מציאת פרמטר בחקירת פונקציה
בהרבה שאלות חקירה יש פרמטר – אות (a, b, k, m) שמייצגת מספר לא ידוע – ונותנים נתון אחד שממנו מוצאים אותו. הסוד: לזהות איזה נתון ניתן, ולתרגם אותו למשוואה. בעמוד הזה: טבלה של כל סוגי הנתונים, ושמונה שאלות פתורות – משיק, נקודת קיצון, נקודה על הגרף, אסימפטוטות, וחקירה מלאה עם פרמטר.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס חקירת הפונקציה המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.
בעמוד הזה:
- מה נתון – ומה מציבים
- שיפוע משיק נתון
- נקודת קיצון נתונה
- נקודה על הגרף
- אסימפטוטה נתונה
- חקירה מלאה עם פרמטר
- טעויות נפוצות
- שאלות נפוצות
הפרמטר הוא מספר
בגזירה מתייחסים אליו כמו למספר: (ax)′ = a, (b)′ = 0. מזהים את הנתון, מציבים, ופותרים משוואה שבה הנעלם היחיד הוא הפרמטר.
מה נתון – ומה מציבים
| הנתון | המשוואה |
|---|---|
| שיפוע משיק m בנקודה x₀ | f′(x₀) = m |
| נקודת קיצון ב־x₀ | f′(x₀) = 0 |
| נקודה (x₀ , y₀) על הגרף | f(x₀) = y₀ |
| אסימפטוטה אנכית x = k | המכנה ב־k שווה 0 |
| אסימפטוטה אופקית y = k | לפי החזקות – שווה ל־k |
| משיק אופקי y = k בקיצון | ה־y של נקודת הקיצון שווה k |
שיפוע משיק נתון
נתונה f(x) = x³ + ax − 10. בנקודה x = 1 העבירו לגרף משיק ששיפועו 3. מצאו את a.
פתרון שלב אחר שלב
השיפוע שווה לנגזרת. הנגזרת של ax היא a (כמו שהנגזרת של 4x היא 4):
f′(x) = 3x² + a
משווים לשיפוע 3 ומציבים x = 1:
3·1² + a = 3
3 + a = 3
a = 3 − 3
תשובה: a = 0
נקודת קיצון נתונה
1. נתונה y = −x² + 6x + b. א. מצאו את שיעור x של נקודת המקסימום. ב. שיעור y של המקסימום הוא 4. מצאו את b.
פתרון שלב אחר שלב
א. b הוא מספר, ונגזרתו 0:
y′ = −2x + 6 = 0
−2x = −6
מחלקים ב־(−2):
x = 3
בדיקה: y′(0) = 6 > 0, y′(4) = −2 < 0 – עולה ואז יורדת, מקסימום.
תשובה: x = 3
ב. נקודת המקסימום (3 , 4). מציבים בפונקציה:
4 = −3² + 6·3 + b
שימו לב: −3² = −9, כי החזקה רק על ה־3.
4 = −9 + 18 + b
4 = 9 + b
b = 4 − 9
תשובה: b = −5
2. נתונה f(x) = m − 4x(x − 1)². לפונקציה נקודת קיצון ב־x = 3. מצאו את m.
פתרון שלב אחר שלב
בנקודת קיצון הנגזרת 0. נגזרת המונה (m − 4x)′ = −4. נגזרת המכנה (פונקציה מורכבת): ((x − 1)²)′ = 2(x − 1). לפי נגזרת מנה, המונה של הנגזרת:
−4(x − 1)²
− (m − 4x)·2(x − 1)
משווים ל־0 (המכנה נעלם) ומציבים x = 3:
−4·2² − (m − 12)·2·2 = 0
−16 − 4(m − 12) = 0
−16 − 4m + 48 = 0
32 − 4m = 0
32 = 4m
מחלקים ב־4:
תשובה: m = 8
3. נתונה f(x) = −1x + 2 + kx + 6. לפונקציה נקודת קיצון ב־x = −3. מצאו את k.
פתרון שלב אחר שלב
גוזרים כל שבר בנפרד (k מספר):
f′(x) = 1(x + 2)² − k(x + 6)²
מציבים x = −3 ומשווים ל־0:
1(−3 + 2)² − k(−3 + 6)² = 0
11 − k9 = 0
מעבירים אגף וכופלים בהצלבה:
1 = k9
תשובה: k = 9
נקודה על הגרף
נתונה f(x) = 2x − bx − 4 + 1. הגרף חותך את ציר y בנקודה (0 , 2.5). מצאו את b.
פתרון שלב אחר שלב
הנתון 2.5 הוא 212 = 52. מציבים x = 0, y = 52:
52 = 2·0 − b0 − 4 + 1
מעבירים את 1 לצד השני: 52 − 1 = 32. מינוס חלקי מינוס זה פלוס:
32 = b4
כפל בהצלבה:
2b = 12
מחלקים ב־2:
תשובה: b = 6
אסימפטוטה נתונה
1. נתונה f(x) = x − 1x² − 4x − a. אחת האסימפטוטות האנכיות היא x = −1. מצאו את a.
פתרון שלב אחר שלב
האסימפטוטה האנכית מאפסת את המכנה. מציבים −1 במכנה:
(−1)² − 4·(−1) − a = 0
1 + 4 − a = 0
5 − a = 0
תשובה: a = 5
2. נתונה f(x) = bx²x² − 4x + 3. לפונקציה אסימפטוטה אופקית y = 2. מצאו את b.
פתרון שלב אחר שלב
החזקות שוות (2 ו־2), ולכן האסימפטוטה היא המקדם במונה חלקי המקדם במכנה:
y = b1 = b
תשובה: b = 2
3. נתונה f(x) = 44x² − 1 + b. א. מצאו את נקודת הקיצון (הביעו באמצעות b). ב. הישר y = −2 משיק לגרף בנקודת הקיצון. מצאו את b.
פתרון שלב אחר שלב
א. b הוא מספר, נגזרתו 0. נגזרת מנה:
f′(x) = 0 − 8x·4(4x² − 1)²
= −32x(4x² − 1)²
המונה −32x = 0, כלומר x = 0. בטבלה שמים גם את האסימפטוטות x = ±12. ב־x = −14 הנגזרת חיובית, וב־x = 14 שלילית – עולה ואז יורדת, מקסימום.
f(0) = 40 − 1 + b = −4 + b
תשובה: (0 , −4 + b) מקסימום
ב. הישר y = −2 אופקי ונוגע בגרף במקסימום, ולכן ה־y של המקסימום הוא −2:
−4 + b = −2
תשובה: b = 2
חקירה מלאה עם פרמטר
לפונקציה y = x³ − ax² + 36x יש נקודת קיצון ב־x = 6. א. חשבו את a. ב. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן. ג. עבור אילו ערכי k הישר y = k חותך את הגרף בשלוש נקודות?
פתרון שלב אחר שלב
א. גוזרים, מציבים 6 ומשווים ל־0:
y′ = 3x² − 2ax + 36
3·6² − 2·a·6 + 36 = 0
108 − 12a + 36 = 0
144 − 12a = 0
144 = 12a
מחלקים ב־12:
תשובה: a = 12
ב. עכשיו y = x³ − 12x² + 36x:
y′ = 3x² − 24x + 36 = 0
מחלקים ב־3:
x² − 8x + 12 = 0
(x − 2)(x − 6) = 0
x = 2 , x = 6
y(2) = 8 − 48 + 72 = 32
y(6) = 216 − 432 + 216 = 0
בנגזרת (אחרי החילוק ב־3): ב־x = 0 יוצא 12 (חיובי), ב־x = 3 יוצא −3 (שלילי), ב־x = 7 יוצא 5 (חיובי).
תשובה: (2 , 32) מקסימום, (6 , 0) מינימום
ג. מזיזים ישר אופקי על הסרטוט. בין המינימום למקסימום הוא חותך את הגרף שלוש פעמים; בגובה של נקודת קיצון – פעמיים; מעל או מתחת – פעם אחת.
תשובה: 0 < k < 32
מבנה החקירה עצמה – חקירת פונקציה שלב אחר שלב.
טעויות נפוצות
- לגזור את הפרמטר כאילו הוא x: הנגזרת של b היא 0, והנגזרת של ax היא a.
- להציב נקודת קיצון בפונקציה במקום בנגזרת (כשנתון רק ה־x שלה).
- באסימפטוטה אנכית – להציב גם במונה. מציבים רק במכנה (ובודקים שהמונה לא מתאפס).
- לבלבל בין −3² (−9) לבין (−3)² (9).
שאלות נפוצות
איך מוצאים פרמטר בחקירת פונקציה?
מזהים את הנתון ומתרגמים אותו למשוואה: שיפוע משיק – f′(x₀) = m; נקודת קיצון – f′(x₀) = 0; נקודה על הגרף – f(x₀) = y₀; אסימפטוטה אנכית – המכנה שווה 0.
מה הנגזרת של פרמטר?
פרמטר הוא מספר, ולכן הנגזרת של b היא 0 והנגזרת של ax היא a.
מה מציבים כשנתונה נקודת קיצון?
מציבים את ה־x שלה בנגזרת ומשווים ל־0. אם נתון גם ה־y, מציבים את הנקודה בפונקציה עצמה.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס חקירת הפונקציה המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.
עוד באתר
- שיפוע המשיק ומשוואת המשיק
- נקודות קיצון – איך מוצאים
- אסימפטוטה אנכית
- אסימפטוטה אופקית
- סיכום ונוסחאות – שיפוע, משוואת משיק וחקירת פונקציה
- עוד דוגמאות פתורות – משיק וחקירת פונקציה
- שאלות בגרות 471 לפי נושא – חקירת פונקציות
- בגרות 471 – כל הנושאים
→ הקודם: נגזרת של פונקציה מורכבת | הבא: תרגיל חקירה בבגרות 471 – פתרון מלא ←
