שאלת הסתברות 571 – פתרון מלא (2022 מועד ב)

שאלת הסתברות 571 עם פתרון מלא: שאלת ההסתברות מבגרות 5 יחידות, שאלון 571, 2022 מועד ב – טבלה דו־ממדית עם נעלם p. בעמוד הזה כל הסעיפים שלב אחר שלב: בניית הטבלה, הסתברות מותנית, ברנולי, תחום הערכים של p, מציאת p ובדיקת תלות.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההסתברות המלא – שאלון 571 – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 571.

לקורס ההסתברות המלא – שאלון 571 ←

בעמוד הזה:

  1. השאלה
  2. בונים את הטבלה עם p
  3. סעיף א – מותנית
  4. סעיף ב – ברנולי
  5. סעיף ג – ביטוי ותחום של p
  6. סעיף ד – מציאת p
  7. סעיף ה – תלות
  8. סיכום התשובות
  9. טעויות נפוצות
  10. שאלות נפוצות

מה צריך בשאלה הזאת

  • טבלה דו־ממדית: כל משבצת היא "גם … וגם …", והפינה היא 1.
  • הסתברות מותנית: P(A|B) = P(A∩B)P(B) – מה שידוע – הולך למכנה, מה שרוצים – הולך למונה.
  • ברנולי: Pn(k) = (nk) · pk · (1 − p)n − k
  • תלות: בלתי תלויים אם P(A) · P(B) = P(A∩B).

השאלה

(בגרות 5 יחידות, שאלון 571, 2022 מועד ב – שאלת ההסתברות. נפתרת בסרטון בקורס ההסתברות 571)

בעיר גדולה נערך סקר על רמת השליטה בשפה האנגלית. השתתפו בו אנשים רבים, מבוגרים וצעירים. נמצא שמספר המבוגרים ששולטים באנגלית גדול פי 3 ממספר הצעירים ששולטים בה, ומספר המבוגרים שלא שולטים באנגלית גדול פי 223 ממספר המבוגרים ששולטים בה. נסמן ב־p את ההסתברות לבחור באקראי צעיר ששולט באנגלית מבין כל המשתתפים.

  • א. מהי ההסתברות לבחור באקראי מבוגר ששולט באנגלית מבין כל המבוגרים?
  • ב. בוחרים באקראי 3 מבוגרים. מה ההסתברות שבדיוק 2 מהם שולטים באנגלית?
  • ג. (1) הביעו באמצעות p את ההסתברות לבחור צעיר שלא שולט באנגלית. (2) הראו שתחום הערכים של p הוא 0 < p < 112.
  • ד. ההסתברות לבחור מבוגר מבין מי שלא שולטים באנגלית שווה להסתברות לבחור צעיר מבין מי שלא שולטים באנגלית. מצאו את p.
  • ה. האם "לשלוט באנגלית" ו"להיות מבוגר" מאורעות תלויים? נמקו.

בונים את הטבלה עם p

הטבלה

מסמנים: A – מבוגר, B – שולט באנגלית.

צעיר ששולט: p

מבוגר ששולט: 3p

מבוגר שלא שולט – פי 223 = 83 מהמבוגרים ששולטים:

83 · 3p = 8p

(נצמצם ב־3)

סה"כ מבוגרים: 3p + 8p = 11p

סה"כ שולטים: 3p + p = 4p

את שאר המשבצות משלימים מהפינה 1:

מבוגרצעירסה"כ
שולט באנגלית3pp4p
לא שולט8p1 − 12p1 − 4p
סה"כ11p1 − 11p1

סעיף א – מותנית

פתרון שלב אחר שלב

"מבין כל המבוגרים" ← הסתברות מותנית. מה שידוע – הולך למכנה: מבוגר, 11p. מה שרוצים – הולך למונה: מבוגר ששולט, 3p.

3p11p = 311

נצמצם ב־p (p ≠ 0). התשובה יוצאת מספר.

תשובה: 311

סעיף ב – ברנולי

פתרון שלב אחר שלב

בוחרים 3 מבוגרים מאוכלוסייה גדולה מאוד – 3 ניסיונות זהים ובלתי תלויים. הצלחה = מבוגר ששולט, 311 (סעיף א). כישלון: 1 − 311 = 811.

לפי נוסחת ברנולי, n = 3, k = 2 ((32) = 3):

P3(2) = (32) · (311)2 · 811

= 3 · 9121 · 811

= 2161331

תשובה: 2161331

סעיף ג – ביטוי ותחום של p

פתרון שלב אחר שלב

(1) צעיר שלא שולט = סה"כ צעירים פחות צעירים ששולטים:

(1 − 11p) − p = 1 − 12p

תשובה: 1 − 12p

(2) כל משבצת בטבלה היא הסתברות, ולכן בין 0 ל־1 – גם 1 − 12p:

0 < 1 − 12p < 1

אי־שוויון ראשון:

1 − 12p > 0

12p < 1

p < 112

אי־שוויון שני:

1 − 12p < 1

−12p < 0

p > 0

(חילוק במספר שלילי הופך את סימן האי־שוויון)

שאר המשבצות (3p, 8p, 11p, 1 − 11p, 1 − 4p) בין 0 ל־1 בתחום הזה.

תשובה: 0 < p < 112

סעיף ד – מציאת p

פתרון שלב אחר שלב

שתי ההסתברויות הן "מבין מי שלא שולטים" – אותו מכנה 1 − 4p. לכן הן שוות כשהמונים שווים, כלומר שתי המשבצות בשורת "לא שולט":

8p1 − 4p = 1 − 12p1 − 4p

8p = 1 − 12p

20p = 1

p = 120

בדיקה: 0 < 120 < 112 ✓ (סעיף ג).

תשובה: p = 120

סעיף ה – תלות

פתרון שלב אחר שלב

מציבים p = 120 בטבלה:

מבוגרצעירסה"כ
שולט באנגלית320120420
לא שולט8208201620
סה"כ11209201

P(A) = 1120

P(B) = 420 = 15

(נצמצם ב־4)

P(A∩B) = 320

P(A) · P(B) = 1120 · 15 = 11100

נשווה למכנה 100: 320 = 15100.

11100 ≠ 15100

תשובה: המאורעות תלויים, כי P(A) · P(B) ≠ P(A∩B)

🎬 הסרטון של הדוגמה

שיעור 37 – 2022 מועד ב-טבלה דו ממדית עם נעלמים · הסתברות – שאלון 571

כל חמשת הסעיפים נפתרים בסרטון הזה, סעיף אחרי סעיף.

לשיעור המלא בקורס ←

סיכום התשובות

סעיףתשובה
א311
ב2161331
ג (1)1 − 12p
ג (2)0 < p < 112
דp = 120
התלויים

טעויות נפוצות

  • בסעיף א – לחלק בכל המשתתפים (1) במקום בכל המבוגרים. "מבין המבוגרים" = המכנה הוא 11p.
  • להשתמש בברנולי בלי לנמק: צריך לומר שהניסיונות זהים ובלתי תלויים (אוכלוסייה גדולה).
  • בתחום של p – לשכוח את האי־שוויון p > 0, או לשכוח להפוך סימן בחילוק במספר שלילי.
  • בתלות – להשוות P(A|B) ל־P(B) בטעות. בודקים P(A) · P(B) מול P(A∩B).

שאלות נפוצות

איך פותרים שאלת הסתברות בבגרות 571?

קוראים את כל השאלה, מסמנים מאורעות, ובונים טבלה או עץ עם הנעלם. אחר כך כל סעיף לפי הכלי שלו: מותנית (מה שידוע – הולך למכנה, מה שרוצים – הולך למונה), ברנולי, תחום או משוואה, ותלות.

איך מוצאים את התחום של p בטבלה דו־ממדית?

לוקחים משבצת שבנויה כ"1 פחות" (כאן 1 − 12p) ודורשים שתהיה בין 0 ל־1. פותרים את שני האי־שוויונים ומקבלים 0 < p < 1/12.

איך בודקים אם שני מאורעות תלויים?

מחשבים P(A) כפול P(B) ומשווים ל־P(A∩B). אם שווה – בלתי תלויים, אם שונה – תלויים. כאן 11/100 שונה מ־15/100, ולכן תלויים.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההסתברות המלא – שאלון 571 – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 571.

לקורס ההסתברות המלא – שאלון 571 ←

עוד באתר

→ הקודם: ברנולי והסתברות מותנית – ניסוי קבוע

ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
האתר משתמש בעוגיות.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות