מהו אינטגרל – אינטגרל של פולינום
אינטגרל הוא ההפך מנגזרת. בבגרות 471 משתמשים בו כדי למצוא פונקציה מתוך הנגזרת וכדי לחשב שטחים. כאן הנוסחה, 4 שלבים ו־6 דוגמאות פתורות של אינטגרל של פולינום מהשיעור הראשון בקורס.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס האינטגרלים המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.
בעמוד הזה:
אינטגרל של חזקה
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + c
מוסיפים 1 למעריך ומחלקים במעריך החדש · ∫a dx = ax
מהו אינטגרל
אינטגרל הוא הפעולה ההפוכה לנגזרת: חוזרים מהנגזרת אל הפונקציה. הנגזרת של 2x היא 2, ולכן האינטגרל של 2 הוא 2x. מסמנים ∫2 dx – את ה־dx תמיד רושמים.
למה מוסיפים c? הנגזרת של 2x + 3 היא 2 – המספר 3 "נעלם" בגזירה. כשחוזרים אחורה אי אפשר לדעת מה היה המספר, ולכן כותבים ∫2 dx = 2x + c. איך מוצאים את c בעזרת נקודה – בעמוד מציאת פונקציה קדומה.
הנוסחה
- חזקה של x: מוסיפים 1 למעריך ומחלקים במעריך החדש.
- מספר לבד: מוסיפים לו x: ∫8 dx = 8x.
- מספר שכופל: נשאר. ∫axⁿ dx = a · xⁿ⁺¹n + 1.
- שבר עם מספר במכנה: כותבים אותו ככפל, למשל x³3 = 13 · x³.
4 שלבים לאינטגרל של פולינום
- מפרקים לאיברים – אינטגרל לכל איבר בנפרד.
- בכל חזקה של x: מוסיפים 1 למעריך ומחלקים במעריך החדש.
- מספר לבד מקבל x.
- מוסיפים + c ובודקים: גוזרים את התשובה ומקבלים את מה שבתוך האינטגרל.
דוגמאות פתורות
דוגמה 1: חשבו ∫x dx ו־∫x² dx
פתרון שלב אחר שלב
ל־x כאילו כתוב חזקה 1. מוסיפים 1 (1 + 1 = 2) ומחלקים ב־2:
∫x dx = x²2 + c
בדיקה: (x²2)′ = 2x2 = x ✓. באותו אופן (2 + 1 = 3):
∫x² dx = x³3 + c
תשובה: x²2 + c , x³3 + c
דוגמה 2: חשבו ∫(x³ + 8) dx
פתרון שלב אחר שלב
אינטגרל לכל איבר: x³ ⇐ x⁴4 ; 8 ⇐ 8x:
∫(x³ + 8) dx = x⁴4 + 8x + c
תשובה: x⁴4 + 8x + c
דוגמה 3: חשבו ∫(−5x² + 2x + 3) dx
פתרון שלב אחר שלב
המספר שכופל את x נשאר:
∫−5x² dx = −5 · x³3
∫2x dx = 2 · x²2 = x²
(נצמצם ב־2.)
∫3 dx = 3x
תשובה: −5x³3 + x² + 3x + c
דוגמה 4: חשבו ∫2x³ dx
פתרון שלב אחר שלב
ה־2 נשאר, ולחזקה מוסיפים 1 (3 + 1 = 4):
∫2x³ dx = 2x⁴4 + c
נצמצם ב־2:
תשובה: x⁴2 + c
דוגמה 5: חשבו ∫x³3 dx
פתרון שלב אחר שלב
נוח לכתוב x³3 בתור 13 · x³:
∫13 · x³ dx = 13 · x⁴4
מונה כפול מונה ומכנה כפול מכנה:
תשובה: x⁴12 + c
דוגמה 6: חשבו ∫(x²2 − 4x) dx
פתרון שלב אחר שלב
∫(12 · x² − 4x) dx = 12 · x³3 − 4 · x²2
מכנה כפול מכנה: 2 · 3 = 6. ובאיבר השני נצמצם ב־2: 42 = 2:
תשובה: x³6 − 2x² + c
אחרי שיודעים לעשות אינטגרל, משתמשים בו לחישוב שטחים: חישוב שטח בין גרף לציר x.
טעויות נפוצות
- לשכוח את + c באינטגרל בלי גבולות.
- לחלק במעריך הישן במקום בחדש: ∫x² dx הוא x³3 ולא x³2.
- לכתוב ∫8 dx = 0 (מבלבלים עם נגזרת). אינטגרל של מספר מוסיף x.
- לפתוח שבר לא נכון: x³3 הוא 13 · x³.
שאלות נפוצות
מהו אינטגרל?
הפעולה ההפוכה לנגזרת: מוצאים פונקציה שהנגזרת שלה היא מה שבתוך האינטגרל.
מה האינטגרל של x בחזקת n?
x בחזקת n+1 חלקי n+1, ועוד c. מוסיפים 1 למעריך ומחלקים במעריך החדש.
למה מוסיפים c באינטגרל?
כי מספר קבוע נעלם בגזירה, ולכן כשחוזרים אחורה לא יודעים מה היה. c מייצג את המספר הזה.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס האינטגרלים המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.