אינטגרל של פונקציה מורכבת
אינטגרל של סוגריים בחזקה, כמו (2x + 4)³, לא פותחים – יש נוסחה. כאן הנוסחה, מה זו הנגזרת הפנימית, 5 דוגמאות פתורות, ושאלת שטח מבגרות 2019 עם (x − 3)⁴.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס האינטגרלים המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.
בעמוד הזה:
אינטגרל של פונקציה מורכבת
∫(ax + b)ⁿ dx = (ax + b)ⁿ⁺¹a(n + 1) + c
הנוסחה לא בדף הנוסחאות – זוכרים בעל פה
הנוסחה
פונקציה מורכבת כאן היא סוגריים עם ביטוי של x בפנים, בחזקה – למשל (2x + 4)³. לא פותחים את הסוגריים: מעתיקים אותם, מוסיפים 1 לחזקה, ומחלקים בנגזרת הפנימית כפול החזקה החדשה. מספר שכופל את הסוגריים נשאר.
הנגזרת הפנימית
הנגזרת של מה שבתוך הסוגריים: של 2x + 4 היא 2, של x + 4 היא 1, ושל 6 − x היא −1. בנגזרת של פונקציה מורכבת כופלים בה; באינטגרל עושים את ההפך – מחלקים בה.
דוגמאות פתורות
דוגמה 1: ∫(x + 4)⁴ dx
פתרון שלב אחר שלב
מוסיפים 1 לחזקה (4 + 1 = 5). הנגזרת הפנימית 1:
= (x + 4)⁵1 · 5 = (x + 4)⁵5 + c
תשובה: (x + 4)⁵5 + c
דוגמה 2: ∫(2x + 4)³ dx
פתרון שלב אחר שלב
חזקה חדשה 4, נגזרת פנימית 2:
= (2x + 4)⁴2 · 4 = (2x + 4)⁴8 + c
תשובה: (2x + 4)⁴8 + c
דוגמה 3: ∫(3x − 5)⁵ dx
פתרון שלב אחר שלב
= (3x − 5)⁶3 · 6 = (3x − 5)⁶18 + c
תשובה: (3x − 5)⁶18 + c
דוגמה 4 (נגזרת פנימית שלילית): ∫(6 − x)⁴ dx
פתרון שלב אחר שלב
הנגזרת הפנימית של 6 − x היא −1:
= (6 − x)⁵−1 · 5 = (6 − x)⁵−5
את המינוס מוציאים לפני השבר:
תשובה: −(6 − x)⁵5 + c
דוגמה 5 (מספר שכופל): ∫2(2x − 3)³ dx
פתרון שלב אחר שלב
ה־2 נשאר. חזקה חדשה 4, נגזרת פנימית 2:
= 2 · (2x − 3)⁴2 · 4
נצמצם ב־2:
תשובה: (2x − 3)⁴4 + c
דוגמה מבגרות: שטח עם (x − 3)⁴
השאלה נפתרת בשיעור 17 בקורס (בגרות 2019). בסעיפים הקודמים מצאו: מינימום (3 , −16), חיתוך עם ציר x ב־(1 , 0) ו־(5 , 0), והמשיק בנקודה שבה x = 4 הוא y = 4x − 31.
נתונה f(x) = (x − 3)⁴ − 16. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, המשיק y = 4x − 31, ציר x וציר y.
פתרון שלב אחר שלב
מחלקים את השטח בקו x = 1.
S₁ (מ־0 עד 1): בין ציר x למשיק, שנמצא מתחת לציר – לכן ציר x פחות המשיק:
S₁ = ∫01 (0 − (4x − 31)) dx = ∫01 (31 − 4x) dx = (31x − 2x²)|01 = 29
S₂ (מ־1 עד 4): הפונקציה למעלה, המשיק למטה:
S₂ = ∫14 ((x − 3)⁴ − 16 − (4x − 31)) dx = ∫14 ((x − 3)⁴ − 4x + 15) dx
האינטגרל של הסוגריים לפי הנוסחה (נגזרת פנימית 1):
= ((x − 3)⁵5 − 2x² + 15x)|14
= (15 − 32 + 60) − (−325 − 2 + 15)
= (15 + 28) − (13 − 325) = 1415 − 335 = 1085
(בהמרה: 28 = 1405 , 13 = 655.) סך הכול:
S = 29 + 1085 = 1455 + 1085 = 2535
תשובה: S = 2535 (בשיעור: 5035)
טעויות נפוצות
- לפתוח את הסוגריים ((2x + 4)³) – ארוך ומועד לטעויות. משתמשים בנוסחה.
- לכפול בנגזרת הפנימית במקום לחלק (מבלבלים עם נגזרת).
- לשכוח שהנגזרת הפנימית של 6 − x היא −1.
- בהצבה של x = 1 לשכוח ש־(−2)⁵ = −32.
שאלות נפוצות
מה האינטגרל של (ax + b) בחזקת n?
(ax + b) בחזקת n+1, חלקי a כפול n+1, ועוד c.
צריך לפתוח את הסוגריים?
לא. מעתיקים את הסוגריים, מוסיפים 1 לחזקה ומחלקים בנגזרת הפנימית כפול החזקה החדשה.
הנוסחה מופיעה בדף הנוסחאות?
לא. צריך לזכור אותה בעל פה.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס האינטגרלים המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.
עוד באתר
- אינטגרל של פולינום
- אינטגרל של מנה – x במכנה
- שטח בין שני גרפים
- סיכום ונוסחאות – אינטגרלים
- עוד דוגמאות פתורות – אינטגרלים
- דוגמה פתורה – אינטגרל לעומת שטח
- בגרות 471 – כל הנושאים
→ הקודם: שטח בין שני גרפים | הבא: אינטגרל של מנה – x במכנה ←