ברנולי: "לפחות אחד" ו"לפחות אחד מכל סוג" – 571
ברנולי "לפחות אחד" מופיע כמעט בכל שאלת ברנולי בשאלון 571. בעמוד הזה: הכלל של המשלים, "לפחות אחד מכל סוג", מציאת p מתוך "לפחות אחד" וביטוי עם n – עם חמש דוגמאות פתורות מהקורס ומבגרויות 571 (2022, 2023, 2024).
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההסתברות המלא – שאלון 571 – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 571.
בעמוד הזה:
- הכלל: 1 פחות מה שלא רוצים
- דוגמה: מבחן נהיגה
- בגרות 571: לפחות אחד מכל סוג
- בגרות 571: איזה ביטוי מתאים
- בגרות 571: מוצאים p מ"לפחות אחד"
- בגרות 571: ביטוי עם n
- טעויות נפוצות
- שאלות נפוצות
"לפחות אחד" – דרך המשלים
הסתברות "לפחות אחד" = 1 − Pn(0)
Pn(0) = (1 − p)n
לפחות אחד מכל סוג:
1 − pn − (1 − p)n
הכלל: 1 פחות מה שלא רוצים
"לפחות אחד" = אחד או שניים או … או כולם. במקום לחשב ולחבר הרבה מקרים, מחשבים את המקרה היחיד שלא רוצים – שאף אחד לא יצליח – ומחסירים מ־1.
למה Pn(0) = (1 − p)n? לפי נוסחת ברנולי עם k = 0: (n0) = 1 ו־p0 = 1, ונשאר רק הכישלון בחזקת n.
בשאלון 571 מגיעות שלוש הרחבות: "לפחות אחד וגם לפחות אחד מהסוג השני" (מחסירים שני מקרים), מציאת p כש"לפחות אחד" נתון, וביטוי עם n.
דוגמה: מבחן נהיגה
השאלה (מהשיעור "ברנולי 3" בקורס ההסתברות 571): ההסתברות להצליח במבחן נהיגה גדולה ב־0.2 מההסתברות להיכשל בו.
א. מהי ההסתברות להצליח במבחן?
פתרון שלב אחר שלב
נעביר לשבר: 0.2 = 15. נסמן: להיכשל x, להצליח x + 15. סכום ההסתברויות 1:
x + x + 15 = 1
2x = 45
x = 25
להצליח: 25 + 15 = 35.
תשובה: 35
ב. ארבעה נבחנים נבחרו באקראי. מה ההסתברות שבדיוק 2 יצליחו? ומה ההסתברות שלפחות אחד יצליח?
פתרון שלב אחר שלב
בדיוק 2, לפי נוסחת ברנולי (n = 4, k = 2, (42) = 6):
P4(2) = 6 · (35)2 · (25)2
= 6 · 925 · 425 = 216625
לפחות אחד – דרך המשלים. מה שלא רוצים: כל הארבעה נכשלים (k = 0):
P4(0) = (25)4 = 16625
1 − 16625 = 625625 − 16625
= 609625
תשובה: בדיוק 2: 216625 · לפחות אחד: 609625
בגרות 571: לפחות אחד מכל סוג
השאלה (בגרות 5 יחידות, שאלון 571, 2024 מועד ב – סעיף א): 80% מן החברים בתנועות נוער מתנדבים בקהילה. בוחרים באקראי 5 תלמידים החברים בתנועת נוער (עם החזרה). מה ההסתברות שנבחרו לפחות תלמיד אחד שמתנדב ולפחות תלמיד אחד שאינו מתנדב?
פתרון שלב אחר שלב
נעביר לשבר: מתנדב 80% = 45, לא מתנדב 15.
מה שלא רוצים – שני מקרים: כל ה־5 מתנדבים, או כל ה־5 לא מתנדבים:
(45)5 = 10243125
(15)5 = 13125
1 − 10243125 − 13125
= 3125 − 1024 − 13125 = 21003125
נצמצם ב־25 (2100 : 25 = 84, 3125 : 25 = 125):
= 84125
תשובה: 84125 (בשאלה כתוב בעשרוני: 0.672)
בגרות 571: איזה ביטוי מתאים
השאלה (בגרות 5 יחידות, שאלון 571, קיץ 2023 מועד ב – שאלה קצרה): ביישוב ההסתברות לבחור גבר היא 0.2 ולבחור אישה 0.8. בוחרים 4 אנשים. לפניכם שני ביטויים:
(1) 1 − 0.24 − 0.84
(2) (43) · 0.23 · 0.8 + 0.24
ושלוש הסתברויות: I – יותר גברים מנשים. II – יותר נשים מגברים. III – לפחות גבר אחד ולפחות אישה אחת. איזו הסתברות מחשב כל ביטוי?
פתרון שלב אחר שלב
ביטוי (2): החלק הראשון הוא לפי נוסחת ברנולי – בדיוק 3 גברים (ואישה אחת) מתוך 4. החלק השני 0.24 – 4 גברים. ביחד: 3 או 4 גברים. מתוך 4 אנשים, "יותר גברים מנשים" זה בדיוק 3 או 4 גברים.
תשובה: ביטוי (2) ← הסתברות I
ביטוי (1): מ־1 מורידים 0.24 (כולם גברים) ו־0.84 (כולן נשים). נשאר: לא כולם מאותו מין – כלומר לפחות גבר אחד ולפחות אישה אחת.
תשובה: ביטוי (1) ← הסתברות III
הסתברות II לא מתאימה לאף ביטוי.
בגרות 571: מוצאים p מ"לפחות אחד"
השאלה (בגרות 5 יחידות, שאלון 571, קיץ 2022 מועד א – שאלה 3, סעיפים א, ב): לנטע במשחק שלוש תוצאות: ניצחון, תיקו והפסד. ההסתברות שתנצח גדולה פי 3 מההסתברות שתפסיד. נסמן ב־p את ההסתברות להפסיד (p > 0). המשחקים בלתי תלויים. אם נטע משחקת 2 משחקים, ההסתברות שתנצח במשחק אחד לפחות היא 4.5p.
א. מצאו את p.
פתרון שלב אחר שלב
במשחק אחד: הפסד p, ניצחון 3p, תיקו 1 − p − 3p = 1 − 4p. נעביר לשבר: 4.5 = 92.
"ניצחון אחד לפחות" – המשלים: אין ניצחון בשני המשחקים. אין ניצחון במשחק אחד: 1 − 3p, ובשניהם:
(1 − 3p)2
1 − (1 − 3p)2 = 9p2
פותחים סוגריים ((a − b)2 = a2 − 2ab + b2):
1 − (1 − 6p + 9p2) = 9p2
6p − 9p2 = 9p2
מעבירים אגף: 6p − 9p2 = 12p2 − 9p2 = 3p2:
3p2 − 9p2 = 0
p(32 − 9p) = 0
p = 0 נפסל (נתון p > 0). לכן:
9p = 32
p = 32 · 19 = 318 = 16
(חילוק ב־9 הוא כפל ב־19; נצמצם ב־3.)
ואז: ניצחון 3 · 16 = 12, תיקו 1 − 46 = 13.
תשובה: p = 16
ב. נטע שיחקה 5 משחקים. מה ההסתברות שתנצח ב־3 משחקים לפחות?
פתרון שלב אחר שלב
ניצחון 12, לא ניצחון 12. "לפחות 3" = 3, 4 או 5 ניצחונות, כל אחד לפי נוסחת ברנולי. כאן (12)5 = 132 בכל מקרה:
P5(3) = (53) · 132 = 1032
P5(4) = (54) · 132 = 532
P5(5) = (55) · 132 = 132
10 + 5 + 132 = 1632 = 12
(נצמצם ב־16)
תשובה: 12
🎬 סרטון על אותו נושא
שיעור 39 – 2024 מועד א · הסתברות – שאלון 571
בסרטון: מוצאים p מנתון של ברנולי דרך המשלים (בגרות 2024 מועד א).
בגרות 571: ביטוי עם n
השאלה (בגרות 5 יחידות, שאלון 571, 2023 מועד ב – סעיף ד): מהעץ של השאלה (ראו עץ הסתברות עם נעלם) ההסתברות שמועמד מתקבל היא 247400. n מועמדים נבחנו (n ≥ 2). הביעו באמצעות n את ההסתברות שלפחות מועמד אחד התקבל וגם לפחות מועמד אחד לא התקבל.
פתרון שלב אחר שלב
לא להתקבל – המשלים:
1 − 247400 = 153400
מה שלא רוצים – שני מקרים: כולם לא התקבלו (153400)n, או כולם התקבלו (247400)n:
1 − (153400)n
− (247400)n
תשובה: 1 − (153/400)n − (247/400)n
בעשרוני, כמו שכתוב בפתרון בשיעור: 1 − 0.3825n − 0.6175n.
טעויות נפוצות
- לחשב "לפחות אחד" כ־1 − p. המשלים הוא "כולם נכשלים": (1 − p)n.
- ב"לפחות אחד מכל סוג" להחסיר רק מקרה אחד. צריך להחסיר גם "כולם מהסוג הראשון" וגם "כולם מהסוג השני".
- לחבר הרבה מקרים ב"לפחות 2 מתוך 8" – המשלים ("0 או 1") קצר יותר.
- לשכוח לפסול p = 0 כשנתון p > 0.
שאלות נפוצות
איך מחשבים "לפחות אחד" בברנולי?
דרך המשלים: 1 פחות ההסתברות שאף אחד לא יצליח, כלומר 1 − (1 − p) בחזקת n. למשל במבחן נהיגה עם 4 נבחנים: 1 − 16/625 = 609/625.
איך מחשבים "לפחות אחד מכל סוג"?
מחסירים מ־1 את שני המקרים שלא רוצים: כולם מהסוג הראשון וכולם מהסוג השני. למשל 1 − (4/5)⁵ − (1/5)⁵ = 84/125.
איך מביעים באמצעות n הסתברות של "לפחות אחד"?
כותבים 1 פחות המקרים שלא רוצים, כל אחד בחזקת n. למשל 1 − (153/400)ⁿ − (247/400)ⁿ.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההסתברות המלא – שאלון 571 – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 571.
עוד באתר
- נוסחת ברנולי 5 יחידות – מציאת p
- ברנולי והסתברות מותנית
- שאלת הסתברות 571 – פתרון מלא
- שאלות בגרות 571 לפי נושא – הסתברות
- מבנה הבחינה ומיקוד 2027
- הקורס המלא: מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571
- בגרות 571 – כל הנושאים
→ הקודם: נוסחת ברנולי 5 יחידות – מציאת p | הבא: ברנולי והסתברות מותנית – ניסוי קבוע ←