עץ והסתברות מותנית – שאלת בגרות

בהרבה שאלות בגרות 471 שאלת ההסתברות בנויה כך: דיאגרמת עץ, סעיף של "בדיוק אחד" או "לכל היותר", ובסוף הסתברות מותנית מתוך העץ. בעמוד הזה: איך ניגשים לזה, ושתי שאלות בגרות פתורות שלב אחר שלב – 2019 מועד א ו־2022 מועד א – עם ציור העץ ושברים בלבד.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההסתברות המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.

לקורס ההסתברות המלא ←

בעמוד הזה:

  1. איך ניגשים לשאלה כזו
  2. בגרות 2019 מועד א: משחק בשני סיבובים
  3. בגרות 2022 מועד א: שלבי מיון לעבודה
  4. טעויות נפוצות
  5. שאלות נפוצות

מה שידוע – הולך למכנה,
מה שרוצים – הולך למונה

  • המכנה: כל המסלולים בעץ שמתאימים למה שידוע (מחברים אותם).
  • המונה: רק המסלולים מתוך המכנה שמתאימים גם למה ששואלים.
  • אם המכנה הוא הרבה מסלולים – נוח לחשב אותו עם המשלים: 1 פחות מה שלא ידוע.

איך ניגשים לשאלת עץ עם הסתברות מותנית

זה אחד המבנים הנפוצים ביותר בשאלת ההסתברות בבגרות 471: בונים דיאגרמת עץ, עונים על "בדיוק אחד" או "לכל היותר", ובסוף מגיע סעיף "ידוע ש…". הכלל של הסתברות מותנית הוא אותו כלל, רק שהמכנה והמונה הם מסלולים בעץ:

  1. מסמנים בעץ את כל המסלולים של מה שידוע, ומחברים אותם – זה המכנה. לעתים קרובות כבר חישבנו אותו בסעיף הקודם.
  2. מתוכם מסמנים את המסלולים שמתאימים גם לשאלה – זה המונה.
  3. מחלקים: חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך, ומצמצמים.

שאלת בגרות 2019 מועד א: משחק בשני סיבובים

השאלה (משיעור 25 בקורס): במשחק יש שני סיבובים. בכל סיבוב יש שתי אפשרויות בלבד: לזכות או להפסיד. משתתף שזוכה בשני הסיבובים מנצח במשחק כולו. ההסתברות לזכות בסיבוב הראשון גדולה פי 3 מן ההסתברות להפסיד בו.

א. מהי ההסתברות לזכות בסיבוב הראשון? נמק.

מסמנים: להפסיד – x, לזכות – 3x. סך כל ההסתברויות 1:

x + 3x = 1

4x = 1

נחלק את שני האגפים ב־4:

x = 14

נציב: להפסיד 14, לזכות 3 · 14 = 34.

תשובה: 34

ב. אם משתתף זכה בסיבוב הראשון, ההסתברות שיזכה בסיבוב השני היא 0.8. אם הפסיד בסיבוב הראשון, ההסתברות שיזכה בסיבוב השני היא 0.6.

בונים עץ

הסיבוב השני תלוי בראשון, ולכן עץ. נעביר לשברים:

אחרי זכייה: 0.8 = 810, ונצמצם ב־2: 810 = 45. להפסיד: 1 − 45 = 15.

אחרי הפסד: 0.6 = 610, ונצמצם ב־2: 610 = 35. להפסיד: 1 − 35 = 25.

3445זכה15הפסידזכה1435זכה25הפסידהפסיד

ב (1). מהי ההסתברות לזכות בדיוק בסיבוב אחד מבין שני הסיבובים?

בדיוק אחד = זכה ואז הפסיד או הפסיד ואז זכה (שני העלים המסומנים בעץ):

P(זכה, הפסיד) = 34 · 15 = 3 · 14 · 5

= 320

P(הפסיד, זכה) = 14 · 35 = 1 · 34 · 5

= 320

ביניהם או ← חיבור:

P(בדיוק אחד) = 320 + 320 = 620

נצמצם ב־2 (6 : 2 = 3, 20 : 2 = 10):

620 = 310

תשובה: 310

ב (2). ידוע שמשתתף זכה בדיוק בסיבוב אחד מבין שני הסיבובים. מהי ההסתברות שהוא זכה בסיבוב הראשון?

מה שידוע – הולך למכנה: זכה בדיוק באחד, 310 (סעיף ב1). מה שרוצים – הולך למונה: מתוכם, זכה בראשון – המסלול זכה ואז הפסיד (בסגול כהה), 320.

P(זכה בראשון | בדיוק אחד)

= 320310

חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך:

320 · 103

נצמצם ב־3 (ה־3 במונה של הראשון וה־3 במכנה של השני):

120 · 101

נצמצם ב־10 (10 : 10 = 1, 20 : 10 = 2):

12 · 11 = 12

תשובה: 12

שאלת בגרות 2022 מועד א: שלבי מיון לעבודה

השאלה (משיעור 32 בקורס): חברה מסוימת ממיינת מועמדים לעבודה. כדי להתקבל, המועמדים צריכים לעבור בהצלחה את שלושת שלבי המיון: מבחן התאמה, ריאיון אישי וסדנה קבוצתית. מי שלא עבר שלב, לא המשיך לשלב הבא. נתון: 80% מן המועמדים עברו את מבחן ההתאמה. 50% מן המועמדים שעברו את מבחן ההתאמה עברו את הריאיון. 35% מן המועמדים שעברו את הריאיון עברו את הסדנה.

בונים עץ

מבחן התאמה: 80% = 80100, ונצמצם ב־20: 80100 = 45. לא עבר: 1 − 45 = 15.

ריאיון: 50% = 50100, ונצמצם ב־50: 50100 = 12. לא עבר: 1 − 12 = 12.

סדנה: 35% = 35100, ונצמצם ב־5: 35100 = 720. לא עבר: 1 − 720 = 1320.

ממשיכים רק מהענף "עבר". מימין לשמאל: מבחן, ריאיון, סדנה:

4512720עבר1320לא עברעבר12לא עברעבר15לא עבר

א. בחרו באקראי מועמד. מהי ההסתברות שהוא התקבל לעבודה בחברה?

התקבל = עבר את שלושת השלבים, המסלול העליון (בסגול כהה). כופלים לאורכו:

P(התקבל) = 45 · 12 · 720

= 4 · 1 · 75 · 2 · 20 = 28200

נצמצם ב־4 (28 : 4 = 7, 200 : 4 = 50):

28200 = 750

תשובה: 750

ב. נטע וגלי השתתפו במיונים. מהי ההסתברות שלכל היותר אחת מהן התקבלה לעבודה?

"לכל היותר אחת" = אף אחת או אחת. נוח עם המשלים: מה שלא רוצים – ששתיהן התקבלו:

P(שתיהן) = 750 · 750 = 492500

P(לכל היותר אחת) = 1 − 492500

= 25002500 − 492500 = 24512500

תשובה: 24512500

ג. גם עדי השתתפה במיונים. מהי ההסתברות שהיא עברה את הריאיון האישי, אם ידוע שהיא לא התקבלה לעבודה?

מה שידוע – הולך למכנה: לא התקבלה – כל העלים בסגול בהיר. נוח עם המשלים:

P(לא התקבלה) = 1 − 750

= 5050 − 750 = 4350

(בדיקה בעץ: 15 + 45 · 12 + 1350 = 1050 + 2050 + 1350 = 4350 ✔)

מה שרוצים – הולך למונה: מתוך מי שלא התקבלו, עברה את הריאיון. מי שעברה ריאיון ולא התקבלה – לא עברה את הסדנה:

P(עברה ריאיון, לא סדנה)

= 45 · 12 · 1320 = 4 · 1 · 135 · 2 · 20

= 52200

נצמצם ב־4 (52 : 4 = 13, 200 : 4 = 50):

52200 = 1350

P(עברה ריאיון | לא התקבלה)

= 13504350

חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך:

1350 · 5043

נצמצם ב־50:

1343

תשובה: 1343

ד. ידוע כי 215 מועמדים לא התקבלו לעבודה בחברה. כמה מועמדים התקבלו?

מי שלא התקבלו הם 4350 מכל המועמדים. לכן כל המועמדים:

215 : 4350 = 215 · 5043

נצמצם ב־43 (215 : 43 = 5):

5 · 50 = 250

250 מועמדים. מהם התקבלו 750:

750 · 250 = 7 · 25050

נצמצם ב־50 (250 : 50 = 5):

7 · 5 = 35

תשובה: 35 מועמדים

טעויות נפוצות

  • לשים במכנה את כל העץ (1) במקום רק את מה שידוע.
  • לשים במונה מסלול שלא נמצא בתוך המכנה. המונה תמיד חלק מהמכנה.
  • לחשב מחדש את המכנה כשהוא כבר יצא בסעיף הקודם – כדאי להיעזר בסעיפים הקודמים.
  • בשלבי מיון: להמשיך את העץ גם מהענף "לא עבר". מי שלא עבר – לא ממשיך.
  • לעבור לעשרוני ולעגל, כשהשאלה לא ביקשה. משאירים 1343.

שאלות נפוצות

איך מוצאים את המכנה בהסתברות מותנית מתוך עץ?

מחברים את כל המסלולים שמתאימים למה שידוע. כשיש הרבה מסלולים כאלה, נוח לחשב 1 פחות המסלולים שלא מתאימים.

מה שמים במונה?

רק את המסלולים מתוך המכנה שמתאימים גם למה ששואלים. למשל "זכה בדיוק באחד" במכנה, ו"זכה בראשון" מתוכם במונה: 320310 = 12.

האם התשובה בהסתברות מותנית יכולה להיות גדולה מ־1?

לא. המונה הוא חלק מהמכנה, ולכן התשובה תמיד בין 0 ל־1.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההסתברות המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.

לקורס ההסתברות המלא ←

עוד באתר

→ הקודם: עץ הסתברות עם נעלמים  |  הבא: נוסחת ברנולי ←

ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
האתר משתמש בעוגיות.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות