בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (35471) · שאלות לפי נושא
שאלות בגרות 471 לפי נושא – אנליטית + טריגו
שאלות הנדסה אנליטית בשילוב טריגונומטריה (חישוב זוויות, אורכים ושטחים) מבחינות הבגרות בשאלון 471, עם פתרון מלא שלב אחר שלב.
📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 471 לפי נושא
17 שאלות פתורות מבחינות שאלון 471: 10 ללא מעגל ו־7 עם מעגל. לוחצים על מועד ועוברים ישר לשאלה.
ללא מעגל
📅 קיץ 2026 מועד א', שאלה 4
📄 נוסח השאלה
בסרטוט משולש שווה שוקיים ABC (AB = AC). הקודקוד B נמצא על החלק השלילי של ציר ה־x. הנקודה D נמצאת על ציר ה־x כך ש־CD מאונך ל־AC. נתון כי הנקודה E(4 , 15) היא אמצע הצלע AC, וכי משוואת הישר CD היא y = −2x + 38.
א. (1) מצאו את משוואת הישר AC. (2) מצאו את שיעורי הקודקוד C.
ב. (1) מצאו את אורך הצלע AB. (2) מצאו את שיעורי הקודקוד B.
ג. מצאו את גודל הזווית ABD ואת גודל הזווית CBD.
ד. חשבו את שטח המשולש ABC.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א (1) – משוואת AC
השיפוע של CD הוא −2. הישר AC מאונך לו:
mAC · (−2) = −1📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
mAC = −1−2 = 12
הישר עובר דרך E(4 , 15) (אמצע AC):
y − 15 = 12(x − 4)📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
y − 15 = 12x − 2
y = 12x + 13
✅ פתרון סופי: y = 12x + 13
סעיף א (2) – הקודקוד C
C נמצא גם על AC וגם על CD. משווים את שתי המשוואות:
12x + 13 = −2x + 38📐 נקודת חיתוךy1 = y2
12x + 2x = 38 − 13
2.5x = 25
x = 10
מציבים במשוואת CD:
y = −2 · 10 + 38 = 18
בדיקה: 12 · 10 + 13 = 5 + 13 = 18 ✓
✅ פתרון סופי: C(10 , 18)
סעיף ב (1) – אורך AB
קודם מוצאים את A. E היא אמצע AC:
4 = xA + 102 → xA + 10 = 8 → xA = −2📐 אמצע קטעxM = x1 + x22yM = y1 + y22
15 = yA + 182 → yA + 18 = 30 → yA = 12
כלומר A(−2 , 12). מחשבים את AC:
AC = √(10 − (−2))2 + (18 − 12)2📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
= √122 + 62 = √144 + 36 = √180
= 6√5 ≈ 13.42
המשולש שווה שוקיים, AB = AC:
✅ פתרון סופי: AB = √180 = 6√5 ≈ 13.42
סעיף ב (2) – הקודקוד B
B על ציר ה־x, ולכן B(t , 0). המרחק שלו מ־A(−2 , 12) הוא √180:
√(t + 2)2 + (0 − 12)2 = √180📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
מעלים בריבוע:
(t + 2)2 + 144 = 180
(t + 2)2 = 36
t + 2 = 6 או t + 2 = −6
t = 4 או t = −8
B על החלק השלילי של ציר ה־x, ולכן t = −8.
✅ פתרון סופי: B(−8 , 0)
סעיף ג – הזוויות ABD ו־CBD
הנקודה D על ציר ה־x מימין ל־B, ולכן הזוויות הן הזוויות שהישרים BA ו־BC יוצרים עם הכיוון החיובי של ציר ה־x.
שיפוע AB (מ־B(−8 , 0) ל־A(−2 , 12)):
mAB = 12 − 0−2 − (−8) = 126 = 2📐 שיפוע לפי שתי נקודותm = y2 − y1x2 − x1
tan(∢ABD) = 2 → ∢ABD ≈ 63.43📐 זווית של ישר עם ציר ה־xtan(∢) = m
שיפוע BC (מ־B(−8 , 0) ל־C(10 , 18)):
mBC = 18 − 010 − (−8) = 1818 = 1📐 שיפוע לפי שתי נקודותm = y2 − y1x2 − x1
tan(∢CBD) = 1 → ∢CBD = 45📐 זווית של ישר עם ציר ה־xtan(∢) = m
✅ פתרון סופי: ∢ABD ≈ 63.43 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢CBD = 45 מעלות
סעיף ד – שטח המשולש ABC
הזווית שבין שתי הצלעות ב־B:
∢ABC = ∢ABD − ∢CBD ≈ 63.43 − 45 = 18.43
אורך BC:
BC = √(10 + 8)2 + 182 = √648 = 18√2 ≈ 25.46📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן:
S = 12 · AB · BC · sin(∢ABC)📐 שטח משולשS = 12 · a · b · sin C
= 12 · √180 · √648 · sin 18.43
≈ 12 · 13.42 · 25.46 · 0.3162 ≈ 54
(בחישוב מדויק יוצא בדיוק 54.)
✅ פתרון סופי: S = 54 יחידות שטח
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א (1) | y = 12x + 13 |
|---|---|
| סעיף א (2) | C(10 , 18) |
| סעיף ב (1) | AB = √180 = 6√5 ≈ 13.42 |
| סעיף ב (2) | B(−8 , 0) |
| סעיף ג | ∢ABD ≈ 63.43 מעלות ∢CBD = 45 מעלות |
| סעיף ד | S = 54 יחידות שטח |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2026, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם דלתון ABCD (AB = CB , AD = CD). הקודקוד C נמצא ברביע השני. הצלע BC מקבילה לציר ה־x. נתון: A(−3 , 2) , B(0 , 6).
א. (1) מצאו את אורך הצלע AB. (2) מצאו את שיעורי הקודקוד C.
ב. מצאו את משוואת האלכסון DB.
נתון: משוואת הצלע AD היא y = 13x + 3.
ג. מצאו את שיעורי הקודקוד D.
הנקודה M היא מפגש אלכסוני הדלתון.
ד. מצאו את גודל הזווית ADM.
הנקודה E היא אמצע הצלע DC.
ה. חשבו את שטח המשולש ADE.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א (1) – אורך AB
AB = √(0 − (−3))2 + (6 − 2)2 = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
✅ פתרון סופי: AB = 5
סעיף א (2) – שיעורי C
BC מקבילה לציר ה־x, ולכן ל־C אותו y כמו ל־B: yC = 6.
בדלתון CB = AB = 5. C ברביע השני, כלומר משמאל ל־B:
xC = 0 − 5 = −5
✅ פתרון סופי: C(−5 , 6)
סעיף ב – משוואת האלכסון DB
בדלתון, האלכסון הראשי DB מאונך לאלכסון AC וחוצה אותו.📐 אלכסונים בדלתוןהאלכסון הראשי מאונך לאלכסון המשני וחוצה אותו
שיפוע AC:
mAC = 6 − 2−5 − (−3) = 4−2 = −2📐 שיפועm = y2 − y1x2 − x1
שיפוע DB – מאונך ל־AC:
m · (−2) = −1 → m = 12📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
הישר עובר דרך B(0 , 6):
y − 6 = 12(x − 0)📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
y = 12x + 6
בדיקה: אמצע AC הוא (−4 , 4), ומציבים: 12 · (−4) + 6 = 4 – הישר עובר דרכו ✓
✅ פתרון סופי: y = 12x + 6
סעיף ג – שיעורי D
D היא נקודת החיתוך של AD ושל DB. משווים את ה־y:
13x + 3 = 12x + 6
כופלים את שני האגפים ב־6 (מכנה משותף):
2x + 18 = 3x + 36📐 כפל במכנה משותףכופלים כל איבר במכנה המשותף
מעבירים אגפים:
18 − 36 = 3x − 2x
x = −18
מציבים במשוואת AD:
y = 13 · (−18) + 3 = −6 + 3 = −3
✅ פתרון סופי: D(−18 , −3)
סעיף ד – הזווית ADM
הזווית ADM היא הזווית בין הישר DA לישר DB (כי M על DB). מוצאים את הזווית של כל ישר עם הכיוון החיובי של ציר ה־x:
DB : tan(∢) = 12 → ∢ ≈ 26.57📐 זווית של ישר עם ציר ה־xtan(∢) = m
DA : tan(∢) = 13 → ∢ ≈ 18.43
שני הישרים עולים מ־D ימינה, ו־DB תלול יותר. לכן הזווית ביניהם היא ההפרש:
∢ADM = 26.57 − 18.43 ≈ 8.13
✅ פתרון סופי: ∢ADM ≈ 8.13 מעלות
סעיף ה – שטח המשולש ADE
AE הוא תיכון במשולש ADC (E אמצע DC), ולכן הוא מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח:
SADE = 12 · SADC📐 תיכון מחלק שטחתיכון מחלק משולש לשני משולשים שווי שטח
במשולש ADC הבסיס הוא AC, והגובה הוא DM (כי DB ⊥ AC). M אמצע AC:
M = (−3 + (−5)2 , 2 + 62) = (−4 , 4)📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22)
AC = √(−5 + 3)2 + (6 − 2)2 = √4 + 16 = √20📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
DM = √(−4 + 18)2 + (4 + 3)2 = √196 + 49 = √245
SADC = √20 · √2452 = √49002 = 702 = 35📐 שטח משולשS = בסיס · גובה2
SADE = 352 = 17.5
✅ פתרון סופי: 17.5 יחידות שטח
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א (1) | AB = 5 |
|---|---|
| סעיף א (2) | C(−5 , 6) |
| סעיף ב | y = 12x + 6 |
| סעיף ג | D(−18 , −3) |
| סעיף ד | ∢ADM ≈ 8.13 מעלות |
| סעיף ה | 17.5 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 4
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם מעוין ABCD. אלכסוני המעוין נפגשים בנקודה E. נתון כי משוואת הצלע AB היא y = −1.75x + 12.75, שיעור ה־x של הקודקוד A הוא −3, ושיעורי הקודקוד C הם (−11 , 2).
א. (1) מצאו את שיעורי הנקודה E. (2) מצאו את שיפוע האלכסון AC.
ב. (1) מצאו את משוואת האלכסון BD. (2) מצאו את שיעורי הקודקוד B.
ג. מצאו את גודל הזווית ABE.
הנקודה G נמצאת על הקטע DE כך שגודל הזווית GAB הוא 97 מעלות.
ד. מצאו את אורך הקטע GE.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א (1) – שיעורי E
מציבים x = −3 במשוואת AB:
y = −1.75 · (−3) + 12.75 = 5.25 + 12.75 = 18 , A(−3 , 18)
במעוין האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן E אמצע AC:📐 אלכסוני מעויןחוצים זה את זה ומאונכים זה לזה
E = (−3 + (−11)2 , 18 + 22) = (−7 , 10)📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22)
✅ פתרון סופי: E(−7 , 10)
סעיף א (2) – שיפוע AC
mAC = 18 − 2−3 − (−11) = 168 = 2📐 שיפועm = y2 − y1x2 − x1
✅ פתרון סופי: mAC = 2
סעיף ב (1) – משוואת BD
במעוין BD ⊥ AC, והאלכסון עובר דרך E(−7 , 10):
m · 2 = −1 → m = −12📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
y − 10 = −12(x + 7)📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
y = −0.5x − 3.5 + 10 = −0.5x + 6.5
✅ פתרון סופי: y = −0.5x + 6.5
סעיף ב (2) – שיעורי B
B היא החיתוך של AB ו־BD:
−1.75x + 12.75 = −0.5x + 6.5
−1.75x + 0.5x = 6.5 − 12.75 → −1.25x = −6.25 → x = 5
y = −0.5 · 5 + 6.5 = 4
✅ פתרון סופי: B(5 , 4)
סעיף ג – הזווית ABE
המשולש AEB ישר זווית ב־E (האלכסונים מאונכים). מחשבים את הניצבים:
AE = √(−7 + 3)2 + (10 − 18)2 = √16 + 64 = √80 ≈ 8.944📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
BE = √(5 + 7)2 + (4 − 10)2 = √144 + 36 = √180 ≈ 13.416
tan(∢ABE) = AEBE = √80√180 = 23📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
∢ABE ≈ 33.69
✅ פתרון סופי: ∢ABE ≈ 33.69 מעלות
סעיף ד – אורך GE
במשולש AEB:
∢BAE = 180 − 90 − 33.69 = 56.31📐 סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש = 180 מעלות
∢GAB = 97 מורכבת מ־∢BAE ומ־∢GAE:
∢GAE = 97 − 56.31 = 40.69
המשולש AEG ישר זווית ב־E (G על האלכסון DE). GE מול הזווית, AE ליד הזווית:
tan(40.69) = GE√80📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
GE = √80 · tan(40.69) = 8.944 · 0.860 ≈ 7.69
✅ פתרון סופי: GE ≈ 7.69
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א (1) | E(−7 , 10) |
|---|---|
| סעיף א (2) | 2 |
| סעיף ב (1) | y = −0.5x + 6.5 |
| סעיף ב (2) | B(5 , 4) |
| סעיף ג | 33.69 מעלות |
| סעיף ד | GE ≈ 7.69 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2025 מועד א', שאלה 4
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית ABC, שבו ∢ACB = 90 מעלות. הקודקוד B נמצא על ציר ה־y. נתון כי שיעורי הקודקוד A הם (−16 , 0), ומשוואת הצלע CB היא y = −25x + 11.
א. מצאו את משוואת הצלע AC.
ב. מצאו את שיעורי הקודקוד C.
BE הוא תיכון לצלע AC.
ג. (1) מצאו את אורך הקטע EC. (2) מצאו את גודל הזווית CEB.
הנקודה K נמצאת על הקטע EB. נתון: שטח המשולש AEK הוא 30.
ד. מצאו את אורך הקטע EK.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – משוואת AC
∢ACB = 90, ולכן AC ⊥ CB. שיפוע CB הוא −25:
mAC · (−25) = −1 → mAC = 52📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
הישר עובר דרך A(−16 , 0):
y − 0 = 52(x + 16)📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
y = 52x + 40
✅ פתרון סופי: y = 52x + 40
סעיף ב – שיעורי C
C היא נקודת החיתוך של AC ו־CB. משווים:
52x + 40 = −25x + 11
כופלים ב־10 (מכנה משותף):
25x + 400 = −4x + 110📐 כפל במכנה משותףכופלים כל איבר במכנה המשותף
25x + 4x = 110 − 400 → 29x = −290 → x = −10
y = 52 · (−10) + 40 = −25 + 40 = 15
✅ פתרון סופי: C(−10 , 15)
סעיף ג (1) – אורך EC
BE תיכון ל־AC, ולכן E אמצע AC:
E = (−16 + (−10)2 , 0 + 152) = (−13 , 7.5)📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22)
EC = √(−10 + 13)2 + (15 − 7.5)2 = √9 + 56.25 = √65.25 ≈ 8.078📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
✅ פתרון סופי: EC = √65.25 ≈ 8.08
סעיף ג (2) – הזווית CEB
המשולש ECB ישר זווית ב־C. מוצאים את CB (B – חיתוך CB עם ציר ה־y: B(0 , 11)):
CB = √(0 + 10)2 + (11 − 15)2 = √100 + 16 = √116 ≈ 10.770📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
ב־∢CEB הצלע CB היא הניצב שמול הזווית, ו־EC הניצב שליד הזווית:
tan(∢CEB) = CBEC = 10.7708.078 ≈ 1.333📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
∢CEB ≈ 53.13
✅ פתרון סופי: ∢CEB ≈ 53.13 מעלות
סעיף ד – אורך EK
הזווית AEK משלימה את ∢CEB ל־180 (A , E , C על ישר אחד):
∢AEK = 180 − 53.13 = 126.87📐 זוויות צמודותסכום זוויות צמודות = 180 מעלות
AE = EC ≈ 8.078 (כי E אמצע AC). שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית ביניהן:
30 = 12 · 8.078 · EK · sin(126.87)📐 שטח משולשS = 12 · a · b · sin(∢)
sin(126.87) = 0.8
30 = 0.5 · 8.078 · 0.8 · EK = 3.231 · EK
EK = 303.231 ≈ 9.28
✅ פתרון סופי: EK ≈ 9.28
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | y = 52x + 40 |
|---|---|
| סעיף ב | C(−10 , 15) |
| סעיף ג (1) | EC ≈ 8.08 |
| סעיף ג (2) | 53.13 מעלות |
| סעיף ד | EK ≈ 9.28 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2024 מועד א', שאלה 4
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם טרפז ישר זווית ABCD (AB ∥ DC , ∢D = 90 מעלות). הקודקוד B נמצא על ציר ה־y, והקודקוד C נמצא על החלק השלילי של ציר ה־x. הבסיס CD חותך את ציר ה־y בנקודה H.
נתון: הנקודה E(2 , 7) נמצאת על הבסיס AB. משוואת שוק הטרפז AD היא y = −2x + 16.
א. מצאו את שיעורי הקודקוד B.
נתון כי אורך השוק BC של הטרפז הוא √72.
ב. מצאו את שיעורי הקודקוד C.
ג. מצאו את גודל הזווית CBO (O היא ראשית הצירים).
ד. (1) מצאו את משוואת הישר CD. (2) מצאו את גודל הזווית CHB.
ה. חשבו את שטח המשולש CBE.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – שיעורי B
∢D = 90 ו־AB ∥ DC, ולכן גם ∢A = 90: AB ⊥ AD.📐 טרפז ישר זוויתשתי הזוויות שליד השוק הניצבת ישרות
mAB · (−2) = −1 → mAB = 12📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
y − 7 = 12(x − 2) → y = 0.5x + 6📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
B על ציר ה־y, כלומר x = 0:
y = 0.5 · 0 + 6 = 6
✅ פתרון סופי: B(0 , 6)
סעיף ב – שיעורי C
C(c , 0) עם c < 0:
(c − 0)2 + (0 − 6)2 = (√72)2📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
c2 + 36 = 72 → c2 = 36 → c = ±6
C בחלק השלילי של ציר ה־x, ולכן c = −6.
✅ פתרון סופי: C(−6 , 0)
סעיף ג – הזווית CBO
המשולש CBO ישר זווית ב־O: CO = 6 , BO = 6.
tan(∢CBO) = COBO = 66 = 1📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
∢CBO = 45
✅ פתרון סופי: ∢CBO = 45 מעלות
סעיף ד (1) – משוואת CD
CD ∥ AB, ולכן mCD = 12.📐 ישרים מקביליםm1 = m2
y − 0 = 12(x + 6) → y = 0.5x + 3📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
✅ פתרון סופי: y = 0.5x + 3
סעיף ד (2) – הזווית CHB
H – חיתוך CD עם ציר ה־y: H(0 , 3).
במשולש CHO ישר הזווית ב־O: CO = 6 , HO = 3.
tan(∢CHO) = COHO = 63 = 2📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
∢CHO ≈ 63.43
O , H , B על ציר ה־y, ולכן ∢CHB ו־∢CHO צמודות:📐 זוויות צמודותסכום זוויות צמודות = 180 מעלות
∢CHB = 180 − 63.43 = 116.57
✅ פתרון סופי: ∢CHB ≈ 116.57 מעלות
סעיף ה – שטח המשולש CBE
הבסיס BE על הישר AB. הגובה מ־C אל AB שווה לגובה הטרפז AD (כי CD ∥ AB ו־AD ⊥ AB).
A – חיתוך AB ו־AD: 0.5x + 6 = −2x + 16 → 2.5x = 10 → x = 4 , A(4 , 8).
D – חיתוך AD ו־CD: −2x + 16 = 0.5x + 3 → 2.5x = 13 → x = 5.2 , D(5.2 , 5.6).
AD = √(5.2 − 4)2 + (5.6 − 8)2 = √1.44 + 5.76 = √7.2📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
BE = √(2 − 0)2 + (7 − 6)2 = √5
S = √5 · √7.22 = √362 = 62 = 3📐 שטח משולשS = בסיס · גובה2
✅ פתרון סופי: S = 3 יחידות שטח
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | B(0 , 6) |
|---|---|
| סעיף ב | C(−6 , 0) |
| סעיף ג | 45 מעלות |
| סעיף ד (1) | y = 0.5x + 3 |
| סעיף ד (2) | 116.57 מעלות |
| סעיף ה | S = 3 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2024, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
נתון טרפז ישר זווית ABCD (AD ⊥ AB , AB ∥ DC). הקודקודים A ו־B נמצאים על ציר ה־x, כמתואר בסרטוט. אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה M, שנמצאת על ציר ה־y. נתון: האלכסון AC מאונך לאלכסון BD. משוואת הישר AC היא y = −2x + 8.
א. מצאו את משוואת הישר BD.
ב. מצאו את שיעורי הקודקודים A , B , C ו־D.
ג. (1) חשבו את גודל הזווית ABD. (2) חשבו את גודל הזווית BCD.
ד. מצאו את שטח המשולש BCD.
הנקודה F נמצאת על המשך הצלע CD כך ששטח המשולש BFC גדול פי 2 משטח המשולש BCD.
ה. מצאו את שיעורי הנקודה F (מצאו את אחת משתי האפשרויות).
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – הישר BD
M על ציר ה־y ועל AC. מציבים x = 0: y = 8 ← M(0 , 8).
−2 · mBD = −1 ⟸ mBD = 12📐 ישרים מאונכיםm₁ · m₂ = −1
הישר עובר ב־M(0 , 8):
y = 12x + 8📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)
✅ פתרון סופי: y = 12x + 8
סעיף ב – הקודקודים
A – חיתוך AC עם ציר ה־x (y = 0):
−2x + 8 = 0 ⟸ x = 4 ← A(4 , 0)
B – חיתוך BD עם ציר ה־x:
12x + 8 = 0 ⟸ x = −16 ← B(−16 , 0)
AD ⊥ AB ו־AB על ציר ה־x, לכן AD אנכי: x = 4. מציבים בישר BD:
y = 12 · 4 + 8 = 10 ← D(4 , 10)
DC ∥ AB, לכן DC אופקי: y = 10. מציבים בישר AC:
−2x + 8 = 10 ⟸ x = −1 ← C(−1 , 10)
✅ פתרון סופי: A(4 , 0) , B(−16 , 0) , C(−1 , 10) , D(4 , 10)
סעיף ג – הזוויות
(1) AB על ציר ה־x, לכן ∢ABD היא הזווית של BD עם ציר ה־x:
tan∢ABD = 12 ⟸ ∢ABD ≈ 26.57📐 שיפוע וזווית עם ציר xtan∢ = m
(2) קודם הזווית ∢ABC:
mBC = 10 − 0−1 − (−16) = 1015 = 23📐 שיפוע בין שתי נקודותm = y₂ − y₁x₂ − x₁
tan∢ABC = 23 ⟸ ∢ABC ≈ 33.69
∢BCD = 180 − 33.69 = 146.31📐 זוויות חד־צדדיות בין מקבילים∢ABC + ∢BCD = 180
✅ פתרון סופי: (1) ≈ 26.57 מעלות (2) ≈ 146.31 מעלות
סעיף ד – שטח המשולש BCD
הבסיס CD אופקי: CD = 4 − (−1) = 5. הגובה מ־B (על ציר ה־x) אל הישר y = 10 הוא 10.
S = 5 · 102 = 25📐 שטח משולשS = צלע · גובה2
✅ פתרון סופי: 25
סעיף ה – הנקודה F
F על הישר y = 10, כך שהגובה מ־B של המשולש BFC הוא גם 10:
CF · 102 = 2 · 25 = 50
CF = 10
מ־C(−1 , 10) זזים 10 לאורך הישר האופקי:
x = −1 + 10 = 9 ← F(9 , 10) (מעבר ל־D)
או x = −1 − 10 = −11 ← F(−11 , 10) (מעבר ל־C)
✅ פתרון סופי: F(9 , 10) (או F(−11 , 10))
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | y = 12x + 8 |
|---|---|
| סעיף ב | A(4 , 0) , B(−16 , 0) , C(−1 , 10) , D(4 , 10) |
| סעיף ג | 26.57 ; 146.31 |
| סעיף ד | 25 |
| סעיף ה | F(9 , 10) |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם מתואר משולש ABC. הקודקוד B נמצא על ציר ה־y, והצלע AC מקבילה לציר ה־y. נתון: A(6 , 6) , AB = √40. שיעור ה־y של הקודקוד B קטן מ־6.
א. מצאו את שיעורי הקודקוד B.
הנקודה E היא אמצע הצלע BC. נתון: הנקודה E נמצאת על ציר ה־x.
ב. מצאו את שיעורי הנקודות C ו־E.
הנקודה D היא אמצע הצלע AC. מן הנקודה E העבירו ישר המקביל לציר ה־y וחותך את הצלע AB בנקודה F.
ג. (1) הוכיחו כי המרובע FADE הוא מקבילית. (2) חשבו את שטח המקבילית FADE.
ד. מצאו את גודל הזווית DEF.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – שיעורי B
B(0 , b):
(6 − 0)2 + (6 − b)2 = (√40)2📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
36 + (6 − b)2 = 40 → (6 − b)2 = 4 → 6 − b = ±2
b = 4 או b = 8. נתון b < 6, ולכן b = 4.
✅ פתרון סופי: B(0 , 4)
סעיף ב – שיעורי C ו־E
AC מקבילה לציר ה־y, ולכן ל־C אותו x כמו ל־A: C(6 , c).
E אמצע BC ועל ציר ה־x (y = 0):📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22)
4 + c2 = 0 → c = −4
xE = 0 + 62 = 3
✅ פתרון סופי: C(6 , −4) , E(3 , 0)
סעיף ג (1) – FADE מקבילית
FE מקביל לציר ה־y (נתון), וגם AD (על AC). לכן FE ∥ AD.
D אמצע AC ו־E אמצע BC, ולכן DE קטע אמצעים במשולש ABC: DE ∥ AB, כלומר DE ∥ FA.📐 קטע אמצעים במשולשמקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה
שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות ← מקבילית.📐 מקביליתמרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות מקבילות
✅ פתרון סופי: FADE מקבילית ✓
סעיף ג (2) – שטח המקבילית
D = (6 , 6 + (−4)2) = (6 , 1)
AD = 6 − 1 = 5
הגובה לצלע AD הוא המרחק בין הישרים האנכיים x = 3 ו־x = 6: h = 6 − 3 = 3.
S = 5 · 3 = 15📐 שטח מקביליתS = צלע · הגובה אליה
✅ פתרון סופי: S = 15
סעיף ד – הזווית DEF
EF אנכי (כלפי מעלה מ־E(3 , 0)). מעבירים מ־D(6 , 1) אנך לישר EF – נוצר משולש ישר זווית עם ניצבים:
אופקי: 6 − 3 = 3 (מול הזווית) ; אנכי: 1 − 0 = 1 (ליד הזווית).
tan(∢DEF) = 31 = 3📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
∢DEF ≈ 71.57
✅ פתרון סופי: ∢DEF ≈ 71.57 מעלות
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | B(0 , 4) |
|---|---|
| סעיף ב | C(6 , −4) , E(3 , 0) |
| סעיף ג (2) | 15 |
| סעיף ד | 71.57 מעלות |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2023 מועד א', שאלה 4
📄 נוסח השאלה
המרובע ABCD הוא טרפז (AB ∥ CD), שכל קודקודיו מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט. ראשית הצירים O היא מפגש האלכסונים של הטרפז. נתון: A(0 , 6) , AO = OD. ידוע כי שטח המשולש ABD שווה ל־45.
א. (1) מצאו את האורך של BD. (2) מצאו את שיעורי הקודקודים D ו־B.
ב. מצאו את משוואת הצלע CD.
ג. (1) מצאו את גודל הזווית OBC. (2) מצאו את גודל הזווית ABC.
הנקודה E נמצאת על המשך הצלע BC ונתון כי DE = DC (ראו סרטוט).
ד. מצאו את היקף המשולש CDE.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – BD והקודקודים
(1) BD על ציר ה־x ו־A על ציר ה־y, לכן AO = 6 הוא הגובה של המשולש ABD:
45 = BD · 62 = 3 · BD📐 שטח משולשS = צלע · גובה2
BD = 15
(2) OD = AO = 6, ו־D על החלק השלילי של ציר ה־x ← D(−6 , 0).
OB = 15 − 6 = 9 ← B(9 , 0)
✅ פתרון סופי: (1) BD = 15 (2) D(−6 , 0) , B(9 , 0)
סעיף ב – משוואת CD
mAB = 0 − 69 − 0 = −23📐 שיפוע בין שתי נקודותm = y₂ − y₁x₂ − x₁
CD ∥ AB, לכן אותו שיפוע, דרך D(−6 , 0):
y − 0 = −23(x + 6)📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)
y = −23x − 4
✅ פתרון סופי: y = −23x − 4
סעיף ג – הזוויות
C על ציר ה־y: x = 0 ⟸ y = −4 ← C(0 , −4).
(1) במשולש ישר הזווית OBC (∢O = 90):
tan∢OBC = OCOB = 49📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
∢OBC ≈ 23.96
(2) במשולש OBA:
tan∢OBA = 69 ⟸ ∢OBA ≈ 33.69
∢ABC = 33.69 + 23.96 = 57.65
✅ פתרון סופי: (1) ≈ 23.96 מעלות (2) ≈ 57.65 מעלות
סעיף ד – היקף המשולש CDE
DC = √(0 + 6)² + (−4 − 0)² = √52 ≈ 7.21📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
משוואת BC:
mBC = 0 − (−4)9 − 0 = 49 ⟸ y = 49x − 4📐 שיפוע בין שתי נקודותm = y₂ − y₁x₂ − x₁
E(x , 49x − 4) על הישר, ו־DE = √52:
(x + 6)² + (49x − 4)² = 52
x² + 12x + 36 + 1681x² − 329x + 16 = 52
9781x² + 769x = 0
x = 0 (זו C) או x = −68497 ≈ −7.05
y ≈ 49 · (−7.05) − 4 ≈ −7.13 ← E(−7.05 , −7.13)
CE = √7.05² + 3.13² ≈ 7.72📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
P = √52 + √52 + 7.72 ≈ 7.21 + 7.21 + 7.72 = 22.14
✅ פתרון סופי: ≈ 22.14
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | BD = 15 ; D(−6 , 0) , B(9 , 0) |
|---|---|
| סעיף ב | y = −23x − 4 |
| סעיף ג | 23.96 ; 57.65 |
| סעיף ד | ≈ 22.14 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2022 (פברואר, נבצרים), שאלה 4
📄 נוסח השאלה
במשולש ABC הקודקוד B מונח על ציר ה־y. נתון כי משוואת הצלע AB היא y = −x + 4. שיעור ה־y של הקודקוד A הוא 10.
א. חשב את אורך הצלע AB.
נתון כי הצלע BC מקבילה לציר ה־x. אורך הצלע BC הוא 6.
ב. מצא את שיעורי הקודקוד C.
D היא נקודת החיתוך של הישר AC עם ציר ה־y.
ג. מצא את שיעורי הנקודה D.
מנקודה D העבירו ישר המקביל לציר ה־x החותך את הצלע AB בנקודה E.
ד. (1) הוכח כי DE הוא קטע אמצעים במשולש ABC. (2) חשב את אורך הקטע DE.
ה. חשב את גודלי הזוויות EBD ו־ABC.
ו. מצא פי כמה גדול שטח המשולש ABC משטח הטרפז EDCB.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – אורך AB
B על ציר ה־y: y = −0 + 4 = 4, B(0 , 4).
A: 10 = −x + 4 → x = −6, A(−6 , 10).
AB = √(0 + 6)2 + (4 − 10)2 = √72 ≈ 8.485📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
✅ פתרון סופי: AB = √72 ≈ 8.485
סעיף ב – שיעורי C
BC מקביל לציר ה־x, ולכן C(c , 4) עם |c| = 6.
אם c = −6, אז AC מאונך לציר ה־x ולא חותך את ציר ה־y – בסתירה לנתון של סעיף ג. לפי הסרטוט C מימין.
✅ פתרון סופי: C(6 , 4)
סעיף ג – שיעורי D
mAC = 4 − 106 + 6 = −12📐 שיפועm = y2 − y1x2 − x1
y − 10 = −12(x + 6) → y = −0.5x + 7📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
על ציר ה־y: x = 0, y = 7.
✅ פתרון סופי: D(0 , 7)
סעיף ד (1) – DE קטע אמצעים
אמצע AC = (−6 + 62 , 10 + 42) = (0 , 7) = D📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22)
DE ∥ BC (שניהם מקבילים לציר ה־x) ועובר דרך אמצע AC ← חוצה גם את AB, ולכן DE קטע אמצעים.📐 קטע אמצעים במשולשישר שיוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע שנייה – חוצה את השלישית
✅ פתרון סופי: DE קטע אמצעים ✓
סעיף ד (2) – אורך DE
DE = BC2 = 62 = 3📐 קטע אמצעים במשולששווה למחצית הצלע השלישית
בדיקה: E: 7 = −x + 4 → x = −3 , DE = 0 − (−3) = 3 ✓
✅ פתרון סופי: DE = 3
סעיף ה – הזוויות EBD ו־ABC
BD על ציר ה־y (אנכי). במשולש EDB ישר הזווית ב־D: ED = 3 , BD = 7 − 4 = 3.
tan(∢EBD) = 33 = 1 → ∢EBD = 45📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
BC אופקי ו־BD אנכי, ולכן ∢DBC = 90:
∢ABC = 45 + 90 = 135
✅ פתרון סופי: ∢EBD = 45 , ∢ABC = 135 מעלות
סעיף ו – יחס שטחים
△AED ∼ △ABC ביחס דמיון 12 (קטע אמצעים).📐 יחס שטחים במשולשים דומיםיחס השטחים = ריבוע יחס הדמיון
SAED = 14 SABC → SEDCB = 34 SABC
SABCSEDCB = 43
✅ פתרון סופי: פי 43 (≈ 1.33)
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | √72 ≈ 8.485 |
|---|---|
| סעיף ב | C(6 , 4) |
| סעיף ג | D(0 , 7) |
| סעיף ד (2) | DE = 3 |
| סעיף ה | 45 , 135 מעלות |
| סעיף ו | פי 43 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 (פברואר, נבצרים)⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2022 (ינואר), שאלה 4
📄 נוסח השאלה
בסרטוט מתואר משולש ABC. הקודקוד B נמצא על ציר ה־y, והצלע AC מקבילה לציר ה־y. נתון: AB = √40 , A(6 , 6). שיעור ה־y של הקודקוד B קטן מ־6.
א. מצא את שיעורי הקודקוד B.
הנקודה E היא אמצע הצלע BC. נתון: הנקודה E נמצאת על ציר ה־x.
ב. מצא את שיעורי הנקודות C ו־E.
הנקודה D היא אמצע הצלע AC. מן הנקודה E העבירו ישר המקביל לציר ה־y וחותך את הצלע AB בנקודה F.
ג. (1) הוכח כי המרובע FADE הוא מקבילית. (2) חשב את שטח המקבילית FADE.
ד. מצא את גודל הזווית DEF.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – הקודקוד B
B(0 , b) על ציר ה־y:
√40 = √(6 − 0)² + (6 − b)²📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
40 = 36 + (6 − b)² ⟸ (6 − b)² = 4
6 − b = 2 או 6 − b = −2
נתון b < 6, ולכן b = 4.
✅ פתרון סופי: B(0 , 4)
סעיף ב – הנקודות C ו־E
AC מקבילה לציר ה־y, לכן C(6 , c). E אמצע BC ושיעור ה־y שלה 0:
4 + c2 = 0 ⟸ c = −4📐 אמצע קטעxM = x₁ + x₂2 , yM = y₁ + y₂2
xE = 0 + 62 = 3
✅ פתרון סופי: C(6 , −4) , E(3 , 0)
סעיף ג – מקבילית ושטחה
(1) D אמצע AC: D(6 , 1).
1. FE ∥ AD – שניהם מקבילים לציר ה־y.
2. DE מחבר את אמצעי AC ו־BC, ולכן DE ∥ AB, כלומר DE ∥ FA.📐 קטע אמצעים במשולשמקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה
שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות ← FADE מקבילית.
(2) הבסיס AD = 6 − 1 = 5 (אנכי). הגובה – המרחק בין הישרים x = 3 ו־x = 6: 3.
S = 5 · 3 = 15📐 שטח מקביליתS = a · h
✅ פתרון סופי: (1) FADE מקבילית (2) 15
סעיף ד – הזווית DEF
EF אנכי (מקביל לציר ה־y). נחשב את הזווית של ED עם ציר ה־x:
mED = 1 − 06 − 3 = 13📐 שיפוע בין שתי נקודותm = y₂ − y₁x₂ − x₁
tan∢ = 13 ⟸ ∢ ≈ 18.43📐 שיפוע וזווית עם ציר xtan∢ = m
∢DEF = 90 − 18.43 = 71.57
✅ פתרון סופי: ≈ 71.57 מעלות
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | B(0 , 4) |
|---|---|
| סעיף ב | C(6 , −4) , E(3 , 0) |
| סעיף ג | מקבילית ; 15 |
| סעיף ד | 71.57 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 (ינואר)⬆️ חזרה לכפתורים
עם מעגל
📅 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 4
📄 נוסח השאלה
בסרטוט מעגל. מרכז המעגל M נמצא על ציר ה־x. הנקודה A נמצאת על המעגל. המשך הקטע MA חותך את ציר ה־y בנקודה B. נתון: B(0 , 18) , A(−16 , 6).
א. (1) מצאו את משוואת הישר AB. (2) מצאו את משוואת המעגל.
דרך הנקודה A מעבירים משיק למעגל החותך את ציר ה־y בנקודה D.
ב. מצאו את שיעורי הנקודה D.
הנקודה C נמצאת על המעגל כך ש־AC הוא קוטר במעגל.
ג. הראו כי BD = CD.
ד. חשבו את גודל הזווית ABD.
הנקודה K נמצאת על הקטע CD. נתון כי שטח המשולש MCK הוא 90.
ה. מצאו את אורך הקטע CK.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א (1) – משוואת הישר AB
mAB = 18 − 60 − (−16) = 1216 = 34📐 שיפוע בין שתי נקודותm = y₂ − y₁x₂ − x₁
הישר חותך את ציר ה־y ב־B(0 , 18), ולכן b = 18:
y = 34x + 18📐 משוואת ישרy = mx + b
בדיקה: A: 34 · (−16) + 18 = −12 + 18 = 6 ✓
✅ פתרון סופי: y = 34x + 18
סעיף א (2) – משוואת המעגל
המרכז M נמצא על ציר ה־x (y = 0) וגם על הישר AB (כי B על המשך MA). מציבים y = 0:
0 = 34x + 18
34x = −18
x = −18 · 43 = −24
המרכז: M(−24 , 0). הרדיוס הוא המרחק MA:
R = √(−16 − (−24))² + (6 − 0)²📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
R = √8² + 6² = √64 + 36 = √100 = 10
(x + 24)² + y² = 100📐 משוואת מעגל(x − a)² + (y − b)² = R²
✅ פתרון סופי: (x + 24)² + y² = 100
סעיף ב – הנקודה D
המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. שיפוע הרדיוס MA שווה לשיפוע AB (אותו ישר): m = 34.
34 · m = −1 ⟸ m = −43📐 משיק ⊥ רדיוסm₁ · m₂ = −1
y − 6 = −43(x − (−16))📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)
y − 6 = −43x − 643
y = −43x − 643 + 183
y = −43x − 463
נקודה D על ציר ה־y, ולכן x = 0:
y = −463 = −1513
✅ פתרון סופי: D(0 , −463) (כלומר y ≈ −15.33)
סעיף ג – הוכחה ש־BD = CD
המרכז M הוא אמצע הקוטר AC:
−24 = −16 + xC2 ⟸ xC = −48 + 16 = −32📐 אמצע קטעxM = x₁ + x₂2 , yM = y₁ + y₂2
0 = 6 + yC2 ⟸ yC = −6
כלומר C(−32 , −6).
הנקודות B ו־D שתיהן על ציר ה־y, לכן האורך הוא הפרש שיעורי ה־y:
BD = 18 − (−463) = 543 + 463 = 1003
CD = √(0 − (−32))² + (−463 − (−6))²📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
CD = √32² + (−283)² = √1024 + 7849
CD = √9216 + 7849 = √100009 = 1003
קיבלנו BD = CD = 1003. ✓
✅ פתרון סופי: BD = CD = 1003
סעיף ד – הזווית ABD
המשיק AD מאונך לרדיוס MA, ו־B על המשך MA. לכן ∢BAD = 90 מעלות – המשולש ABD ישר זווית ב־A.
AB = √(0 − (−16))² + (18 − 6)² = √256 + 144 = √400 = 20📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
היתר הוא BD = 1003 (מסעיף ג). AB הוא הניצב שליד הזווית:
cos∢ABD = ABBD = 201003 = 60100 = 0.6📐 במשולש ישר זוויתcos = ניצב לידיתר
∢ABD = 53.13
✅ פתרון סופי: ∢ABD ≈ 53.13 מעלות
סעיף ה – אורך הקטע CK
נחשב את שטח המשולש MCK לפי שתי צלעות והזווית שביניהן: MC , CK והזווית ∢MCK.
הנקודות C , M , A , B על ישר אחד: AC קוטר שעובר דרך המרכז M, ו־B על המשך MA. לכן ∢CBD = ∢ABD = 53.13 (סעיף ד).
בסעיף ג הראינו BD = CD, כלומר המשולש BCD שווה שוקיים, ולכן: ∢BCD = ∢CBD = 53.13📐 משולש שווה שוקייםמול צלעות שוות – זוויות שוות
M על CB ו־K על CD, ולכן ∢MCK = ∢BCD = 53.13.
MC הוא רדיוס: MC = 10.
SMCK = 12 · MC · CK · sin(∢MCK)📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin(∢)
90 = 12 · 10 · CK · sin 53.13
sin 53.13 ≈ 0.8, ולכן:
90 = 12 · 10 · 0.8 · CK = 4 · CK
CK = 904 = 22.5
בדיקה: 22.5 < CD = 33.3, כלומר K באמת על הקטע ✓
✅ פתרון סופי: CK = 22.5
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | y = 34x + 18 ; (x + 24)² + y² = 100 |
|---|---|
| סעיף ב | D(0 , −463) |
| סעיף ג | BD = CD = 1003 |
| סעיף ד | 53.13 מעלות |
| סעיף ה | CK = 22.5 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2025, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
משולש ABC חסום במעגל שמרכזו M, כמתואר בסרטוט. נתון: C(−15 , 0) , M(−5 , 0).
א. מצאו את משוואת המעגל.
נתון: משוואת הצלע AB היא y = 2x.
ב. מצאו את שיעורי הקודקודים A ו־B.
הנקודה O היא ראשית הצירים.
ג. מצאו את גודל הזווית ACO ואת גודל הזווית AOC.
ד. מצאו את שטח המשולש ABC.
הנקודה E נמצאת על הצלע AC כך ששטח המשולש EAB הוא 56.
ה. מצאו את אורך הקטע AE.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – משוואת המעגל
הנקודה C על המעגל, לכן הרדיוס הוא MC:
R = √(−15 − (−5))² + (0 − 0)² = √100 = 10📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
(x + 5)² + y² = 100📐 משוואת מעגל(x − a)² + (y − b)² = R²
✅ פתרון סופי: (x + 5)² + y² = 100
סעיף ב – הקודקודים A ו־B
A ו־B הם נקודות החיתוך של הישר y = 2x עם המעגל. מציבים:
(x + 5)² + (2x)² = 100
x² + 10x + 25 + 4x² = 100📐 נוסחת הכפל המקוצר(a + b)² = a² + 2ab + b²
5x² + 10x − 75 = 0
מחלקים ב־5:
x² + 2x − 15 = 0
x = −2 ± √4 + 602 = −2 ± 82📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b² − 4ac2a
x = 3 או x = −5
x = 3: y = 2 · 3 = 6 ; x = −5: y = 2 · (−5) = −10
לפי הסרטוט A למעלה ו־B למטה.
✅ פתרון סופי: A(3 , 6) , B(−5 , −10)
סעיף ג – הזוויות ACO ו־AOC
הזווית ACO היא הזווית בין CA לציר ה־x (הקטע CO על ציר ה־x):
mCA = 6 − 03 − (−15) = 618 = 13📐 שיפוע בין שתי נקודותm = y₂ − y₁x₂ − x₁
tan∢ACO = 13 ⟸ ∢ACO = 18.43📐 שיפוע וזווית עם ציר xtan∢ = m
הזווית AOC: הישר OA הוא y = 2x (שיפוע 2). הזווית שלו עם הכיוון החיובי של ציר ה־x:
tan∢ = 2 ⟸ ∢ = 63.43
הקטע OC פונה לכיוון השלילי של ציר ה־x, ולכן הזווית AOC משלימה ל־180:
∢AOC = 180 − 63.43 = 116.57📐 זוויות צמודותסכומן 180 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢ACO ≈ 18.43 , ∢AOC ≈ 116.57 מעלות
סעיף ד – שטח המשולש ABC
נחשב את השטח לפי שתי צלעות והזווית שביניהן: הצלעות AB ו־AC והזווית ∢CAB.
במשולש ACO ידועות שתי זוויות (סעיף ג):
∢CAO = 180 − ∢AOC − ∢ACO = 180 − 116.57 − 18.43 = 45📐 סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש = 180 מעלות
הישר AB הוא y = 2x, והוא עובר בראשית – כלומר O על הצלע AB. לכן ∢CAB = ∢CAO = 45.
AB = √(3 + 5)² + (6 + 10)² = √64 + 256 = √320 = 8√5📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
AC = √(3 + 15)² + (6 − 0)² = √324 + 36 = √360 = 6√10📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
S = 12 · AB · AC · sin(∢CAB)📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin(∢)
S = 12 · 8√5 · 6√10 · sin 45
מציבים ערכים מקורבים:
8√5 ≈ 17.889
6√10 ≈ 18.974
sin 45 ≈ 0.7071
S ≈ 12 · 17.889 · 18.974 · 0.7071 ≈ 120
✅ פתרון סופי: S = 120 יחידות שטח
סעיף ה – אורך AE
הנקודה E על הצלע AC, ולכן במשולש EAB הזווית ב־A היא אותה זווית: ∢EAB = ∢CAB = 45 (סעיף ד).
SEAB = 12 · AB · AE · sin(∢EAB)📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin(∢)
56 = 12 · 8√5 · AE · sin 45
12 · 8√5 · sin 45 ≈ 12 · 17.889 · 0.7071 ≈ 6.325 (בדיוק 2√10)
56 = 2√10 · AE
AE = 562√10 = 28√10 ≈ 8.85
בדיקה: AC = √360 ≈ 18.97, ו־8.85 < 18.97 – הנקודה באמת על הצלע ✓
✅ פתרון סופי: AE = 28√10 ≈ 8.85
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | (x + 5)² + y² = 100 |
|---|---|
| סעיף ב | A(3 , 6) , B(−5 , −10) |
| סעיף ג | 18.43 , 116.57 מעלות |
| סעיף ד | 120 |
| סעיף ה | AE ≈ 8.85 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 5
📄 נוסח השאלה
המשולש ABC חסום במעגל. נתון כי מרכז המעגל M נמצא בנקודה (4 , 8). המעגל עובר דרך ראשית הצירים O (ראו סרטוט). הנקודה A היא אחת מנקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה־y.
א. (1) מצאו את משוואת המעגל. (2) מצאו את שיעורי הנקודה A.
הצלע AB מקבילה לציר ה־x. נתון כי שיפוע הישר BC הוא 1.
ב. (1) מצאו את משוואת הישר BC. (2) מצאו את שיעורי הקודקוד C.
ג. מצאו את גודל הזווית ACB.
הנקודה E היא אמצע הצלע BC.
ד. מצאו את אורך רדיוס המעגל החוסם את המשולש AEC.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – המעגל והנקודה A
(1) המעגל עובר ב־O(0 , 0), לכן R = MO:
R² = (0 − 4)² + (0 − 8)² = 16 + 64 = 80📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
(x − 4)² + (y − 8)² = 80📐 משוואת מעגל(x − a)² + (y − b)² = R²
(2) על ציר ה־y: x = 0:
16 + (y − 8)² = 80
(y − 8)² = 64
y − 8 = 8 או y − 8 = −8
y = 16 או y = 0
y = 0 היא הראשית O, ולכן A(0 , 16).
✅ פתרון סופי: (1) (x − 4)² + (y − 8)² = 80 (2) A(0 , 16)
סעיף ב – הישר BC והקודקוד C
AB מקביל לציר ה־x, לכן ל־B שיעור y = 16:
(x − 4)² + 64 = 80 ⟸ (x − 4)² = 16
x = 8 או x = 0
x = 0 זו A, ולכן B(8 , 16).
(1) הישר BC – שיפוע 1 דרך B(8 , 16):
y − 16 = 1 · (x − 8) ⟸ y = x + 8📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)
(2) מציבים במשוואת המעגל:
(x − 4)² + (x + 8 − 8)² = 80
x² − 8x + 16 + x² = 80
2x² − 8x − 64 = 0
מחלקים ב־2:
x² − 4x − 32 = 0
x = 4 ± √16 + 1282 = 4 ± 122📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b² − 4ac2a
x = 8 (זו B) או x = −4 ⟸ y = −4 + 8 = 4
✅ פתרון סופי: (1) y = x + 8 (2) C(−4 , 4)
סעיף ג – הזווית ACB
מחשבים את הזווית של כל אחד מהישרים CA ו־CB עם הכיוון החיובי של ציר ה־x:
mCA = 16 − 40 − (−4) = 124 = 3📐 שיפוע בין שתי נקודותm = y₂ − y₁x₂ − x₁
tan∢ = 3 ⟸ ∢ = 71.57📐 שיפוע וזווית עם ציר xtan∢ = m
mCB = 1 ⟸ tan∢ = 1 ⟸ ∢ = 45
הזווית בין שני הישרים היא ההפרש:
∢ACB = 71.57 − 45 = 26.57
✅ פתרון סופי: ∢ACB ≈ 26.57 מעלות
סעיף ד – רדיוס המעגל החוסם את AEC
E = (8 + (−4)2 , 16 + 42) = (2 , 10)📐 אמצע קטעxM = x₁ + x₂2 , yM = y₁ + y₂2
הנקודה E על הקטע CB, ולכן ∢ACE = ∢ACB ≈ 26.57 מעלות. הצלע שמול הזווית הזאת במשולש AEC היא AE:
AE = √(2 − 0)² + (10 − 16)² = √4 + 36 = √40📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
√40sin 26.57 = 2R📐 משפט הסינוסיםasin∢A = 2R
sin 26.57 ≈ 0.4472 ⟸ 2R = 6.3250.4472 ≈ 14.14
R ≈ 7.07 (בדיוק √50 = 5√2)
✅ פתרון סופי: R = 5√2 ≈ 7.07
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | (x − 4)² + (y − 8)² = 80 ; A(0 , 16) |
|---|---|
| סעיף ב | y = x + 8 ; C(−4 , 4) |
| סעיף ג | 26.57 מעלות |
| סעיף ד | R = 5√2 ≈ 7.07 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 5
📄 נוסח השאלה
במעגל חסום משולש חד זוויות ABC. נתון: B(3 , 7) , A(−5 , 3). מרכז המעגל M נמצא על ציר ה־y. המעגל חותך את ציר ה־x בנקודות C ו־D, כמתואר בסרטוט שלפניכם.
א. (1) הראו כי שיעורי מרכז המעגל M הם (0 , 3). (2) מצאו את משוואת המעגל. (3) מצאו את שיעורי הנקודות C ו־D.
ב. (1) מצאו את אורך הצלע AC. (2) מצאו את גודל הזווית ABC.
הנקודה E נמצאת על הקשת הקטנה AC. נתון: EC = 7.
ג. מהו גודל הזווית AEC? נמקו את תשובתכם.
ד. מצאו את שטח המשולש AEC.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א (1) – מרכז המעגל
M(0 , m). המרכז במרחק שווה מ־A ומ־B (רדיוסים):
(−5 − 0)2 + (3 − m)2 = (3 − 0)2 + (7 − m)2📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
25 + 9 − 6m + m2 = 9 + 49 − 14m + m2
34 − 6m = 58 − 14m → 8m = 24 → m = 3
✅ פתרון סופי: M(0 , 3) ✓
סעיף א (2) – משוואת המעגל
R2 = MA2 = 25 + (3 − 3)2 = 25
x2 + (y − 3)2 = 25📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
✅ פתרון סופי: x2 + (y − 3)2 = 25
סעיף א (3) – שיעורי C ו־D
על ציר ה־x: y = 0:
x2 + 9 = 25 → x2 = 16 → x = ±4
לפי הסרטוט C מימין ו־D משמאל.
✅ פתרון סופי: C(4 , 0) , D(−4 , 0)
סעיף ב (1) – אורך AC
AC = √(4 + 5)2 + (0 − 3)2 = √81 + 9 = √90 ≈ 9.487📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
✅ פתרון סופי: AC = √90 ≈ 9.487
סעיף ב (2) – הזווית ABC
√90sin(∢ABC) = 2 · 5📐 משפט הסינוסיםasin(A) = 2R
sin(∢ABC) = √9010 ≈ 0.9487
∢ABC ≈ 71.57 או 108.43. המשולש חד זוויות, ולכן ∢ABC ≈ 71.57.
✅ פתרון סופי: ∢ABC ≈ 71.57 מעלות
סעיף ג – הזווית AEC
E על הקשת הקטנה AC, ולכן ABCE מרובע חסום במעגל, ו־∢AEC מול ∢ABC:📐 מרובע חסום במעגלסכום זוויות נגדיות = 180 מעלות
∢AEC = 180 − 71.57 = 108.43
✅ פתרון סופי: ∢AEC ≈ 108.43 מעלות
סעיף ד – שטח המשולש AEC
במשולש AEC ידועים AC = √90 , EC = 7 ו־∢AEC ≈ 108.43. הנקודות A , E , C על המעגל, ולכן גם המשולש AEC חסום במעגל שרדיוסו R = 5. נמצא את הזווית EAC (מול הצלע EC):
ECsin(∢EAC) = 2 · 5📐 משפט הסינוסיםasin(A) = 2R
7sin(∢EAC) = 10 → sin(∢EAC) = 710 = 0.7
∢EAC ≈ 44.43 או 135.57. הזווית AEC קהה, ולכן שתי הזוויות האחרות במשולש חדות: ∢EAC ≈ 44.43.
∢ACE = 180 − 108.43 − 44.43 = 27.14📐 סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש = 180 מעלות
עכשיו ידועות שתי צלעות, AC ו־EC, והזווית שביניהן, ∢ACE:
S = 12 · AC · EC · sin(∢ACE) = 12 · √90 · 7 · sin(27.14)📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin(C)
S = 0.5 · 9.487 · 7 · 0.4561 ≈ 15.15
✅ פתרון סופי: S ≈ 15.15 יחידות שטח
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א (2) | x2 + (y − 3)2 = 25 |
|---|---|
| סעיף א (3) | C(4 , 0) , D(−4 , 0) |
| סעיף ב (1) | √90 ≈ 9.487 |
| סעיף ב (2) | 71.57 מעלות |
| סעיף ג | 108.43 מעלות |
| סעיף ד | ≈ 15.15 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2023, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
במשולש ישר זווית ABC (∢ABC = 90) הקודקוד B מונח על ציר ה־x והקודקוד A מונח על ציר ה־y. מן הקודקוד C העבירו אנך לציר ה־x, החותך אותו בנקודה D (ראו סרטוט). הנקודה O היא ראשית הצירים.
א. הוכיחו: △AOB ∼ △BDC.
נתון: CDOB = 52. משוואת הצלע AB היא y = −23x + 4.
ב. (1) מצאו את אורכי הקטעים OB ו־CD. (2) מצאו את שיעורי הנקודות D ו־C.
ג. (1) מצאו את גודל הזווית BAC. (2) מצאו את גודל הזווית ACD.
ד. האם אפשר לחסום את המרובע ABDC במעגל? נמקו.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – הוכחת הדמיון
1. ∢AOB = ∢BDC = 90 (הצירים מאונכים, CD אנך לציר ה־x).
2. על ציר ה־x בנקודה B: ∢ABO + ∢ABC + ∢CBD = 180, ו־∢ABC = 90, לכן ∢ABO + ∢CBD = 90.
3. במשולש AOB: ∢OAB + ∢ABO = 90. לכן ∢OAB = ∢CBD.📐 סכום זוויות במשולש180 מעלות
4. △AOB ∼ △BDC📐 משפט דמיוןז.ז
✅ פתרון סופי: △AOB ∼ △BDC לפי ז.ז
סעיף ב – אורכים ונקודות
(1) A על ציר ה־y: A(0 , 4). B על ציר ה־x:
0 = −23x + 4 ⟸ x = 6 ← B(6 , 0) , OB = 6
CD = 52 · 6 = 15
(2) מהדמיון (צלעות מתאימות: AO ↔ BD , OB ↔ DC):
AOBD = OBDC ⟸ 4BD = 615📐 יחס דמיוןיחס בין צלעות מתאימות שווה
BD = 4 · 156 = 10
xD = 6 + 10 = 16 ← D(16 , 0) , C(16 , 15)
✅ פתרון סופי: (1) OB = 6 , CD = 15 (2) D(16 , 0) , C(16 , 15)
סעיף ג – הזוויות
AB = √6² + 4² = √52📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
BC = √10² + 15² = √325
(1) במשולש ישר הזווית ABC:
tan∢BAC = BCAB = √325√52 = √6.25 = 2.5📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
∢BAC ≈ 68.2
(2) ∢ACD = ∢ACB + ∢BCD.
∢ACB = 180 − 90 − 68.2 = 21.8📐 סכום זוויות במשולש180 מעלות
במשולש BDC: tan∢BCD = BDCD = 1015 ⟸ ∢BCD ≈ 33.69
∢ACD = 21.8 + 33.69 = 55.49
✅ פתרון סופי: (1) ≈ 68.2 מעלות (2) ≈ 55.49 מעלות
סעיף ד – חסימה במעגל
במרובע ABDC הזוויות הנגדיות הן ב־A וב־D:
∢BAC + ∢BDC = 68.2 + 90 = 158.2 ≠ 180📐 מרובע בר חסימהסכום זוויות נגדיות 180 מעלות
✅ פתרון סופי: לא – סכום הזוויות הנגדיות אינו 180
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | דמיון ז.ז |
|---|---|
| סעיף ב | OB = 6 , CD = 15 ; D(16 , 0) , C(16 , 15) |
| סעיף ג | 68.2 ; 55.49 |
| סעיף ד | לא |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 4
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל, העובר דרך הנקודות C , A ו־O. O היא ראשית הצירים. המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה־x בנקודה A. הנקודה B נמצאת מחוץ למעגל, על החלק החיובי של ציר ה־x. הקטע CB חותך את המעגל בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: ∢EOB = ∢EBO.
א. הוכיחו: AC = AB.
נתון: A(4 , 0) , C(0 , 3).
ב. מצאו את שיעורי הנקודה B.
ג. (1) הוכיחו כי AC הוא קוטר במעגל. (2) מצאו את משוואת המעגל.
נתון כי שיעור ה־x של הנקודה E הוא 4.5.
ד. פי כמה גדול שטח המשולש COB משטח המשולש EOB?
ה. חשבו את גודל הזווית EOB.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – הוכחה ש־AC = AB
∢ACE = ∢AOE – זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת AE.📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת – שוות
∢AOE = ∢EOB – אותה זווית (A על OB).
∢EOB = ∢EBO – נתון. לכן ∢ACB = ∢ABC.
במשולש ACB שתי זוויות שוות ← הצלעות שמולן שוות: AB = AC.📐 משולש שווה שוקייםמול זוויות שוות – צלעות שוות
✅ פתרון סופי: AC = AB ✓
סעיף ב – שיעורי B
AC = √(4 − 0)2 + (0 − 3)2 = √25 = 5📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
AB = AC = 5, ו־B מימין ל־A על ציר ה־x: xB = 4 + 5 = 9.
✅ פתרון סופי: B(9 , 0)
סעיף ג (1) – AC קוטר
∢COA = 90 (בין הצירים), והיא זווית היקפית במעגל ← נשענת על קוטר: AC קוטר.📐 זווית ישרה במעגלזווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר
✅ פתרון סופי: AC קוטר ✓
סעיף ג (2) – משוואת המעגל
M = (4 + 02 , 0 + 32) = (2 , 1.5)📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22)
R = 52 = 2.5 , R2 = 6.25
(x − 2)2 + (y − 1.5)2 = 6.25📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
✅ פתרון סופי: (x − 2)2 + (y − 1.5)2 = 6.25
סעיף ד – יחס השטחים
mCB = 0 − 39 − 0 = −13 ← y = −13x + 3📐 שיפועm = y2 − y1x2 − x1
yE = −4.53 + 3 = 1.5 , E(4.5 , 1.5)
לשני המשולשים אותו בסיס OB = 9. הגבהים: ל־COB – 3, ל־EOB – 1.5:
SCOBSEOB = ½ · 9 · 3½ · 9 · 1.5 = 31.5 = 2📐 שטח משולשS = בסיס · גובה2
✅ פתרון סופי: פי 2
סעיף ה – הזווית EOB
מורידים אנך מ־E לציר ה־x (לנקודה (4.5 , 0)). במשולש ישר הזווית:
tan(∢EOB) = 1.54.5 = 13📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
∢EOB ≈ 18.43
✅ פתרון סופי: ∢EOB ≈ 18.43 מעלות
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | B(9 , 0) |
| סעיף ג (2) | (x − 2)2 + (y − 1.5)2 = 6.25 |
| סעיף ד | פי 2 |
| סעיף ה | 18.43 מעלות |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2022 מועד א', שאלה 4
📄 נוסח השאלה
המרובע ABCD שלפניכם חסום במעגל (ראו סרטוט). נתון: ∢A = ∢C.
א. הוכיחו כי BD הוא קוטר במעגל.
נתון: B(0 , 12) , D(0 , 2).
ב. מצאו את משוואת המעגל.
נתון כי שיפוע הצלע BC הוא −12.
ג. (1) מצאו את משוואת הצלע DC. (2) מצאו את שיעורי הנקודה C.
נתון כי הנקודה E היא אמצע הצלע DC.
ד. חשבו את שטח המשולש BCE.
ה. (1) חשבו את גודל הזווית BEC. (2) חשבו את גודל הזווית DBE.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – BD קוטר
∢A + ∢C = 180📐 מרובע חסום במעגלסכום זוויות נגדיות 180 מעלות
ונתון ∢A = ∢C, לכן ∢A = ∢C = 90.
∢BCD = 90 היא זווית היקפית הנשענת על BD, ולכן BD קוטר.📐 זווית היקפית של 90נשענת על קוטר
✅ פתרון סופי: BD קוטר
סעיף ב – משוואת המעגל
M = (0 , 12 + 22) = (0 , 7) , R = 12 − 22 = 5📐 אמצע קטעxM = x₁ + x₂2 , yM = y₁ + y₂2
x² + (y − 7)² = 25📐 משוואת מעגל(x − a)² + (y − b)² = R²
✅ פתרון סופי: x² + (y − 7)² = 25
סעיף ג – DC והנקודה C
(1) ∢BCD = 90, לכן DC ⊥ BC:
−12 · mDC = −1 ⟸ mDC = 2📐 ישרים מאונכיםm₁ · m₂ = −1
y = 2x + 2 (דרך D(0 , 2))📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)
(2) הישר BC דרך B(0 , 12): y = −12x + 12. חיתוך:
2x + 2 = −12x + 12 ⟸ 2.5x = 10 ⟸ x = 4
y = 2 · 4 + 2 = 10 ← C(4 , 10)
✅ פתרון סופי: (1) y = 2x + 2 (2) C(4 , 10)
סעיף ד – שטח המשולש BCE
E = (0 + 42 , 2 + 102) = (2 , 6)📐 אמצע קטעxM = x₁ + x₂2 , yM = y₁ + y₂2
BC = √4² + 2² = √20 , CE = √2² + 4² = √20📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
S = √20 · √202 = 202 = 10📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
✅ פתרון סופי: 10
סעיף ה – הזוויות
(1) במשולש ישר הזווית BCE (∢C = 90):
tan∢BEC = BCCE = √20√20 = 1 ⟸ ∢BEC = 45📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
(2) ∢DBE = ∢DBC − ∢EBC. במשולש BCE: ∢EBC = 90 − 45 = 45.
DC = √4² + 8² = √80
במשולש BCD: tan∢DBC = DCBC = √80√20 = 2 ⟸ ∢DBC ≈ 63.43
∢DBE = 63.43 − 45 = 18.43
✅ פתרון סופי: (1) 45 מעלות (2) ≈ 18.43 מעלות
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | BD קוטר |
|---|---|
| סעיף ב | x² + (y − 7)² = 25 |
| סעיף ג | y = 2x + 2 ; C(4 , 10) |
| סעיף ד | 10 |
| סעיף ה | 45 ; 18.43 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק?
בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.
השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il