אינטגרל של מנה – x במכנה
כשה־x נמצא במכנה, כמו 4/x² או 1/(x − 3)², קודם מעלים אותו למונה בעזרת חוקי חזקות ורק אז עושים אינטגרל. כאן הנוסחאות, 5 דוגמאות פתורות ושתי שאלות שטח מהקורס.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס האינטגרלים המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.
בעמוד הזה:
אינטגרל של מנה
1xⁿ = x−n
∫1xⁿ dx = ∫x−n dx = x−n+1−n + 1 + c
∫1(ax + b)ⁿ dx = (ax + b)−n+1a(−n + 1) + c
חוק החזקות שצריך
כשה־x נמצא במכנה, אי אפשר לעשות אינטגרל ישר. קודם מעלים את המכנה למונה – והחזקה מקבלת מינוס: 1x³ = x−3. אחר כך עושים אינטגרל רגיל: מוסיפים 1 לחזקה (השלילית) ומחלקים בחזקה החדשה. כשבמכנה יש סוגריים – מחלקים גם בנגזרת הפנימית, כמו באינטגרל של פונקציה מורכבת. הנוסחאות האלה לא בדף הנוסחאות.
4 שלבים
- מוציאים מספרים החוצה: 2x⁴ = 2 · 1x⁴ , 12x⁵ = 12 · 1x⁵.
- מעלים למונה (חזקה במינוס).
- מוסיפים 1 לחזקה ומחלקים בחזקה החדשה (ובסוגריים – גם בנגזרת הפנימית).
- מסדרים: מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה, ו־+ c. להחזיר למכנה – לא חובה.
דוגמאות פתורות
דוגמה 1: ∫1x³ dx
פתרון שלב אחר שלב
= ∫x−3 dx
מוסיפים 1 לחזקה: −3 + 1 = −2 , ומחלקים ב־−2:
= x−2−2 = −12x² + c
תשובה: −12x² + c
דוגמה 2: ∫2x⁴ dx
פתרון שלב אחר שלב
= ∫2x−4 dx = 2 · x−3−3 = −23x³ + c
תשובה: −23x³ + c
דוגמה 3: ∫12x⁵ dx
פתרון שלב אחר שלב
= ∫12 · x−5 dx = 12 · x−4−4
מונה כפול מונה ומכנה כפול מכנה:
= x−4−8 = −18x⁴ + c
תשובה: −18x⁴ + c
דוגמה 4 (סוגריים במכנה): ∫1(2x + 3)⁴ dx
פתרון שלב אחר שלב
= ∫(2x + 3)−4 dx
−4 + 1 = −3 , הנגזרת הפנימית 2:
= (2x + 3)−32 · (−3) = (2x + 3)−3−6 + c
תשובה: −16(2x + 3)³ + c
דוגמה 5: ∫2(2x + 2)³ dx
פתרון שלב אחר שלב
= ∫2 · (2x + 2)−3 dx = 2 · (2x + 2)−22 · (−2)
נצמצם ב־2:
= (2x + 2)−2−2 + c
תשובה: −12(2x + 2)² + c
שטח עם אינטגרל של מנה
דוגמה 6 (שאלה מעובדת מבגרות 2023, כמו בשיעור 19): חשבו את השטח בין גרף f(x) = x + 4x² , הישרים x = 1 , x = 2 וציר x.
פתרון שלב אחר שלב
הפונקציה מעל ציר x בתחום. ∫4x² = 4∫x−2 = 4 · x−1−1 = −4x:
∫12 (x + 4x²) dx = (x²2 − 4x)|12
= (42 − 42) − (12 − 4) = 0 − (−72) = 72
תשובה: S = 72 (בשיעור: 3.5)
דוגמה 7 (בגרות 481, 2018 מועד א – שיעור 21): f(x) = 1(x − 3)² + 4. חשבו את השטח בין הגרף, ציר x והישרים x = 4 , x = 5.
פתרון שלב אחר שלב
∫45 ((x − 3)−2 + 4) dx = ((x − 3)−1−1 + 4x)|45 = (−1x − 3 + 4x)|45
= (−12 + 20) − (−1 + 16) = 392 − 15 = 392 − 302 = 92
תשובה: S = 92 (בשיעור: 4.5)
המשך השאלה הזו – מה קורה לשטח כשמורידים את הגרף 4 יחידות – בעמוד שטח אחרי הזזה של גרף.
טעויות נפוצות
- לעשות אינטגרל ל־1x³ בלי להעלות למונה ולקבל 1x⁴.
- לשכוח ש־−3 + 1 = −2 (ולא −4).
- בסוגריים במכנה – לשכוח לחלק בנגזרת הפנימית.
שאלות נפוצות
איך עושים אינטגרל כשה־x במכנה?
מעלים את המכנה למונה עם חזקה שלילית (1/xⁿ = x⁻ⁿ), ואז מוסיפים 1 לחזקה ומחלקים בחזקה החדשה.
מה האינטגרל של 1 חלקי x בריבוע?
∫x⁻²dx = x⁻¹/(−1) = −1/x + c.
מה עושים כשבמכנה יש סוגריים בחזקה?
מעלים למונה, ואז לפי נוסחת הפונקציה המורכבת: מחלקים גם בנגזרת הפנימית.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס האינטגרלים המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.
עוד באתר
- אינטגרל של פונקציה מורכבת
- שטח אחרי הזזה של גרף
- חישוב שטח בין גרף לציר x
- סיכום ונוסחאות – אינטגרלים
- עוד דוגמאות פתורות – אינטגרלים
- דוגמה פתורה – אינטגרל לעומת שטח
- בגרות 471 – כל הנושאים
→ הקודם: אינטגרל של פונקציה מורכבת | הבא: שטח אחרי הזזה של גרף ←
