משוואות עם e – x = ln a והצבה t

משוואות עם e (משוואות מעריכיות) מופיעות בכל שאלת חקירה בשאלון 472: בחיתוך עם הצירים, בנקודות קיצון ובגבולות של שטח. בעמוד הזה כל השיטות מהקורס עם דוגמאות פתורות: בסיסים שווים, הנוסחה x = ln a, גורם משותף ושיטת ההצבה e^x = t.

בעמוד הזה:

1. חוקי החזקות שצריך
2. בסיסים שווים ← חזקות שוות
3. הנוסחה x = ln a
4. גורם משותף
5. שיטת ההצבה e^x = t
6. טעויות נפוצות

חוקי החזקות שצריך

• כפל חזקות עם אותו בסיס – מחברים את החזקות: a^m·aⁿ = a^m+n. e בלי כלום מעליו הוא e¹.
• כל מספר בחזקת 0 שווה 1: e⁰ = 1.
• e הוא מספר חיובי (בערך 2.718), ולכן e^x > 0 לכל x – אף פעם לא 0 ואף פעם לא שלילי.
• e^2x = (e^x)² – לפי חזקה של חזקה, x·2 = 2x.

בסיסים שווים ← חזקות שוות

פתרו: e^4x = e^6+x

פתרו: e^x·e² = e^x²

פתרו: e·e^x² = e^4x−5

פתרו: e^x = 0 ו־e^x = 1

הנוסחה x = ln a – איך מוציאים את x מהחזקה

כשבצד השני יש מספר שאינו חזקה של e, משתמשים בנוסחה e^x = a ⇒ x = ln a (a חיובי). אפשר להשאיר ln בתשובה – גם בבגרות זה מתקבל.

פתרו: e^x = 2

גורם משותף: x או e^x

כשבכל האיברים יש x או e^x – מעבירים הכול לצד אחד (שווה 0) ומוציאים גורם משותף. מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים שווה 0.

פתרו: −3x + x·e^x = 0

פתרו: 4x·e^x = 2e^x

פתרו: x²·e^x − 4e^x = 0

שיטת ההצבה e^x = t

1. מציבים e^x = t, ובמקום e^2x רושמים t².
2. פותרים את המשוואה הריבועית ב־t.
3. חוזרים להצבה: כל פתרון נותן e^x = t.
4. מוצאים x לפי x = ln a. אם t ≤ 0 – אין פתרון.

פתרו: e^2x − 4e^x = 0

פתרו: e^2x + 8e^x + 15 = 0

הצבה כזו מופיעה גם בשאלות בגרות – למשל בחיתוך עם ישר בעמוד חקירה מלאה של פונקציית e ובמציאת גבולות השטח בעמוד שטח עם פונקציית e.

טעויות נפוצות

• לחלק את המשוואה ב־x: מאבדים את הפתרון x = 0. מוציאים גורם משותף.
• לכתוב x = ln 0 או x = ln(−3): ln מוגדר רק למספר חיובי – e^x ≤ 0 אין פתרון.
• לשכוח לחזור להצבה: t = 4 הוא לא התשובה – התשובה היא x = ln 4.
• לכפול חזקות במקום לחבר: e^x·e² = e^x+2 ולא e^2x.

שאלות נפוצות

איך פותרים משוואה עם e?

אם שני האגפים בבסיס e – משווים חזקות. אם בצד השני מספר – e^x = a ⇒ x = ln a. אם יש e^2x ו־e^x – הצבה e^x = t.

למה ל־e בחזקת x שווה 0 אין פתרון?

כי e מספר חיובי, וכל חזקה שלו חיובית: e^x > 0 לכל x.

מתי משתמשים בהצבה t במשוואה עם e?

כשיש במשוואה גם e^2x וגם e^x. מציבים e^x = t , e^2x = t² , פותרים משוואה ריבועית וחוזרים להצבה.

עוד באתר

• תחום הגדרה של פונקציית e
• אסימפטוטה אנכית בפונקציית e
• נקודות קיצון בפונקציית e
• סיכום ונוסחאות – חקירת פונקציית e
• עוד דוגמאות פתורות – חקירת פונקציית e
• שאלות בגרות 472 לפי נושא – חקירת פונקציית e
• בגרות 472 – כל הנושאים

→ הקודם: תחום הגדרה של פונקציית e  |  הבא: אסימפטוטה אנכית בפונקציית e ←