בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (35471) · שאלות לפי נושא

שאלות בגרות 471 לפי נושא – בעיות קיצון

כל בעיות הקיצון מבחינות הבגרות בשאלון 471: מלבנים ומשולשים מתחת לגרף, שטח מקסימלי ומינימלי ובעיות מהחיים. מהבחינה החדשה ביותר אחורה, ובכל שאלה הנוסח המלא ומתחתיו פתרון מלא שלב אחר שלב.

⬅️ חזרה לקורס: בעיות קיצון – 471

📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 471 לפי נושא

51 שאלות פתורות בשתי קבוצות: 29 בעיות קיצון גרפיות ו־22 בעיות קיצון הנדסיות. לוחצים על מועד ועוברים ישר לשאלה.

📈 בעיות קיצון גרפיות

בגרויות חדשות – שאלון 471

חורף 2026 קיץ 2025 ב קיץ 2025 א חורף 2025 קיץ 2024 ב קיץ 2024 א חורף 2024 קיץ 2023 מיוחד חורף 2022

בגרויות ישנות

📐 בעיות קיצון הנדסיות

בגרויות חדשות – שאלון 471

קיץ 2026 ב קיץ 2026 א קיץ 2023 ב קיץ 2023 א

בגרויות ישנות

קיץ 2021 מיוחד חורף 2021 אפריל קיץ 2020 א קיץ 2019 ב חורף 2018 קיץ 2017 א חורף 2017 קיץ 2016 א חורף 2016 קיץ 2014 ג קיץ 2014 א חורף 2014 קיץ 2013 ב חורף 2013 קיץ 2012 ב קיץ 2012 א חורף 2012 קיץ 2011 א

📈 בעיות קיצון גרפיות

📅 חורף 2026, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה f(x) = 6x − 12x − 8.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה f(x).

הנקודה A היא נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x.

ב. מצאו את שיעורי הנקודה A.

הנקודה C נמצאת על גרף הפונקצייה f(x) בתחום x > 8. מן הנקודה C העבירו אנך לציר ה־x החותך אותו בנקודה B. הנקודה D נמצאת ברביע הראשון כך ש־ABCD הוא מלבן. נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה C.

ג. הביעו באמצעות t את היקף המלבן ABCD.

ד. מצאו את הערך של t שבעבורו היקף המלבן ABCD הוא מינימלי.

ה. האם ייתכן שהיקף המלבן ABCD הוא 50? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א (1) – תחום הגדרה

x − 8 ≠ 0 → x ≠ 8📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0

✅ פתרון סופי: x ≠ 8

סעיף א (2) – אסימפטוטות

אנכית: המכנה מתאפס ב־x = 8, והמונה שם 6 · 8 − 12 = 36 ≠ 0:

x = 8📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0

אופקית: החזקה הגבוהה במונה ובמכנה שווה (חזקה 1), ולכן מחלקים את המקדמים:

y = 61 = 6📐 אסימפטוטה אופקיתחזקות שוות ← y = מקדם במונהמקדם במכנה

✅ פתרון סופי: x = 8 , y = 6

סעיף ב – שיעורי A

מציבים y = 0. שבר שווה 0 כשהמונה 0:

6x − 12x − 8 = 0📐 שבר שווה לאפסab = 0 ⟺ a = 0

6x − 12 = 0 → 6x = 12 → x = 2

✅ פתרון סופי: A(2 , 0)

סעיף ג – היקף המלבן באמצעות t

שיעורי הקודקודים:

C(t , 6t − 12t − 8) – על הגרף

B(t , 0) – מתחת ל־C על ציר ה־x

D(2 , 6t − 12t − 8) – מעל A, באותו גובה של C

אורכי הצלעות:

AB = t − 2

BC = 6t − 12t − 8 (חיובי כש־t > 8)

P = 2(t − 2) + 2 · 6t − 12t − 8📐 היקף מלבןP = 2a + 2b

P(t) = 2t − 4 + 12t − 24t − 8

✅ פתרון סופי: P(t) = 2t − 4 + 12t − 24t − 8 , t > 8

סעיף ד – היקף מינימלי

גוזרים. הנגזרת של 2t − 4 היא 2. את השבר גוזרים לפי נגזרת של מנה:

(12t − 24t − 8)′ = 12(t − 8) − (12t − 24) · 1(t − 8)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

= 12t − 96 − 12t + 24(t − 8)² = −72(t − 8)²

P′(t) = 2 − 72(t − 8)²

2 − 72(t − 8)² = 0📐 נקודת קיצוןP′(t) = 0

מעבירים אגף וכופלים ב־(t − 8)²:

2(t − 8)² = 72 → (t − 8)² = 36

t − 8 = 6 → t = 14 או t − 8 = −6 → t = 2 (נפסל, כי t > 8)

בודקים שזה מינימום – סימן הנגזרת סביב 14:

P′(10) = 2 − 724 = −16 < 0 ← יורדת

P′(20) = 2 − 72144 = 1.5 > 0 ← עולה

יורדת ואז עולה – מינימום ב־t = 14. ההיקף המינימלי:

P(14) = 2 · 14 − 4 + 12 · 14 − 2414 − 8 = 24 + 1446 = 24 + 24 = 48

✅ פתרון סופי: t = 14 (ההיקף המינימלי 48)

סעיף ה – האם ההיקף יכול להיות 50

ההיקף המינימלי הוא 48, ו־50 > 48. כש־t מתקרב ל־8 או גדל מאוד, ההיקף גדל בלי גבול, ולכן ההיקף עובר דרך כל ערך מעל 48. מוודאים בחישוב:

2t − 4 + 12t − 24t − 8 = 50

כופלים ב־(t − 8):

(2t − 4)(t − 8) + 12t − 24 = 50(t − 8)

2t² − 16t − 4t + 32 + 12t − 24 = 50t − 400📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

2t² − 8t + 8 = 50t − 400

2t² − 58t + 408 = 0

מחלקים ב־2:

t² − 29t + 204 = 0

(t − 12)(t − 17) = 0📐 טרינוםp · q = c , p + q = b : 12 · 17 = 204 , 12 + 17 = 29

t = 12 או t = 17 – שניהם גדולים מ־8.

בדיקה: t = 12 : AB = 10 BC = 604 = 15 P = 2(10 + 15) = 50 ✓

✅ פתרון סופי: כן – למשל כש־t = 12 או t = 17

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א (1)	x ≠ 8
סעיף א (2)	x = 8 , y = 6
סעיף ב	A(2 , 0)
סעיף ג	P = 2t − 4 + 12t − 24t − 8
סעיף ד	t = 14 (היקף 48)
סעיף ה	כן, t = 12 או t = 17

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 8

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה f(x) = x − 6x − 8 בתחום x > 8. הנקודה O היא ראשית הצירים.

הנקודה A נמצאת על גרף הפונקצייה f(x) בתחום x > 8. מן הנקודה A העבירו אנך לציר ה־x, החותך אותו בנקודה B. הנקודה C נמצאת על ציר ה־x מימין לנקודה B.

נתון: OB = 2 · BC. נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה A.

א. (1) הביעו באמצעות t את אורך הקטע OC. (2) הביעו באמצעות t את שטח המשולש AOC.

ב. מצאו את הערך של t שבעבורו שטח המשולש AOC הוא מינימלי.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א (1) – אורך OC

B מתחת ל־A, ולכן B(t , 0) ו־OB = t.

t = 2 · BC → BC = t2

OC = OB + BC = t + t2 = 1.5t

✅ פתרון סופי: OC = 1.5t

סעיף א (2) – שטח המשולש AOC

הבסיס OC על ציר ה־x, והגובה הוא AB – ה־y של A:

AB = f(t) = t − 6t − 8

S = 1.5t · t − 6t − 82📐 שטח משולשS = בסיס · גובה2

= 1.5t(t − 6)2(t − 8) = 3t(t − 6)4(t − 8)

✅ פתרון סופי: S(t) = 3t(t − 6)4(t − 8)

סעיף ב – שטח מינימלי

S(t) = 34 · t² − 6tt − 8. גוזרים את השבר לפי נגזרת של מנה (u = t² − 6t , u′ = 2t − 6 ; v = t − 8 , v′ = 1):

S′(t) = 34 · (2t − 6)(t − 8) − (t² − 6t)(t − 8)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

פותחים סוגריים במונה:

(2t − 6)(t − 8) = 2t² − 16t − 6t + 48 = 2t² − 22t + 48📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

2t² − 22t + 48 − t² + 6t = t² − 16t + 48

t² − 16t + 48 = 0📐 נקודת קיצוןS′(t) = 0

(t − 4)(t − 12) = 0📐 טרינוםp · q = c , p + q = b : (−4)(−12) = 48 , −4 − 12 = −16

t = 12 או t = 4 (נפסל, כי t > 8)

בודקים שזה מינימום:

t = 10 : 100 − 160 + 48 = −12 < 0 ← יורדת

t = 14 : 196 − 224 + 48 = 20 > 0 ← עולה

S(12) = 3 · 12 · 64 · 4 = 21616 = 13.5

✅ פתרון סופי: t = 12 (השטח המינימלי 13.5)

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א (1)	OC = 1.5t
סעיף א (2)	S = 3t(t − 6)4(t − 8)
סעיף ב	t = 12 (S = 13.5)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד א', שאלה 8

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה f(x) = ax − 4, המוגדרת בתחום x ≠ 4. a הוא פרמטר שונה מ־0.

הנקודה A היא נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־y. דרך הנקודה A העבירו משיק לגרף הפונקצייה f(x). נתון כי שיפוע המשיק הוא −1.5.

א. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 24 בפונקצייה f(x), וענו על הסעיפים ב–ג.

ב. מצאו את משוואת המשיק.

הנקודה B נמצאת על גרף הפונקצייה f(x), בתחום x > 4. הנקודה C נמצאת על המשיק כך שהקטע BC מקביל לציר ה־y. נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה B.

ג. (1) הביעו באמצעות t את אורך הקטע BC. (2) מצאו את הערך של t שבעבורו אורך הקטע BC הוא מינימלי.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – הערך של a

גוזרים לפי נגזרת של מנה (u = a , u′ = 0 ; v = x − 4 , v′ = 1):

f′(x) = 0 · (x − 4) − a · 1(x − 4)² = −a(x − 4)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

A על ציר ה־y, כלומר x = 0, והשיפוע שם −1.5:

f′(0) = −a(0 − 4)² = −a16 = −1.5📐 שיפוע המשיקm = f′(x₀)

כופלים ב־16:

−a = −24 → a = 24

✅ פתרון סופי: a = 24

סעיף ב – משוואת המשיק

f(0) = 240 − 4 = −6 , A(0 , −6)

y − (−6) = −1.5(x − 0)📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)

y = −1.5x − 6

✅ פתרון סופי: y = −1.5x − 6

סעיף ג (1) – אורך BC באמצעות t

B(t , 24t − 4) – על הגרף, t > 4

C(t , −1.5t − 6) – על המשיק, מתחת ל־B

BC מקביל לציר ה־y, ולכן אורכו הוא הפרש ה־y (העליון פחות התחתון):

BC = 24t − 4 − (−1.5t − 6)📐 אורך קטע אנכיd = y₁ − y₂(ה־y העליון פחות התחתון)

BC = 24t − 4 + 1.5t + 6

✅ פתרון סופי: BC = 24t − 4 + 1.5t + 6

סעיף ג (2) – אורך BC מינימלי

נסמן d(t) = BC. את 24t − 4 גוזרים לפי נגזרת של מנה (כמו בסעיף א):

d′(t) = −24(t − 4)² + 1.5📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

−24(t − 4)² + 1.5 = 0📐 נקודת קיצוןd′(t) = 0

מעבירים אגף וכופלים ב־(t − 4)²:

1.5(t − 4)² = 24 → (t − 4)² = 16

t − 4 = 4 → t = 8 או t − 4 = −4 → t = 0 (נפסל, כי t > 4)

בודקים שזה מינימום:

d′(6) = −244 + 1.5 = −4.5 < 0 ← יורדת

d′(12) = −2464 + 1.5 = 1.125 > 0 ← עולה

יורדת ואז עולה – מינימום. האורך המינימלי:

d(8) = 244 + 12 + 6 = 24

✅ פתרון סופי: t = 8 (האורך המינימלי BC = 24)

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	a = 24
סעיף ב	y = −1.5x − 6
סעיף ג (1)	BC = 24t − 4 + 1.5t + 6
סעיף ג (2)	t = 8 (BC = 24)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2025, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

בסרטוט מתואר גרף הפונקציה f(x) = x + 3x − 6. הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון. הנקודה C נמצאת על ציר ה־x כך שהקטע AC מקביל לציר ה־y. הנקודה B היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה־x.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה.

ב. מצאו את שיעורי הנקודה B.

ג. (1) מצאו את שיעורי הנקודה A שבעבורה שטח המשולש ABC הוא מינימלי. (2) מצאו את השטח המינימלי של המשולש ABC.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – תחום הגדרה ואסימפטוטות

x − 6 ≠ 0 ⟸ x ≠ 6📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0

אנכית: ב־x = 6 המכנה מתאפס והמונה 6 + 3 = 9 ≠ 0 ← x = 6.

אופקית: החזקות במונה ובמכנה שוות (1), לוקחים את יחס המקדמים: 11 = 1 ← y = 1.📐 אסימפטוטה אופקיתחזקות שוות ← y = מקדם במונהמקדם במכנה

✅ פתרון סופי: (1) x ≠ 6 (2) x = 6 , y = 1

סעיף ב – הנקודה B

חיתוך עם ציר ה־x: f(x) = 0. שבר שווה 0 כשהמונה 0:

x + 3 = 0 ⟸ x = −3

✅ פתרון סופי: B(−3 , 0)

סעיף ג – המשולש הקטן ביותר

נסמן את שיעור ה־x של A ב־x. A ברביע הראשון על הענף הימני, לכן x > 6. אז:

A(x , x + 3x − 6) , C(x , 0)

המשולש ABC ישר זווית ב־C (כי AC אנכי ו־BC על ציר ה־x):

BC = x − (−3) = x + 3 , AC = x + 3x − 6

S(x) = (x + 3) · x + 3x − 62 = (x + 3)²2(x − 6)📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2

גוזרים לפי נגזרת של מנה עם u = (x + 3)² , v = 2(x − 6):

S′(x) = 2(x + 3) · 2(x − 6) − (x + 3)² · 24(x − 6)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

מוציאים גורם משותף 2(x + 3) במונה:

S′(x) = 2(x + 3)[2(x − 6) − (x + 3)]4(x − 6)² = (x + 3)(x − 15)2(x − 6)²

(x + 3)(x − 15) = 0📐 נקודת קיצוןS′(x) = 0

x = −3 (נפסל, x > 6) או x = 15

הצבות: S′(10) = 13 · (−5)32 < 0 , S′(20) = 23 · 5392 > 0:

x	6 < x < 15	15	x > 15
S′	−	0	+
S	↘	מינ׳	↗

f(15) = 15 + 315 − 6 = 189 = 2 ← A(15 , 2)

S(15) = 18²2 · 9 = 32418 = 18

✅ פתרון סופי: (1) A(15 , 2) (2) S = 18 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	x ≠ 6 ; x = 6 , y = 1
סעיף ב	B(−3 , 0)
סעיף ג	A(15 , 2) ; 18

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471 · קורס חקירת פונקציות 471

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 8

📄 נוסח השאלה

בסרטוט מתואר גרף הפונקציה f(x) = 3 − 6x בתחום x > 0. גרף הפונקציה חותך את ציר ה־x בנקודה A. מן הנקודה B(8 , 0) העבירו אנך לציר ה־x. C היא נקודה כלשהי על גרף הפונקציה. נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה C, 2 < t < 8. מן הנקודה C העבירו ישר המקביל לציר ה־x וחותך את האנך בנקודה D.

א. מצאו את שיעורי הנקודות A , C ו־D. הביעו את תשובותיכם באמצעות t, אם יש צורך.

ב. מצאו את שיעורי הנקודה C שבעבורה שטח המשולש ACD הוא מקסימלי.

ג. קבעו אם ייתכן ששטח המשולש ACD שווה ל־1. נמקו את קביעתכם.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – הנקודות A , C , D

A: f(x) = 0:

3 − 6x = 0 ⟸ 6x = 3 ⟸ x = 2

C על הגרף עם x = t: C(t , 3 − 6t)

D על האנך x = 8, באותו גובה של C: D(8 , 3 − 6t)

✅ פתרון סופי: A(2 , 0) , C(t , 3 − 6t) , D(8 , 3 − 6t)

סעיף ב – שטח מקסימלי

הצלע CD אופקית: CD = 8 − t. הגובה מ־A (על ציר ה־x) אל CD הוא שיעור ה־y של C: 3 − 6t.

S(t) = (8 − t)(3 − 6t)2📐 שטח משולשS = צלע · גובה2

פותחים סוגריים:

(8 − t)(3 − 6t) = 24 − 48t − 3t + 6 = 30 − 3t − 48t

S(t) = 15 − 1.5t − 24t

S′(t) = −1.5 + 24t²📐 נגזרת של חזקה(1t)′ = −1t²

−1.5 + 24t² = 0📐 נקודת קיצוןS′(t) = 0

24t² = 1.5 ⟸ t² = 16 ⟸ t = 4 (כי t > 0)

הצבות: S′(3) = −1.5 + 249 > 0 , S′(5) = −1.5 + 2425 < 0:

t	2 < t < 4	4	4 < t < 8
S′	+	0	−
S	↗	מקס׳	↘

f(4) = 3 − 64 = 1.5 ← C(4 , 1.5)

S(4) = 15 − 6 − 6 = 3

✅ פתרון סופי: C(4 , 1.5) (השטח המקסימלי 3)

סעיף ג – שטח של 1?

השטח משתנה ברציפות. כש־t מתקרב ל־2, הגובה 3 − 6t מתקרב ל־0 ולכן S → 0. ב־t = 4 השטח 3.

כלומר בין t = 2 ל־t = 4 השטח עובר את כל הערכים שבין 0 ל־3 – ובכלל זה 1.

ואפשר גם למצוא בדיוק:

15 − 1.5t − 24t = 1

כופלים ב־t:

1.5t² − 14t + 24 = 0

כופלים ב־2:

3t² − 28t + 48 = 0

t = 28 ± √784 − 5766 = 28 ± √2086📐 נוסחת השורשיםx_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

t ≈ 2.26 או t ≈ 7.07 – שניהם בתחום 2 < t < 8.

✅ פתרון סופי: כן, ייתכן (למשל t ≈ 2.26)

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	A(2 , 0) , C(t , 3 − 6t) , D(8 , 3 − 6t)
סעיף ב	C(4 , 1.5)
סעיף ג	כן

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד א', שאלה 8

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = 48x² + 1. נתונה הנקודה A, ששיעוריה הם (0 , −2). הנקודות B ו־C נמצאות על גרף הפונקצייה f(x), כמתואר בסרטוט. הישר BC מקביל לציר ה־x. נסמן את שיעור ה־x של הנקודה B ב־t, t > 0.

א. הביעו באמצעות t את שיעורי הנקודות B ו־C.

ב. מצאו את ערכו של t שבעבורו שטח המשולש ABC הוא מינימלי.

ג. בעבור הערך של t שמצאתם בסעיף ב, מצאו את היקף המשולש ABC.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – שיעורי B ו־C

B(t , f(t)) = (t , 48t² + 1)

f(−t) = f(t) (ריבוע), ולכן הנקודה הסימטרית על הגרף באותו גובה היא C:📐 פונקצייה זוגיתהגרף סימטרי לציר ה־y

✅ פתרון סופי: B(t , 48t² + 1)

✅ פתרון סופי: C(−t , 48t² + 1)

סעיף ב – שטח מינימלי

BC = t − (−t) = 2t

הגובה מ־A אל BC הוא ההפרש בשיעורי ה־y:

h = 48t² + 1 − (−2) = 48t² + 3

S = 12 · 2t · (48t² + 3) = 48t + 3t📐 שטח משולשS = בסיס · גובה2

S′(t) = −48t² + 3📐 נגזרת של ax(ax)′ = −ax²

48t² = 3 → t² = 16 → t = 4📐 נקודת קיצוןS′(t) = 0

(t = −4 נפסל, כי t > 0)

S′(2) = −12 + 3 < 0 ← יורדת ; S′(8) = −34 + 3 > 0 ← עולה

S(4) = 12 + 12 = 24 – מינימום.

✅ פתרון סופי: t = 4 (השטח המינימלי 24)

סעיף ג – היקף המשולש

B(4 , 4816 + 1) = (4 , 4) , C(−4 , 4) , A(0 , −2)

BC = 2 · 4 = 8

AB = √(4 − 0)² + (4 + 2)² = √16 + 36 = √52 ≈ 7.211📐 מרחק בין נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

AC = AB – סימטריה לציר ה־y.

P = 8 + 2 · 7.211 ≈ 22.42

✅ פתרון סופי: P ≈ 22.42 (בדיוק 8 + 4√13)

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	B(t , 48t² + 1) , C(−t , 48t² + 1)
סעיף ב	t = 4 (S = 24)
סעיף ג	P ≈ 22.42

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2024, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

לפניכם סרטוט של גרף הפונקציה f(x) = 91 − x + 2, המוגדרת לכל x ≠ 1.

א. מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים.

מנקודה A, הנמצאת על גרף הפונקציה f(x) ברביע השני, העבירו אנכים לאסימפטוטות של הפונקציה f(x) כך שהאסימפטוטות והאנכים יוצרים מלבן.

ב. מצאו את שיעורי הנקודה A שבעבורה היקף המלבן מינימלי.

ג. חשבו את שטח המלבן בעבור שיעורי הנקודה A שמצאתם בסעיף ב.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – אסימפטוטות

אנכית: 1 − x = 0 ⟸ x = 1 (המונה 9 ≠ 0).

אופקית: כש־x גדל מאוד, 91 − x → 0, ולכן f(x) → 2.📐 אסימפטוטה אופקיתהשבר שואף ל־0 ← נשאר הקבוע

✅ פתרון סופי: x = 1 , y = 2

סעיף ב – היקף מינימלי

נסמן A(x , 91 − x + 2) עם x < 0 (רביע שני). ל־x < 1 המכנה חיובי, ולכן A מעל y = 2.

צלעות המלבן – המרחקים מ־A לאסימפטוטות:

רוחב (עד x = 1): 1 − x

גובה (עד y = 2): 91 − x + 2 − 2 = 91 − x

נסמן s = 1 − x (כאשר s > 1):

P(s) = 2s + 2 · 9s = 2s + 18s📐 היקף מלבןP = 2a + 2b

P′(s) = 2 − 18s²📐 נגזרת של חזקה(1s)′ = −1s²

2 − 18s² = 0 ⟸ s² = 9 ⟸ s = 3📐 נקודת קיצוןP′(s) = 0

הצבות: P′(2) = 2 − 4.5 < 0 , P′(4) = 2 − 1.125 > 0 ← מינימום.

s	1 < s < 3	3	s > 3
P′	−	0	+
P	↘	מינ׳	↗

1 − x = 3 ⟸ x = −2

f(−2) = 93 + 2 = 5

✅ פתרון סופי: A(−2 , 5)

סעיף ג – שטח המלבן

רוחב s = 3 , גובה 93 = 3:

S = 3 · 3 = 9📐 שטח מלבןS = a · b

✅ פתרון סופי: 9

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	x = 1 , y = 2
סעיף ב	A(−2 , 5)
סעיף ג	9

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

נתונים הפונקצייה f(x) = −x² + 16x והישר y = 4x. הנקודה A נמצאת על גרף הפונקצייה f(x) ברביע הראשון. הנקודה B נמצאת על הישר הנתון כך שהנקודה A נמצאת מעליה, כמתואר בסרטוט. O היא ראשית הצירים. הנקודה C נמצאת על החלק החיובי של ציר ה־y כך שהמרובע ABOC הוא מקבילית. נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה A.

א. הביעו באמצעות t את אורך הצלע AB ואת אורך הגובה לצלע AB במקבילית.

ב. מצאו את הערך של t שבעבורו שטח המקבילית ABOC הוא מקסימלי.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – AB והגובה

A(t , −t² + 16t) , B(t , 4t) – אותו x, ולכן AB אנכי.

AB = −t² + 16t − 4t = −t² + 12t

AB מקביל לציר ה־y, ו־OC על ציר ה־y. הגובה הוא המרחק בין שני הישרים האנכיים x = 0 ו־x = t: h = t.📐 גובה במקביליתהמרחק בין שתי הצלעות המקבילות

✅ פתרון סופי: AB = −t² + 12t , h = t

סעיף ב – שטח מקסימלי

A מעל B: −t² + 12t > 0 → 0 < t < 12.

S(t) = t(−t² + 12t) = −t³ + 12t²📐 שטח מקביליתS = צלע · הגובה אליה

S′(t) = −3t² + 24t📐 נגזרת של פולינום(xⁿ)′ = n · x^{n − 1}

−3t(t − 8) = 0 → t = 8 (ו־t = 0 נפסל)📐 נקודת קיצוןS′(t) = 0

S′(4) = −48 + 96 > 0 ← עולה ; S′(10) = −300 + 240 < 0 ← יורדת

S(8) = −512 + 768 = 256 – מקסימום.

✅ פתרון סופי: t = 8 (השטח המקסימלי 256)

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	AB = −t² + 12t , h = t
סעיף ב	t = 8 (S = 256)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022 (ינואר), שאלה 8

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x² + 3 ונתון הישר x = 5. הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון משמאל לישר. מן הנקודה A מעבירים ישר המקביל לציר ה־x וחותך את הישר הנתון בנקודה B. הנקודות C ו־D נמצאות על ציר ה־x כך שהמרובע ABCD הוא מלבן (ראה סרטוט). נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה A.

א. מצא את הערך של t שבעבורו שטח המלבן ABCD הוא מקסימלי.

ב. האם ייתכן מלבן ABCD שנבנה באופן המתואר ושטחו הוא 30? נמק.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – שטח מקסימלי

A(t , t² + 3) , B(5 , t² + 3) , 0 < t < 5. רוחב AB = 5 − t , גובה t² + 3:

S(t) = (5 − t)(t² + 3) = −t³ + 5t² − 3t + 15📐 שטח מלבןS = a · b

S′(t) = −3t² + 10t − 3📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

3t² − 10t + 3 = 0

t = 10 ± √100 − 366 = 10 ± 86 ⟸ t = 3 או t = 13📐 נוסחת השורשיםx_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

הצבות: S′(0.2) < 0 , S′(1) > 0 , S′(4) < 0:

t	0 < t < 13	13	13 < t < 3	3	3 < t < 5
S′	−	0	+	0	−
S	↘	מינ׳	↗	מקס׳	↘

S(3) = (5 − 3)(9 + 3) = 24

בקצה t → 0 השטח שואף ל־5 · 3 = 15 < 24, לכן t = 3 הוא המקסימום בכל התחום.

✅ פתרון סופי: t = 3 (השטח המקסימלי 24)

סעיף ב – שטח 30?

השטח הגדול ביותר האפשרי הוא 24, ו־30 > 24.

✅ פתרון סופי: לא ייתכן

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	t = 3
סעיף ב	לא

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 (ינואר)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – חורף 2023, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתואר חלק מגרף הפונקציה f(x) = 1 − 2x בתחום x > 0.

גרף הפונקציה f(x) חותך את ציר ה־x בנקודה A.

נקודה B נמצאת על גרף הפונקציה f(x), ברביע הראשון, משמאל לישר x = 5.

מן הנקודה B מעבירים ישר המקביל לציר ה־x וחותך את הישר x = 5 בנקודה C.

נתון: D(5 , 0).

א. מצאו את שיעורי הנקודה A.

נסמן את שיעור ה־x של הנקודה B ב־t.

ב. הביעו באמצעות t את שיעורי הנקודות B ו־C.

ג. מצאו את שיעורי הנקודה B שבעבורה שטח הטרפז ABCD הוא מקסימלי.

ד. הראו כי השטח המקסימלי של הטרפז ABCD הוא 1.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – הנקודה A

1 − 2x = 0📐 חיתוך עם ציר ה־xy = 0

1 = 2x

כופלים ב־x:

x = 2

✅ פתרון סופי: A(2 , 0)

סעיף ב – הנקודות B ו־C

הנקודה B על גרף הפונקציה, ושיעור ה־x שלה t:

B(t , 1 − 2t)📐 נקודה על גרףy = f(x)

הנקודה C על הישר x = 5, ובגובה של B (הקטע BC מקביל לציר ה־x):

C(5 , 1 − 2t)

תחום: B ברביע הראשון (מימין ל־A) ומשמאל לישר x = 5, ולכן 2 < t < 5.

✅ פתרון סופי: B(t , 1 − 2t)

✅ פתרון סופי: C(5 , 1 − 2t)

סעיף ג – שטח מקסימלי

בטרפז ABCD הבסיסים הם BC ו־AD (שניהם מקבילים לציר ה־x):

BC = 5 − t

AD = 5 − 2 = 3

הגובה הוא המרחק של BC מציר ה־x, כלומר שיעור ה־y של B:

h = 1 − 2t

S(t) = (5 − t) + 32 · (1 − 2t)📐 שטח טרפזS = (a + b) · h2

S(t) = 8 − t2 · (1 − 2t)

פותחים סוגריים:

S(t) = 12(8 − 16t − t + 2)📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

S(t) = 12(10 − t − 16t)

S(t) = 5 − t2 − 8t

כדי לגזור נכתוב 8t = 8t⁻¹:

S′(t) = 0 − 12 − 8 · (−1)t⁻²📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · x^{n − 1}

S′(t) = −12 + 8t²

משווים ל־0:

−12 + 8t² = 0📐 נקודת קיצוןS′(t) = 0

8t² = 12

כופלים ב־2t²:

t² = 16

t = 4 או t = −4

t = −4 לא בתחום 2 < t < 5, ולכן t = 4.

בודקים שזה מקסימום – סימן הנגזרת סביב 4:

S′(3) = −0.5 + 89 ≈ 0.39 > 0 ← עולה

S′(4.5) = −0.5 + 820.25 ≈ −0.1 < 0 ← יורדת

עולה ואז יורדת – מקסימום ב־t = 4. שיעור ה־y של B:

f(4) = 1 − 24 = 12

✅ פתרון סופי: B(4 , 12)

סעיף ד – השטח המקסימלי

מציבים t = 4 בפונקציית השטח:

S(4) = 5 − 42 − 84

S(4) = 5 − 2 − 2 = 1

בדיקה לפי הנוסחה המקורית: BC = 1 , AD = 3 , h = 12

S = 1 + 32 · 12 = 1📐 שטח טרפזS = (a + b) · h2

✅ פתרון סופי: השטח המקסימלי הוא 1 (כנדרש)

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	A(2 , 0)
סעיף ב	B(t , 1 − 2t) C(5 , 1 − 2t)
סעיף ג	B(4 , 12)
סעיף ד	השטח המקסימלי 1

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, חורף 2023). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2022 מועד ב', שאלה 8

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x) = (x + 1)².

הנקודה C היא נקודת הקיצון של הפונקציה f(x).

הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה f(x) ברביע הראשון. דרך הנקודה A העבירו ישר המקביל לציר ה־x. ישר זה חותך את הישר x = 9 בנקודה B (ראו סרטוט).

א. מצאו את שיעורי הנקודה C.

נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה A.

ב. מצאו את הערך של t שבעבורו שטח המשולש ABC הוא מקסימלי.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – הנקודה C

פותחים סוגריים כדי לגזור:

f(x) = x² + 2x + 1📐 ריבוע של סכום(a + b)² = a² + 2ab + b²

f′(x) = 2x + 2📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · x^{n − 1}

2x + 2 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

2x = −2

x = −1

f(−1) = (−1 + 1)² = 0

✅ פתרון סופי: C(−1 , 0)

סעיף ב – שטח מקסימלי

הנקודה A על גרף הפונקציה:

A(t , (t + 1)²)📐 נקודה על גרףy = f(x)

הנקודה B על הישר x = 9 ובגובה של A:

B(9 , (t + 1)²)

תחום: A ברביע הראשון ומשמאל לישר x = 9, ולכן 0 < t < 9.

הצלע AB מקבילה לציר ה־x:

AB = 9 − t

הנקודה C על ציר ה־x, ולכן הגובה לצלע AB הוא שיעור ה־y של A:

h = (t + 1)²

S(t) = (9 − t)(t + 1)²2📐 שטח משולשS = a · h2

פותחים סוגריים:

S(t) = (9 − t)(t² + 2t + 1)2📐 ריבוע של סכום(a + b)² = a² + 2ab + b²

S(t) = 9t² + 18t + 9 − t³ − 2t² − t2📐 פתיחת סוגרייםa(b + c + d) = ab + ac + ad

S(t) = −t³ + 7t² + 17t + 92

גוזרים:

S′(t) = −3t² + 14t + 172📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · x^{n − 1}

משווים ל־0 (מספיק שהמונה יהיה 0):

−3t² + 14t + 17 = 0📐 נקודת קיצוןS′(t) = 0

נוסחת השורשים במחשבון (MODE 5 3):📐 נוסחת השורשיםבמחשבון: MODE 5 3

t = −1 או t = 173

t = −1 לא בתחום 0 < t < 9, ולכן t = 173 ≈ 5.67.

בודקים שזה מקסימום – סימן המונה של הנגזרת סביב 5.67:

t = 5 : −75 + 70 + 17 = 12 > 0 ← עולה

t = 6 : −108 + 84 + 17 = −7 < 0 ← יורדת

עולה ואז יורדת – יש מקסימום ב־t = 173.

✅ פתרון סופי: t = 173 = 523

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	C(−1 , 0)
סעיף ב	t = 173

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2022 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2022 מועד א', שאלה 8

📄 נוסח השאלה

נתונות הפונקציות: f(x) = −x² + 9x , g(x) = x².

נקודה A נמצאת על גרף הפונקציה f(x) ברביע הראשון מעל לגרף הפונקציה g(x).

מן הנקודה A מעבירים שני ישרים: ישר המאונך לציר ה־y וחותך אותו בנקודה C, וישר המקביל לציר ה־y וחותך את גרף הפונקציה g(x) בנקודה B (ראו סרטוט). הנקודה O היא ראשית הצירים.

נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה A.

א. הביעו באמצעות t את אורכי הקטעים CO , AC ו־AB.

ב. מצאו את הערך של t שבעבורו שטח הטרפז ABOC הוא מקסימלי.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – אורכי הקטעים

הנקודה A על גרף f(x), עם x = t:

A(t , −t² + 9t)

הנקודה C על ציר ה־y באותו גובה כמו A, והנקודה B על גרף g(x) מתחת ל־A (אותו x):

C(0 , −t² + 9t) , B(t , t²)

AC – קטע אופקי, אורכו הוא ההפרש בין שיעורי ה־x:

AC = t − 0 = t📐 אורך קטע אופקיהפרש שיעורי ה־x (הגדול פחות הקטן)

CO – קטע על ציר ה־y, אורכו הוא שיעור ה־y של C:

CO = −t² + 9t − 0 = −t² + 9t📐 אורך קטע אנכיהפרש שיעורי ה־y (העליון פחות התחתון)

AB – קטע אנכי, A מעל B:

AB = (−t² + 9t) − t² = −2t² + 9t

הסרטוט (בכחול f(x), בירוק g(x), הטרפז בתכלת):

✅ פתרון סופי: AC = t

✅ פתרון סופי: CO = −t² + 9t

✅ פתרון סופי: AB = −2t² + 9t

סעיף ב – שטח טרפז מקסימלי

הצלעות AB ו־CO מקבילות (שתיהן מקבילות לציר ה־y), ולכן הן בסיסי הטרפז. הגובה הוא המרחק ביניהן – הקטע האופקי AC = t:

S = (AB + CO) · AC2📐 שטח טרפזS = (a + b) · h2

S(t) = (−2t² + 9t − t² + 9t) · t2

= (−3t² + 18t) · t2

= −3t³ + 18t²2

= −1.5t³ + 9t²

תחום: A ברביע הראשון ומעל g(x), כלומר t > 0 וגם AB > 0:

−2t² + 9t > 0

t(9 − 2t) > 0

0 < t < 4.5

גוזרים:

S′(t) = −4.5t² + 18t📐 נגזרת של פולינום(axⁿ)′ = n · ax^{n − 1}

משווים ל־0:

−4.5t² + 18t = 0📐 נקודת קיצוןS′(t) = 0

מוציאים גורם משותף:

−4.5t(t − 4) = 0

t = 0 , t = 4

t = 0 לא בתחום, ולכן t = 4. טבלת סימנים של S′(t):

t	S′(t)	S(t)
0 < t < 4	+	↗ עולה
4	0	מקסימום
4 < t < 4.5	−	↘ יורדת

לדוגמה: S′(1) = −4.5 + 18 = 13.5 > 0 , S′(4.2) = −79.38 + 75.6 = −3.78 < 0.

(השטח המקסימלי: S(4) = −1.5 · 64 + 9 · 16 = −96 + 144 = 48.)

✅ פתרון סופי: t = 4

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	AC = t CO = −t² + 9t AB = −2t² + 9t
סעיף ב	t = 4

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2022 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – חורף 2022 (מועד נבצרים), שאלה 8

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניך מוצגים הגרפים של הפונקציות f(x) = −x² + 16 ו־g(x) = (x − 4)².

נקודה A נמצאת ברביע הראשון על גרף הפונקציה f(x). מן הנקודה A העבירו שני ישרים: ישר אחד, המקביל לציר ה־y וחותך את גרף הפונקציה g(x) בנקודה B, וישר אחר, המקביל לציר ה־x וחותך את גרף הפונקציה f(x) בנקודה C (ראה סרטוט).

נסמן את שיעור ה־x של הנקודה A ב־t.

א. הבע באמצעות t את השיעורים של הנקודות A , B ו־C.

ב. מצא את הערך של t שבעבורו שטח המשולש ABC הוא מקסימלי.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – שיעורי הנקודות

A על גרף f(x) עם x = t – מציבים:

A(t , −t² + 16)📐 נקודה על גרףמציבים את x בפונקציה ומקבלים את y

B – על ישר המקביל לציר ה־y דרך A (אותו x = t), ועל גרף g(x):

B(t , (t − 4)²)

C – על ישר המקביל לציר ה־x דרך A (אותו y = −t² + 16), ועל גרף f(x):

−x² + 16 = −t² + 16

x² = t²

x = t , x = −t

x = t זו הנקודה A עצמה, ולכן ל־C נשאר x = −t (הפרבולה f(x) סימטרית לציר ה־y):

C(−t , −t² + 16)

הסרטוט (בכחול f(x), בירוק g(x), המשולש בסגול):

✅ פתרון סופי: A(t , −t² + 16)

✅ פתרון סופי: B(t , (t − 4)²)

✅ פתרון סופי: C(−t , −t² + 16)

סעיף ב – שטח משולש מקסימלי

AB מקביל לציר ה־y ו־AC מקביל לציר ה־x, ולכן הזווית A ישרה. הניצבים הם AC ו־AB:

AC = t − (−t) = 2t📐 אורך קטע אופקיהפרש שיעורי ה־x

AB = (−t² + 16) − (t − 4)²📐 אורך קטע אנכיהפרש שיעורי ה־y (העליון פחות התחתון)

= −t² + 16 − (t² − 8t + 16)📐 נוסחת כפל מקוצר(a − b)² = a² − 2ab + b²

= −2t² + 8t

S = AC · AB2📐 שטח משולש ישר זוויתS = a · b2 (מכפלת הניצבים חלקי 2)

S(t) = 2t · (−2t² + 8t)2

= t(−2t² + 8t) = −2t³ + 8t²

תחום: A ברביע הראשון ומעל B: t > 0 ו־−2t² + 8t > 0, כלומר 0 < t < 4.

S′(t) = −6t² + 16t📐 נגזרת של פולינום(axⁿ)′ = n · ax^{n − 1}

−6t² + 16t = 0📐 נקודת קיצוןS′(t) = 0

−2t(3t − 8) = 0

t = 0 , t = 83 = 223

t = 0 לא בתחום. טבלת סימנים של S′(t):

t	S′(t)	S(t)
0 < t < 83	+	↗ עולה
83	0	מקסימום
83 < t < 4	−	↘ יורדת

לדוגמה: S′(1) = −6 + 16 = 10 > 0 , S′(3) = −54 + 48 = −6 < 0.

(השטח המקסימלי: S(83) = 51227 ≈ 18.96.)

✅ פתרון סופי: t = 83 = 223

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	A(t , −t² + 16) B(t , (t − 4)²) C(−t , −t² + 16)
סעיף ב	t = 223

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, חורף 2022 (מועד נבצרים)). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2021 מועד ב', שאלה 8

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניך מתוארים גרף הפונקציה f(x) = 9x² בתחום x > 0, והישר y = −43x .

A היא נקודה על גרף הפונקציה f(x).

דרך הנקודה A העבירו ישר המקביל לציר ה־y. ישר זה חותך את הישר y = −43x בנקודה B.

O היא ראשית הצירים (ראה סרטוט).

א. מה צריכים להיות השיעורים של הנקודה A, כדי ששטח המשולש AOB יהיה מינימלי?

ב. האם שטח המשולש AOB יכול להיות 4? נמק.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – שיעורי A לשטח מינימלי

נסמן ב־t את שיעור ה־x של A, כאשר t > 0. הנקודה A על גרף הפונקציה:

A(t , 9t²)📐 נקודה על גרףy = f(x)

B נמצאת מתחת ל־A (אותו x) על הישר:

B(t , −43t)

הצלע AB מאונכת לציר ה־x. אורכה – הפרש שיעורי ה־y:

AB = 9t² − (−43t) = 9t² + 43t📐 אורך קטע אנכיy_A − y_B

הגובה לצלע AB הוא המרחק של O מהישר x = t, כלומר t:

S(t) = 12 · AB · t = 12(9t² + 43t) · t📐 שטח משולשS = a · h2

S(t) = 92t + 23t²

כדי לגזור נכתוב 92t = 92t⁻¹:

S′(t) = 92 · (−1)t⁻² + 23 · 2t📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · x^{n − 1}

S′(t) = −92t² + 43t

משווים ל־0:

−92t² + 43t = 0📐 נקודת קיצוןS′(t) = 0

43t = 92t²

כופלים ב־6t²:

8t³ = 27

t³ = 278

t = 32 = 1.5

בודקים שזה מינימום – סימן הנגזרת סביב 1.5:

S′(1) = −4.5 + 1.33 < 0 ← יורדת

S′(2) = −1.125 + 2.67 > 0 ← עולה

יורדת ואז עולה – מינימום ב־t = 1.5. שיעור ה־y של A:

f(1.5) = 92.25 = 4

✅ פתרון סופי: A(1.5 , 4)

סעיף ב – האם השטח יכול להיות 4

מחשבים את השטח המינימלי:

S(1.5) = 93 + 23 · 2.25 = 3 + 1.5 = 4.5

השטח המינימלי הוא 4.5, כלומר בכל מיקום של A מתקיים S ≥ 4.5. מכיוון ש־4 < 4.5, השטח לא יכול להיות 4.

✅ פתרון סופי: לא, כי השטח המינימלי הוא 4.5 (גדול מ־4)

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	A(1.5 , 4)
סעיף ב	לא (השטח המינימלי 4.5)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2021 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2021 מועד א (מאי), שאלה 8

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 2 · √9 − 3x.

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

גרף הפונקציה f(x) חותך את ציר ה־y בנקודה A ואת ציר ה־x בנקודה B. הנקודה C נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון (ראה ציור). הנקודה O היא ראשית הצירים. נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה C.

ב. הבע באמצעות t את שטח המשולש AOC ואת שטח המשולש BOC.

ג. (1) מצא בעבור איזה ערך של t סכום שטחי המשולשים הוא מקסימלי. (2) מצא את הסכום המקסימלי של שטחי המשולשים.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – תחום הגדרה

מה שבתוך השורש חייב להיות גדול או שווה ל־0:

9 − 3x ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורשהביטוי שבתוך השורש ≥ 0

−3x ≥ −9

מחלקים ב־−3 והופכים את סימן אי־השוויון:

x ≤ 3

✅ פתרון סופי: x ≤ 3

סעיף ב – שטחי המשולשים

מוצאים את A ואת B:

f(0) = 2√9 = 6 → A(0 , 6)📐 חיתוך עם ציר ה־yx = 0

2√9 − 3x = 0 9 − 3x = 0 x = 3 → B(3 , 0)📐 חיתוך עם ציר ה־xy = 0

הנקודה C על הגרף: C(t , 2√9 − 3t) , 0 < t < 3.

משולש AOC: הבסיס AO = 6 על ציר ה־y, והגובה אליו הוא המרחק של C מציר ה־y, כלומר t:

S_AOC = 6 · t2 = 3t📐 שטח משולשS = a · h2

משולש BOC: הבסיס OB = 3 על ציר ה־x, והגובה אליו הוא שיעור ה־y של C:

S_BOC = 3 · 2√9 − 3t2 = 3√9 − 3t

הציור (בתכלת AOC, בירוק BOC):

✅ פתרון סופי: S_AOC = 3t

✅ פתרון סופי: S_BOC = 3√9 − 3t

סעיף ג (1) – סכום שטחים מקסימלי

פונקציית המטרה:

S(t) = 3t + 3√9 − 3t , 0 < t < 3

S′(t) = 3 + 3 · −32√9 − 3t = 3 − 92√9 − 3t📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

3 − 92√9 − 3t = 0📐 נקודת קיצוןS′(t) = 0

92√9 − 3t = 3

6√9 − 3t = 9

√9 − 3t = 1.5

מעלים בריבוע:

9 − 3t = 2.25

3t = 6.75

t = 2.25

t	S′(t)	S(t)
0 < t < 2.25	+	↗ עולה
2.25	0	מקסימום
2.25 < t < 3	−	↘ יורדת

לדוגמה: S′(0) = 3 − 96 = 1.5 > 0 , S′(2.75) = 3 − 92 · 0.5 = −6 < 0.

✅ פתרון סופי: t = 2.25

סעיף ג (2) – הסכום המקסימלי

מציבים t = 2.25 בפונקציית המטרה:

S(2.25) = 3 · 2.25 + 3√9 − 6.75

= 6.75 + 3√2.25 = 6.75 + 3 · 1.5 = 6.75 + 4.5 = 11.25

✅ פתרון סופי: 11.25 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	x ≤ 3
סעיף ב	S_AOC = 3t S_BOC = 3√9 − 3t
סעיף ג (1)	t = 2.25
סעיף ג (2)	11.25

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2021 מועד א (מאי)). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – חורף 2021 (מועד נבצרים, מרץ), שאלה 8

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 4√x − 3.

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. מבין כל הנקודות שעל גרף הפונקציה f(x), מצא את הנקודה שעבורה המכפלה של שיעור ה־x שלה בשיעור ה־y שלה היא מינימלית.

נתונה הפונקציה g(x) = 4x√x − 3.

ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g(x). היעזר בסעיף ב.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – תחום הגדרה

השורש נמצא במכנה, ולכן מה שבתוכו חייב להיות חיובי (לא 0):

x − 3 > 0📐 תחום הגדרה של שורש במכנההביטוי שבתוך השורש > 0

x > 3

✅ פתרון סופי: x > 3

סעיף ב – מכפלה מינימלית

נקודה על הגרף: (x , 4√x − 3) , x > 3. המכפלה (פונקציית המטרה):

P(x) = x · 4√x − 3 = 4x√x − 3

גוזרים לפי נגזרת של מנה, u = 4x , v = √x − 3:

P′(x) = 4√x − 3 − 4x · 12√x − 3x − 3📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

כופלים מונה ומכנה ב־2√x − 3:

= 8(x − 3) − 4x2(x − 3)√x − 3

= 4x − 242(x − 3)√x − 3

4x − 242(x − 3)√x − 3 = 0📐 נקודת קיצוןP′(x) = 0

4x − 24 = 0

x = 6

f(6) = 4√3

x	P′(x)	P(x)
3 < x < 6	−	↘ יורדת
6	0	מינימום
x > 6	+	↗ עולה

המכנה חיובי, ולכן הסימן לפי 4x − 24. לדוגמה: P′(4) < 0 , P′(7) > 0.

המכפלה המינימלית:

P(6) = 6 · 4√3 = 24√3 = 8√3

✅ פתרון סופי: (6 , 4√3)

סעיף ג – סקיצה של g(x)

הפונקציה g(x) היא בדיוק המכפלה P(x) מסעיף ב. לכן:

• תחום הגדרה x > 3 (כמו f).

• אסימפטוטה אנכית x = 3: המכנה שואף ל־0 והמונה ל־12, ולכן g(x) → +∞.

• יורדת ב־3 < x < 6, מינימום (6 , 8√3) (בערך (6 , 13.86)), ועולה ב־x > 6.

• אין חיתוך עם הצירים: x = 0 לא בתחום, והמונה 4x חיובי.

גרף הפונקציה (בכחול):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	x > 3
סעיף ב	(6 , 4√3)
סעיף ג	סקיצה – מינימום (6 , 8√3)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, חורף 2021 (מועד נבצרים, מרץ)). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – חורף 2021 (פברואר), שאלה 7

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניך מתואר גרף הפונקציה f(x) = 6x, המוגדרת לכל x ≠ 0.

הנקודות A ו־B נמצאות על גרף הפונקציה f(x), כמתואר בציור שלפניך.

x_A = t ו־x_B = −t.

א. הבע באמצעות t את AB².

ב. (1) בעבור איזה ערך של t הגודל AB² הוא מינימלי? (2) הסתמך על תת־סעיף ב (1) וקבע בעבור איזה ערך של t אורך הקטע AB הוא מינימלי. נמק.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – AB בריבוע

הנקודות על הגרף (לפי הציור t > 0):

A(t , 6t) , B(−t , −6t)

AB² = (x_A − x_B)² + (y_A − y_B)²📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)²

= (t + t)² + (6t + 6t)²

= (2t)² + (12t)²

= 4t² + 144t²

✅ פתרון סופי: AB² = 4t² + 144t²

סעיף ב (1) – AB בריבוע מינימלי

פונקציית המטרה:

D(t) = 4t² + 144t⁻² , t > 0

D′(t) = 8t − 288t⁻³ = 8t − 288t³📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · x^{n − 1}

8t − 288t³ = 0📐 נקודת קיצוןD′(t) = 0

כופלים ב־t³:

8t⁴ = 288

t⁴ = 36

t² = 6

t = √6 ≈ 2.449

t	D′(t)	D(t)
0 < t < √6	−	↘ יורדת
√6	0	מינימום
t > √6	+	↗ עולה

לדוגמה: D′(1) = 8 − 288 < 0 , D′(3) = 24 − 28827 > 0.

✅ פתרון סופי: t = √6

סעיף ב (2) – אורך AB מינימלי

אורך הקטע הוא שורש של AB²:

AB = √AB²

הקטע AB חיובי, ופונקציית השורש עולה: ככל ש־AB² קטן יותר, גם AB קטן יותר. לכן AB מינימלי בדיוק כש־AB² מינימלי.

✅ פתרון סופי: t = √6

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	4t² + 144t²
סעיף ב (1)	t = √6
סעיף ב (2)	t = √6

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, חורף 2021 (פברואר)). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2020 מועד ב, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

לפניך גרף הפונקציה f(x) = 4x², המוגדרת לכל x > 0.

הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה f(x) ברביע הראשון.

מן הנקודה A הורידו אנכים לציר ה־y ולישר y = −1 כך שנוצר מלבן עם ציר ה־y ועם הישר y = −1, כמתואר בציור.

א. מה הם שיעורי הנקודה A שבעבורה שטח המלבן הוא מינימלי?

ב. האם קיימת נקודה A שבעבורה שטח המלבן הוא 3? נמק.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – שטח מינימלי

נסמן ב־t את שיעור ה־x של A (t > 0):

A(t , 4t²)

רוחב המלבן – המרחק מציר ה־y: t. גובה המלבן – מ־y = −1 עד A:

גובה = 4t² − (−1) = 4t² + 1

S(t) = t · (4t² + 1) = 4t + t📐 שטח מלבןS = a · b

S′(t) = −4t² + 1📐 נגזרת של שבר(kx)′ = −kx²

−4t² + 1 = 0📐 נקודת קיצוןS′(t) = 0

t² = 4

t = 2

נפסל t = −2 (t > 0).

t	S′(t)	S(t)
0 < t < 2	−	↘ יורדת
2	0	מינימום
t > 2	+	↗ עולה

לדוגמה: S′(1) = −3 < 0 , S′(4) = 34 > 0.

f(2) = 44 = 1

✅ פתרון סופי: A(2 , 1)

סעיף ב – שטח 3?

השטח המינימלי:

S(2) = 42 + 2 = 4

בכל נקודה אחרת השטח גדול מ־4 (לפי הטבלה – זו נקודת המינימום היחידה בתחום). לכן אין מלבן ששטחו 3.

✅ פתרון סופי: לא – השטח המינימלי הוא 4, ו־3 < 4

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	A(2 , 1)
סעיף ב	לא (השטח המינימלי 4)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2020 מועד ב). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – חורף 2020, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

גרף הפונקציה f(x) = −x² + 4x עובר בראשית הצירים, O, וחותך את ציר ה־x בנקודה נוספת, C (ראה ציור).

א. מצא את שיעורי הנקודה C.

הנקודות A ו־B נמצאות על גרף הפונקציה f(x) ברביע הראשון, כמתואר בציור.

נסמן את שיעור ה־x של הנקודה A ב־x.

נתון כי שיעור ה־x של הנקודה B שווה ל־(4 − x).

ב. הסבר מדוע הישר AB מקביל לציר ה־x.

ג. מצא את שיעור ה־x של הנקודה A שבעבורו שטח הטרפז OABC הוא מקסימלי.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – הנקודה C

−x² + 4x = 0📐 חיתוך עם ציר ה־xy = 0

x(−x + 4) = 0

x = 0 (הנקודה O) , x = 4

✅ פתרון סופי: C(4 , 0)

סעיף ב – למה AB מקביל לציר ה־x

מחשבים את שיעור ה־y של B:

f(4 − x) = −(4 − x)² + 4(4 − x)

= −(16 − 8x + x²) + 16 − 4x

= −x² + 4x = f(x)

לנקודות A ו־B אותו שיעור y, ולכן הישר ביניהן אופקי:

y_A = y_B → AB ∥ ציר ה־x📐 ישר מקביל לציר ה־xשתי נקודות עם אותו y

✅ פתרון סופי: שיעורי ה־y של A ו־B שווים

סעיף ג – שטח טרפז מקסימלי

לפי הציור A משמאל ל־B, כלומר x < 4 − x – 0 < x < 2.

OC = 4

AB = (4 − x) − x = 4 − 2x

גובה = y_A = −x² + 4x

S(x) = 4 + 4 − 2x2 · (−x² + 4x)📐 שטח טרפזS = (a + b) · h2

= (4 − x)(−x² + 4x)

= −4x² + 16x + x³ − 4x²

= x³ − 8x² + 16x

S′(x) = 3x² − 16x + 16📐 נגזרת של פולינום(axⁿ)′ = n · ax^{n − 1}

3x² − 16x + 16 = 0📐 נקודת קיצוןS′(x) = 0

x_1,2 = 16 ± √256 − 1926📐 נוסחת השורשים (MODE 5 3)x_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

= 16 ± 86

x = 4 , x = 43

x = 4 לא בתחום. בודקים סימן:

x	S′(x)	S(x)
0 < x < 43	+	↗ עולה
43	0	מקסימום
43 < x < 2	−	↘ יורדת

לדוגמה: S′(1) = 3 − 16 + 16 = 3 > 0 , S′(1.5) = 6.75 − 24 + 16 = −1.25 < 0.

✅ פתרון סופי: x = 43

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	C(4 , 0)
סעיף ב	שיעורי y שווים
סעיף ג	x = 43

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, חורף 2020). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2019 מועד א, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

בציור שלפניך מתואר גרף הפונקציה f(x) = √25 − x² המוגדרת בתחום −5 ≤ x ≤ 5 .

הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה f(x) ברביע הראשון. דרך הנקודה A העבירו ישר המקביל לציר ה־x . הישר חותך את גרף הפונקציה f(x) בנקודה B שברביע השני. הנקודה O היא ראשית הצירים.

נסמן את שיעור ה־x של הנקודה A ב־t .

א. (1) הבע באמצעות t את שיעורי הנקודה B .

(2) הבע באמצעות t את שטח המשולש ABO .

ב. מצא את t שעבורו שטח המשולש ABO הוא מקסימלי. תוכל להשאיר שורש בתשובתך.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א (1) – שיעורי B

A(t , √25 − t²)

הגרף סימטרי לציר ה־y ( f(−x) = f(x) ), ולכן הנקודה בגובה זהה ברביע השני היא:📐 סימטריהf(−x) = f(x) ← הגרף סימטרי לציר ה־y

✅ פתרון סופי: B(−t , √25 − t²)

סעיף א (2) – שטח המשולש

AB = t − (−t) = 2t

הגובה מ־O לבסיס AB הוא שיעור ה־y של הבסיס:

S(t) = 2t · √25 − t²2 = t√25 − t²📐 שטח משולשS = a · h2

✅ פתרון סופי: S = t√25 − t²

סעיף ב – t לשטח מקסימלי

התחום: 0 < t < 5.

S′(t) = √25 − t² + t · −2t2√25 − t²📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′

= 25 − t² − t²√25 − t² = 25 − 2t²√25 − t²

25 − 2t² = 0📐 נקודת קיצוןS′(t) = 0

t² = 12.5 ← t = √12.5 ≈ 3.54 ( t > 0 )

S′(1) = 23√24 > 0 , S′(4) = −73 < 0

t	S′(t)	S(t)
0 < t < 3.54	+	↗
3.54	0	מקסימום
3.54 < t < 5	−	↘

✅ פתרון סופי: t = √12.5 ≈ 3.54

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א (1)	B(−t , √25 − t²)
סעיף א (2)	t√25 − t²
סעיף ב	t = √12.5

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2019 מועד א). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – חורף 2019, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

המלבן DFGE חסום בין גרף הפרבולה y = −x² + 6x ובין ציר ה־x , כמתואר בציור.

הנקודות A ו־B הן נקודות החיתוך של גרף הפרבולה עם ציר ה־x , כמתואר בציור. k הוא פרמטר, 0 < k < 3 . נתון: AD = EB = k .

א. הבע באמצעות k את אורכי הצלעות של המלבן DFGE .

ב. מצא את k שבעבורו שטח המלבן DFGE הוא מקסימלי. תוכל להשאיר שורש בתשובתך.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – אורכי הצלעות

−x² + 6x = 0 ← A(0 , 0) , B(6 , 0)

D(k , 0) , E(6 − k , 0) ← DE = FG = 6 − 2k

FD = GE = y(k) = 6k − k²📐 נקודה על גרףy₀ = f(x₀)

✅ פתרון סופי: DE = FG = 6 − 2k

✅ פתרון סופי: FD = GE = 6k − k²

סעיף ב – k לשטח מקסימלי

S(k) = (6 − 2k)(6k − k²) = 2k³ − 18k² + 36k📐 שטח מלבןS = a · b

S′(k) = 6k² − 36k + 36📐 נגזרת של פולינום(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

k² − 6k + 6 = 0 ← k = 6 ± √122 = 3 ± √3📐 נקודת קיצוןS′(k) = 0

k = 3 + √3 לא בתחום ← k = 3 − √3 ≈ 1.268

S′(1) = 6 > 0 , S′(2) = −12 < 0

k	S′(k)	S(k)
0 < k < 1.268	+	↗
1.268	0	מקסימום
1.268 < k < 3	−	↘

✅ פתרון סופי: k = 3 − √3 ≈ 1.268

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	6 − 2k , 6k − k²
סעיף ב	k = 3 − √3

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, חורף 2019). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2018 מועד ב, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

לפניך ציור של גרף הפונקציה f(x) = 4x − 1 + 3 ברביע הראשון.

מנקודה A , הנמצאת על גרף הפונקציה f(x) ברביע הראשון, העבירו אנכים לאסימפטוטות של הפונקציה f(x) , כך שנוצר מלבן.

א. מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים.

ב. מצא את שיעורי הנקודה A שבעבורה היקף המלבן מינימלי.

ג. חשב את שטח המלבן שהיקפו מינימלי.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – אסימפטוטות

x = 1: המכנה מתאפס.📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

4x − 1 → 0 כאשר x → ∞ ← y = 3📐 אסימפטוטה אופקיתהערך ש־f(x) מתקרבת אליו כאשר x → ±∞

✅ פתרון סופי: x = 1 , y = 3

סעיף ב – A להיקף מינימלי

נסמן A(t , 4t − 1 + 3) , t > 1. צלעות המלבן: המרחק מ־A לאסימפטוטה x = 1 והמרחק לאסימפטוטה y = 3:

רוחב: t − 1 , גובה: 4t − 1

P(t) = 2(t − 1) + 8t − 1📐 היקף מלבןP = 2a + 2b

P′(t) = 2 − 8(t − 1)²📐 נגזרת של kx − a(kx − a)′ = −k(x − a)²

(t − 1)² = 4 ← t − 1 = 2 ← t = 3 ( t > 1 )📐 נקודת קיצוןP′(t) = 0

P′(2) = 2 − 8 < 0 , P′(5) = 2 − 0.5 > 0

t	P′(t)	P(t)
1 < t < 3	−	↘
3	0	מינימום
t > 3	+	↗

f(3) = 2 + 3 = 5

✅ פתרון סופי: A(3 , 5)

סעיף ג – שטח המלבן

S = (t − 1) · 4t − 1 = 4

(השטח שווה 4 לכל מיקום של A – ובפרט במלבן שהיקפו מינימלי.)

✅ פתרון סופי: 4 יח״ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	x = 1 , y = 3
סעיף ב	A(3 , 5)
סעיף ג	4

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2018 מועד ב). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2018 מועד א', שאלה 8

📄 נוסח השאלה

בציור שלפניך מתוארים גרף הפונקציה f(x) = x³ והישר x = 2 .

הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה f(x) . נתון: 0 < x_A < 2 ( x_A הוא שיעור ה־x של הנקודה A ).

מהנקודה A העבירו ישר המקביל לציר ה־x . הישר חותך את הישר x = 2 בנקודה B . הנקודה O היא ראשית הצירים.

א. מה הם שיעורי הנקודה A שבעבורה שטח המשולש ABO הוא מקסימלי? נמק.

ב. חשב את שטח המשולש ABO בעבור הנקודה A שמצאת בסעיף א.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – A לשטח מקסימלי

נסמן A(t , t³) , 0 < t < 2. אז B(2 , t³) ו־AB = 2 − t.

הגובה מ־O לבסיס AB (ישר אופקי y = t³ ) הוא t³:

S(t) = (2 − t) · t³2 = 2t³ − t⁴2📐 שטח משולשS = a · h2

S′(t) = 6t² − 4t³2 = t²(3 − 2t)📐 נגזרת של פולינום(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

t²(3 − 2t) = 0 ← t = 1.5 ( t = 0 לא בתחום)📐 נקודת קיצוןS′(t) = 0

S′(1) = 1 > 0 , S′(1.8) = 3.24 · (−0.6) < 0

t	S′(t)	S(t)
0 < t < 1.5	+	↗
1.5	0	מקסימום
1.5 < t < 2	−	↘

1.5³ = 3.375

✅ פתרון סופי: A(1.5 , 3.375)

סעיף ב – השטח

S(1.5) = 0.5 · 3.3752 = 0.84375 = 2732

✅ פתרון סופי: 2732 יח״ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	A(1.5 , 3.375)
סעיף ב	2732

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2018 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2017 מועד ב', שאלה 8

📄 נוסח השאלה

לפניך סרטוט של גרף הפונקציה f(x) = x³ − 6x² + 9x .

א. מצא את שיעורי הנקודות A ו־B , נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x .

הנקודה C נמצאת על גרף הפונקציה f(x) . נתון: x_A < x_C < x_B (שיעור ה־x של C נמצא בין שיעורי ה־x של A ושל B ).

ב. מצא את שיעורי הנקודה C שעבורה שטח המשולש ABC הוא מקסימלי.

ג. האם נקודה C היא נקודת קיצון של הפונקציה f(x) ? הסבר.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – הנקודות A ו־B

x(x² − 6x + 9) = 0 ← x(x − 3)² = 0 ← x = 0 , x = 3

✅ פתרון סופי: A(0 , 0) , B(3 , 0)

סעיף ב – C לשטח מקסימלי

נסמן C(x , x³ − 6x² + 9x), 0 < x < 3. הבסיס AB = 3, והגובה הוא שיעור ה־y של C (בתחום הזה f > 0):

S(x) = 3(x³ − 6x² + 9x)2📐 שטח משולשS = a · h2

S′(x) = 32(3x² − 12x + 9)📐 נגזרת של פולינום(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

3x² − 12x + 9 = 0 ← x² − 4x + 3 = 0 ← x = 1 ( x = 3 לא בתחום)📐 נקודת קיצוןS′(x) = 0

S′(0.5) > 0 , S′(2) = 32 · (−3) < 0 ← מקסימום

f(1) = 1 − 6 + 9 = 4

המשולש (בסגול):

✅ פתרון סופי: C(1 , 4)

סעיף ג – האם C נקודת קיצון

f′(1) = 3 − 12 + 9 = 0, והנגזרת מחליפה סימן מ־+ ל־− (סעיף ב).📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0 והחלפת סימן

✅ פתרון סופי: כן – C(1 , 4) מקסימום של f(x)

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	(0 , 0) , (3 , 0)
סעיף ב	C(1 , 4)
סעיף ג	כן

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2017 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2015 מועד ב', שאלה 8

📄 נוסח השאלה

הקודקוד B של המלבן ABCD נמצא על גרף הפונקציה f(x) = √2x − 4 .

הצלע AD מונחת על הישר x = 10 , והצלע DC מונחת על ציר ה־x (ראה ציור).

א. מה צריכים להיות שיעורי הנקודה B כדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי?

ב. גרף הפונקציה f(x) חותך את ציר ה־x בנקודה F (ראה ציור). מצא את שטח המשולש BFC כאשר שטח המלבן ABCD הוא מקסימלי.

הערה: תוכל להשאיר שורש בתשובותיך.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – B לשטח מקסימלי

נסמן B(x , √2x − 4) , כאשר 2 < x < 10. אז BC = √2x − 4 , CD = 10 − x.

S(x) = (10 − x)√2x − 4📐 שטח מלבןS = a · b

S′(x) = −√2x − 4 + (10 − x) · 22√2x − 4📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′

= −(2x − 4) + (10 − x)√2x − 4 = 14 − 3x√2x − 4

14 − 3x = 0📐 נקודת קיצוןS′(x) = 0

x = 143 ≈ 4.667

S′(3) = 5√2 > 0 , S′(6) = −4√8 < 0

x	S′(x)	S(x)
2 < x < 4.667	+	↗
4.667	0	מקסימום
4.667 < x < 10	−	↘

f(143) = √283 − 4 = √163 = 4√3 ≈ 2.31

✅ פתרון סופי: B(143 , 4√3) ≈ (4.667 , 2.31)

סעיף ב – שטח המשולש BFC

√2x − 4 = 0 ← x = 2 ← F(2 , 0)

FC = 143 − 2 = 83 , BC = 4√3

S = 12 · 83 · 4√3 = 163√3 ≈ 3.08📐 שטח משולש ישר זוויתS = a · b2

✅ פתרון סופי: 163√3 ≈ 3.08 יח״ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	B(4.667 , 2.31)
סעיף ב	≈ 3.08

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2015 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2015, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 4x . הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון. שיעור ה־x של הנקודה A הוא t .

דרך הנקודה A העבירו משיק לגרף הפונקציה, החותך את ציר ה־x בנקודה C . מהנקודה A הורידו אנך לציר ה־x , החותך אותו בנקודה B (ראה ציור).

א. הבע באמצעות t :

(1) את השיפוע של המשיק.

(2) את משוואת המשיק.

(3) את אורך הקטע BC .

ב. מצא את t שעבורו סכום אורכי הניצבים AB ו־BC במשולש ABC הוא מינימלי.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א (1) – שיפוע המשיק

f′(x) = −4x²📐 נגזרת של kx(kx)′ = −kx²

m = f′(t) = −4t²📐 שיפוע המשיקm = f′(x₀)

✅ פתרון סופי: m = −4t²

סעיף א (2) – משוואת המשיק

A(t , 4t)

y − 4t = −4t²(x − t)📐 משוואת ישר לפי נקודה ושיפועy − y₁ = m(x − x₁)

y = −4t²x + 4t + 4t = −4t²x + 8t

✅ פתרון סופי: y = −4t²x + 8t

סעיף א (3) – אורך BC

C על ציר ה־x ( y = 0 ):

0 = −4t²x + 8t

4xt² = 8t

x = 2t ← C(2t , 0)

B(t , 0) ← BC = 2t − t = t

✅ פתרון סופי: BC = t

סעיף ב – t לסכום מינימלי

AB = 4t

S(t) = AB + BC = 4t + t , t > 0

S′(t) = −4t² + 1📐 נגזרת של kx(kx)′ = −kx²

1 − 4t² = 0📐 נקודת קיצוןS′(t) = 0

t² = 4

t = 2 ( t > 0 )

S′(1) = −3 < 0 , S′(4) = 0.75 > 0

t	S′(t)	S(t)
0 < t < 2	−	↘
2	0	מינימום
t > 2	+	↗

✅ פתרון סופי: t = 2

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א (1)	−4t²
סעיף א (2)	y = −4t²x + 8t
סעיף א (3)	BC = t
סעיף ב	t = 2

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2015). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2014 מועד ב', שאלה 8

📄 נוסח השאלה

בציור שלפניך מוצגים הגרפים של הפונקציות f(x) = −x² + 9 , g(x) = (x − 3)² .

נקודה A נמצאת ברביע הראשון על גרף הפונקציה f(x) . מנקודה A העבירו שני ישרים: ישר אחד, המקביל לציר ה־y וחותך את גרף הפונקציה g(x) בנקודה B , וישר אחר, המקביל לציר ה־x וחותך את גרף הפונקציה f(x) בנקודה C (ראה ציור).

נסמן את שיעור ה־x של הנקודה A ב־t .

א. הבע באמצעות t את השיעורים של הנקודות A , B ו־C .

ב. מצא את הערך של t שעבורו שטח המשולש ABC הוא מקסימלי.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – שיעורי הנקודות

A על f: A(t , −t² + 9)

B על g עם אותו x: B(t , (t − 3)²)

C על f עם אותו y. הפרבולה −x² + 9 סימטרית לציר ה־y, ולכן C(−t , −t² + 9)📐 סימטריה של פרבולהפרבולה מהצורה y = ax² + c סימטרית לציר ה־y

✅ פתרון סופי: A(t , −t² + 9)

✅ פתרון סופי: B(t , (t − 3)²)

✅ פתרון סופי: C(−t , −t² + 9)

סעיף ב – t לשטח מקסימלי

המשולש ישר זווית ב־A (צלע אנכית וצלע אופקית). A ברביע הראשון וגם מעל B: 0 < t < 3.

AC = t − (−t) = 2t

AB = (−t² + 9) − (t − 3)² = −t² + 9 − t² + 6t − 9 = −2t² + 6t

S(t) = 2t · (−2t² + 6t)2 = −2t³ + 6t²📐 שטח משולש ישר זוויתS = a · b2

S′(t) = −6t² + 12t📐 נגזרת של פולינום(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

−6t(t − 2) = 0📐 נקודת קיצוןS′(t) = 0

t = 2 ( t = 0 לא בתחום)

S′(1) = 6 > 0 , S′(2.5) = −7.5 < 0

t	S′(t)	S(t)
0 < t < 2	+	↗
2	0	מקסימום
2 < t < 3	−	↘

✅ פתרון סופי: t = 2

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	A(t , −t² + 9) B(t , (t − 3)²) C(−t , −t² + 9)
סעיף ב	t = 2

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2014 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2009 מועד ב', שאלה 9

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = √2x − 5 (ראה ציור).

נקודה B היא הקדקוד של פרבולה שמשוואתה y = x² − 16x + 64.

מצא נקודה על גרף הפונקציה f(x), שמרחקה מהנקודה B הוא מינימלי.

✏️ פתרון שאלה 9

מציאת הנקודה הקרובה ביותר ל־B

שלב 1 – מוצאים את הקדקוד B של הפרבולה:

x_B = −b2a = 162 = 8📐 קדקוד פרבולהx = −b2a

y_B = 8² − 16 · 8 + 64 = 64 − 128 + 64 = 0

B(8 , 0)

שלב 2 – תחום ההגדרה של f(x) (ביטוי בתוך שורש אינו שלילי):

2x − 5 ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורשהביטוי בתוך השורש גדול או שווה ל־0

2x ≥ 5

x ≥ 2.5

שלב 3 – נקודה כללית על גרף הפונקציה: (x , √2x − 5). מחשבים את המרחק שלה מ־B(8 , 0):

d = √(x − 8)² + (√2x − 5 − 0)²📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)²

= √x² − 16x + 64 + 2x − 5📐 נוסחת הכפל המקוצר(a − b)² = a² − 2ab + b²

= √x² − 14x + 59

שלב 4 – גוזרים את פונקציית המרחק d(x) = √x² − 14x + 59:

d′(x) = 2x − 142√x² − 14x + 59📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

2x − 14 = 0📐 נקודת קיצוןd′(x) = 0

2x = 14

x = 7

x = 7 בתחום ההגדרה (7 ≥ 2.5). בודקים שזו נקודת מינימום:

d′(3) = 6 − 142√9 − 42 + 59 = −82√26 < 0

d′(8) = 16 − 142√64 − 112 + 59 = 22√11 > 0

x	d′(x)	d(x)
2.5 ≤ x < 7	−	↘ יורדת
7	0	מינימום
x > 7	+	↗ עולה

שלב 5 – שיעור ה־y של הנקודה:

f(7) = √2 · 7 − 5 = √9 = 3

(המרחק המינימלי עצמו: d(7) = √49 − 98 + 59 = √10.) בציור: גרף f(x) בכחול, הפרבולה בירוק, והקטע הקצר ביותר בסגול.

✅ פתרון סופי: (7 , 3)

📌 סיכום התשובות – שאלה 9

התשובה	(7 , 3)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471 · קורס חקירת פונקציית שורש 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2009 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2009 מועד א', שאלה 8

📄 נוסח השאלה

נתונות הפונקציות f(x) = 18x² , g(x) = √2x.

הנקודות A ו־B נמצאות על הגרפים של הפונקציות, כך ש־AB מקביל לציר ה־y, והנקודות נמצאות בין שתי נקודות החיתוך של הגרפים של הפונקציות (ראה ציור).

א. מצא את שיעורי הנקודות A ו־B שעבורן אורך הקטע AB הוא מקסימלי.

ב. עבור האורך המקסימלי של הקטע AB, חשב את שטח המשולש ABO (O – ראשית הצירים).

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – אורך מקסימלי של AB

מוצאים קודם את נקודות החיתוך של שני הגרפים, כדי לדעת את התחום:

18x² = √2x📐 נקודות חיתוך בין גרפיםf(x) = g(x)

מעלים את שני האגפים בריבוע:

164x⁴ = 2x

x⁴ = 128x

x⁴ − 128x = 0

x(x³ − 128) = 0

x = 0 או x³ = 128

x = ∛128 ≈ 5.04

בין נקודות החיתוך גרף g(x) (בירוק) מעל גרף f(x) (בכחול), ולכן A על g(x) ו־B על f(x).

נסמן את שיעור ה־x המשותף של A ו־B ב־x, כאשר 0 < x < ∛128:

A(x , √2x) , B(x , 18x²)

הקטע מקביל לציר ה־y, ולכן אורכו הוא ההפרש בין שיעורי ה־y (העליון פחות התחתון):

AB = √2x − 18x²📐 אורך קטע מקביל לציר ה־yd = y_A − y_B

נסמן L(x) = √2x − 18x² וגוזרים:

L′(x) = 22√2x − 28x📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

= 1√2x − x4

1√2x − x4 = 0📐 נקודת קיצוןL′(x) = 0

1√2x = x4

כפל בהצלבה:

4 = x√2x

מעלים בריבוע (שני האגפים חיוביים):

16 = x² · 2x

16 = 2x³

x³ = 8

x = 2

בודקים שזו נקודת מקסימום בטבלת סימנים של L′(x):

L′(1) = 1√2 − 14 ≈ 0.707 − 0.25 > 0

L′(3) = 1√6 − 34 ≈ 0.408 − 0.75 < 0

x	L′(x)	L(x)
0 < x < 2	+	↗ עולה
2	0	מקסימום
2 < x < ∛128	−	↘ יורדת

מוצאים את שיעורי ה־y:

y_A = g(2) = √2 · 2 = √4 = 2

y_B = f(2) = 18 · 2² = 48 = 12

✅ פתרון סופי: A(2 , 2)

✅ פתרון סופי: B(2 , 12)

סעיף ב – שטח המשולש ABO

AB = 2 − 12 = 112 = 1.5

בסיס המשולש הוא AB (מקביל לציר ה־y). הגובה לבסיס הוא המרחק של O מהישר x = 2, כלומר h = 2:

S = AB · h2 = 1.5 · 22📐 שטח משולשS = a · h_a2

= 1.5

✅ פתרון סופי: S = 1.5

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	A(2 , 2) , B(2 , 12)
סעיף ב	S = 1.5

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471 · קורס חקירת פונקציית שורש 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2009 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📐 בעיות קיצון הנדסיות

📅 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 8

📄 נוסח השאלה

אדריכלית נוף תכננה מתחם ציבורי. המתחם מורכב משלושה חלקים המחוברים זה לזה: מבואה – המלבן ABCD, שביל גישה – המלבן BEFC, גן פסלים – הריבוע EGHK. הנקודות A , B , E , G נמצאות על ישר אחד, כמתואר בסרטוט.

אורך הקטע AG הוא 8 מטרים. אורך הצלע EG גדול פי 2 מאורך הצלע AB. נסמן ב־x את אורך הצלע AB.

א. הביעו באמצעות x את אורך הצלע BE.

נתון כי שטח המבואה הוא 1 מ"ר.

ב. (1) הביעו באמצעות x את אורך הצלע AD. (2) הביעו באמצעות x את השטח הכולל של המתחם.

ג. מצאו את הערך של x שבעבורו השטח הכולל של המתחם הוא מינימלי.

ד. האם ייתכן שהשטח הכולל של המתחם הוא 9 מ"ר? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – הצלע BE

AB = x , EG = 2x (פי 2 מ־AB). הקטע AG מורכב משלושה חלקים:

AB + BE + EG = AG

x + BE + 2x = 8

BE = 8 − x − 2x = 8 − 3x

אורך חייב להיות חיובי: 8 − 3x > 0, כלומר 0 < x < 83.

✅ פתרון סופי: BE = 8 − 3x

סעיף ב – AD והשטח הכולל

(1) שטח המבואה (מלבן ABCD) הוא 1:

x · AD = 1📐 שטח מלבןS = אורך · רוחב

AD = 1x

(2) מחשבים כל חלק:

מבואה: 1

שביל הגישה BEFC: BC = AD = 1x (צלעות נגדיות במלבן ABCD):

S_BEFC = (8 − 3x) · 1x = 8x − 3

גן הפסלים: (2x)² = 4x²📐 שטח ריבועS = a²

S(x) = 1 + 8x − 3 + 4x²

S(x) = 4x² + 8x − 2

✅ פתרון סופי: (1) AD = 1x (2) S(x) = 4x² + 8x − 2

סעיף ג – השטח המינימלי

גוזרים (את 8x כותבים כ־8x⁻¹):

S′(x) = 8x − 8x²📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹(1x)′ = −1x²

8x − 8x² = 0📐 נקודת קיצוןS′(x) = 0

כופלים ב־x² (חיובי):

8x³ − 8 = 0

x³ = 1

x = 1

טבלת סימנים (הצבות: S′(0.5) = 4 − 32 = −28 , S′(2) = 16 − 2 = 14):

x	0 < x < 1	1	1 < x < 83
S′	−	0	+
S	↘	מינ׳	↗

S(1) = 4 + 8 − 2 = 10

✅ פתרון סופי: x = 1 מטר (השטח המינימלי 10 מ"ר)

סעיף ד – שטח של 9 מ"ר?

לפי סעיף ג, השטח הכולל הקטן ביותר האפשרי הוא S(1) = 10 מ"ר (מינימום יחיד בתחום, ולכן מוחלט).

S(x) ≥ 10 > 9

לכן השטח הכולל לא יכול להיות 9 מ"ר.

✅ פתרון סופי: לא ייתכן – השטח המינימלי הוא 10 מ"ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	BE = 8 − 3x
סעיף ב	AD = 1x ; S = 4x² + 8x − 2
סעיף ג	x = 1
סעיף ד	לא ייתכן (מינימום 10)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2026 מועד א', שאלה 8

📄 נוסח השאלה

בסרטוט מתוארת גינה ציבורית המחולקת לשני מתחמים: מתחם ABCD ובו דשא, ומתחם BFGH ובו מתקנים לילדים. כל אחד מן המתחמים הוא בצורת מלבן. נסמן ב־x את אורך הצלע AB. נתון כי אורך הצלע GF הוא 7 מטרים, וכי אורך הצלע BF גדול ב־2 מטרים מאורך הצלע AB. את המתחם ABCD הקיפו בגדר שאורכה 32 מטרים.

א. (1) הביעו באמצעות x את אורך הצלע AD. (2) הביעו באמצעות x את שטח המתחם ABCD.

ב. הביעו באמצעות x את היחס בין שטח המתחם ABCD ובין שטח המתחם BFGH.

ג. מצאו את הערך של x שבעבורו היחס בין שטח המתחם ABCD ובין שטח המתחם BFGH הוא מקסימלי.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א (1) – הצלע AD

ההיקף של המלבן ABCD הוא 32:

2 · AB + 2 · AD = 32📐 היקף מלבןP = 2a + 2b

2x + 2 · AD = 32

מחלקים ב־2:

x + AD = 16

AD = 16 − x

✅ פתרון סופי: AD = 16 − x

סעיף א (2) – שטח ABCD

S_ABCD = AB · AD = x(16 − x) = 16x − x²📐 שטח מלבןS = a · b

✅ פתרון סופי: S_ABCD = 16x − x²

סעיף ב – היחס בין השטחים

צלעות המלבן BFGH:

BF = x + 2 , GF = 7

S_BFGH = 7(x + 2) = 7x + 14📐 שטח מלבןS = a · b

היחס:

h(x) = 16x − x²7x + 14

✅ פתרון סופי: h(x) = 16x − x²7x + 14

סעיף ג – היחס המקסימלי

תחום: אורכים חיוביים, x > 0 ו־16 − x > 0, כלומר 0 < x < 16.

גוזרים לפי נגזרת של מנה:

u = 16x − x² , u′ = 16 − 2x

v = 7x + 14 , v′ = 7

h′(x) = (16 − 2x)(7x + 14) − (16x − x²) · 7(7x + 14)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

פותחים סוגריים במונה:

(16 − 2x)(7x + 14) = 112x + 224 − 14x² − 28x📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

= −14x² + 84x + 224

(16x − x²) · 7 = 112x − 7x²

N = −14x² + 84x + 224 − 112x + 7x²

N = −7x² − 28x + 224

משווים ל־0 ומחלקים ב־−7:

x² + 4x − 32 = 0📐 נקודת קיצוןh′(x) = 0

(x + 8)(x − 4) = 0📐 טרינוםp · q = c , p + q = b

x = −8 (נפסל, אורך חיובי) או x = 4

בודקים שזה מקסימום – סימן הנגזרת סביב 4:

h′(1) : N = −7 − 28 + 224 = 189 > 0 ← עולה

h′(5) : N = −175 − 140 + 224 = −91 < 0 ← יורדת

עולה ואז יורדת – יש מקסימום ב־x = 4. היחס המקסימלי:

h(4) = 64 − 1628 + 14 = 4842 = 87

✅ פתרון סופי: x = 4 מטרים

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א (1)	AD = 16 − x
סעיף א (2)	S_ABCD = 16x − x²
סעיף ב	h(x) = 16x − x²7x + 14
סעיף ג	x = 4 מטרים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 8

📄 נוסח השאלה

ABC הוא משולש ישר זווית, ∢ACB = 90 מעלות. שטח המשולש ABC הוא 72. M היא נקודה על הצלע AC כך שמתקיים MC = 2MA (ראו סרטוט). נסמן את אורך הקטע MA ב־x.

א. הביעו באמצעות x את אורך הצלע BC.

ב. (1) מצאו את x שבעבורו סכום ריבועי מרחקי הנקודה M משלושת קודקודי המשולש (MA² + MB² + MC²) הוא מינימלי. (2) האם ייתכן שהסכום MA² + MB² + MC² הוא 300? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – אורך BC

MC = 2x → AC = x + 2x = 3x

3x · BC2 = 72📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2

3x · BC = 144 → BC = 48x

✅ פתרון סופי: BC = 48x

סעיף ב (1) – סכום מינימלי

במשולש MCB הזווית C ישרה:

MB² = MC² + BC² = 4x² + 2,304x²📐 משפט פיתגורסa² + b² = c²

T(x) = x² + 4x² + 2,304x² + 4x² = 9x² + 2,304x²

T′(x) = 18x − 4,608x³📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · x^{n − 1} , ax² = a · x⁻²

18x = 4,608x³ → x⁴ = 256 → x = 4📐 נקודת קיצוןT′(x) = 0

T′(2) = 36 − 576 < 0 ← יורדת ; T′(8) = 144 − 9 > 0 ← עולה

T(4) = 144 + 144 = 288 – מינימום.

✅ פתרון סופי: x = 4 (הסכום המינימלי 288)

סעיף ב (2) – האם הסכום יכול להיות 300

הסכום המינימלי הוא 288. כש־x מתקרב ל־0 או גדל מאוד, T(x) גדל בלי גבול. לכן T מקבל כל ערך מ־288 ומעלה – גם 300.

בדיקה: 9x² + 2,304x² = 300 → 9x⁴ − 300x² + 2,304 = 0 ← x² = 12 או x² = 643 – שני פתרונות חיוביים ✓

✅ פתרון סופי: כן, ייתכן

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	BC = 48x
סעיף ב (1)	x = 4 (288)
סעיף ב (2)	כן

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד א', שאלה 8

📄 נוסח השאלה

המרובע ABCD הוא טרפז ישר זווית (AB ∥ DC, ראו סרטוט). גובה הטרפז BE חוצה את הבסיס DC. שטח הטרפז הוא 12√2. נסמן ב־x את אורך הצלע AB.

א. הביעו באמצעות x את אורך גובה הטרפז.

ב. מצאו את x שבעבורו סכום ריבועי השוקיים של הטרפז (AD² + BC²) הוא מינימלי.

ג. האם ייתכן שסכום ריבועי השוקיים של הטרפז הוא 30? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – גובה הטרפז

ABED מלבן (זוויות ישרות ב־A , D , E), לכן DE = AB = x. E אמצע DC, ולכן DC = 2x. נסמן את הגובה h:

12√2 = (x + 2x) · h2 = 3xh2📐 שטח טרפזS = (a + b) · h2

h = 24√23x = 8√2x

✅ פתרון סופי: h = 8√2x

סעיף ב – סכום ריבועי השוקיים מינימלי

AD = h. במשולש ישר הזווית BEC: EC = x , BE = h:

BC² = h² + x²📐 משפט פיתגורסa² + b² = c²

h² = 64 · 2x² = 128x²

g(x) = AD² + BC² = 2h² + x² = 256x² + x²

g′(x) = −512x³ + 2x📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

2x = 512x³ ⟸ x⁴ = 256 ⟸ x = 4📐 נקודת קיצוןg′(x) = 0

הצבות: g′(2) = −64 + 4 < 0 , g′(5) = −4.1 + 10 > 0:

x	0 < x < 4	4	x > 4
g′	−	0	+
g	↘	מינ׳	↗

✅ פתרון סופי: x = 4

סעיף ג – סכום 30?

g(4) = 25616 + 16 = 16 + 16 = 32

זה הערך הקטן ביותר של הסכום, ולכן הסכום תמיד ≥ 32.

✅ פתרון סופי: לא – הסכום המינימלי הוא 32 > 30

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	h = 8√2x
סעיף ב	x = 4
סעיף ג	לא (מינימום 32)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

בציור שלפניך ריבוע ומלבן.

נתון: אורך המלבן גדול פי 3 מרוחב המלבן. סכום ההיקפים של הריבוע והמלבן הוא a.

נסמן את רוחב המלבן ב־x.

א. הבע באמצעות a ו־x את אורך צלע הריבוע.

ב. מצא את הערך של x שבעבורו סכום השטחים של הריבוע והמלבן הוא מינימלי (הבע באמצעות a).

ג. נתון כי סכום השטחים של הריבוע והמלבן הוא מינימלי כאשר אורך צלע הריבוע הוא 3. מצא את a.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – צלע הריבוע

רוחב המלבן x, ואורכו פי 3: 3x. היקף המלבן:

P_מלבן = 2 · x + 2 · 3x = 8x📐 היקף מלבןP = 2a + 2b

נסמן את צלע הריבוע ב־b. היקף הריבוע:

P_ריבוע = 4b📐 היקף ריבועP = 4a

סכום ההיקפים הוא a:

4b + 8x = a

4b = a − 8x

מחלקים ב־4:

b = a4 − 2x

השרטוט (בתכלת המלבן, בירוק הריבוע):

✅ פתרון סופי: b = a4 − 2x

סעיף ב – סכום שטחים מינימלי

שטח המלבן הוא רוחב כפול אורך, ושטח הריבוע הוא צלע בריבוע:

S_מלבן = x · 3x = 3x²📐 שטח מלבןS = a · b

S_ריבוע = (a4 − 2x)²📐 שטח ריבועS = a²

פונקציית המטרה – סכום השטחים:

S(x) = 3x² + (a4 − 2x)²

תחום: x > 0 וגם צלע הריבוע חיובית, a4 − 2x > 0, כלומר 0 < x < a8.

גוזרים (את הסוגריים בריבוע לפי כלל השרשרת):

S′(x) = 6x + 2(a4 − 2x) · (−2)📐 נגזרת של פונקציה מורכבת[(g(x))²]′ = 2g(x) · g′(x)

= 6x − a + 8x

= 14x − a

משווים ל־0:

14x − a = 0📐 נקודת קיצוןS′(x) = 0

x = a14

הערך בתחום, כי a14 < a8. טבלת סימנים של S′(x) = 14x − a:

x	S′(x)	S(x)
0 < x < a14	−	↘ יורדת
a14	0	מינימום
a14 < x < a8	+	↗ עולה

✅ פתרון סופי: x = a14

סעיף ג – מציאת a

מציבים x = a14 בביטוי לצלע הריבוע מ־א:

b = a4 − 2 · a14 = a4 − a7

מכנה משותף 28:

= 7a28 − 4a28 = 3a28

הצלע נתונה 3:

3a28 = 3

3a = 84

a = 28

בדיקה: x = 2814 = 2 b = 7 − 4 = 3 ✓

✅ פתרון סופי: a = 28

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	a4 − 2x
סעיף ב	x = a14
סעיף ג	a = 28

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2021 מועד מיוחד). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – חורף 2021 (מועד חורף מאוחר, אפריל), שאלה 8

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניך ABCD הוא מלבן ששטחו 25.

הנקודה E נמצאת על הצלע AB, והנקודה G נמצאת על המשך הצלע CB, כמתואר בסרטוט.

המרובע EFGB הוא ריבוע.

נתון: AD < DC. צלע הריבוע גדולה ב־25% מ־AD.

נסמן: AD = x.

א. הבע באמצעות x את DC ואת AE.

ב. מצא את הערך של x שעבורו היקף המצולע AEFGCD שנוצר הוא מינימלי.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – DC ו־AE

שטח המלבן הוא 25:

AD · DC = 25📐 שטח מלבןS = a · b

x · DC = 25

DC = 25x

צלע הריבוע גדולה ב־25% מ־AD, כלומר היא 125% מ־x:

EB = 1.25x📐 הגדלה באחוזיםגדול ב־25% ← כופלים ב־1.25

במלבן AB = DC, ולכן:

AE = AB − EB = 25x − 1.25x

✅ פתרון סופי: DC = 25x

✅ פתרון סופי: AE = 25x − 1.25x

סעיף ב – היקף מינימלי

צלעות המצולע AEFGCD:

AE = 25x − 1.25x

EF = FG = 1.25x

GC = GB + BC , ובמלבן BC = AD = x:

GC = 1.25x + x = 2.25x

CD = 25x , DA = x

מחברים (פונקציית המטרה):

P(x) = 25x − 1.25x + 1.25x + 1.25x + 2.25x + 25x + x

P(x) = 50x + 4.5x

תחום: AE > 0 נותן 25x > 1.25x, כלומר x² < 20. לכן 0 < x < √20.

P′(x) = −50x² + 4.5📐 נגזרת של שבר(kx)′ = −kx²

−50x² + 4.5 = 0📐 נקודת קיצוןP′(x) = 0

4.5x² = 50

x² = 1009

x = 103 = 313

נפסל x = −103 – אורך חיובי. בדיקה: DC = 7.5 > 313 , AE = 7.5 − 416 > 0.

x	P′(x)	P(x)
0 < x < 313	−	↘ יורדת
313	0	מינימום
313 < x < √20	+	↗ עולה

לדוגמה: P′(1) = −50 + 4.5 < 0 , P′(4) = −5016 + 4.5 > 0.

✅ פתרון סופי: x = 313

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	DC = 25x AE = 25x − 1.25x
סעיף ב	x = 313

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, חורף 2021 (מועד חורף מאוחר, אפריל)). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2020 מועד א, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

נתון משולש ישר זווית ADC (∢ADC = 90).

מן הנקודה A העבירו ישר החותך את הצלע DC בנקודה B כך ש־DB = 2BC.

נתון: שטח המשולש ABC הוא 9.

נסמן: BC = x.

א. הבע באמצעות x את אורך הגובה לצלע BC במשולש ABC.

ב. מצא את הערך של x שבעבורו AB² הוא מינימלי.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – הגובה לצלע BC

הצלע BC מונחת על הישר DC, ו־AD מאונך ל־DC. לכן הגובה לצלע BC הוא AD:

BC · AD2 = 9📐 שטח משולשS = a · h2

x · AD2 = 9

AD = 18x

✅ פתרון סופי: AD = 18x

סעיף ב – AB בריבוע מינימלי

DB = 2BC = 2x

במשולש ישר הזווית ADB:

AB² = DB² + AD²📐 משפט פיתגורסc² = a² + b²

= (2x)² + (18x)²

= 4x² + 324x²

פונקציית המטרה (x > 0):

g(x) = 4x² + 324x⁻²

g′(x) = 8x − 648x⁻³ = 8x − 648x³📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · x^{n − 1}

8x − 648x³ = 0📐 נקודת קיצוןg′(x) = 0

8x⁴ = 648

x⁴ = 81

x = 3

x	g′(x)	g(x)
0 < x < 3	−	↘ יורדת
3	0	מינימום
x > 3	+	↗ עולה

לדוגמה: g′(1) = 8 − 648 < 0 , g′(4) = 32 − 64864 > 0.

הערך המינימלי:

AB² = 4 · 9 + 3249 = 36 + 36 = 72

✅ פתרון סופי: x = 3

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	AD = 18x
סעיף ב	x = 3 (AB² = 72)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2020 מועד א). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2019 מועד ב, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

במלבן ABCD סכום האורכים של שתי צלעות סמוכות הוא 20.

בתוך המלבן בנו משולש AED כך שהקודקוד E נמצא באמצע הצלע BC (ראה ציור).

נסמן ב־x את אורך הקטע BE.

א. (1) הבע באמצעות x את אורך הקטע AE. (2) מצא את אורכי צלעות המלבן שבעבורן אורך הקטע AE הוא מינימלי.

ענה על סעיף ב עבור אורכי צלעות המלבן שמצאת בסעיף א.

ב. חשב את שטח המשולש AED.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א (1) – אורך AE

E אמצע BC, ולכן:

BC = 2x

AB = 20 − 2x

המשולש ABE ישר זווית (∢B = 90):

AE² = AB² + BE²📐 משפט פיתגורסc² = a² + b²

= (20 − 2x)² + x²

= 400 − 80x + 4x² + x²

= 5x² − 80x + 400

AE = √5x² − 80x + 400

✅ פתרון סופי: AE = √5x² − 80x + 400

סעיף א (2) – אורך AE מינימלי

תחום: x > 0 ו־20 − 2x > 0, כלומר 0 < x < 10.

AE′(x) = 10x − 802√5x² − 80x + 400📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

10x − 802√5x² − 80x + 400 = 0📐 נקודת קיצוןAE′(x) = 0

10x − 80 = 0

x = 8

x	AE′(x)	AE(x)
0 < x < 8	−	↘ יורדת
8	0	מינימום
8 < x < 10	+	↗ עולה

המכנה חיובי, הסימן לפי 10x − 80. לדוגמה: x = 1 → −70 < 0 , x = 9 → 10 > 0.

אורכי הצלעות:

BC = 2 · 8 = 16

AB = 20 − 16 = 4

✅ פתרון סופי: BC = 16 , AB = 4

סעיף ב – שטח המשולש AED

הבסיס AD = BC = 16, והגובה מ־E אל AD שווה לרוחב המלבן AB = 4:

S_AED = 16 · 42 = 32📐 שטח משולשS = a · h2

✅ פתרון סופי: 32 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א (1)	AE = √5x² − 80x + 400
סעיף א (2)	16 ו־4
סעיף ב	32

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2019 מועד ב). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2018, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

ABCD ו־BEFG הם שני ריבועים. הצלע BC מונחת על הצלע BG .

נתון: DB + BF = a , 0 < a הוא פרמטר.

שני ריבועים ABCD ו־BEFG והקטעים DB, BF, DF

א. מצא את אורך האלכסון DB שעבורו אורך הקטע DF הוא מינימלי. הבע באמצעות a .

ב. עבור אורך DB שמצאת בסעיף א, מהו היחס ABBE ?

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – DB ל־DF מינימלי

נסמן DB = x ← BF = a − x.

ב־DB ו־BF אלכסונים בריבועים, ולכן ∢DBC = ∢CBF = 45 ← ∢DBF = 90.📐 אלכסון ריבועחוצה את זווית הריבוע (45)

DF² = x² + (a − x)²📐 משפט פיתגורסc² = a² + b²

DF מינימלי כאשר DF² מינימלי. התחום: 0 < x < a.

(DF²)′ = 2x − 2(a − x) = 4x − 2a📐 נגזרת של פולינום(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

4x − 2a = 0 ← x = 0.5a📐 נקודת קיצוןנגזרת = 0

משמאל ל־0.5a הנגזרת שלילית ומימין חיובית ← מינימום.

✅ פתרון סופי: DB = 0.5a

סעיף ב – היחס AB : BE

BF = a − 0.5a = 0.5a = DB

אלכסונים שווים ← ריבועים חופפים ← AB = BE📐 אלכסון ריבועd = a√2

✅ פתרון סופי: ABBE = 1

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	DB = 0.5a
סעיף ב	1

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2018). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2017 מועד א', שאלה 8

📄 נוסח השאלה

ABC הוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים ( ∢ABC = 90 ). על הצלע AB בנו משולש ישר זווית AEB , כך ש־AB הוא היתר של המשולש AEB , כמתואר בציור.

נתון כי סכום אורכי הניצבים של המשולש AEB הוא 6 ס״מ. נסמן את אורך הצלע AE ב־x .

א. הבע באמצעות x את שטח המשולש ABC .

ב. עבור איזה ערך של x שטח המרובע AEBC הוא מינימלי?

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – שטח המשולש ABC

EB = 6 − x

AB² = x² + (6 − x)² = 2x² − 12x + 36📐 משפט פיתגורסc² = a² + b²

S_ABC = AB · BC2 = AB²2 = x² − 6x + 18📐 שטח משולש ישר זוויתS = a · b2

✅ פתרון סופי: S_ABC = x² − 6x + 18

סעיף ב – x לשטח מרובע מינימלי

S_AEB = x(6 − x)2 = 3x − x²2

S(x) = x² − 6x + 18 + 3x − x²2 = x²2 − 3x + 18

התחום: 0 < x < 6.

S′(x) = x − 3📐 נגזרת של פולינום(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

x − 3 = 0 ← x = 3📐 נקודת קיצוןS′(x) = 0

S′(1) = −2 < 0 , S′(4) = 1 > 0

x	S′(x)	S(x)
0 < x < 3	−	↘
3	0	מינימום
3 < x < 6	+	↗

✅ פתרון סופי: x = 3 ס״מ

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	x² − 6x + 18
סעיף ב	x = 3

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2017 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2017, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

במלבן ABCD הנקודה F היא אמצע הצלע BC . הנקודה E נמצאת על הצלע AD כך ש־EF ⊥ AD .

הנקודה K נמצאת על הקטע EF כך ש־EK = KC = 10 ס״מ (ראה ציור). נסמן FC = x .

א. הבע באמצעות x את אורך הקטע FK .

ב. מה צריך להיות האורך של BC כדי שההיקף של המלבן ABCD יהיה מקסימלי?

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – אורך FK

EF ⊥ AD ו־AD ∥ BC, ולכן ∢KFC = 90.

FK = √KC² − FC² = √100 − x²📐 משפט פיתגורסc² = a² + b²

✅ פתרון סופי: FK = √100 − x²

סעיף ב – BC להיקף מקסימלי

BC = 2x , AB = EF = 10 + √100 − x²

P(x) = 2 · 2x + 2(10 + √100 − x²) = 4x + 20 + 2√100 − x²📐 היקף מלבןP = 2a + 2b

התחום: 0 < x < 10.

P′(x) = 4 + 2 · −2x2√100 − x² = 4 − 2x√100 − x²📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

4 = 2x√100 − x²📐 נקודת קיצוןP′(x) = 0

2√100 − x² = x

מעלים בריבוע (שני האגפים חיוביים):

400 − 4x² = x²

x² = 80 ← x = √80 ≈ 8.94

P′(6) = 4 − 1.5 > 0 , P′(9.5) = 4 − 19√9.75 < 0

x	P′(x)	P(x)
0 < x < 8.94	+	↗
8.94	0	מקסימום
8.94 < x < 10	−	↘

BC = 2x = 2√80 ≈ 17.89

✅ פתרון סופי: BC = 2√80 ≈ 17.89 ס״מ

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	FK = √100 − x²
סעיף ב	BC ≈ 17.89 ס״מ

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2017). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2016 מועד א', שאלה 8

📄 נוסח השאלה

בחצי מעגל, שמרכזו O₁ ורדיוסו 10 ס״מ, חסומים שני מעגלים שמרכזיהם O₂ , O₃ . המעגלים משיקים זה לזה, כמתואר בציור (שלושת המרכזים נמצאים על ישר אחד).

א. מצא מה צריך להיות האורך של רדיוס המעגל שמרכזו O₂ ושל רדיוס המעגל שמרכזו O₃ , כדי שסכום השטחים של העיגולים O₂ ו־O₃ יהיה מינימלי.

ב. כאשר סכום השטחים של העיגולים O₂ ו־O₃ הוא מינימלי, מצא את סכום ההיקפים של מעגלים אלה.

נתון: שטח עיגול = πR² , היקף מעגל = 2πR .

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – הרדיוסים לסכום שטחים מינימלי

נסמן ב־r את רדיוס המעגל O₂. על הקטע האנכי מ־O₁ עד קשת חצי המעגל (באורך הרדיוס 10) מונחים שני הקטרים:

2r + 2R = 10 ← R = 5 − r (רדיוס המעגל O₃).

S(r) = πr² + π(5 − r)²📐 שטח עיגולS = πR²

התחום: 0 < r < 5.

S′(r) = 2πr − 2π(5 − r) = 2π(2r − 5)📐 נגזרת של פונקציה מורכבת((ax + b)ⁿ)′ = n · a(ax + b)ⁿ⁻¹

2r − 5 = 0 ← r = 2.5📐 נקודת קיצוןS′(r) = 0

S′(1) = −6π < 0 , S′(4) = 6π > 0

r	S′(r)	S(r)
0 < r < 2.5	−	↘
2.5	0	מינימום
2.5 < r < 5	+	↗

R = 5 − 2.5 = 2.5

✅ פתרון סופי: r = R = 2.5 ס״מ

סעיף ב – סכום ההיקפים

P = 2π · 2.5 + 2π · 2.5 = 10π ≈ 31.42📐 היקף מעגלP = 2πR

✅ פתרון סופי: 10π ≈ 31.42 ס״מ

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	2.5 ס״מ לשניהם
סעיף ב	10π ≈ 31.42

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2016 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2016, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

חוט באורך 9 מטרים חותכים לשני חלקים. מחלק אחד בונים משולש שווה צלעות, ומהחלק האחר בונים ריבוע.

א. נסמן ב־x את אורך הצלע של המשולש. הבע באמצעות x את אורך הצלע של הריבוע.

ב. מה צריך להיות x כדי שסכום השטחים של המשולש ושל הריבוע יהיה מינימלי?

ג. עבור ה־x שמצאת, האם ההיקף של המשולש גדול מן ההיקף של הריבוע? נמק.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – צלע הריבוע

היקף המשולש = 3x

צלע הריבוע = 9 − 3x4 = 2.25 − 0.75x

✅ פתרון סופי: 2.25 − 0.75x

סעיף ב – x לסכום שטחים מינימלי

S(x) = √34x² + (2.25 − 0.75x)²📐 שטח משולש שווה צלעותS = √34a²

התחום: 0 < x < 3.

S′(x) = √32x + 2(2.25 − 0.75x)(−0.75)📐 נגזרת של פונקציה מורכבת((ax + b)ⁿ)′ = n · a(ax + b)ⁿ⁻¹

= √32x − 3.375 + 1.125x

(√32 + 1.125)x = 3.375📐 נקודת קיצוןS′(x) = 0

x = 3.3750.866 + 1.125 ≈ 1.695

S′(1) ≈ 1.99 − 3.375 < 0 , S′(2) ≈ 3.98 − 3.375 > 0

x	S′(x)	S(x)
0 < x < 1.695	−	↘
1.695	0	מינימום
1.695 < x < 3	+	↗

✅ פתרון סופי: x ≈ 1.695 מטר

סעיף ג – השוואת היקפים

היקף המשולש = 3 · 1.695 ≈ 5.085

היקף הריבוע = 9 − 5.085 ≈ 3.915

5.085 > 3.915 – היקף המשולש גדול יותר.

✅ פתרון סופי: כן, 5.085 > 3.915

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	2.25 − 0.75x
סעיף ב	x ≈ 1.695
סעיף ג	כן

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2016). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2014 מועד ג', שאלה 8

📄 נוסח השאלה

נתון משולש שווה שוקיים שהיקפו 30 ס״מ.

א. סמן ב־2x את בסיס המשולש, והבע באמצעות x את גובה המשולש לבסיס.

ב. מה צריך להיות x כדי ששטח המשולש יהיה מקסימלי?

ג. הראה כי המשולש שיש לו שטח מקסימלי הוא משולש שווה צלעות.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – הגובה לבסיס

שוק = 30 − 2x2 = 15 − x

הגובה לבסיס במשולש שווה שוקיים הוא גם תיכון, ולכן חצי הבסיס הוא x:

h = √(15 − x)² − x²📐 משפט פיתגורסc² = a² + b²

= √225 − 30x + x² − x² = √225 − 30x

✅ פתרון סופי: h = √225 − 30x

סעיף ב – x לשטח מקסימלי

S(x) = 2x · √225 − 30x2 = x√225 − 30x📐 שטח משולשS = a · h2

התחום: 0 < x < 7.5 (הביטוי בשורש חיובי).

S′(x) = √225 − 30x + x · −302√225 − 30x📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′

= 225 − 30x − 15x√225 − 30x = 225 − 45x√225 − 30x

225 − 45x = 0📐 נקודת קיצוןS′(x) = 0

x = 5

S′(1) = 180√195 > 0 , S′(7) = −90√15 < 0

x	S′(x)	S(x)
0 < x < 5	+	↗
5	0	מקסימום
5 < x < 7.5	−	↘

✅ פתרון סופי: x = 5

סעיף ג – משולש שווה צלעות

בסיס = 2 · 5 = 10 ס״מ

שוק = 15 − 5 = 10 ס״מ

שלוש הצלעות שוות ל־10 ס״מ – המשולש שווה צלעות.

✅ פתרון סופי: הוכחה: כל הצלעות 10 ס״מ

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	h = √225 − 30x
סעיף ב	x = 5
סעיף ג	הוכחה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2014 מועד ג'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2014 מועד א', שאלה 8

📄 נוסח השאלה

האורך של קיר בצורת מלבן הוא 16 מטר, והגובה של הקיר הוא 10 מטר. רוצים לצפות בקרמיקה חלק מהקיר.

החלק שרוצים לצפות כולל:

• שני ריבועים זהים בפינות המלבן.

• משולש שווה־שוקיים שבסיסו מקביל לצלע המלבן (השטחים הצבועים בציור).

סמן ב־x את האורך של צלע הריבוע, וענה על הסעיפים א–ג.

א. הבע באמצעות x את הגובה לבסיס במשולש שווה השוקיים.

ב. מה צריך להיות x , כדי שסכום השטחים שרוצים לצפות בקרמיקה יהיה מינימלי?

ג. עבור ה־x שמצאת בסעיף ב, חשב כמה אחוזים משטח הקיר מהווה החלק שרוצים לצפות בקרמיקה.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – הגובה במשולש

בסיס המשולש נמצא בגובה של צלע הריבוע מתחת לצלע העליונה, והקודקוד על הצלע התחתונה:

h = 10 − x

✅ פתרון סופי: h = 10 − x

סעיף ב – x לשטח מינימלי

בסיס המשולש = 16 − 2x

S(x) = 2x² + (16 − 2x)(10 − x)2📐 שטח משולשS = a · h2

= 2x² + (8 − x)(10 − x)

= 2x² + 80 − 18x + x²

= 3x² − 18x + 80

התחום: 0 < x < 8 (כדי שיישאר בסיס למשולש).

S′(x) = 6x − 18📐 נגזרת של פולינום(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

6x − 18 = 0📐 נקודת קיצוןS′(x) = 0

x = 3

S′(1) = −12 < 0 , S′(4) = 6 > 0

x	S′(x)	S(x)
0 < x < 3	−	↘
3	0	מינימום
3 < x < 8	+	↗

✅ פתרון סופי: x = 3 מטר

סעיף ג – אחוז מהקיר

S(3) = 27 − 54 + 80 = 53 מ״ר

שטח הקיר = 16 · 10 = 160 מ״ר

53160 · 100 = 33.125

✅ פתרון סופי: 33.125%

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	10 − x
סעיף ב	x = 3
סעיף ג	33.125%

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2014 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2014, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

במשולש שווה שוקיים ABC ( AB = AC ) אורך הבסיס הוא BC = 10 ס״מ, ואורך הגובה לבסיס הוא AD = 12 ס״מ.

M היא נקודה על הגובה AD (ראה ציור).

א. מה צריך להיות האורך של MD כדי שסכום המרחקים של הנקודה M מקדקודי המשולש ( MA + MB + MC ) יהיה מינימלי?

ב. מצא את הזווית BMC עבור הנקודה M שמצאת בסעיף א.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – MD לסכום מרחקים מינימלי

נסמן MD = x , כאשר 0 ≤ x ≤ 12. אז MA = 12 − x.

הגובה לבסיס במשולש שווה שוקיים הוא גם תיכון: BD = DC = 5.

MB = MC = √x² + 25📐 משפט פיתגורסc² = a² + b²

S(x) = 12 − x + 2√x² + 25

S′(x) = −1 + 2 · 2x2√x² + 25 = −1 + 2x√x² + 25📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

−1 + 2x√x² + 25 = 0📐 נקודת קיצוןS′(x) = 0

2x = √x² + 25

מעלים בריבוע (שני האגפים חיוביים):

4x² = x² + 25

3x² = 25

x = 5√3 ≈ 2.89

S′(1) = −1 + 2√26 < 0 , S′(5) = −1 + 10√50 > 0

x	S′(x)	S(x)
0 ≤ x < 2.89	−	↘
2.89	0	מינימום
2.89 < x ≤ 12	+	↗

✅ פתרון סופי: MD = 5√3 ≈ 2.89 ס״מ

סעיף ב – הזווית BMC

במשולש ישר הזווית BDM :

tan∢BMD = BDMD = 55√3 = √3📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan ∢ = הניצב שמול הזוויתהניצב שליד הזווית

∢BMD = 60

מסימטריה (MD הוא גם חוצה זווית במשולש שווה השוקיים BMC):

∢BMC = 2 · 60 = 120

✅ פתרון סופי: ∢BMC = 120

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	MD ≈ 2.89 ס״מ
סעיף ב	120

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2014). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2013 מועד ב', שאלה 9

📄 נוסח השאלה

נתון מלבן ABCD שאורכי צלעותיו הם: AB = 9 , AD = 4 .

הנקודה E נמצאת על הצלע CD (בין C ל־D ). ההמשך של AE חותך את המשך הצלע BC בנקודה F (ראה ציור).

א. הוכח: △ADE ∼ △FCE .

ב. סמן DE = x , ומצא מה צריך להיות האורך של DE כדי שסכום השטחים של המשולשים ADE ו־FCE יהיה מינימלי. בתשובתך תוכל להשאיר שורש.

✏️ פתרון שאלה 9

סעיף א – הוכחת דמיון

• ∢ADE = ∢FCE = 90 (זוויות המלבן; ∢FCE צמודה לזווית ישרה של המלבן).

• ∢AED = ∢FEC📐 זוויות קודקודיותזוויות קודקודיות שוות

לכן △ADE ∼ △FCE📐 משפט דמיון ז.ז.שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים

✅ פתרון סופי: △ADE ∼ △FCE (ז.ז.)

סעיף ב – DE לסכום שטחים מינימלי

CE = CD − DE = 9 − x

FCAD = CEDE📐 יחס דמיוןצלעות מתאימות במשולשים דומים מתכונתיות

FC4 = 9 − xx

FC = 4(9 − x)x

S_ADE = 4 · x2 = 2x📐 שטח משולש ישר זוויתS = a · b2

S_FCE = (9 − x) · 4(9 − x)x2 = 2(9 − x)²x

S(x) = 2x + 2(81 − 18x + x²)x

= 2x + 162x − 36 + 2x = 4x + 162x − 36

התחום: 0 < x < 9.

S′(x) = 4 − 162x²📐 נגזרת של kx(kx)′ = −kx²

4 − 162x² = 0📐 נקודת קיצוןS′(x) = 0

x² = 40.5

x = √40.5 ≈ 6.36

S′(5) = 4 − 6.48 < 0 , S′(8) = 4 − 2.53 > 0

x	S′(x)	S(x)
0 < x < 6.36	−	↘
6.36	0	מינימום
6.36 < x < 9	+	↗

✅ פתרון סופי: DE = √40.5 ≈ 6.36

📌 סיכום התשובות – שאלה 9

סעיף א	ז.ז.
סעיף ב	√40.5 ≈ 6.36

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2013 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2013, שאלה 9

📄 נוסח השאלה

א. מבין כל המלבנים ששטחם k סמ״ר, מצא את אורכי הצלעות של המלבן שהיקפו מינימלי. הבע באמצעות k .

ב. רדיוס המעגל החוסם את המלבן שמצאת בסעיף א הוא 4 ס״מ. מצא את k .

✏️ פתרון שאלה 9

סעיף א – המלבן בעל ההיקף המינימלי

נסמן צלע אחת x. השטח k, ולכן הצלע השנייה:

y = kx📐 שטח מלבןS = a · b

P(x) = 2x + 2kx📐 היקף מלבןP = 2a + 2b

התחום: x > 0.

P′(x) = 2 − 2kx²📐 נגזרת של kx(kx)′ = −kx²

2 − 2kx² = 0📐 נקודת קיצוןP′(x) = 0

x² = k

x = √k (אורך חיובי)

סימן: עבור x < √k : x² < k ולכן P′(x) < 0; עבור x > √k : P′(x) > 0.

x	P′(x)	P(x)
0 < x < √k	−	↘
√k	0	מינימום
x > √k	+	↗

y = k√k = √k

כלומר המלבן הוא ריבוע.

✅ פתרון סופי: √k ו־√k (ריבוע)

סעיף ב – הערך של k

מרכז המעגל החוסם מלבן הוא נקודת מפגש האלכסונים, והאלכסון הוא קוטר: האלכסון = 2 · 4 = 8📐 מעגל החוסם מלבןהאלכסון של המלבן הוא קוטר המעגל

(√k)² + (√k)² = 8²📐 משפט פיתגורסc² = a² + b²

k + k = 64

2k = 64

k = 32

✅ פתרון סופי: k = 32

📌 סיכום התשובות – שאלה 9

סעיף א	√k ו־√k
סעיף ב	k = 32

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2013). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2012 מועד ב', שאלה 8

📄 נוסח השאלה

נתונה מקבילית DEFB שבה DE = 90 ס״מ, BD = 40 ס״מ.

ממשיכים את הצלע BD מעבר לנקודה D עד הנקודה A , וממשיכים את הצלע BF מעבר לנקודה F עד הנקודה C , כך שהנקודות A , E , C נמצאות על ישר אחד (ראה ציור).

נסמן: AD = x .

א. הבע באמצעות x את אורך הקטע FC .

ב. מצא מה צריך להיות האורך של AD כדי שסכום האורכים של AB ושל BC יהיה מינימלי.

ג. מצא את הסכום המינימלי של AB ו־BC .

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – אורך FC

במקבילית צלעות נגדיות שוות ומקבילות: EF = BD = 40 , BF = DE = 90 , DE ∥ BC , EF ∥ AB.

המשולשים ADE ו־EFC:

• ∢ADE = ∢EFC (שתיהן שוות ל־∢B – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים).

• ∢AED = ∢ECF (זוויות מתאימות, DE ∥ BC).

לכן △ADE ∼ △EFC📐 משפט דמיון ז.ז.שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים

ADEF = DEFC📐 יחס דמיוןצלעות מתאימות במשולשים דומים מתכונתיות

x40 = 90FC

x · FC = 3600

FC = 3600x

✅ פתרון סופי: FC = 3600x

סעיף ב – AD לסכום מינימלי

AB = AD + DB = x + 40

BC = BF + FC = 90 + 3600x

S(x) = x + 40 + 90 + 3600x = x + 130 + 3600x

התחום: x > 0.

S′(x) = 1 − 3600x²📐 נגזרת של kx(kx)′ = −kx²

1 − 3600x² = 0📐 נקודת קיצוןS′(x) = 0

x² = 3600

x = 60 (אורך חיובי)

S′(30) = 1 − 4 < 0 , S′(100) = 1 − 0.36 > 0

x	S′(x)	S(x)
0 < x < 60	−	↘
60	0	מינימום
x > 60	+	↗

✅ פתרון סופי: AD = 60 ס״מ

סעיף ג – הסכום המינימלי

S(60) = 60 + 130 + 360060 = 60 + 130 + 60 = 250

✅ פתרון סופי: 250 ס״מ

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	FC = 3600x
סעיף ב	60 ס״מ
סעיף ג	250 ס״מ

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2012 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2012 מועד א', שאלה 9

📄 נוסח השאלה

משאית נוסעת 100 ק״מ במהירות קבועה של x קמ״ש.

א. הבע באמצעות x את מספר שעות הנסיעה של המשאית.

עלות הנסיעה של המשאית היא פונקציה של המהירות שלה.

העלות של שעת נסיעה אחת במהירות x היא (16 + x²400) שקלים.

ב. (1) מה צריך להיות הערך של x כדי שעלות הנסיעה של המשאית תהיה מינימלית?

(2) חשב את העלות המינימלית של הנסיעה.

✏️ פתרון שאלה 9

סעיף א – זמן הנסיעה

t = 100x📐 דרך, מהירות וזמןt = sv

✅ פתרון סופי: 100x שעות

סעיף ב (1) – מהירות להוצאות מינימליות

עלות של שעה: x²400 + 16. מכפילים במספר השעות:

C(x) = 100x · (x²400 + 16)

= 100x²400x + 1600x

= x4 + 1600x

התחום: x > 0.

C′(x) = 14 − 1600x²📐 נגזרת של kx(kx)′ = −kx²

14 − 1600x² = 0📐 נקודת קיצוןC′(x) = 0

1600x² = 14

x² = 6400

x = 80 (מהירות חיובית)

C′(40) = 0.25 − 1 < 0 , C′(100) = 0.25 − 0.16 > 0

x	C′(x)	C(x)
0 < x < 80	−	↘
80	0	מינימום
x > 80	+	↗

✅ פתרון סופי: 80 קמ״ש

סעיף ב (2) – ההוצאות המינימליות

C(80) = 804 + 160080 = 20 + 20 = 40

✅ פתרון סופי: 40 שקלים

📌 סיכום התשובות – שאלה 9

סעיף א	100x שעות
סעיף ב (1)	80 קמ״ש
סעיף ב (2)	40 שקלים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2012 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2012, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

במשולש ישר זווית סכום אורכי הניצבים הוא 20 ס״מ.

א. מבין כל המשולשים המקיימים תנאי זה, מצא את אורכי הניצבים במשולש שבו אורך התיכון ליתר הוא מינימלי.

ב. מצא את אורכי התיכונים לניצבים במשולש שאת הניצבים שלו מצאת בסעיף א.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – אורכי הניצבים

נסמן ניצב אחד BC = x, ואז הניצב השני AC = 20 − x , כאשר 0 < x < 20.

היתר AB לפי משפט פיתגורס:

AB² = x² + (20 − x)²📐 משפט פיתגורסc² = a² + b²

= x² + 400 − 40x + x²

= 2x² − 40x + 400

AB = √2x² − 40x + 400

התיכון ליתר CM (בסגול, מקווקו) שווה לחצי היתר:

CM = 12 · √2x² − 40x + 400📐 תיכון ליתר במשולש ישר זוויתהתיכון ליתר שווה לחצי היתר

גוזרים:

CM′(x) = 12 · 4x − 402√2x² − 40x + 400 = x − 10√2x² − 40x + 400📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

x − 10 = 0📐 נקודת קיצוןCM′(x) = 0

x = 10

המכנה חיובי, והסימן לפי המונה:

CM′(5) = −5חיובי < 0 , CM′(15) = 5חיובי > 0

x	CM′(x)	CM
0 < x < 10	−	↘
10	0	מינימום
10 < x < 20	+	↗

20 − x = 20 − 10 = 10

✅ פתרון סופי: 10 ס״מ ו־10 ס״מ

סעיף ב – אורכי התיכונים לניצבים

מסעיף א: AC = BC = 10. התיכון AK (בסגול) יוצא אל אמצע הניצב BC, והתיכון BN (בירוק) אל אמצע הניצב AC:

CK = 102 = 5

במשולש ישר הזווית ACK:

AK² = AC² + CK² = 10² + 5² = 125📐 משפט פיתגורסc² = a² + b²

AK = √125 ≈ 11.18

באותו אופן במשולש BCN (BC = 10 , CN = 5):

BN² = 10² + 5² = 125📐 משפט פיתגורסc² = a² + b²

BN = √125 ≈ 11.18

✅ פתרון סופי: 11.18 ס״מ ו־11.18 ס״מ

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	10 ס״מ ו־10 ס״מ
סעיף ב	11.18 ס״מ ו־11.18 ס״מ

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2012). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2011 מועד א', שאלה 9

📄 נוסח השאלה

במלבן ABCD נתון: AD = 10 , AB = a .

על צלעות המלבן קצבו את הקטעים AE = AH = CF = CG = x (ראה ציור).

א. (1) הבע באמצעות x ו־a את סכום השטחים של המשולשים BEF ו־AEH .

(2) מצא את x (הבע באמצעות a) שעבורו שטח המרובע EFGH הוא מקסימלי.

ב. נתון כי כאשר שטח המרובע EFGH הוא מקסימלי, אורך הקטע DH הוא 6 . מצא את a .

✏️ פתרון שאלה 9

סעיף א (1) – סכום שטחי המשולשים

המשולשים ישרי זווית (זוויות המלבן ישרות).

במשולש AEH הניצבים: AE = AH = x.

S_AEH = x · x2 = x²2📐 שטח משולש ישר זוויתS = a · b2

במשולש BEF הניצבים: BE = a − x , BF = BC − CF = 10 − x.

S_BEF = (a − x)(10 − x)2📐 שטח משולש ישר זוויתS = a · b2

S_AEH + S_BEF = x²2 + 10a − ax − 10x + x²2

= 2x² − (a + 10)x + 10a2

✅ פתרון סופי: 2x² − (a + 10)x + 10a2

סעיף א (2) – שטח EFGH מקסימלי

גם המשולשים CFG ו־DGH ישרי זווית: ב־CFG הניצבים x , x (כמו AEH), וב־DGH הניצבים DG = a − x , DH = 10 − x (כמו BEF).

לכן סכום שטחי ארבעת המשולשים הוא פעמיים הסכום מסעיף א (1):

2 · 2x² − (a + 10)x + 10a2 = 2x² − (a + 10)x + 10a

שטח המרובע = שטח המלבן פחות ארבעת המשולשים:

S(x) = 10a − [2x² − (a + 10)x + 10a]📐 שטח מלבןS = a · b

= −2x² + (a + 10)x

S′(x) = −4x + (a + 10)📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

−4x + a + 10 = 0📐 נקודת קיצוןS′(x) = 0

x = a + 104

בדיקת סוג: S′(x) חיובית משמאל לנקודה ושלילית מימינה (ישר יורד), ולכן זו נקודת מקסימום.

x	S′(x)	S(x)
x < a + 104	+	↗
a + 104	0	מקסימום
x > a + 104	−	↘

✅ פתרון סופי: x = a + 104

סעיף ב – הערך של a

DH = AD − AH = 10 − x

10 − x = 6

x = 4

זה ה־x של השטח המקסימלי, ולכן לפי סעיף א (2):

a + 104 = 4

a + 10 = 16

a = 6

(בדיקה: x = 4 קטן מ־a = 6 ומ־10, כלומר הנקודות באמת על הצלעות.)

✅ פתרון סופי: a = 6

📌 סיכום התשובות – שאלה 9

סעיף א (1)	2x² − (a + 10)x + 10a2
סעיף א (2)	x = a + 104
סעיף ב	a = 6

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2011 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.

השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.