שיעור 37- 2023 מועד ב

הסתברות · 5 יחידות · שאלון 571

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

פתרון מלא של שאלת הסתברות מבגרות 5 יחידות 2023: דיאגרמת עץ עם נעלם P – משוואה ריבועית, הסתברות מותנית, ברנולי עם "התקבל" ו"נכשל בשניהם", וביטוי עם n בעזרת המשלים.

כדי להתקבל ללימודים בפקולטה מסוימת, מועמד צריך להיבחן בשני מבחנים. ההסתברות שמועמד יצליח במבחן הראשון היא P (P > 0.5). אם המועמד הצליח במבחן הראשון, אז ההסתברות שהוא יצליח במבחן השני היא P + 0.3. אם המועמד נכשל במבחן הראשון, אז ההסתברות שהוא יצליח במבחן השני היא P − 0.1. נתון כי ההסתברות שמועמד יצליח בדיוק במבחן אחד מבין השניים היא 940.

🔵 סעיף א: מציאת P – דיאגרמת עץ ומשוואה ריבועית (בדיוק מבחן אחד)

מצאו את P.

בונים עץ. מבחן I: הצליח ← P , נכשל ← 1 − P

מבחן II אחרי שהצליח ב-I: הצליח ← P + 0.3

נכשל ← 1 − (P + 0.3) = 0.7 − P

מבחן II אחרי שנכשל ב-I: הצליח ← P − 0.1

נכשל ← 1 − (P − 0.1) = 1.1 − P

בדיוק במבחן אחד ← הצליח-נכשל או נכשל-הצליח:

P(0.7 − P)

+ (1 − P)(P − 0.1) = 940

פותחים סוגריים:

0.7P − P² + P − 0.1

− P² + 0.1P = 940

−2P² + 1.8P − 0.1 − 940 = 0

כופלים ב-40:

−80P² + 72P − 13 = 0

P = 0.65 , P = 0.25

נתון P > 0.5 ← P = 0.25 נפסל.

תשובה: P = 0.65

🟣 סעיף ב: הסתברות מותנית – התקבל לפקולטה אם ידוע שהצליח לפחות במבחן אחד

כדי להתקבל ללימודים בפקולטה מועמד צריך להצליח בשני המבחנים. ידוע כי מועמד הצליח לפחות במבחן אחד. מהי ההסתברות שהוא התקבל לפקולטה?

מציבים P = 0.65 בעץ:

"ידוע" ← הסתברות מותנית, מה שידוע הולך למכנה.

מכנה – הצליח לפחות במבחן אחד = 1 פחות "נכשל בשניהם": 1 − 0.35 · 0.45

מונה – התקבל = הצליח בשני המבחנים: 0.65 · 0.95

P(התקבלהצליח לפחות במבחן אחד)

= 0.65 · 0.951 − 0.35 · 0.45 = 0.61750.8425

= 247337 ≈ 0.733

תשובה: 247337 ≈ 0.733

🔷 סעיף ג: ברנולי – 2 מתוך 3 מועמדים התקבלו ואחד נכשל בשני המבחנים

שלושה מועמדים נבחנו בשני המבחנים. מהי ההסתברות ששני מועמדים מבין השלושה התקבלו לפקולטה ואחד מהם נכשל בשני המבחנים?

להתקבל = הצליח-הצליח: 0.65 · 0.95 = 0.6175

להיכשל בשני המבחנים = נכשל-נכשל: 0.35 · 0.45 = 0.1575

אין סדר מסוים (מי מהשלושה נכשל) ← 3 אפשרויות, (32) = 3:

(32) · 0.6175² · 0.1575¹

≈ 0.1802

תשובה: 0.1802

🟢 סעיף ד: הבעה באמצעות n – לפחות אחד התקבל וגם לפחות אחד לא התקבל (משלים)

n מועמדים נבחנו בשני המבחנים (n ≥ 2). הביעו באמצעות n את ההסתברות שלפחות מועמד אחד התקבל לפקולטה וגם לפחות מועמד אחד לא התקבל לפקולטה.

להתקבל: 0.6175 (סעיף ג) , לא להתקבל – המשלים:

1 − 0.6175 = 0.3825

עם המשלים: 1 פחות מה שלא רוצים –

"לפחות אחד התקבל" ← לא רוצים שכולם לא התקבלו: 0.3825ⁿ

"לפחות אחד לא התקבל" ← לא רוצים שכולם התקבלו: 0.6175ⁿ

1 − 0.3825ⁿ − 0.6175ⁿ

תשובה: 1 − 0.3825ⁿ − 0.6175ⁿ

💡 לזכור

בעץ סכום הענפים מכל צומת הוא 1 – הענף המשלים הוא "1 פחות" (עם סוגריים). "ידוע ש…" ← מותנית, הידוע במכנה. "לפחות…" ← נוח עם המשלים: 1 פחות המקרים שלא רוצים.

הסתברות 5 יחידות שאלון 571. 7 פרקים48 שיעוריםללא הגבלת זמן

כניסה לשיעורים