בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 472 (35472) · שאלות לפי נושא

שאלות בגרות 472 לפי נושא – גדילה ודעיכה

כל השאלות בנושא גדילה ודעיכה מבחינות הבגרות בשאלון 472, מהבחינה החדשה ביותר אחורה. גדילה ודעיכה מעריכית, ריבית והשוואה בין שני תהליכים. בכל שאלה: הנוסח המלא, ומתחתיו פתרון מלא שלב אחר שלב.

⬅️ חזרה לקורס: גדילה ודעיכה – 472

📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 472 לפי נושא

15 שאלות פתורות: 14 מבחינות 472 של 2022–2026 ו־1 מבגרויות ישנות (שאלון 482), מהחדשה לישנה. לוחצים על מועד ועוברים ישר לשאלה. כל שאלה פתורה עד הסוף, שלב אחר שלב, והנוסחה בצד.

📅 קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

באזור A חיים פינגווינים. מתחילת שנת 2000 מספר הפינגווינים באזור זה קטן בכל שנה באחוז קבוע.

א. האם ההפרש בין מספר הפינגווינים בתחילת שנת 2000 ובין מספרם בתחילת שנת 2001 שווה להפרש בין מספר הפינגווינים בתחילת שנת 2001 ובין מספרם בתחילת שנת 2002? נמקו את תשובתכם.

בתחילת שנת 2000 היו 253,000 פינגווינים באזור A. מספר הפינגווינים באזור זה קטן ב־5% בכל שנה. גם באזור B חיים פינגווינים. מספר הפינגווינים באזור זה קטן בכל שנה באחוז קבוע. בתחילת שנת 2000 היו 313,000 פינגווינים באזור B. בתחילת שנת 2010 מספר הפינגווינים באזור A היה שווה למספר הפינגווינים באזור B.

ב. מצאו בכמה אחוזים קטן מספר הפינגווינים באזור B בכל שנה.

ג. מצאו כעבור כמה זמן מתחילת שנת 2000 מספר הפינגווינים באזור B היה 98,000.

מתחילת שנת 2018, בעקבות שיקום אזור A, גדל מספר הפינגווינים באזור זה ב־2% בכל שנה.

ד. מצאו כעבור כמה זמן מתחילת שנת 2018 גדל מספר הפינגווינים באזור A ב־17% ממספרם בתחילת שנת 2018.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – האם ההפרשים שווים?

המספר קטן כל שנה באחוז קבוע, ולכן כל שנה הוא מוכפל באותה מנה q, כאשר 0 < q < 1. נסמן ב־M0 את המספר בתחילת 2000 (t = 0).
M(1) = M0 · q , M(2) = M0 · q2📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
ההפרש בשנה הראשונה (2000 עד 2001):
M0 − M0q = M0(1 − q)
ההפרש בשנה השנייה (2001 עד 2002):
M0q − M0q2 = M0q(1 − q)
ההפרש השני שווה להפרש הראשון כפול q. מכיוון ש־q < 1, ההפרש השני קטן מהראשון – כל שנה יורדים פחות פינגווינים, כי מורידים אחוז ממספר קטן יותר.
דוגמה עם הנתונים של סעיף ב (q = 0.95): 253,000 → 240,350 → 228,332.5; ההפרשים: 12,650 לעומת 12,017.5.
✅ פתרון סופי: לא – ההפרש השני קטן פי q מהראשון.

סעיף ב – אחוז הירידה באזור B

באזור A הירידה היא 5% בשנה:
qA = 1 − 5100 = 0.95📐 מנת הדעיכהq = 1 − p100
מתחילת 2000 עד תחילת 2010 עברו t = 10 שנים.
MA(10) = 253,000 · 0.9510📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
MB(10) = 313,000 · q10📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
בתחילת 2010 המספרים שווים:
313,000 · q10 = 253,000 · 0.9510
0.9510 ≈ 0.59874
313,000 · q10 ≈ 253,000 · 0.59874 ≈ 151,480.4
q10 ≈ 151,480.4313,000 ≈ 0.48396
q ≈ 0.48396110 ≈ 0.93📐 שורש מסדר nqn = k ⟹ q = k1n
מוצאים את אחוז הירידה:
0.93 = 1 − p100📐 מנת הדעיכהq = 1 − p100
p100 = 1 − 0.93 = 0.07
p = 0.07 · 100 = 7
בדיקה: 313,000 · 0.9310 ≈ 313,000 · 0.48398 ≈ 151,487 – כמעט בדיוק 151,480 (ההבדל רק מהעיגול) ✓
✅ פתרון סופי: 7% בכל שנה

סעיף ג – מתי היו באזור B 98,000 פינגווינים?

313,000 · 0.93t = 98,000📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
מחלקים את שני האגפים ב־313,000:
0.93t = 98,000313,000 ≈ 0.31310
t = ln 0.31310ln 0.93📐 מציאת המעריך בעזרת lnqt = k ⟹ t = ln kln q
t ≈ −1.16123−0.07257 ≈ 16.0
בדיקה: 313,000 · 0.9316 ≈ 313,000 · 0.3131 ≈ 98,000 ✓
✅ פתרון סופי: כעבור 16 שנים (בתחילת שנת 2016)

סעיף ד – גידול של 17% באזור A

מתחילת 2018 המספר גדל ב־2% בשנה:
q = 1 + 2100 = 1.02📐 מנת הגדילהq = 1 + p100
נסמן ב־M0 את המספר בתחילת 2018. גידול של 17% פירושו שהמספר הגיע ל־117% · M0 = 1.17 · M0:
M0 · 1.02t = 1.17 · M0📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
מחלקים את שני האגפים ב־M0:
1.02t = 1.17
t = ln 1.17ln 1.02📐 מציאת המעריך בעזרת lnqt = k ⟹ t = ln kln q
t ≈ 0.157000.01980 ≈ 7.93
בדיקה: 1.027.93 ≈ 1.170 ✓
✅ פתרון סופי: כעבור 7.93 שנים בערך

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אלא – ההפרש השני קטן יותר
סעיף ב7% בשנה
סעיף ג16 שנים
סעיף ד7.93 שנים
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 9 – מציאת q
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בתחילת שנת 2025 בדקו חוקרים את מספר האנשים שמשתמשים בשני כלים של בינה מלאכותית, כלי A וכלי B. על פי הצפי של החוקרים, מספר המשתמשים בכלי A יעלה ב־10% בכל שנה. נתון כי בתחילת שנת 2025 מספר המשתמשים בכלי A היה 50 מיליון.

א. מצאו מה צפוי להיות מספר המשתמשים בכלי A בתחילת שנת 2030.

על פי הצפי של החוקרים, מספר המשתמשים בכלי B יעלה באחוז קבוע בכל שנה. מספר המשתמשים בכלי B בתחילת שנת 2031 צפוי להיות גדול פי 3 ממספר המשתמשים בכלי זה בתחילת שנת 2025.

ב. מצאו בכמה אחוזים צפוי לגדול מספר המשתמשים בכלי B בכל שנה.

לפניכם שני גרפים I–II המתארים את מספר האנשים שצפויים להשתמש בכלים A ו־B מתחילת שנת 2025 והלאה.

שני הגרפים I ו־II משאלה 3 בשאלון

ג. איזה מן הגרפים I–II מתאר את מספר האנשים שצפויים להשתמש בכלי B? נמקו את תשובתכם.

על פי הצפי של החוקרים, בתחילת שנת 2030 יהיה מספר המשתמשים בכלי A גדול ב־30 מיליון ממספר המשתמשים בכלי B.

ד. מצאו את מספר המשתמשים בכלי B בתחילת שנת 2025.

ה. מצאו כעבור כמה זמן מתחילת שנת 2025 מספר המשתמשים בכלי A צפוי להיות שווה למספר המשתמשים בכלי B.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – כלי A בתחילת 2030

מודדים את הזמן t בשנים מתחילת 2025, ואת מספר המשתמשים במיליונים.
כלי A: M0 = 50, עלייה של 10% בשנה, ולכן:
q = 1 + 10100 = 1 + 0.1 = 1.1📐 מנה בגדילהq = 1 + p100
t = 2030 − 2025 = 5
MA(5) = 50 · 1.15📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
1.15 = 1.61051
MA(5) = 50 · 1.61051 = 80.5255
✅ פתרון סופי: 80.5255 מיליון, כלומר 80,525,500 משתמשים

סעיף ב – אחוז הגדילה של כלי B

נסמן ב־M0 את מספר המשתמשים בכלי B בתחילת 2025 (עוד לא ידוע) וב־q את המנה.
t = 2031 − 2025 = 6
בתחילת 2031 המספר גדול פי 3 מהמספר ההתחלתי:
M0 · q6 = 3 · M0📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
מחלקים את שני האגפים ב־M0 (הוא לא 0):
q6 = 3
q = 6√3 = 316 ≈ 1.20094📐 שורש מסדר גבוהqn = a ⟸ q = n√a
1.20094 = 1 + p100📐 מנה בגדילהq = 1 + p100
p100 = 0.20094
p = 0.20094 · 100 ≈ 20.094 ≈ 20.09
✅ פתרון סופי: מספר המשתמשים בכלי B גדל בכ־20.1% בשנה

סעיף ג – איזה גרף מתאר את כלי B

כלי A גדל ב־10% בשנה, וכלי B גדל בכ־20.1% בשנה (סעיף ב). כלי B גדל מהר יותר, ולכן הגרף שלו עולה בתלילות רבה יותר, ובסופו של דבר הוא עובר את הגרף של A ונשאר מעליו.
בסרטוט: גרף II מתחיל נמוך מגרף I, עולה תלול יותר, חותך את גרף I ומשם והלאה נמצא מעליו. גרף I מתחיל גבוה יותר ועולה לאט יותר.
qA = 1.1 < qB ≈ 1.20094📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
מנה גדולה יותר ← הכמות מוכפלת בכל שנה במספר גדול יותר ← גדילה מהירה יותר.
לכן הגרף שגדל מהר יותר – גרף II – הוא של כלי B. גרף I הוא של כלי A, שמתחיל ב־50 מיליון.
✅ פתרון סופי: גרף II – כלי B גדל באחוז גבוה יותר, ולכן הגרף שלו תלול יותר ועוקף את הגרף של A

סעיף ד – כלי B בתחילת 2025

בתחילת 2030 (t = 5) ב־A יש 80.5255 מיליון (סעיף א), ו־A גדול מ־B ב־30 מיליון:
MB(5) = 80.5255 − 30 = 50.5255
מצד שני, לפי נוסחת הגדילה של כלי B (עם q = 316 מסעיף ב):
MB(5) = M0 · q5📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
q5 = (316)5 = 356 ≈ 2.4980📐 חזקה של חזקה(am)n = am · n
M0 · 2.4980 = 50.5255
M0 = 50.52552.4980 ≈ 20.226
✅ פתרון סופי: בתחילת 2025 השתמשו בכלי B כ־20.226 מיליון איש (כ־20,225,980)

סעיף ה – מתי מספר המשתמשים יהיה שווה

מחפשים t שבו מספר המשתמשים בשני הכלים שווה:
MA(t) = MB(t)📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
50 · 1.1t = 20.226 · 1.20094t
מחלקים את שני האגפים ב־20.226 וב־1.1t:
5020.226 = 1.20094t1.1t
5020.226 ≈ 2.4721📐 חילוק חזקות עם אותו מעריךatbt = (ab)t
2.4721 = (1.200941.1)t = 1.09176t
מוציאים ln משני האגפים:
ln 2.4721 = t · ln 1.09176📐 חוקי לוגריתמיםln(at) = t · ln a
t = ln 2.4721ln 1.09176 ≈ 0.90510.08779 ≈ 10.31
✅ פתרון סופי: כעבור כ־10.31 שנים מתחילת 2025 (כלומר במהלך 2035)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א80,525,500 משתמשים
סעיף בכ־20.1% בשנה
סעיף גגרף II
סעיף ד20,225,980 משתמשים (כ־20.23 מיליון)
סעיף הכעבור 10.31 שנים
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 8 – מציאת q ו־p
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2026, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

יעל הכינה שתי ריבות – ריבת תות וריבת שזיפים. היא מדדה את הטמפרטורה ההתחלתית של כל אחת מן הריבות באותו הזמן, ואז הכניסה אותן מייד למקרר. הטמפרטורה של הריבות נמדדה במעלות צלזיוס. הטמפרטורה ההתחלתית של ריבת התות הייתה גבוהה מזו של ריבת השזיפים. בכל דקה ירדה הטמפרטורה של כל אחת מן הריבות באחוז קבוע (כל אחת באחוז שונה).

נתון כי לאחר זמן מסוים מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של ריבת השזיפים גבוהה מזו של ריבת התות.

א. האם האחוז שבו ירדה בכל דקה הטמפרטורה של ריבת התות היה גדול מן האחוז שבו ירדה בכל דקה הטמפרטורה של ריבת השזיפים? נמקו את תשובתכם.

נתון שהטמפרטורה ההתחלתית של ריבת התות הייתה 42 מעלות, ובכל דקה היא ירדה ב־4%.

ב. מצאו כעבור כמה זמן מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של ריבת התות 15 מעלות.

לאחר 6 דקות מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של ריבת השזיפים 88% מן הטמפרטורה ההתחלתית שלה.

ג. מצאו בכמה אחוזים ירדה הטמפרטורה של ריבת השזיפים בכל דקה.

לאחר 10 דקות מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של ריבת השזיפים 31 מעלות.

ד. מצאו כעבור כמה זמן מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של שתי הריבות זהה.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – איזו ריבה התקררה באחוז גדול יותר

נסמן את הטמפרטורה ההתחלתית של התות T1 ושל השזיפים T2 (נתון T1 > T2), ואת מנות הדעיכה q1 (תות) ו־q2 (שזיפים).
תות: T1 · q1t שזיפים: T2 · q2t📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
אחוז ירידה גדול יותר ⟸ מנה q קטנה יותר.📐 מנת הדעיכהq = 1 − p100
נניח שהתות ירד באחוז קטן או שווה לשזיפים. אז q1 ≥ q2, ולכן לכל t > 0: q1t ≥ q2t.
גם הטמפרטורה ההתחלתית של התות גדולה יותר: T1 > T2. מכפלה של מספר חיובי גדול יותר במספר חיובי גדול או שווה – גדולה יותר:
T1 · q1t > T2 · q2t
כלומר התות היה חם יותר כל הזמן – וזה סותר את הנתון שבזמן מסוים השזיפים היו חמים יותר. לכן ההנחה לא נכונה, והתות ירד בכל דקה באחוז גדול יותר.
✅ פתרון סופי: כן – הטמפרטורה של ריבת התות ירדה בכל דקה באחוז גדול יותר. אחרת היא הייתה נשארת חמה יותר כל הזמן.

סעיף ב – מתי ריבת התות הגיעה ל־15 מעלות

ירידה של 4% בכל דקה:
q = 1 − 4100 = 1 − 0.04 = 0.96📐 מנת הדעיכהq = 1 − p100
T(t) = 42 · 0.96t📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
מחפשים מתי T(t) = 15:
42 · 0.96t = 15
מחלקים את שני האגפים ב־42:
0.96t = 1542 = 514
t = ln514ln 0.96📐 פתרון משוואה מעריכיתat = b ⟹ t = ln bln a
ln514 ≈ −1.02962 ln 0.96 ≈ −0.04082
t = −1.02962−0.04082 ≈ 25.22
בדיקה: 42 · 0.9625.22 ≈ 42 · 0.3571 ≈ 15 ✓
✅ פתרון סופי: t ≈ 25.22 דקות

סעיף ג – אחוז הירידה של ריבת השזיפים

נסמן את הטמפרטורה ההתחלתית של השזיפים M0 ואת המנה q. אחרי 6 דקות הטמפרטורה היא 88% מההתחלתית, כלומר 0.88 · M0:
M0 · q6 = 0.88 · M0📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
מחלקים את שני האגפים ב־M0:
q6 = 0.88
q = 6√0.88 ≈ 0.97892📐 שורש ממעלה nqn = c ⟹ q = n√c
p = (1 − 0.97892) · 100 = 0.02108 · 100 ≈ 2.11📐 אחוז הירידהp = (1 − q) · 100
בדיקה: 0.978926 ≈ 0.88 ✓
✅ פתרון סופי: הטמפרטורה של ריבת השזיפים ירדה בכל דקה בכ־2.11% (בדיוק רב יותר 2.108%)

סעיף ד – מתי הטמפרטורות היו שוות

שלב 1 – הטמפרטורה ההתחלתית של השזיפים. אחרי 10 דקות היא 31 מעלות:
M0 · 0.9789210 = 31📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
0.9789210 ≈ 0.80811
M0 = 310.80811 ≈ 38.36 מעלות
(שימו לב: 38.36 < 42, מתאים לנתון שהתות התחיל חם יותר.)
שלב 2 – משוואה: טמפרטורת התות = טמפרטורת השזיפים.
42 · 0.96t = 38.36 · 0.97892t📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
מחלקים את שני האגפים ב־0.97892t וב־42:
0.96t0.97892t = 38.3642
(0.960.97892)t = 38.3642
0.960.97892 ≈ 0.98067 38.3642 ≈ 0.91336
0.98067t = 0.91336
t = ln 0.91336ln 0.98067📐 פתרון משוואה מעריכיתat = b ⟹ t = ln bln a
ln 0.91336 ≈ −0.09063 ln 0.98067 ≈ −0.019516
t = −0.09063−0.019516 ≈ 4.64
בדיקה: תות: 42 · 0.964.64 ≈ 34.75 , שזיפים: 38.36 · 0.978924.64 ≈ 34.75 ✓
tT51015202530153142תותשזיפיםt ≈ 4.64(25.22 , 15)(10 , 31)
שתי הטמפרטורות לפי קנה מידה: התות (כחול) מתחיל גבוה יותר ויורד מהר יותר; הגרפים נפגשים ב־t ≈ 4.64.
✅ פתרון סופי: כעבור t ≈ 4.64 דקות (בערך 4.643 דקות)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אכן – התות ירד באחוז גדול יותר
סעיף ב25.22 דקות
סעיף ג2.11% בכל דקה
סעיף ד4.64 דקות
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 10 – מציאת הזמן t
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלהגרפים I ו־II – מספר ההאזנות – שאלה 3

שני שירים A ו־B הועלו ביום מסוים לאותה רשת חברתית. מספר ההאזנות לשיר A גדל באחוז קבוע בכל יום. מספר ההאזנות לשיר B גדל בכל יום באחוז הגדול פי 2 מן האחוז שבו גדל בכל יום מספר ההאזנות לשיר A. לפניכם שני גרפים I–II המתארים את מספר ההאזנות לכל שיר לפי הזמן, מיום העלאת השירים (גרף I מתחיל ב־5,000 וגרף II מתחיל ב־3,032).

א. מבין הגרפים I–II קבעו איזה גרף מתאים לשיר A. נמקו את קביעתכם.

נתון כי לאחר 5 ימים מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר A היה 7,350.

ב. מצאו בכמה אחוזים גדל מספר ההאזנות לשיר A בכל יום.

ג. מצאו בכמה היה גדול מספר ההאזנות לשיר A ממספר ההאזנות לשיר B, לאחר 5 ימים מיום העלאת השירים.

ד. מצאו לאחר כמה זמן מיום העלאת השירים, היה מספר ההאזנות לשיר A שווה למספר ההאזנות לשיר B.

כאשר מספר ההאזנות לשיר A היה שווה למספר ההאזנות לשיר B, החלה ירידה במספר ההאזנות לשיר A. בכל יום קטן מספר ההאזנות לשיר A באותו האחוז שבו הוא גדל לפני כן.

ה. מצאו לאחר כמה זמן מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר A היה 2,450.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – איזה גרף מתאים לשיר A

השיר B גדל באחוז גדול יותר (פי 2), כלומר הגרף שלו עולה מהר יותר. בסרטוט הגרפים נפגשים, כלומר הגרף שעולה מהר יותר "משיג" את השני – ולכן הוא חייב להתחיל נמוך יותר.
גרף II מתחיל נמוך (3,032) ומשיג את גרף I ⟸ גרף II הוא B. גרף I מתחיל גבוה (5,000) ועולה לאט יותר ⟸ הוא A.
✅ פתרון סופי: גרף I מתאים לשיר A

סעיף ב – אחוז הגדילה של A

שיר A מתחיל ב־5,000 (גרף I), ואחרי 5 ימים 7,350:
5,000 · q5 = 7,350📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
q5 = 7,3505,000 = 1.47
q = 5√1.47 ≈ 1.08📐 שורש ממעלה nqn = c ⟹ q = n√c
p = (1.08 − 1) · 100 = 8📐 אחוז הגדילהp = (q − 1) · 100
בדיקה: 5,000 · 1.085 ≈ 5,000 · 1.4693 ≈ 7,347 ≈ 7,350 ✓
✅ פתרון סופי: מספר ההאזנות לשיר A גדל בכל יום ב־8%

סעיף ג – ההפרש אחרי 5 ימים

שיר B גדל באחוז כפול: 2 · 8% = 16%:
qB = 1 + 16100 = 1.16📐 מנת הגדילהq = 1 + p100
B(5) = 3,032 · 1.165📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
1.165 ≈ 2.1003 B(5) ≈ 3,032 · 2.1003 ≈ 6,368
7,350 − 6,368 = 982
✅ פתרון סופי: אחרי 5 ימים היו לשיר A בערך 982 האזנות יותר (בערך 980)

סעיף ד – מתי מספרי ההאזנות שווים

5,000 · 1.08t = 3,032 · 1.16t📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
מחלקים את שני האגפים ב־1.08t וב־3,032:
5,0003,032 = 1.16t1.08t = (1.161.08)t
5,0003,032 ≈ 1.64908 1.161.08 ≈ 1.074074
1.074074t = 1.64908
t = ln 1.64908ln 1.074074📐 פתרון משוואה מעריכיתat = b ⟹ t = ln bln a
t ≈ 0.500250.071459 ≈ 7
בדיקה: 5,000 · 1.087 ≈ 8,569 3,032 · 1.167 ≈ 8,569 ✓
t57101520222,4505,00010,000AB7,350נפגשים(22 , 2,450)
מספר ההאזנות לפי קנה מידה: A בכחול, B בסגול. אחרי 7 ימים הם נפגשים, ואז A מתחיל לרדת.
✅ פתרון סופי: לאחר 7 ימים

סעיף ה – מתי ל־A היו 2,450 האזנות

ביום ה־7 היו לשיר A:
A(7) = 5,000 · 1.087 ≈ 8,569📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
מעכשיו המספר קטן ב־8% בכל יום:
q = 1 − 8100 = 0.92📐 מנת הדעיכהq = 1 − p100
נסמן ב־s את מספר הימים מתחילת הירידה:
8,569 · 0.92s = 2,450📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
0.92s = 2,4508,569 ≈ 0.28591
s = ln 0.28591ln 0.92📐 פתרון משוואה מעריכיתat = b ⟹ t = ln bln a
s ≈ −1.25209−0.083382 ≈ 15
הזמן מיום העלאת השירים: 7 ימי עלייה ועוד 15 ימי ירידה:
7 + 15 = 22
✅ פתרון סופי: לאחר 22 ימים מיום העלאת השירים

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אגרף I
סעיף ב8%
סעיף גבערך 982 האזנות
סעיף ד7 ימים
סעיף ה22 ימים
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – גדילה ודעיכה עם גרפים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בשתי משתלות – משתלה א' ומשתלה ב' – החלו לשתול צמחים באותו היום. ביום זה שתלו במשתלה א' 600 צמחים, ובמשתלה ב' שתלו a צמחים. מספר הצמחים במשתלה א' גדל ב־5% בכל שבוע, ומספר הצמחים במשתלה ב' גדל ב־10% בכל שבוע. כעבור זמן מסוים מתחילת השתילה היה מספר הצמחים במשתלה א' שווה למספר הצמחים במשתלה ב'.

א. לפניכם שתי טענות, I–II. קבעו איזו טענה נכונה. נמקו את קביעתכם. I. a < 600   II. a > 600

כעבור 17 שבועות מתחילת השתילה היה מספר הצמחים במשתלה ב' גדול פי 2 ממספר הצמחים במשתלה א'.

ב. מצאו את הערך של a.

כעבור 17 שבועות מתחילת השתילה, בשתי המשתלות הפסיקו את השתילה והחלו למכור את הצמחים. מאותו היום שבו החלו למכור, קטן מספר הצמחים במשתלה ב' בכל שבוע באחוז קבוע. כעבור 5 שבועות מן היום שבו החלו למכור, היה מספר הצמחים במשתלה ב' 53% ממספר הצמחים בתחילת המכירה.

ג. מצאו בכמה אחוזים קטן מספר הצמחים במשתלה ב' בכל שבוע.

מאותו היום שבו החלו למכור, קטן מספר הצמחים במשתלה א' בכל שבוע ב־8%.

ד. מצאו כעבור כמה זמן מן היום שבו החלו למכור, היה מספר הצמחים במשתלה א' שווה למספר הצמחים במשתלה ב'.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – איזו טענה נכונה?

qא = 1 + 5100 = 1.05 , qב = 1 + 10100 = 1.1📐 מנת הגדילהq = 1 + p100
Mא(t) = 600 · 1.05t , Mב(t) = a · 1.1t📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
בזמן t > 0 כלשהו המספרים שווים:
a · 1.1t = 600 · 1.05t
a = 600 · 1.05t1.1t = 600 · (1.051.1)t
1.051.1 < 1, ולכן כל חזקה חיובית שלו קטנה מ־1, ו־a קטן מ־600.
במילים: משתלה ב' גדלה מהר יותר. אם היא הייתה מתחילה עם 600 או יותר, היא הייתה תמיד מעל משתלה א' והן לא היו משתוות.
✅ פתרון סופי: טענה I נכונה: a < 600

סעיף ב – הערך של a

כעבור t = 17 שבועות משתלה ב' גדולה פי 2 ממשתלה א':
a · 1.117 = 2 · 600 · 1.0517📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
1.117 ≈ 5.05447 , 1.0517 ≈ 2.29202
a · 5.05447 ≈ 1,200 · 2.29202 ≈ 2,750.42
a ≈ 2,750.425.05447 ≈ 544.16
מספר צמחים הוא מספר שלם:
בדיקה: 544 · 1.117 ≈ 2,749.6 , 2 · 600 · 1.0517 ≈ 2,750.4 ✓
✅ פתרון סופי: a ≈ 544 צמחים

סעיף ג – אחוז הירידה במשתלה ב'

נסמן ב־M0 את מספר הצמחים במשתלה ב' בתחילת המכירה. כעבור 5 שבועות נשארו 53%, כלומר 0.53 · M0:
M0 · q5 = 0.53 · M0📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
מחלקים את שני האגפים ב־M0:
q5 = 0.53
q = 0.5315 ≈ 0.8808📐 שורש מסדר nqn = k ⟹ q = k1n
0.8808 = 1 − p100📐 מנת הדעיכהq = 1 − p100
p100 = 1 − 0.8808 = 0.1192
p ≈ 11.92
בדיקה: 0.88085 ≈ 0.530 ✓
✅ פתרון סופי: בערך 11.92% בכל שבוע (כ־12%)

סעיף ד – מתי המשתלות שוות שוב?

בתחילת המכירה (אחרי 17 שבועות):
Mא = 600 · 1.0517 ≈ 1,375.2📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
משתלה ב' גדולה פי 2: Mב = 2 · 1,375.2 ≈ 2,750.4
qא = 1 − 8100 = 0.92📐 מנת הדעיכהq = 1 − p100
t שבועות אחרי תחילת המכירה המספרים שווים:
1,375.2 · 0.92t = 2,750.4 · 0.8808t📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
מחלקים את שני האגפים ב־1,375.2 וב־0.8808t:
0.92t0.8808t = 2
(0.920.8808)t = 2📐 חילוק חזקות עם אותו מעריךanbn = (ab)n
0.920.8808 ≈ 1.04456
t = ln 2ln 1.04456 ≈ 0.693150.04359 ≈ 15.9📐 מציאת המעריך בעזרת lnqt = k ⟹ t = ln kln q
בדיקה: 1,375.2 · 0.9215.9 ≈ 365 , 2,750.4 · 0.880815.9 ≈ 365 ✓
✅ פתרון סופי: כעבור 15.9 שבועות בערך (כ־16 שבועות)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אטענה I: a < 600
סעיף בa ≈ 544
סעיף ג≈ 11.92% (כ־12%)
סעיף ד≈ 15.9 שבועות
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 5 – מציאת כמות התחלתית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2025, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

אמיר קנה גלגל ים ומזרן ים. ביום הקנייה נפח הגלגל היה 3,700 סמ"ק ונפח המזרן היה 7,400 סמ"ק. עקב איבוד אוויר, נפח הגלגל ונפח המזרן קטנו באחוז קבוע בכל יום (כל אחד מהם באחוז אחר). כעבור 7 ימים מיום הקנייה היה נפח הגלגל שווה לנפח המזרן.

א. קבעו בעבור כל אחת מן הטענות I–II אם היא נכונה או לא נכונה.

I. כעבור 6 ימים מיום הקנייה היה נפח הגלגל גדול מנפח המזרן.

II. כעבור 8 ימים מיום הקנייה היה נפח הגלגל גדול מנפח המזרן.

נתון כי נפח הגלגל קטֵן ב־4% בכל יום.

ב. מצאו את האחוז שבו נפח המזרן קטֵן בכל יום.

כעבור t ימים מיום הקנייה היה נפח המזרן 13 מנפח הגלגל.

ג. מצאו את הערך של t.

לאחר כמה שבועות החליט אמיר לנפח את המזרן. במהלך הניפוח גדל נפח המזרן בכל דקה ב־22%. בסיום הניפוח היה נפח המזרן גדול פי 7.5 מן הנפח שלו בתחילת הניפוח.

ד. מצאו את מספר הדקות שנמשך ניפוח המזרן.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – נכון או לא נכון

נסמן ב־q1 את המנה היומית של הגלגל וב־q2 את המנה היומית של המזרן (שתיהן בין 0 ל־1, כי הנפח קטן).
נפח הגלגל אחרי t ימים: V1(t), ונפח המזרן: V2(t):
V1(t) = 3700 · q1t , V2(t) = 7400 · q2t📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
המזרן התחיל גדול פי 2 מהגלגל, ובכל זאת אחרי 7 ימים הנפחים שווים. לכן המזרן מאבד אוויר מהר יותר: q2 < q1.
בדיקה מדויקת: היחס בין הנפחים הוא
V1(t)V2(t) = 37007400 · (q1q2)t = 12 · rt📐 חילוק חזקות עם אותו מעריךatbt = (ab)t
כאשר r = q1q2 > 1. ביום 7 הנפחים שווים, כלומר היחס הוא 1:
12 · r7 = 1 ⟸ r7 = 2
טענה I (יום 6): 12 · r6 = r72r = 22r = 1r < 1 ← הגלגל קטן מהמזרן ← לא נכונה.
טענה II (יום 8): 12 · r8 = 12 · r7 · r = 1 · r = r > 1 ← הגלגל גדול מהמזרן ← נכונה.
במילים: לפני יום 7 המזרן עדיין גדול יותר; אחרי יום 7 המזרן, שמתרוקן מהר יותר, כבר קטן מהגלגל.
✅ פתרון סופי: טענה I – לא נכונה; טענה II – נכונה

סעיף ב – אחוז הירידה של המזרן

q1 = 1 − 4100 = 0.96📐 מנה בדעיכהq = 1 − p100
ביום 7 הנפחים שווים:
3700 · 0.967 = 7400 · q27📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
q27 = 3700 · 0.9677400 = 0.9672
0.967 ≈ 0.75145
q27 ≈ 0.37573
q2 = 7√0.37573 ≈ 0.86949📐 שורש מסדר גבוהqn = a ⟸ q = n√a
0.86949 = 1 − p100📐 מנה בדעיכהq = 1 − p100
p100 = 1 − 0.86949 = 0.13051
p ≈ 13.05
✅ פתרון סופי: נפח המזרן קטן בכ־13.05% בכל יום

סעיף ג – מציאת t

המזרן שווה לשליש מהגלגל:
7400 · 0.86949t = 13 · 3700 · 0.96t📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
מחלקים את שני האגפים ב־3700 וב־0.96t:
2 · 0.86949t0.96t = 13
(0.869490.96)t = 16📐 חילוק חזקות עם אותו מעריךatbt = (ab)t
0.90572t = 16 ≈ 0.16667
מוציאים ln משני האגפים:
t · ln 0.90572 = ln 0.16667📐 חוקי לוגריתמיםln(at) = t · ln a
t = ln 0.16667ln 0.90572 ≈ −1.7918−0.09902 ≈ 18.09
✅ פתרון סופי: t ≈ 18.09 ימים

סעיף ד – משך הניפוח

בניפוח הנפח גדל ב־22% בדקה:
q = 1 + 22100 = 1.22📐 מנה בגדילהq = 1 + p100
נסמן ב־M0 את הנפח בתחילת הניפוח. בסוף הנפח גדול פי 7.5:
M0 · 1.22t = 7.5 · M0📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
1.22t = 7.5
t · ln 1.22 = ln 7.5📐 חוקי לוגריתמיםln(at) = t · ln a
t = ln 7.5ln 1.22 ≈ 2.01490.19885 ≈ 10.13
✅ פתרון סופי: הניפוח נמשך כ־10.13 דקות

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אI – לא נכונה, II – נכונה
סעיף בכ־13.05% ביום
סעיף גt ≈ 18.09 ימים
סעיף דכ־10.13 דקות
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 10 – מציאת הזמן t
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

מתחילת שנת 2018, כמות הדבש בכוורת דבורים מסוימת קטנה בכל חודש באחוז קבוע. לאחר 8 חודשים כמות הדבש בכוורת הייתה 45% מכמות הדבש בתחילת שנת 2018.

א. מצאו בכמה אחוזים קטֵנה כמות הדבש בכל חודש.

ב. מצאו בכמה אחוזים קָטנה כמות הדבש בכוורת כעבור 10 חודשים מתחילת שנת 2018.

ג. מצאו כעבור כמה חודשים מתחילת שנת 2018 קָטנה כמות הדבש ב־33% בהשוואה לתחילת השנה.

מתחילת שנת 2019 והלאה כמות הדבש בכוורת גדלה בכל חודש באחוז קבוע. בתחילת שנת 2019 הייתה בכוורת כמות של k ק"ג דבש. הפונקצייה f(t) = k · (1.05)t מתארת את כמות הדבש בכוורת (בק"ג) כפונקצייה של הזמן (בחודשים). בתחילת שנת 2018 הייתה בכוורת כמות של 600 ק"ג דבש.

ד. מצאו את כמות הדבש שהייתה בכוורת בתחילת שנת 2021.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – אחוז הירידה החודשי

נסמן את כמות הדבש בתחילת 2018 M0. אחרי 8 חודשים נשארו 45%, כלומר 0.45M0:
M0 · q8 = 0.45 · M0📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
מחלקים ב־M0:
q8 = 0.45
q = 8√0.45 ≈ 0.905📐 שורש ממעלה nqn = c ⟹ q = n√c
p = (1 − 0.905) · 100 = 9.5📐 אחוז הירידהp = (1 − q) · 100
✅ פתרון סופי: כמות הדבש קטנה בכל חודש ב־9.5%

סעיף ב – בכמה אחוזים קטנה הכמות אחרי 10 חודשים

M(10) = M0 · 0.90510📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
0.90510 ≈ 0.3686 M(10) ≈ 0.3686 · M0
נשארו בערך 36.86% מהכמות, ולכן הירידה:
100% − 36.86% = 63.14%
✅ פתרון סופי: הכמות קטנה בכ־63.14%

סעיף ג – מתי הכמות קטנה ב־33%

ירידה של 33% ⟸ נשארו 100% − 33% = 67%:
M0 · 0.905t = 0.67 · M0📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
0.905t = 0.67
t = ln 0.67ln 0.905📐 פתרון משוואה מעריכיתat = b ⟹ t = ln bln a
t ≈ −0.40048−0.09981 ≈ 4.01
✅ פתרון סופי: כעבור בערך 4 חודשים

סעיף ד – כמות הדבש בתחילת 2021

שלב 1 – מציאת k: תחילת 2019 היא 12 חודשים אחרי תחילת 2018, ובכל אחד מהם הכמות קטנה פי 0.905:
k = 600 · 0.90512📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
0.90512 ≈ 0.30187 k ≈ 600 · 0.30187 ≈ 181.12 ק"ג
שלב 2: תחילת 2021 היא 24 חודשים אחרי תחילת 2019 (t = 24):
f(24) = 181.12 · 1.0524📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
1.0524 ≈ 3.2251 f(24) ≈ 181.12 · 3.2251 ≈ 584.1
t812243618127060045%2019≈584
כמות הדבש לפי קנה מידה: ירידה של 9.5% בחודש עד תחילת 2019 (חודש 12), ואחר כך עלייה של 5% בחודש.
✅ פתרון סופי: בתחילת 2021 היו בכוורת בערך 584 ק"ג דבש

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א9.5%
סעיף ב63.14%
סעיף גבערך 4 חודשים
סעיף דבערך 584 ק"ג
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7 – מציאת q
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

נתונות שתי דירות – דירה א' ודירה ב'. בתחילת שנת 2014 היה הערך של דירה א' 980,000 שקלים והערך של דירה ב' היה 620,000 שקלים. הערך של דירה א' גדל בכל שנה ב־7%, והערך של דירה ב' גדל בכל שנה פי q. כעבור מספר מסוים של שנים היה הערך של דירה א' שווה לערך של דירה ב'.

א. לפניכם שלוש טענות (I)–(III). קבעו מהי הטענה הנכונה. נמקו את קביעתכם. (I) q < 1.07   (II) q = 1.07   (III) q > 1.07

נתון כי בתחילת שנת 2024 היה הערך של דירה א' שווה לערך של דירה ב'.

ב. (1) מצאו מה היה הערך של דירה א' בתחילת שנה זו. (2) מצאו בכמה אחוזים גדל הערך של דירה ב' בכל שנה.

על פי הצפי, מתחילת שנת 2024 ואילך הערך של דירה ב' עתיד לרדת בכל שנה באחוז שקטן פי 1.5 מן האחוז שמצאתם בתת־סעיף ב(2).

ג. על פי צפי זה, בתחילת איזו שנה עתיד לרדת לראשונה הערך של דירה ב' בהשוואה לערך שהיה לה בתחילת שנת 2014?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – איזו טענה נכונה?

qא = 1 + 7100 = 1.07📐 מנת הגדילהq = 1 + p100
בהתחלה דירה ב' זולה יותר (620,000 לעומת 980,000), ובסוף הן שוות. כדי להשיג את דירה א' הערך של דירה ב' חייב לגדול מהר יותר.
אם q < 1.07 או q = 1.07, דירה ב' גדלה לאט יותר או באותו קצב – הפער לא נסגר לעולם (במקרה השני היחס נשאר תמיד 620980).
במשוואה:
620,000 · qt = 980,000 · 1.07t📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
(q1.07)t = 980620 > 1
חזקה חיובית גדולה מ־1 רק אם הבסיס גדול מ־1, כלומר q1.07 > 1.
✅ פתרון סופי: טענה (III): q > 1.07

סעיף ב (1) – ערך דירה א' בתחילת 2024

t = 2024 − 2014 = 10 שנים
Mא(10) = 980,000 · 1.0710📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
1.0710 ≈ 1.967151
Mא(10) ≈ 980,000 · 1.967151 ≈ 1,927,808
✅ פתרון סופי: בערך 1,927,808 שקלים

סעיף ב (2) – אחוז הגדילה של דירה ב'

בתחילת 2024 גם דירה ב' שווה 1,927,808:
620,000 · q10 = 1,927,808📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
q10 = 1,927,808620,000 ≈ 3.10937
q = 3.10937110 ≈ 1.1201📐 שורש מסדר nqn = k ⟹ q = k1n
1.1201 = 1 + p100📐 מנת הגדילהq = 1 + p100
p100 ≈ 0.1201 p ≈ 12.01
בדיקה: 620,000 · 1.1210 ≈ 1,925,626 – קרוב מאוד, ההפרש רק מהעיגול ✓
✅ פתרון סופי: בערך 12% בכל שנה

סעיף ג – מתי דירה ב' תרד מתחת לערכה ב־2014?

p = 121.5 = 8 אחוז ירידה בשנה
q = 1 − 8100 = 0.92📐 מנת הדעיכהq = 1 − p100
מתחילת 2024 הערך מתחיל מ־1,927,808. מחפשים את t שבו הערך יורד מתחת ל־620,000 (הערך ב־2014):
1,927,808 · 0.92t < 620,000📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
0.92t < 620,0001,927,808 ≈ 0.32161
פותרים קודם את השוויון 0.92t = 0.32161:
t = ln 0.32161ln 0.92 ≈ −1.13441−0.08338 ≈ 13.6📐 מציאת המעריך בעזרת lnqt = k ⟹ t = ln kln q
הבסיס 0.92 קטן מ־1, ולכן ככל ש־t גדל הערך קטן: הערך מתחת ל־620,000 כש־t > 13.6. מדובר בתחילת שנה, כלומר t שלם – הראשון הוא t = 14.
בדיקה: t = 13 : 1,927,808 · 0.9213 ≈ 652,087 > 620,000
בדיקה: t = 14 : 1,927,808 · 0.9214 ≈ 599,920 < 620,000 ✓
2024 + 14 = 2038
✅ פתרון סופי: בתחילת שנת 2038

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אטענה (III)
סעיף ב (1)≈ 1,927,808 ש"ח
סעיף ב (2)12%
סעיף גתחילת 2038
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 19 – פתרון בגרות 2024 א
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2024, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בים הצפוני יש שני קרחונים A ו־B. במשך השנים הקרחונים מפשירים ומאבדים ממשקלם. חוקרת מדדה את המשקל של כל אחד מן הקרחונים בכל קיץ במשך 10 שנים. לפניכם סרטוט המתאר את המשקל של כל קרחון (באלפי טונות) לפי שנים.

הגרפים I ו־II של משקל הקרחונים משאלה 3 בשאלון

א. מבין הגרפים I–II, קבעו איזה גרף מתאים לקרחון שקצב הפשרתו מהיר יותר. נמקו את קביעתכם.

הפונקצייה f(t) = 7 · (0.96)t מתארת את המשקל של קרחון A בכל שנה. הפונקצייה g(t) = 10 · (0.91)t מתארת את המשקל של קרחון B בכל שנה.

ב. קבעו בנוגע לכל פונקצייה מהו הגרף המתאר אותה. נמקו את קביעותיכם.

ג. המשקל של איזה משני הקרחונים היה גדול יותר לאחר 7 שנים מתחילת המדידות?

ד. מצאו לאחר כמה שנים מתחילת המדידות היה המשקל של קרחון A שווה למשקל של קרחון B.

החוקרת בדקה גם את מספר כלבי הים באזור זה. היא גילתה שמספר כלבי הים באזור זה גדל בכל שנה באחוז קבוע. לאחר 10 שנים מתחילת המדידות היה מספר כלבי הים גדול פי 1.5 ממספרם בתחילת המדידות.

ה. מצאו בכמה אחוזים גדל מספר כלבי הים בכל שנה.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – איזה קרחון מפשיר מהר יותר

קצב הפשרה מהיר = המשקל יורד מהר יותר = הגרף תלול יותר בירידה.
בסרטוט גרף I מתחיל גבוה יותר מגרף II, יורד בתלילות רבה יותר, ובסוף התקופה הוא כבר מתחת לגרף II – כלומר הוא איבד יותר משקל באותו זמן.
✅ פתרון סופי: גרף I – הוא יורד בתלילות רבה יותר (וחוצה את גרף II כלפי מטה)

סעיף ב – התאמת הפונקציות לגרפים

M(t) = M0 · qt📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
M0 הוא המשקל בהתחלה (t = 0), ו־q קובע את קצב הדעיכה: ככל ש־q קטן יותר, הדעיכה מהירה יותר.
f(0) = 7 , g(0) = 10
qg = 0.91 < qf = 0.96
0.91 = 1 − 9100 , 0.96 = 1 − 4100📐 מנה בדעיכהq = 1 − p100
g מתחילה גבוה יותר (10 לעומת 7) ויורדת מהר יותר (9% בשנה לעומת 4%) – בדיוק כמו גרף I. f מתחילה נמוך יותר ויורדת לאט יותר – גרף II.
24678102468xyf(t)g(t)710(6.67, 5.33)
✅ פתרון סופי: g(t) – גרף I
f(t) – גרף II

סעיף ג – מי כבד יותר אחרי 7 שנים

f(7) = 7 · 0.967 ≈ 7 · 0.75145 ≈ 5.26📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
g(7) = 10 · 0.917 ≈ 10 · 0.51676 ≈ 5.17📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
5.26 > 5.17
אחרי 7 שנים קרחון A (כ־5,260 טונות) כבד מקרחון B (כ־5,170 טונות).
✅ פתרון סופי: קרחון A

סעיף ד – מתי המשקלים שווים

7 · 0.96t = 10 · 0.91t
מחלקים את שני האגפים ב־7 וב־0.91t:
0.96t0.91t = 107
(0.960.91)t = 107📐 חילוק חזקות עם אותו מעריךatbt = (ab)t
מוציאים ln משני האגפים:
t · ln 0.960.91 = ln 107📐 חוקי לוגריתמיםln(at) = t · ln a
t = ln 107ln 0.960.91 ≈ 0.356670.05349 ≈ 6.67
בדיקה: f(6.67) ≈ 7 · 0.7617 ≈ 5.33 ו־g(6.67) ≈ 10 · 0.5332 ≈ 5.33 ✓
✅ פתרון סופי: לאחר כ־6.67 שנים

סעיף ה – אחוז הגידול של כלבי הים

נסמן ב־M0 את מספר כלבי הים בהתחלה. אחרי 10 שנים המספר גדול פי 1.5:
M0 · q10 = 1.5 · M0📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
q10 = 1.5
q = 10√1.5 ≈ 1.04138📐 שורש מסדר גבוהqn = a ⟸ q = n√a
1.04138 = 1 + p100📐 מנה בגדילהq = 1 + p100
p100 = 0.04138
p ≈ 4.14
✅ פתרון סופי: מספר כלבי הים גדל בכ־4.14% (כ־4%) בכל שנה

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אגרף I
סעיף בg(t) – גרף I, f(t) – גרף II
סעיף גקרחון A
סעיף דכ־6.67 שנים
סעיף הכ־4.14% בשנה
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – פתרון בגרות 2024 חורף
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 3

📄 נוסח השאלהשלושה גרפים של מספר הנדבקים – שאלה 3

לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר הנדבקים בנגיף הקורונה לפי ימים בשלושה יישובים: א, ב ו־ג. הפונקצייה המתארת את מספר הנדבקים בכל יום ביישוב א היא M(t) = 10 · (1.5)t, והפונקצייה המתארת את מספר הנדבקים בכל יום ביישוב ב היא G(t) = 100 · (1.2)t.

א. מבין הגרפים I–III קבעו איזה גרף מתאר את מספר הנדבקים ביישוב א, ואיזה גרף מתאר את מספר הנדבקים ביישוב ב. נמקו את תשובותיכם.

ב. מה היה מספר הנדבקים ביישוב ב לאחר 8 ימים?

ג. מצאו לאחר כמה ימים היה מספר הנדבקים ביישוב א שווה למספר הנדבקים ביישוב ב.

בזמן הבדיקה הראשונית של יישובים א ו־ב, היה מספר הנדבקים ביישוב ג גדול פי 40 ממספר הנדבקים ביישוב ב, לכן הוחלט לתת ביישוב ג תרופה ניסיונית. בעקבות כך קטן מספר הנדבקים ביישוב ג באופן מעריכי. לאחר 8 ימים היו ביישוב ג 107 נדבקים.

ד. חשבו בכמה אחוזים ירד מספר הנדבקים בכל יום ביישוב ג.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – איזה גרף לכל יישוב

גרף I יורד – זה יישוב ג (דעיכה). גרפים II ו־III עולים.
M(0) = 10 · 1.50 = 10 G(0) = 100 · 1.20 = 100📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
ב־t = 0 גרף II מתחיל גבוה יותר מגרף III, ולכן II הוא יישוב ב (מתחיל ב־100) ו־III הוא יישוב א (מתחיל ב־10). זה מתאים גם לקצב: ב־III הגרף עולה מהר יותר – q = 1.5 גדול מ־q = 1.2, ולכן הוא חוצה את II ועוקף אותו.
✅ פתרון סופי: יישוב א – גרף III ; יישוב ב – גרף II

סעיף ב – יישוב ב אחרי 8 ימים

G(8) = 100 · 1.28 ≈ 100 · 4.2998 ≈ 430📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
✅ פתרון סופי: בערך 430 נדבקים

סעיף ג – מתי מספר הנדבקים שווה

10 · 1.5t = 100 · 1.2t
1.5t1.2t = 10010 (1.51.2)t = 10 1.25t = 10📐 חזקה של מנהanbn = (ab)n
t = ln 10ln 1.25 ≈ 10.32📐 פתרון משוואה מעריכיתat = b ⟹ t = ln bln a
t810.32430656אבג107
שלושת היישובים לפי קנה מידה: א (כחול), ב (סגול), ג (ירוק). הגרפים של א ו־ב נחתכים ב־t ≈ 10.32.
✅ פתרון סופי: אחרי בערך 10.32 ימים

סעיף ד – אחוז הירידה ביישוב ג

בבדיקה הראשונית (t = 0) ביישוב ב היו G(0) = 100 נדבקים, ולכן ביישוב ג:
40 · 100 = 4,000
4,000 · q8 = 107📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
q8 = 1074,000 = 0.02675
q = 8√0.02675 ≈ 0.636📐 שורש ממעלה nqn = c ⟹ q = n√c
p = (1 − 0.636) · 100 ≈ 36.4📐 אחוז הירידהp = (1 − q) · 100
✅ פתרון סופי: מספר הנדבקים ביישוב ג ירד בכל יום ב־36.4%

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אא – גרף III
ב – גרף II
סעיף בבערך 430
סעיף גבערך 10.32 ימים
סעיף ד36.4%
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – גדילה ודעיכה עם גרפים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד ב׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

אחד הבנקים מלווה כסף לגופים מסחריים בריבית קבועה.

א. הנהלת הבנק קבעה ריבית של 1.45% לשנה.
(1) חברת "היי־טק" לוותה 1,000,000 שקלים לשנתיים. מהו גובה הסכום שהיה על החברה להחזיר לבנק בתום השנתיים?
(2) חברת "התעשייה" לוותה 1,000,000 שקלים ל־3 חודשים. מהו גובה הסכום שהיה עליה להחזיר לבנק בתום 3 החודשים?
(3) חברת "הבנייה" לוותה 2,000,000 שקלים, והחזירה לבנק בתום תקופת ההלוואה סכום של 2,103,353.05 שקלים. מה היה משך תקופת ההלוואה?

הנהלת הבנק התחלפה, ואז הציע הבנק ללקוחותיו המסחריים שני מסלולי הלוואה חדשים לשנתיים:
מסלול 1 – מסלול בריבית משתנה: 1% ריבית לשנה הראשונה, ו־2.2% ריבית לשנה השנייה.
מסלול 2 – מסלול בריבית שנתית קבועה לשנתיים.

