נגזרת של e – כולל מכפלה ומנה

Q: מה הנגזרת של e בחזקת x?

הנגזרת של ex היא ex – הפונקציה והנגזרת אותו דבר.

Q: מה הנגזרת של x כפול e בחזקת x?

נגזרת מכפלה: 1·ex + x·ex = ex(1 + x).

נגזרת של e היא הכלי המרכזי בחקירת פונקציית e בשאלון 472: גוזרים את החזקה ומעתיקים את ה־e. בעמוד: הכלל (e^f(x))' = f'(x)·e^f(x), ארבעה שלבים ושמונה נגזרות פתורות מהקורס – כולל נגזרת מכפלה ומנה עם הוצאת גורם משותף.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס חקירת פונקציית e המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.

לקורס חקירת פונקציית e המלא ←

בעמוד הזה:

הכלל
איך גוזרים – 4 שלבים
דוגמאות בסיסיות
נגזרת של סכום
נגזרת מכפלה עם e
נגזרת מנה עם e
טעויות נפוצות

נגזרת של e

(e^x)' = e^x

(e^mx)' = m·e^mx

(e^f(x))' = f'(x)·e^f(x)

גוזרים את החזקה, שמים את הנגזרת שלה לפני ה־e, ואת ה־e עם החזקה מעתיקים כמו שהוא.

הכלל: גוזרים את החזקה ומעתיקים את ה־e

הנגזרת הכי קלה: (e^x)' = e^x – הפונקציה והנגזרת אותו דבר. כשבחזקה יש ביטוי אחר, הנגזרת של החזקה עוברת לפני ה־e, וה־e עם החזקה תמיד נשאר. מספר שכופל את ה־e נשאר.

כשיש x בשני הביטויים (למשל x·e^x) גוזרים לפי נוסחת המכפלה או המנה (מהנוסחאון):

[f·g]' = f'·g + f·g'

[fg]' = f'·g − f·g'g²

איך גוזרים פונקציה עם e – 4 שלבים

מה יש בפונקציה? e לבד, מספר כפול e, סכום, מכפלה (x בשני הביטויים) או מנה.
גוזרים את החזקה: הנגזרת שלה עוברת לפני ה־e, ומעתיקים את ה־e עם החזקה.
מכפלה / מנה: מסמנים מי f ומי g ועובדים לפי הנוסחה.
מסדרים: מוציאים גורם משותף e בחזקה – זה חשוב כשנחפש נקודות קיצון.

דוגמאות פתורות בסיסיות

גזרו: f(x) = e^x , f(x) = e^2x , f(x) = 3e^2x

פתרון שלב אחר שלב

הנגזרת של החזקה x היא 1, ומעתיקים את e^x:

(e^x)' = 1·e^x = e^x

הנגזרת של החזקה 2x היא 2:

(e^2x)' = 2·e^2x

ה־3 נשאר, וגוזרים את e^2x:

(3e^2x)' = 3·2·e^2x = 6e^2x

תשובה: e^x ; 2e^2x ; 6e^2x

גזרו: f(x) = e^−2x

פתרון שלב אחר שלב

הנגזרת של החזקה −2x היא −2:

f'(x) = −2e^−2x

תשובה: f'(x) = −2e^−2x

נגזרת של סכום

גזרו: f(x) = e^x² + e^−x²

פתרון שלב אחר שלב

לפי (e^f(x))' = f'(x)·e^f(x): הנגזרת של x² היא 2x, והנגזרת של −x² היא −2x:

f'(x) = 2x·e^x² + (−2x)·e^−x²

תשובה: f'(x) = 2xe^x² − 2xe^−x²

נגזרת מכפלה עם e

גזרו: f(x) = x·e^x

פתרון שלב אחר שלב

יש x בשני הביטויים – נגזרת מכפלה, עם f = x , g = e^x:

f'(x) = 1·e^x + x·e^x

גורם משותף e^x:

f'(x) = e^x(1 + x)

תשובה: f'(x) = e^x(1 + x)

גזרו: f(x) = (x + 2)e^2x

פתרון שלב אחר שלב

נגזרת מכפלה, עם f = x + 2 , g = e^2x:

f'(x) = 1·e^2x + (x + 2)·2e^2x

גורם משותף e^2x:

= e^2x[1 + (x + 2)·2]

פותחים סוגריים: (x + 2)·2 = 2x + 4:

= e^2x(1 + 2x + 4)

= e^2x(5 + 2x)

תשובה: f'(x) = e^2x(5 + 2x)

נגזרת מנה עם e

גזרו: f(x) = e^2x + 4e^x

פתרון שלב אחר שלב

נגזרת מנה, עם f = e^2x + 4 , g = e^x:

f'(x) =

2e^2x·e^x − (e^2x + 4)e^x(e^x)²

במכנה (e^x)² = e^2x, ובמונה גורם משותף e^x:

= e^x[2e^2x − (e^2x + 4)]e^2x

פותחים את הסוגריים המרובעים:

= e^x(2e^2x − e^2x − 4)e^2x

= e^x(e^2x − 4)e^2x

תשובה: f'(x) = e^x(e^2x − 4)e^2x

אפשר גם לצמצם ב־e^x (e^2x = e^x·e^x) ולקבל e^2x − 4e^x – זו אותה נגזרת.

הנגזרת של e^g(x) כשנתון רק סרטוט של g – בעמוד הרכבה: e בחזקת g(x).

טעויות נפוצות

להוריד את החזקה למטה כמו בפולינום: (e^2x)' הוא 2e^2x ולא 2x·e^2x−1.
לשנות את החזקה: ה־e עם החזקה נשאר בדיוק כמו שהוא.
לגזור x·e^x כ־1·e^x: כשיש x בשני הביטויים – נגזרת מכפלה.
לא להוציא גורם משותף: אחרי מכפלה או מנה מוציאים e בחזקה, וכך קל להשוות ל־0.

שאלות נפוצות

מה הנגזרת של e בחזקת x?

הנגזרת של e^x היא e^x – הפונקציה והנגזרת אותו דבר.

איך גוזרים e בחזקת ביטוי?

גוזרים את החזקה, שמים את הנגזרת שלה לפני ה־e, ומעתיקים את ה־e עם החזקה: (e^f(x))' = f'(x)·e^f(x). למשל (e^2x)' = 2e^2x.

מה הנגזרת של x כפול e בחזקת x?

נגזרת מכפלה: 1·e^x + x·e^x = e^x(1 + x).

לקורס חקירת פונקציית e המלא ←

עוד באתר

→ הקודם: אסימפטוטה אופקית בפונקציית e | הבא: משוואת משיק לפונקציית e ←