עץ הסתברות עם נעלמים

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההסתברות המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.

בונים עץ

סך הכל אנשים: x + 2x = 3x.

בחירה ראשונה: גבר x3x, ונצמצם ב־x: x3x = 13. אישה 2x3x = 23 (נצמצם ב־x).

בחירה שנייה, בלי החזרה: נשאר אדם אחד פחות, 3x − 1, ומהמין שנבחר – אחד פחות.

אחד גבר ואחד אישה = גבר ואז אישה או אישה ואז גבר (בסגול כהה). לאורך מסלול כפל, ביניהם חיבור:

13 · 2x3x − 1 + 23 · x3x − 1 = 12

מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה:

2x9x − 3 + 2x9x − 3 = 12

אותו מכנה ← מחברים את המונים:

4x9x − 3 = 12

כפל בהצלבה:

2 · 4x = 9x − 3

8x = 9x − 3

נעביר אגפים: נחסיר 8x ונוסיף 3 לשני האגפים:

x = 3

תשובה: x = 3 (3 גברים ו־6 נשים)

מציבים x = 3: 9 אנשים, 3 גברים ו־6 נשים. אחרי הבחירה הראשונה נשארים 8. העץ במספרים (בסגול בהיר ובסגול כהה – השני אישה; בסגול כהה – גם הראשון אישה):

"ידוע" ← הסתברות מותנית. מה שידוע – הולך למכנה: השני אישה = אישה־אישה או גבר־אישה. נשאיר מכנה 72 בשניהם, כדי שיהיה נוח לחבר:

P(אישה, אישה) = 69 · 58 = 3072

P(גבר, אישה) = 39 · 68 = 1872

3072 + 1872 = 4872

מה שרוצים – הולך למונה: מתוך זה, גם הראשון אישה: אישה־אישה, 3072.

P(ראשון אישה | שני אישה)

= 30724872

חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך:

3072 · 7248

נצמצם ב־72:

3048

נצמצם ב־6 (30 : 6 = 5, 48 : 6 = 8):

3048 = 58

תשובה: 58

רושמים את הענפים

בשאלה נתונים מספרים עשרוניים. נעביר לשברים: 0.5 = 12, 0.3 = 310, 0.1 = 110.

מבחן I: הצליח P, נכשל 1 − P.

מבחן II (בכל צומת סכום הענפים 1, ולכן "נכשל" הוא המשלים, עם סוגריים):

בדיוק במבחן אחד = הצליח ואז נכשל או נכשל ואז הצליח:

P · (710 − P) + (1 − P)(P − 110)

= 940

פותחים סוגריים:

710P − P² + P − 110 − P² + 110P

= 940

מכנסים איברים: −P² − P² = −2P², 710P + P + 110P = 1810P:

−2P² + 1810P − 110 = 940

נכפול את שני האגפים ב־40 (1810 · 40 = 72, 110 · 40 = 4, 940 · 40 = 9):

−80P² + 72P − 4 = 9

נעביר אגפים ונכפול ב־(−1):

80P² − 72P + 13 = 0

נוסחת השורשים, עם a = 80, b = −72, c = 13:

b² − 4ac = 5184 − 4160 = 1024

√1024 = 32

P = 72 ± 32160

P₁ = 104160 = 1320

(נצמצם ב־8)

P₂ = 40160 = 14

(נצמצם ב־40)

נתון P > 12, ולכן P = 14 נפסל.

תשובה: P = 1320

העץ במספרים

מציבים P = 1320 (מכנה 20 לכולם):

• הצליח ב־I: 1320. נכשל ב־I: 1 − 1320 = 720.
• אחרי הצלחה: הצליח 1320 + 620 = 1920, נכשל 1420 − 1320 = 120.
• אחרי כישלון: הצליח 1320 − 220 = 1120, נכשל 2220 − 1320 = 920.

"ידוע" ← הסתברות מותנית. מה שידוע – הולך למכנה: הצליח לפחות באחד. נוח עם המשלים – 1 פחות "נכשל בשניהם":

P(נכשל בשניהם) = 720 · 920

= 63400

P(לפחות אחד) = 1 − 63400

= 400400 − 63400 = 337400

מה שרוצים – הולך למונה: התקבל = הצליח בשניהם (בסגול כהה):

P(שניהם) = 1320 · 1920 = 247400

P(התקבל | לפחות אחד)

= 247400337400

חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך:

247400 · 400337

נצמצם ב־400:

247337

אי אפשר לצמצם יותר.

תשובה: 247337

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההסתברות המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.