נוסחת ברנולי 5 יחידות – מציאת p

נוסחת ברנולי ב־5 יחידות היא לא רק הצבה: בשאלון 571 מוצאים את p מתוך משוואה, מחברים כמה מקרים ומפעילים את הנוסחה על תוצאה של עץ. בעמוד הזה: הנוסחה עם (n מעל k), איך מוצאים את p, ושלוש דוגמאות פתורות – מהקורס ומבגרויות 571 (2023 ו־2024).

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההסתברות המלא – שאלון 571 – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 571.

לקורס ההסתברות המלא – שאלון 571 ←

בעמוד הזה:

  1. מתי משתמשים בברנולי
  2. איך מוצאים את p
  3. דוגמה: עטים בקופסה
  4. בגרות 571: חידון – מוצאים P
  5. בגרות 571: ברנולי על תוצאה של עץ
  6. טעויות נפוצות
  7. שאלות נפוצות

לפי נוסחת ברנולי

Pn(k) = (nk) · pk · (1 − p)n − k

  • n – מספר הניסיונות, k – מספר ההצלחות, n − k – מספר הכישלונות.
  • p – ההסתברות להצלחה בניסיון אחד, 1 − p – לכישלון.
  • (nk) ("n מעל k") – מספר הסדרים של k ההצלחות. מחשבים במחשבון.

מתי משתמשים בברנולי

לפי נוסחת ברנולי פותרים כשאותו ניסיון חוזר n פעמים, יש בו רק "הצלחה" או "כישלון", וההסתברות להצלחה זהה בכל פעם ולא תלויה בפעמים האחרות – עם החזרה, אוכלוסייה גדולה מאוד, או משחקים בלתי תלויים.

בשאלון 571 ברנולי כמעט לא מגיע לבד. ברמת 5 יחידות מבקשים:

  • למצוא את p מתוך נתון (שתי הסתברויות שוות, הסתברות "לכל היותר" נתונה).
  • לחבר כמה ערכים של k: "יותר ירוקים מכחולים", "לפחות 3", "לכל היותר 4".
  • ברנולי על תוצאה מורכבת: ה"הצלחה" היא ענף של עץ או משבצת בטבלה.
  • לשלב עם הסתברות מותנית או עם ניסוי קבוע – ראו ברנולי והסתברות מותנית.

איך מוצאים את p

  1. רושמים כל הסתברות מהנתון לפי נוסחת ברנולי, עם p.
  2. בונים משוואה לפי הנתון.
  3. מחלקים את שני האגפים בגורמים המשותפים – מותר, כי p ≠ 0 ו־p ≠ 1.
  4. בודקים ש־0 < p < 1 ושהפתרון מתאים לתנאי השאלה.

דוגמה: עטים בקופסה

השאלה (משאלה מסכמת בברנולי בקורס ההסתברות 571): בקופסה 10 עטים, כחולים וירוקים. מוציאים עט באקראי, רושמים את צבעו ומחזירים. ידוע שכאשר מוציאים כך עט 4 פעמים, ההסתברות להוציא כחול בדיוק פעם אחת שווה להסתברות להוציא כחול בדיוק פעמיים.

א. מצאו את ההסתברות להוציא עט כחול בהוצאה אחת.

פתרון שלב אחר שלב

נסמן: p – כחול (הצלחה), 1 − p – ירוק. עם החזרה ← ברנולי, n = 4.

כחול בדיוק פעם אחת, לפי נוסחת ברנולי ((41) = 4):

P4(1) = (41) · p · (1 − p)3

= 4p(1 − p)3

כחול בדיוק פעמיים ((42) = 6):

P4(2) = (42) · p2 · (1 − p)2

= 6p2(1 − p)2

לפי הנתון הן שוות:

4p(1 − p)3 = 6p2(1 − p)2

יש עטים משני הצבעים, ולכן p ≠ 0 ו־p ≠ 1. נחלק את שני האגפים ב־2p(1 − p)2:

2(1 − p) = 3p

2 − 2p = 3p

2 = 5p

p = 25

0 < 25 < 1 ✓

תשובה: p = 25

ב. כמה עטים כחולים בקופסה?

פתרון שלב אחר שלב

נסמן ב־x את מספר הכחולים. הסתברות לכחול = x10:

x10 = 25

כפל בהצלבה:

5x = 20

x = 4

ובקופסה 10 − 4 = 6 עטים ירוקים.

תשובה: 4 עטים כחולים

ג. מוציאים עט (עם החזרה) 6 פעמים. מה ההסתברות להוציא כחול בדיוק 3 פעמים?

פתרון שלב אחר שלב

n = 6, k = 3, כחול 25, ירוק 35. לפי נוסחת ברנולי ((63) = 20 במחשבון):

P6(3) = (63) · (25)3 · (35)3

= 20 · 8125 · 27125

= 432015625

נצמצם ב־5:

= 8643125

תשובה: 8643125

ד. מה ההסתברות שבשש ההוצאות יצאו יותר עטים ירוקים מכחולים?

פתרון שלב אחר שלב

יותר ירוקים מכחולים = כחול 0, 1 או 2 פעמים. (ב־3 כחולים יש גם 3 ירוקים – שווה, לא נכלל.) כל אחד לפי נוסחת ברנולי, ומחברים ("או"):

P6(0) = (35)6 = 72915625

P6(1) = (61) · 25 · (35)5

= 6 · 25 · 2433125 = 291615625

P6(2) = (62) · (25)2 · (35)4

= 15 · 425 · 81625 = 486015625

729 + 2916 + 486015625 = 850515625

נצמצם ב־5:

= 17013125

תשובה: 17013125

🎬 סרטון על אותו נושא

שיעור 24 – ברנולי · הסתברות – שאלון 571

בסרטון: נוסחת ברנולי צעד אחר צעד – אותה נוסחה שבה רושמים כאן את שתי ההסתברויות.

לשיעור המלא בקורס ←

בגרות 571: חידון – מוצאים P

השאלה (בגרות 5 יחידות, שאלון 571, קיץ 2024 מועד א – שאלה 3): בחידון 5 שאלות. ההסתברות לענות נכון על כל שאלה היא P. ההסתברות שמתמודד יענה נכון על 4 שאלות לכל היותר היא 0.83193. כל שאלה שווה מספר נקודות כמספר השאלה (שאלה 1 – נקודה אחת, שאלה 2 – שתי נקודות וכן הלאה).

א. מצאו את P.

פתרון שלב אחר שלב

"לכל היותר 4" = 0, 1, 2, 3 או 4 נכונות. המשלים שלו הוא מקרה אחד: כל 5 נכונות, P5.

1 − P5 = 0.83193

P5 = 1 − 0.83193 = 0.16807

נעביר לשבר: 0.16807 = 16807100000. מוציאים שורש חמישי (75 = 16807, 105 = 100000):

P = 710

תשובה: P = 710

ב. מה ההסתברות לענות נכון בדיוק על 3 שאלות?

פתרון שלב אחר שלב

לפי נוסחת ברנולי, n = 5, k = 3 ((53) = 10):

P5(3) = (53) · (710)3 · (310)2

= 10 · 3431000 · 9100

= 30870100000 = 308710000

(נצמצם ב־10)

תשובה: 308710000 = 0.3087

ג. מה ההסתברות לצבור 14 נקודות לפחות?

פתרון שלב אחר שלב

המקסימום 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. 14 לפחות = 15 (הכול נכון) או 14 (הכול חוץ משאלה 1). בשני המקרים שאלות 2–5 נכונות, ושאלה 1 – לא משנה. כאן הסדר קבוע (שאלות מסוימות), ולכן אין (nk):

(710)4 = 240110000

תשובה: 240110000 = 0.2401

ד. מה ההסתברות לצבור בדיוק 6 נקודות?

פתרון שלב אחר שלב

הצירופים של שאלות שונות שסכומן 6: {1, 5}, {2, 4}, {1, 2, 3}. בכל צירוף השאלות שבו נכונות והשאר לא:

{1, 5}: (710)2 · (310)3 = 1323100000

{2, 4}: 1323100000

{1, 2, 3}: (710)3 · (310)2 = 3087100000

"או" ← חיבור:

1323 + 1323 + 3087100000 = 5733100000

תשובה: 5733100000 = 0.05733

את סעיף ה (הסתברות מותנית) של אותה שאלה פתרנו בעמוד ברנולי והסתברות מותנית.

🎬 הסרטון של הדוגמה

שיעור 39 – 2024 מועד א · הסתברות – שאלון 571

לשיעור המלא בקורס ←

בגרות 571: ברנולי על תוצאה של עץ

השאלה (בגרות 5 יחידות, שאלון 571, 2023 מועד ב – סעיף ג): אותה שאלה של שני המבחנים מהעמוד עץ הסתברות עם נעלם. מהעץ: התקבל (הצליח בשניהם) 247400, נכשל בשניהם 63400. שלושה מועמדים נבחנו. מה ההסתברות ששניים מהם התקבלו ואחד נכשל בשני המבחנים?

פתרון שלב אחר שלב

כל מועמד הוא ניסיון בלתי תלוי, וה"תוצאה" שלו היא ענף שלם של העץ.

צריך: שני מועמדים "התקבל" וגם אחד "נכשל בשניהם". מי מהשלושה הוא זה שנכשל – לא נאמר, ולכן יש (32) = 3 סדרים:

(32) · (247400)2 · 63400

המונה והמכנה ארוכים מאוד (המכנה 64,000,000), ולכן מחשבים במחשבון:

≈ 0.180

תשובה: ≈ 0.180

שימו לב: כאן יש שלוש תוצאות (התקבל, נכשל בשניהם, אחר), ולכן 1 − p לא מופיע – כופלים בהסתברות של "נכשל בשניהם" עצמה.

🎬 הסרטון של הדוגמה

שיעור 38 – 2023 מועד ב · הסתברות – שאלון 571

לשיעור המלא בקורס ←

טעויות נפוצות

  • לחלק במשוואה ב־p בלי לומר p ≠ 0. המשפט הזה חלק מהפתרון.
  • לשכוח את (nk) כשהסדר לא נתון – או לכתוב אותו כשהסדר נתון (שאלות מסוימות, "הראשונים").
  • ב"יותר ירוקים מכחולים" לכלול את המקרה השווה (3 ו־3).
  • ב"לכל היותר 4" מתוך 5 – לחשב חמישה מקרים. המשלים הוא מקרה אחד.

שאלות נפוצות

איך מוצאים את p בנוסחת ברנולי?

רושמים את ההסתברויות מהנתון לפי נוסחת ברנולי, בונים משוואה ומחלקים בגורמים המשותפים (מותר כי p שונה מ־0 ומ־1). למשל 4p(1 − p)³ = 6p²(1 − p)² נותן p = 2/5.

מה ההבדל בין ברנולי 4 יחידות לברנולי 5 יחידות?

ב־5 יחידות (שאלון 571) מוצאים את p מתוך משוואה, מחברים כמה ערכים של k, משלבים עם עץ, טבלה והסתברות מותנית, ולפעמים "ההצלחה" היא תוצאה מורכבת.

מתי לא כותבים (n מעל k)?

כשהשאלה קובעת את הסדר – למשל "שאלות 2 עד 5 נכונות" או "שתי ההוצאות הראשונות כחולות". אז כופלים לפי הסדר בלי המקדם.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההסתברות המלא – שאלון 571 – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 571.

לקורס ההסתברות המלא – שאלון 571 ←

עוד באתר

→ הקודם: עץ הסתברות עם נעלם – 5 יחידות  |  הבא: ברנולי: "לפחות אחד" ו"לפחות אחד מכל סוג" ←

ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
האתר משתמש בעוגיות.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות