נוסחת ברנולי

נוסחת ברנולי פותרת כל שאלה שבה אותו ניסיון חוזר כמה פעמים: קובייה, יריות, שאלות במבחן אמריקאי. בעמוד הזה: הנוסחה עם (nk), מתי משתמשים בה, איך עונים על "בדיוק", "לפחות" ו"לכל היותר", ושלוש דוגמאות פתורות שלב אחר שלב – כולל מציאת p.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההסתברות המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.

לקורס ההסתברות המלא ←

בעמוד הזה:

  1. נוסחת ברנולי
  2. מתי משתמשים בברנולי
  3. דוגמה: קובייה 5 פעמים
  4. דוגמה: קלעית יורה 6 יריות
  5. דוגמה: מטבע לא הוגן – מוצאים את p
  6. טעויות נפוצות
  7. שאלות נפוצות

לפי נוסחת ברנולי

P(X = k) = (nk) · pk · (1 − p)n − k

  • n – מספר הניסיונות. k – כמה פעמים רוצים הצלחה.
  • p – ההסתברות להצלחה בניסיון אחד, 1 − p – לכישלון.
  • (nk) ("n מעל k") – בכמה סדרים שונים יכולות לצאת k ההצלחות. מחשבים במחשבון.

נוסחת ברנולי

נוסחת ברנולי עונה על השאלה: חוזרים על אותו ניסיון n פעמים, מה ההסתברות להצליח בדיוק k פעמים? כופלים שלושה דברים:

  • (nk) – מספר הסדרים. למשל (52) = 10: יש 10 דרכים לבחור באילו 2 הטלות מתוך 5 יצא 6.
  • pk – k הצלחות.
  • (1 − p)n − k – כל השאר כישלונות.

מתי משתמשים בנוסחת ברנולי

  • אותו ניסיון חוזר כמה פעמים (קובייה 5 פעמים, 6 יריות, 8 שאלות במבחן אמריקאי).
  • בכל ניסיון שתי אפשרויות: הצלחה או כישלון.
  • ההסתברות להצלחה זהה בכל ניסיון, והניסיונות בלתי תלויים (מאורעות בלתי תלויים).

"לפחות" ו"לכל היותר" – מחברים כמה פעמים את הנוסחה, או משתמשים במשלים: "לפחות פעם אחת" = 1 − P(X = 0).

דוגמה פתורה: קובייה 5 פעמים

השאלה (מדף התרגול "ברנולי" בקורס): מטילים קובייה הוגנת 5 פעמים.

הנתונים

הצלחה = לקבל 6. n = 5, p = 16, 1 − p = 56.

א. מה ההסתברות לקבל 6 בדיוק פעמיים?

לפי נוסחת ברנולי, k = 2:

P(X = 2) = (52) · (16)2 · (56)3

(52) = 10 (במחשבון), (16)2 = 136, (56)3 = 125216:

10 · 136 · 125216 = 12507776

נצמצם ב־2 (1250 : 2 = 625, 7776 : 2 = 3888):

12507776 = 6253888

תשובה: 6253888

ב. מה ההסתברות שלא יתקבל 6 אף פעם?

לפי נוסחת ברנולי, k = 0 (אפס הצלחות, 5 כישלונות):

P(X = 0) = (50) · (56)5

(50) = 1 (במחשבון), (56)5 = 31257776:

1 · 31257776 = 31257776

אי אפשר לצמצם.

תשובה: 31257776

ג. מה ההסתברות לקבל 6 לפחות פעם אחת?

"לפחות פעם אחת" = 1, 2, 3, 4 או 5 פעמים. עם המשלים זה קצר: 1 − P(X = 0):

P(X ≥ 1) = 1 − 31257776

= 77767776 − 31257776 = 46517776

תשובה: 46517776

דוגמה פתורה: קלעית יורה 6 יריות

השאלה (מדף התרגול "ברנולי" בקורס): קלעית פוגעת במטרה בהסתברות 0.7 בכל ירייה, ללא תלות ביריות האחרות. היא יורה 6 יריות.

הנתונים

בשאלה נתון 0.7. נעביר לשבר: 0.7 = 710.

n = 6, p = 710, 1 − p = 310.

כאן המונה והמכנה יוצאים ארוכים מאוד (המכנה הוא 1,000,000), ולכן אחרי ההצבה מחשבים במחשבון ועונים במספר עשרוני מקורב.

א. מה ההסתברות שתפגע בדיוק 4 פעמים?

לפי נוסחת ברנולי, k = 4. (64) = 15 (במחשבון):

P(X = 4)

= (64) · (710)4 · (310)2

במחשבון:

P(X = 4) ≈ 0.324

תשובה: ≈ 0.324

ב. מה ההסתברות שתפגע לפחות 5 פעמים?

"לפחות 5" = 5 או 6 פגיעות. כל אחת לפי נוסחת ברנולי ((65) = 6, (66) = 1), ומחברים:

P(X = 5) = (65) · (710)5 · 310

P(X = 6) = (66) · (710)6

מחברים ומחשבים במחשבון:

P(X ≥ 5) = P(X = 5) + P(X

= 6) ≈ 0.420

תשובה: ≈ 0.420

ג. מה ההסתברות שתפגע לכל היותר פעם אחת?

"לכל היותר פעם אחת" = 0 או 1 פגיעות ((60) = 1, (61) = 6):

P(X = 0) = (60) · (310)6

P(X = 1) = (61) · 710 · (310)5

מחברים ומחשבים במחשבון:

P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X

= 1) ≈ 0.011

תשובה: ≈ 0.011

דוגמה פתורה: מטבע לא הוגן – מוצאים את p

השאלה (מדף התרגול "ברנולי" בקורס): מטבע לא הוגן מוטל 3 פעמים. ההסתברות שלא יתקבל "עץ" אף פעם היא 0.064.

א. מה ההסתברות לקבל "עץ" בהטלה אחת?

נסמן ב־p את ההסתברות ל"עץ". בשאלה נתון 0.064. נעביר לשבר: 0.064 = 641000, ונצמצם ב־8: 641000 = 8125.

"אף פעם" = 3 כישלונות. לפי נוסחת ברנולי עם k = 0: (30) = 1, ולכן:

(1 − p)³ = 8125

נוציא שורש שלישי לשני האגפים (2³ = 8, 5³ = 125):

1 − p = 25

p = 1 − 25 = 55 − 25 = 35

תשובה: 35

ב. מה ההסתברות לקבל "עץ" בדיוק פעמיים ב־3 ההטלות?

מציבים p = 35, 1 − p = 25. לפי נוסחת ברנולי, n = 3, k = 2:

P(X = 2) = (32) · (35)2 · 25

(32) = 3 (במחשבון), (35)2 = 925:

3 · 925 · 25 = 54125

אי אפשר לצמצם.

תשובה: 54125

ג. מטילים את המטבע 4 פעמים. מה ההסתברות לקבל "עץ" לפחות 3 פעמים?

"לפחות 3" = 3 או 4 פעמים, עם n = 4:

P(X = 3) = (43) · (35)3 · 25

(43) = 4 (במחשבון), (35)3 = 27125:

4 · 27125 · 25 = 216625

P(X = 4) = (44) · (35)4

(44) = 1 (במחשבון), (35)4 = 81625:

1 · 81625 = 81625

216625 + 81625 = 297625

אי אפשר לצמצם.

תשובה: 297625

טעויות נפוצות

  • לשכוח את (nk). בלעדיו מחשבים רק סדר אחד, למשל רק "6 בשתי ההטלות הראשונות".
  • לבלבל בין p ל־1 − p: החזקה של p היא מספר ההצלחות, והחזקה של 1 − p היא מספר הכישלונות.
  • ב"לפחות" לחשב רק את הערך הראשון. "לפחות 5" מתוך 6 = 5 או 6.
  • להשתמש בברנולי כשההסתברות משתנה מניסיון לניסיון (בלי החזרה). אז צריך עץ.

שאלות נפוצות

מה זה (n מעל k) בנוסחת ברנולי?

זה מספר הסדרים שבהם יכולות לצאת k הצלחות מתוך n ניסיונות. למשל (52) = 10. מחשבים אותו במחשבון.

איך מחשבים "לפחות פעם אחת" בברנולי?

עם המשלים: 1 − P(X = 0). למשל בקובייה 5 פעמים: 1 − 31257776 = 46517776.

מתי אפשר להשתמש בנוסחת ברנולי?

כשאותו ניסיון חוזר n פעמים, יש בו רק הצלחה או כישלון, וההסתברות להצלחה זהה בכל פעם ולא תלויה בפעמים האחרות.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההסתברות המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.

לקורס ההסתברות המלא ←

עוד באתר

→ הקודם: עץ והסתברות מותנית – שאלת בגרות  |  הבא: מאורעות תלויים ובלתי תלויים ←

ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
האתר משתמש בעוגיות.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות