ברנולי 7 – מציאת p (שאלות בגרות 571)

✏️ ברנולי – מציאת p: שאלות בגרות 571

כש־p לא ידוע, רושמים את הנתון בנוסחת ברנולי ומקבלים משוואה ב־p. שתי שאלות מבגרויות 571 עם פתרון מלא, ואחריהן עוד תרגול.

💡 איך מוצאים את p? רושמים כל הסתברות מהנתון בנוסחת ברנולי, בונים משוואה לפי הנתון, ומחלקים את שני האגפים בגורמים המשותפים (מותר כי p ≠ 0 ו־p ≠ 1). פתרון של p חייב להיות בין 0 ל־1.

קיץ 2024 מועד א – שאלה 3: חידון

📄 נוסח השאלה

בחידון יש 5 שאלות. ההסתברות לענות נכון על כל אחת מן השאלות היא P. ידוע כי ההסתברות שמתמודד בחידון יענה נכון על 4 שאלות לכל היותר היא 0.83193.

א. מצאו את P.

ב. מצאו את ההסתברות שמתמודד בחידון יענה נכון על 3 שאלות בדיוק.

מספר הנקודות הניתן לכל שאלה זהה למספר השאלה. כלומר מתמודד שענה נכון על שאלה 1 מקבל נקודה אחת, מתמודד שענה נכון על שאלה 2 מקבל שתי נקודות, וכן הלאה.

ג. מצאו את ההסתברות שמתמודד יצבור 14 נקודות לפחות.

ד. מצאו את ההסתברות שמתמודד בחידון יצבור 6 נקודות בדיוק.

ה. ידוע כי אחינועם ענתה נכון על 3 שאלות בדיוק. מצאו את ההסתברות שהיא צברה 6 נקודות בדיוק.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – מציאת P

"לכל היותר 4" הוא המשלים של "כל 5 נכונות":

1 − P⁵ = 0.83193📐 נוסחה: מאורע משליםP(A') = 1 − P(A)

P⁵ = 0.16807 ⇐ P = ⁵√0.16807

= 0.7

✅ פתרון סופי: P = 0.7

סעיף ב – בדיוק 3 תשובות נכונות

P(X = 3)📐 נוסחה: נוסחת ברנוליP(X = k) = (n מעל k) ·
· p^k · (1 − p)^{n − k}

= (5 מעל 3) · 0.7³ · 0.3²

= 10 · 0.343 · 0.09 = 0.3087

✅ פתרון סופי: 0.3087

סעיף ג – לפחות 14 נקודות

הסכום המקסימלי הוא 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. 14 נקודות לפחות: 15 (כל השאלות) או 14 (כולן חוץ משאלה 1). בשני המקרים שאלות 2–5 נכונות, ושאלה 1 – לא משנה:

P = 0.7⁴ = 0.2401📐 נוסחה: מכפלת הסתברויות של מאורעות בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)

✅ פתרון סופי: 0.2401

סעיף ד – בדיוק 6 נקודות

נמצא את כל הצירופים של מספרי שאלות שונים שסכומם 6: {1 , 5}, {2 , 4}, {1 , 2 , 3}.

בכל צירוף, השאלות שבו נכונות והשאר לא נכונות:

{1 , 5}: 0.7² · 0.3³ = 0.01323

{2 , 4}: 0.7² · 0.3³ = 0.01323

{1 , 2 , 3}: 0.7³ · 0.3²

= 0.03087

P = 0.01323 + 0.01323 + 0.03087

= 0.05733

✅ פתרון סופי: 0.05733

סעיף ה – הסתברות מותנית

מבין הצירופים של 3 שאלות, רק {1 , 2 , 3} נותן 6 נקודות.

P = 0.030870.3087 = 0.1📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A|B) = P(A ∩ B)P(B)

(הסבר נוסף: כל 10 הצירופים של 3 שאלות שוות הסתברות, ורק אחד מהם נותן 6 נקודות: 110.)

✅ פתרון סופי: 110

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	P = 0.7
סעיף ב	0.3087
סעיף ג	0.2401
סעיף ד	0.05733
סעיף ה	110

קיץ 2022 מועד א – שאלה 3: ניצחון, הפסד ותיקו

📄 נוסח השאלה

נטע משחקת במשחק מסוים. במשחק זה יש בדיוק שלוש תוצאות אפשריות: ניצחון, תיקו והפסד.

ההסתברות שנטע תנצח במשחק גדולה פי 3 מן ההסתברות שהיא תפסיד במשחק.

נסמן ב־p את ההסתברות שנטע תפסיד במשחק (p > 0).

בשאלה כולה תוצאות המשחקים אינן תלויות זו בזו.

נתון שאם נטע משחקת 2 משחקים בזה אחר זה, ההסתברות שהיא תנצח במשחק אחד לפחות היא 4.5p.

א. מצאו את הערך של p.

נטע שיחקה 5 משחקים בזה אחר זה.

ב. מצאו את ההסתברות שנטע תנצח ב־3 משחקים לפחות.

ג. מצאו את ההסתברות שנטע תנצח בשלושת המשחקים הראשונים לפחות.

ד. (1) מצאו את ההסתברות שנטע לא תפסיד בשום משחק.

(2) ידוע כי נטע הפסידה במשחק אחד לפחות. מהי ההסתברות שהיא ניצחה בשלושת המשחקים הראשונים וקיבלה תוצאת תיקו במשחק האחרון?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הערך של p

ההסתברויות במשחק אחד:

P(הפסד) = p

P(ניצחון) = 3p

P(תיקו) = 1 − p − 3p = 1 − 4p📐 נוסחה: סכום ההסתברויותסכום ההסתברויות של כל התוצאות = 1

"ניצחון במשחק אחד לפחות" – המאורע המשלים: אין ניצחון באף אחד משני המשחקים.

P(אין ניצחון במשחק) = 1 − 3p📐 נוסחה: מאורע משליםP(A) = 1 − P(לא A)

P(אין ניצחון בשניהם) = (1 − 3p)²📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A וגם B) = P(A) · P(B)

ניצחון אחד לפחות:

P = 1 − (1 − 3p)²📐 נוסחה: מאורע משליםP(A) = 1 − P(לא A)

לפי הנתון:

1 − (1 − 3p)² = 4.5p

1 − (1 − 6p + 9p²) = 4.5p📐 נוסחה: ריבוע של הפרש(a − b)² = a² − 2ab + b²

6p − 9p² = 4.5p

1.5p − 9p² = 0

p(1.5 − 9p) = 0

p = 0 או p = 1.59 = 16

נתון p > 0, ולכן p = 16.

אז: P(ניצחון) = 12 , P(תיקו) = 1 − 46 = 13.

✅ פתרון סופי: p = 16

סעיף ב – ניצחון ב־3 משחקים לפחות

5 משחקים בלתי תלויים, בכל משחק "הצלחה" = ניצחון בהסתברות 12 – ניסוי ברנולי.

P₅(3) = C(5,3) · (12)³ · (12)²📐 נוסחה: נוסחת ברנוליP_n(k) = C(n,k)·p^k·(1 − p)^n−k

P₅(3) = 10 · 132 = 1032

P₅(4) = C(5,4) · (12)⁴ · 12📐 נוסחה: נוסחת ברנוליP_n(k) = C(n,k)·p^k·(1 − p)^n−k

P₅(4) = 5 · 132 = 532

P₅(5) = C(5,5) · (12)⁵ = 132📐 נוסחה: נוסחת ברנוליP_n(k) = C(n,k)·p^k·(1 − p)^n−k

ניצחון ב־3 משחקים לפחות:

P = P₅(3) + P₅(4) + P₅(5)

P = 10 + 5 + 132 = 1632 = 12

✅ פתרון סופי: 12

סעיף ג – ניצחון בשלושת המשחקים הראשונים לפחות

צריך ניצחון במשחקים 1, 2 ו־3. במשחקים 4 ו־5 כל תוצאה מתאימה (הסתברות 1).

P = 12 · 12 · 12 · 1 · 1📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A וגם B) = P(A) · P(B)

P = 18

✅ פתרון סופי: 18

סעיף ד (1) – אף הפסד

לא הפסד במשחק אחד: P = 1 − 16 = 56📐 נוסחה: מאורע משליםP(A) = 1 − P(לא A)

אף הפסד ב־5 המשחקים: P = (56)⁵📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A וגם B) = P(A) · P(B)

P = 31257776 ≈ 0.402

✅ פתרון סופי: 31257776 ≈ 0.402

סעיף ד (2) – הסתברות מותנית

B – נטע הפסידה במשחק אחד לפחות.

