ברנולי והסתברות מותנית – ניסוי קבוע | 571

ברנולי והסתברות מותנית מגיעים יחד ברוב שאלות הברנולי בשאלון 571 (5 יחידות). בעמוד הזה: מה עושים כשניסוי מסוים קבוע ("והאחרונה קליעה"), איך בונים מכנה ומונה עם נוסחת ברנולי, וארבע דוגמאות פתורות – מהקורס ומבגרויות 571 (2022 ו־2024).

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההסתברות המלא – שאלון 571 – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 571.

לקורס ההסתברות המלא – שאלון 571 ←

בעמוד הזה:

  1. ניסוי קבוע – מה זה
  2. דוגמה: הזריקה האחרונה קבועה
  3. דוגמה: שני הראשונים קבועים
  4. בגרות 571: חידון – ידוע ש־3 נכונות
  5. בגרות 571: ידוע שהפסידה לפחות פעם אחת
  6. טעויות נפוצות
  7. שאלות נפוצות

הסתברות מותנית

P(A|B) = P(A∩B)P(B)

מה שידוע – הולך למכנה, מה שרוצים – הולך למונה.

ניסוי קבוע + ברנולי:

הסתברות = (הסתברות הניסויים הקבועים) · (ברנולי על שאר הניסויים)

ניסוי קבוע – מה זה

בברנולי רגיל שואלים "בדיוק k הצלחות" בלי לומר איפה הן, ולכן כופלים ב־(nk) – מספר הסידורים. לפעמים השאלה קובעת מה קרה בניסוי מסוים: "והזריקה האחרונה קליעה", "שני הראשונים הגיעו באוטובוס". הניסוי הזה נעול במקום.

  1. כופלים בנפרד בהסתברות של הניסויים הקבועים.
  2. על שאר הניסויים עושים לפי נוסחת ברנולי – עם מספר ההצלחות שנשאר.
  3. בדיקה: מספר הניסויים הקבועים + n של ברנולי = מספר כל הניסויים.

מותר לכפול כי הניסויים בלתי תלויים. ובשאלון 571 זה מגיע כמעט תמיד עם הסתברות מותנית: "ידוע שקלעה 3 פעמים – מה ההסתברות שהאחרונה קליעה?" – ואז הניסוי הקבוע הוא המונה.

דוגמה: הזריקה האחרונה קבועה

השאלה (מהשיעור "ברנולי עם ניסוי קבוע" בקורס ההסתברות 571): דנה זורקת כדור לסל 5 פעמים. בכל זריקה ההסתברות שתקלע היא 0.8, ללא תלות בזריקות האחרות.

א. מה ההסתברות שדנה תקלע בדיוק 3 פעמים?

פתרון שלב אחר שלב

נעביר לשבר: 0.8 = 45, החטאה 15. לא נאמר באילו זריקות – ברנולי רגיל, n = 5, k = 3 ((53) = 10):

P5(3) = (53) · (45)3 · (15)2

= 10 · 64125 · 125 = 6403125

נצמצם ב־5:

= 128625

תשובה: 128625

ב. מה ההסתברות שתקלע בדיוק 3 פעמים, והזריקה האחרונה תהיה קליעה?

פתרון שלב אחר שלב

הניסוי הקבוע: הזריקה החמישית קליעה – 45.

מה נשאר: קליעה אחת כבר "נוצלה". בארבע הזריקות הראשונות צריך בדיוק 2 קליעות, בכל סדר – לפי נוסחת ברנולי, n = 4, k = 2 ((42) = 6):

P4(2) = 6 · (45)2 · (15)2

= 6 · 1625 · 125 = 96625

כופלים ("וגם", בלתי תלויים):

45 · 96625 = 3843125

תשובה: 3843125

טעות נפוצה: (53) · (45)3 · (15)2 – זה סופר גם סידורים שבהם האחרונה החטאה.

ג. ידוע שדנה קלעה בדיוק 3 פעמים. מה ההסתברות שהזריקה האחרונה הייתה קליעה?

פתרון שלב אחר שלב

"ידוע" ← הסתברות מותנית.

מה שידוע – הולך למכנה: בדיוק 3 קליעות = 128625 (סעיף א).

מה שרוצים – הולך למונה: 3 קליעות וגם האחרונה קליעה = 3843125 (סעיף ב).

3843125128625

חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך:

3843125 · 625128

נצמצם: 384 : 128 = 3, 3125 : 625 = 5:

= 35

בדיקה בהיגיון: 3 קליעות מתפזרות על 5 זריקות, ולכן לכל זריקה סיכוי 35 להיות אחת מהן ✓

תשובה: 35

🎬 הסרטון של הדוגמה

שיעור 27 – ברנולי עם ניסוי קבוע (האחרון / הראשונים קבועים) · הסתברות – שאלון 571

לשיעור המלא בקורס ←

דוגמה: שני הראשונים קבועים

השאלה (מאותו שיעור בקורס): בבית ספר גדול, 60% מהתלמידים מגיעים באוטובוס. בוחרים באקראי 5 תלמידים בזה אחר זה.

א. מה ההסתברות ששני הראשונים מגיעים באוטובוס, ובסך הכול בדיוק 3 מגיעים באוטובוס?

פתרון שלב אחר שלב

נעביר לשבר: 60% = 35, לא באוטובוס 25.

הניסויים הקבועים: הראשון וגם השני באוטובוס: 35 · 35 = 925.

מה נשאר: צריך 3 בסך הכול ו־2 כבר יש. מבין 3 האחרונים – בדיוק 1, לפי נוסחת ברנולי n = 3, k = 1:

P3(1) = (31) · 35 · (25)2

= 3 · 35 · 425 = 36125

925 · 36125 = 3243125

תשובה: 3243125

ב. מה ההסתברות ששני הראשונים מגיעים באוטובוס, ובסך הכול בדיוק 4 מגיעים באוטובוס?

פתרון שלב אחר שלב

הקבועים שוב 925. מבין 3 האחרונים צריך בדיוק 2 (n = 3, k = 2):

P3(2) = (32) · (35)2 · 25

= 3 · 925 · 25 = 54125

925 · 54125 = 4863125

בדיקה: 2 קבועים + n = 3 = 5 תלמידים ✓

תשובה: 4863125

🎬 הסרטון של הדוגמה (אותו שיעור)

שיעור 27 – ברנולי עם ניסוי קבוע (האחרון / הראשונים קבועים) · הסתברות – שאלון 571

שתי הדוגמאות נפתרות באותו שיעור: קודם "האחרון קבוע", ואחריו "הראשונים קבועים".

לשיעור המלא בקורס ←

בגרות 571: חידון – ידוע ש־3 נכונות

השאלה (בגרות 5 יחידות, שאלון 571, קיץ 2024 מועד א – שאלה 3, סעיף ה): בחידון 5 שאלות, הסתברות לתשובה נכונה 710 בכל שאלה (מסעיף א), ושאלה מספר k שווה k נקודות. ידוע שאחינועם ענתה נכון בדיוק על 3 שאלות. מה ההסתברות שצברה בדיוק 6 נקודות?

פתרון שלב אחר שלב

מה שידוע – הולך למכנה: בדיוק 3 נכונות. לפי נוסחת ברנולי (ראו נוסחת ברנולי 5 יחידות):

P5(3) = (53) · (710)3 · (310)2

= 308710000

מה שרוצים – הולך למונה: 3 נכונות וגם 6 נקודות. מבין הצירופים של 3 שאלות, רק {1, 2, 3} נותן 6. זה סדר קבוע – בלי (nk):

(710)3 · (310)2 = 3087100000

3087100000308710000 = 3087100000 · 100003087

נצמצם ב־3087 וב־10000:

= 110

הסבר נוסף: כל (53) = 10 הצירופים של 3 שאלות שווי הסתברות, ורק אחד מהם נותן 6 נקודות.

תשובה: 110

🎬 הסרטון של הדוגמה

שיעור 39 – 2024 מועד א · הסתברות – שאלון 571

לשיעור המלא בקורס ←

בגרות 571: ידוע שהפסידה לפחות פעם אחת

השאלה (בגרות 5 יחידות, שאלון 571, קיץ 2022 מועד א – שאלה 3, סעיף ד): לנטע בכל משחק: ניצחון 12, תיקו 13, הפסד 16 (מסעיף א, ראו ברנולי "לפחות אחד"). נטע שיחקה 5 משחקים בלתי תלויים.

(1) מה ההסתברות שנטע לא תפסיד בשום משחק?

פתרון שלב אחר שלב

לא הפסד במשחק אחד: 1 − 16 = 56. בכל 5 המשחקים:

(56)5 = 31257776

תשובה: 31257776

(2) ידוע שנטע הפסידה במשחק אחד לפחות. מה ההסתברות שניצחה בשלושת המשחקים הראשונים וסיימה בתיקו את המשחק האחרון?

פתרון שלב אחר שלב

B – הפסידה לפחות פעם אחת. A – ניצחה ב־1, 2, 3 ותיקו במשחק 5.

מה שידוע – הולך למכנה: המשלים של סעיף (1):

P(B) = 1 − 31257776 = 46517776

מה שרוצים – הולך למונה: A וגם B. משחקים 1–3 ניצחון ומשחק 5 תיקו, ולכן ההפסד חייב להיות במשחק 4:

P(A∩B) = (12)3 · 16 · 13

= 18 · 118 = 1144

P(A|B) = 114446517776

חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך:

1144 · 77764651

נצמצם: 7776 : 144 = 54:

= 544651

תשובה: 544651 (בערך 0.0116)

🎬 סרטון על אותו נושא

שיעור 40 – 2024 מועד ב · הסתברות – שאלון 571

בסרטון: ברנולי ביחד עם הסתברות מותנית ו"לפחות", משאלה מבגרות 2024 מועד ב.

לשיעור המלא בקורס ←

טעויות נפוצות

  • לכתוב (nk) על כל הניסויים כשחלק מהם קבועים. ברנולי רק על מה שנשאר.
  • לשכוח להוריד מ־k את ההצלחות שכבר "נוצלו" בניסויים הקבועים.
  • במותנית – לשים במונה רק את A. המונה הוא "A וגם B", ולפעמים זה מוסיף תנאי (ההפסד חייב להיות במשחק 4).
  • לחשב את P(B) של "לפחות פעם אחת" בחיבור ארוך – המשלים קצר יותר.

שאלות נפוצות

מה עושים בברנולי כשאחד הניסויים קבוע?

כופלים בנפרד בהסתברות של הניסוי הקבוע, ועל שאר הניסויים עושים ברנולי עם מספר ההצלחות שנשאר. למשל 3 קליעות מתוך 5 והאחרונה קליעה: 4/5 כפול ברנולי של 2 מתוך 4.

איך משלבים ברנולי והסתברות מותנית?

המכנה הוא מה שידוע (למשל בדיוק 3 קליעות לפי נוסחת ברנולי), והמונה הוא מה שרוצים מתוכו (3 קליעות וגם האחרונה קליעה). מחלקים ומצמצמים.

למה במותנית יוצא לפעמים k חלקי n?

כשידוע שהיו בדיוק k הצלחות מתוך n, כל הסידורים שווי הסתברות, ולכן ההסתברות שניסוי מסוים הוא הצלחה היא k/n – למשל 3/5.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההסתברות המלא – שאלון 571 – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 571.

לקורס ההסתברות המלא – שאלון 571 ←

עוד באתר

→ הקודם: ברנולי: "לפחות אחד" ו"לפחות אחד מכל סוג"  |  הבא: שאלת הסתברות 571 – פתרון מלא ←

ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
האתר משתמש בעוגיות.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות