהוא 0.35 מהחממה יש עלים גדולים:

P(גדולים | לבן) = 0.350.6 = 712📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

P(קטנים | לבן) = 1 − 712 = 512📐 נוסחה: מאורע משליםP(A) = 1 − P(A)

"לפחות אחד גדול ולפחות אחד קטן" – המשלים: כל ה־7 גדולים או כל ה־7 קטנים:

P = 1 − (712)⁷ − (512)⁷📐 נוסחה: מאורע משליםP(A) = 1 − P(A)

P ≈ 1 − 0.02298 − 0.00218

P ≈ 0.9748

✅ פתרון סופי: ≈ 0.975

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	40%
סעיף ב (1)	35%
סעיף ב (2)	813 ≈ 0.615
סעיף ג	≈ 0.975

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 21 – עץ, נעלמים והסתברות מותנית

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2021 מועד מיוחד ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2021 מועד א׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בבית ספר תיכון גדול מאוד, מספר התלמידים גדול פי 9 ממספר המורים.

בבית הספר נערך סקר שהשתתפו בו כל המורים והתלמידים בבית הספר, והם בלבד. המשתתפים בסקר נשאלו אם הם נבדקו לגילוי קורונה.

נמצא כי 80% מן המורים בבית הספר נבדקו לגילוי קורונה.

כמו כן נמצא כי 1315 מכלל המשתתפים בסקר (מורים ותלמידים), שנבדקו לגילוי קורונה, היו תלמידים.

א. מהי ההסתברות שמבין כל המשתתפים בסקר ייבחר באקראי תלמיד שלא נבדק לגילוי קורונה?

בחרו באקראי בזה אחר זה 5 משתתפים מבין כל משתתפי הסקר.

ב. מהי ההסתברות שלפחות 4 מהם נבדקו לגילוי קורונה?

ג. ידוע כי מבין החמישה שנבחרו, לפחות משתתף אחד נבדק לגילוי קורונה. מהי ההסתברות שלפחות 4 מן המשתתפים שנבחרו נבדקו לגילוי קורונה?

ד. ידוע כי מבין החמישה שנבחרו, בדיוק 2 נבדקו לגילוי קורונה. מהי ההסתברות שהאחרון שנבחר נבדק לגילוי קורונה?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – תלמיד שלא נבדק

נסמן את מספר המורים t. מספר התלמידים 9t, וסך הכול 10t משתתפים.

מורים שנבדקו = 0.8t

נסמן ב־N את מספר כל הנבדקים. 1315 מהם תלמידים, ולכן 215 מהם מורים:

215N = 0.8t

N = 6t

תלמידים שנבדקו:

6t − 0.8t = 5.2t

תלמידים שלא נבדקו:

9t − 5.2t = 3.8t

P = 3.8t10t = 0.38📐 נוסחה: הסתברותP = מספר המקרים הרצוייםמספר כל המקרים

✅ פתרון סופי: 0.38

סעיף ב – לפחות 4 מתוך 5 נבדקו

בית הספר גדול מאוד – הבחירות בלתי תלויות, וההסתברות שמשתתף נבדק קבועה:

p = 6t10t = 0.6

P(4) = C(5 , 4) · 0.6⁴ · 0.4📐 נוסחה: נוסחת ברנוליP(k) = C(n , k) · p^k· (1 − p)^{n − k}

= 5 · 0.1296 · 0.4 = 0.2592

P(5) = 0.6⁵ = 0.07776

P(≥ 4) = 0.2592 + 0.07776

= 0.33696

✅ פתרון סופי: 0.33696

סעיף ג – בהינתן שלפחות אחד נבדק

P(≥ 1) = 1 − 0.4⁵📐 נוסחה: מאורע משליםP(לפחות 1) = 1 − P(0)

= 1 − 0.01024 = 0.98976

המאורע "לפחות 4" כלול במאורע "לפחות 1":📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

P = 0.336960.98976

= 3511031 ≈ 0.3405

✅ פתרון סופי: 3511031 ≈ 0.3405

סעיף ד – האחרון נבדק, בהינתן בדיוק 2

בהינתן שבדיוק 2 מתוך 5 נבדקו, כל סידור של שני הנבדקים בין חמשת המקומות שווה הסתברות:📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

P = C(4 , 1) · 0.6² · 0.4³C(5 , 2) · 0.6² · 0.4³

= 410 = 0.4

✅ פתרון סופי: 0.4

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	0.38
סעיף ב	0.33696
סעיף ג	3511031 ≈ 0.3405
סעיף ד	0.4

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 24 – ברנולי

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2021 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

🌳 עץ הסתברות

📅 קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

כדי להתקבל לעבודה בחברה מסוימת על המועמדים לעבור שלושה שלבי קבלה זה אחר זה: מבחן א', מבחן ב' וריאיון אישי. רק מועמד שעובר את מבחן א' ניגש למבחן ב', ורק מועמד שעובר את מבחן ב' ניגש לריאיון. מועמד שעובר את כל שלושת השלבים מתקבל לעבודה.

ההסתברות שמועמד יעבור את מבחן א' היא p (0 < p < 1).

ההסתברות שמועמד שעבר את מבחן א' יעבור את מבחן ב' גדולה פי 2 מן ההסתברות שמועמד יעבור את מבחן א'.

ההסתברות שמועמד יתקבל לעבודה גדולה פי 3 מן ההסתברות שמועמד יעבור את שני המבחנים ולא יעבור את הריאיון.

א. מצאו את ההסתברות שמועמד שעבר את שני המבחנים יעבור את הריאיון.

94% מן המועמדים לא מתקבלים לעבודה.

ב. מצאו את הערך של p.

ג. ידוע כי מועמד לא התקבל לעבודה. מהי ההסתברות שמועמד זה עבר את מבחן א'?

מבין כל המועמדים שלא התקבלו לעבודה בוחרים באקראי 5 מועמדים.

ד. מהי ההסתברות שלפחות שניים מהם עברו את מבחן א'?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – ההסתברות לעבור את הריאיון אחרי שני המבחנים

נבנה עץ הסתברויות. ההסתברות לעבור את מבחן ב' (אחרי שעבר את א') היא פי 2 מ־p, כלומר 2p. נסמן ב־r את ההסתברות שמועמד שעבר את שני המבחנים יעבור את הריאיון.

נסמן: A – המועמד עבר את מבחן א'; K – המועמד התקבל לעבודה; K – המועמד לא התקבל.

P(K) = p · 2p · r = 2p²r📐 הסתברות לאורך ענף בעץמכפילים את ההסתברויות שעל הענפים

ההסתברות לעבור את שני המבחנים ולא לעבור את הריאיון:

P = p · 2p · (1 − r)📐 הסתברות לאורך ענף בעץמכפילים את ההסתברויות שעל הענפים

= 2p²(1 − r)

נתון: ההסתברות להתקבל גדולה פי 3:

2p²r = 3 · 2p²(1 − r)

נחלק את שני האגפים ב־2p² (שונה מ־0):

r = 3(1 − r)

r = 3 − 3r

4r = 3

r = 34 = 0.75

✅ פתרון סופי: 0.75

סעיף ב – מציאת p

94% לא מתקבלים, ולכן ההסתברות להתקבל:📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(A)

P(K) = 1 − 0.94 = 0.06

2p² · 0.75 = 0.06📐 הסתברות לאורך ענף בעץמכפילים את ההסתברויות שעל הענפים

1.5p² = 0.06

p² = 0.061.5 = 0.04

p = 0.2 או p = −0.2

הסתברות לא יכולה להיות שלילית, ולכן p = −0.2 נפסל.

בדיקה: ההסתברות לעבור את מבחן ב' היא 2p = 0.4 – קטנה מ־1, תקין.

✅ פתרון סופי: p = 0.2

סעיף ג – הסתברות שעבר את מבחן א' בתנאי שלא התקבל

זו הסתברות מותנית:📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

P(A | K)

= P(A ∩ K)P(K)

מי שעבר את מבחן א' – או שהתקבל (עבר הכול), או שלא התקבל. לכן:

P(A ∩ K)

= P(A) − P(K)

= 0.2 − 0.06 = 0.14

נציב (P(K) = 0.94):

P = 0.140.94 = 1494 = 747

≈ 0.149

✅ פתרון סופי: 747 ≈ 0.149

סעיף ד – לפחות שניים מתוך 5 עברו את מבחן א'

בוחרים 5 מועמדים מבין אלה שלא התקבלו. לכל אחד מהם ההסתברות שעבר את מבחן א' היא 747 (סעיף ג), וההסתברות שלא עבר היא 1 − 747 = 4047. זו התפלגות ברנולי עם n = 5.

"לפחות שניים" = כל המקרים פחות "אף אחד" ופחות "בדיוק אחד":

נסמן ב־X את מספר המועמדים (מתוך 5) שעברו את מבחן א'.

P(X ≥ 2)

= 1 − P₅(0) − P₅(1)

P₅(0)📐 נוסחת ברנוליP_n(k) = C(n,k) · p^k · (1 − p)^n−kC(n,k) – מספר הדרכים לבחור k מתוך n

= C(5,0) · (747)⁰ · (4047)⁵

= (4047)⁵ ≈ 0.4465

P₅(1)📐 נוסחת ברנוליP_n(k) = C(n,k) · p^k · (1 − p)^n−kC(n,k) – מספר הדרכים לבחור k מתוך n

= C(5,1) · 747 · (4047)⁴

= 5 · 747 · (4047)⁴ ≈ 0.3907

P(X ≥ 2)

≈ 1 − 0.4465 − 0.3907

P(X ≥ 2) ≈ 0.163

✅ פתרון סופי: ≈ 0.163

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	0.75
סעיף ב	p = 0.2
סעיף ג	747 ≈ 0.149
סעיף ד	≈ 0.163

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 40 – פתרון שאלת הסתברות מבגרות 2026 מועד ב

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בשק א׳ ובשק ב׳ יש כדורים משני סוגים: כדורים רכים וכדורים קשים.

בשק א׳ יש 10 כדורים, מתוכם 4 כדורים רכים והשאר קשים.

בשק ב׳ יש 12 כדורים, מתוכם x כדורים רכים והשאר קשים.

גלית בוחרת באקראי שק ומוציאה ממנו באקראי כדור אחד. לאחר מכן היא מחזירה את הכדור לשק ומוציאה באקראי כדור שני מאותו השק (הוצאה עם החזרה).

נתון כי ההסתברות שגלית הוציאה שני כדורים רכים היא 41200.

א. מצאו את הערך של x.

ב. ידוע שגלית הוציאה שני כדורים מאותו הסוג. מהי ההסתברות שהיא הוציאה שני כדורים משק א׳?

גלית מבצעת את התהליך המתואר לפניכם 4 פעמים: היא בוחרת באקראי שק ומוציאה ממנו באקראי כדור אחד. לאחר מכן היא מחזירה את הכדור לשק ומוציאה באקראי כדור שני מאותו השק (הוצאה עם החזרה).

ג. מהי ההסתברות שגלית הוציאה בדיוק בשתיים מן הפעמים רק כדורים קשים?

ד. מהי ההסתברות שגלית הוציאה בשתיים מן הפעמים רק כדורים קשים ובשתיים מן הפעמים רק כדורים רכים?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הערך של x

בוחרים שק באקראי, ולכן לכל שק הסתברות 12. בכל שק ההוצאות הן עם החזרה, כלומר שתי ההוצאות בלתי תלויות וההסתברות לא משתנה.

שק א׳: P(רך) = 410 = 0.4 , P(קשה) = 610 = 0.6

שק ב׳: P(רך) = x12 , P(קשה) = 12 − x12

לפי עץ ההסתברויות, יש שני ענפים שבהם יוצאים שני כדורים רכים – אחד דרך כל שק. כופלים לאורך כל ענף ומחברים את הענפים:

P(שני רכים)📐 כלל: עץ הסתברויותכופלים לאורך ענף, מחברים בין ענפים

= 12 · 0.4² + 12 · (x12)²

12 · 0.16 + 12 · x²144 = 41200

0.08 + x²288 = 0.205

x²288 = 0.205 − 0.08

x²288 = 0.125

x² = 0.125 · 288

x² = 36

x = 6 או x = −6

מספר הכדורים לא יכול להיות שלילי, ולכן x = 6. בשק ב׳ יש 6 כדורים רכים ו־6 קשים.

✅ פתרון סופי: x = 6

סעיף ב – הסתברות מותנה: משק א׳

זו הסתברות מותנה: יודעים שהכדורים מאותו הסוג, ושואלים מה ההסתברות שזה היה שק א׳.

בשק ב׳: P(רך) = 612 = 0.5 , P(קשה) = 0.5.

שני כדורים מאותו הסוג משק א׳ (שני רכים או שני קשים):

P(א׳ ∩ אותו סוג)

= 12 · (0.4 · 0.4 + 0.6 · 0.6)

= 12 · (0.16 + 0.36) = 12 · 0.52

= 0.26

שני כדורים מאותו הסוג משק ב׳:

P(ב׳ ∩ אותו סוג)

= 12 · (0.5 · 0.5 + 0.5 · 0.5)

= 12 · 0.5 = 0.25

P(אותו סוג) = 0.26 + 0.25 = 0.51

P(א׳ | אותו סוג)📐 נוסחה: הסתברות מותנהP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

= P(א׳ ∩ אותו סוג)P(אותו סוג) = 0.260.51 = 2651

2651 ≈ 0.51

✅ פתרון סופי: 2651 ≈ 0.51

סעיף ג – בדיוק פעמיים רק קשים

קודם נחשב את ההסתברות שבתהליך אחד יוצאים רק כדורים קשים (שני קשים):

P(שני קשים)📐 כלל: עץ הסתברויותכופלים לאורך ענף, מחברים בין ענפים

= 12 · 0.6² + 12 · 0.5²

= 12 · 0.36 + 12 · 0.25

= 0.18 + 0.125 = 0.305

התהליך חוזר 4 פעמים באופן זהה ובלתי תלוי. "הצלחה" = שני קשים, p = 0.305. מחפשים בדיוק 2 הצלחות מתוך 4 – נוסחת ברנולי:

P₄(2) = 4!2! · 2! · 0.305² · 0.695²📐 נוסחה: נוסחת ברנוליP_n(k) = n!k!(n − k)! ·· p^k · (1 − p)^n−k

= 6 · 0.305² · 0.695²

= 6 · 0.093025 · 0.483025

≈ 0.2696

✅ פתרון סופי: ≈ 0.27 (בדיוק: 0.2696)

סעיף ד – פעמיים קשים ופעמיים רכים

כאן בכל אחת מארבע הפעמים יש שלוש אפשרויות: שני קשים, שני רכים, או כדור אחד מכל סוג. מחפשים: פעמיים "שני קשים" ופעמיים "שני רכים".

P(שני קשים) = 0.305

P(שני רכים) = 41200 = 0.205

הסתברות של סדר מסוים אחד, למשל קשים, קשים, רכים, רכים:

0.305 · 0.305 · 0.205 · 0.205

= 0.305² · 0.205²

מספר הסדרים: בוחרים אילו 2 מתוך 4 הפעמים הן "שני קשים" (השאר "שני רכים"):

4!2! · 2! = 244 = 6📐 נוסחה: מספר סידוריםn!k!(n − k)!

P = 6 · 0.305² · 0.205²

= 6 · 0.093025 · 0.042025

≈ 0.0235

✅ פתרון סופי: ≈ 0.023 (בדיוק: 0.02346)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	x = 6
סעיף ב	2651 ≈ 0.51
סעיף ג	≈ 0.27
סעיף ד	≈ 0.023

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – עץ עם נעלמים והסתברות מותנה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

במדינה גדולה התקיימו בחירות. המצביעים יכולים להצביע למפלגה א' או למפלגה ב' בלבד. נסמן ב־P את ההסתברות שמצביע שנבחר באקראי הצביע למפלגה א' (0 < P < 1).

בוחרים באקראי 3 מצביעים. נתון כי ההסתברות שבדיוק אחד מהם הצביע למפלגה א' גדולה פי 2 מן ההסתברות ששלושתם הצביעו למפלגה ב'.

א. מצאו את הערך של P.

בוחרים באקראי 4 מצביעים. ידוע כי ארבעתם הצביעו לאותה המפלגה.

ב. מהי ההסתברות שהם הצביעו למפלגה א'?

חלק מן המצביעים הם מבוגרים והשאר צעירים. נתון כי 40% מן המצביעים המבוגרים הצביעו למפלגה ב' ו־15% מן המצביעים הצעירים הצביעו למפלגה א'.

ג. מהי ההסתברות לבחור באקראי מצביע צעיר אחד מבין כל המצביעים?

לאחר הבחירות נערך סקר טלפוני. דני, אחד הסוקרים, התקשר באקראי למצביעים צעירים בלבד, בזה אחר זה, והפסיק מייד לאחר שריאיין צעיר אחד שהצביע למפלגה אחת וצעיר נוסף שהצביע למפלגה האחרת.

ד. מהי ההסתברות שדני התקשר ל־5 צעירים בדיוק?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הערך של P

כל מצביע מצביע למפלגה א' בהסתברות P, ולמפלגה ב' בהסתברות 1 − P, באופן בלתי תלוי.

P₁ = 3 · P · (1 − P)²📐 נוסחת ברנוליP(k) = C(n , k)· p^k · (1 − p)^n−k

P₀ = (1 − P)³

(P₁ – בדיוק אחד למפלגה א'; P₀ – שלושתם למפלגה ב'.) נתון P₁ = 2P₀:

3P(1 − P)² = 2(1 − P)³

נחלק ב־(1 − P)² (שונה מ־0):

3P = 2(1 − P)

3P = 2 − 2P

5P = 2 ⇒ P = 0.4

✅ פתרון סופי: P = 0.4 = 25

סעיף ב – כולם למפלגה א' בתנאי שכולם לאותה מפלגה

P(AAAA) = 0.4⁴ = 0.0256

P(BBBB) = 0.6⁴ = 0.1296

(A – הצבעה למפלגה א', B – למפלגה ב'.) "כולם לאותה מפלגה" = AAAA או BBBB:

P = 0.02560.0256 + 0.1296📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

P = 0.02560.1552 = 1697 ≈ 0.165

✅ פתרון סופי: 1697 ≈ 0.165

סעיף ג – הסתברות לבחור צעיר

נסמן ב־y את ההסתברות לבחור צעיר. אז ההסתברות לבחור מבוגר היא 1 − y.

מבוגרים: 40% הצביעו ב', ולכן 60% הצביעו א'. צעירים: 15% הצביעו א'.

P(A)📐 נוסחת ההסתברות השלמהP(A) = P(B) · P(A|B)+ P(B̄) · P(A|B̄)

= (1 − y) · 0.6 + y · 0.15

לפי סעיף א, P(A) = 0.4:

0.6 − 0.6y + 0.15y = 0.4

0.6 − 0.45y = 0.4

0.45y = 0.2

y = 0.20.45 = 49 ≈ 0.444

✅ פתרון סופי: 49 ≈ 0.444

סעיף ד – דני התקשר ל־5 צעירים בדיוק

אצל הצעירים: מפלגה א' בהסתברות 0.15, מפלגה ב' בהסתברות 0.85.

דני מפסיק בפעם הראשונה שיש לו שני צעירים משתי מפלגות שונות. הוא התקשר ל־5 בדיוק כאשר ארבעת הראשונים הצביעו לאותה מפלגה, והחמישי למפלגה האחרת:

• ארבעה א' ואז ב':

0.15⁴ · 0.85

• ארבעה ב' ואז א':

0.85⁴ · 0.15📐 כלל הכפל (מאורעות בלתי תלויים)P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

0.15⁴ · 0.85

= 0.0004303125

0.85⁴ · 0.15

= 0.0783009375

נחבר את שתי האפשרויות:

P = 0.0004303125

+ 0.0783009375

P = 0.07873125

= 12597160000 ≈ 0.0787

✅ פתרון סופי: ≈ 0.0787

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	P = 0.4
סעיף ב	1697 ≈ 0.165
סעיף ג	49
סעיף ד	≈ 0.0787

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 24 – ברנולי

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2025, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בכד א׳ יש 10 כדורים אדומים ו־15 כדורים צהובים, ובכד ב׳ יש רק כדורים אדומים.

דנה בוחרת באקראי כד ומוציאה ממנו באקראי כדור.

אם הכדור צהוב, היא מוציאה באקראי כדור שני מאותו הכד (הוצאה ללא החזרה). אם הכדור הראשון אדום, היא מחזירה את הכדור לכד ושוב מוציאה באקראי כדור מאותו הכד.

א. ידוע שדנה הוציאה שני כדורים באותו הצבע. מהי ההסתברות ששניהם צהובים?

דנה מחזירה לכד את הכדורים שהוציאה. יעל מבצעת את התהליך הזה: היא בוחרת באקראי כד, מוציאה ממנו באקראי כדור אחד ומחזירה אותו לכד. יעל חוזרת על תהליך זה עד שהיא מוציאה כדור אדום, מחזירה אותו לכד ומפסיקה להוציא כדורים.

ב. מצאו את ההסתברות שיעל ביצעה תהליך זה 6 פעמים בדיוק.

העבירו חלק מן הכדורים מכד ב׳ לכד א׳. לאחר מכן בחרו באקראי כד והוציאו ממנו באקראי כדור אחד. נתון כי לאחר ההעברה ההסתברות שהכדור שהוציאו היה אדום היא 1316.

ג. האם ייתכן שלפני ההעברה היו בכד ב׳ 14 כדורים? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – שני כדורים באותו צבע

נסמן: R – כדור אדום, Y – כדור צהוב.

בכד א׳ יש 25 כדורים: P(R) = 1025 = 0.4, P(Y) = 1525 = 0.6. כל כד נבחר בהסתברות 0.5.

שני צהובים – רק מכד א׳, ללא החזרה (אחרי הוצאת צהוב נשארו 24 כדורים, מהם 14 צהובים):

0.5 · 1525 · 1424 = 0.5 · 0.35📐 נוסחה: מכפלת הסתברויות לאורך ענף בעץP(A ∩ B) = P(A) · P(B|A)

= 0.175

שני אדומים – מכד א׳ (עם החזרה) או מכד ב׳ (שם בטוח אדום):

0.5 · 0.4 · 0.4 + 0.5 · 1 · 1

= 0.08 + 0.5 = 0.58

ההסתברות לשני כדורים באותו צבע:

0.175 + 0.58 = 0.755

P = 0.1750.755 = 175755 = 35151 ≈ 0.232📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A|B) = P(A ∩ B)P(B)

✅ פתרון סופי: 35151 ≈ 0.232

סעיף ב – בדיוק 6 פעמים

בכל ביצוע של התהליך ההסתברות להוציא כדור אדום זהה (הכדור מוחזר):

P(R) = 0.5 · 0.4 + 0.5 · 1 = 0.7

P(Y) = 1 − 0.7 = 0.3

"בדיוק 6 פעמים" – ב־5 הפעמים הראשונות צהוב, ובפעם השישית אדום:

0.3⁵ · 0.7 = 0.00243 · 0.7📐 נוסחה: מכפלת הסתברויות של ניסויים בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)

= 0.001701

✅ פתרון סופי: 0.001701

סעיף ג – העברת כדורים

נניח שהועברו x כדורים אדומים מכד ב׳ לכד א׳, וכד ב׳ לא התרוקן (אחרת אי אפשר להוציא ממנו כדור). אז בכד א׳: 10 + x אדומים מתוך 25 + x, ובכד ב׳ עדיין רק אדומים:

0.5 · 10 + x25 + x + 0.5 · 1 = 1316

10 + x25 + x = 2 · 1316 − 1 = 58

8(10 + x) = 5(25 + x)

80 + 8x = 125 + 5x ⇐ x = 15

כלומר הועברו 15 כדורים, ובכד ב׳ נשארו עוד כדורים. לכן היו בו לפני ההעברה יותר מ־15 כדורים – לא ייתכן שהיו בו 14.

(גם אם מעבירים את כל 14 הכדורים, כד ב׳ ריק ואי אפשר להוציא ממנו כדור; ובכל מקרה 2439 ≠ 1316.)

✅ פתרון סופי: לא ייתכן (צריך להעביר 15 כדורים)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	35151 ≈ 0.232
סעיף ב	0.001701
סעיף ג	לא ייתכן

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – עץ עם נעלמים והסתברות מותנית

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בחידון יש 5 שאלות. ההסתברות לענות נכון על כל אחת מן השאלות היא P. ידוע כי ההסתברות שמתמודד בחידון יענה נכון על 4 שאלות לכל היותר היא 0.83193.

א. מצאו את P.

ב. מצאו את ההסתברות שמתמודד בחידון יענה נכון על 3 שאלות בדיוק.

מספר הנקודות הניתן לכל שאלה זהה למספר השאלה. כלומר מתמודד שענה נכון על שאלה 1 מקבל נקודה אחת, מתמודד שענה נכון על שאלה 2 מקבל שתי נקודות, וכן הלאה.

ג. מצאו את ההסתברות שמתמודד יצבור 14 נקודות לפחות.

ד. מצאו את ההסתברות שמתמודד בחידון יצבור 6 נקודות בדיוק.

ה. ידוע כי אחינועם ענתה נכון על 3 שאלות בדיוק. מצאו את ההסתברות שהיא צברה 6 נקודות בדיוק.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – מציאת P

"לכל היותר 4" הוא המשלים של "כל 5 נכונות":

1 − P⁵ = 0.83193📐 נוסחה: מאורע משליםP(A') = 1 − P(A)

P⁵ = 0.16807 ⇐ P = ⁵√0.16807

= 0.7

✅ פתרון סופי: P = 0.7

סעיף ב – בדיוק 3 תשובות נכונות

P(X = 3)📐 נוסחה: נוסחת ברנוליP(X = k) = (n מעל k) ·
· p^k · (1 − p)^{n − k}

= (5 מעל 3) · 0.7³ · 0.3²

= 10 · 0.343 · 0.09 = 0.3087

✅ פתרון סופי: 0.3087

סעיף ג – לפחות 14 נקודות

הסכום המקסימלי הוא 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. 14 נקודות לפחות: 15 (כל השאלות) או 14 (כולן חוץ משאלה 1). בשני המקרים שאלות 2–5 נכונות, ושאלה 1 – לא משנה:

P = 0.7⁴ = 0.2401📐 נוסחה: מכפלת הסתברויות של מאורעות בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)

✅ פתרון סופי: 0.2401

סעיף ד – בדיוק 6 נקודות

נמצא את כל הצירופים של מספרי שאלות שונים שסכומם 6: {1 , 5}, {2 , 4}, {1 , 2 , 3}.

בכל צירוף, השאלות שבו נכונות והשאר לא נכונות:

{1 , 5}: 0.7² · 0.3³ = 0.01323

{2 , 4}: 0.7² · 0.3³ = 0.01323

{1 , 2 , 3}: 0.7³ · 0.3²

= 0.03087

P = 0.01323 + 0.01323 + 0.03087

= 0.05733

✅ פתרון סופי: 0.05733

סעיף ה – הסתברות מותנית

מבין הצירופים של 3 שאלות, רק {1 , 2 , 3} נותן 6 נקודות.

P = 0.030870.3087 = 0.1📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A|B) = P(A ∩ B)P(B)

(הסבר נוסף: כל 10 הצירופים של 3 שאלות שוות הסתברות, ורק אחד מהם נותן 6 נקודות: 110.)

✅ פתרון סופי: 110

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	P = 0.7
סעיף ב	0.3087
סעיף ג	0.2401
סעיף ד	0.05733
סעיף ה	110

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 24 – ברנולי

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

כדי להתקבל ללימודים בפקולטה מסוימת מועמד צריך להיבחן בשני מבחנים.

ההסתברות שמועמד יצליח במבחן הראשון היא P (P > 0.5).

אם המועמד הצליח במבחן הראשון, אז ההסתברות שהוא יצליח במבחן השני היא P + 0.3.