P(B) = 1 − 31257776 = 46517776📐 נוסחה: מאורע משליםP(A) = 1 − P(לא A)

A – ניצחה בשלושת הראשונים ותיקו במשחק החמישי.

כדי ש־A ו־B יקרו יחד, ההפסד חייב להיות במשחק הרביעי (משחקים 1–3 ניצחון, משחק 5 תיקו):

P(A וגם B) = (12)³ · 16 · 13📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A וגם B) = P(A) · P(B)

P(A וגם B) = 18 · 118 = 1144

P(A | B) = 114446517776📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A וגם B)P(B)

P(A | B) = 1144 · 77764651 = 544651

P(A | B) ≈ 0.0116

✅ פתרון סופי: 544651 ≈ 0.0116

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	p = 16
סעיף ב	12
סעיף ג	18
סעיף ד (1)	≈ 0.402
סעיף ד (2)	≈ 0.0116

🟣 תרגול נוסף: מציאת p

שני תרגילים קצרים (לא מבגרות) על משוואה ב־p, כולל בחירת הפתרון המתאים.

📄 תרגיל 1

דנה זורקת לסל פעמיים. בכל זריקה הסיכוי שלה לקלוע הוא p, והזריקות בלתי תלויות. ההסתברות שתקלע לפחות פעם אחת היא 0.84. מצאו את p.

פתרון תרגיל 1

"לפחות פעם אחת" ← דרך המשלים: 1 פחות המקרה שלא קלעה אף פעם (k = 0).

P₂(0) = (20)·p⁰·(1 − p)²📐 נוסחת ברנוליP_n(k) = (nk)·p^k·(1 − p)^{n − k}

= (1 − p)²

1 − (1 − p)² = 0.84

(1 − p)² = 0.16

מוציאים שורש לשני האגפים (שני סימנים):

1 − p = 0.4

או

1 − p = −0.4

p = 0.6

או

p = 1.4

הסתברות לא יכולה להיות גדולה מ־1, ולכן p = 1.4 נפסל.

✅ פתרון סופי: p = 0.6

📄 תרגיל 2

מטילים פעמיים מטבע לא מאוזן. ההסתברות לקבל "עץ" בדיוק פעם אחת היא 0.48. ידוע שהסיכוי לקבל "עץ" גדול מהסיכוי לקבל "פלי". מצאו את ההסתברות p לקבל "עץ" בהטלה אחת.

פתרון תרגיל 2

n = 2, k = 1:

P₂(1) = (21)·p¹·(1 − p)¹📐 נוסחת ברנוליP_n(k) = (nk)·p^k·(1 − p)^{n − k}

2p(1 − p) = 0.48

2p − 2p² = 0.48

מעבירים אגף ומחלקים ב־2:

2p² − 2p + 0.48 = 0

p² − p + 0.24 = 0

p_1,2 = 1 ± √1 − 4·1·0.242·1📐 נוסחת השורשיםax² + bx + c = 0x_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

= 1 ± √0.042 = 1 ± 0.22

p₁ = 0.6 , p₂ = 0.4

שני הפתרונות בין 0 ל־1, אבל "עץ" סביר יותר מ"פלי": p > 1 − p, כלומר p > 0.5. לכן p = 0.4 נפסל.

✅ פתרון סופי: p = 0.6

הסתברות 5 יחידות שאלון 571. 7 פרקים48 שיעוריםללא הגבלת זמן

כניסה לשיעורים

ברנולי 7 – מציאת p (שאלות בגרות 571)

✏️ ברנולי – מציאת p: שאלות בגרות 571

קיץ 2024 מועד א – שאלה 3: חידון

סעיף א – מציאת P

סעיף ב – בדיוק 3 תשובות נכונות

סעיף ג – לפחות 14 נקודות

סעיף ד – בדיוק 6 נקודות

סעיף ה – הסתברות מותנית

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

קיץ 2022 מועד א – שאלה 3: ניצחון, הפסד ותיקו

סעיף א – הערך של p

סעיף ב – ניצחון ב־3 משחקים לפחות

סעיף ג – ניצחון בשלושת המשחקים הראשונים לפחות

סעיף ד (1) – אף הפסד

סעיף ד (2) – הסתברות מותנית

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

🟣 תרגול נוסף: מציאת p

פתרון תרגיל 1

פתרון תרגיל 2

Modal title