הסתברות 5 יחידות שאלון 571. 7 פרקים48 שיעוריםללא הגבלת זמן
ברנולי 5 – שאלה מסכמת: עטים בקופסה
✏️ שאלה מסכמת בברנולי – עטים בקופסה
עוד שאלה עם פתרון מלא לתרגול עצמי: הפעם שתי ההסתברויות שוות, ומשם מוצאים את p.
💡 איך מוצאים את p? רושמים כל הסתברות מהנתון בנוסחת ברנולי, בונים משוואה לפי הנתון, ומחלקים את שני האגפים בגורמים המשותפים (מותר כי p ≠ 0 ו־p ≠ 1). פתרון של p חייב להיות בין 0 ל־1.
📄 נוסח השאלה
בקופסה יש 10 עטים: עטים כחולים ועטים ירוקים. מוציאים מהקופסה עט באקראי, רושמים את צבעו ומחזירים אותו לקופסה.
ידוע שכאשר מוציאים כך עט 4 פעמים, ההסתברות להוציא עט כחול בדיוק פעם אחת שווה להסתברות להוציא עט כחול בדיוק פעמיים.
א. מצאו את ההסתברות להוציא עט כחול בהוצאה אחת.
ב. כמה עטים כחולים יש בקופסה?
ג. מוציאים עט מהקופסה (עם החזרה) 6 פעמים. מה ההסתברות:
(1) להוציא עט כחול בדיוק 3 פעמים?
(2) להוציא לפחות עט כחול אחד?
(3) להוציא עט ירוק לכל היותר פעמיים?
(4) שיוצאו יותר עטים ירוקים מעטים כחולים?
(5) שבשתי ההוצאות הראשונות ייצא עט ירוק ובהוצאה השלישית ייצא עט כחול?
(6) שעט כחול ייצא בדיוק פעמיים, ודווקא בשתי ההוצאות הראשונות?
✏️ פתרון
סעיף א – מציאת p
נסמן: p = ההסתברות להוציא עט כחול (הצלחה), 1 − p = ההסתברות להוציא עט ירוק.
מוציאים עם החזרה ← בכל הוצאה אותו סיכוי, וההוצאות בלתי תלויות ← ברנולי עם n = 4.
כחול בדיוק פעם אחת (k = 1):
P4(1) = (41)·p1·(1 − p)3📐 נוסחת ברנוליPn(k) = (nk)·pk·(1 − p)n − k
= 4p(1 − p)3
כחול בדיוק פעמיים (k = 2):
P4(2) = (42)·p2·(1 − p)2📐 נוסחת ברנוליPn(k) = (nk)·pk·(1 − p)n − k
= 6p2(1 − p)2
הנתון: שתי ההסתברויות שוות:
4p(1 − p)3 = 6p2(1 − p)2
בקופסה יש עטים משני הצבעים, ולכן p ≠ 0 ו־p ≠ 1. מחלקים את שני האגפים ב־2p(1 − p)2:
2(1 − p) = 3p
2 − 2p = 3p
2 = 5p
p = 25 = 0.4
0 < 0.4 < 1 ✓
✅ פתרון סופי: p = 0.4
סעיף ב – מספר העטים הכחולים
נסמן ב־x את מספר העטים הכחולים.
הסתברות לכחול = x10📐 הסתברות של מאורעהסתברות = מספר האפשרויות הרצויותמספר כל האפשרויות
x10 = 0.4
x = 0.4·10
x = 4
ומספר העטים הירוקים: 10 − 4 = 6.
✅ פתרון סופי: 4 עטים כחולים
סעיף ג – 6 הוצאות
בכל סעיף: n = 6, כחול (הצלחה) p = 0.4, ירוק (כישלון) 1 − p = 0.6.
ג (1) – כחול בדיוק 3 פעמים
k = 3 (כחול), n − k = 6 − 3 = 3 (ירוק).
P6(3) = (63)·0.43·0.63📐 נוסחת ברנוליPn(k) = (nk)·pk·(1 − p)n − k
במחשבון: 6 nCr 3 = 20
= 20·0.064·0.216
= 0.27648
✅ פתרון סופי: ≈ 0.2765
ג (2) – לפחות עט כחול אחד
"לפחות אחד" ← דרך המשלים: 1 פחות המקרה שאף פעם לא יצא כחול (k = 0).
P6(0) = (60)·0.40·0.66📐 נוסחת ברנוליPn(k) = (nk)·pk·(1 − p)n − k
= 0.66 = 0.046656
P = 1 − 0.046656
= 0.953344
✅ פתרון סופי: ≈ 0.9533
ג (3) – ירוק לכל היותר פעמיים
ירוק 0, 1 או 2 פעמים = כחול 6, 5 או 4 פעמים.
P6(6) = (66)·0.46·0.60📐 נוסחת ברנוליPn(k) = (nk)·pk·(1 − p)n − k
= 0.004096
P6(5) = (65)·0.45·0.61📐 נוסחת ברנוליPn(k) = (nk)·pk·(1 − p)n − k
= 6·0.01024·0.6
= 0.036864
P6(4) = (64)·0.44·0.62📐 נוסחת ברנוליPn(k) = (nk)·pk·(1 − p)n − k
= 15·0.0256·0.36
= 0.13824
"או" ← חיבור:
P = 0.004096 + 0.036864
+ 0.13824
= 0.1792
✅ פתרון סופי: 0.1792
ג (4) – יותר ירוקים מכחולים
ב־6 הוצאות: יותר ירוקים מכחולים כאשר יוצא כחול 0, 1 או 2 פעמים (ב־3 כחולים יש 3 ירוקים – מספר שווה, לא נכלל).
מסעיף ג (2): P6(0) = 0.046656
P6(1) = (61)·0.41·0.65📐 נוסחת ברנוליPn(k) = (nk)·pk·(1 − p)n − k
= 6·0.4·0.07776
= 0.186624
P6(2) = (62)·0.42·0.64📐 נוסחת ברנוליPn(k) = (nk)·pk·(1 − p)n − k
= 15·0.16·0.1296
= 0.31104
P = 0.046656 + 0.186624
+ 0.31104
= 0.54432
✅ פתרון סופי: ≈ 0.5443
ג (5) – ירוק בשתי הראשונות וכחול בשלישית
הסדר נתון ← אין מקדם (nk), כופלים לפי הסדר ("וגם" ← כפל).
על ההוצאות 4, 5, 6 לא נאמר דבר, ולכן הן לא משפיעות (הסתברות 1).
P = 0.6·0.6·0.4
= 0.144
✅ פתרון סופי: 0.144
ג (6) – כחול בדיוק פעמיים, בשתי ההוצאות הראשונות
שתי ההוצאות הראשונות כחול, ובכל 4 ההוצאות האחרות ירוק (אחרת יהיו יותר משני כחולים). הסדר נתון ← כפל בלי מקדם.
P = 0.4·0.4·0.6·0.6·0.6·0.6
= 0.42·0.64
= 0.16·0.1296
= 0.020736
✅ פתרון סופי: ≈ 0.0207
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il