ב. חברה לווה סכום מסוים. מה צריכה להיות הריבית השנתית במסלול 2, כדי שבתום השנתיים יקבל הבנק מן החברה את אותו סכום החזר בשני המסלולים? פרטו את חישוביכם.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – ריבית של 1.45% לשנה

q = 1 + 1.45100 = 1.0145📐 מנת הגדילהq = 1 + p100
(1) שנתיים: t = 2.
M(2) = 1,000,000 · 1.01452📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
= 1,000,000 · 1.02921025 = 1,029,210.25
(2) הריבית שנתית, ולכן הזמן נמדד בשנים: 3 חודשים = 312 = 0.25 שנה.
M(0.25) = 1,000,000 · 1.01450.25📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
1.01450.25 ≈ 1.0036055 M(0.25) ≈ 1,003,605.45
(3)
2,000,000 · 1.0145t = 2,103,353.05📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
1.0145t = 2,103,353.052,000,000 ≈ 1.0516765
t = ln 1.0516765ln 1.0145 ≈ 3.5📐 פתרון משוואה מעריכיתat = b ⟹ t = ln bln a
✅ פתרון סופי: (1) 1,029,210.25 שקלים
(2) בערך 1,003,605.45 שקלים
(3) 3.5 שנים (שלוש שנים וחצי)

סעיף ב – הריבית הקבועה במסלול 2

נסמן את סכום ההלוואה M0. במסלול 1 בכל שנה כופלים בגורם הגדילה של אותה שנה:
מסלול 1: M0 · 1.01 · 1.022📐 מנת הגדילהq = 1 + p100
= M0 · 1.03222
במסלול 2 אותו גורם q בשתי השנים:
M0 · q2 = M0 · 1.03222📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
q2 = 1.03222 q = √1.03222 ≈ 1.01598
p = (1.01598 − 1) · 100 ≈ 1.6📐 אחוז הגדילהp = (q − 1) · 100
✅ פתרון סופי: ריבית שנתית של בערך 1.6% (ליתר דיוק 1.598%)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א1,029,210.25
1,003,605.45
3.5 שנים
סעיף בבערך 1.6%
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 17 – פתרון בגרות 2023 ב
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד א׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בבנק מסחרי יש שני סוגים של חוב: חוב של הבנק ללקוח (כאשר הלקוח מפקיד כסף בבנק) וחוב של הלקוח לבנק (כאשר הבנק מלווה כסף ללקוח). בבנק מסחרי מסוים, כאשר הבנק חייב כסף ללקוח, הוא משלם ללקוח ריבית בגובה של 1.5% מן החוב בכל שנה. בתחילת שנת 2023 הפקיד דני בבנק 10,000 ש"ח.

א. איזו מבין הפונקציות 1–4 שלפניכם מתארת את גובה החוב של הבנק לדני לפי השנים (t)?
(1) f(t) = 10,000 · 1.015t
(2) f(t) = 10,150 · 1.02t
(3) f(t) = 10,150 · 2t
(4) f(t) = 10,000 · 1.5t

ב. כמה כסף יהיה הבנק חייב לדני כעבור 20 שנה מן היום שבו הפקיד דני את הכסף?

כאשר הבנק הזה מלווה כסף ללקוח, הוא גובה ממנו ריבית של 15% מגובה החוב בכל שנה. בתחילת שנת 2023 לוותה יעל 1,000 ש"ח מן הבנק.

ג. מצאו את הפונקצייה g(t) המתארת את גובה החוב של יעל לבנק לפי השנים (t).

ד. בסרטוט שבסוף השאלה מתוארים הגרפים של הפונקצייה f(t) ושל הפונקצייה g(t). איזו פונקצייה מתאר הקו המקווקו? נמקו.

בתחילת כל שנה הבנק מברר את המאזן שלו: כמה כסף לקוחותיו חייבים לו, וכמה כסף הוא חייב ללקוחותיו.

ה. בתחילתה של איזו שנה יגלה הבנק שהחוב שלו לדני קטן מן החוב של יעל לבנק?

הגרפים של f ו־g מהשאלון
✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הפונקצייה המתאימה

q = 1 + 1.5100 = 1.015📐 מנת הגדילהq = 1 + p100
הכמות ההתחלתית (t = 0, תחילת 2023) היא 10,000:
📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
f(t) = 10,000 · 1.015t
(2) ו־(3) מתחילות מ־10,150 – לא נכון. (4) מתאימה ל־50% בשנה – לא נכון.
✅ פתרון סופי: פונקצייה (1)

סעיף ב – החוב לדני אחרי 20 שנה

f(20) = 10,000 · 1.01520📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
1.01520 ≈ 1.346855
f(20) ≈ 13,468.55
✅ פתרון סופי: בערך 13,468.55 ש"ח

סעיף ג – הפונקצייה g(t)

q = 1 + 15100 = 1.15📐 מנת הגדילהq = 1 + p100
g(t) = 1,000 · 1.15t📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
✅ פתרון סופי: g(t) = 1,000 · 1.15t

סעיף ד – מה מתאר הקו המקווקו?

בהתחלה (t = 0): f(0) = 10,000 , g(0) = 1,000 – f גבוהה בהרבה.
f גדלה רק ב־1.5% בשנה (עולה לאט, כמעט ישר), ו־g ב־15% בשנה (עולה מהר וחותכת את f).
📐 מנת הגדילהq = 1 + p100
הקו המקווקו מתחיל גבוה ועולה לאט, והקו המלא מתחיל נמוך ועולה מהר. ⚠️ זיהוי הקווים נעשה לפי הסרטוט בשאלון.
51015205,00010,00015,000t ≈ 18.44f(t)g(t)t
הגרפים של f (מקווקו) ו־g (מלא) – משורטטים מהפונקציות
✅ פתרון סופי: הקו המקווקו מתאר את f(t)

סעיף ה – מתי החוב לדני קטן מהחוב של יעל?

10,000 · 1.015t < 1,000 · 1.15t
מחלקים ב־1,000 וב־1.015t (חיובי):
10 < (1.151.015)t📐 חילוק חזקות עם אותו מעריךanbn = (ab)n
1.151.015 ≈ 1.133005
t = ln 10ln 1.133005 ≈ 2.3025850.124871 ≈ 18.44📐 מציאת המעריך בעזרת lnqt = k ⟹ t = ln kln q
הבסיס גדול מ־1, ולכן אי־השוויון מתקיים כש־t > 18.44. הבנק בודק רק בתחילת כל שנה (t שלם), ולכן הפעם הראשונה היא t = 19.
בדיקה: t = 18 : f ≈ 13,073 , g ≈ 12,376 – עדיין f גדול יותר
בדיקה: t = 19 : f ≈ 13,269 , g ≈ 14,232 ✓
2023 + 19 = 2042
✅ פתרון סופי: בתחילת שנת 2042

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א(1)
סעיף ב≈ 13,468.55 ש"ח
סעיף גg(t) = 1,000 · 1.15t
סעיף דf(t)
סעיף התחילת 2042
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 16 – פתרון בגרות 2023 א
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022 נבצרים, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

לפניך גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר הנדבקים בנגיף הקורונה לפי ימים בשלושה יישובים. הפונקציה המתארת את מספר הנדבקים בכל יום ביישוב א' היא M(t) = 10 · 1.5t, וביישוב ב' היא G(t) = 100 · 1.2t.

הגרפים I–III משאלה 3 בשאלון

א. התאם לכל אחד מן היישובים א' וב' את גרף הפונקציה מבין הגרפים I–III. נמק.

ב. מה היה מספר הנדבקים ביישוב ב' לאחר 8 ימים?

ג. חשב לאחר כמה ימים מספר הנדבקים ביישוב א' וביישוב ב' היה שווה.

בזמן הבדיקה הראשונית של יישובים א' וב', ביישוב ג' מספר הנדבקים היה גדול פי 40 ממספר הנדבקים ביישוב ב', לכן הוחלט לתת ביישוב ג' תרופה ניסיונית ומספר הנדבקים קטן באופן מעריכי. לאחר 8 ימים מספר הנדבקים ביישוב ג' היה רבע ממספר הנדבקים ביישוב ב'.

ד. חשב בכמה אחוזים ירד מספר הנדבקים בכל יום ביישוב ג'.

ה. הוחלט לסגור את בתי הספר ביישוב בו מספר הנדבקים יגיע ל־600. האם יסגרו את בתי הספר באחד מיישובים אלו במהלך 10 הימים מהבדיקה הראשונית? נמק.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – התאמת הגרפים

M(t) = M0 · qt📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
גרף I יורד – מתאים לדעיכה (יישוב ג׳), לא ל־M ולא ל־G, ששתיהן גדלות (q > 1).
בהתחלה (t = 0): M(0) = 10 ו־G(0) = 100. גרף III מתחיל נמוך יותר מגרף II, ולכן III הוא של יישוב א׳, ו־II של יישוב ב׳.
בדיקה: 1.5 > 1.2 – M גדלה מהר יותר, ואכן גרף III תלול יותר וחוצה את גרף II.
✅ פתרון סופי: יישוב א' – גרף III
יישוב ב' – גרף II

סעיף ב – יישוב ב' אחרי 8 ימים

G(8) = 100 · 1.28 ≈ 100 · 4.2998 ≈ 430📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
✅ פתרון סופי: כ־430 נדבקים

סעיף ג – מתי המספרים שווים

10 · 1.5t = 100 · 1.2t
מחלקים ב־10 וב־1.2t:
(1.51.2)t = 10 ⟸ 1.25t = 10📐 חילוק חזקות עם אותו מעריךatbt = (ab)t
t · ln 1.25 = ln 10📐 חוקי לוגריתמיםln(at) = t · ln a
t = ln 10ln 1.25 ≈ 2.30260.2231 ≈ 10.32
✅ פתרון סופי: לאחר כ־10.32 ימים

סעיף ד – אחוז הירידה ביישוב ג'

C(0) = 40 · G(0) = 40 · 100 = 4000
C(8) = ¼ · G(8) ≈ ¼ · 429.98 ≈ 107.5
4000 · q8 = 107.5📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
q8 = 107.54000 ≈ 0.026874
q = 8√0.026874 ≈ 0.6363📐 שורש מסדר גבוהqn = a ⟸ q = n√a
0.6363 = 1 − p100📐 מנה בדעיכהq = 1 − p100
p ≈ 36.37
✅ פתרון סופי: מספר הנדבקים ירד בכ־36.37% בכל יום

סעיף ה – האם יגיעו ל־600 תוך 10 ימים

יישוב א' – הפונקציה עולה, ולכן המקסימום בעשרת הימים הוא ביום 10:
M(10) = 10 · 1.510 ≈ 576.7 < 600
← ביישוב א' לא מגיעים ל־600.
יישוב ב':
G(10) = 100 · 1.210 ≈ 619.2 > 600
100 · 1.2t = 600 ⟸ t = ln 6ln 1.2 ≈ 9.83📐 חוקי לוגריתמיםln(at) = t · ln a
← ביישוב ב' מגיעים ל־600 אחרי כ־9.83 ימים.
יישוב ג' – מתחיל ב־4000 ויורד, ולכן עובר דרך 600:
4000 · 0.6363t = 600 ⟸ t = ln 0.15ln 0.6363 ≈ 4.2📐 חוקי לוגריתמיםln(at) = t · ln a
← ביישוב ג' מספר הנדבקים שווה ל־600 אחרי כ־4.2 ימים (בדרך למטה).
246810200400800xyM(t)G(t)C(t)y = 6009.834.2
✅ פתרון סופי: כן – ביישוב ב' (אחרי כ־9.83 ימים) וביישוב ג' (אחרי כ־4.2 ימים)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אא׳ – גרף III, ב׳ – גרף II
סעיף בכ־430
סעיף גכ־10.32 ימים
סעיף דכ־36.37%
סעיף הכן – ביישובים ב׳ ו־ג׳
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – גדילה ודעיכה עם גרפים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 נבצרים⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בתחילת שנת 2020 התגלה נגיף ביישוב מסוים. מספר החולים ביישוב עלה בקצב מעריכי קבוע. כשהתגלה הנגיף היו ביישוב 104 חולים בנגיף, וכעבור חמישה חודשים היו ביישוב 200 חולים בנגיף.

ביום שבו אובחנו ביישוב 200 חולים בנגיף, חוסנה כל האוכלוסייה ביישוב נגד אותו הנגיף. מאותו יום, ירד מספר החולים בנגיף ביישוב בקצב מעריכי קבוע. אחרי 3 חודשים ממתן החיסון, היה מספר החולים בנגיף ביישוב 40% ממספרם לפני מתן החיסון.

א. מזמן גילוי הנגיף ועד למתן החיסון לאוכלוסיית היישוב, פי כמה עלה מספר החולים בנגיף בכל חודש?

ב. מצא את האחוז הקבוע שבו ירד מספר החולים בנגיף ביישוב בכל חודש מאז מתן החיסון.

ג. (1) כמה חודשים עברו מזמן גילוי הנגיף ועד היום שבו אובחנו 20 חולים בלבד בנגיף? (2) אם האוכלוסייה ביישוב לא הייתה מתחסנת, וקצב העלייה במספר החולים לא היה משתנה, מה היה בערך מספר החולים ביישוב באותה תקופת זמן שמצאת בתת־סעיף ג(1)?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – פי כמה עלה מספר החולים בכל חודש

בתקופה הראשונה: M0 = 104 (ביום הגילוי), ואחרי t = 5 חודשים M(5) = 200.
200 = 104 · q5📐 נוסחה: גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
q5 = 200104 ≈ 1.9231
q = (1.9231)15 ≈ 1.1397📐 נוסחה: שורש מסדר 5qn = a ⟸ q = a1n
כלומר בכל חודש מספר החולים הוכפל פי q ≈ 1.14 (עלייה של כ־14% בחודש).
✅ פתרון סופי: בכל חודש מספר החולים עלה פי 1.14, ובדיוק רב יותר פי 1.1397.

סעיף ב – אחוז הירידה החודשי

בתקופה השנייה מתחילים ביום החיסון: M0 = 200. אחרי 3 חודשים נשארו 40% מ־200:
M(3) = 0.4 · 200 = 80
80 = 200 · q3📐 נוסחה: גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
q3 = 80200 = 0.4
q = (0.4)13 ≈ 0.7368📐 נוסחה: שורש מסדר 3qn = a ⟸ q = a1n
0.7368 = 1 − p100 p100 = 1 − 0.7368 = 0.2632 p ≈ 26.32📐 נוסחה: קצב דעיכה באחוזיםq = 1 − p100
✅ פתרון סופי: בכל חודש מספר החולים ירד ב־26.32% בערך.

סעיף ג(1) – הזמן עד 20 חולים

נמצא כמה זמן אחרי החיסון ירד מספר החולים מ־200 ל־20 (עם q ≈ 0.7368 מסעיף ב):
20 = 200 · 0.7368t📐 נוסחה: גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
0.7368t = 20200 = 0.1
t = ln 0.1ln 0.7368 = −2.3026−0.3054 ≈ 7.54📐 נוסחה: מציאת המעריך בעזרת lnqt = a ⟸ t = ln aln q
לזמן הזה מוסיפים את 5 החודשים שעברו מגילוי הנגיף ועד החיסון:
5 + 7.54 = 12.54
✅ פתרון סופי: עברו בערך 12.54 חודשים מגילוי הנגיף.

סעיף ג(2) – בלי חיסון

בלי חיסון, הגדילה מסעיף א (M0 = 104 , q ≈ 1.1397) הייתה נמשכת כל t = 12.54 החודשים:
M(12.54) = 104 · 1.139712.54📐 נוסחה: גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
≈ 104 · 5.154
≈ 536
✅ פתרון סופי: בערך 536 חולים.

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אפי 1.14 בכל חודש
סעיף ב26.32%
סעיף ג12.54 חודשים
≈ 536 חולים
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 10 – מציאת הזמן t
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – חורף 2020, שאלה 5

📄 נוסח השאלה

הכמות של חומר רדיואקטיבי דועכת בקצב מעריכי. ביום מסוים נמדדה כמות התחלתית של חומר זה.

שנה לאחר יום המדידה הראשון נשארה מן החומר כמות של (13)2 ק״ג.

5 שנים לאחר יום המדידה הראשון נשארה מן החומר כמות של (13)10 ק״ג.

א. מצא את קצב הדעיכה של החומר ואת הכמות ההתחלתית שלו.

נתונה הפונקציה g(x) = 3−2x המוגדרת לכל x ≥ 0. הפונקציה g(x) מתארת את כמות החומר x שנים לאחר יום המדידה הראשון.

ב. (1) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם הצירים (אם יש כאלה). (2) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה g(x) (אם יש כאלה). (3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g(x) בעבור x ≥ 0.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – קצב הדעיכה והכמות ההתחלתית

מסמנים M0 – הכמות ההתחלתית, q – קצב הדעיכה (פי כמה הכמות מוכפלת בכל שנה). שתי משוואות:
M(1) = M0 · q = (13)2📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
M(5) = M0 · q5 = (13)10
מחלקים את המשוואה השנייה בראשונה – M0 מצטמצם:
M0 · q5M0 · q = (13)10(13)2 ⟸ q4 = (13)8📐 חילוק חזקותaman = am − n
q = (13)2 = 19📐 שורש רביעי של חזקה(am)n = am · n
(בדעיכה 0 < q < 1, ולכן לוקחים את הפתרון החיובי.) מציבים במשוואה הראשונה:
M0 · 19 = 19 ⟸ M0 = 1
✅ פתרון סופי: קצב הדעיכה: פי q = 19 בשנה
כמות התחלתית: 1 ק״ג

סעיף ב – חקירת g(x)

שימו לב: g(x) = 3−2x = (3−2)x = (19)x – בדיוק הנוסחה מסעיף א עם M0 = 1 ו־q = 19.
g(0) = 30 = 1📐 חזקת אפסa0 = 1
ציר ה־x: 3−2x > 0 תמיד – אין חיתוך.
(2) הנגזרת:
g′(x) = 3−2x · ln 3 · (−2) = −2ln 3 · 3−2x < 0📐 נגזרת של חזקה עם בסיס a(au)′ = au · ln a · u′
ln 3 > 0 ו־3−2x > 0, ולכן הנגזרת שלילית תמיד – הפונקציה יורדת בכל התחום. הכמות קטנה עם הזמן, כמו שמצופה מדעיכה.
(3) הגרף מתחיל ב־(0 , 1), יורד ומתקרב לציר ה־x בלי לגעת בו.
yx(0 , 1)
✅ פתרון סופי: (1) (0 , 1) ; אין חיתוך עם ציר ה־x
(2) יורדת לכל x ≥ 0 ; אין תחומי עלייה

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אפי 19 בשנה ; 1 ק״ג
סעיף ב(1) (0 , 1)
(2) יורדת לכל x ≥ 0
(3) סקיצה
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 8 – מציאת q ו־p
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472
📄 השאלון המלא – חורף 2020 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 472 לפי נושא

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.

השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות