אינטגרל של e

אינטגרל של e: מעתיקים את ה־e עם החזקה ומחלקים בנגזרת של החזקה. בעמוד: הנוסחה ∫emx+n dx = emx+nm, 4 שלבים ותשעה אינטגרלים פתורים מהקורס – כולל מספר במכנה, צמצום ופיצול שבר עם e במכנה.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס חקירת פונקציית e המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.

לקורס חקירת פונקציית e המלא ←

בעמוד הזה:

  1. הנוסחה
  2. 4 שלבים
  3. ex , e2x , 3e2x
  4. עם מספר לבד וחזקה שלילית
  5. מספר במכנה וצמצום
  6. פיצול שבר עם e במכנה
  7. טעויות נפוצות

אינטגרל של e

∫ex dx = ex + c

∫emx+n dx = emx+nm + c

מעתיקים את ה־e עם החזקה, ומחלקים ב־m – הנגזרת של החזקה. מספר שכופל נשאר. בפונקציה קדומה מוסיפים + c; בחישוב שטח – לא.

הנוסחה: מעתיקים ומחלקים בנגזרת של החזקה

האינטגרל הפוך לנגזרת של e: בנגזרת הנגזרת של החזקה עוברת לפני ה־e (כפל), ובאינטגרל מחלקים בה. בדיקה: (e2x2)' = 2e2x2 = e2x – נצמצם ב־2.

אינטגרל של e בחזקת mx + n – 4 שלבים

  1. מעתיקים: רושמים את emx+n בדיוק כמו שהוא.
  2. מחלקים בנגזרת של החזקה: הנגזרת של mx + n היא m.
  3. מספרים: מספר בכפל נשאר. מספר לבד – מוסיפים לו x: ∫8 dx = 8x.
  4. מוסיפים + c בפונקציה קדומה.

דוגמאות פתורות: ex , e2x , 3e2x

חשבו: ∫ex dx , ∫e2x dx , ∫3e2x dx

פתרון שלב אחר שלב

הנגזרת של החזקה x היא 1 – כאילו מחלקים ב־1, לא צריך לרשום:

∫ex dx = ex + c

מעתיקים e2x ומחלקים בנגזרת של 2x, שהיא 2:

∫e2x dx = e2x2 + c

המספר 3 בכפל – נשאר:

∫3e2x dx = 3·e2x2 = 3e2x2 + c

תשובה: ex + c ; e2x2 + c ; 3e2x2 + c

מספר לבד וחזקה שלילית

חשבו: ∫(e4x + 8) dx

פתרון שלב אחר שלב

אינטגרל של e4x: מעתיקים ומחלקים ב־4. אינטגרל של 8: מוסיפים x.

= e4x4 + 8x + c

תשובה: e4x4 + 8x + c

חשבו: ∫(−2e−2x + 3) dx

פתרון שלב אחר שלב

המספר −2 בכפל נשאר. מעתיקים e−2x ומחלקים בנגזרת של −2x, שהיא −2:

= −2·e−2x−2 + 3x + c

נצמצם ב־(−2):

= e−2x + 3x + c

תשובה: e−2x + 3x + c

חשבו: ∫e6x−4 dx

פתרון שלב אחר שלב

הנגזרת של 6x − 4 היא 6:

= e6x−46 + c

תשובה: e6x−46 + c

מספר במכנה וצמצום

חשבו: 12∫ex2 − 1 dx

פתרון שלב אחר שלב

המספר 12 בכפל נשאר. הנגזרת של החזקה:

(x2 − 1)' = 12

מחלקים בה. חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך: 12 : 12 = 12·21:

12·21·ex2 − 1

נצמצם ב־2: 12·21 = 1:

= ex2 − 1 + c

תשובה: ex2 − 1 + c

חשבו: ∫e2x3 dx

פתרון שלב אחר שלב

מספר במכנה נשאר – רושמים אותו ככפל:

= 13∫e2x dx = 13·e2x2

מונה כפול מונה ומכנה כפול מכנה:

= e2x6 + c

תשובה: e2x6 + c

פיצול שבר עם e במכנה

חשבו: ∫e2x + 3ex dx

פתרון שלב אחר שלב

מפצלים את המונה לשני שברים:

∫(e2xex + 3ex) dx

בחילוק חזקות מחסירים חזקות: e2xex = e2x−x = ex. ולפי 1an = a−n:

∫(ex + 3e−x) dx

האינטגרל של ex הוא ex. ב־3e−x – 3 נשאר, מחלקים בנגזרת של −x, שהיא −1:

= ex + 3·e−x−1

= ex − 3e−x + c

ולפי a−n = 1an:

= ex − 3ex + c

תשובה: ex − 3ex + c

עם הגבולות של האינטגרל מחשבים שטח – ראו שטח עם פונקציית e.

טעויות נפוצות

  • לכפול בנגזרת של החזקה במקום לחלק בה (זו נגזרת, לא אינטגרל).
  • לשכוח את x של מספר לבד: ∫8 dx = 8x, לא 8.
  • לחלק שבר עם e במכנה בלי לפצל: מפצלים את המונה ומשתמשים ב־1an = a−n.
  • לשכוח + c בפונקציה קדומה.

שאלות נפוצות

מה האינטגרל של e בחזקת x?

∫ex dx = ex + c.

מה האינטגרל של e בחזקת 2x?

מעתיקים ומחלקים בנגזרת של החזקה, 2: ∫e2x dx = e2x2 + c.

איך עושים אינטגרל לשבר עם e במכנה?

מפצלים את המונה, מצמצמים בחוקי חזקות ורושמים 1ex = e−x. למשל ∫e2x + 3ex dx = ex − 3e−x + c.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס חקירת פונקציית e המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.

לקורס חקירת פונקציית e המלא ←

עוד באתר

→ הקודם: חקירת פונקציית e עם מנה והזזת הגרף  |  הבא: שטח עם פונקציית e ←

ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
האתר משתמש בעוגיות.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות