תרגיל חקירה בבגרות 471 – פתרון מלא

כך נראה תרגיל חקירה בבגרות 471: נתון גרף הנגזרת או הפונקציה, ובסעיפים – קיצון, עלייה וירידה, זיהוי הפונקציה לפי האסימפטוטות, חיתוך עם הצירים, סקיצה, ולפעמים גם שטח. בעמוד הזה: סדר העבודה, ושאלה שלמה מבגרות חורף 2024 (כפי שהיא מופיעה בשיעור בקורס) פתורה סעיף אחר סעיף.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס חקירת הפונקציה המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.

לקורס חקירת הפונקציה המלא ←

בעמוד הזה:

סדר העבודה בשאלת חקירה
השאלה
סעיפים א–ב: מגרף הנגזרת
סעיף ג: איזה ביטוי?
סעיפים ד–ה: חיתוך וסקיצה
סעיף ו: שטח
טעויות נפוצות
שאלות נפוצות

סדר העבודה

תחום הגדרה ואסימפטוטות
קיצון: f′ = 0 + טבלת סימנים
עלייה וירידה – מהטבלה
חיתוך עם הצירים
סקיצה – מחברים הכול

סדר העבודה בשאלת חקירה

כל סעיף משתמש במה שמצאנו קודם. לכן עובדים לפי הסדר, ובכל סעיף כותבים את הנימוק – לא רק את התשובה. כשנותנים גרף נגזרת, קוראים ממנו את הסימן (ראו גרף הנגזרת); כשנותנים את הפונקציה – גוזרים (שלבי חקירת פונקציה).

השאלה

הפונקציה f(x) מוגדרת בתחום x ≠ ±5. גרף פונקציית הנגזרת f′(x) (באותו תחום) חותך את ציר x רק בנקודה (0 , 0): משמאל ל־0 הוא מעל ציר x, ומימין ל־0 מתחתיו.

א. מצאו את שיעור ה־x של נקודת הקיצון של f(x) וקבעו את סוגה. ב. מצאו את תחומי העלייה והירידה. ג. נתון שלפונקציה אסימפטוטה אופקית y = 2. איזה מהביטויים מייצג את f(x)? I. x²x² + 25 + 1 II. x²x² − 25 + 2 III. x²x² − 25 + 1. ד. מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים. ה. שרטטו סקיצה. ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף f′(x), ציר x והישר x = 3.

סעיפים א–ב: מגרף הנגזרת

פתרון שלב אחר שלב

א. הנגזרת מתאפסת רק ב־x = 0. בטבלה שמים גם את −5 ו־5 (מחוץ לתחום). משמאל ל־0 הנגזרת מעל ציר x – f עולה; מימין ל־0 מתחתיו – f יורדת. עולה ואז יורדת ← מקסימום.

תשובה: x = 0 נקודת מקסימום

ב. לפי סימן הנגזרת בכל תחום:

תשובה: עולה: x < −5 , −5 < x < 0; יורדת: 0 < x < 5 , x > 5

סעיף ג: איזה ביטוי?

פתרון שלב אחר שלב

I נפסל: מציבים ±5 במכנה: 25 + 25 = 50 ≠ 0 – המכנה לא מתאפס, אבל התחום הוא x ≠ ±5.

II נפסל: בשבר החזקות שוות, והמקדמים 11 = 1. מוסיפים 2: 1 + 2 = 3 – אסימפטוטה y = 3, לא 2.

III מתאים: המכנה x² − 25 מתאפס ב־±5, והאסימפטוטה 1 + 1 = 2.

תשובה: ביטוי III: f(x) = x²x² − 25 + 1

איך מוצאים אסימפטוטה אופקית לפי החזקות – אסימפטוטה אופקית.

סעיפים ד–ה: חיתוך וסקיצה

פתרון שלב אחר שלב

ד. עם ציר y מציבים x = 0:

f(0) = 00 − 25 + 1 = 1

עם ציר x מציבים y = 0 ומעבירים את 1 לצד השני:

x²x² − 25 = −1

כפל בהצלבה:

x² = −(x² − 25)

x² = −x² + 25

2x² = 25

מחלקים ב־2:

x² = 252

מוציאים שורש:

x = ±5√2 = ±5√22

תשובה: (0 , 1) , (5√22 , 0) , (−5√22 , 0)

ה. אסימפטוטות: y = 2, x = 5, x = −5. בין −5 ל־5: מקסימום (0 , 1), חיתוך עם ציר x ב־±5√22, ושני הצדדים יורדים לאורך האסימפטוטות האנכיות. מימין ל־5: יורדת מלמעלה אל y = 2. משמאל ל־−5: עולה מ־y = 2 כלפי מעלה לאורך x = −5.

הערה: בשיעור כתבנו x² = 12.5 ו־x ≈ ±3.54. כאן השארנו את התשובה המדויקת ±5√22.

סעיף ו: שטח

פתרון שלב אחר שלב

בין x = 0 ל־x = 3 גרף הנגזרת מתחת לציר x, ולכן האינטגרל שלילי וכופלים במינוס. האינטגרל של f′(x) הוא f(x):

S = −[f(3) − f(0)]

f(3) = 99 − 25 + 1 = 9−16 + 1

כותבים את 1 כ־1616:

= −916 + 1616 = 716

S = −[716 − 1]

= −[−916]

תשובה: S = 916

עוד שאלות חקירה מהבגרויות: שאלות בגרות 471 לפי נושא – חקירת פונקציות.

טעויות נפוצות

לסמן קיצון ב־±5 – שם הפונקציה לא מוגדרת.
בסעיף ג לבדוק רק את האסימפטוטה ולשכוח את תחום ההגדרה (ביטוי I).
לשכוח את המינוס בשטח שמתחת לציר x.
להשאיר תשובה עשרונית כשאפשר לכתוב תשובה מדויקת.

שאלות נפוצות

מה שואלים בשאלת חקירה בבגרות 471?

בדרך כלל: תחום הגדרה ואסימפטוטות, נקודות קיצון, תחומי עלייה וירידה, חיתוך עם הצירים וסקיצה – ולפעמים גם זיהוי הפונקציה, פרמטר או שטח.

איך מזהים איזה ביטוי מתאים לפונקציה?

בודקים כל ביטוי מול הנתונים: תחום ההגדרה (איפה המכנה מתאפס), האסימפטוטה האופקית ונקודות ידועות. ביטוי שסותר נתון אחד נפסל.

איך מחשבים שטח מתחת לגרף הנגזרת?

האינטגרל של f′(x) הוא f(x), ולכן השטח הוא f(b) − f(a). אם הגרף מתחת לציר x, כופלים במינוס.

לקורס חקירת הפונקציה המלא ←

עוד באתר

→ הקודם: מציאת פרמטר בחקירת פונקציה