אם המועמד נכשל במבחן הראשון, אז ההסתברות שהוא יצליח במבחן השני היא P − 0.1.

נתון כי ההסתברות שהמועמד יצליח בדיוק במבחן אחד מבין השניים היא 940.

א. מצאו את P.

כדי להתקבל ללימודים בפקולטה המועמד צריך להצליח בשני המבחנים.

ב. ידוע כי מועמד הצליח לפחות במבחן אחד. מהי ההסתברות שהוא התקבל לפקולטה?

שלושה מועמדים נבחנו בשני המבחנים.

ג. מהי ההסתברות ששני מועמדים מבין השלושה התקבלו לפקולטה ואחד מהם נכשל בשני המבחנים?

n מועמדים נבחנו בשני המבחנים (n ≥ 2).

ד. הביעו באמצעות n את ההסתברות שלפחות מועמד אחד התקבל לפקולטה וגם לפחות מועמד אחד לא התקבל לפקולטה.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – מציאת P

בדיוק מבחן אחד: עובר את הראשון ונכשל בשני, או נכשל בראשון ועובר את השני.

נבנה עץ: בענף הראשון הצלחה בהסתברות P וכישלון בהסתברות 1 − P.📐 עץ הסתברויותכופלים לאורך ענף, ומחברים בין ענפים

P(1 − (P + 0.3)) + (1 − P)(P

− 0.1) = 940

P(0.7 − P) + (1 − P)(P − 0.1)

= 0.225

0.7P − P² + P − 0.1 − P² + 0.1P

= 0.225

−2P² + 1.8P − 0.1 = 0.225

2P² − 1.8P + 0.325 = 0

P = 1.8 ± √3.24 − 2.64 = 1.8 ± 0.84📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b² − 4ac2a

P = 0.65

או

P = 0.25

נתון P > 0.5, ולכן:

P = 0.65

העץ עם P = 0.65 (ההסתברות להצליח בשני: 0.95 אחרי הצלחה, 0.55 אחרי כישלון):

✅ פתרון סופי: P = 0.65

סעיף ב – הסתברות מותנית

התקבל = הצליח בשני המבחנים:📐 עץ הסתברויותכופלים לאורך ענף, ומחברים בין ענפים

ההסתברות להתקבל:

0.65 · 0.95 = 0.6175

נכשל בשניהם:

0.35 · 0.45 = 0.1575

ההסתברות להצליח לפחות במבחן אחד:

1 − 0.1575 = 0.8425📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(Ā)

אם התקבל, הוא בוודאי הצליח לפחות במבחן אחד, ולכן החיתוך הוא 0.6175:

P = 0.61750.8425 = 247337📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

P ≈ 0.733

✅ פתרון סופי: 247337 ≈ 0.733

סעיף ג – שלושה מועמדים

לכל מועמד שלוש אפשרויות שמעניינות אותנו: התקבל (0.6175), נכשל בשניהם (0.1575), או אחרת.

צריך שניים שהתקבלו ואחד שנכשל בשניהם. המועמד שנכשל יכול להיות כל אחד מ־3 המועמדים:

3 · 0.6175² · 0.1575📐 סידוריםמספר המקומות של המועמד שנכשל: 3

= 3 · 0.38131 · 0.1575

≈ 0.180

✅ פתרון סופי: ≈ 0.18

סעיף ד – n מועמדים

כל מועמד מתקבל בהסתברות 0.6175 ולא מתקבל בהסתברות 0.3825.

המאורע המשלים: כולם התקבלו, או אף אחד לא התקבל.

ההסתברות שכולם התקבלו:

0.6175ⁿ

ההסתברות שאף אחד לא התקבל:

0.3825ⁿ

P = 1 − 0.6175ⁿ − 0.3825ⁿ📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(Ā)

= 1 − 247ⁿ + 153ⁿ400ⁿ

✅ פתרון סופי: 1 − 0.6175ⁿ − 0.3825ⁿ

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	P = 0.65
סעיף ב	247337 ≈ 0.733
סעיף ג	≈ 0.18
סעיף ד	1 − 0.6175ⁿ − 0.3825ⁿ = 1 − 247ⁿ + 153ⁿ400ⁿ

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – עץ עם נעלמים ומותנת

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2023, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בארגז א' יש a פירות: 3 תפוחים והשאר אגסים.

בארגז ב' יש b פירות: 5 תפוחים והשאר אגסים.

מוציאים באקראי פרי אחד מארגז א'. אם יצא תפוח – מעבירים אותו לארגז ב', ואם יצא אגס – מחזירים אותו לארגז א'. לאחר מכן מוציאים באקראי פרי אחד מארגז ב'.

א. הביעו באמצעות a ו־b את ההסתברות שיצאו 2 תפוחים.

נתון: ההסתברות להוציא באופן המתואר 2 תפוחים היא 965. ההסתברות להוציא באופן המתואר תפוח אחד ואחר כך אגס אחד היא 21130.

ב. מצאו את a ואת b.

ג. חשבו את ההסתברות שמארגז ב' יצא אגס, אם ידוע כי מארגז א' יצא תפוח.

מעבירים את כל הפירות משני הארגזים לארגז אחר שהיה ריק, ומוציאים ממנו באקראי פרי 6 פעמים, עם החזרה.

ד. מצאו את ההסתברות שב־4 מן הפעמים בדיוק יצא תפוח או שבכל 6 הפעמים יצא אגס.

ה. ידוע שב־4 מן הפעמים בדיוק יצא תפוח. מצאו את ההסתברות שהתפוחים יצאו ברציפות, בזה אחר זה.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – ההסתברות ל־2 תפוחים

מארגז א' יוצא תפוח בהסתברות 3a. התפוח עובר לארגז ב', ושם עכשיו b + 1 פירות, מהם 6 תפוחים:

P = 3a · 6b + 1📐 נוסחה: עץ הסתברותהסתברות של מסלול = מכפלת ההסתברויות לאורכו

P = 18a(b + 1)

✅ פתרון סופי: 18a(b + 1)

סעיף ב – a ו־b

18a(b + 1) = 965

a(b + 1) = 130

תפוח ואחר כך אגס: אחרי שהתפוח עבר, בארגז ב' b − 5 אגסים מתוך b + 1:

3a · b − 5b + 1 = 21130📐 נוסחה: עץ הסתברותהסתברות של מסלול = מכפלת ההסתברויות לאורכו

3(b − 5)a(b + 1) = 21130

3(b − 5)130 = 21130

b − 5 = 7

b = 12

a = 13013 = 10

✅ פתרון סופי: a = 10 , b = 12

סעיף ג – הסתברות מותנית

אם מארגז א' יצא תפוח, הוא עבר לארגז ב'. עכשיו בארגז ב' יש 13 פירות: 6 תפוחים ו־7 אגסים.

ההסתברות המותנת היא ההסתברות להוציא אגס מארגז ב' במצב הזה:

P = 713📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

✅ פתרון סופי: 713

סעיף ד – 4 תפוחים או 6 אגסים

בארגז החדש: 10 + 12 = 22 פירות, מהם 3 + 5 = 8 תפוחים ו־14 אגסים.

ההסתברות להוציא תפוח בכל הוצאה:

p = 822 = 411

שני המאורעות זרים (אם בכל הפעמים יצא אגס – אין אף תפוח). נחבר:

P(X = 4) = C(6 , 4)(411)⁴(711)²📐 נוסחה: נוסחת ברנוליP(X = k) == C(n , k) · p^k · (1 − p)^n−k

P(X = 4) = 1881601771561 ≈ 0.1062

P(X = 0) = (711)⁶

P(X = 0) = 1176491771561 ≈ 0.0664

P = 3058091771561 ≈ 0.173

✅ פתרון סופי: P ≈ 0.173

סעיף ה – תפוחים ברציפות

כל הסידורים של 4 תפוחים ו־2 אגסים שווי הסתברות. מספר הסידורים:

C(6 , 4) = 15📐 נוסחה: מספר סידוריםC(6 , 4) = 6!4! · 2! = 15

סידורים שבהם 4 התפוחים ברציפות: התפוחים בהטלות 1–4, 2–5 או 3–6, כלומר 3 סידורים:

P = 315 = 15📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

✅ פתרון סופי: 15

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	18a(b + 1)
סעיף ב	a = 10 , b = 12
סעיף ג	713
סעיף ד	≈ 0.173
סעיף ה	15

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – עץ עם נעלמים ומותנת

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד א׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

נטע משחקת במשחק מסוים. במשחק זה יש בדיוק שלוש תוצאות אפשריות: ניצחון, תיקו והפסד.

ההסתברות שנטע תנצח במשחק גדולה פי 3 מן ההסתברות שהיא תפסיד במשחק.

נסמן ב־p את ההסתברות שנטע תפסיד במשחק (p > 0).

בשאלה כולה תוצאות המשחקים אינן תלויות זו בזו.

נתון שאם נטע משחקת 2 משחקים בזה אחר זה, ההסתברות שהיא תנצח במשחק אחד לפחות היא 4.5p.

א. מצאו את הערך של p.

נטע שיחקה 5 משחקים בזה אחר זה.

ב. מצאו את ההסתברות שנטע תנצח ב־3 משחקים לפחות.

ג. מצאו את ההסתברות שנטע תנצח בשלושת המשחקים הראשונים לפחות.

ד. (1) מצאו את ההסתברות שנטע לא תפסיד בשום משחק.

(2) ידוע כי נטע הפסידה במשחק אחד לפחות. מהי ההסתברות שהיא ניצחה בשלושת המשחקים הראשונים וקיבלה תוצאת תיקו במשחק האחרון?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הערך של p

ההסתברויות במשחק אחד:

P(הפסד) = p

P(ניצחון) = 3p

P(תיקו) = 1 − p − 3p = 1 − 4p📐 נוסחה: סכום ההסתברויותסכום ההסתברויות של כל התוצאות = 1

"ניצחון במשחק אחד לפחות" – המאורע המשלים: אין ניצחון באף אחד משני המשחקים.

P(אין ניצחון במשחק) = 1 − 3p📐 נוסחה: מאורע משליםP(A) = 1 − P(לא A)

P(אין ניצחון בשניהם) = (1 − 3p)²📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A וגם B) = P(A) · P(B)

ניצחון אחד לפחות:

P = 1 − (1 − 3p)²📐 נוסחה: מאורע משליםP(A) = 1 − P(לא A)

לפי הנתון:

1 − (1 − 3p)² = 4.5p

1 − (1 − 6p + 9p²) = 4.5p📐 נוסחה: ריבוע של הפרש(a − b)² = a² − 2ab + b²

6p − 9p² = 4.5p

1.5p − 9p² = 0

p(1.5 − 9p) = 0

p = 0 או p = 1.59 = 16

נתון p > 0, ולכן p = 16.

אז: P(ניצחון) = 12 , P(תיקו) = 1 − 46 = 13.

✅ פתרון סופי: p = 16

סעיף ב – ניצחון ב־3 משחקים לפחות

5 משחקים בלתי תלויים, בכל משחק "הצלחה" = ניצחון בהסתברות 12 – ניסוי ברנולי.

P₅(3) = C(5,3) · (12)³ · (12)²📐 נוסחה: נוסחת ברנוליP_n(k) = C(n,k)·p^k·(1 − p)^n−k

P₅(3) = 10 · 132 = 1032

P₅(4) = C(5,4) · (12)⁴ · 12📐 נוסחה: נוסחת ברנוליP_n(k) = C(n,k)·p^k·(1 − p)^n−k

P₅(4) = 5 · 132 = 532

P₅(5) = C(5,5) · (12)⁵ = 132📐 נוסחה: נוסחת ברנוליP_n(k) = C(n,k)·p^k·(1 − p)^n−k

ניצחון ב־3 משחקים לפחות:

P = P₅(3) + P₅(4) + P₅(5)

P = 10 + 5 + 132 = 1632 = 12

✅ פתרון סופי: 12

סעיף ג – ניצחון בשלושת המשחקים הראשונים לפחות

צריך ניצחון במשחקים 1, 2 ו־3. במשחקים 4 ו־5 כל תוצאה מתאימה (הסתברות 1).

P = 12 · 12 · 12 · 1 · 1📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A וגם B) = P(A) · P(B)

P = 18

✅ פתרון סופי: 18

סעיף ד (1) – אף הפסד

לא הפסד במשחק אחד: P = 1 − 16 = 56📐 נוסחה: מאורע משליםP(A) = 1 − P(לא A)

אף הפסד ב־5 המשחקים: P = (56)⁵📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A וגם B) = P(A) · P(B)

P = 31257776 ≈ 0.402

✅ פתרון סופי: 31257776 ≈ 0.402

סעיף ד (2) – הסתברות מותנית

B – נטע הפסידה במשחק אחד לפחות.

P(B) = 1 − 31257776 = 46517776📐 נוסחה: מאורע משליםP(A) = 1 − P(לא A)

A – ניצחה בשלושת הראשונים ותיקו במשחק החמישי.

כדי ש־A ו־B יקרו יחד, ההפסד חייב להיות במשחק הרביעי (משחקים 1–3 ניצחון, משחק 5 תיקו):

P(A וגם B) = (12)³ · 16 · 13📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A וגם B) = P(A) · P(B)

P(A וגם B) = 18 · 118 = 1144

P(A | B) = 114446517776📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A וגם B)P(B)

P(A | B) = 1144 · 77764651 = 544651

P(A | B) ≈ 0.0116

✅ פתרון סופי: 544651 ≈ 0.0116

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	p = 16
סעיף ב	12
סעיף ג	18
סעיף ד (1)	≈ 0.402
סעיף ד (2)	≈ 0.0116

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 24 – ברנולי

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022 נבצרים, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

כדי להתקבל ללימודים במכללה מסוימת יש לעבור מבחן קבלה. כל השאלות במבחן הן מתוך מאגר שיש בו n שאלות שונות. לנבחנים יש גישה למאגר והם יכולים להתכונן למבחן באמצעותו. ביום הבחינה, כל נבחן מוציא באקראי מתוך קופסה מלאה בפתקים שלושה פתקים בזה אחר זה, ללא החזרה. בכל פתק כתובה שאלה אחת מתוך המאגר. מספר הפתקים שבקופסה שווה למספר השאלות שבמאגר, ובכל פתק כתובה שאלה אחרת. לאחר שהוציא הנבחן שלושה פתקים וקרא את השאלות, הוא מחזיר את הפתקים לקופסה.

הנבחן יתקבל למכללה אם יענה נכון על שתי שאלות לפחות מתוך שלוש השאלות שבפתקים שהוציא.

נתנאל התכונן למבחן באמצעות מאגר השאלות. הוא ידע לענות נכון רק על 20 שאלות מתוך n השאלות שבמאגר. על שאר השאלות הוא לא ידע לענות נכון.

ידוע כי ההסתברות של נתנאל לענות נכון על שאלה אחת לפחות מבין שתי השאלות שבשני הפתקים הראשונים שהוציא היא 3469.

א. (1) מצאו את n.

(2) מהי ההסתברות שנתנאל יתקבל למכללה?

ב. אם ידוע כי נתנאל התקבל למכללה, מהי ההסתברות שהוא לא ענה נכון על השאלה שבפתק הראשון שהוציא?

רמי התכונן גם הוא למבחן באמצעות מאגר השאלות. הוא ידע לענות נכון על 40 שאלות מתוך n השאלות שבמאגר, ועל השאר לא.

ג. האם ההסתברות שרמי יענה נכון על כל שלוש השאלות שבפתקים שהוציא גדולה פי 2 מן ההסתברות שנתנאל יענה נכון על כל שלוש השאלות שבפתקים שהוציא? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א (1) – מציאת n

נסמן: י – שאלה שנתנאל יודע (20 פתקים), ל – שאלה שאינו יודע (n − 20 פתקים).

"לפחות אחת נכונה מבין השתיים הראשונות" – המשלים: שתיהן ל.📐 נוסחה: מאורע משליםP(A) = 1 − P(לא A)

P(ל ,ל) = n − 20n · n − 21n − 1📐 נוסחה: הוצאה ללא החזרהמכפילים את ההסתברויות לאורך הענף, ובכל שלב מקטינים את מספר הפתקים ב־1

1 − (n − 20)(n − 21)n(n − 1) = 3469

(n − 20)(n − 21)n(n − 1) = 3569

69(n − 20)(n − 21) = 35n(n − 1)

69(n² − 41n + 420) = 35n² − 35n

69n² − 2829n + 28980 = 35n² − 35n

34n² − 2794n + 28980 = 0

17n² − 1397n + 14490 = 0

n_1,2 = 1397 ± √(1397² − 4 · 17 · 14490)2 · 17📐 נוסחה: נוסחת השורשיםx_1,2 = −b ± √(b² − 4ac)2a

= 1397 ± 98334

n₁ = 238034 = 70 , n₂ = 41434 ≈ 12.18

n טבעי וגדול מ־20, ולכן:

n = 70

✅ פתרון סופי: n = 70

סעיף א (2) – ההסתברות להתקבל

עכשיו בקופסה 70 פתקים: 20 י ו־50 ל. מתקבלים אם עונים נכון על 2 או על 3 שאלות.

בדיוק 2 נכונות – הפתק ל יכול להיות ראשון, שני או שלישי (3 ענפים עם אותה הסתברות):

P(בדיוק 2) = 3 · 20 · 19 · 5070 · 69 · 68📐 נוסחה: הוצאה ללא החזרהמכפילים את ההסתברויות לאורך הענף, ובכל שלב מקטינים את מספר הפתקים ב־1

= 57000328440

3 נכונות:

P(3) = 20 · 19 · 1870 · 69 · 68 = 6840328440

P(מתקבל) = 57000 + 6840328440

= 63840328440 = 76391 ≈ 0.194

✅ פתרון סופי: 76391 ≈ 0.194

סעיף ב – הסתברות מותנית

נתנאל התקבל ולא ענה על הפתק הראשון – כלומר הראשון ל, ושני האחרים י:

P(ל ראשון ∩ מתקבל) = 50 · 20 · 1970 · 69 · 68📐 נוסחה: הוצאה ללא החזרהמכפילים את ההסתברויות לאורך הענף, ובכל שלב מקטינים את מספר הפתקים ב־1

= 19000328440

P(ל ראשון | מתקבל) = 1900032844063840328440📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

= 1900063840 = 2584 ≈ 0.298

✅ פתרון סופי: 2584 ≈ 0.298

סעיף ג – השוואה בין רמי לנתנאל

P(נתנאל – 3 נכונות) = 20 · 19 · 1870 · 69 · 68📐 נוסחה: הוצאה ללא החזרהמכפילים את ההסתברויות לאורך הענף, ובכל שלב מקטינים את מספר הפתקים ב־1

= 6840328440

P(רמי – 3 נכונות) = 40 · 39 · 3870 · 69 · 68

= 59280328440

592806840 = 263 ≈ 8.67

ההסתברות של רמי גדולה בערך פי 8.67, ולא פי 2.

✅ פתרון סופי: לא – היא גדולה פי 263 ≈ 8.67

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א (1)	n = 70
סעיף א (2)	76391
סעיף ב	2584
סעיף ג	לא (פי 263)

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 21 – עץ, נעלמים והסתברות מותנית

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 נבצרים ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בקופסה יש שלוש סוכריות בטעם תות ושתי סוכריות בטעם מנטה. ליאור מוציא באקראי סוכרייה מן הקופסה.

אם הסוכרייה היא בטעם מנטה – הוא מחזיר אותה לקופסה, ואם היא בטעם תות – הוא אוכל אותה מייד.

א. ליאור מוציא מן הקופסה שלוש סוכריות בזו אחר זו באופן המתואר בתחילת השאלה.

(1) חשבו את ההסתברות שליאור יאכל בדיוק סוכרייה אחת.

(2) חשבו את ההסתברות שליאור אכל את הסוכרייה השנייה שהוא הוציא, אם ידוע כי ליאור אכל בדיוק סוכרייה אחת.

ב. ליאור מוציא מן הקופסה n סוכריות בזו אחר זו באופן המתואר בתחילת השאלה. הביעו בעזרת n את ההסתברות שליאור יאכל סוכרייה אחת לפחות.

ג. ליאור קיבל שתי קופסאות סוכריות, כל אחת מהן זהה לקופסה המתוארת בתחילת השאלה. ליאור מוציא שלוש סוכריות מכל אחת משתי הקופסאות, באופן המתואר בתחילת השאלה.

חשבו את ההסתברות שליאור יאכל בדיוק שלוש סוכריות, שלושתן מאותה קופסה.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א (1) – בדיוק סוכרייה אחת נאכלת

בכל הוצאה ההסתברות לתות היא מספר סוכריות התות חלקי מספר הסוכריות בקופסה. סוכריית מנטה חוזרת, ולכן אחרי מנטה הקופסה לא משתנה; אחרי תות יש סוכרייה אחת פחות (תות).

נסמן ת – תות (נאכלת), מ – מנטה (חוזרת). יש שלוש אפשרויות לאכול בדיוק אחת:

ת, מ, מ:

P = 35 · 24 · 24 = 320📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A וגם B) = P(A) · P(B)

מ, ת, מ:

P = 25 · 35 · 24 = 325📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A וגם B) = P(A) · P(B)

מ, מ, ת:

P = 25 · 25 · 35 = 12125📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A וגם B) = P(A) · P(B)

סכום (מאורעות זרים):

P = 320 + 325 + 12125📐 נוסחה: חיבור מאורעות זריםP(A או B) = P(A) + P(B)

P = 0.15 + 0.12 + 0.096 = 0.366

✅ פתרון סופי: 0.366 (183500)

סעיף א (2) – הסתברות מותנית

A – ליאור אכל את הסוכרייה השנייה. B – ליאור אכל בדיוק סוכרייה אחת.

"A וגם B" – רק האפשרות מ, ת, מ:

P(A וגם B) = 325 = 0.12

P(A | B) = 0.120.366📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A וגם B)P(B)

P(A | B) = 120366 = 2061 ≈ 0.328

✅ פתרון סופי: 2061 ≈ 0.328

סעיף ב – לפחות סוכרייה אחת מתוך n

המאורע המשלים: ליאור לא אכל אף סוכרייה – כל ההוצאות היו מנטה. כל עוד לא נאכלה סוכרייה, בקופסה 5 סוכריות ומהן 2 מנטה:

ההסתברות שבכל n ההוצאות תצא מנטה:

P = (25)ⁿ📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A וגם B) = P(A) · P(B)

ההסתברות לאכול סוכרייה אחת לפחות:

P = 1 − (25)ⁿ📐 נוסחה: מאורע משליםP(A) = 1 − P(לא A)

✅ פתרון סופי: 1 − (25)ⁿ

סעיף ג – שלוש סוכריות מאותה קופסה

צריך שמקופסה אחת ייאכלו שלוש סוכריות (שלוש הוצאות של תות), ומהקופסה השנייה אף סוכרייה (שלוש הוצאות של מנטה).

שלוש סוכריות תות מאותה קופסה:

P = 35 · 24 · 13 = 660 = 110📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A וגם B) = P(A) · P(B)

אף סוכרייה מהקופסה השנייה:

P = (25)³ = 8125📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A וגם B) = P(A) · P(B)

הקופסה שממנה אכל יכולה להיות הראשונה או השנייה – שתי אפשרויות:

P = 2 · 110 · 8125

P = 161250 = 8625 = 0.0128

✅ פתרון סופי: 0.0128

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א (1)	0.366
סעיף א (2)	≈ 0.328
סעיף ב	1 − (25)ⁿ
סעיף ג	0.0128

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 20 – הסתברות בעץ

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2021 מועד ב׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בתחרות ספורט כל משתתף צריך לעבור שלושה מכשולים לפי הסדר. משתתף שלא עובר אחד המכשולים – נפסל ואינו ממשיך בתחרות.

ההסתברות לעבור מכשול שונה ממכשול למכשול, אך היא זהה לכל המשתתפים. משתתף שעובר את שלושת המכשולים עולה לשלב חצי הגמר.

ידוע כי 28% מן המשתתפים עוברים את שני המכשולים הראשונים.

ההסתברות שמשתתף שעבר את שני המכשולים הראשונים ייפסל, גדולה פי 3 מן ההסתברות שהוא יעלה לשלב חצי הגמר.

א. מהי ההסתברות שמשתתף יעלה לשלב חצי הגמר?

ההסתברות שמשתתף יעבור את המכשול הראשון ולא יעבור את המכשול השני היא 0.42.

ב. מהי ההסתברות שמשתתף לא יעבור את המכשול הראשון?

ג. בחרו באקראי שלושה משתתפים: עומר, גל וליאור. ידוע כי שלושתם עברו את המכשול הראשון.

(1) מהי ההסתברות שבדיוק שניים מהם יעלו לשלב חצי הגמר?

(2) מהי ההסתברות שרק עומר וגל יעלו לשלב חצי הגמר?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – ההסתברות לעלות לחצי הגמר

נסמן: S – המשתתף עולה לשלב חצי הגמר; A₁ – המשתתף עובר את המכשול הראשון.

נסמן ב־p את ההסתברות לעבור את המכשול השלישי, בהינתן שהמשתתף עבר את שני הראשונים. ההסתברות להיפסל במכשול השלישי היא 1 − p.📐 נוסחה: מאורע משליםP(Ā) = 1 − P(A)

1 − p = 3p📐 נתון: הנתוןP(נפסל) = 3 · P(עולה)

4p = 1📐 נוסחה: פתרון משוואהמחלקים את שני האגפים ב־4

⟹ p = 14 = 0.25

כדי לעלות לחצי הגמר צריך לעבור את שני הראשונים ואז את השלישי:📐 נוסחה: כלל הכפל (עץ)P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)

P(S) = 0.28 · 0.25 = 0.07📐 נוסחה: כלל הכפל (עץ)P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)

✅ פתרון סופי: 0.07

סעיף ב – לא לעבור את המכשול הראשון

מי שעבר את המכשול הראשון – או עבר גם את השני, או לא עבר את השני:📐 נוסחה: חיבור הסתברויותP(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B̄)

P(A₁) = 0.28 + 0.42 = 0.7📐 נוסחה: חיבור הסתברויותP(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B̄)

P(Ā₁) = 1 − 0.7 = 0.3📐 נוסחה: מאורע משליםP(Ā) = 1 − P(A)

✅ פתרון סופי: 0.3

סעיף ג (1) – בדיוק שניים בחצי הגמר

ידוע שהמשתתף עבר את המכשול הראשון, לכן נחשב הסתברות מותנית:📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(B | A) = P(A ∩ B)P(A)

P(S | A₁) = 0.070.7 = 0.1📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(B | A) = P(A ∩ B)P(A)

לכל אחד משלושת המשתתפים אותה הסתברות 0.1, והם בלתי תלויים – ניסויי ברנולי עם n = 3:📐 נוסחה: נוסחת ברנוליP(X = k) = C(n,k) · p^k · (1 − p)^{n − k}

P(X = 2) = C(3,2) · 0.1² · 0.9¹📐 נוסחה: נוסחת ברנוליP(X = k) = C(n,k) · p^k · (1 − p)^{n − k}

P(X = 2)📐 נוסחה: צירופיםC(3,2) = 3

= 3 · 0.01 · 0.9 = 0.027

✅ פתרון סופי: 0.027

סעיף ג (2) – רק עומר וגל

עומר עולה, גל עולה וליאור לא עולה – סדר אחד מסוים, ולכן בלי C(3,2):📐 נוסחה: כלל הכפל (מאורעות בלתי תלויים)P(A ∩ B ∩ C) = P(A) · P(B) · P(C)

P = 0.1 · 0.1 · 0.9 = 0.009📐 נוסחה: כלל הכפל (מאורעות בלתי תלויים)P(A ∩ B ∩ C) = P(A) · P(B) · P(C)

✅ פתרון סופי: 0.009

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

א	0.07
ב	0.3
ג (1)	0.027
ג (2)	0.009

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 21 – עץ, נעלמים והסתברות מותנית

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2021 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 571 לפי נושא

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.

השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.