שיפוע המשיק ומשוואת המשיק

שיפוע המשיק בנקודה שווה לערך הנגזרת בנקודה הזו. בעזרת השיפוע ונקודת ההשקה כותבים את משוואת המשיק – בדיוק כמו משוואת ישר באנליטית. בעמוד הזה: השיטה ב־4 צעדים, ושלוש שאלות פתורות – משיק בנקודה נתונה, משיק עם שיפוע נתון, ומשיקים בנקודות החיתוך עם הצירים.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס חקירת הפונקציה המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.

לקורס חקירת הפונקציה המלא ←

בעמוד הזה:

מה זה משיק
4 צעדים למשוואת משיק
דוגמה: y = x² בשתי נקודות
משיק בנקודה נתונה
משיק עם שיפוע נתון
משיקים בנקודות החיתוך עם הצירים
טעויות נפוצות
שאלות נפוצות

שיפוע משיק ומשוואת משיק

m = f′(x₀)

שיפוע המשיק = ערך הנגזרת בנקודת ההשקה

y − y₀ = m(x − x₀)

מה זה משיק

משיק לגרף הוא קו ישר שנוגע בגרף בנקודה אחת והולך שם באותו כיוון כמו הגרף. הנקודה הזו נקראת נקודת ההשקה. כדי לכתוב משוואה של ישר צריך שני דברים: נקודה ושיפוע. את הנקודה נותנת הפונקציה, ואת השיפוע נותנת הנגזרת.

הנגזרת של חזקה: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, ונגזרת של מספר היא 0. הסבר מלא על גזירה: נגזרת – איך גוזרים.

4 צעדים למשוואת משיק

נקודת ההשקה: מציבים את x₀ בפונקציה המקורית ומקבלים y₀.
גוזרים: מוצאים את f′(x).
שיפוע: מציבים את x₀ בנגזרת: m = f′(x₀).
משוואת המשיק: מציבים ב־y − y₀ = m(x − x₀) ומסדרים ל־y = mx + b.

דוגמה: y = x² בשתי נקודות

נתונה הפונקציה y = x². א. מצאו את שיפוע המשיק ואת נקודת ההשקה בנקודות x = 2 ו־x = −1. ב. מצאו את משוואות המשיקים בשתי הנקודות.

פתרון שלב אחר שלב

בנקודה x = 2. מציבים 2 בפונקציה:

y = 2² = 4

נקודת ההשקה: (2 , 4). גוזרים ומציבים 2 בנגזרת:

y′ = 2x

m = 2·2 = 4

מציבים בנוסחת המשיק:

y − 4 = 4(x − 2)

y − 4 = 4x − 8

מעבירים את 4 לצד השני:

y = 4x − 8 + 4

תשובה: נקודת השקה (2 , 4), שיפוע m = 4, משיק y = 4x − 4

בנקודה x = −1. מציבים −1 בפונקציה:

y = (−1)² = 1

נקודת ההשקה: (−1 , 1). אותה נגזרת, מציבים −1:

m = 2·(−1) = −2

y − 1 = −2(x − (−1))

y − 1 = −2(x + 1)

y − 1 = −2x − 2

מעבירים את 1 לצד השני:

y = −2x − 2 + 1

תשובה: נקודת השקה (−1 , 1), שיפוע m = −2, משיק y = −2x − 1

שימו לב: את הנגזרת מוצאים פעם אחת, ובכל נקודה מציבים בה x אחר – לכן לכל נקודה יש שיפוע אחר.

משיק בנקודה נתונה

מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f(x) = 4x³ + 4 בנקודה x = 2.

פתרון שלב אחר שלב

שלב 1 – נקודת ההשקה. מציבים 2 בפונקציה:

f(2) = 4·2³ + 4

= 4·8 + 4 = 36

נקודת ההשקה: (2 , 36).

שלב 2 – שיפוע. גוזרים:

f′(x) = 12x²

מציבים 2 בנגזרת:

m = f′(2) = 12·2²

= 12·4 = 48

שלב 3 – המשוואה.

y − 36 = 48(x − 2)

y − 36 = 48x − 96

מעבירים את 36 לצד השני:

y = 48x − 96 + 36

תשובה: y = 48x − 60

משיק עם שיפוע נתון

לפעמים נותנים את השיפוע ומבקשים את נקודת ההשקה. אז משווים את הנגזרת לשיפוע הנתון ומוצאים x.

נתונה הפונקציה y = x²2 − x + 4. לגרף העבירו משיק ששיפועו 1. א. מצאו את נקודת ההשקה. ב. מצאו את משוואת המשיק.

פתרון שלב אחר שלב

א. גוזרים. הנגזרת של x²2 היא 2x2, נצמצם ב־2 ונקבל x:

y′ = 2x2 − 1 = x − 1

משווים לשיפוע הנתון:

x − 1 = 1

x = 2

מציבים 2 בפונקציה המקורית כדי למצוא את y:

y = 2²2 − 2 + 4

2² = 4, ו־42 = 2:

y = 2 − 2 + 4 = 4

תשובה: (2 , 4)

ב. יש נקודה (2 , 4) ושיפוע m = 1:

y − 4 = 1·(x − 2)

y − 4 = x − 2

מעבירים את 4 לצד השני:

y = x − 2 + 4

תשובה: y = x + 2

משיקים בנקודות החיתוך עם הצירים

נתונה הפונקציה f(x) = x² − 6x + 8. מצאו את משוואות המשיקים לגרף בנקודות החיתוך שלו עם הצירים.

פתרון שלב אחר שלב

שלב 1 – נקודות החיתוך. עם ציר y מציבים x = 0:

f(0) = 0 − 0 + 8 = 8

הנקודה (0 , 8). עם ציר x מציבים y = 0:

x² − 6x + 8 = 0

מפרקים לטרינום:

(x − 2)(x − 4) = 0

x = 2 , x = 4

הנקודות: (0 , 8), (2 , 0), (4 , 0).

שלב 2 – שיפוע בכל נקודה. גוזרים פעם אחת:

f′(x) = 2x − 6

f′(0) = 2·0 − 6 = −6

f′(2) = 2·2 − 6 = −2

f′(4) = 2·4 − 6 = 2

משיק 1 בנקודה (0 , 8), m = −6:

y − 8 = −6(x − 0)

y − 8 = −6x

תשובה: y = −6x + 8

משיק 2 בנקודה (2 , 0), m = −2:

y − 0 = −2(x − 2)

תשובה: y = −2x + 4

משיק 3 בנקודה (4 , 0), m = 2:

y − 0 = 2(x − 4)

תשובה: y = 2x − 8

עוד שאלה פתורה: דוגמה פתורה – מציאת משוואת המשיק. כשיש בשאלה פרמטר – ראו מציאת פרמטר בחקירת פונקציה.

טעויות נפוצות

להציב את x בנגזרת כדי למצוא את y של נקודת ההשקה. את y מוצאים בפונקציה המקורית; בנגזרת מוצאים רק את השיפוע.
להשאיר את המשיק כ־"y = 2x" – המשיק הוא מספר אחד (השיפוע) ולא הנגזרת. מציבים את x של הנקודה בנגזרת.
בשאלה עם שיפוע נתון – לשכוח למצוא גם את y. נקודה היא תמיד x וגם y.

שאלות נפוצות

איך מוצאים את שיפוע המשיק?

גוזרים את הפונקציה ומציבים בנגזרת את ה־x של נקודת ההשקה: m = f′(x₀).

איך מוצאים משוואת משיק?

מוצאים את נקודת ההשקה (x₀ , f(x₀)), מוצאים את השיפוע m = f′(x₀), ומציבים בנוסחה y − y₀ = m(x − x₀).

מה עושים כשנתון שיפוע המשיק?

משווים את הנגזרת לשיפוע הנתון, פותרים ומקבלים את x של נקודת ההשקה, ואז מציבים בפונקציה המקורית כדי למצוא את y.

לקורס חקירת הפונקציה המלא ←

עוד באתר

הבא: נקודות קיצון – איך מוצאים ←