בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · שאלות לפי נושא
שאלות בגרות 571 לפי נושא – חקירת פונקציות טריגונומטריות
כל השאלות בנושא חקירת פונקציות טריגונומטריות מבחינות הבגרות בשאלון 571, מהבחינה החדשה ביותר אחורה. חקירת פונקציה טריגונומטרית בתחום נתון: נקודות קיצון, עלייה וירידה, סקיצה ושטח. בכל שאלה: הנוסח המלא, ומתחתיו פתרון מלא שלב אחר שלב.
📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 571 לפי נושא
16 שאלות פתורות: 16 מבחינות 571 של 2021–2026, מהחדשה לישנה. לוחצים על מועד ועוברים ישר לשאלה. כל שאלה פתורה עד הסוף, שלב אחר שלב, והנוסחה בצד.
ליד כל מועד כתוב מה יש בשאלה: פרמטר · שטח · אינטגרל · הזזות · גרף נגזרת
שאלון 571 – כל המועדים
קיץ 2026 ב · פרמטרקיץ 2026 א · פרמטר · הזזותחורף 2026 · פרמטר · הזזותקיץ 2025 בקיץ 2025 א · הזזותחורף 2025 · פרמטר · הזזותקיץ 2024 ב · פרמטר · שטח · גרף נגזרתקיץ 2024 א · פרמטר · שטח · הזזותחורף 2024 · פרמטר · אינטגרלקיץ 2023 מיוחדחורף 2023 · שטח · גרף נגזרתקיץ 2022 ב · אינטגרלקיץ 2022 א · שטחחורף 2022 נבצריםקיץ 2021 מיוחד · פרמטרקיץ 2021 ב · הזזות
📅 קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 7 פרמטר
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = (sin x)2 · cos(2x), המוגדרת בתחום −π4 ≤ x ≤ π4.
א. הוכיחו כי הפונקציה f(x) היא זוגית.
ב. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.
ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
פונקציית הנגזרת f'(x) מוגדרת בתחום −π4 ≤ x ≤ π4. נתונה הפונקציה g(x) = √a · f'(x). a הוא פרמטר שלילי.
ד. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x). (2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־x.
נתון כי לפונקציה f(x) יש נקודת פיתול אחת בלבד בתחום ההגדרה של הפונקציה g(x).
ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
✏️ פתרון שאלה 7
סעיף א – הוכחה ש־f(x) זוגית
התחום −π4 ≤ x ≤ π4 סימטרי סביב 0. צריך להראות ש־f(−x) = f(x):📐 פונקציה זוגיתf(−x) = f(x)לכל x בתחום (תחום סימטרי)
f(−x)📐 זהויות של זווית נגדיתsin(−x) = −sin xcos(−x) = cos x
= (sin(−x))2 · cos(−2x)
f(−x)
= (−sin x)2 · cos(2x)
f(−x) = (sin x)2 · cos(2x)
f(−x) = f(x)
✅ פתרון סופי: הפונקציה זוגית ∎
סעיף ב – נקודות קיצון
נגזור לפי כלל המכפלה, עם u = (sin x)2 ו־v = cos(2x):
u' = 2 sin x · cos x📐 נגזרת של פונקציה מורכבת[(h(x))2]' = 2h(x) · h'(x)sin(2x) = 2 sinx cosx
= sin(2x)
v' = −sin(2x) · 2📐 נגזרת של cos[cos(kx)]' = −k sin(kx)
= −2sin(2x)
f'(x)📐 נגזרת של מכפלה(u · v)' = u'v + uv'
= sin(2x) · cos(2x)
+ (sin x)2 · (−2sin(2x))
נוציא גורם משותף sin(2x):
f'(x)
= sin(2x) · [cos(2x)
− 2sin2x]
f'(x)📐 קוסינוס של זווית כפולהcos(2x) = 1 − 2sin2x
= sin(2x) · [1 − 2sin2x
− 2sin2x]
f'(x)
= sin(2x) · (1 − 4sin2x)
נשווה ל־0:
אפשרות 1: sin(2x) = 0. בתחום שלנו −π2 ≤ 2x ≤ π2, ולכן רק 2x = 0, כלומר x = 0.
אפשרות 2:
1 − 4sin2x = 0
sin2x = 14
sin x = 12
או
sin x = −12
x = π6 או x = −π6
(בתחום −π4 ≤ x ≤ π4 אלה הפתרונות היחידים.)
טבלת סימן הנגזרת. נציב נקודות בדיקה, למשל x = π12: sinπ6 > 0, sin2π12 ≈ 0.067 < 14 ⇐ f' > 0. ו־x = 0.7: sin 1.4 > 0, sin20.7 ≈ 0.415 > 14 ⇐ f' < 0. בצד השלילי הסימנים הפוכים (הנגזרת של פונקציה זוגית היא אי־זוגית):
| x | −π/4 | (−π/4 , −π/6) | −π/6 | (−π/6 , 0) | 0 | (0 , π/6) | π/6 | (π/6 , π/4) | π/4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | − | 0 | + | 0 | − | ||
| f(x) | קצה | ↗ | מקס. | ↘ | מינ. | ↗ | מקס. | ↘ | קצה |
שיעורי ה־y:
f(0) = 0 · cos 0 = 0
f(π6) = (sinπ6)2 · cosπ3
= (12)2 · 12 = 18
הפונקציה זוגית, ולכן:
f(−π6) = f(π6) = 18
f(π4) = (sinπ4)2 · cosπ2
= 12 · 0 = 0 = f(−π4)
בקצות התחום הפונקציה יורדת אל הקצה הימני ועולה מהקצה השמאלי, ולכן שתי נקודות הקצה הן נקודות מינימום (קצה).
✅ פתרון סופי: מקסימום: (−π6 , 18), (π6 , 18); מינימום: (0 , 0); מינימום בקצוות: (−π4 , 0), (π4 , 0)
סעיף ג – סקיצה של f(x)
הגרף סימטרי סביב ציר ה־y (זוגית). מתחיל ב־(−π4 , 0), עולה למקסימום (−π6 , 18), יורד למינימום (0 , 0), עולה למקסימום (π6 , 18) ויורד ל־(π4 , 0).
✅ פתרון סופי: סקיצה בצורת M – שני מקסימומים בגובה ⅛ ומינימום בראשית
סעיף ד (1) – תחום ההגדרה של g(x)
שורש מוגדר כאשר הביטוי שבתוכו אינו שלילי:📐 תחום הגדרה של שורש√A מוגדר כאשר A ≥ 0
a · f'(x) ≥ 0
a < 0, ולכן נחלק ב־a ונהפוך את כיוון אי־השוויון:
f'(x) ≤ 0
מטבלת הסימן בסעיף ב: f'(x) ≤ 0 בתחום −π6 ≤ x ≤ 0 ובתחום π6 ≤ x ≤ π4.
✅ פתרון סופי: −π6 ≤ x ≤ 0 או π6 ≤ x ≤ π4
סעיף ד (2) – חיתוך של g(x) עם ציר ה־x
g(x) = 0
⇒ a · f'(x) = 0
⇒ f'(x) = 0
מסעיף ב: f'(x) = 0 ב־x = −π6, x = 0, x = π6 – כולן בתחום של g.
בקצה x = π4:
f'(π4)
= sinπ2 · (1 − 4 · 12)
= 1 · (−1) = −1 ≠ 0
ולכן שם אין חיתוך.
✅ פתרון סופי: (−π6 , 0) , (0 , 0) , (π6 , 0)
סעיף ה – סקיצה של g(x)
נקודת פיתול של f היא נקודה שבה ל־f' יש נקודת קיצון.
בתחום −π6 ≤ x ≤ 0: f' שווה ל־0 בשני הקצוות ושלילית בפנים, ולכן יש לה שם נקודת מינימום – זו נקודת פיתול של f.
נתון שיש רק נקודת פיתול אחת בתחום של g, ולכן בתחום π6 ≤ x ≤ π4 אין ל־f' קיצון: היא יורדת בהתמדה מ־f'(π6) = 0 עד f'(π4) = −1.
כש־a < 0, הביטוי a · f'(x) מתנהג הפוך ל־f'(x), והשורש שומר על כיוון העלייה/הירידה:
• ב־−π6 ≤ x ≤ 0: g עולה מ־0 למקסימום (בנקודת הפיתול של f) ויורדת חזרה ל־0.
• ב־π6 ≤ x ≤ π4: g עולה מ־0 עד הקצה:
g(π4) = √a · (−1) = √−a
(השרטוט בקנה מידה בעבור a = −1; לכל a שלילי הצורה זהה, רק הגובה משתנה.)
✅ פתרון סופי: "גבעה" בין (−π6 , 0) ל־(0 , 0), ועלייה מ־(π6 , 0) עד (π4 , √−a)
📌 סיכום התשובות – שאלה 7
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | מקס. (±π6 , 18) מינ. (0 , 0), (±π4 , 0) (קצה) |
| סעיף ג | סקיצה |
| סעיף ד (1) | −π6 ≤ x ≤ 0 π6 ≤ x ≤ π4 |
| סעיף ד (2) | (−π6 , 0), (0 , 0), (π6 , 0) |
| סעיף ה | סקיצה |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 39 – סעיף חשיבה עם שורש ותחום הגדרה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 7 פרמטר · הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = (1 + cos x) · (−1 + b cos x), המוגדרת בתחום −π ≤ x ≤ π. b הוא פרמטר.
נתון: 0 < b < 1.
א. האם הפונקציה f(x) היא זוגית או אי־זוגית? נמקו את תשובתכם.
ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x.
נתון כי לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון בנקודה שבה x = π3.
ג. מצאו את הערך של b.
הציבו b = 12 בפונקציה f(x), וענו על הסעיפים ד–ה.
ד. (1) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.
(2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נתונה הפונקציה h(x) = f(x) + |f(x)|, המוגדרת בתחום −π ≤ x ≤ π. נקודה A היא נקודה כלשהי הנמצאת על גרף הפונקציה h(x).
ה. האם שיעור ה־y של נקודה A הוא חיובי, שלילי, שווה אפס או שאי אפשר לקבוע? נמקו את תשובתכם.
✏️ פתרון שאלה 7
סעיף א – זוגית או אי־זוגית
התחום −π ≤ x ≤ π סימטרי סביב 0. נבדוק את f(−x):📐 הגדרהפונקציה זוגית – f(−x) = f(x) לכל x בתחום
f(−x) = (1 + cos(−x)) · (−1📐 נוסחה: cos היא פונקציה זוגיתcos(−x) = cos x
+ b cos(−x))
f(−x) = (1 + cos x) · (−1
+ b cos x) = f(x)
לכן הפונקציה זוגית (הגרף שלה סימטרי ביחס לציר ה־y).
✅ פתרון סופי: הפונקציה זוגית
סעיף ב – נקודות חיתוך עם ציר ה־x
נקודות חיתוך עם ציר ה־x: f(x) = 0. מכפלה שווה לאפס כשאחד הגורמים שווה לאפס:
גורם ראשון:
1 + cos x = 0
cos x = −1
x = π + 2πk📐 נוסחה: פתרון המשוואה cos x = −1x = π + 2πk
בתחום −π ≤ x ≤ π: x = π (k = 0) ו־x = −π (k = −1).
גורם שני:
−1 + b cos x = 0
cos x = 1b
0 < b < 1, ולכן 1b > 1. אבל −1 ≤ cos x ≤ 1, ולכן לגורם השני אין פתרון.
✅ פתרון סופי: (−π , 0) ו־(π , 0)
סעיף ג – הערך של b
נגזור לפי נגזרת של מכפלה:
f′(x) = (1 + cos x)′ · (−1📐 נוסחה: נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′
+ b cos x) + (1 + cos x) · (−1
+ b cos x)′
f′(x) = −sin x · (−1 + b cos x)📐 נוסחה: נגזרת של cos(cos x)′ = −sin x
+ (1 + cos x) · (−b sin x)
f′(x) = sin x − b sin x cos x
− b sin x − b sin x cos x
f′(x) = sin x − b sin x
− 2b sin x cos x
f′(x)
= sin x · (1 − b − 2b cos x)
בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת: f′(π3) = 0.
sinπ3 · (1 − b − 2b cosπ3) = 0
sinπ3 = √32 ≠ 0, ולכן הסוגריים מתאפסים. נציב cosπ3 = 12:
1 − b − 2b · 12 = 0
1 − b − b = 0
1 − 2b = 0
b = 12
בסעיף ד נראה שהנגזרת אכן מחליפה סימן ב־x = π3 (מינימום), כלומר זו באמת נקודת קיצון ✓
✅ פתרון סופי: b = 12
סעיף ד – נקודות קיצון וסקיצה
(1) נקודות קיצון
נציב b = 12 בנגזרת מסעיף ג:
f′(x) = sin x · (1 − 12 − 2
· 12 cos x)
f′(x) = sin x · (12 − cos x)
נשווה לאפס:
אפשרות 1: sin x = 0 ⇐ בתחום: x = −π , x = 0 , x = π.
אפשרות 2: 12 − cos x = 0 ⇐ cos x = 12
x = ±π3 + 2πk📐 נוסחה: פתרון משוואה טריגונומטריתcos x = cos t ⇐ x = ±t + 2πk
בתחום: x = π3 ו־x = −π3.
נחשב ערכי y (עם b = 12):
f(0) = (1 + 1) · (−1 + 12)
= 2 · (−12) = −1
f(±π3) = (1 + 12) · (−1 + 12 · 12)
= 32 · (−34) = −98
f(±π) = (1 − 1) · (−1 − 12) = 0
טבלת סימן הנגזרת:
בכל תחום בודקים נקודה אחת: x = −π2, x = −π6, x = π6, x = π2.
| תחום | sin x | 12 − cos x | f′ | f |
|---|---|---|---|---|
| −π < x < −π3 | − | + | − | יורדת |
| −π3 < x < 0 | − | − | + | עולה |
| 0 < x < π3 | + | − | − | יורדת |
| π3 < x < π | + | + | + | עולה |
לפי שינוי הסימן של הנגזרת (ובקצוות התחום – לפי אם הפונקציה עולה או יורדת לידם):📐 משפטנקודת קיצון לפי הנגזרת – f′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימום; מפלוס למינוס ← מקסימום
מקסימום בקצה התחום (אחריו הפונקציה יורדת): (−π , 0)
מינימום: (−π3 , −98)
מקסימום: (0 , −1)
מינימום: (π3 , −98)
מקסימום בקצה התחום (לפניו הפונקציה עולה): (π , 0)
התוצאה מתאימה לכך שהפונקציה זוגית (סעיף א): הנקודות סימטריות ביחס לציר ה־y.
✅ פתרון סופי: מקסימום (0 , −1); מינימום (±π3 , −98); מקסימום בקצוות (±π , 0)
(2) סקיצה
לפי טבלת העלייה והירידה ונקודות הקיצון, הגרף בקנה מידה:
✅ פתרון סופי: סקיצה – הגרף כולו מתחת לציר ה־x, נוגע בו רק ב־x = ±π
סעיף ה – שיעור ה־y של נקודה A
נבדוק את הסימן של הפונקציה (עם b = 12):
f(x)
= (1 + cos x) · (−1 + 12cos x)
הגורם הראשון: cos x ≥ −1, ולכן 1 + cos x ≥ 0.
הגורם השני: cos x ≤ 1, ולכן −1 + 12cos x ≤ −1 + 12 = −12 < 0.
מכפלה של מספר אי־שלילי במספר שלילי היא אפס או שלילית, ולכן f(x) ≤ 0 לכל x בתחום (רואים זאת גם בסקיצה – הגרף כולו מתחת לציר ה־x או עליו).
|f(x)| = −f(x)📐 נוסחה: ערך מוחלט של מספר שלילי או אפס|t| = −t כאשר t ≤ 0
h(x) = f(x) + |f(x)|
= f(x) − f(x) = 0
כלומר h(x) = 0 לכל x בתחום, והגרף של h הוא קטע על ציר ה־x. לכן לכל נקודה A על הגרף שיעור ה־y הוא אפס.
✅ פתרון סופי: שיעור ה־y של A שווה אפס
📌 סיכום התשובות – שאלה 7
| סעיף א | זוגית |
|---|---|
| סעיף ב | (±π , 0) |
| סעיף ג | b = 12 |
| סעיף ד (1) | מקסימום (0 , −1), (±π , 0); מינימום (±π3 , −98) |
| סעיף ד (2) | סקיצה |
| סעיף ה | אפס |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – הגדרת פונקציה זוגית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2026, שאלה 7 פרמטר · הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = (sin x)2 + cos x − 1, המוגדרת בתחום −π ≤ x ≤ π.
א. הוכיחו כי הפונקציה f(x) היא זוגית.
ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x.
(2) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.
ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נתונה הפונקציה g(x) = 1f(x) + b, b הוא פרמטר.
נתון כי לפונקציה g(x) יש בדיוק שתי אסימפטוטות אנכיות.
ד. כתבו שני ערכים אפשריים של b, שאחד מהם חיובי והאחר שלילי.
הציבו בפונקציה g(x) את הערך השלילי של b שמצאתם, וענו על הסעיפים ה–ו.
ה. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x).
(2) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה g(x), וקבעו את סוגן.
ו. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
✏️ פתרון שאלה 7
סעיף א – הפונקציה זוגית
התחום −π ≤ x ≤ π סימטרי סביב 0. נציב −x:
f(−x)📐 זוגיות ואי־זוגיותsin(−x) = −sin xcos(−x) = cos x
= (sin(−x))2 + cos(−x)
− 1
= (−sin x)2 + cos x − 1
= (sin x)2 + cos x − 1
= f(x)
📐 פונקציה זוגיתf(−x) = f(x) לכל x בתחום
✅ פתרון סופי: f(−x) = f(x) – הפונקציה זוגית
סעיף ב (1) – חיתוך עם ציר ה־x
נחליף (sin x)2 בעזרת הזהות היסודית:
f(x)📐 זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
= 1 − cos2x + cos x − 1
f(x) = cos x − cos2x
= cos x(1 − cos x)
cos x(1 − cos x) = 0
cos x = 0 ⟸ x = ±π2
cos x = 1 ⟸ x = 0
(בתחום −π ≤ x ≤ π אלה כל הפתרונות.)
✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (−π2 , 0) , (π2 , 0)
סעיף ב (2) – נקודות הקיצון
f′(x)📐 נגזרת של חזקה של פונקציה[(g(x))2]′ = 2g(x) · g′(x)📐 נגזרות(sin x)′ = cos x(cos x)′ = −sin x
= 2 sin x · cos x − sin x
f′(x) = sin x(2cos x − 1)
sin x = 0 ⟸ x
= −π , 0 , π
2cos x − 1 = 0 ⟸ cos x
= 12 ⟸ x = ±π3
הפונקציה זוגית, ולכן מספיק לבדוק 0 ≤ x ≤ π (ואז לשקף):
| x | 0 | 0 < x < π3 | π3 | π3 < x < π | π |
|---|---|---|---|---|---|
| sin x | 0 | + | + | + | 0 |
| 2cos x − 1 | + | + | 0 | − | |
| f′(x) | 0 | + | 0 | − | 0 |
| f(x) | מינימום | ↗ | מקסימום | ↘ | קצה |
שיעורי y:
f(0) = 0 + 1 − 1 = 0
f(π3) = (√32)2 + 12 − 1
= 34 − 12 = 14
f(π) = 0 + (−1) − 1 = −2
בקצה x = π הפונקציה מגיעה בירידה, ולכן זה מינימום קצה. לפי הזוגיות – אותו דבר ב־−π3 וב־−π.
✅ פתרון סופי: מינימום (0 , 0) ; מקסימום (±π3 , 14) ; מינימום (קצה) (±π , −2)
סעיף ג – סקיצה של f
מ־(−π , −2) עולה עד (−π3 , 14), יורדת עד (0 , 0), עולה עד (π3 , 14) ויורדת עד (π , −2). חותכת את ציר ה־x ב־±π2 ונוגעת בו ב־0. הגרף בקנה מידה:
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
סעיף ד – ערכים של b
אסימפטוטה אנכית של g היא נקודה שבה המכנה מתאפס:
f(x) + b = 0 ⟸ f(x)
= −b
צריך שהישר האופקי y = −b יחתוך את הגרף של f (סעיף ג) בדיוק בשתי נקודות. לפי הסקיצה:
• −b = 14: הישר נוגע בשתי נקודות המקסימום – שתי נקודות. כלומר b = −14 (שלילי).
• −2 ≤ −b < 0: הישר חותך כל "צד" של הגרף פעם אחת – שתי נקודות. כלומר 0 < b ≤ 2 (חיובי), למשל b = 1.
• 0 < −b < 14: ארבע נקודות; −b = 0: שלוש נקודות – לא מתאים.
✅ פתרון סופי: שלילי: b = −14 ; חיובי: למשל b = 1 (כל 0 < b ≤ 2)
סעיף ה (1) – תחום ההגדרה של g
עם b = −14: g(x) = 1f(x) − 14. המכנה מתאפס כש־f(x) = 14, כלומר בנקודות המקסימום:
x ≠ ±π3
✅ פתרון סופי: −π ≤ x < −π3 , −π3 < x < π3 , π3 < x ≤ π
סעיף ה (2) – נקודות הקיצון של g
קוראים מהסקיצה של f (סעיף ג). נסמן את המכנה:
u(x) = f(x) − 14📐 הזזה אנכיתf(x) − c : הגרף זז c יחידות למטה
הגרף של u הוא הגרף של f מוזז ב־14 למטה: המקסימום 14 הופך ל־0, ולכן u ≤ 0, ו־u = 0 רק ב־x = ±π3 (שם g לא מוגדרת).
ל־g = 1u: כש־u עולה – g יורדת, וכש־u יורדת – g עולה.📐 הפונקציה 1 חלקי uבתחום שבו u לא מחליפה סימן: עלייה וירידה מתחלפות, ומינימום של u הופך למקסימום של 1u
בתחום 0 ≤ x ≤ π (ואחר כך לפי הזוגיות):
• 0 < x < π3: f עולה, ולכן g יורדת (אל −∞).
• π3 < x < π: f יורדת, ולכן g עולה (מ־−∞) עד הקצה.
ב־x = 0 יש ל־f מינימום, ולכן ל־g מקסימום:
g(0) = 10 − 14 = −4
ב־x = π g מגיעה בעלייה לקצה – מקסימום קצה:
g(π) = 1−2 − 14 = −49
לפי הזוגיות, גם (−π , −49) מקסימום קצה.
✅ פתרון סופי: מקסימום (0 , −4) ; מקסימום (קצה) (±π , −49)
סעיף ו – סקיצה של g
הגרף כולו מתחת לציר ה־x (כי f(x) − 14 ≤ 0). אסימפטוטות אנכיות x = ±π3, שם g → −∞.
מ־(−π , −49) יורדת אל −∞; בין ±π3 עולה מ־−∞ עד (0 , −4) ויורדת שוב; מימין עולה מ־−∞ עד (π , −49). הגרף בקנה מידה:
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
📌 סיכום התשובות – שאלה 7
| סעיף ב (1) | (0 , 0) , (±π2 , 0) |
|---|---|
| סעיף ב (2) | מקס׳ (±π3 , 14) מינ׳ (0 , 0) מינ׳ קצה (±π , −2) |
| סעיף ד | b = −14 ; 0 < b ≤ 2 |
| סעיף ה (1) | x ≠ ±π3 |
| סעיף ה (2) | מקס׳ (0 , −4) מקס׳ קצה (±π , −49) |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 7
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 2cos x + 1cos x, בתחום −π2 ≤ x ≤ π2.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לציר ה־x של הפונקציה f(x).
ב. קבעו אם הפונקציה f(x) היא זוגית או אי־זוגית. נמקו את קביעתכם.
ג. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.
ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נתונה הפונקציה g(x) = 2cos x + 2sin xsin(2x), בתחום −π2 ≤ x ≤ π2.
ה. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x). (2) הראו כי g(x) = 2cos x + 1cos x בעבור כל x בתחום הגדרתה.
ו. האם קיים ערך של k שבעבורו הישר y = k חותך את גרף הפונקציה g(x) ב־3 נקודות בדיוק? אם כן – מצאו אותו. אם לא – נמקו את תשובתכם.
✏️ פתרון שאלה 7
סעיף א – תחום הגדרה ואסימפטוטות
המכנה cos x לא יכול להיות 0. בתחום הנתון cos x = 0 רק ב־x = ±π2.
תחום ההגדרה:
−π2 < x < π2
ב־x = ±π2 המכנה מתאפס והמונה 1, ולכן אלה אסימפטוטות אנכיות.📐 משפטאסימפטוטה אנכית – המכנה מתאפס והמונה שונה מ־0
x = π2 , x = −π2
✅ פתרון סופי: תחום: −π2 < x < π2; אסימפטוטות: x = ±π2
סעיף ב – זוגיות
f(−x) = 2cos(−x) + 1cos(−x)📐 נוסחה: זוגיות של coscos(−x) = cos x
= 2cos x + 1cos x = f(x)
גם התחום סימטרי סביב 0, ולכן f זוגית.
✅ פתרון סופי: f זוגית
סעיף ג – נקודות קיצון
f′(x) = −2sin x + sin xcos2x📐 נוסחה: נגזרת של מנה / שרשרת(1u)′ = −u′u2 , (cos x)′ = −sin x
f′(x) = sin x · (1cos2x − 2)
= sin x (1 − 2cos2x)cos2x
נשווה ל־0:
sin x = 0 ⇐ x = 0
1 − 2cos2x = 0 ⇐ cos2x = 12
cos x = 1√2 (בתחום cos x > 0)
⇐ x = ±π4
f(0) = 2 · 1 + 1 = 3
f(π4) = 2 · √22 + 1(√2/2)
= √2 + √2 = 2√2
טבלת סימנים ל־x > 0: בין 0 ל־π4: sin x > 0, cos2x > 12 ולכן 1 − 2cos2x < 0, f′ < 0 – יורדת. בין π4 ל־π2: 1 − 2cos2x > 0, f′ > 0 – עולה.
לכן ב־x = π4 מינימום, וב־x = 0 (מעבר מעלייה לירידה, לפי הסימטרייה) מקסימום. מהזוגיות, גם ב־x = −π4 מינימום.
✅ פתרון סופי: מינימום (±π4 , 2√2), מקסימום (0 , 3)
סעיף ד – סקיצה
גרף סימטרי ביחס לציר ה־y: עולה ל־+∞ ליד שתי האסימפטוטות (cos x → 0+), שתי נקודות מינימום ב־(±π4 , 2√2) ומקסימום ב־(0 , 3).
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ה – הפונקציה g
גם כאן התחום הוא −π2 ≤ x ≤ π2, והמכנה sin(2x) לא יכול להיות 0:
sin(2x) = 0 ⇐ 2x = πk ⇐ x = πk2
בתחום: x = 0 , x = ±π2
תחום ההגדרה:
−π2 < x < 0 או 0 < x < π2
2sin xsin(2x) = 2sin x2sin x cos x = 1cos x📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2sin x cos x
הצמצום מותר כי בתחום ההגדרה sin x ≠ 0. לכן g(x) = 2cos x + 1cos x בכל תחום ההגדרה של g.
✅ פתרון סופי: תחום: −π2 < x < 0 או 0 < x < π2; הוכח ש־g(x) = 2cos x + 1cos x
סעיף ו – ישר החותך ב־3 נקודות
g שווה ל־f בכל התחום, חוץ מ־x = 0 שבו g לא מוגדרת. כלומר גרף g הוא גרף f בלי הנקודה (0 , 3) ("חור").
נבדוק כמה פעמים הישר y = k חותך את גרף g:
k < 2√2: אין חיתוך. k = 2√2: שתי נקודות (המינימומים).
2√2 < k < 3: ארבע נקודות (בכל צד שתיים).
k = 3: לגרף f היו 3 נקודות, אבל הנקודה (0 , 3) חסרה בגרף g – נשארות 2.
k > 3: שתי נקודות.
לכן אין ערך של k שבעבורו יש בדיוק 3 נקודות חיתוך.
✅ פתרון סופי: לא קיים ערך כזה של k
📌 סיכום התשובות – שאלה 7
| סעיף א (1) | −π2 < x < π2 |
|---|---|
| סעיף א (2) | x = ±π2 |
| סעיף ב | זוגית |
| סעיף ג | מינימום (±π4 , 2√2), מקסימום (0 , 3) |
| סעיף ד | סקיצה |
| סעיף ה (1) | −π2 < x < 0 , 0 < x < π2 |
| סעיף ה (2) | הוכחה |
| סעיף ו | לא קיים |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – פונקציה זוגית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 7 הזזות
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם שני גרפים I–II בתחום 0 ≤ x ≤ 2π. אחד מתאר את הפונקצייה f(x) ואחד את פונקציית הנגזרת שלה f'(x). הפונקציות מוגדרות לכל x בתחום.
א. קבעו איזה מן הגרפים I–II מתאר את f(x). נמקו.
נתון כי f(x) = sin x1 + (sin x)2, המוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ 2π.
ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף f(x) עם ציר ה־x. (2) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של f(x) וקבעו את סוגן.
נתונה הפונקצייה g(x) = |f(x) − 0.4|, המוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ 2π.
ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף g(x) עם ציר ה־x.
ד. (1) סרטטו סקיצה של גרף g(x). (2) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של g(x) וקבעו את סוגן.
✏️ פתרון שאלה 7
סעיף א – איזה גרף הוא f
במקום שבו לפונקצייה יש קיצון – הנגזרת מתאפסת; היכן שהפונקצייה עולה – הנגזרת חיובית, והיכן שהיא יורדת – שלילית.
• לגרף II יש מקסימום ליד π2 ומינימום ליד 3π2. בדיוק שם גרף I מתאפס.
• גרף II עולה ב־0 < x < π2 וב־3π2 < x < 2π – שם גרף I חיובי; ויורד בין π2 ל־3π2 – שם גרף I שלילי.
• בכיוון ההפוך זה לא מתאים: גרף I יורד מ־x = 0, אבל גרף II שם חיובי (עולה).
✅ פתרון סופי: גרף II מתאר את f(x)
סעיף ב (1) – חיתוך עם ציר ה־x
המכנה 1 + sin2x תמיד חיובי, ולכן f = 0 כאשר המונה מתאפס:
sin x = 0
x = 0 , π , 2π📐 פתרון משוואת sinsin x = 0 ⇐ x = πk
✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (π , 0) , (2π , 0)
סעיף ב (2) – נקודות הקיצון של f
נגזור לפי נגזרת מנה, עם u = sin x ו־v = 1 + sin2x:📐 נגזרת של מנה(uv)' = u'v − uv'v2
u' = cos x
v' = 2sin x cos x
מונה הנגזרת u'v − uv':
cos x(1 + sin2x)
− sin x · 2sin x cos x
המכנה: (1 + sin2x)2.
נוציא cos x גורם משותף במונה:
f'(x)
= cos x(1 + sin2x − 2sin2x)(1 + sin2x)2
f'(x) = cos x(1 − sin2x)(1 + sin2x)2📐 זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
= cos3x(1 + sin2x)2
המכנה חיובי, ולכן הסימן של f' הוא הסימן של cos x:
cos x = 0
⇒ x = π2 , x = 3π2
cos x > 0 ב־0 < x < π2 וב־3π2 < x < 2π, ו־cos x < 0 ב־π2 < x < 3π2.
לכן f עולה ב־0 < x < π2, יורדת ב־π2 < x < 3π2, ועולה ב־3π2 < x < 2π:
מקסימום ב־x = π2, מינימום ב־x = 3π2, מינימום קצה ב־x = 0 ומקסימום קצה ב־x = 2π.
f(π2) = 11 + 1 = 12
f(3π2) = −11 + 1 = −12
f(0) = 0 , f(2π) = 0
✅ פתרון סופי: מינ. קצה (0 , 0), מקס. (π/2 , ½), מינ. (3π/2 , −½), מקס. קצה (2π , 0)
סעיף ג – חיתוך של g עם ציר ה־x
|f(x) − 0.4| = 0
⇒ f(x) = 0.4
sin x1 + sin2x = 0.4
נסמן t = sin x ונכפול במכנה:
t = 0.4 + 0.4t2
0.4t2 − t + 0.4 = 0
נכפול ב־5:
2t2 − 5t + 2 = 0
t = 5 ± 34📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b2 − 4ac2a
t = 2 או t = 12
sin x = 2 – אין פתרון. נשאר:
sin x = 12 📐 פתרון משוואת sinsin x = sin b ⇐ x = b + 2πkאו x = π − b + 2πk
⇒ x = π6 , x = 5π6
✅ פתרון סופי: (π/6 , 0) , (5π/6 , 0)
סעיף ד (1) – סקיצה של g
קודם נצייר את f(x) − 0.4 (הזזה של f ב־0.4 למטה): היא חותכת את הציר ב־π6 וב־5π6, המקסימום שלה 0.1 והמינימום −0.9.
סקיצה 1 – הגרף של f(x) − 0.4 (כחול):
סקיצה 2 – הגרף של g (סגול): הערך המוחלט משקף כלפי מעלה את כל החלקים שמתחת לציר ה־x, והחלקים שמעל הציר נשארים.📐 משפטגרף של |f(x)| – החלקים שמתחת לציר ה־x משתקפים מעליו
✅ פתרון סופי: סקיצה
סעיף ד (2) – נקודות הקיצון של g
נקודות הקיצון של g: נקודות הקיצון של f − 0.4 (באותם x, עם ערך מוחלט), נקודות החיתוך עם הציר (שם g = 0 – מינימום), וקצות התחום.
g(0) = |0 − 0.4| = 0.4
g(π6) = 0 , g(5π6) = 0
g(π2) = |0.5 − 0.4| = 0.1
g(3π2) = |−0.5 − 0.4|
= 0.9
g(2π) = |0 − 0.4| = 0.4
לפי הסקיצה: מ־0 יורדת עד π6, עולה עד π2, יורדת עד 5π6, עולה עד 3π2 ויורדת עד 2π.
✅ פתרון סופי: מקס. קצה (0 , 0.4), מינ. (π/6 , 0), מקס. (π/2 , 0.1), מינ. (5π/6 , 0), מקס. (3π/2 , 0.9), מינ. קצה (2π , 0.4)
📌 סיכום התשובות – שאלה 7
| סעיף א | גרף II |
|---|---|
| ב (1) | (0,0), (π,0), (2π,0) |
| ב (2) | מקס. (π/2 , ½), מינ. (3π/2 , −½) קצוות: מינ. (0,0), מקס. (2π,0) |
| סעיף ג | (π/6 , 0), (5π/6 , 0) |
| ד (2) | מקס. (0 , 0.4), (π/2 , 0.1), (3π/2 , 0.9) מינ. (π/6 , 0), (5π/6 , 0), (2π , 0.4) |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2025, שאלה 7 פרמטר · הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = cos x + 4(cos x)2 + a, בתחום −3π2 ≤ x ≤ 3π2. a הוא פרמטר.
א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
ב. האם הפונקציה f(x) היא זוגית או אי־זוגית? נמקו את תשובתכם.
נתון כי גרף הפונקציה f(x) משיק לישר y = 4 בשתי נקודות. ג. מצאו את הערך של a.
הציבו a = 1 וענו על הסעיפים ד–ו.
ד. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.
ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נתונות הפונקציה g(x) = f(x) − k והפונקציה h(x) = 1g(x), שתיהן בתחום −3π2 ≤ x ≤ 3π2. k הוא פרמטר, k ≠ 6 , k ≠ 4.
ו. מצאו את הערך של k שבעבורו גרף הפונקציה g(x) וגרף הפונקציה h(x) נפגשים בכל אחת מנקודות הקיצון שלהן.
✏️ פתרון שאלה 7
סעיף א – תחום הגדרה
המכנה (cos x)2 לא יכול להיות 0. בתחום הנתון cos x = 0 ב־x = ±π2 וב־x = ±3π2 (קצוות התחום).
תחום ההגדרה:
−3π2 < x < −π2
−π2 < x < π2
π2 < x < 3π2
✅ פתרון סופי: x ≠ ±π2 (בתוך התחום הפתוח −3π2 < x < 3π2)
סעיף ב – זוגיות
f(−x) = cos(−x) + 4(cos(−x))2 + a📐 נוסחה: זוגיות של coscos(−x) = cos x
= f(x)
התחום סימטרי סביב 0, ולכן f זוגית.
✅ פתרון סופי: f זוגית
סעיף ג – מציאת a
f′(x) = −sin x + 8sin xcos3x📐 נוסחה: נגזרת של פונקציה מורכבת(u−2)′ = −2u−3 · u′
(cos x)′ = −sin x
(cos x)′ = −sin x
f′(x) = sin x · (8cos3x − 1)
נשווה ל־0:
sin x = 0 ⇐ x = 0 , x = ±π
8cos3x = 1 ⇐ cos3x = 8 ⇐ cos x = 2
cos x = 2 – אין פתרון. לכן הקיצון רק ב־x = 0 , ±π:
f(0) = 1 + 4 + a = 5 + a
f(±π) = −1 + 4 + a = 3 + a
הישר y = 4 אופקי, ולכן הוא משיק לגרף רק בנקודות קיצון. ב־x = 0 יש נקודה אחת בלבד, ואילו x = ±π הן שתי נקודות (סימטריות, כי f זוגית). לכן:
3 + a = 4 ⇐ a = 1
✅ פתרון סופי: a = 1
סעיף ד – נקודות קיצון
עבור a = 1: f(0) = 6, f(±π) = 4. נבדוק סימן f′ = sin x · 8 − cos3xcos3x; תמיד 8 − cos3x > 0:
0 < x < π2: sin x > 0, cos x > 0 ⇐ f′ > 0, עולה. מהזוגיות, ב־−π2 < x < 0 יורדת. לכן ב־x = 0 מינימום.
π2 < x < π: sin x > 0, cos x < 0 ⇐ f′ < 0, יורדת. π < x < 3π2: sin x < 0, cos x < 0 ⇐ f′ > 0, עולה. לכן ב־x = π מינימום, ומהזוגיות גם ב־x = −π.
✅ פתרון סופי: מינימום (0 , 6) ; מינימום (±π , 4)
סעיף ה – סקיצה
שלושה ענפים; בכל ענף הגרף עולה ל־+∞ ליד האסימפטוטות (x = ±π2, וליד קצוות התחום x = ±3π2), עם מינימום אחד בכל ענף.
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ו – מפגש g ו־h
בלי לגזור – קוראים מהגרף של f (סעיף ה):
g = f − k היא הזזה של הגרף של f ב־k יחידות למטה, ולכן ל־g אותן נקודות קיצון כמו ל־f: x = 0 ו־x = ±π.
h = 1g: איפה ש־g עולה – h יורדת, ולהפך.📐 משפט: הגרף של 1 חלקי פונקציהu עולה ⇐ 1u יורדת (ולהפך)
לקיצון של u (כש־u ≠ 0) מתאים קיצון של 1u באותו x
לקיצון של u (כש־u ≠ 0) מתאים קיצון של 1u באותו x
לכן גם ל־h יש קיצון באותם x (בתנאי ש־g ≠ 0 שם, ולכן k ≠ 6 , k ≠ 4).
הגרפים נפגשים בנקודה כש־g = h:
g = 1g ⇐ g2 = 1 ⇐ g = 1 או g = −1
g(0) = 6 − k , g(±π) = 4 − k
צריך ש־6 − k וגם 4 − k יהיו ±1. ההפרש ביניהם הוא 2, ולכן האפשרות היחידה היא 6 − k = 1 ו־4 − k = −1:
k = 5
✅ פתרון סופי: k = 5
📌 סיכום התשובות – שאלה 7
| סעיף א | −3π2 < x < −π2 −π2 < x < π2 π2 < x < 3π2 |
|---|---|
| סעיף ב | זוגית |
| סעיף ג | a = 1 |
| סעיף ד | מינימום (0 , 6) מינימום (±π , 4) |
| סעיף ה | סקיצה |
| סעיף ו | k = 5 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – פונקציה זוגית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 7 פרמטר · שטח · גרף נגזרת
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = (b + cos x) sin x, המוגדרת בתחום −π ≤ x ≤ π. b הוא פרמטר.
א. האם הפונקציה f(x) היא זוגית או אי־זוגית? נמקו את תשובתכם.
נתון כי לגרף הפונקציה f(x) יש בדיוק שלוש נקודות חיתוך עם ציר ה־x.
ב. לפניכם שלוש אפשרויות I–III לערכים של b. קבעו איזו אפשרות יכולה להתאים לפונקציה f(x), ונמקו את קביעתכם.
I. b = 0 II. 0 < b < 1 III. 1 ≤ b
נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x), כאשר cos x = 14, הוא (−58).
ג. מצאו את הערך של b.
הציבו b = 1 בפונקציה f(x), וענו על הסעיפים ד–ו.
ד. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.
ה. (1) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
(2) סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x).
נתונה הפונקציה g(x) המקיימת g(x) = (f(x))2 · f′(x). הפונקציה g(x) מוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ π.
ו. חשבו את השטח ברביע הראשון, המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x) ועל ידי ציר ה־x.
✏️ פתרון שאלה 7
סעיף א – זוגית או אי־זוגית
f(−x) = (b + cos(−x)) sin(−x)📐 זוגיות ואי־זוגיותsin(−x) = −sin x
cos(−x) = cos x
cos(−x) = cos x
= (b + cos x)(−sin x) = −f(x)
התחום סימטרי סביב 0, ו־f(−x) = −f(x):
✅ פתרון סופי: אי־זוגית
סעיף ב – ערכי b
(b + cos x) sin x = 0
sin x = 0 נותן כבר שלוש נקודות: x = −π , 0 , π. לכן המשוואה cos x = −b לא יכולה להוסיף נקודות חדשות:
• I. b = 0: cos x = 0 נותן x = ±π2 – חמש נקודות. נפסל.
• II. 0 < b < 1: cos x = −b נותן שני פתרונות בתחום – חמש נקודות. נפסל.
• III. b ≥ 1: אם b > 1 אין פתרון; אם b = 1 הפתרון x = ±π כבר נספר. שלוש נקודות בדיוק ✓
✅ פתרון סופי: אפשרות III
סעיף ג – הערך של b
f′(x) = −sin x · sin x + (b📐 נגזרת של מכפלה(uv)′ = u′v + uv′📐 נגזרות(sin x)′ = cos x
(cos x)′ = −sin x
(cos x)′ = −sin x
+ cos x) cos x
f′(x) = −sin2x + b cos x + cos2x
כאשר cos x = 14: sin2x = 1 − 116 = 1516:
f′ = −1516 + b4 + 116 = −58📐 זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
b4 = −58 + 1416 = 14
b = 1
✅ פתרון סופי: b = 1
סעיף ד – נקודות הקיצון
f′(x) = −(1 − cos2x) + cos x📐 זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
+ cos2x
f′(x) = 2cos2x + cos x − 1
= (2cos x − 1)(cos x + 1)
cos x = 12
x = ±π3
cos x = −1
x = ±π
cos x + 1 ≥ 0, ולכן הסימן נקבע לפי 2cos x − 1: חיובי כאשר |x| < π3:
| x | −π | −π < x < −π/3 | −π/3 | −π/3 < x < π/3 | π/3 | π/3 < x < π | π |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f′ | 0 | − | 0 | + | 0 | − | 0 |
| f | מקס׳ קצה | ↘ | מינ׳ | ↗ | מקס׳ | ↘ | מינ׳ קצה |
f(π3) = (1 + 12) · √32
= 3√34 ≈ 1.30
f(−π3) = −3√34 , f(±π) = 0
✅ פתרון סופי: מקס׳ (π3 , 3√34) , (−π , 0) ; מינ׳ (−π3 , −3√34) , (π , 0)
סעיף ה (1) – סקיצה של f
אי־זוגית: מ־(−π , 0) יורדת למינימום (−π3 , −1.30), עולה דרך הראשית למקסימום (π3 , 1.30), ויורדת ל־(π , 0). הגרף בקנה מידה:
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
סעיף ה (2) – סקיצה של f′
f′ = 2cos2x + cos x − 1 זוגית; f′(0) = 2; מתאפסת ב־±π3 וב־±π; חיובית בין ±π3 ושלילית מחוץ להן. הערך הקטן ביותר שלה (כאשר cos x = −14):
f′ = 2 · 116 − 14 − 1 = −98
הגרף בקנה מידה:
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
סעיף ו – השטח
g = f2 · f′. f2 ≥ 0, ולכן הסימן של g הוא הסימן של f′: ברביע הראשון (g חיובית) – בתחום 0 ≤ x ≤ π3.
f2 · f′ היא "פונקציה בריבוע כפול הנגזרת שלה", ולכן פונקציה קדומה היא f33:
S = ∫π/30 f2 · f′ dx = [ f3(x)3 ]π/30📐 אינטגרל של חזקה של פונקציה כפול נגזרתה∫ u2 · u′ dx = u33 + C
S = 13 · (3√34)3 − 0
= 13 · 81√364 = 27√364
S ≈ 0.731
✅ פתרון סופי: S = 27√364 ≈ 0.731
📌 סיכום התשובות – שאלה 7
| סעיף א | אי־זוגית |
|---|---|
| סעיף ב | אפשרות III |
| סעיף ג | b = 1 |
| סעיף ד | מקס׳ (π3 , 3√34) , (−π , 0) ; מינ׳ (−π3 , −3√34) , (π , 0) |
| סעיף ה (1) | סקיצה |
| סעיף ה (2) | סקיצה |
| סעיף ו | S = 27√364 ≈ 0.731 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 24 – אינטגרל עם זיהוי הנגזרת הפנימית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 7 פרמטר · שטח · הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = cos x − √cos x, בתחום −π ≤ x ≤ π.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) הראו כי הפונקציה f(x) היא פונקציה זוגית. (3) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים. (4) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן (בתשובותיכם דייקו 2 ספרות אחרי הנקודה העשרונית).
ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
ג. מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).
ד. קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x).
נתונה הפונקציה g(x) = k − f(x), k הוא פרמטר חיובי. הפונקציות f(x) ו־g(x) מוגדרות באותו התחום. נסמן ב־S את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) ועל ידי ציר ה־x בתחום בין 0 ל־π2.
נתון כי השטח המוגבל על ידי הגרפים של הפונקציות f(x) ו־g(x) ועל ידי הישרים x = π2 ו־x = −π2 הוא 10 · S. ה. הביעו את k באמצעות S.
✏️ פתרון שאלה 7
סעיף א – חקירה
(1) הביטוי בתוך השורש אי־שלילי: cos x ≥ 0. בתחום הנתון:
−π2 ≤ x ≤ π2
(2) התחום סימטרי, ו־:
f(−x) = cos(−x) − √cos(−x)📐 נוסחה: זוגיות של coscos(−x) = cos x
= cos x − √cos x = f(x)
(3) חיתוך עם הצירים:
cos x = √cos x ⇐ cos2x = cos x
⇐ cos x(cos x − 1) = 0
cos x = 0 ⇐ x = ±π2
cos x = 1 ⇐ x = 0
נקודות החיתוך: (0 , 0), (π2 , 0), (−π2 , 0). (חיתוך עם ציר ה־y: f(0) = 1 − 1 = 0.)
(4) נגזרת:
f′(x) = −sin x − −sin x2√cos x📐 נוסחה: נגזרת של שורש(√u)′ = u′2√u
= sin x (12√cos x − 1)
sin x = 0 ⇐ x = 0
12√cos x = 1 ⇐ √cos x = 12
⇐ cos x = 14
x = ±1.32 (≈ ±0.42π)
f(±1.32) = 14 − 12 = −0.25
f(0) = 0 , f(±π2) = 0
סימן f′ ב־x > 0: בין 0 ל־1.32: cos x > 14, ולכן 12√cos x < 1 ו־f′ < 0 – יורדת. בין 1.32 ל־π2: f′ > 0 – עולה. מהזוגיות – התמונה הפוכה ב־x < 0.
לכן: מקסימום (0 , 0); מינימום (±1.32 , −0.25); מקסימום קצה (±π2 , 0).
✅ פתרון סופי: תחום: −π2 ≤ x ≤ π2
חיתוך: (0 , 0) , (±π2 , 0)
מקסימום (0 , 0), מינימום (±1.32 , −0.25), מקסימום קצה (±π2 , 0)
חיתוך: (0 , 0) , (±π2 , 0)
מקסימום (0 , 0), מינימום (±1.32 , −0.25), מקסימום קצה (±π2 , 0)
סעיף ב – סקיצה
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ג – חיוביות ושליליות
0 ≤ cos x ≤ 1, ולכן cos x ≤ √cos x (מספר בין 0 ל־1 קטן או שווה לשורש שלו). כלומר f(x) ≤ 0 בכל התחום, ושווה ל־0 רק ב־x = 0 , ±π2.
חיוביות: אין. שליליות: −π2 < x < 0 , 0 < x < π2.
✅ פתרון סופי: חיוביות: אין; שליליות: −π2 < x < 0 , 0 < x < π2
סעיף ד – גרף הנגזרת
f זוגית, ולכן f′ אי־זוגית (סימטרית ביחס לראשית) ו־f′(0) = 0. מסעיף א(4): f′ < 0 בין 0 ל־1.32, f′ > 0 בין 1.32 ל־π2, וליד π2 המכנה 2√cos x שואף ל־0, ולכן f′ → +∞ (ובצד השמאלי −∞).
גרפים I ו־II לא שואפים לאינסוף בקצוות. גרף III לא סימטרי ביחס לראשית (הגבעה משמאל גדולה בהרבה מהשקע מימין). גרף IV מתאים לכל התכונות.
✅ פתרון סופי: גרף IV
סעיף ה – מציאת k
f ≤ 0 ו־k > 0, ולכן g = k − f ≥ k > f – גרף g מעל גרף f בכל התחום.
g − f = k − 2f
f זוגית ומתחת לציר, ולכן ∫−π/2π/2 f dx = −2S:
∫−π/2π/2 (k − 2f(x)) dx📐 נוסחה: שטח בין שני גרפיםS = ∫ab (g − f) dx
= k · π − 2 · (−2S) = kπ + 4S
kπ + 4S = 10S
kπ = 6S ⇐ k = 6Sπ
✅ פתרון סופי: k = 6Sπ
📌 סיכום התשובות – שאלה 7
| סעיף א (1) | −π2 ≤ x ≤ π2 |
|---|---|
| סעיף א (2) | הוכחה |
| סעיף א (3) | (0 , 0) , (±π2 , 0) |
| סעיף א (4) | מקסימום (0 , 0) מינימום (±1.32 , −0.25) מקסימום קצה (±π2 , 0) |
| סעיף ב | סקיצה |
| סעיף ג | חיוביות: אין שליליות: −π2 < x < 0 , 0 < x < π2 |
| סעיף ד | גרף IV |
| סעיף ה | k = 6Sπ |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – פונקציה זוגית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2024, שאלה 7 פרמטר · אינטגרל
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה: f(x) = sin(x) − asin(x) + a . a הוא פרמטר חיובי.
הפונקציה f(x) מוגדרת לכל x המקיים sin(x) ≠ −a.
נתון כי הגרף של הפונקציה f(x) משיק לציר ה־x בכל נקודות הקיצון שלה.
א. מצאו את הערך של a.
הציבו a = 1, וענו על הסעיפים ב–ה עבור התחום −2π ≤ x ≤ 2π.
ב. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.
(3) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.
ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
ד. כמה פתרונות יש למשוואה f(x) = −1 בתחום הנתון? נמקו את תשובתכם.
ידוע כי הפונקציה f(x) קעורה כלפי מטה בכל אחד מחלקי תחום הגדרתה.
ה. קבעו אם הטענה שלפניכם נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעתכם.
∫π0 (f(x) + 1) dx > π2
✏️ פתרון שאלה 7
סעיף א – הערך של a
נגזור לפי כלל המנה, עם u = sin x − a , v = sin x + a:
u′ = cos x , v′ = cos x📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
u′v − uv′ = cos x (sin x + a)
− (sin x − a) cos x
u′v − uv′ = 2a cos x
f′(x) = 2a cos x(sin x + a)2
f′(x) = 0📐 תנאי הכרחי לקיצוןf′(x) = 0
cos x = 0
sin x = 1 או sin x = −1
הגרף משיק לציר ה־x בנקודות הקיצון, ולכן שם f(x) = 0. בנקודות שבהן sin x = 1:
f = 1 − a1 + a = 0
a = 1
בדיקה: עבור a = 1, בנקודות שבהן sin x = −1 המכנה sin x + 1 = 0 – הן לא בתחום, ולכן כל נקודות הקיצון הן אלה שבהן sin x = 1, ושם f = 0 ✓
✅ פתרון סופי: a = 1
סעיף ב (1) – תחום ההגדרה
sin x + 1 ≠ 0📐 תנאי למנההמכנה שונה מ־0
sin x ≠ −1
x ≠ −π2 + 2πk📐 פתרון משוואה טריגונומטריתsin x = −1 : x = −π2 + 2πk
בתחום −2π ≤ x ≤ 2π:
x ≠ −π2 , x ≠ 3π2
✅ פתרון סופי: −2π ≤ x ≤ 2π , x ≠ −π2 , x ≠ 3π2
סעיף ב (2) – נקודות החיתוך עם הצירים
ציר ה־y:
f(0) = 0 − 10 + 1 = −1
ציר ה־x (המונה מתאפס):
sin x − 1 = 0
sin x = 1📐 פתרון משוואה טריגונומטריתsin x = 1 : x = π2 + 2πk
x = π2 , x = −3π2
✅ פתרון סופי: (0 , −1) , (π2 , 0) , (−3π2 , 0)
סעיף ב (3) – נקודות הקיצון
עבור a = 1 (סעיף א):
f′(x) = 2cos x(sin x + 1)2
המכנה חיובי, ולכן הסימן של f′ כסימן של cos x. cos x = 0 בתחום (בנקודות המוגדרות): x = −3π2 , x = π2.
| x | −2π | (−2π , −3π/2) | −3π/2 | (−3π/2 , −π/2) |
|---|---|---|---|---|
| f′ | + | 0 | − | |
| f | מינ׳ קצה | ↗ | מקס׳ | ↘ |
| x | (−π/2 , π/2) | π/2 | (π/2 , 3π/2) | (3π/2 , 2π) | 2π |
|---|---|---|---|---|---|
| f′ | + | 0 | − | + | |
| f | ↗ | מקס׳ | ↘ | ↗ | מקס׳ קצה |
f(−3π2) = f(π2) = 1 − 11 + 1 = 0
f(−2π) = f(2π) = 0 − 10 + 1 = −1
✅ פתרון סופי: מקסימום (−3π2 , 0) , (π2 , 0)
מקסימום קצה (2π , −1) ; מינימום קצה (−2π , −1)
מקסימום קצה (2π , −1) ; מינימום קצה (−2π , −1)
סעיף ג – סקיצה של f
הפונקציה אי־חיובית בכל התחום (המונה sin x − 1 ≤ 0 והמכנה חיובי), ושואפת ל־−∞ ליד האסימפטוטות x = −π2 ו־x = 3π2 [תכלת, מקווקו]. הגרף [כחול] בקנה מידה:
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
סעיף ד – מספר הפתרונות של f(x) = −1
sin x − 1sin x + 1 = −1
sin x − 1 = −sin x − 1
2 sin x = 0
sin x = 0📐 פתרון משוואה טריגונומטריתsin x = 0 : x = πk
x = −2π , −π , 0 , π , 2π
כל חמשת הפתרונות בתחום ההגדרה.
✅ פתרון סופי: 5 פתרונות
סעיף ה – האם האינטגרל גדול מ־π/2
נסמן h(x) = f(x) + 1. גם h קעורה כלפי מטה (הזזה אנכית לא משנה קעירות). בתחום 0 ≤ x ≤ π הפונקציה מוגדרת, ו־:
h(0) = −1 + 1 = 0
h(π2) = 0 + 1 = 1
h(π) = −1 + 1 = 0
h אי־שלילית בתחום (f ≥ −1 כאשר sin x ≥ 0), ולכן האינטגרל הוא השטח שמתחת לגרף.
פונקציה קעורה כלפי מטה נמצאת מעל המיתר שמחבר שתי נקודות על הגרף. לכן הגרף של h בתחום נמצא מעל שני הקטעים שמחברים את (0 , 0) ל־(π2 , 1) ואת (π2 , 1) ל־(π , 0).📐 קעירות כלפי מטההגרף נמצא מעל כל מיתר שלו
שני הקטעים יוצרים משולש שבסיסו π וגובהו 1:
S△ = π · 12 = π2📐 שטח משולשS = a · h2
השטח מתחת לגרף גדול משטח המשולש:
∫π0 (f(x) + 1) dx > π2
✅ פתרון סופי: הטענה נכונה
📌 סיכום התשובות – שאלה 7
| סעיף א | a = 1 |
|---|---|
| סעיף ב (1) | −2π ≤ x ≤ 2π , x ≠ −π2 , x ≠ 3π2 |
| סעיף ב (2) | (0 , −1) , (π2 , 0) , (−3π2 , 0) |
| סעיף ב (3) | מקסימום (−3π2 , 0) , (π2 , 0) מקסימום קצה (2π , −1) ; מינימום קצה (−2π , −1) |
| סעיף ג | סקיצה |
| סעיף ד | 5 פתרונות |
| סעיף ה | הטענה נכונה |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 52 – חקירת פונקציית מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 6
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = sin(x) · cos3(x) המוגדרת בתחום −π2 ≤ x ≤ π2.
א. (1) האם הפונקציה f(x) היא זוגית או אי־זוגית? נמקו.
(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.
(3) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.
(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נתונה הפונקציה g(x) = 1√f(x).
ב. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x).
(2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x).
(3) סרטטו (בקו מקווקו) סקיצה של גרף הפונקציה g(x) באותה מערכת צירים שבה סרטטתם את גרף הפונקציה f(x).
ענו על סעיף ג בעבור התחום שבו מוגדרות שתי הפונקציות f(x) ו־g(x).
ג. מצאו את המרחק המינימלי בין הפונקציות f(x) ו־g(x).
✏️ פתרון שאלה 6
סעיף א (1) – זוגיות
f(−x) = sin(−x) · cos3(−x)📐 זוגיות של sin ו־cossin(−x) = −sin x
cos(−x) = cos x
cos(−x) = cos x
= −sin x · cos3x
= −f(x)
התחום סימטרי סביב 0, ולכן הפונקציה אי־זוגית.📐 פונקציה אי־זוגיתf(−x) = −f(x)
✅ פתרון סופי: אי־זוגית
סעיף א (2) – חיתוך עם הצירים
חיתוך עם ציר ה־y (x = 0):
f(0) = 0 · 1 = 0
חיתוך עם ציר ה־x:
sin x · cos3x = 0
sin x = 0 ⟸ x = 0
cos x = 0 ⟸ x = ±π2
✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (π2 , 0) , (−π2 , 0)
סעיף א (3) – נקודות קיצון
f′(x) = cos x · cos3x + sin x📐 נגזרת מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′
· 3cos2x · (−sin x)
= cos4x − 3sin2x cos2x
= cos2x (cos2x − 3sin2x)
f′(x) = 0:
cos2x = 0 ⟸ x = ±π2
אלה קצות התחום.
cos2x = 3sin2x
tan2x = 13📐 זהותtan x = sin xcos x
tan x = ±1√3 ⟸ x = ±π6
טבלת סימנים לנגזרת. הגורם cos2x אינו שלילי, ולכן הסימן נקבע לפי הסוגריים:
• −π2 < x < −π6: f′ < 0 – יורדת.
• −π6 < x < π6: f′ > 0 – עולה.
• π6 < x < π2: f′ < 0 – יורדת.
f(π6) = 12 · (√32)3 = 3√316 ≈ 0.325
f(−π6) = −3√316 ≈ −0.325
בשני הקצוות הערך הוא 0. בין הקצה השמאלי ל־−π6 הפונקציה יורדת, ולכן הקצה השמאלי הוא מקסימום.
בין π6 לקצה הימני הפונקציה יורדת, ולכן הקצה הימני הוא מינימום.
✅ פתרון סופי: מקסימום (π6 , 0.325) , מינימום (−π6 , −0.325)
קצוות: מקסימום (−π2 , 0) , מינימום (π2 , 0)
קצוות: מקסימום (−π2 , 0) , מינימום (π2 , 0)
סעיף א (4) – סקיצה של f
הגרף עולה מהנקודה (−π6 , −0.325) דרך הראשית עד הנקודה (π6 , 0.325), ובשני הצדדים יורד אל הקצוות (±π2 , 0).
✅ פתרון סופי: הסקיצה למטה
סעיף ב (1) – תחום ההגדרה של g
שורש מוגדר כשהביטוי שבתוכו אינו שלילי, והמכנה שונה מאפס:📐 תחום של שורש במכנה1√h מוגדר כש־h > 0
f(x) > 0
מהסקיצה של f ומנקודות החיתוך: f(x) > 0 רק בין 0 ל־π/2.
0 < x < π2
✅ פתרון סופי: 0 < x < π2
סעיף ב (2) – הקיצון של g
קוראים מהסקיצה של f (סעיף א (4)) בתחום 0 < x < π2:
f חיובית, עולה מ־0 עד המקסימום (π6 , 0.325), ואחר כך יורדת חזרה ל־0.
g(x) = 1√f(x)📐 הפונקציה 1 חלקי שורשכש־f > 0 גדלה, √f גדל, ולכן 1√f קטנה (ולהפך)
כש־f עולה, g יורדת; כש־f יורדת, g עולה.
לכן g יורדת עד x = π6 ועולה אחריו: במקום שבו ל־f יש מקסימום, ל־g יש מינימום.
g(π6) = 1√3√316 ≈ 1√0.325 ≈ 1.75
✅ פתרון סופי: מינימום (π6 , 1.75)
סעיף ב (3) – סקיצה של g
כש־x שואף ל־0 או ל־π/2 בתוך התחום, f(x) שואף ל־0 מלמעלה, ולכן g(x) שואף לאינסוף: הישרים x = 0 ו־x = π2 הם אסימפטוטות אנכיות.
הסקיצה של g מופיעה בסרטוט שלמטה (סגול מקווקו), מעל גרף f.
✅ פתרון סופי: הסקיצה למטה
סעיף ג – המרחק המינימלי
בכל התחום g מעל f. נסמן את המרחק האנכי:
d(x) = g(x) − f(x)
ב־x = π6 יש ל־g מינימום ול־f מקסימום. לכן לכל x בתחום:
g(x) ≥ g(π6) , f(x) ≤ f(π6)
d(x) ≥ g(π6) − f(π6)
d(π6) ≈ 1.755 − 0.325 ≈ 1.43
בסרטוט: הקטע הירוק ב־x = π/6 הוא המרחק המינימלי.
✅ פתרון סופי: ≈ 1.43
📌 סיכום התשובות – שאלה 6
| סעיף א (1) | אי־זוגית |
|---|---|
| סעיף א (2) | (0 , 0) (±π2 , 0) |
| סעיף א (3) | מקסימום (π6 , 0.325) מינימום (−π6 , −0.325) קצוות: מקסימום (−π2 , 0) מינימום (π2 , 0) |
| סעיף א (4) | סקיצה |
| סעיף ב (1) | 0 < x < π2 |
| סעיף ב (2) | מינימום (π6 , 1.75) |
| סעיף ב (3) | סקיצה |
| סעיף ג | ≈ 1.43 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 34 – הפונקציה 1 חלקי f(x)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2023, שאלה 7 שטח · גרף נגזרת
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 2 sin(x)cos2(x) − 1 בתחום −2π ≤ x ≤ 2π.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לציר ה־x.
(3) האם הפונקציה f(x) זוגית, אי־זוגית או לא זוגית ולא אי־זוגית? הוכיחו את תשובתכם.
ב. ענו על התת־סעיפים (1)–(2) שלפניכם בעבור התחום 0 ≤ x ≤ 2π.
(1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).
(2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.
ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) (בתחום −2π ≤ x ≤ 2π).
ד. הוכיחו כי לפונקציה f(x) אין נקודות פיתול.
ה. חשבו את השטח הכלוא בין גרף פונקציית הנגזרת f′(x) ובין ציר ה־x , בתחום 1.7 ≤ x ≤ 2.
✏️ פתרון שאלה 7
סעיף א (1) – תחום ההגדרה
cos2x − 1 = −sin2x📐 נוסחה: זהות טריגונומטריתsin2x + cos2x = 1⟹ sin2x + 2cos2x = 1 + cos2x
f(x) = 2 sin x−sin2x = −2sin x
המכנה מתאפס כאשר:
sin x = 0 ⟹ x = kπ
בתחום −2π ≤ x ≤ 2π:
x ≠ −2π , −π , 0 , π , 2π
✅ פתרון סופי: −2π < x < 2π , x ≠ −π , 0 , π
סעיף א (2) – אסימפטוטות
בכל הנקודות האלה המונה 2 sin x מתאפס יחד עם המכנה, אבל אחרי הצמצום f(x) = −2sin x – המונה −2 ≠ 0, ולכן כולן אסימפטוטות:
x = −2π , x = −π , x = 0📐 נוסחה: אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה לא מתאפס
x = π , x = 2π
✅ פתרון סופי: x = −2π , −π , 0 , π , 2π
סעיף א (3) – זוגיות
f(−x) = −2sin(−x) = −2−sin x = 2sin x📐 נוסחה: פונקציה אי־זוגיתf(−x) = −f(x)sin(−x) = −sin x
f(−x) = −f(x)
✅ פתרון סופי: אי־זוגית
סעיף ב (1) – חיתוך עם הצירים
x = 0 לא בתחום ההגדרה – אין חיתוך עם ציר ה־y.
f(x) = −2sin x ≠ 0 – אין חיתוך עם ציר ה־x.
✅ פתרון סופי: אין נקודות חיתוך עם הצירים
סעיף ב (2) – נקודות קיצון
f′(x) = 2 cos xsin2x📐 נוסחה: נגזרת של 1 חלקי f(1f)′ = −f′f2(sin x)′ = cos x
cos x = 0📐 משפט: נקודת קיצוןf′(x) = 0ובדיקת סימן הנגזרת משני הצדדים
x = π2 , x = 3π2
f(π2) = −21 = −2
f(3π2) = −2−1 = 2
המכנה sin2x > 0, ולכן הסימן של f′ הוא הסימן של cos x:
בתחום 0 < x < π:
| x | 0 < x < π2 | π2 | π2 < x < π |
|---|---|---|---|
| f′ | + | 0 | − |
| f | ↗ | מקס׳ | ↘ |
בתחום π < x < 2π:
| x | π < x < 3π2 | 3π2 | 3π2 < x < 2π |
|---|---|---|---|
| f′ | − | 0 | + |
| f | ↘ | מינ׳ | ↗ |
✅ פתרון סופי: (π2 , −2) מקסימום , (3π2 , 2) מינימום
סעיף ג – סקיצה
בתחום 0 < x < 2π לפי סעיף ב: בין 0 ל־π הגרף שלילי עם מקסימום (π2 , −2); בין π ל־2π חיובי עם מינימום (3π2 , 2).
הפונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי ביחס לראשית: מינימום (−π2 , 2) ומקסימום (−3π2 , −2).
━ f(x) (כחול)
סעיף ד – אין נקודות פיתול
נגזור את f′(x) = 2 cos xsin2x לפי נגזרת של מנה, u = 2 cos x , v = sin2x:
u′ = −2 sin x
v′ = 2 sin x cos x
f″(x) = u′v − uv′v2📐 נוסחה: נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
u′v − uv′ = −2 sin x · sin2x −
− 2 cos x · 2 sin x cos x
u′v − uv′ = −2 sin x ·
· (sin2x + 2 cos2x)
f″(x) = u′v − uv′sin4x
נצמצם ב־sin x:
f″(x) = −2(sin2x + 2 cos2x)sin3x
f″(x) = −2(1 + cos2x)sin3x📐 נוסחה: זהות טריגונומטריתsin2x + cos2x = 1⟹ cos2x − 1 = −sin2x
המונה 2(1 + cos2x) ≥ 2 > 0 – לעולם לא מתאפס. f″ מחליפה סימן רק באסימפטוטות, שאינן בתחום ההגדרה.
לכן אין נקודות פיתול.📐 משפט: נקודת פיתולf″(x) = 0ו־f″ מחליפה סימן
✅ פתרון סופי: הוכח: f″(x) ≠ 0
סעיף ה – השטח
בקטע 1.7 ≤ x ≤ 2 (בין π2 ≈ 1.571 ל־π): cos x < 0, ולכן f′(x) < 0 – השטח מתחת לציר:
S = −∫1.72 f′(x)dx📐 נוסחה: שטח מתחת לציר xS = −∫ab f′(x)dx(כאשר f′ ≤ 0 בקטע)
S = −(f(2) − f(1.7))📐 נוסחה: אינטגרל של נגזרת∫ab f′(x)dx = f(b) − f(a)
S = f(1.7) − f(2)
S = −2sin 1.7 + 2sin 2
S ≈ −2.0168 + 2.1995
S ≈ 0.183
✅ פתרון סופי: S ≈ 0.18
📌 סיכום התשובות – שאלה 7
| סעיף א (1) | x ≠ −π , 0 , π |
|---|---|
| סעיף א (2) | x = −2π , −π , 0 , π , 2π |
| סעיף א (3) | אי־זוגית |
| סעיף ב (1) | אין |
| סעיף ב (2) | מקסימום (π2 , −2) , מינימום (3π2 , 2) |
| סעיף ג | סקיצה |
| סעיף ד | הוכחה |
| סעיף ה | ≈ 0.18 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2022 מועד ב׳, שאלה 7 אינטגרל
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = sin2(x) − cos2(x) − 1 , המוגדרת לכל x.
א. האם הפונקציה f(x) זוגית? נמקו.
ב. הוכיחו כי לכל x מתקיים: −2 ≤ f(x) ≤ 0.
ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים בתחום −π ≤ x ≤ π.
ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) בתחום −π ≤ x ≤ π.
נתונה הפונקציה g(x) = f(2x) , המוגדרת לכל x.
ה. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה g(x) בתחום −π2 ≤ x ≤ π2, וקבעו את סוגן.
ו. נתון כי ∫0π8 (g′(x) − f′(x)) dx = S. הביעו באמצעות S את ∫−π80 (g′(x) − f′(x)) dx. הסבירו את התשובה.
✏️ פתרון שאלה 7
סעיף א – זוגיות
f(−x) = sin2(−x) − cos2(−x) − 1📐 זוגיות של sin ו־cossin(−x) = −sin x
cos(−x) = cos x
= (−sin x)2 − cos2x − 1
= sin2x − cos2x − 1 = f(x)
הפונקציה זוגית.📐 פונקציה זוגיתf(−x) = f(x)
✅ פתרון סופי: כן, זוגית
סעיף ב – הוכחת התחום
f(x) = −(cos2x − sin2x) − 1📐 זהות של זווית כפולהcos2x = cos2x − sin2x
= −cos2x − 1
−1 ≤ cos2x ≤ 1
נכפול במינוס 1 (סימני האי־שוויון מתהפכים):
−1 ≤ −cos2x ≤ 1
נחסר 1:
−2 ≤ −cos2x − 1 ≤ 0
−2 ≤ f(x) ≤ 0
✅ פתרון סופי: הוכחה
סעיף ג – חיתוך עם הצירים
חיתוך עם ציר ה־y:
f(0) = −cos0 − 1 = −2
חיתוך עם ציר ה־x:
−cos2x − 1 = 0 ⟸ cos2x = −1
2x = π + 2πk ⟸ x = π2 + πk📐 פתרון משוואה טריגונומטריתcos t = −1 ⟸ t = π + 2πk
בתחום −π ≤ x ≤ π:
x = −π2 , x = π2
✅ פתרון סופי: (0 , −2) , (±π2 , 0)
סעיף ד – סקיצה
f(x) = −cos2x − 1: מחזור π, מקסימום 0 בנקודות x = ±π2, מינימום −2 בנקודות x = 0 , ±π.
✅ פתרון סופי: הסקיצה שלמעלה
סעיף ה – נקודות הקיצון של g
g(x) = f(2x) = −cos4x − 1
g′(x) = 4sin4x📐 נגזרת של cos(cos(ax))′ = −a sin(ax)
sin4x = 0 ⟸ 4x = πk ⟸ x = πk4
בתחום −π2 ≤ x ≤ π2:
x = −π2 , −π4 , 0 , π4 , π2
g(0) = −2
g(±π4) = −cosπ − 1 = 0
g(±π2) = −cos2π − 1 = −2
הערכים של g בין −2 ל־0, ולכן הנקודות שבהן g = 0 הן מקסימום, ושבהן g = −2 – מינימום.
✅ פתרון סופי: מקסימום (±π4 , 0) , מינימום (0 , −2)
קצוות: מינימום (±π2 , −2)
קצוות: מינימום (±π2 , −2)
סעיף ו – האינטגרל
f ו־g זוגיות, ולכן הנגזרות שלהן אי־זוגיות:
הגרף של פונקציה זוגית סימטרי לציר ה־y, ולכן השיפוע בנקודה −x הפוך לשיפוע בנקודה x.📐 נגזרת של פונקציה זוגיתf′(−x) = −f′(x)
g′(x) − f′(x)
היא פונקציה אי־זוגית. השטח שמתחת לפונקציה אי־זוגית בקטע הסימטרי זהה בגודלו והפוך בסימנו:
∫−π80 (g′(x) − f′(x)) dx = −S
בדיקה בחישוב:
∫0π8 (g′ − f′) dx = [g − f]0π8
∫−π80 (g′ − f′) dx
= (g − f)(0) − (g − f)(−π8)
בגלל הזוגיות (g − f)(−π8) = (g − f)(π8), ולכן התוצאה היא בדיוק −S.
✅ פתרון סופי: −S
📌 סיכום התשובות – שאלה 7
| סעיף א | זוגית |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג | (0 , −2) (±π2 , 0) |
| סעיף ד | סקיצה |
| סעיף ה | מקסימום (±π4 , 0) מינימום (0 , −2) מינימום (±π2 , −2) |
| סעיף ו | −S |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – הגדרת פונקציה זוגית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2022 מועד א׳, שאלה 7 שטח
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = 2(cos x)2 + sin 2x2 cos x בתחום 0 ≤ x ≤ 2π.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).
(2) הסבירו מדוע לפונקצייה f(x) אין אסימפטוטות המאונכות לציר ה־x.
(3) מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.
ב. (1) הראו כי לכל x בתחום ההגדרה של הפונקצייה f(x) מתקיים: f′(x) = cos x − sin x.
(2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.
ג. (1) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).
(2) k הוא מספר. מצאו את כל ערכי k שבעבורם יש למשוואה f(x) = k פתרון יחיד (בתחום 0 ≤ x ≤ 2π).
ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי שני הישרים x = 34π ו־x = 54π.
✏️ פתרון שאלה 7
סעיף א (1) – תחום הגדרה
המכנה שונה מ־0:
2 cos x ≠ 0
cos x ≠ 0
x ≠ π2 , x ≠ 3π2📐 נוסחה: cos x = 0x = π2 + πk
✅ פתרון סופי: 0 ≤ x ≤ 2π , x ≠ π2 , x ≠ 3π2
סעיף א (2) – אין אסימפטוטות אנכיות
sin 2x = 2 sin x cos x📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולהsin 2x = 2 sin x cos x
f(x) = 2cos2x + 2 sin x cos x2 cos x
f(x) = 2 cos x (cos x + sin x)2 cos x
בתחום ההגדרה (cos x ≠ 0) מותר לצמצם:
f(x) = cos x + sin x
בנקודות x = π2 ו־x = 3π2 גם המונה מתאפס, והפונקציה המצומצמת cos x + sin x מקבלת שם ערך סופי (1 ו־−1). לכן הגרף לא שואף לאינסוף – בנקודות אלה יש "חורים" ולא אסימפטוטות.
✅ פתרון סופי: בנקודות שמחוץ לתחום יש חורים, הפונקציה לא שואפת לאינסוף
סעיף א (3) – חיתוך עם הצירים
ציר ה־y (x = 0):
f(0) = cos 0 + sin 0 = 1
ציר ה־x (f(x) = 0):
cos x + sin x = 0
sin x = −cos x
נחלק ב־cos x (שונה מ־0 בתחום):
tan x = −1📐 נוסחה: טנגנסtan x = sin xcos x
x = 3π4 + πk📐 נוסחה: פתרון tan x = ax = x0 + πk
x = 3π4 , x = 7π4
✅ פתרון סופי: (0 , 1) , (3π4 , 0) , (7π4 , 0)
סעיף ב (1) – הנגזרת
f(x) = cos x + sin x
f′(x) = −sin x + cos x📐 נוסחה: נגזרות טריגונומטריות(sin x)′ = cos x(cos x)′ = −sin x
f′(x) = cos x − sin x
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ב (2) – נקודות קיצון
f′(x) = 0
cos x − sin x = 0
tan x = 1📐 נוסחה: טנגנסtan x = sin xcos x
x = π4 , x = 5π4📐 נוסחה: פתרון tan x = ax = x0 + πk
f(π4) = √22 + √22 = √2
f(5π4) = −√22 − √22 = −√2
סימן הנגזרת:
f′(0) = 1 > 0📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – עולהf′ < 0 – יורדת
f′(π) = −1 < 0
f′(2π) = 1 > 0
עולה ב־0 < x < π4, יורדת ב־π4 < x < 5π4 (פרט ל־π2 שאינו בתחום), עולה ב־5π4 < x < 2π (פרט ל־3π2).
לכן (π4 , √2) מקסימום, (5π4 , −√2) מינימום.
קצות התחום: f(0) = 1 והפונקציה עולה אחריו – מינימום קצה; f(2π) = 1 והפונקציה עולה לפניו – מקסימום קצה.
✅ פתרון סופי: מקסימום (π4 , √2) , מינימום (5π4 , −√2) ; קצה: מינימום (0 , 1) , מקסימום (2π , 1)
סעיף ג (1) – סקיצה
גרף f(x) (כחול). עיגול ריק = חור: (π2 , 1) , (3π2 , −1). הישר y = −1 מקווקו (ירוק חזק).
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
סעיף ג (2) – ערכי k לפתרון יחיד
מספר הפתרונות של f(x) = k הוא מספר נקודות החיתוך של הגרף עם הישר האופקי y = k.
k = √2: רק נקודת המקסימום x = π4 – פתרון יחיד.
k = −√2: רק נקודת המינימום x = 5π4 – פתרון יחיד.
k = −1: בקטע היורד f(π) = −1 (פתרון), ובקטע העולה הערך −1 מתקבל ב־x = 3π2 – שם יש חור. לכן פתרון יחיד.
k = 1: x = 0 ו־x = 2π (ב־π2 חור) – שני פתרונות.
לכל ערך אחר בין −√2 ל־√2 יש שני פתרונות, ומחוץ לתחום זה אין פתרון.
✅ פתרון סופי: k = √2 , k = −√2 , k = −1
סעיף ד – השטח
נבדוק את סימן f′(x) בתחום 3π4 ≤ x ≤ 5π4: לפי ב(2) f′ מתאפסת רק ב־5π4, ו־f′(π) = −1 < 0. לכן f′(x) ≤ 0 בכל הקטע – השטח מתחת לציר.
פונקציה קדומה של f′(x) היא f(x) = cos x + sin x.
S = −∫3π/45π/4 f′(x)dx📐 נוסחה: שטח מתחת לציר xS = −∫ab f′(x)dx= −[f(b) − f(a)]
S = −[f(5π4) − f(3π4)]📐 נוסחה: אינטגרל מסוים∫ab f′(x)dx = f(b) − f(a)
S = −[−√2 − 0]
S = √2 ≈ 1.414
✅ פתרון סופי: S = √2 ≈ 1.414
📌 סיכום התשובות – שאלה 7
| סעיף א (1) | x ≠ π2 , 3π2 |
|---|---|
| סעיף א (2) | חורים |
| סעיף א (3) | (0 , 1) , (3π4 , 0) , (7π4 , 0) |
| סעיף ב (2) | מקס (π4 , √2) , מינ (5π4 , −√2) , קצה (0 , 1) , (2π , 1) |
| סעיף ג (2) | k = √2 , −√2 , −1 |
| סעיף ד | √2 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2022 נבצרים, שאלה 7
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = tan(x) + 1x. ענו על הסעיפים א–ב בעבור התחום 0 ≤ x ≤ 3π2.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לציר ה־x.
גרף הפונקציה f(x) חותך את ציר ה־x בתחום הנתון בנקודה אחת בלבד ששיעוריה (2.798 , 0) בקירוב.
ב. מצאו את תחומי החיוביות ואת תחומי השליליות של הפונקציה f(x).
נתונה גם הפונקציה g(x) = cos(x)x, המוגדרת לכל x ≠ 0.
ג. האם הפונקציה g(x) היא זוגית, אי־זוגית, או לא זוגית ולא אי־זוגית? הוכיחו.
ד. (1) הראו כי בתחום 0 ≤ x ≤ 3π2 שיעור ה־x של אחת מנקודות הקיצון של g(x) שווה לשיעור ה־x של נקודת החיתוך של גרף f(x) עם ציר ה־x, וקבעו את סוג נקודת הקיצון הזאת.
(2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x) בתחום −3π2 ≤ x ≤ 3π2.
✏️ פתרון שאלה 7
סעיף א (1) – תחום ההגדרה
1x מוגדר כש־x ≠ 0.
tan x = sin xcos x מוגדר כש־cos x ≠ 0:📐 נוסחה: הגדרת tantan x = sin xcos x , cos x ≠ 0
cos x = 0 ⟸ x = π2 + πk
בתחום 0 ≤ x ≤ 3π2 אלה הנקודות x = π2 ו־x = 3π2.
✅ פתרון סופי: 0 < x < 3π2 , x ≠ π2
סעיף א (2) – אסימפטוטות אנכיות
ליד x = 0 (מימין): 1x → ∞ ו־tan x → 0, ולכן f → ∞.
ליד x = π2 ו־x = 3π2: cos x → 0 ו־tan x → ±∞, ואילו 1x סופי.
✅ פתרון סופי: x = 0 , x = π2 , x = 3π2
סעיף ב – חיוביות ושליליות
הפונקציה רציפה בכל קטע של תחום ההגדרה, ומתאפסת רק ב־x ≈ 2.798. לכן הסימן קבוע בכל אחד מהקטעים, ונבדוק נקודה אחת בכל קטע:
0 < x < π2 : f(π4) = 1 + 4π > 0
π2 < x < 2.798 :
f(2) = tan 2 + 0.5 ≈ −1.685 < 0
2.798 < x < 3π2 : f(π) = 0 + 1π > 0
✅ פתרון סופי: חיובית: 0 < x < π2 , 2.798 < x < 3π2 ; שלילית: π2 < x < 2.798
סעיף ג – זוגיות
g(−x) = cos(−x)−x📐 נוסחה: זוגיות של coscos(−x) = cos x
= cos x−x = −cos xx = −g(x)
גם תחום ההגדרה (x ≠ 0) סימטרי סביב 0.📐 הגדרה: פונקציה אי־זוגיתg(−x) = −g(x)
✅ פתרון סופי: אי־זוגית
סעיף ד (1) – נקודת הקיצון של g
g′(x) = −sin x · x − cos x · 1x2📐 נוסחה: נגזרת מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= −x sin x + cos xx2
g′(x) = 0 ⟸ x sin x + cos x = 0
אם cos x = 0 אז x sin x = ±x ≠ 0, כלומר אין פתרון כזה. לכן מותר לחלק ב־x cos x:
x sin xx cos x + cos xx cos x = 0
tan x + 1x = 0📐 נוסחה: הגדרת tantan x = sin xcos x
f(x) = 0 ⟸ x ≈ 2.798
כלומר שיעור ה־x של נקודת הקיצון של g הוא שיעור ה־x של נקודת החיתוך של f עם ציר ה־x.
סוג הנקודה – לפי הסימן של g′. כש־cos x ≠ 0:
x sin x + cos x = x cos x · f(x)
g′(x) = −x cos x · f(x)x2
= −cos x · f(x)x
ליד x ≈ 2.798: cos x < 0 ו־x > 0, ולכן הסימן של g′ שווה לסימן של f:
• משמאל ל־2.798: f < 0 (סעיף ב), ולכן g′ < 0 – יורדת.
• מימין ל־2.798: f > 0, ולכן g′ > 0 – עולה.
ירידה ואז עלייה – מינימום.
g(2.798) = cos 2.7982.798 ≈ −0.94162.798
≈ −0.337
✅ פתרון סופי: מינימום בנקודה (2.798 , −0.337)
סעיף ד (2) – סקיצה של g
בתחום 0 < x ≤ 3π2: x = 0 אסימפטוטה אנכית (g → ∞ מימין), חיתוך עם ציר ה־x ב־π2 וב־3π2 (שם cos x = 0), ומינימום ב־(2.798 , −0.337).
g אי־זוגית (סעיף ג), ולכן הגרף סימטרי סביב ראשית הצירים: בצד השלילי יש מקסימום (−2.798 , 0.337), ו־g → −∞ כש־x → 0 משמאל.
הגרף בקנה מידה (כחול):
✅ פתרון סופי: הסקיצה שבסרטוט
📌 סיכום התשובות – שאלה 7
| סעיף א (1) | 0 < x < 3π2 , x ≠ π2 |
|---|---|
| סעיף א (2) | x = 0 , x = π2 , x = 3π2 |
| סעיף ב | חיובית: 0 < x < π2 , 2.798 < x < 3π2 שלילית: π2 < x < 2.798 |
| סעיף ג | אי־זוגית |
| סעיף ד (1) | מינימום (2.798 , −0.337) |
| סעיף ד (2) | סקיצה |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – הגדרת פונקציה זוגית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 נבצרים⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 7 פרמטר
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = cos(mx) + cos(2x) , m הוא פרמטר שונה מ־0.
נתון: f′(π4) = −2.
א. הראו כי m = 4n , כאשר n הוא מספר שלם שונה מ־0.
הציבו m = 4 , וענו על הסעיפים ב–ד.
ב. בתחום 0 ≤ x ≤ π:
(1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.
(2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.
ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x) בתחום −π ≤ x ≤ π.
ד. נתונה הפונקצייה k(x) המקיימת k′(x) = f(x). גרף הפונקצייה k(x) עובר בראשית הצירים.
לפניכם ארבעה גרפים בתחום −π ≤ x ≤ π. איזה מהם מתאר את הפונקצייה k(x)? נמקו את תשובתכם (היעזרו בסעיף ג).
✏️ פתרון שאלה 7
סעיף א – הוכחה ש־m = 4n
f′(x) = −m sin(mx) − 2 sin(2x)📐 נוסחה: נגזרת(cos(ax))′ = −a sin(ax)
f′(π4) = −m sin(mπ4) − 2 sin π2
−m sin(mπ4) − 2 = −2
m sin(mπ4) = 0
m ≠ 0, ולכן:
sin(mπ4) = 0📐 נוסחה: משוואה טריגונומטריתsin t = 0 – t = πn
mπ4 = πn
m = 4n
n שלם, ו־n ≠ 0 כי m ≠ 0.
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ב (1) – חיתוך עם הצירים
f(x) = cos 4x + cos 2x
ציר y:
f(0) = 1 + 1 = 2
ציר x: נבטא את cos 4x בעזרת cos 2x:📐 נוסחה: קוסינוס של זווית כפולהcos 2t = 2cos2t − 1
2cos22x − 1 + cos 2x = 0
(2cos 2x − 1)(cos 2x + 1) = 0
cos 2x = 12
או
cos 2x = −1
בתחום 0 ≤ x ≤ π מתקיים 0 ≤ 2x ≤ 2π:
2x = π3
2x = 5π3
2x = π
x = π6
x = 5π6
x = π2
✅ פתרון סופי: (0 , 2) ; (π6 , 0) , (π2 , 0) , (5π6 , 0)
סעיף ב (2) – נקודות קיצון
f′(x) = −4 sin 4x − 2 sin 2x📐 נוסחה: נגזרת(cos(ax))′ = −a sin(ax)
f′(x) = −8 sin 2x cos 2x📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולהsin 2t = 2 sin t cos t
− 2 sin 2x
f′(x) = −2 sin 2x (4cos 2x + 1)
f′(x) = 0📐 תנאי: נקודת קיצוןf′(x) = 0
אפשרות 1:
sin 2x = 0
x = 0
x = π2
x = π
אפשרות 2:
cos 2x = −14
2x ≈ 1.823
או
2x ≈ 2π − 1.823 ≈ 4.460
x ≈ 0.912 (≈ 0.29π)
x ≈ 2.230 (≈ 0.71π)
ערכי הפונקציה: כאשר cos 2x = −¼:
cos 4x = 2 · 116 − 1 = −78📐 נוסחה: קוסינוס של זווית כפולהcos 2t = 2cos2t − 1
f = −78 − 14 = −98
f(π2) = cos 2π + cos π = 0
f(0) = 2
f(π) = 1 + 1 = 2
סוג הקיצון (סימן f′):
נציב נקודות בתחומים בנגזרת f′(x) = −2 sin 2x (4cos 2x + 1):
f′(0.5) ≈ −5.3 < 0📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – עולהf′ < 0 – יורדת
f′(1.2) ≈ 2.6 > 0
f′(1.9) ≈ −2.6 < 0
f′(2.6) ≈ 5.1 > 0
יורדת מ־0 עד 0.912, עולה עד ½π, יורדת עד 2.230, עולה עד π.
✅ פתרון סופי: מקסימום (0 , 2) , (π2 , 0) , (π , 2) ; מינימום (0.29π , −98) , (0.71π , −98)
סעיף ג – סקיצה בתחום −π עד π
f(−x) = cos(−4x) + cos(−2x)📐 נוסחה: פונקציה זוגיתf(−x) = f(x)
f(−x) = cos 4x + cos 2x = f(x)
הפונקציה זוגית, ולכן הגרף סימטרי לציר ה־y. משלימים את החלק השמאלי בשיקוף של סעיף ב.
f(x) בתחום −π ≤ x ≤ π: מקסימום 2 בקצוות וב־x = 0, מקסימום 0 ב־x = ±½π (הגרף נוגע בציר), מינימום −9/8.
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
סעיף ד – איזה גרף מתאר את k
k′(x) = f(x): היכן ש־f > 0 – k עולה; היכן ש־f < 0 – k יורדת.📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – עולהf′ < 0 – יורדת
לפי הסקיצה של סעיף ג:
−π < x < −⅚π: f > 0 – k עולה. −⅚π < x < −⅙π: f ≤ 0 – k יורדת (ב־x = −½π מתקיים f = 0 בלי החלפת סימן: נקודה אופקית בירידה).
−⅙π < x < ⅙π: f > 0 – עולה, ועוברת בראשית בשיפוע k′(0) = f(0) = 2 > 0. ⅙π < x < ⅚π: יורדת (עם נקודה אופקית ב־½π). ⅚π < x < π: עולה.
לכן לגרף של k: מקסימום, ירידה עם קטע אופקי, מינימום משמאל לראשית, עלייה דרך הראשית, מקסימום, ירידה עם קטע אופקי, מינימום, ועלייה.
גרפים ב ו־ג יורדים בהתחלה, וגרף ד יורד בראשית ואין לו נקודות אופקיות בירידה. רק גרף א מתאים.
לבדיקה: k(x) = sin 4x4 + sin 2x2 (מקיימת k′ = f ו־k(0) = 0) – צורת גרף א.
✅ פתרון סופי: גרף א
📌 סיכום התשובות – שאלה 7
| סעיף א | הוכח |
|---|---|
| סעיף ב (1) | (0 , 2) ; (π/6 , 0) , (π/2 , 0) , (5π/6 , 0) |
| סעיף ב (2) | מקס (0 , 2) , (π/2 , 0) , (π , 2) ; מינ (0.29π , −9/8) , (0.71π , −9/8) |
| סעיף ג | סקיצה |
| סעיף ד | גרף א |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2021 מועד מיוחד⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2021 מועד ב׳, שאלה 7 הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = cos2xsin x + 3 בתחום 0 ≤ x ≤ 2π.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) בתחום הנתון.
(2) מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לציר ה־x.
(3) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).
(4) מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.
ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נתונות הפונקציות g(x) = √(f(x) − 3) ו־k(x) = f(x) − 3 בתחום הנתון.
ג. אחד מן הגרפים א–ד שלפניכם מתאר את הפונקציה k(x), ואחד מתאר את הפונקציה g(x). קבעו איזה גרף מתאר כל פונקציה. נמקו.
✏️ פתרון שאלה 7
סעיף א (1) – תחום ההגדרה
sin x ≠ 0📐 כלל: תחום הגדרה של מנההמכנה שונה מ־0
sin x = 0 ⟺ x = 0 , π , 2π📐 נוסחה: אפסי הסינוסsin x = 0 ⟺ x = πk (בתחום: 0 , π , 2π)
0 < x < π📐 כלל: תחום הגדרה של מנההמכנה שונה מ־0
π < x < 2π
✅ פתרון סופי: 0 < x < 2π , x ≠ π
סעיף א (2) – אסימפטוטות אנכיות
בנקודות שבהן המכנה מתאפס, המונה cos2x = 1 ≠ 0:📐 כלל: אסימפטוטה אנכיתx = c שמאפס את המכנה ולא מאפס את המונה
x = 0📐 כלל: אסימפטוטה אנכיתx = c שמאפס את המכנה ולא מאפס את המונה
x = π
x = 2π
✅ פתרון סופי: x = 0 , x = π , x = 2π
סעיף א (3) – עלייה וירידה
(cos2x)′ = 2cos x · (−sin x)📐 נוסחה: נגזרת של פונקציה מורכבת((g(x))2)′ = 2g(x) · g′(x) , (cos x)′ = −sin x
= −2sin x cos x
f′(x)📐 נוסחה: נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2 , (sin x)′ = cos x
= −2sin x cos x·sin x − cos2x·cos xsin2x
f′(x) = −cos x(2sin2x + cos2x)sin2x📐 נוסחה: הוצאת גורם משותף−2sin2x cos x − cos3x = −cos x(2sin2x + cos2x)
f′(x) = −cos x(1 + sin2x)sin2x📐 נוסחה: זהות פיתגוריתsin2x + cos2x = 1
1 + sin2x > 0 ו־sin2x > 0, ולכן הסימן של f′(x) הפוך לסימן של cos x:📐 כלל: סימן הנגזרתf′ > 0 עולה , f′ < 0 יורדת
f′(x) = 0 ⟺ cos x = 0 📐 נוסחה: אפסי הקוסינוסcos x = 0 ⟺ x = π/2 + πk
⟺ x = π/2 , 3π/2
cos x > 0 עבור 0 < x < π/2 ו־3π/2 < x < 2π (שם f יורדת), ו־cos x < 0 עבור π/2 < x < 3π/2 (שם f עולה, פרט ל־x = π שאינו בתחום).📐 כלל: סימן הנגזרתf′ > 0 עולה , f′ < 0 יורדת
✅ פתרון סופי: עלייה: π/2 < x < π , π < x < 3π/2 ; ירידה: 0 < x < π/2 , 3π/2 < x < 2π
סעיף א (4) – נקודות קיצון
ב־x = π/2 הנגזרת משנה סימן מ־ − ל־ +, וב־x = 3π/2 מ־ + ל־ −:📐 כלל: סוג הקיצון− ל־ + ⟸ מינימום ; + ל־ − ⟸ מקסימום
f(π2) = 01 + 3 = 3📐 נוסחה: ערכים מיוחדיםcos(π/2) = 0 , sin(π/2) = 1
f(3π2) = 0−1 + 3 = 3📐 נוסחה: ערכים מיוחדיםcos(3π/2) = 0 , sin(3π/2) = −1
✅ פתרון סופי: מינימום (π/2 , 3) , מקסימום (3π/2 , 3)
סעיף ב – סקיצה
בתחום 0 < x < π: sin x > 0, ולכן f(x) ≥ 3 והגרף שואף ל־∞ ליד x = 0 ו־x = π. בתחום π < x < 2π: sin x < 0, ולכן f(x) ≤ 3 והגרף שואף ל־ −∞ ליד x = π ו־x = 2π.📐 תזכורת: שלבי חקירהתחום, אסימפטוטות, עלייה וירידה, קיצון
✅ פתרון סופי: הסקיצה שבסרטוט
סעיף ג – זיהוי הגרפים
k(x) = f(x) − 3 היא הזזה של הגרף של f שלוש יחידות למטה:📐 כלל: הזזה אנכיתf(x) − c : הגרף זז c יחידות למטה
מינימום (π/2 , 0)📐 כלל: הזזה אנכיתנקודה (x , y) עוברת ל־(x , y − 3)
מקסימום (3π/2 , 0)
כלומר k(x) ≥ 0 בתחום 0 < x < π, ו־k(x) ≤ 0 בתחום π < x < 2π, עם אותן אסימפטוטות – זה גרף ג.
g(x) = √k(x) מוגדרת רק כאשר k(x) ≥ 0:📐 כלל: תחום הגדרה של שורשהביטוי שבתוך השורש ≥ 0
k(x) = cos2xsin x ≥ 0 ⟺ sin x > 0📐 כלל: סימן מנהcos2x ≥ 0, ולכן הסימן נקבע לפי sin x
או
cos x = 0
לכן g מוגדרת בתחום 0 < x < π (ובנוסף רק בנקודה הבודדת x = 3π/2, שבה g = 0). ב־x = π/2 מתקיים g = 0, וליד x = 0 ו־x = π הפונקציה שואפת ל־∞ – זה גרף א.
גרף ב פסול כי יש לו חלק חיובי בתחום π < x < 2π, שבו k(x) < 0. גרף ד פסול כי ערך המינימום שלו חיובי, ואילו k(π/2) = 0.
✅ פתרון סופי: גרף ג' מתאר את k(x) , גרף א' מתאר את g(x)
📌 סיכום התשובות – שאלה 7
| א (1) | 0 < x < 2π , x ≠ π |
|---|---|
| א (2) | x = 0 , π , 2π |
| א (3) | עלייה: π/2 < x < π , π < x < 3π/2 ; ירידה: 0 < x < π/2 , 3π/2 < x < 2π |
| א (4) | מינימום (π/2 , 3) , מקסימום (3π/2 , 3) |
| ב | סקיצה |
| ג | k – גרף ג' , g – גרף א' |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 33 – הזזה לפונקציית שורש
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2021 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 571 לפי נושא
🎓 רוצים להבין את זה לעומק?
בקורסים של מתמטריק כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.
השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il