בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (35471) · שאלות לפי נושא

שאלות בגרות 471 לפי נושא – חקירת פונקציית שורש

כל שאלות חקירת פונקציית השורש מבחינות הבגרות בשאלון 471, כולל פרמטרים, הזזות, גרף הנגזרת וסעיפי השטח. מהבחינה החדשה ביותר אחורה, ובכל שאלה הנוסח המלא ומתחתיו פתרון מלא שלב אחר שלב.

⬅️ חזרה לקורס: חקירת שורש – 471

📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 471 לפי נושא

47 שאלות פתורות: 17 משאלון 471 ו־30 מבגרויות ישנות. לוחצים על מועד ועוברים ישר לשאלה.

📅 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 2x − 4√5x − 16.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה־x.

ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגן.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

פונקציית הנגזרת f′(x) מוגדרת בתחום x > 3.2.

ה. (1) קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). (2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = 4 ו־x = 13.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

5x − 16 ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורשמה שבתוך השורש ≥ 0

5x ≥ 16

x ≥ 165 = 3.2

✅ פתרון סופי: x ≥ 3.2

סעיף ב – חיתוך עם ציר ה־x

פותרים f(x) = 0:

2x − 4√5x − 16 = 0

2x = 4√5x − 16

מחלקים ב־2:

x = 2√5x − 16

מעלים בריבוע את שני האגפים:

x² = 4(5x − 16)📐 ריבוע של שורש(√a)² = a

x² = 20x − 64

x² − 20x + 64 = 0

x_1,2 = 20 ± √(−20)² − 4 · 1 · 642 · 1📐 נוסחת השורשיםx_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

= 20 ± √400 − 2562 = 20 ± √1442 = 20 ± 122

x = 322 = 16 או x = 82 = 4

אחרי העלאה בריבוע חייבים לבדוק בפונקציה המקורית:

בדיקה: f(4) = 8 − 4√4 = 8 − 8 = 0 ✓

בדיקה: f(16) = 32 − 4√64 = 32 − 32 = 0 ✓

✅ פתרון סופי: (4 , 0) , (16 , 0)

סעיף ג – נקודות קיצון

גוזרים: הנגזרת של 2x היא 2, ואת השורש גוזרים לפי הנוסחה עם g(x) = 5x − 16 , g′(x) = 5:

f′(x) = 2 − 4 · 52√5x − 16📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

f′(x) = 2 − 202√5x − 16 = 2 − 10√5x − 16

2 − 10√5x − 16 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

10√5x − 16 = 2

10 = 2√5x − 16

√5x − 16 = 5

מעלים בריבוע:

5x − 16 = 25

5x = 41

x = 8.2

f(8.2) = 16.4 − 4√41 − 16 = 16.4 − 4√25 = 16.4 − 20 = −3.6

טבלת סימנים (הצבות: f′(4) = 2 − 102 = −3 , f′(13) = 2 − 107 > 0):

x	3.2	3.2 < x < 8.2	8.2	x > 8.2
f′		−	0	+
f	מקס׳ קצה	↘	מינ׳	↗

גם קצה התחום x = 3.2 הוא נקודת קיצון: מימינו הפונקציה יורדת, לכן זה מקסימום (קצה).

f(3.2) = 6.4 − 4√16 − 16 = 6.4 − 0 = 6.4

✅ פתרון סופי: מינימום (8.2 , −3.6) ; מקסימום קצה (3.2 , 6.4)

סעיף ד – סקיצה

מתחילים בנקודת הקצה (3.2 , 6.4), יורדים דרך (4 , 0) עד המינימום (8.2 , −3.6), ועולים דרך (16 , 0) והלאה.

✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ה (1) – הגרף של f′(x)

מה ידוע על f′(x) = 2 − 10√5x − 16:

• כש־x מתקרב ל־3.2 מימין, √5x − 16 מתקרב ל־0, ולכן f′ → −∞ (הגרף יורד לאורך האסימפטוטה x = 3.2).

• f′ = 0 רק ב־x = 8.2 – הגרף חותך את ציר ה־x פעם אחת.📐 עלייה וירידהf′ < 0 ← f יורדתf′ > 0 ← f עולה

• כש־x גדל, 10√5x − 16 → 0, ולכן f′ → 2 – הגרף מתקרב לקו אופקי מעל ציר ה־x.

גרף II מתחיל למעלה, גרף III כולו מעל הציר, וגרף IV כולו מתחת לציר (לא חותך אותו). רק גרף I עולה מ־−∞, חותך את ציר ה־x פעם אחת ונשאר חיובי.

✅ פתרון סופי: גרף I

סעיף ה (2) – השטח

בין 4 ל־8.2 הנגזרת שלילית (מתחת לציר), ובין 8.2 ל־13 היא חיובית (מעל הציר). לכן מחלקים לשני שטחים.

הפונקציה הקדומה של f′(x) היא f(x) עצמה:

∫ f′(x) dx = f(x)📐 אינטגרל מסוים∫_a^b f′(x) dx = f(b) − f(a)

מחשבים ערכים: f(4) = 0 , f(8.2) = −3.6 , f(13) = 26 − 4√65 − 16 = 26 − 4 · 7 = −2.

שטח 1 (מתחת לציר – לוקחים את הערך החיובי):

S₁ = −[f(8.2) − f(4)] = −[−3.6 − 0] = 3.6

שטח 2 (מעל הציר):

S₂ = f(13) − f(8.2) = −2 − (−3.6) = 1.6

S = 3.6 + 1.6 = 5.2📐 שטח מתחת לצירS = −∫_a^b f(x) dx כש־f < 0

✅ פתרון סופי: S = 5.2 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x ≥ 3.2
סעיף ב	(4 , 0) , (16 , 0)
סעיף ג	מינימום (8.2 , −3.6) ; מקסימום קצה (3.2 , 6.4)
סעיף ד	סקיצה
סעיף ה	גרף I ; שטח 5.2

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471 · קורס אינטגרלים 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2026 מועד א', שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = (a − x) · √3x − 6. a הוא פרמטר.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

נתון כי הנקודה (5 , 9) נמצאת על גרף הפונקציה f(x).

ב. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 8 בפונקציה f(x), וענו על הסעיפים ג–ו.

ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x.

ד. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

פונקציית הנגזרת f′(x) מוגדרת בתחום x > 2.

ו. (1) קבעו איזה מן הגרפים I–IV מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). נמקו את קביעתכם. (2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישר x = 20.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

מה שבתוך השורש חייב להיות גדול או שווה ל־0:

3x − 6 ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורש√g(x) → g(x) ≥ 0

3x ≥ 6

x ≥ 2

✅ פתרון סופי: x ≥ 2

סעיף ב – הערך של a

מציבים את הנקודה (5 , 9) בפונקציה:

9 = (a − 5) · √3 · 5 − 6📐 נקודה על גרףy = f(x)

9 = (a − 5) · √9

9 = (a − 5) · 3

מחלקים ב־3:

3 = a − 5

a = 8

✅ פתרון סופי: a = 8

סעיף ג – חיתוך עם ציר ה־x

עכשיו f(x) = (8 − x) · √3x − 6. משווים ל־0 – מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים 0:

(8 − x) · √3x − 6 = 0📐 מכפלה שווה 0a · b = 0 → a = 0 או b = 0

8 − x = 0 → x = 8

√3x − 6 = 0 → 3x − 6 = 0 → x = 2

שני הערכים בתחום ההגדרה.

✅ פתרון סופי: (2 , 0) , (8 , 0)

סעיף ד – נקודות קיצון

גוזרים לפי נגזרת של מכפלה:

u = 8 − x , u′ = −1📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′

v = √3x − 6 , v′ = 32√3x − 6📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

f′(x) = −1 · √3x − 6 + (8 − x) · 32√3x − 6

מכנה משותף 2√3x − 6:

f′(x) = −2(3x − 6) + 3(8 − x)2√3x − 6📐 מכנה משותף√a = 2√a · √a2√a = 2a2√a

= −6x + 12 + 24 − 3x2√3x − 6

= 36 − 9x2√3x − 6

משווים ל־0:

36 − 9x = 0 → x = 4📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

f(4) = (8 − 4) · √12 − 6 = 4√6 ≈ 9.80

סימן הנגזרת (המכנה חיובי):

x	f′(x)	f(x)
2		מינימום קצה
2 < x < 4	+	↗ עולה
4	0	מקסימום
x > 4	−	↘ יורדת

בקצה התחום x = 2 הפונקציה מתחילה לעלות, ולכן (2 , 0) היא נקודת מינימום קצה.

✅ פתרון סופי: (4 , 4√6) מקסימום

✅ פתרון סופי: (2 , 0) מינימום קצה

סעיף ה – סקיצה

מתחילים ב־(2 , 0), עולים למקסימום (4 , 4√6), יורדים וחותכים את ציר ה־x ב־(8 , 0), וממשיכים לרדת.

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ו (1) – הגרף של f′(x)

מה ידוע על f′(x) מסעיף ד:

• בתחום 2 < x < 4 הפונקציה f עולה, ולכן f′ > 0 (הגרף מעל ציר ה־x).📐 עלייה וירידהf′ > 0 ← עולהf′ < 0 ← יורדת

• f′ = 0 רק ב־x = 4 – הגרף חותך את ציר ה־x פעם אחת בלבד.

• בתחום x > 4 הפונקציה יורדת, ולכן f′ < 0 עד הסוף.

גרפים II ו־III מתחילים מתחת לציר ה־x. בגרף IV הנגזרת חוזרת להיות חיובית (חותכת את הציר פעמיים). רק גרף I מתאים.

✅ פתרון סופי: גרף I

סעיף ו (2) – השטח

השטח מוגבל בין x = 4 (שם f′ חותכת את ציר ה־x) ובין x = 20. בתחום הזה f′ < 0, כלומר השטח מתחת לציר, ולכן מוסיפים מינוס:

S = −∫204 f′(x) dx📐 שטח מתחת לציר ה־xS = −∫ba f(x) dx

הפונקציה הקדומה של f′(x) היא f(x) עצמה:

S = −[f(20) − f(4)] = f(4) − f(20)📐 אינטגרל מסוים∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)

f(20) = (8 − 20) · √60 − 6 = −12√54

√54 = √9 · 6 = 3√6 → f(20) = −36√6📐 פירוק שורש√a · b = √a · √b

S = 4√6 − (−36√6) = 40√6

S ≈ 97.98

✅ פתרון סופי: S = 40√6 ≈ 97.98

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x ≥ 2
סעיף ב	a = 8
סעיף ג	(2 , 0) , (8 , 0)
סעיף ד	(4 , 4√6) מקסימום (2 , 0) מינימום קצה
סעיף ה	הסקיצה למעלה
סעיף ו (1)	גרף I
סעיף ו (2)	S = 40√6 ≈ 97.98

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2026, שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = x² · √7 − x.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x. (3) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = f(x + a), a הוא פרמטר. נתון כי לפונקצייה g(x) יש נקודת מקסימום פנימית בנקודה שבה x = 8.6.

ג. (1) מצאו את הערך של a. נמקו את תשובתכם. (2) מהו תחום ההגדרה של הפונקצייה g(x)?

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א (1) – תחום הגדרה

7 − x ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורש√A מוגדר רק כש־A ≥ 0

−x ≥ −7 → x ≤ 7 (בחילוק במספר שלילי הופכים את סימן אי־השוויון)

✅ פתרון סופי: x ≤ 7

סעיף א (2) – חיתוך עם ציר ה־x

מציבים y = 0:

x² · √7 − x = 0

מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים שווה 0:📐 מכפלה שווה לאפסA · B = 0 ⟺ A = 0 או B = 0

x² = 0 → x = 0

√7 − x = 0 → 7 − x = 0 → x = 7

✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (7 , 0)

סעיף א (3) – נקודות קיצון

גוזרים לפי נגזרת של מכפלה: u = x² , v = √7 − x.

u′ = 2x

v′ = −12√7 − x📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

f′(x) = 2x · √7 − x + x² · −12√7 − x📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′

= 2x√7 − x − x²2√7 − x

מכנה משותף 2√7 − x. את האיבר הראשון כופלים ב־2√7 − x2√7 − x:

2x√7 − x = 2x · 2 · (7 − x)2√7 − x📐 שורש כפול שורש√A · √A = A

f′(x) = 4x(7 − x) − x²2√7 − x = 28x − 4x² − x²2√7 − x

= 28x − 5x²2√7 − x = x(28 − 5x)2√7 − x

הנגזרת מוגדרת כש־x < 7. משווים ל־0 (המונה = 0):

x(28 − 5x) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

x = 0 או 28 − 5x = 0 → x = 285 = 5.6

בודקים את סימן הנגזרת בכל תחום:

f′(−1) = (−1)(28 + 5)2√8 = −332√8 < 0 ← יורדת

f′(1) = 1 · 232√6 > 0 ← עולה

f′(6) = 6 · (28 − 30)2√1 = −122 = −6 < 0 ← יורדת

x	f′(x)	f(x)
x < 0	−	↘ יורדת
0	0	מינימום
0 < x < 5.6	+	↗ עולה
5.6	0	מקסימום
5.6 < x < 7	−	↘ יורדת
7	קצה התחום	מינימום קצה

מחשבים את ערכי הפונקצייה:

f(0) = 0² · √7 = 0

f(5.6) = 5.6² · √7 − 5.6 = 31.36 · √1.4 ≈ 37.11

f(7) = 7² · √0 = 0

בקצה התחום x = 7 הפונקצייה יורדת עד לנקודה (7 , 0), ולכן זו נקודת מינימום קצה.

✅ פתרון סופי: מינימום: (0 , 0)

✅ פתרון סופי: מקסימום: (5.6 , 37.11)

✅ פתרון סופי: מינימום קצה: (7 , 0)

סעיף ב – סקיצה

מסמנים: התחום x ≤ 7 (משמאל ל־7 בלבד), מינימום (0 , 0), מקסימום (5.6 , 37.11) ומינימום קצה (7 , 0). משמאל ל־0 הפונקצייה יורדת (בדרך מלמעלה אל הראשית), בין 0 ל־5.6 עולה, ומ־5.6 עד 7 יורדת. הפונקצייה אף פעם לא שלילית.

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ג (1) – הערך של a

g(x) = f(x + a) – אותו גרף של f(x), מוזז אופקית. כל נקודה של f ב־x עוברת ל־x − a.📐 הזזה אופקיתf(x + a) ← הזזה של a יחידות שמאלה (כש־a > 0)

ל־f(x) יש נקודת מקסימום פנימית אחת בלבד, ב־x = 5.6 (בקצה x = 7 יש מינימום). ל־g(x) המקסימום ב־x = 8.6, ולכן:

8.6 + a = 5.6

a = 5.6 − 8.6 = −3

כלומר g(x) = f(x − 3) – הגרף זז 3 יחידות ימינה, והמקסימום עבר מ־5.6 ל־8.6.

✅ פתרון סופי: a = −3

סעיף ג (2) – תחום ההגדרה של g(x)

g(x) = (x − 3)² · √7 − (x − 3) = (x − 3)² · √10 − x. הביטוי בתוך השורש לא שלילי:

10 − x ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורש√A מוגדר רק כש־A ≥ 0

x ≤ 10

(גם התחום זז 3 ימינה: מ־7 ל־10.)

✅ פתרון סופי: x ≤ 10

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א (1)	x ≤ 7
סעיף א (2)	(0 , 0) , (7 , 0)
סעיף א (3)	מינ׳ (0 , 0) , מקס׳ (5.6 , 37.11) , מינ׳ קצה (7 , 0)
סעיף ג (1)	a = −3
סעיף ג (2)	x ≤ 10

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 7

📄 נוסח השאלה

הפונקצייה f(x) מוגדרת בתחום x ≤ 1.5, ופונקציית הנגזרת שלה f′(x) מוגדרת בתחום x < 1.5. לפונקצייה f(x) יש בדיוק שתי נקודות קיצון פנימיות. לפניכם שלושה גרפים (1)–(3). אחד מהם מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x).

א. קבעו איזה מן הגרפים (1)–(3) מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). נמקו את קביעתכם.

נתון: f(x) = (x² + 1) · √3 − 2x.

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.

ג. (1) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן. (2) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x).

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

ה. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x) ועל ידי ציר ה־x.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – איזה גרף מתאר את f′(x)

שתי נקודות קיצון פנימיות ← הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן בדיוק פעמיים, כלומר הגרף שלה חותך את ציר ה־x בדיוק פעמיים.📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0 והנגזרת מחליפה סימן

בגרף (1) אין שתי נקודות חיתוך עם ציר ה־x, ובגרף (2) יש שלוש. רק בגרף (3) יש בדיוק שתיים.

בנוסף, בגרף (3) הנגזרת יורדת למינוס אינסוף ליד הישר המקווקו x = 1.5 – כמו נגזרת עם √3 − 2x במכנה.

✅ פתרון סופי: גרף (3)

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

ציר ה־x:

(x² + 1) · √3 − 2x = 0📐 מכפלה שווה לאפסA · B = 0 ⟺ A = 0 או B = 0

x² + 1 > 0 תמיד, ולכן רק √3 − 2x = 0 → x = 1.5.

ציר ה־y:

f(0) = (0 + 1) · √3 = √3 ≈ 1.732

✅ פתרון סופי: עם ציר ה־x: (1.5 , 0)

✅ פתרון סופי: עם ציר ה־y: (0 , √3)

סעיף ג (1) – נקודות קיצון

נגזרת של מכפלה: u = x² + 1 , u′ = 2x ; v = √3 − 2x:

v′ = −22√3 − 2x = −1√3 − 2x📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

f′(x) = 2x√3 − 2x + (x² + 1) · −1√3 − 2x📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′

מכנה משותף √3 − 2x:

2x√3 − 2x = 2x(3 − 2x)√3 − 2x📐 שורש כפול שורש√A · √A = A

f′(x) = 6x − 4x² − x² − 1√3 − 2x = −5x² + 6x − 1√3 − 2x

−5x² + 6x − 1 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

כופלים ב־−1: 5x² − 6x + 1 = 0. פותרים בנוסחת השורשים:

x = 6 ± √36 − 2010 = 6 ± 410📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b² − 4ac2a

x = 1 או x = 210 = 0.2

f(1) = 2 · √1 = 2

f(0.2) = 1.04 · √2.6 ≈ 1.677

סימן הנגזרת:

f′(0) = −1√3 < 0 ← יורדת

f′(0.5) = −1.25 + 3 − 1√2 = 0.75√2 > 0 ← עולה

f′(1.25) = −7.8125 + 7.5 − 1√0.5 < 0 ← יורדת

x	f′(x)	f(x)
x < 0.2	−	↘ יורדת
0.2	0	מינימום
0.2 < x < 1	+	↗ עולה
1	0	מקסימום
1 < x < 1.5	−	↘ יורדת
1.5	קצה התחום	מינימום קצה

בקצה x = 1.5: f(1.5) = 0, והפונקצייה יורדת עד שם – מינימום קצה.

✅ פתרון סופי: מינימום (0.2 , 1.677)

✅ פתרון סופי: מקסימום (1 , 2)

✅ פתרון סופי: מינימום קצה (1.5 , 0)

סעיף ג (2) – עלייה וירידה

מהטבלה שבסעיף ג (1):

✅ פתרון סופי: עלייה: 0.2 < x < 1

✅ פתרון סופי: ירידה: x < 0.2 או 1 < x < 1.5

סעיף ד – סקיצה

מסמנים: (0 , √3), מינימום (0.2 , 1.677), מקסימום (1 , 2) ומינימום קצה (1.5 , 0). משמאל הגרף יורד מלמעלה עד המינימום, עולה עד 2 ויורד עד 0 בקצה.

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ה – השטח בין גרף הנגזרת לציר ה־x

גרף הנגזרת חותך את ציר ה־x ב־x = 0.2 וב־x = 1, וביניהן הנגזרת חיובית. זה השטח הסגור היחיד בין גרף הנגזרת לציר. הפונקצייה הקדומה של f′ היא f:

S = ∫10.2 f′(x) dx = f(1) − f(0.2)📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)

= 2 − 1.677 ≈ 0.323

✅ פתרון סופי: S ≈ 0.323 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	גרף (3)
סעיף ב	(1.5 , 0) , (0 , √3)
סעיף ג (1)	מינ׳ (0.2 , 1.677) , מקס׳ (1 , 2) , מינ׳ קצה (1.5 , 0)
סעיף ג (2)	עולה 0.2 < x < 1
סעיף ה	≈ 0.323

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד א', שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = (3x − 6) · √14 − x.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.

ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = f(x + 5), המוגדרת בתחום x ≤ 9.

ה. (1) קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקצייה g(x). נמקו את קביעתכם. (2) מה הם שיעורי נקודת הקיצון הפנימית של הפונקצייה g(x)?

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

14 − x ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורש√A מוגדר רק כש־A ≥ 0

−x ≥ −14 → x ≤ 14 (בחילוק במספר שלילי הופכים את סימן אי־השוויון)

✅ פתרון סופי: x ≤ 14

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

ציר ה־x (y = 0):

(3x − 6) · √14 − x = 0📐 מכפלה שווה לאפסA · B = 0 ⟺ A = 0 או B = 0

3x − 6 = 0 → x = 2

√14 − x = 0 → x = 14

ציר ה־y (x = 0):

f(0) = (0 − 6) · √14 = −6√14 ≈ −22.45

✅ פתרון סופי: עם ציר ה־x: (2 , 0) , (14 , 0)

✅ פתרון סופי: עם ציר ה־y: (0 , −6√14) ≈ (0 , −22.45)

סעיף ג – נקודות קיצון

גוזרים לפי נגזרת של מכפלה: u = 3x − 6 , u′ = 3 ; v = √14 − x:

v′ = −12√14 − x📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

f′(x) = 3√14 − x + (3x − 6) · −12√14 − x📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′

מכנה משותף 2√14 − x:

3√14 − x = 3 · 2 · (14 − x)2√14 − x📐 שורש כפול שורש√A · √A = A

f′(x) = 6(14 − x) − (3x − 6)2√14 − x = 84 − 6x − 3x + 62√14 − x

f′(x) = 90 − 9x2√14 − x

90 − 9x = 0 → x = 10📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

f(10) = (30 − 6) · √4 = 24 · 2 = 48

בודקים את סימן הנגזרת:

f′(0) = 902√14 > 0 ← עולה

f′(13) = 90 − 1172√1 = −13.5 < 0 ← יורדת

x	f′(x)	f(x)
x < 10	+	↗ עולה
10	0	מקסימום
10 < x < 14	−	↘ יורדת
14	קצה התחום	מינימום קצה

בקצה x = 14: f(14) = 36 · 0 = 0. הפונקצייה יורדת עד שם, ולכן (14 , 0) מינימום קצה.

✅ פתרון סופי: מקסימום: (10 , 48)

✅ פתרון סופי: מינימום קצה: (14 , 0)

סעיף ד – סקיצה

מסמנים: התחום x ≤ 14, חיתוכים (2 , 0), (14 , 0), (0 , −22.45), מקסימום (10 , 48) ומינימום קצה (14 , 0). משמאל הגרף מגיע מלמטה ועולה עד המקסימום, ואז יורד עד 14.

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ה (1) – איזה גרף מתאר את g(x)

g(x) = f(x + 5) הוא הגרף של f(x) מוזז 5 יחידות שמאלה.📐 הזזה אופקיתf(x + a) ← הזזה של a יחידות שמאלה (כש־a > 0)

כל נקודה זזה 5 שמאלה: החיתוכים עם ציר ה־x עוברים ל־x = −3 ול־x = 9, המקסימום ל־x = 5.

g(0) = f(5) = (15 − 6) · √9 = 27 > 0

מחפשים גרף שחותך את ציר ה־x משמאל לציר ה־y, חותך את ציר ה־y מעל הראשית, עולה למקסימום מימין לציר ה־y ויורד לנקודת קצה על ציר ה־x. זה גרף III.

✅ פתרון סופי: גרף III

סעיף ה (2) – נקודת הקיצון הפנימית של g(x)

המקסימום של f ב־(10 , 48) זז 5 שמאלה, והגובה לא משתנה:

x = 10 − 5 = 5 , y = 48

בדיקה: g(5) = f(10) = 48 ✓

✅ פתרון סופי: מקסימום (5 , 48)

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x ≤ 14
סעיף ב	(2 , 0) , (14 , 0) , (0 , −6√14)
סעיף ג	מקס׳ (10 , 48) , מינ׳ קצה (14 , 0)
סעיף ה (1)	גרף III
סעיף ה (2)	מקסימום (5 , 48)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2025, שאלה 7

📄 נוסח השאלה

הפונקציה f(x) מוגדרת בתחום x ≤ 3, ופונקציית הנגזרת שלה f′(x) מוגדרת בתחום x < 3. לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון פנימית אחת בלבד, מסוג מקסימום. בסרטוט מתוארים שני גרפים, I ו־II. אחד מהם מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x).

א. קבעו איזה מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x), ונמקו את קביעתכם.

נתון: f(x) = 5x + 2√15 − 5x.

ב. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

גרף הפונקציה f(x) חותך את ציר ה־x בנקודה אחת בלבד, בחלקו השלילי.

ג. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = −4 · f′(x).

ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי ציר ה־y.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – איזה גרף הוא f′(x)

ל־f יש מקסימום פנימי אחד. לפני המקסימום f עולה, ואחריו יורדת:

לכן f′ חיובית לפני נקודת הקיצון, מתאפסת בה, ושלילית אחריה.📐 עלייה וירידהf′ > 0 ← עולהf′ < 0 ← יורדת

גרף I: מעל ציר ה־x, יורד, חותך את הציר ויורד מתחתיו – מתאים.

גרף II: מתחת לציר ואז מעליו – מתאים למינימום, לא למקסימום.

✅ פתרון סופי: גרף I

סעיף ב – נקודות קיצון

גוזרים: הנגזרת של 5x היא 5. את השורש גוזרים עם g(x) = 15 − 5x , g′(x) = −5:

f′(x) = 5 + 2 · −52√15 − 5x = 5 − 5√15 − 5x📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

5 − 5√15 − 5x = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

5√15 − 5x = 5

√15 − 5x = 1

מעלים בריבוע:

15 − 5x = 1

−5x = −14

x = 2.8

f(2.8) = 14 + 2√15 − 14 = 14 + 2 = 16

הצבות: f′(0) = 5 − 5√15 ≈ 3.7 > 0 , f′(2.9) = 5 − 5√0.5 ≈ −2.07 < 0.

x	x < 2.8	2.8	2.8 < x < 3	3
f′	+	0	−	✕
f	↗	מקס׳	↘	מינ׳ קצה

גם קצה התחום x = 3 הוא נקודת קיצון: משמאלו הפונקציה יורדת, לכן זה מינימום (קצה).

f(3) = 15 + 2√0 = 15

✅ פתרון סופי: מקסימום (2.8 , 16) , מינימום קצה (3 , 15)

סעיף ג – חיתוך עם ציר ה־x

5x + 2√15 − 5x = 0

2√15 − 5x = −5x

אגף שמאל לא שלילי, לכן חייב −5x ≥ 0, כלומר x ≤ 0. מעלים בריבוע:

4(15 − 5x) = 25x²📐 ריבוע של שורש(√a)² = a

60 − 20x = 25x²

25x² + 20x − 60 = 0

מחלקים ב־5:

5x² + 4x − 12 = 0

x = −4 ± √16 + 24010 = −4 ± 1610📐 נוסחת השורשיםx_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

x = 1.2 או x = −2

x = 1.2 נפסל (צריך x ≤ 0; גם f(1.2) = 6 + 2 · 3 = 12 ≠ 0).

בדיקה: f(−2) = −10 + 2√25 = −10 + 10 = 0 ✓

✅ פתרון סופי: (−2 , 0)

סעיף ד – סקיצה

הפונקציה עולה מ־−∞ דרך (−2 , 0) ו־(0 , 2√15) ≈ (0 , 7.75) עד המקסימום (2.8 , 16), ואז יורדת קצת עד נקודת הקצה (3 , 15).

✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ה – השטח

g(x) = −4f′(x) מתאפסת היכן ש־f′ = 0: ב־x = 2.8. השטח בין ציר ה־y (x = 0) לבין x = 2.8.

בתחום 0 < x < 2.8 מתקיים f′ > 0, ולכן g = −4f′ < 0 – הגרף מתחת לציר:

S = −∫₀^2.8 g(x) dx = ∫₀^2.8 4f′(x) dx📐 שטח מתחת לצירS = −∫_a^b g(x) dx כש־g < 0

= 4[f(2.8) − f(0)]📐 אינטגרל מסוים∫_a^b f′(x) dx = f(b) − f(a)

f(0) = 0 + 2√15 = 2√15

S = 4(16 − 2√15) = 64 − 8√15 ≈ 33.02

✅ פתרון סופי: S = 64 − 8√15 ≈ 33.02

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	גרף I
סעיף ב	מקס׳ (2.8 , 16) , מינ׳ קצה (3 , 15)
סעיף ג	(−2 , 0)
סעיף ד	סקיצה
סעיף ה	64 − 8√15 ≈ 33.02

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471 · קורס אינטגרלים 471

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x² · √−12x + 5.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגן.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ה. אחד מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את גרף פונקציית הנגזרת f′(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x) ועל ידי גרף הפונקציה a · f′(x) שווה ל־160. a הוא פרמטר שלילי.

ו. מצאו את הערך של a.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

−12x + 5 ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורשמה שבתוך השורש ≥ 0

5 ≥ 12x

x ≤ 10

✅ פתרון סופי: x ≤ 10

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y: f(0) = 0 · √5 = 0 ← (0 , 0).

ציר ה־x: מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים 0:

x² = 0 ⟸ x = 0

√−12x + 5 = 0 ⟸ x = 10

✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (10 , 0)

סעיף ג – נקודות קיצון

כדי לקצר נסמן u = −12x + 5, כלומר f(x) = x² · √u ו־u′ = −12.

(√u)′ = u′2√u = −122√u = −14√u📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

f′(x) = 2x · √u − x²4√u📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′

מכנה משותף 4√u (ו־√u · √u = u):

f′(x) = 8x · u − x²4√u

מציבים u = −12x + 5 במונה:

8x(−12x + 5) − x² = −4x² + 40x − x² = −5x² + 40x = 5x(8 − x)

f′(x) = 5x(8 − x)4√−12x + 5

5x(8 − x) = 0 ⟸ x = 0 או x = 8📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

f(8) = 64 · √−4 + 5 = 64 · 1 = 64

המכנה חיובי; הסימן לפי 5x(8 − x). הצבות: f′(−1) < 0 , f′(1) > 0 , f′(9) < 0.

x	x < 0	0	0 < x < 8	8	8 < x < 10	10
f′	−	0	+	0	−	✕
f	↘	מינ׳	↗	מקס׳	↘	מינ׳ קצה

קצה התחום x = 10: f(10) = 0, ולפניו הפונקציה יורדת – מינימום (קצה).

✅ פתרון סופי: מינימום (0 , 0) , מקסימום (8 , 64) , מינימום קצה (10 , 0)

סעיף ד – סקיצה

יורדת מ־+∞ (משמאל) עד (0 , 0), עולה עד (8 , 64) ויורדת עד נקודת הקצה (10 , 0).

✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ה – איזה גרף הוא f′(x)

לפי טבלת הסימנים: f′ < 0 משמאל ל־0, f′ > 0 בין 0 ל־8, ו־f′ < 0 בין 8 ל־10.📐 עלייה וירידהf′ > 0 ← עולהf′ < 0 ← יורדת

כלומר גרף f′ חותך את ציר ה־x בראשית (x = 0) ובנקודה חיובית (x = 8), חיובי ביניהן, ויורד ל־−∞ כשמתקרבים ל־10 (המכנה → 0).

גרפים I ו־II שליליים בין נקודות החיתוך – לא מתאימים. בגרף IV הגרף חיובי גם ב־x = 0 (השיא על ציר ה־y) – לא מתאים. גרף III חותך בראשית, חיובי אחריה ויורד בחדות – מתאים.

✅ פתרון סופי: גרף III

סעיף ו – הפרמטר a

נקודות החיתוך של f′ ו־a · f′: f′ = a · f′ ⟸ (1 − a)f′ = 0 ⟸ f′ = 0, כלומר x = 0 ו־x = 8.

בין 0 ל־8: f′ > 0 ו־a · f′ < 0 (כי a < 0). הגרף העליון הוא f′:

S = ∫₀⁸ [f′(x) − a · f′(x)] dx = (1 − a)∫₀⁸ f′(x) dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫_a^b [עליון − תחתון] dx

= (1 − a)[f(8) − f(0)] = (1 − a)(64 − 0) = 64(1 − a)📐 אינטגרל מסוים∫_a^b f′(x) dx = f(b) − f(a)

64(1 − a) = 160

1 − a = 2.5

a = −1.5

✅ פתרון סופי: a = −1.5

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x ≤ 10
סעיף ב	(0 , 0) , (10 , 0)
סעיף ג	מינ׳ (0 , 0) , מקס׳ (8 , 64) , מינ׳ קצה (10 , 0)
סעיף ה	גרף III
סעיף ו	a = −1.5

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471 · קורס אינטגרלים 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד א', שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = √5 − 2x + bx, b > 0 הוא פרמטר. ידוע כי גרף הפונקצייה f(x) חותך את ציר ה־x בנקודה (−10 , 0).

א. מצאו את הערך של b.

הציבו b = 12 בפונקצייה f(x) וענו על סעיפים ב–ו.

ב. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

ג. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־y.

ד. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה פונקצייה g(x), המקיימת g′(x) = −f(x). הפונקציות f(x) ו־g(x) מוגדרות באותו התחום.

ו. מצאו את שיעור ה־x של נקודת הקיצון הפנימית של הפונקצייה g(x), וקבעו את סוגה. נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – הערך של b

הנקודה (−10 , 0) על הגרף, ולכן מציבים:📐 נקודה על גרףמציבים את שיעוריה במשוואה

√5 − 2 · (−10) + b · (−10) = 0 √25 − 10b = 0 → 5 = 10b → b = 12

✅ פתרון סופי: b = 12

סעיף ב – תחום הגדרה

5 − 2x ≥ 0 → 2x ≤ 5 → x ≤ 2.5📐 תחום הגדרה של שורשהביטוי בתוך השורש ≥ 0

✅ פתרון סופי: x ≤ 2.5

סעיף ג – חיתוך עם ציר ה־y

f(0) = √5 + 0 = √5 ≈ 2.236

✅ פתרון סופי: (0 , √5)

סעיף ד – נקודות קיצון

f(x) = √5 − 2x + 12x

f′(x) = −22√5 − 2x + 12 = −1√5 − 2x + 12📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

1√5 − 2x = 12📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

√5 − 2x = 2 → 5 − 2x = 4 → x = 12

f(0.5) = √4 + 0.25 = 2.25

סימן הנגזרת:

f′(−2) = −13 + 12 > 0 ← עולה

f′(2) = −11 + 12 < 0 ← יורדת

x	f′(x)	f(x)
x < 0.5	+	↗ עולה
0.5	0	מקסימום
0.5 < x < 2.5	−	↘ יורדת
2.5	קצה התחום	מינימום קצה

f(2.5) = √0 + 1.25 = 1.25 – הפונקצייה יורדת עד קצה התחום, ולכן מינימום קצה.

✅ פתרון סופי: מקסימום (0.5 , 2.25)

✅ פתרון סופי: מינימום קצה (2.5 , 1.25)

סעיף ה – סקיצה

מסמנים: חיתוך (−10 , 0), (0 , √5), מקסימום (0.5 , 2.25) ומינימום קצה (2.5 , 1.25). הגרף עולה מלמטה משמאל, חוצה את ציר ה־x ב־−10, מגיע לשיא ב־0.5 ויורד מעט עד קצה התחום.

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ו – נקודת הקיצון של g(x)

ל־g יש קיצון פנימי כש־g′(x) = −f(x) = 0 והסימן מתחלף, כלומר בנקודת האפס של f.📐 נקודת קיצוןg′(x) = 0 והנגזרת מחליפה סימן

מהסקיצה: f מתאפסת רק ב־x = −10 (אחרי 0 הגרף מעל הציר).

משמאל ל־−10: f < 0 ← g′ = −f > 0 ← g עולה.

מימין ל־−10: f > 0 ← g′ < 0 ← g יורדת.

✅ פתרון סופי: מקסימום ב־x = −10

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	b = 12
סעיף ב	x ≤ 2.5
סעיף ג	(0 , √5)
סעיף ד	מקס׳ (0.5 , 2.25) , מינ׳ קצה (2.5 , 1.25)
סעיף ו	מקסימום ב־x = −10

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2024, שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x² · √−2x + 10.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = f(x) − c, c הוא פרמטר חיובי. הפונקציות f(x) ו־g(x) מוגדרות באותו התחום. גרף הפונקציה g(x) משיק לישר y = 20.

ה. מצאו את הערך של c.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

−2x + 10 ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורשמה שבתוך השורש ≥ 0

10 ≥ 2x ⟸ x ≤ 5

✅ פתרון סופי: x ≤ 5

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y: f(0) = 0 ← (0 , 0).

ציר ה־x: x² = 0 ⟸ x = 0 או √−2x + 10 = 0 ⟸ x = 5.

✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (5 , 0)

סעיף ג – נקודות קיצון

נסמן u = −2x + 10, כלומר f(x) = x² · √u ו־u′ = −2:

(√u)′ = u′2√u = −22√u = −1√u📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

f′(x) = 2x · √u − x²√u📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′

מכנה משותף √u:

f′(x) = 2x · u − x²√u

מציבים u = −2x + 10 במונה:

2x(−2x + 10) − x² = −4x² + 20x − x² = −5x² + 20x = 5x(4 − x)

f′(x) = 5x(4 − x)√−2x + 10

5x(4 − x) = 0 ⟸ x = 0 או x = 4📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

f(4) = 16 · √−8 + 10 = 16√2 ≈ 22.63

הצבות: f′(−1) < 0 , f′(1) > 0 , f′(4.5) < 0.

x	x < 0	0	0 < x < 4	4	4 < x < 5	5
f′	−	0	+	0	−	✕
f	↘	מינ׳	↗	מקס׳	↘	מינ׳ קצה

קצה התחום x = 5: f(5) = 0, ולפניו הפונקציה יורדת – מינימום (קצה).

✅ פתרון סופי: מינימום (0 , 0) , מקסימום (4 , 16√2) , מינימום קצה (5 , 0)

סעיף ד – סקיצה

יורדת מ־+∞ עד (0 , 0), עולה עד (4 , 22.63) ויורדת עד נקודת הקצה (5 , 0).

✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ה – הפרמטר c

g(x) = f(x) − c הוא הזזה של f למטה ב־c. ישר אופקי משיק לגרף בנקודת קיצון פנימית, כלומר ב־x = 0 או ב־x = 4:

ב־x = 0: g(0) = −c = 20 ⟸ c = −20 – לא חיובי, נפסל.

ב־x = 4: g(4) = 16√2 − c = 20

c = 16√2 − 20 ≈ 2.63 – חיובי ✓

✅ פתרון סופי: c = 16√2 − 20 ≈ 2.63

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x ≤ 5
סעיף ב	(0 , 0) , (5 , 0)
סעיף ג	מינ׳ (0 , 0) , מקס׳ (4 , 16√2) , מינ׳ קצה (5 , 0)
סעיף ה	c = 16√2 − 20

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = 6x · (√x − m), m > 0 הוא פרמטר.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

לפונקצייה f(x) יש נקודת קיצון פנימית אחת בנקודה שבה x = 4.

ב. (1) מצאו את m. (2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים. (3) מצאו את שיעור ה־y של נקודת הקיצון הפנימית של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

ד. (1) סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x) בתחום x ≥ 1. (2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי הישר x = 1 ועל ידי ציר ה־x.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

x ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורשהביטוי בתוך השורש ≥ 0

✅ פתרון סופי: x ≥ 0

סעיף ב (1) – הערך של m

פותחים סוגריים: f(x) = 6x√x − 6mx = 6x^1.5 − 6mx.

f′(x) = 6 · 1.5x^0.5 − 6m = 9√x − 6m📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · x^{n − 1}

f′(4) = 9 · 2 − 6m = 0 → 6m = 18 → m = 3📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

✅ פתרון סופי: m = 3

סעיף ב (2) – חיתוך עם הצירים

6x(√x − 3) = 0📐 מכפלה שווה לאפסA · B = 0 ⟺ A = 0 או B = 0

x = 0 או √x = 3 → x = 9

✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (9 , 0)

סעיף ב (3) – נקודת הקיצון הפנימית

f(4) = 24 · (2 − 3) = −24

f′(1) = 9 − 18 < 0 ← יורדת ; f′(9) = 27 − 18 > 0 ← עולה

x	f′(x)	f(x)
0	קצה התחום	מקסימום קצה
0 < x < 4	−	↘ יורדת
4	0	מינימום
x > 4	+	↗ עולה

✅ פתרון סופי: מינימום (4 , −24)

סעיף ג – סקיצה

הגרף יוצא מ־(0 , 0), יורד עד המינימום (4 , −24), עולה, חוצה את ציר ה־x ב־(9 , 0) וממשיך לעלות.

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ד (1) – סקיצה של f′(x) בתחום x ≥ 1

f′(x) = 9√x − 18: f′(1) = −9 , f′(4) = 0, ומשם חיובית וגדלה (כמו גרף של שורש).

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ד (2) – השטח

בין x = 1 ל־x = 4 הנגזרת שלילית – השטח מתחת לציר. הפונקצייה הקדומה של f′ היא f:

S = −∫41 f′(x) dx = −[f(4) − f(1)]📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)

f(1) = 6 · (1 − 3) = −12

S = −[−24 − (−12)] = 12

✅ פתרון סופי: S = 12 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x ≥ 0
סעיף ב (1)	m = 3
סעיף ב (2)	(0 , 0) , (9 , 0)
סעיף ב (3)	מינימום y = −24
סעיף ד (2)	S = 12

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = (x − 1) · √2x + 10.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.

ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

בסוף השאלה מופיעים שני גרפים, I–II. אחד מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x), והגרף האחר מתאר את הפונקצייה g(x) = −f′(x).

ה. קבעו איזה מן הגרפים I–II מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). נמקו את קביעתכם.

ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי הישר x = 3 ועל ידי ציר ה־x.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

2x + 10 ≥ 0 → x ≥ −5📐 תחום הגדרה של שורשהביטוי בתוך השורש ≥ 0

✅ פתרון סופי: x ≥ −5

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

(x − 1) · √2x + 10 = 0📐 מכפלה שווה לאפסA · B = 0 ⟺ A = 0 או B = 0

x − 1 = 0 → x = 1 ; √2x + 10 = 0 → x = −5

f(0) = (0 − 1) · √10 = −√10 ≈ −3.162

✅ פתרון סופי: ציר ה־x: (1 , 0) , (−5 , 0)

✅ פתרון סופי: ציר ה־y: (0 , −√10)

סעיף ג – נקודות קיצון

(√2x + 10)′ = 22√2x + 10 = 1√2x + 10📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

f′(x) = 1 · √2x + 10 + (x − 1) · 1√2x + 10📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′

מכנה משותף √2x + 10:

f′(x) = 2x + 10 + x − 1√2x + 10 = 3x + 9√2x + 10

3x + 9 = 0 → x = −3📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

f(−3) = (−4) · √4 = −8

f′(−4) = −3√2 < 0 ← יורדת ; f′(0) = 9√10 > 0 ← עולה

x	f′(x)	f(x)
−5	קצה התחום	מקסימום קצה
−5 < x < −3	−	↘ יורדת
−3	0	מינימום
x > −3	+	↗ עולה

בקצה x = −5: f(−5) = 0, ומשם הפונקצייה יורדת – מקסימום קצה.

✅ פתרון סופי: מינימום (−3 , −8)

✅ פתרון סופי: מקסימום קצה (−5 , 0)

סעיף ד – סקיצה

הגרף מתחיל ב־(−5 , 0), יורד עד המינימום (−3 , −8), עולה דרך (0 , −√10) וחוצה את ציר ה־x ב־(1 , 0), וממשיך לעלות.

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ה – איזה גרף מתאר את f′(x)

מסעיף ג: f′ < 0 כש־−5 < x < −3 ו־f′ > 0 כש־x > −3. בנוסף, ליד x = −5 המכנה √2x + 10 שואף ל־0 והמונה שלילי – f′ שואפת למינוס אינסוף.📐 קשר בין פונקציה לנגזרתf′ < 0 ← יורדת ; f′ > 0 ← עולה

בגרף I הגרף מתחיל למטה ליד הישר המקווקו, עולה, חוצה את ציר ה־x וממשיך מעליו – מתאים. גרף II הוא השיקוף שלו (−f′): מתחיל למעלה ונגמר מתחת לציר.

✅ פתרון סופי: גרף I

סעיף ו – השטח

בין x = −3 (החיתוך של f′ עם הציר) ל־x = 3 הנגזרת חיובית, והתחום סגור. הפונקצייה הקדומה של f′ היא f:

S = ∫3−3 f′(x) dx = f(3) − f(−3)📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)

f(3) = 2 · √16 = 8

S = 8 − (−8) = 16

✅ פתרון סופי: S = 16 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x ≥ −5
סעיף ב	(1 , 0) , (−5 , 0) , (0 , −√10)
סעיף ג	מינ׳ (−3 , −8) , מקס׳ קצה (−5 , 0)
סעיף ה	גרף I
סעיף ו	S = 16

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד א', שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 1 + 12x − √2x + b, b הוא פרמטר. ידוע כי גרף הפונקציה f(x) חותך את ציר ה־x בנקודה (8 , 0) בלבד.

א. מצאו את b.

הציבו b = 9 וענו על הסעיפים ב–ד.

ב. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ג. (1) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן. (2) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה־y. (3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ד. אחד מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – הפרמטר b

מציבים את הנקודה (8 , 0):

0 = 1 + 4 − √16 + b

√16 + b = 5

מעלים בריבוע:

16 + b = 25 ⟸ b = 9

✅ פתרון סופי: b = 9

סעיף ב – תחום הגדרה

2x + 9 ≥ 0 ⟸ x ≥ −4.5📐 תחום הגדרה של שורשמה שבתוך השורש ≥ 0

✅ פתרון סופי: x ≥ −4.5

סעיף ג – קיצון, חיתוך וסקיצה

(1)

(√2x + 9)′ = 22√2x + 9 = 1√2x + 9📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

f′(x) = 12 − 1√2x + 9

12 = 1√2x + 9 ⟸ √2x + 9 = 2📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

2x + 9 = 4 ⟸ x = −2.5

f(−2.5) = 1 − 1.25 − √4 = −2.25

הצבות: f′(−4) = 12 − 1 < 0 , f′(0) = 12 − 13 > 0:

x	−4.5	−4.5 < x < −2.5	−2.5	x > −2.5
f′	✕	−	0	+
f	מקס׳ קצה	↘	מינ׳	↗

קצה התחום: f(−4.5) = 1 − 2.25 − 0 = −1.25 – לפני הירידה, מקסימום (קצה).

(2) f(0) = 1 + 0 − √9 = −2 ← (0 , −2).

(3) מתחילה ב־(−4.5 , −1.25), יורדת למינימום (−2.5 , −2.25), עולה דרך (0 , −2) ו־(8 , 0):

✅ פתרון סופי: (1) מינימום (−2.5 , −2.25) , מקסימום קצה (−4.5 , −1.25) (2) (0 , −2)

סעיף ד – איזה גרף הוא f′(x)

תחום f′: x > −4.5 (בקצה המכנה מתאפס). כש־x → −4.5, 1√2x + 9 → +∞ ולכן f′ → −∞ – אסימפטוטה אנכית משמאל.

f′ שלילית עד x = −2.5 (משמאל לציר ה־y), שם מתאפסת, ואחר כך חיובית ועולה לאט לכיוון 12.

גרף IV מתחיל מ־−∞ ליד אסימפטוטה משמאל, חותך את ציר ה־x משמאל לציר ה־y ומתקרב לקבוע – מתאים. בגרפים I ו־III האסימפטוטה מימין, ובגרף II הגרף יורד מ־+∞ – לא מתאימים.

✅ פתרון סופי: גרף IV

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	b = 9
סעיף ב	x ≥ −4.5
סעיף ג	מינ׳ (−2.5 , −2.25) , מקס׳ קצה (−4.5 , −1.25) ; (0 , −2)
סעיף ד	גרף IV

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2023, שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x² · √4x + 20.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = f(x) + c. c הוא פרמטר. נתון כי הישר y = 12 משיק לגרף הפונקציה g(x).

ה. מצאו את c (ציינו את שתי האפשרויות).

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

4x + 20 ≥ 0 ⟸ x ≥ −5📐 תחום הגדרה של שורשמה שבתוך השורש ≥ 0

✅ פתרון סופי: x ≥ −5

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y: f(0) = 0 ← (0 , 0).

ציר ה־x: x² = 0 ⟸ x = 0 או √4x + 20 = 0 ⟸ x = −5.

✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (−5 , 0)

סעיף ג – נקודות קיצון

נסמן u = 4x + 20, כלומר f(x) = x² · √u ו־u′ = 4:

(√u)′ = 42√u = 2√u📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

f′(x) = 2x · √u + 2x²√u📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′

מכנה משותף √u:

f′(x) = 2x · u + 2x²√u

מציבים u = 4x + 20 במונה:

2x(4x + 20) + 2x² = 8x² + 40x + 2x² = 10x² + 40x = 10x(x + 4)

f′(x) = 10x(x + 4)√4x + 20

10x(x + 4) = 0 ⟸ x = 0 או x = −4📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

f(−4) = 16 · √−16 + 20 = 16 · 2 = 32

הצבות: f′(−4.5) > 0 , f′(−1) < 0 , f′(1) > 0.

x	−5	−5 < x < −4	−4	−4 < x < 0	0	x > 0
f′	✕	+	0	−	0	+
f	מינ׳ קצה	↗	מקס׳	↘	מינ׳	↗

קצה התחום x = −5: f(−5) = 0, ואחריו הפונקציה עולה – מינימום (קצה).

✅ פתרון סופי: מקסימום (−4 , 32) , מינימום (0 , 0) , מינימום קצה (−5 , 0)

סעיף ד – סקיצה

מתחילה ב־(−5 , 0), עולה עד (−4 , 32), יורדת עד (0 , 0) ועולה בלי הגבלה:

✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ה – הפרמטר c

g(x) = f(x) + c היא הזזה של f ב־c למעלה או למטה. הישר האופקי y = 12 משיק בנקודת קיצון פנימית: x = −4 או x = 0:

ב־x = −4: 32 + c = 12 ⟸ c = −20

ב־x = 0: 0 + c = 12 ⟸ c = 12

✅ פתרון סופי: c = −20 או c = 12

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x ≥ −5
סעיף ב	(0 , 0) , (−5 , 0)
סעיף ג	מקס׳ (−4 , 32) , מינ׳ (0 , 0) , מינ׳ קצה (−5 , 0)
סעיף ה	c = −20 או c = 12

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = (x − 3) · √2x.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.

ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = −f(x).

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה g(x) במערכת הצירים שבה סרטטתם את גרף הפונקצייה f(x).

נסמן ב־S את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה f(x) ועל ידי ציר ה־x.

ו. הביעו באמצעות S את השטח המוגבל על ידי הגרפים של הפונקציות f(x) ו־g(x). נמקו.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

2x ≥ 0 → x ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורשהביטוי בתוך השורש ≥ 0

✅ פתרון סופי: x ≥ 0

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

(x − 3) · √2x = 0📐 מכפלה שווה לאפסA · B = 0 ⟺ A = 0 או B = 0

x = 3 או x = 0. ב־x = 0 גם f(0) = 0 – זו הנקודה על ציר ה־y.

✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (3 , 0)

סעיף ג – נקודות קיצון

(√2x)′ = 22√2x = 1√2x📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

f′(x) = 1 · √2x + (x − 3) · 1√2x📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′

מכנה משותף √2x:

f′(x) = 2x + x − 3√2x = 3x − 3√2x

3x − 3 = 0 → x = 1📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

f(1) = −2 · √2 ≈ −2.828

f′(0.5) = −1.51 < 0 ← יורדת ; f′(2) = 32 > 0 ← עולה

x	f′(x)	f(x)
0	קצה התחום	מקסימום קצה
0 < x < 1	−	↘ יורדת
1	0	מינימום
x > 1	+	↗ עולה

✅ פתרון סופי: מינימום (1 , −2√2)

✅ פתרון סופי: מקסימום קצה (0 , 0)

סעיף ד + ה – סקיצה של f ושל g

f: יוצא מ־(0 , 0), יורד למינימום (1 , −2.83), עולה וחוצה את ציר ה־x ב־(3 , 0).

g = −f: השיקוף של f ביחס לציר ה־x – מקסימום ב־(1 , 2.83), ואותן נקודות חיתוך.📐 שיקוף−f(x) ← שיקוף ביחס לציר ה־x

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה (שני הגרפים)

סעיף ו – השטח בין f ל־g

הגרפים נפגשים כש־f = −f, כלומר f = 0: ב־x = 0 וב־x = 3.

בין 0 ל־3 f מתחת לציר ו־g מעליו, במרחק שווה מהציר. לכן השטח שבין הגרפים בנוי משני חלקים שווים, כל אחד בשטח S: אחד מתחת לציר ואחד מעליו.📐 שיקוףשיקוף שומר על שטחים

✅ פתרון סופי: 2S

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x ≥ 0
סעיף ב	(0 , 0) , (3 , 0)
סעיף ג	מינ׳ (1 , −2√2) , מקס׳ קצה (0 , 0)
סעיף ו	2S

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד א', שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x − 2 · √x + a, a הוא פרמטר. גרף הפונקציה חותך את ציר ה־x בנקודה (6 , 0).

א. הראו כי a = 3.

ב. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ה. אחד מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את גרף פונקציית הנגזרת f′(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את הקביעה.

ו. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי הישר x = 1 ועל ידי ציר ה־x.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – a = 3

0 = 6 − 2√6 + a ⟸ √6 + a = 3

מעלים בריבוע:

6 + a = 9 ⟸ a = 3

✅ פתרון סופי: a = 3 ✓

סעיף ב – תחום הגדרה

x + 3 ≥ 0 ⟸ x ≥ −3📐 תחום הגדרה של שורשמה שבתוך השורש ≥ 0

✅ פתרון סופי: x ≥ −3

סעיף ג – נקודות קיצון

f′(x) = 1 − 2 · 12√x + 3 = 1 − 1√x + 3📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

1√x + 3 = 1 ⟸ √x + 3 = 1 ⟸ x = −2📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

f(−2) = −2 − 2 · 1 = −4

הצבות: f′(−2.75) = 1 − 2 < 0 , f′(1) = 1 − 12 > 0:

x	−3	−3 < x < −2	−2	x > −2
f′	✕	−	0	+
f	מקס׳ קצה	↘	מינ׳	↗

קצה התחום: f(−3) = −3 − 0 = −3 – לפני ירידה ← מקסימום (קצה).

✅ פתרון סופי: מינימום (−2 , −4) , מקסימום קצה (−3 , −3)

סעיף ד – סקיצה

מ־(−3 , −3) יורדת למינימום (−2 , −4), עולה דרך (0 , −3.46) ו־(6 , 0):

✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ה – איזה גרף הוא f′(x)

כש־x → −3 המכנה √x + 3 → 0 ולכן f′ → −∞ – אסימפטוטה אנכית משמאל לציר ה־y. f′ מתאפסת ב־x = −2 (משמאל לציר ה־y), חיובית אחר כך ומתקרבת ל־1.

גרף II מתאים: עולה מ־−∞ ליד אסימפטוטה משמאל, חותך את ציר ה־x משמאל לציר ה־y ומתקרב לקבוע.

✅ פתרון סופי: גרף II

סעיף ו – השטח

השטח בין x = −2 (שם f′ חותכת את ציר ה־x) ל־x = 1, שם f′ > 0:

S = ∫₋₂¹ f′(x) dx = f(1) − f(−2)📐 אינטגרל מסוים∫_a^b f′(x) dx = f(b) − f(a)

f(1) = 1 − 2√4 = −3

S = −3 − (−4) = 1

✅ פתרון סופי: S = 1

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	a = 3
סעיף ב	x ≥ −3
סעיף ג	מינ׳ (−2 , −4) , מקס׳ קצה (−3 , −3)
סעיף ה	גרף II
סעיף ו	1

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471 · קורס אינטגרלים 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022 (פברואר, נבצרים), שאלה 8

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x√a − x, a הוא פרמטר. בסרטוט שלפניך מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x).

א. (1) היעזר בגרף, ורשום את שיעור ה־x של נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה f(x). קבע את סוגה. (2) חשב את הערך של a.

הצב a = 3 וענה על הסעיפים הבאים:

ב. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים. (3) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) וקבע את סוגן. (4) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ג. נתונה הפונקציה g(x) = f(x + 3). מהו תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)? נמק.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א (1) – הקיצון מגרף הנגזרת

מהגרף: f′ חותכת את ציר ה־x ב־x = 2, חיובית משמאל ושלילית מימין ← הפונקציה עולה ואז יורדת.📐 קשר בין פונקציה לנגזרתf′ מ־+ ל־− ← מקסימום

✅ פתרון סופי: מקסימום ב־x = 2

סעיף א (2) – הערך של a

f′(x) = √a − x + x · −12√a − x = 2(a − x) − x2√a − x = 2a − 3x2√a − x📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′

f′(2) = 0 → 2a − 6 = 0 → a = 3

✅ פתרון סופי: a = 3

סעיף ב (1) – תחום הגדרה

3 − x ≥ 0 → x ≤ 3📐 תחום הגדרה של שורשהביטוי בתוך השורש ≥ 0

✅ פתרון סופי: x ≤ 3

סעיף ב (2) – חיתוך עם הצירים

x√3 − x = 0 → x = 0 או x = 3📐 מכפלה שווה לאפסA · B = 0 ⟺ A = 0 או B = 0

✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (3 , 0)

סעיף ב (3) – נקודות קיצון

f′(x) = 6 − 3x2√3 − x מתאפסת ב־x = 2: f(2) = 2 · √1 = 2.

f′(0) = 62√3 > 0 ; f′(2.5) = −1.52√0.5 < 0

x	f′(x)	f(x)
x < 2	+	↗ עולה
2	0	מקסימום
2 < x < 3	−	↘ יורדת
3	קצה התחום	מינימום קצה

✅ פתרון סופי: מקסימום (2 , 2)

✅ פתרון סופי: מינימום קצה (3 , 0)

סעיף ב (4) – סקיצה

הגרף עולה ממינוס אינסוף (משמאל), עובר בראשית, מגיע למקסימום (2 , 2), ויורד עד קצה התחום (3 , 0).

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ג – תחום ההגדרה של g(x)

g(x) = f(x + 3) – הגרף של f מוזז 3 יחידות שמאלה. תנאי ההגדרה: x + 3 ≤ 3 → x ≤ 0.📐 הזזה אופקיתf(x + c) ← הזזה של c שמאלה

✅ פתרון סופי: x ≤ 0

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	x = 2 מקסימום , a = 3
סעיף ב (1)	x ≤ 3
סעיף ב (2)	(0 , 0) , (3 , 0)
סעיף ב (3)	מקס׳ (2 , 2) , מינ׳ קצה (3 , 0)
סעיף ג	x ≤ 0

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 (פברואר, נבצרים)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022 (ינואר), שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x · √x + 18.

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

ג. מצא את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן.

ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = −2 · f(x).

ה. (1) מצא את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה g(x), וקבע את סוגן. (2) נסמן ב־A ו־B את נקודות הקיצון הפנימיות של הפונקציות f(x) ו־g(x) בהתאמה. הנקודה O היא ראשית הצירים. חשב את שטח המשולש ABO.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

x + 18 ≥ 0 ⟸ x ≥ −18📐 תחום הגדרה של שורשמה שבתוך השורש ≥ 0

✅ פתרון סופי: x ≥ −18

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y: f(0) = 0 ← (0 , 0). ציר ה־x: x = 0 או √x + 18 = 0 ⟸ x = −18.

✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (−18 , 0)

סעיף ג – נקודות קיצון

נסמן u = x + 18 (u′ = 1):

(√u)′ = 12√u📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

f′(x) = 1 · √u + x · 12√u📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′

מכנה משותף 2√u:

f′(x) = 2u + x2√u = 2x + 36 + x2√u = 3x + 362√x + 18

3x + 36 = 0 ⟸ x = −12📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

f(−12) = −12 · √6 ≈ −29.39

הצבות: f′(−17) < 0 , f′(0) > 0:

x	−18	−18 < x < −12	−12	x > −12
f′	✕	−	0	+
f	מקס׳ קצה	↘	מינ׳	↗

קצה התחום: f(−18) = 0, ואחריו ירידה ← מקסימום (קצה).

✅ פתרון סופי: מינימום (−12 , −12√6) , מקסימום קצה (−18 , 0)

סעיף ד – סקיצה

מ־(−18 , 0) יורדת למינימום (−12 , −29.39) ועולה דרך הראשית:

✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ה – g(x) ושטח המשולש

(1) g = −2f: שיקוף סביב ציר ה־x ומתיחה פי 2. מינימום הופך למקסימום ולהפך:

g(−12) = −2 · (−12√6) = 24√6 ≈ 58.79 ← מקסימום

g(−18) = 0 ← מינימום (קצה)

(2) A(−12 , −12√6) , B(−12 , 24√6). הצלע AB אנכית (על הישר x = −12):

AB = 24√6 + 12√6 = 36√6

הגובה מ־O אל הישר x = −12 הוא 12:

S = 36√6 · 122 = 216√6 ≈ 529.1📐 שטח משולשS = צלע · גובה2

✅ פתרון סופי: (1) מקסימום (−12 , 24√6) , מינימום קצה (−18 , 0) (2) 216√6 ≈ 529.1

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x ≥ −18
סעיף ב	(0 , 0) , (−18 , 0)
סעיף ג	מינ׳ (−12 , −12√6) , מקס׳ קצה (−18 , 0)
סעיף ה	מקס׳ (−12 , 24√6) ; ≈ 529.1

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 (ינואר)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 7

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x) . פונקציית הנגזרת f′(x) מוגדרת בתחום −a < x < a , a הוא פרמטר.

א. קבעו על פי הגרף כמה נקודות קיצון פנימיות יש לפונקציה f(x) . נמקו את קביעתכם.

נתון: f(x) = 4x · √−x² + 18 .

ב. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) .

ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן.

ד. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x .

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x) , על ידי ציר ה־x , על ידי ציר ה־y ועל ידי הישר x = 4 .

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – נקודות קיצון לפי גרף הנגזרת

בנקודת קיצון פנימית הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן.

בגרף של f′(x) רואים שהגרף חותך את ציר ה־x בשתי נקודות, ובכל אחת מהן עובר מצד אחד של הציר לצד השני (הנגזרת מחליפה סימן).

2 נקודות חיתוך עם החלפת סימן

📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0 והנגזרת מחליפה סימן

✅ פתרון סופי: 2 נקודות קיצון פנימיות

סעיף ב – תחום הגדרה

מה שבתוך השורש חייב להיות גדול מ־0 או שווה ל־0:

−x² + 18 ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורשמה שבתוך השורש ≥ 0

18 ≥ x²

x² ≤ 18

−√18 ≤ x ≤ √18

√18 = √9 · 2 = 3√2📐 פירוק שורש√a · b = √a · √b

✅ פתרון סופי: −3√2 ≤ x ≤ 3√2

סעיף ג – נקודות קיצון

גוזרים לפי נגזרת של מכפלה:

u = 4x , u′ = 4

v = √−x² + 18 , v′ = −2x2√−x² + 18 = −x√−x² + 18📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

f′(x) = 4 · √−x² + 18 + 4x · −x√−x² + 18📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′

f′(x) = 4√−x² + 18 − 4x²√−x² + 18

מכנה משותף √−x² + 18:

f′(x) = 4(−x² + 18) − 4x²√−x² + 18

f′(x) = −4x² + 72 − 4x²√−x² + 18

f′(x) = 72 − 8x²√−x² + 18

משווים את הנגזרת ל־0 (מספיק שהמונה יהיה 0):

72 − 8x² = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

8x² = 72

x² = 9

x = 3 או x = −3

שני הערכים בתחום ההגדרה. מציבים בפונקציה:

f(3) = 4 · 3 · √−9 + 18 = 12 · √9 = 12 · 3 = 36

f(−3) = 4 · (−3) · √9 = −12 · 3 = −36

גם קצות התחום הם נקודות קיצון. מציבים אותם:

f(3√2) = 4 · 3√2 · √−18 + 18 = 0

f(−3√2) = 0

קובעים את הסוג בטבלה. המכנה חיובי, הסימן לפי המונה 72 − 8x²:

f′(−4) → 72 − 128 < 0

f′(0) → 72 > 0

f′(4) → 72 − 128 < 0

x	f′(x)	f(x)
x = −3√2		קצה התחום: מקסימום
−3√2 < x < −3	−	↘ יורדת
−3	0	מינימום
−3 < x < 3	+	↗ עולה
3	0	מקסימום
3 < x < 3√2	−	↘ יורדת
x = 3√2		קצה התחום: מינימום

✅ פתרון סופי: (3 , 36) מקסימום

✅ פתרון סופי: (−3 , −36) מינימום

✅ פתרון סופי: (3√2 , 0) מינימום (קצה)

✅ פתרון סופי: (−3√2 , 0) מקסימום (קצה)

סעיף ד – חיתוך עם ציר ה־x

4x · √−x² + 18 = 0📐 חיתוך עם ציר ה־xy = 0

מכפלה שווה ל־0 כשאחד הגורמים שווה ל־0:

4x = 0 → x = 0

√−x² + 18 = 0 → x² = 18 → x = ±3√2

✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (3√2 , 0) , (−3√2 , 0)

סעיף ה – סקיצה

מסמנים את קצות התחום (±3√2 , 0), את ראשית הצירים, את המקסימום (3 , 36) ואת המינימום (−3 , −36). הגרף (בכחול) יורד מ־(−3√2 , 0) עד המינימום, עולה עד המקסימום, ויורד שוב עד (3√2 , 0).

סעיף ו – שטח מתחת לגרף הנגזרת

בין x = 0 ל־x = 3 הנגזרת חיובית (הגרף שלה מעל הציר), ובין x = 3 ל־x = 4 הנגזרת שלילית (מתחת לציר). לכן מחלקים לשני שטחים.

הפונקציה הקדומה של f′(x) היא f(x) עצמה:

S₁ = ∫₀³ f′(x) dx = f(3) − f(0)📐 אינטגרל של נגזרת∫_a^b f′(x) dx = f(b) − f(a)

S₁ = 36 − 0 = 36

f(4) = 16 · √−16 + 18 = 16√2

S₂ = −∫₃⁴ f′(x) dx = −( f(4) − f(3) )📐 שטח מתחת לציר ה־xS = −∫_a^b g(x) dx

S₂ = −( 16√2 − 36 ) = 36 − 16√2

S = S₁ + S₂ = 36 + 36 − 16√2 = 72 − 16√2 ≈ 49.37

✅ פתרון סופי: S = 72 − 16√2 ≈ 49.37 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	2 נקודות קיצון פנימיות
סעיף ב	−3√2 ≤ x ≤ 3√2
סעיף ג	(3 , 36) מקס׳ , (−3 , −36) מינ׳ , (−3√2 , 0) מקס׳ , (3√2 , 0) מינ׳
סעיף ד	(0 , 0) , (±3√2 , 0)
סעיף ו	72 − 16√2 ≈ 49.37

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471 · קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2023 מועד מיוחד). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – חורף 2022 (מועד נבצרים), שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 2x · √x + a, a הוא פרמטר.

א. הבע באמצעות a את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

הנקודה (4 , 20) נמצאת על גרף הפונקציה f(x).

ב. מצא את a.

הצב a = 2.25 בפונקציה f(x), וענה על הסעיפים ג–ה.

ג. (1) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים. (2) מצא את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן. (3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ד. אחד מן הגרפים I–III שבסוף השאלה מתאר את גרף פונקציית הנגזרת f′(x). קבע איזה מהם, ונמק את קביעתך.

ה. מצא את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x) ועל ידי הצירים.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

מה שבתוך השורש חייב להיות גדול או שווה ל־0:

x + a ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורשהביטוי שבתוך השורש ≥ 0

x ≥ −a

✅ פתרון סופי: x ≥ −a

סעיף ב – מציאת a

מציבים את הנקודה (4 , 20) בפונקציה:

2 · 4 · √4 + a = 20📐 נקודה על גרףמציבים x ו־y של הנקודה בפונקציה

8√4 + a = 20

√4 + a = 2.5

מעלים בריבוע:

4 + a = 6.25

a = 2.25

✅ פתרון סופי: a = 2.25

סעיף ג (1) – נקודות חיתוך עם הצירים

עם a = 2.25: f(x) = 2x · √x + 2.25, התחום x ≥ −2.25.

עם ציר ה־y:

f(0) = 0 · √2.25 = 0📐 חיתוך עם ציר ה־yx = 0

עם ציר ה־x – מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים 0:

2x · √x + 2.25 = 0📐 חיתוך עם ציר ה־xy = 0

2x = 0 → x = 0

√x + 2.25 = 0 → x = −2.25

✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (−2.25 , 0)

סעיף ג (2) – נקודות קיצון

גוזרים לפי נגזרת של מכפלה:

u = 2x , u′ = 2

v = √x + 2.25 , v′ = 12√x + 2.25📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

f′(x) = 2√x + 2.25 + 2x · 12√x + 2.25📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′

= 2√x + 2.25 + x√x + 2.25

מכנה משותף √x + 2.25:

= 2(x + 2.25) + x√x + 2.25 = 3x + 4.5√x + 2.25

משווים ל־0 (המונה):

3x + 4.5 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

x = −1.5

f(−1.5) = 2 · (−1.5) · √0.75 = −3 · √32 = −1.5√3 ≈ −2.6

המכנה חיובי, הסימן לפי 3x + 4.5. מוסיפים גם את קצה התחום x = −2.25:

x	f′(x)	f(x)
−2.25	קצה	מקסימום (קצה)
−2.25 < x < −1.5	−	↘ יורדת
−1.5	0	מינימום
x > −1.5	+	↗ עולה

בקצה התחום f(−2.25) = 0, ומשם הפונקציה יורדת – ולכן זו נקודת מקסימום (קצה).

✅ פתרון סופי: (−1.5 , −1.5√3) ≈ (−1.5 , −2.6) מינימום

✅ פתרון סופי: (−2.25 , 0) מקסימום (קצה)

סעיף ג (3) – סקיצה

הגרף מתחיל בנקודה (−2.25 , 0), יורד עד המינימום (−1.5 , −2.6), ואז עולה דרך (0 , 0) בלי הגבלה.

גרף הפונקציה (בכחול):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ד – איזה גרף מתאר את f′(x)

מטבלת הסימנים: בתחום −2.25 < x < −1.5 הנגזרת שלילית, וב־x > −1.5 חיובית – הגרף חותך את ציר ה־x פעם אחת, משמאל לציר ה־y, מלמטה למעלה. זה פוסל את III (שבו הגרף יורד ועובר מחיובי לשלילי).

f′(x) < 0 ⟸ יורדת , f′(x) > 0 ⟸ עולה📐 הקשר בין הנגזרת לפונקציהפונקציה עולה ← נגזרת חיוביתפונקציה יורדת ← נגזרת שלילית

ליד קצה התחום x = −2.25 המכנה √x + 2.25 שואף ל־0 והמונה שואף ל־3 · (−2.25) + 4.5 = −2.25, כלומר שלילי:

f′(x) → −2.250⁺ → −∞

בגרף II הגרף מתחיל בנקודה סופית ליד ציר ה־x (ואין ירידה ל־−∞), ובגרף I הגרף יורד ל־−∞ בקצה השמאלי – מתאים. בדיקה נוספת: f′(0) = 4.51.5 = 3 > 0 – בגרף I הגרף חותך את ציר ה־y מעל ציר ה־x.

✅ פתרון סופי: גרף I

סעיף ה – שטח בין גרף הנגזרת לצירים

הגרף של f′(x) חותך את ציר ה־x ב־x = −1.5 ואת ציר ה־y ב־x = 0. בתחום הזה f′(x) > 0, כלומר הגרף מעל ציר ה־x:

S = ∫_−1.5⁰ f′(x) dx📐 שטח מעל ציר ה־xS = ∫ (הפונקציה העליונה − התחתונה) dx

הפונקציה הקדומה של f′(x) היא f(x):

S = f(0) − f(−1.5)📐 אינטגרל מסוים∫_a^b g′(x) dx = g(b) − g(a)

= 0 − (−1.5√3) = 1.5√3

≈ 2.598

✅ פתרון סופי: 1.5√3 ≈ 2.598

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x ≥ −a
סעיף ב	a = 2.25
סעיף ג (1)	(0 , 0) , (−2.25 , 0)
סעיף ג (2)	(−1.5 , −1.5√3) מינימום, (−2.25 , 0) מקסימום (קצה)
סעיף ג (3)	סקיצה
סעיף ד	I
סעיף ה	1.5√3 ≈ 2.598

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, חורף 2022 (מועד נבצרים)). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2021 מועד ב', שאלה 7

📄 נוסח השאלה

f(x) היא פונקציה שגרף פונקציית הנגזרת שלה f′(x) מתואר בסרטוט שלפניך.

הגרף חותך את ציר ה־x בראשית הצירים ובנקודה שבה x = a בלבד. a הוא פרמטר חיובי.

א. מצא את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון הפנימיות של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן על פי הגרף (אם יש צורך, הבע באמצעות a). נמק את תשובתך.

נתון: f(x) = x² · √5 − x .

ב. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ג. מצא את a.

ד. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x.

ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = −3f(x) .

ו. מצא את המשוואות של המשיקים לגרף הפונקציה g(x) שהשיפוע שלהם הוא 0.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – נקודות הקיצון לפי גרף הנגזרת

קוראים מהגרף את הסימן של f′(x): מתחת לציר ה־x – שלילית, מעל הציר – חיובית.

כשהנגזרת חיובית הפונקציה עולה, וכשהנגזרת שלילית הפונקציה יורדת.📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדת

x	f′(x)	f(x)
x < 0	−	↘ יורדת
0	0	מינימום
0 < x < a	+	↗ עולה
a	0	מקסימום
x > a	−	↘ יורדת

ב־x = 0 הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן ממינוס לפלוס – מינימום. ב־x = a היא מתאפסת ומחליפה סימן מפלוס למינוס – מקסימום.

✅ פתרון סופי: x = 0 מינימום

✅ פתרון סופי: x = a מקסימום

סעיף ב – תחום הגדרה

מה שבתוך השורש חייב להיות גדול או שווה ל־0:

5 − x ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורש√g(x) → g(x) ≥ 0

5 ≥ x

✅ פתרון סופי: x ≤ 5

סעיף ג – הערך של a

גוזרים לפי נגזרת של מכפלה:

u = x² , u′ = 2x

v = √5 − x , v′ = −12√5 − x📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

f′(x) = 2x · √5 − x + x² · −12√5 − x📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′

מכנה משותף 2√5 − x (כופלים את המחובר הראשון ב־2√5 − x2√5 − x):

f′(x) = 2x · 2(5 − x) − x²2√5 − x📐 מכנה משותף√b · √b = b

= 20x − 4x² − x²2√5 − x = 20x − 5x²2√5 − x

משווים ל־0 (מספיק שהמונה יהיה 0):

20x − 5x² = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

5x(4 − x) = 0📐 מכפלה שווה 0a · b = 0 → a = 0או b = 0

x = 0 או x = 4

הנגזרת מתאפסת בראשית ובנקודה x = a, ו־a חיובי. לכן:

✅ פתרון סופי: a = 4

סעיף ד – חיתוך עם ציר ה־x

x² · √5 − x = 0📐 חיתוך עם ציר ה־xy = 0

x² = 0 או √5 − x = 0📐 מכפלה שווה 0a · b = 0 → a = 0או b = 0

x = 0 או 5 − x = 0 → x = 5

שני הערכים בתחום ההגדרה.

✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (5 , 0)

סעיף ה – סקיצה

מוצאים את ה־y של נקודת המקסימום x = 4:

f(4) = 4² · √5 − 4 = 16 · 1 = 16📐 נקודה על גרףy = f(x)

נקודה נוספת משמאל: f(−1) = 1 · √6 ≈ 2.45

מה שידוע:

• תחום ההגדרה x ≤ 5.

• מינימום (0 , 0), מקסימום (4 , 16).

• הגרף מסתיים בנקודת הקצה (5 , 0) (מינימום קצה).

• משמאל לראשית הגרף יורד, בין 0 ל־4 הוא עולה, ומ־4 עד 5 יורד.

הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ו – משיקים ששיפועם 0 לגרף g(x)

גוזרים את g(x) = −3f(x):

g′(x) = −3f′(x)📐 נגזרת של כפל בקבוע(k · f(x))′ = k · f′(x)

שיפוע המשיק הוא הנגזרת. משווים ל־0:

−3f′(x) = 0📐 שיפוע משיקm = g′(x)

f′(x) = 0

ומסעיף ג: x = 0 או x = 4.

מוצאים את נקודות ההשקה:

g(0) = −3 · f(0) = −3 · 0 = 0

g(4) = −3 · f(4) = −3 · 16 = −48

משיק ששיפועו 0 הוא ישר מקביל לציר ה־x:

y = 0 , y = −48📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)כש־m = 0: y = y₁

✅ פתרון סופי: y = 0 , y = −48

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x = 0 מינימום x = a מקסימום
סעיף ב	x ≤ 5
סעיף ג	a = 4
סעיף ד	(0 , 0) , (5 , 0)
סעיף ה	הסקיצה למעלה
סעיף ו	y = 0 , y = −48

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2021 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = −5 + √x² − 10x + 16.

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

ג. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים. (בתשובתך תוכל להשאיר 2 ספרות אחרי הנקודה העשרונית).

ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ה. אחד מבין הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). קבע איזה מהם, ונמק את קביעתך.

ו. מצא את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי הישר x = −4 ועל ידי הצירים. תוכל להשאיר שורש בתשובתך.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

מה שבתוך השורש חייב להיות גדול או שווה ל־0:

x² − 10x + 16 ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורשהביטוי שבתוך השורש ≥ 0

מוצאים את השורשים של הביטוי:

(x − 2)(x − 8) = 0📐 טרינוםx² + bx + c = (x + p)(x + q)p · q = c , p + q = b

x = 2 , x = 8

הפרבולה y = x² − 10x + 16 "מחייכת" (המקדם של x² חיובי), ולכן היא חיובית או 0 מחוץ לשורשים:

✅ פתרון סופי: x ≤ 2 או x ≥ 8

סעיף ב – תחומי עלייה וירידה

גוזרים לפי נגזרת של שורש (המספר −5 נגזר ל־0):

f′(x) = 2x − 102√x² − 10x + 16 = x − 5√x² − 10x + 16📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

בתוך התחום (x < 2 או x > 8) המכנה חיובי, ולכן הסימן של f′(x) לפי x − 5. השוואה ל־0: x − 5 = 0 נותן x = 5, שאינו בתחום.

x	f′(x)	f(x)
x < 2	−	↘ יורדת
x > 8	+	↗ עולה

לדוגמה: f′(0) = −5√16 = −54 < 0 , f′(10) = 5√36 = 56 > 0.

✅ פתרון סופי: עלייה: x > 8

✅ פתרון סופי: ירידה: x < 2

סעיף ג – נקודות חיתוך עם הצירים

עם ציר ה־y – מציבים x = 0 (נמצא בתחום):

f(0) = −5 + √16 = −5 + 4 = −1📐 חיתוך עם ציר ה־yx = 0

עם ציר ה־x – פותרים f(x) = 0:

−5 + √x² − 10x + 16 = 0📐 חיתוך עם ציר ה־xy = 0

√x² − 10x + 16 = 5

מעלים בריבוע את שני האגפים:

x² − 10x + 16 = 25

x² − 10x − 9 = 0

x₁ ≈ 10.83 x₂ ≈ −0.83📐 נוסחת השורשים במחשבוןMODE 5 3

שני הפתרונות בתחום (10.83 ≥ 8 , −0.83 ≤ 2).

בדיקה: f(10.83) ≈ −5 + √25.0 ≈ 0 ✓

✅ פתרון סופי: (0 , −1)

✅ פתרון סופי: (10.83 , 0) , (−0.83 , 0)

סעיף ד – סקיצה

מסמנים את קצוות התחום: f(2) = −5 + √4 − 20 + 16 = −5 ו־f(8) = −5 + √64 − 80 + 16 = −5, כלומר הנקודות (2 , −5) ו־(8 , −5).

משמאל ל־x = 2 הגרף יורד עד (2 , −5) (וחותך את הצירים ב־(−0.83 , 0) וב־(0 , −1)). מימין ל־x = 8 הגרף עולה מ־(8 , −5) (וחותך את ציר ה־x ב־(10.83 , 0)). בין 2 ל־8 אין גרף.

גרף הפונקציה (בכחול):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ה – איזה גרף מתאר את f′(x)

מ־ב: בתחום x < 2 הפונקציה יורדת, ולכן f′(x) < 0 – גרף הנגזרת מתחת לציר ה־x. בתחום x > 8 הפונקציה עולה, ולכן f′(x) > 0 – גרף הנגזרת מעל ציר ה־x.

• בגרפים I ו־IV החלק השמאלי נמצא מעל ציר ה־x – לא מתאים.

• בגרף II החלק השמאלי נגמר משמאל לציר ה־y (אבל התחום השמאלי מגיע עד x = 2, מימין לציר ה־y), והחלק הימני יורד אל מתחת לציר ה־x – לא מתאים.

• בגרף III החלק השמאלי מתחת לציר ה־x ונגמר מימין לציר ה־y, והחלק הימני כולו מעל ציר ה־x – מתאים.

✅ פתרון סופי: גרף III

סעיף ו – שטח מתחת לגרף הנגזרת

השטח הוא בין x = −4 ל־x = 0 (ציר ה־y). שם f′(x) < 0 (מ־ה), כלומר הגרף מתחת לציר ה־x. לכן מחסרים: ציר ה־x פחות הגרף:

S = ∫₋₄⁰ (0 − f′(x)) dx📐 שטח מתחת לציר ה־xS = ∫ (הפונקציה העליונה − התחתונה) dx

הפונקציה הקדומה של f′(x) היא f(x) עצמה:

S = −[f(x)]₋₄⁰ = −(f(0) − f(−4)) = f(−4) − f(0)📐 אינטגרל מסוים∫_a^b g′(x) dx = g(b) − g(a)

f(−4) = −5 + √16 + 40 + 16 = −5 + √72 = −5 + 6√2

f(0) = −1

S = −5 + 6√2 − (−1) = 6√2 − 4

≈ 4.485

✅ פתרון סופי: 6√2 − 4 ≈ 4.485

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x ≤ 2 או x ≥ 8
סעיף ב	עלייה: x > 8 , ירידה: x < 2
סעיף ג	(0 , −1) , (10.83 , 0) , (−0.83 , 0)
סעיף ד	סקיצה
סעיף ה	III
סעיף ו	6√2 − 4 ≈ 4.485

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2021 מועד מיוחד). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – חורף 2021 (מועד חורף מאוחר, אפריל), שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = ax√12 − x, a > 0 הוא פרמטר.

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

ג. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן. הבע באמצעות a במידת הצורך.

ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = f(x) − 32. ידוע כי גרף הפונקציה g(x) משיק לציר ה־x.

ה. (1) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g(x). (2) מצא את הערך של a.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

מה שבתוך השורש חייב להיות גדול או שווה ל־0:

12 − x ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורשהביטוי שבתוך השורש ≥ 0

x ≤ 12

✅ פתרון סופי: x ≤ 12

סעיף ב – נקודות חיתוך עם הצירים

f(0) = a · 0 · √12 = 0📐 חיתוך עם ציר ה־yx = 0

ax√12 − x = 0📐 חיתוך עם ציר ה־xy = 0

מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים 0 (a > 0):

x = 0

√12 − x = 0 → x = 12

✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (12 , 0)

סעיף ג – נקודות קיצון

גוזרים לפי נגזרת של מכפלה, u = ax , v = √12 − x:

f′(x) = a · √12 − x + ax · −12√12 − x📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′

= a√12 − x − ax2√12 − x📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

מכנה משותף 2√12 − x:

= 2a(12 − x) − ax2√12 − x

= 24a − 2ax − ax2√12 − x = a(24 − 3x)2√12 − x

a(24 − 3x)2√12 − x = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

24 − 3x = 0

x = 8

f(8) = a · 8 · √4 = 16a

גם קצה התחום x = 12 בודקים (שם f(12) = 0). טבלה (a > 0):

x	f′(x)	f(x)
x < 8	+	↗ עולה
8	0	מקסימום
8 < x < 12	−	↘ יורדת
12	—	מינימום (קצה)

לדוגמה: f′(0) = 24a2√12 > 0 , f′(11) = a(24 − 33)2 < 0.

✅ פתרון סופי: (8 , 16a) מקסימום

✅ פתרון סופי: (12 , 0) מינימום (קצה)

סעיף ד – סקיצה

הגרף מגיע מ־−∞ (כש־x שלילי גם f(x) שלילי), עובר בראשית, עולה עד המקסימום (8 , 16a) ויורד עד נקודת הקצה (12 , 0).

סקיצה (בכחול; הציור עבור a = 1):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ה (1) – סקיצה של g(x)

g(x) = f(x) − 32 – הזזה של גרף f(x) 32 יחידות למטה. הגרף משיק לציר ה־x, ולכן נקודת המקסימום של g(x) נמצאת בדיוק על ציר ה־x: (8 , 0). נקודת הקצה זזה ל־(12 , −32), והראשית ל־(0 , −32).

סקיצה של g(x) (בירוק):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ה (2) – הערך של a

ההזזה לא משנה את שיעור ה־x של המקסימום, רק מורידה את ה־y ב־32:

g(8) = f(8) − 32 = 16a − 32

המקסימום על ציר ה־x:

16a − 32 = 0📐 משיק לציר ה־xנקודת הקיצון נמצאת על ציר ה־x, כלומר y = 0

16a = 32

a = 2

✅ פתרון סופי: a = 2

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x ≤ 12
סעיף ב	(0 , 0) , (12 , 0)
סעיף ג	(8 , 16a) מקסימום (12 , 0) מינימום (קצה)
סעיף ד	סקיצה
סעיף ה (1)	סקיצה
סעיף ה (2)	a = 2

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, חורף 2021 (מועד חורף מאוחר, אפריל)). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – חורף 2021 (פברואר), שאלה 8

📄 נוסח השאלה

לפניך הגרפים I ו־II. לכל אחד משני הגרפים יש אסימפטוטות אנכיות שמשוואותיהן הן x = ±2.

א. הסתמך על הגרפים I ו־II, ובעבור כל אחד מהם מצא מה הם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה שאת הנגזרת שלה הוא מתאר.

נתונות שתי פונקציות: f(x) = √4 − x² , g(x) = √x² − 4. כל אחד מן הגרפים I ו־II מתאר את פונקציית הנגזרת של אחת מן הפונקציות האלה.

ב. (1) מצא את תחום ההגדרה של כל אחת מן הפונקציות f(x) ו־g(x). (2) התאם בין פונקציות הנגזרת f′(x) ו־g′(x) ובין הגרפים I ו־II. נמק.

ענה על סעיף ג בעבור כל אחת מן הפונקציות f(x) ו־g(x).

ג. (1) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. (2) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – עלייה וירידה לפי גרף הנגזרת

f′(x) > 0 ⟸ עולה , f′(x) < 0 ⟸ יורדת📐 הקשר בין הנגזרת לפונקציהנגזרת חיובית ← הפונקציה עולהנגזרת שלילית ← הפונקציה יורדת

גרף I – מוגדר רק משמאל ל־x = −2 ומימין ל־x = 2. משמאל הוא מתחת לציר ה־x (שלילי), ומימין מעליו (חיובי):

x < −2 : יורדת

x > 2 : עולה

גרף II – מוגדר בין x = −2 ל־x = 2, חיובי משמאל לראשית ושלילי מימינה:

−2 < x < 0 : עולה

0 < x < 2 : יורדת

✅ פתרון סופי: I: ירידה x < −2, עלייה x > 2

✅ פתרון סופי: II: עלייה −2 < x < 0, ירידה 0 < x < 2

סעיף ב (1) – תחומי הגדרה

4 − x² ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורשהביטוי שבתוך השורש ≥ 0

x² ≤ 4 → −2 ≤ x ≤ 2

x² − 4 ≥ 0

x² ≥ 4 → x ≤ −2 או x ≥ 2

✅ פתרון סופי: f : −2 ≤ x ≤ 2

✅ פתרון סופי: g : x ≤ −2 או x ≥ 2

סעיף ב (2) – התאמה

הנגזרת מוגדרת רק בתוך תחום ההגדרה של הפונקציה (בלי הקצוות, שם המכנה מתאפס):

f′(x) = −2x2√4 − x² = −x√4 − x²📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

g′(x) = 2x2√x² − 4 = x√x² − 4

• f′(x) מוגדרת רק ב־−2 < x < 2 – כמו גרף II. בנוסף f′(0) = 0, והגרף II עובר בראשית.

• g′(x) מוגדרת רק ב־x < −2 וב־x > 2 – כמו גרף I. בנוסף הסימן של g′(x) הוא הסימן של x: שלילי משמאל, חיובי מימין.

✅ פתרון סופי: f′(x) ← גרף II

✅ פתרון סופי: g′(x) ← גרף I

סעיף ג – נקודות חיתוך וסקיצות

f(x) = √4 − x²

f(0) = √4 = 2📐 חיתוך עם ציר ה־yx = 0

√4 − x² = 0 → x² = 4 → x = ±2📐 חיתוך עם ציר ה־xy = 0

לפי גרף II: עולה עד x = 0 ויורדת אחריו – קשת מ־(−2 , 0) דרך (0 , 2) עד (2 , 0).

סקיצה של f(x) (בכחול):

g(x) = √x² − 4

x = 0 לא בתחום ההגדרה, ולכן אין חיתוך עם ציר ה־y.

√x² − 4 = 0 → x² = 4 → x = ±2

לפי גרף I: משמאל יורדת עד (−2 , 0), ומימין עולה מ־(2 , 0).

סקיצה של g(x) (בירוק):

✅ פתרון סופי: f: (−2 , 0) , (2 , 0) , (0 , 2)

✅ פתרון סופי: g: (−2 , 0) , (2 , 0)

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	I: ירידה x < −2, עלייה x > 2 II: עלייה −2 < x < 0, ירידה 0 < x < 2
סעיף ב (1)	f : −2 ≤ x ≤ 2 g : x ≤ −2 , x ≥ 2
סעיף ב (2)	f′ ← II , g′ ← I
סעיף ג (1)	f: (±2 , 0) , (0 , 2) g: (±2 , 0)
סעיף ג (2)	סקיצות

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, חורף 2021 (פברואר)). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2020 מועד ב, שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = −2x · √−x² + 8.

א. (1) מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)? (2) מצא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־y. (3) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן.

ב. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ג. עבור אילו ערכי k הישר y = k חותך את גרף הפונקציה f(x) בדיוק בשתי נקודות?

ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה −f(x).

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א (1) – תחום הגדרה

−x² + 8 ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורשהביטוי שבתוך השורש ≥ 0

x² ≤ 8

−√8 ≤ x ≤ √8

✅ פתרון סופי: −√8 ≤ x ≤ √8

סעיף א (2) – חיתוך עם ציר ה־y

f(0) = 0 · √8 = 0📐 חיתוך עם ציר ה־yx = 0

✅ פתרון סופי: (0 , 0)

סעיף א (3) – נקודות קיצון

נגזרת של מכפלה, u = −2x , v = √−x² + 8:

f′(x) = −2√−x² + 8 + (−2x) · −2x2√−x² + 8📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′

= −2√−x² + 8 + 2x²√−x² + 8📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

מכנה משותף √−x² + 8:

= −2(−x² + 8) + 2x²√−x² + 8

= 4x² − 16√−x² + 8

4x² − 16√−x² + 8 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

x² = 4

x = 2 , x = −2

f(2) = −4 · √4 = −8

f(−2) = 4 · √4 = 8

גם קצות התחום: f(±√8) = 0. הסימן לפי 4x² − 16:

x	f′(x)	f(x)
−√8	—	מינימום (קצה)
−√8 < x < −2	+	↗ עולה
−2	0	מקסימום
−2 < x < 2	−	↘ יורדת
2	0	מינימום
2 < x < √8	+	↗ עולה
√8	—	מקסימום (קצה)

לדוגמה: f′(0) = −16√8 < 0 , f′(2.5) = 9√1.75 > 0.

✅ פתרון סופי: (−2 , 8) מקסימום , (2 , −8) מינימום

✅ פתרון סופי: (−√8 , 0) מינימום (קצה) , (√8 , 0) מקסימום (קצה)

סעיף ב – סקיצה

הגרף מתחיל ב־(−√8 , 0), עולה למקסימום (−2 , 8), יורד דרך הראשית עד המינימום (2 , −8) ועולה עד (√8 , 0).

גרף הפונקציה (בכחול):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ג – y = k בשתי נקודות

מעבירים ישרים אופקיים על הסקיצה. הגרף עובר את הערכים: 0 → 8 (עלייה), 8 → −8 (ירידה), −8 → 0 (עלייה).

• 0 < k < 8: חיתוך אחד בעלייה הראשונה ואחד בירידה – שתי נקודות.

• −8 < k < 0: חיתוך אחד בירידה ואחד בעלייה האחרונה – שתי נקודות.

• k = 0: שלוש נקודות (−√8 , 0) , (0 , 0) , (√8 , 0). k = ±8: נקודה אחת. |k| > 8: אין.

✅ פתרון סופי: 0 < k < 8 או −8 < k < 0

סעיף ד – סקיצה של −f(x)

−f(x) – שיקוף של גרף f(x) ביחס לציר ה־x. המקסימום (−2 , 8) הופך למינימום (−2 , −8), והמינימום (2 , −8) הופך למקסימום (2 , 8).

גרף −f(x) (בירוק):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א (1)	−√8 ≤ x ≤ √8
סעיף א (2)	(0 , 0)
סעיף א (3)	(−2 , 8) מקס׳ , (2 , −8) מינ׳ קצוות: (−√8 , 0) מינ׳ , (√8 , 0) מקס׳
סעיף ב	סקיצה
סעיף ג	0 < k < 8 או −8 < k < 0
סעיף ד	סקיצה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2020 מועד ב). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2020 מועד א, שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = √−2x⁴ + 16x² + 18 שתחום ההגדרה שלה הוא −3 ≤ x ≤ 3.

א. (1) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן. תוכל להשאיר שורש בתשובתך. (2) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

ב. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ג. כמה נקודות חיתוך יש לישר y = 5 עם גרף הפונקציה f(x)? נמק.

ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה −f(x).

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א (1) – נקודות קיצון

f′(x) = −8x³ + 32x2√−2x⁴ + 16x² + 18📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

= −4x³ + 16x√−2x⁴ + 16x² + 18

= −4x(x² − 4)√−2x⁴ + 16x² + 18

−4x(x² − 4) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

x = 0 , x = 2 , x = −2

f(0) = √18 = 3√2

f(±2) = √−32 + 64 + 18 = √50 = 5√2

קצות התחום:

f(±3) = √−162 + 144 + 18 = 0

סימן הנגזרת לפי המונה −4x(x² − 4) (המכנה חיובי):

x	f′(x)	f(x)
−3	—	מינימום (קצה)
−3 < x < −2	+	↗ עולה
−2	0	מקסימום
−2 < x < 0	−	↘ יורדת
0	0	מינימום
0 < x < 2	+	↗ עולה
2	0	מקסימום
2 < x < 3	−	↘ יורדת
3	—	מינימום (קצה)

לדוגמה: f′(−2.5): −4 · (−2.5) · 2.25 > 0 , f′(1): −4 · 1 · (−3) > 0.

✅ פתרון סופי: (±2 , 5√2) מקסימום

✅ פתרון סופי: (0 , 3√2) מינימום

✅ פתרון סופי: (±3 , 0) מינימום (קצה)

סעיף א (2) – עלייה וירידה

מהטבלה:

✅ פתרון סופי: עלייה: −3 < x < −2 , 0 < x < 2

✅ פתרון סופי: ירידה: −2 < x < 0 , 2 < x < 3

סעיף ב – סקיצה

הפונקציה זוגית, הגרף סימטרי לציר ה־y: מ־(−3 , 0) עולה למקסימום (−2 , 5√2), יורד למינימום (0 , 3√2), עולה ל־(2 , 5√2) ויורד ל־(3 , 0).

גרף הפונקציה (בכחול; בסגול הישר y = 5 של סעיף ג):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ג – חיתוך עם y = 5

משווים את 5 לערכי הקיצון:

3√2 ≈ 4.24 < 5 < 5√2 ≈ 7.07

בכל אחד מארבעת תחומי העלייה והירידה הפונקציה עוברת דרך הגובה 5 פעם אחת:

• −3 → −2: מ־0 עד 7.07 – חיתוך אחד. • −2 → 0: מ־7.07 עד 4.24 – חיתוך אחד.

• 0 → 2: מ־4.24 עד 7.07 – חיתוך אחד. • 2 → 3: מ־7.07 עד 0 – חיתוך אחד.

✅ פתרון סופי: 4 נקודות חיתוך

סעיף ד – סקיצה של −f(x)

−f(x) – שיקוף של גרף f(x) ביחס לציר ה־x: המקסימומים הופכים למינימומים (±2 , −5√2), והמינימום (0 , 3√2) הופך למקסימום (0 , −3√2).

גרף −f(x) (בירוק):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א (1)	(±2 , 5√2) מקס׳ (0 , 3√2) מינ׳ , (±3 , 0) מינ׳ קצה
סעיף א (2)	עלייה −3 < x < −2 , 0 < x < 2 ירידה −2 < x < 0 , 2 < x < 3
סעיף ב	סקיצה
סעיף ג	4
סעיף ד	סקיצה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2020 מועד א). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – חורף 2020, שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונות הפונקציות g(x) ו־h(x) המוגדרות בתחום x ≤ 2.5.

בגרפים I ו־II שלפניך מתוארים הגרפים של פונקציות הנגזרות g′(x) ו־h′(x).

א. על פי הגרפים I ו־II, קבע כמה נקודות קיצון פנימיות יש לפונקציה g(x) וכמה לפונקציה h(x). נמק את קביעותיך.

נתונה הפונקציה f(x) = 3 + x²√5 − 2x.

ב. מצא את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן.

ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

אחת מן הפונקציות g(x) ו־h(x) שבסעיף א היא הפונקציה f(x).

ד. קבע איזו מהן היא הפונקציה f(x). נמק את קביעתך.

ה. חשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x) ועל ידי ציר ה־x ברביע הראשון.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – נקודות קיצון לפי גרפי הנגזרות

f′(x) = 0 ומחליפה סימן📐 נקודת קיצון פנימיתהנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן

גרף I (g′(x)) חותך את ציר ה־x בשתי נקודות (בראשית ובערך ב־x = 2), ובכל אחת עובר מצד לצד – משלילי לחיובי ומחיובי לשלילי.

גרף II (h′(x)) חותך את ציר ה־x בנקודה אחת, ועובר בה מחיובי לשלילי.

✅ פתרון סופי: g(x): 2 נקודות קיצון פנימיות

✅ פתרון סופי: h(x): 1 נקודת קיצון פנימית

סעיף ב – נקודות קיצון של f(x)

תחום ההגדרה: 5 − 2x ≥ 0, כלומר x ≤ 2.5. גוזרים (מכפלה, u = x² , v = √5 − 2x):

f′(x) = 2x√5 − 2x + x² · −22√5 − 2x📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′

= 2x√5 − 2x − x²√5 − 2x📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

מכנה משותף:

= 2x(5 − 2x) − x²√5 − 2x

= 10x − 5x²√5 − 2x = 5x(2 − x)√5 − 2x

5x(2 − x) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

x = 0 , x = 2

f(0) = 3

f(2) = 3 + 4 · √1 = 7

קצה התחום:

f(2.5) = 3 + 6.25 · 0 = 3

x	f′(x)	f(x)
x < 0	−	↘ יורדת
0	0	מינימום
0 < x < 2	+	↗ עולה
2	0	מקסימום
2 < x < 2.5	−	↘ יורדת
2.5	—	מינימום (קצה)

לדוגמה: f′(−1): 5 · (−1) · 3 < 0 , f′(1): 5 · 1 · 1 > 0 , f′(2.2): 5 · 2.2 · (−0.2) < 0.

✅ פתרון סופי: (0 , 3) מינימום , (2 , 7) מקסימום

✅ פתרון סופי: (2.5 , 3) מינימום (קצה)

סעיף ג – סקיצה

משמאל הגרף יורד (מ־+∞) עד המינימום (0 , 3) (זו גם נקודת החיתוך עם ציר ה־y), עולה עד המקסימום (2 , 7) ויורד עד נקודת הקצה (2.5 , 3).

גרף הפונקציה (בכחול):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ד – g(x) או h(x)?

ל־f(x) יש שתי נקודות קיצון פנימיות (x = 0 ו־x = 2), והנגזרת שלה מתאפסת בראשית. כך בדיוק נראה גרף I של g′(x). לפונקציה h(x) יש רק נקודת קיצון פנימית אחת.

✅ פתרון סופי: f(x) = g(x)

סעיף ה – השטח

ברביע הראשון f′(x) ≥ 0 בין x = 0 ל־x = 2 (שתי נקודות החיתוך של גרף הנגזרת עם ציר ה־x). הפונקציה הקדומה של f′(x) היא f(x):

S = ∫₀² f′(x) dx📐 שטח מתחת לגרףS = ∫ (הפונקציה העליונה − התחתונה) dx

= [f(x)]₀²📐 פונקציה קדומה של נגזרת∫ f′(x) dx = f(x) + c

= f(2) − f(0) = 7 − 3 = 4

✅ פתרון סופי: 4 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	g: 2 , h: 1
סעיף ב	(0 , 3) מינ׳ , (2 , 7) מקס׳ (2.5 , 3) מינ׳ קצה
סעיף ג	סקיצה
סעיף ד	g(x)
סעיף ה	4

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, חורף 2020). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – חורף 2019, שאלה 6

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = −2 + √−x² + 5x .

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) .

ב. מה הם שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x ?

ג. מצא את השיעורים של כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן.

ד. מה הם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) ?

ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

נתונה הפונקציה g(x) = f(x) + c , שתחום הגדרתה הוא תחום ההגדרה של f(x) . c הוא פרמטר.

ו. מה הם כל ערכי c שבעבורם הפונקציה g(x) חיובית בכל תחום הגדרתה?

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום הגדרה

−x² + 5x ≥ 0 ← x(5 − x) ≥ 0📐 שורש ריבועיהביטוי בתוך השורש גדול או שווה ל־0

פרבולה "בוכה" עם שורשים 0 ו־5 – אי־שלילית ביניהם:

✅ פתרון סופי: 0 ≤ x ≤ 5

סעיף ב – חיתוך עם ציר ה־x

√−x² + 5x = 2

−x² + 5x = 4 ← x² − 5x + 4 = 0

(x − 1)(x − 4) = 0 ← x = 1 , x = 4

✅ פתרון סופי: (1 , 0) , (4 , 0)

סעיף ג – נקודות קיצון

f′(x) = −2x + 52√−x² + 5x📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

−2x + 5 = 0 ← x = 2.5📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

f(2.5) = −2 + √6.25 = −2 + 2.5 = 0.5

f(0) = f(5) = −2 (קצוות התחום)

f′(1) > 0 , f′(4) < 0

x	f′(x)	f(x)
0		מינימום (קצה)
0 < x < 2.5	+	↗
2.5	0	מקסימום
2.5 < x < 5	−	↘
5		מינימום (קצה)

✅ פתרון סופי: (2.5 , 0.5) מקסימום

✅ פתרון סופי: (0 , −2) , (5 , −2) מינימום (קצה)

סעיף ד – עלייה וירידה

לפי הטבלה בסעיף ג:

✅ פתרון סופי: עלייה: 0 < x < 2.5

✅ פתרון סופי: ירידה: 2.5 < x < 5

סעיף ה – סקיצה

הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ו – g חיובית בכל התחום

הערך הקטן ביותר של f הוא −2 (בקצוות). הוספת c מזיזה את הגרף c יחידות למעלה, ולכן הערך הקטן ביותר של g הוא −2 + c.📐 הזזה אנכיתg(x) = f(x) + c – כל הגרף זז ב־c בציר ה־y

−2 + c > 0 ← c > 2

✅ פתרון סופי: c > 2

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	0 ≤ x ≤ 5
סעיף ב	(1 , 0) , (4 , 0)
סעיף ג	(2.5 , 0.5) מקס׳ , (0 , −2) , (5 , −2) מינ׳
סעיף ד	עלייה 0 < x < 2.5 , ירידה 2.5 < x < 5
סעיף ו	c > 2

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, חורף 2019). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2018 מועד ב, שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = √2x − 13 .

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) .

(2) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

(3) הראה כי הפונקציה f(x) עולה בכל תחום הגדרתה.

(4) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

לפניך גרף פונקציית הנגזרת, f′(x) .

ב. (1) מהו תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת, f′(x) ?

(2) מהי משוואת האסימפטוטה האנכית של פונקציית הנגזרת, f′(x) ?

הגרפים של הפונקציות f(x) ו־f′(x) חותכים זה את זה בנקודה A .

ג. חשב את שיעורי הנקודה A .

מן הנקודה A הורידו אנך לציר ה־x .

ד. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת, f′(x) , על ידי האנך, על ידי ציר ה־x ועל ידי הישר x = 11 .

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א (1) – תחום הגדרה

2x − 13 ≥ 0📐 שורש ריבועיהביטוי בתוך השורש גדול או שווה ל־0

✅ פתרון סופי: x ≥ 6.5

סעיף א (2) – חיתוך עם הצירים

x = 0 לא בתחום – אין חיתוך עם ציר ה־y.

√2x − 13 = 0 ← x = 6.5

✅ פתרון סופי: (6.5 , 0)

סעיף א (3) – הפונקציה עולה

f′(x) = 22√2x − 13 = 1√2x − 13 > 0📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

הנגזרת חיובית לכל x > 6.5 ← הפונקציה עולה בכל התחום.

✅ פתרון סופי: הוכחה: f′(x) > 0

סעיף א (4) – סקיצה

הגרף (בכחול) מתחיל ב־(6.5 , 0) ועולה:

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ב (1) – תחום של f′

שורש במכנה – הביטוי בתוכו חיובי ממש.

✅ פתרון סופי: x > 6.5

סעיף ב (2) – אסימפטוטה אנכית של f′

המכנה מתאפס ב־x = 6.5 והמונה 1 ≠ 0.📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

✅ פתרון סופי: x = 6.5

סעיף ג – הנקודה A

√2x − 13 = 1√2x − 13

2x − 13 = 1 ← x = 7

f(7) = √1 = 1

✅ פתרון סופי: A(7 , 1)

סעיף ד – השטח

האנך הוא x = 7. בין x = 7 ל־x = 11 הנגזרת חיובית (השטח בסגול):

S = ∫₇¹¹ f′(x) dx = f(11) − f(7)📐 אינטגרל של נגזרת∫_a^b f′(x) dx = f(b) − f(a)

= √9 − √1 = 3 − 1 = 2

✅ פתרון סופי: 2 יח״ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x ≥ 6.5 ; (6.5 , 0)
סעיף ב	x > 6.5 ; x = 6.5
סעיף ג	A(7 , 1)
סעיף ד	2

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2018 מועד ב). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2018 מועד א', שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x³ · √x + a . a הוא פרמטר.

א. הבע באמצעות a את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) .

הנקודה (2 , 24) נמצאת על גרף הפונקציה f(x) .

ב. מצא את a .

הצב a = 7 וענה על הסעיפים ג–ד.

ג. (1) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

(2) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן.

(3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

(4) מהם תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה f(x) ?

נתונה הפונקציה g(x) = f(x) + c . c הוא פרמטר.

ד. מהו הערך של c שעבורו גרף הפונקציה g(x) משיק לציר ה־x ? נמק.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

x + a ≥ 0📐 שורש ריבועיהביטוי בתוך השורש גדול או שווה ל־0

✅ פתרון סופי: x ≥ −a

סעיף ב – הערך של a

8√2 + a = 24📐 נקודה על גרףy₀ = f(x₀)

√2 + a = 3 ← 2 + a = 9 ← a = 7

✅ פתרון סופי: a = 7

סעיף ג (1) – חיתוך עם הצירים

f(0) = 0

x³√x + 7 = 0 ← x = 0 או x = −7

✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (−7 , 0)

סעיף ג (2) – נקודות קיצון

f′(x) = 3x²√x + 7 + x³ · 12√x + 7📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′

= 6x²(x + 7) + x³2√x + 7 = 7x³ + 42x²2√x + 7 = 7x²(x + 6)2√x + 7

7x²(x + 6) = 0 ← x = 0 או x = −6📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

הסימן הוא סימן x + 6 ( x² ≥ 0 ):

x	f′(x)	f(x)
−7		מקסימום (קצה)
−7 < x < −6	−	↘
−6	0	מינימום
−6 < x < 0	+	↗
0	0	אין קיצון
x > 0	+	↗

f(−6) = −216 · 1 = −216 , f(−7) = 0

✅ פתרון סופי: (−6 , −216) מינימום

✅ פתרון סופי: (−7 , 0) מקסימום (קצה)

סעיף ג (3) – סקיצה

ב־x = 0 המשיק אופקי, אבל הפונקציה ממשיכה לעלות. הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ג (4) – חיוביות ושליליות

√x + 7 ≥ 0, ולכן הסימן הוא סימן x³ (פרט לנקודות האפס).

✅ פתרון סופי: חיובית: x > 0

✅ פתרון סופי: שלילית: −7 < x < 0

סעיף ד – c שעבורו ציר ה־x משיק

ציר ה־x משיק לגרף בנקודה שבה g′ = f′ = 0 וגם g = 0.📐 משיק אופקיg′(x₀) = 0

• ב־x = −6: g(−6) = −216 + c = 0 ← c = 216 (הגרף עולה 216 יחידות, והמינימום יושב על ציר ה־x).

• ב־x = 0: g(0) = c = 0 – גם אז המשיק בראשית הוא ציר ה־x (נקודת משיק אופקי שאינה קיצון).

✅ פתרון סופי: c = 216

✅ פתרון סופי: (וגם c = 0 )

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x ≥ −a
סעיף ב	a = 7
סעיף ג	(0 , 0) , (−7 , 0) ; (−6 , −216) מינ׳ , (−7 , 0) מקס׳
סעיף ד	c = 216 (וגם c = 0 )

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2018 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2018, שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = √49 − x² .

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) .

(2) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן.

(3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

ב. (1) מצא את משוואות האסימפטוטות של פונקציית הנגזרת, f′(x) , המאונכות לציר ה־x .

(2) מה הם תחומי החיוביות והשליליות של פונקציית הנגזרת, f′(x) ?

(3) סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת, f′(x) . תוכל להיעזר בסעיפים קודמים.

ג. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x) , על ידי החלק השלילי של ציר ה־x ועל ידי הישר x = −6 . בתשובתך השאר שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א (1) – תחום הגדרה

49 − x² ≥ 0 ← x² ≤ 49📐 שורש ריבועיהביטוי בתוך השורש גדול או שווה ל־0

✅ פתרון סופי: −7 ≤ x ≤ 7

סעיף א (2) – נקודות קיצון

f′(x) = −2x2√49 − x² = −x√49 − x²📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

−x = 0 ← x = 0 , f(0) = 7📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

f′(−1) > 0 , f′(1) < 0 ← מקסימום

בקצוות: f(±7) = 0 ← מינימום (קצה).

✅ פתרון סופי: (0 , 7) מקסימום

✅ פתרון סופי: (−7 , 0) , (7 , 0) מינימום

סעיף א (3) – סקיצה

חצי עליון של מעגל (בכחול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ב (1) – אסימפטוטות של f′

המכנה √49 − x² מתאפס ב־x = ±7 והמונה שם ( −x ) שונה מ־0.📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

✅ פתרון סופי: x = 7 , x = −7

סעיף ב (2) – חיוביות ושליליות

המכנה חיובי, והסימן הוא סימן −x:

✅ פתרון סופי: חיובית: −7 < x < 0

✅ פתרון סופי: שלילית: 0 < x < 7

סעיף ב (3) – סקיצה של f′

יורד מ־+∞ (ליד x = −7) דרך (0 , 0) אל −∞ (ליד x = 7). הגרף (בסגול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בסגול) למעלה

סעיף ג – השטח

בין x = −6 ל־x = 0 מתקיים f′(x) ≥ 0:

S = ∫₋₆⁰ f′(x) dx = f(0) − f(−6)📐 אינטגרל של נגזרת∫_a^b f′(x) dx = f(b) − f(a)

= 7 − √49 − 36 = 7 − √13 ≈ 3.39

✅ פתרון סופי: ≈ 3.39 יח״ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	−7 ≤ x ≤ 7 ; (0 , 7) מקס׳ , (±7 , 0) מינ׳
סעיף ב	x = ±7 ; חיובית −7 < x < 0
סעיף ג	3.39

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2018). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2017 מועד ב', שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x√4 − x² .

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) .

ב. (1) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

(2) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן.

ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

ד. איזה מן הגרפים I–IV שלפניך הוא הגרף של הפונקציה f′(x) ? נמק.

ה. חשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של הפונקציה f′(x) , על ידי ציר ה־x , על ידי ציר ה־y ועל ידי הישר x = 1 .

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

4 − x² ≥ 0 ← x² ≤ 4📐 שורש ריבועיהביטוי בתוך השורש גדול או שווה ל־0

✅ פתרון סופי: −2 ≤ x ≤ 2

סעיף ב (1) – חיתוך עם הצירים

f(0) = 0

x√4 − x² = 0 ← x = 0 או 4 − x² = 0 ← x = ±2

✅ פתרון סופי: (−2 , 0) , (0 , 0) , (2 , 0)

סעיף ב (2) – נקודות קיצון

f′(x) = √4 − x² + x · −2x2√4 − x² = 4 − x² − x²√4 − x² = 4 − 2x²√4 − x²📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′

4 − 2x² = 0 ← x² = 2 ← x = ±√2📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

f(√2) = √2 · √2 = 2 , f(−√2) = −2

f′(0) = 2 > 0 , f′(±1.8) = 4 − 6.48√0.76 < 0

x	f′(x)	f(x)
−2		מקסימום (קצה)
−2 < x < −√2	−	↘
−√2	0	מינימום
−√2 < x < √2	+	↗
√2	0	מקסימום
√2 < x < 2	−	↘
2		מינימום (קצה)

✅ פתרון סופי: (√2 , 2) מקסימום , (−√2 , −2) מינימום

✅ פתרון סופי: (−2 , 0) מקסימום (קצה) , (2 , 0) מינימום (קצה)

סעיף ג – סקיצה

הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ד – הגרף של f′(x)

• f′(0) = 2 > 0 – הגרף חותך את ציר ה־y מעל ציר ה־x.

• f′ = 0 ב־x = ±√2, f′ > 0 ביניהם ו־f′ < 0 מחוץ להם.

• ליד x = ±2 המונה → −4 והמכנה → 0 ← f′ → −∞.

רק גרף IV מתאים: חיובי באמצע, חותך את ציר ה־x פעמיים ויורד ל־−∞ ליד שתי האסימפטוטות. בגרף I f′(0) < 0, ובגרפים II ו־III f′(0) = 0.

✅ פתרון סופי: IV

סעיף ה – השטח

בתחום 0 ≤ x ≤ 1 מתקיים f′(x) > 0:

S = ∫₀¹ f′(x) dx = f(1) − f(0)📐 אינטגרל של נגזרת∫_a^b f′(x) dx = f(b) − f(a)

= 1 · √3 − 0 = √3 ≈ 1.73

✅ פתרון סופי: √3 ≈ 1.73 יח״ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	−2 ≤ x ≤ 2
סעיף ב (1)	(−2 , 0) , (0 , 0) , (2 , 0)
סעיף ב (2)	(√2 , 2) מקס׳ , (−√2 , −2) מינ׳
סעיף ד	IV
סעיף ה	√3

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2017 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2017 מועד א', שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 4√x + 16 .

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) .

(2) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

(3) מצא את האסימפטוטה האנכית של הפונקציה f(x) .

(4) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).

(5) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) בתחום x ≤ 0 .

נתונה הפונקציה g(x) = f(x) − 2 .

ב. (1) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם הצירים.

(2) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g(x) בתחום x ≤ 0 .

ג. מצא את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה g(x) ובין הצירים.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א (1) – תחום הגדרה

x + 16 > 0📐 שורש במכנההביטוי בתוך השורש גדול מ־0

✅ פתרון סופי: x > −16

סעיף א (2) – חיתוך עם הצירים

f(0) = 44 = 1 ← (0 , 1)

המונה 4 לא מתאפס – אין חיתוך עם ציר ה־x.

✅ פתרון סופי: (0 , 1)

סעיף א (3) – אסימפטוטה אנכית

כאשר x → −16 מימין, המכנה → 0 והמונה 4.📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

✅ פתרון סופי: x = −16

סעיף א (4) – עלייה וירידה

f′(x) = 4 · (−12)(x + 16)^−1.5 = −2(x + 16)√x + 16📐 נגזרת של חזקה מורכבת((x + a)ⁿ)′ = n(x + a)ⁿ⁻¹

המכנה חיובי, ולכן f′(x) < 0 בכל התחום.

✅ פתרון סופי: עלייה: אין ; ירידה: x > −16

סעיף א (5) – סקיצה

יורד מ־+∞ (ליד x = −16) עד (0 , 1). הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ב (1) – חיתוך של g(x) עם הצירים

g(0) = 1 − 2 = −1 ← (0 , −1)

4√x + 16 − 2 = 0 ← √x + 16 = 2 ← x + 16 = 4 ← x = −12

✅ פתרון סופי: (0 , −1) , (−12 , 0)

סעיף ב (2) – סקיצה של g(x)

הגרף של f מוזז 2 יחידות למטה (בסגול); השטח של סעיף ג צבוע:

✅ פתרון סופי: הגרף (בסגול) למעלה

סעיף ג – השטח

בין x = −12 ל־x = 0 הגרף של g מתחת לציר ה־x:

S = −∫₋₁₂⁰ (4√x + 16 − 2) dx📐 שטח מתחת לציר ה־xS = −∫_a^b f(x) dx

∫ 4(x + 16)^−½ dx = 4 · (x + 16)^½½ = 8√x + 16📐 אינטגרל של חזקה של ביטוי לינארי∫ (ax + b)ⁿ dx = (ax + b)ⁿ⁺¹a(n + 1) + C

S = −[8√x + 16 − 2x]₋₁₂⁰ = −[(32 − 0) − (16 + 24)] = −(−8) = 8

✅ פתרון סופי: 8 יח״ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x > −16 ; (0 , 1) ; x = −16 ; יורדת לכל x > −16
סעיף ב (1)	(0 , −1) , (−12 , 0)
סעיף ג	8

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2017 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2017, שאלה 7

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניך מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x) של הפונקציה f(x) = √−x² + bx + 16 . b הוא פרמטר.

ענה על הסעיפים שלפניך (אפשר להיעזר בגרף הנגזרת במידת הצורך):

א. (1) מהו שיעור ה־x של נקודת הקיצון הפנימית של f(x) ? נמק.

(2) מצא את b .

ב. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) .

ג. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן.

ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

ה. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הנגזרת f′(x) , על ידי ציר ה־y ועל ידי ציר ה־x (השטח הצבוע).

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א (1) – נקודת הקיצון הפנימית

גרף הנגזרת חותך את ציר ה־x ב־x = 3: משמאל f′ > 0 (עולה), מימין f′ < 0 (יורדת).📐 קשר בין הנגזרת לפונקציהf′(x) > 0 ← עולה ; f′(x) < 0 ← יורדת

✅ פתרון סופי: x = 3 (מקסימום)

סעיף א (2) – הערך של b

f′(x) = −2x + b2√−x² + bx + 16📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

f′(3) = 0 ← −6 + b = 0 ← b = 6

✅ פתרון סופי: b = 6

סעיף ב – תחום הגדרה

−x² + 6x + 16 ≥ 0 ← x² − 6x − 16 ≤ 0📐 שורש ריבועיהביטוי בתוך השורש גדול או שווה ל־0

(x − 8)(x + 2) ≤ 0

✅ פתרון סופי: −2 ≤ x ≤ 8

סעיף ג – נקודות הקיצון

f(3) = √−9 + 18 + 16 = 5 ← (3 , 5) מקסימום (סעיף א).

f(−2) = f(8) = 0 ← מינימום בקצוות התחום.

✅ פתרון סופי: (3 , 5) מקסימום

✅ פתרון סופי: (−2 , 0) , (8 , 0) מינימום (קצה)

סעיף ד – סקיצה

הגרף (בכחול) – חצי עליון של מעגל:

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ה – השטח מתחת לגרף הנגזרת

בין x = 0 ל־x = 3 מתקיים f′ ≥ 0:

S = ∫₀³ f′(x) dx = f(3) − f(0)📐 אינטגרל של נגזרת∫_a^b f′(x) dx = f(b) − f(a)

f(0) = √16 = 4

S = 5 − 4 = 1

✅ פתרון סופי: 1 יח״ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x = 3 , b = 6
סעיף ב	−2 ≤ x ≤ 8
סעיף ג	(3 , 5) מקסימום ; (−2 , 0) , (8 , 0) מינימום
סעיף ה	1

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2017). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2016 מועד ב', שאלה 6

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = √−x² + 6x + 7 .

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן.

ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

ד. נתונה הפונקציה g(x) המקיימת g(x) = 1f(x) .

(1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x) .

(2) מבין הגרפים I, II, III שלפניך, איזה גרף מייצג סקיצה של גרף הפונקציה g(x) ? נמק.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום הגדרה

−x² + 6x + 7 ≥ 0📐 שורש ריבועיהביטוי בתוך השורש גדול או שווה ל־0

x² − 6x − 7 ≤ 0 ← (x − 7)(x + 1) ≤ 0

פרבולה "מחייכת" – שלילית או אפס בין השורשים:

✅ פתרון סופי: −1 ≤ x ≤ 7

סעיף ב – נקודות קיצון

f′(x) = −2x + 62√−x² + 6x + 7 = −x + 3√−x² + 6x + 7📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

−x + 3 = 0 ← x = 3📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

f(3) = √−9 + 18 + 7 = √16 = 4

f′(0) = 3√7 > 0 , f′(4) = −1√15 < 0

x	f′(x)	f(x)
−1		מינימום (קצה)
−1 < x < 3	+	↗
3	0	מקסימום
3 < x < 7	−	↘
7		מינימום (קצה)

בקצוות: f(−1) = f(7) = 0 – הערך הקטן ביותר, מינימום בקצה התחום.

✅ פתרון סופי: (3 , 4) מקסימום

✅ פתרון סופי: (−1 , 0) , (7 , 0) מינימום (קצה)

סעיף ג – סקיצה

הגרף (בכחול) עולה מ־(−1 , 0) עד המקסימום (3 , 4) ויורד ל־(7 , 0):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ד (1) – תחום ההגדרה של g(x)

צריך ש־f(x) יהיה מוגדר וגם f(x) ≠ 0. f מתאפסת בקצוות x = −1 , x = 7.📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

✅ פתרון סופי: −1 < x < 7

סעיף ד (2) – הגרף של g(x)

• f(x) > 0 בתחום, ולכן g(x) > 0 – הגרף מעל ציר ה־x.

• בקצוות f → 0 ← g → +∞: אסימפטוטות אנכיות x = −1 ו־x = 7.

• היכן ש־f מקסימלית, g מינימלית: g(3) = 14 – מינימום (3 , 14).

• x = 0 בתחום: g(0) = 1√7 – הגרף חותך את ציר ה־y, כלומר ציר ה־y נמצא בין שתי האסימפטוטות, קרוב לשמאלית.

גרף II שלילי ונפתח כלפי מטה. בגרף I ציר ה־y נמצא משמאל לשתי האסימפטוטות (הגרף לא חותך אותו). רק גרף III מתאים לכל התכונות.

✅ פתרון סופי: III

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	−1 ≤ x ≤ 7
סעיף ב	(3 , 4) מקסימום ; (−1 , 0) , (7 , 0) מינימום
סעיף ד (1)	−1 < x < 7
סעיף ד (2)	III

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2016 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2016, שאלה 6

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = √ax³ − 12x . a הוא פרמטר.

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא −√12 ≤ x ≤ 0 , x ≥ √12 (ראה ציור).

גרף הפונקציה f(x) עם נקודות החיתוך (−√12,0) ו־(√12,0)

א. על פי הערכים שבגרף, מצא את הערך של a .

הצב a = 1 , וענה על הסעיפים ב, ג, ד.

ב. מצא את השיעורים של הנקודות המקסימום של הפונקציה f(x) .

ג. מצא עבור אילו ערכים של k יש רק פתרון אחד למשוואה f(x) = k .

ד. (1) מה הן האסימפטוטות המאונכות לציר ה־x של פונקציית הנגזרת f′(x) ?

(2) איזה מן הגרפים I–IV שלפניך הוא הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x) ? נמק.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – הערך של a

הנקודה (√12 , 0) על הגרף ← f(√12) = 0📐 נקודה על גרףy₀ = f(x₀)

a(√12)³ − 12√12 = 0

12a√12 − 12√12 = 0

12√12(a − 1) = 0 ← a = 1

✅ פתרון סופי: a = 1

סעיף ב – נקודת המקסימום

f′(x) = 3x² − 122√x³ − 12x📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

3x² − 12 = 0 ← x = ±2📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

x = 2 לא בתחום ( 0 < 2 < √12 ). נשאר x = −2:

f(−2) = √−8 + 24 = √16 = 4

f′(−3) = 152√9 > 0 , f′(−1) = −92√11 < 0 ← מקסימום

✅ פתרון סופי: (−2 , 4)

סעיף ג – פתרון אחד ל־f(x) = k

• הענף השמאלי: מ־0 עולה עד 4 ויורד שוב ל־0. לכל 0 ≤ k < 4 – שני פתרונות (כולל k = 0: −√12 ו־0), ול־k = 4 – פתרון אחד.

• הענף הימני: עולה מ־0 עד ∞ – פתרון אחד לכל k ≥ 0.

סה״כ: ל־0 ≤ k < 4 שלושה פתרונות, ל־k = 4 שניים, ול־k > 4 רק אחד (בענף הימני). ל־k < 0 אין פתרון.

✅ פתרון סופי: k > 4

סעיף ד – גרף הנגזרת

המכנה 2√x³ − 12x מתאפס כאשר x³ − 12x = 0 ← x = 0 , x = ±√12 ( ±3.46 ), והמונה שם שונה מ־0.📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

• בקטע −√12 < x < 0: f′ > 0 עד x = −2, f′(−2) = 0, ואז f′ < 0. ליד −√12 f′ → +∞, ליד 0 f′ → −∞.

• בתחום x > √12: f′ > 0 (הפונקציה עולה), וליד √12 f′ → +∞.

רק בגרף II יש את כל התכונות: הענף השמאלי יורד מ־+∞ דרך ציר ה־x אל −∞ ליד ציר ה־y, והענף הימני חיובי. בגרף I הענף השמאלי מתחת לציר, בגרף III הוא עולה, ובגרף IV הוא ממשיך מעבר לציר ה־y.

✅ פתרון סופי: x = 0 , x = √12 , x = −√12

✅ פתרון סופי: גרף II

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	a = 1
סעיף ב	(−2 , 4)
סעיף ג	k > 4
סעיף ד (1)	x = 0 , x = ±√12
סעיף ד (2)	II

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2016). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2015, שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 3√x + 2 .

א. (1) מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) ?

(2) האם יש לגרף הפונקציה f(x) נקודות חיתוך עם הצירים? נמק.

(3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

ב. (1) באותה מערכת צירים סרטט את הישר y = 3x + 2 ואת הישר x = 4 .

(2) חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) , על ידי הישר y = 3x + 2 , על ידי הישר x = 4 , על ידי ציר ה־x ועל ידי ציר ה־y .

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א (1) – תחום הגדרה

x > 0📐 שורש במכנההביטוי בתוך השורש גדול מ־0

✅ פתרון סופי: x > 0

סעיף א (2) – חיתוך עם הצירים

• ציר ה־y: x = 0 לא בתחום ההגדרה – אין חיתוך.

• ציר ה־x: 3√x > 0, ולכן f(x) > 2 תמיד – אין חיתוך.

✅ פתרון סופי: לא

סעיף א (3) – סקיצה

f′(x) = −32x√x < 0 ← הפונקציה יורדת בכל התחום.📐 נגזרת של k√x(k√x)′ = −k2x√x

כאשר x → 0 מימין: f(x) → +∞; כאשר x → ∞: f(x) → 2. הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ב (1) – הישרים ונקודת החיתוך

נקודת החיתוך של הישר עם גרף הפונקציה:

3√x + 2 = 3x + 2

3√x = 3x

x√x = 1

x = 1 ← f(1) = 5 ← (1 , 5)

הישר y = 3x + 2 (בסגול) חותך את ציר ה־y ב־(0 , 2). הציור:

✅ פתרון סופי: הציור למעלה

סעיף ב (2) – השטח

בין x = 0 ל־x = 1 החסם העליון הוא הישר (בסגול), ובין x = 1 ל־x = 4 – גרף הפונקציה (בתכלת):

S₁ = ∫₀¹ (3x + 2) dx = [1.5x² + 2x]₀¹ = 3.5📐 שטח מתחת לגרףS = ∫_a^b f(x) dx

S₂ = ∫₁⁴ (3x^−½ + 2) dx = [6√x + 2x]₁⁴📐 אינטגרל של חזקה∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C

= (12 + 8) − (6 + 2) = 12

S = 3.5 + 12 = 15.5

✅ פתרון סופי: 15.5 יח״ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א (1)	x > 0
סעיף א (2)	לא
סעיף ב (2)	15.5

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2015). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2014 מועד ב', שאלה 7

📄 נוסח השאלה

בציור שלפניך מוצג גרף של פונקציית הנגזרת: f′(x) = 4√x − 1 , x > 0 .

א. מצא את שיעור ה־x של נקודת החיתוך של f′(x) עם ציר ה־x .

ב. מצא את שיעור ה־x של נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגה. נמק.

ג. ידוע כי שיעור ה־y של נקודת הקיצון הפנימית של f(x) הוא 0. מצא את f(x) .

ד. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x) , על ידי הישר x = 4 , על ידי הישר x = 25 ועל ידי ציר ה־x .

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – חיתוך f′ עם ציר ה־x

4√x − 1 = 0

√x = 4

x = 16

✅ פתרון סופי: x = 16

סעיף ב – נקודת הקיצון הפנימית

ב־x = 16 הנגזרת מתאפסת. מהגרף: משמאל ל־16 הגרף מעל הציר ( f′ > 0 ), ומימין מתחתיו ( f′ < 0 ).📐 קשר בין הנגזרת לפונקציהf′(x) > 0 ← עולה ; f′(x) < 0 ← יורדת

f′(4) = 2 − 1 > 0 , f′(25) = 0.8 − 1 < 0

הפונקציה עולה ואחר כך יורדת ← מקסימום.

✅ פתרון סופי: x = 16 מקסימום

סעיף ג – מציאת f(x)

f′(x) = 4x^−½ − 1

f(x) = 4 · x^½½ − x + C = 8√x − x + C📐 אינטגרל של חזקה∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C

f(16) = 0📐 נקודה על גרףy₀ = f(x₀)

8 · 4 − 16 + C = 0

C = −16

✅ פתרון סופי: f(x) = −x + 8√x − 16

סעיף ד – השטח

בין 4 ל־16 הגרף מעל ציר ה־x (בתכלת), ובין 16 ל־25 מתחתיו (בסגול) – מחשבים בנפרד:

S₁ = ∫₄¹⁶ f′(x) dx = f(16) − f(4)📐 אינטגרל של נגזרת∫_a^b f′(x) dx = f(b) − f(a)

f(4) = −4 + 16 − 16 = −4 , f(16) = 0 , f(25) = −25 + 40 − 16 = −1

S₁ = 0 − (−4) = 4

S₂ = −∫₁₆²⁵ f′(x) dx = −[f(25) − f(16)] = −(−1 − 0) = 1📐 שטח מתחת לציר ה־xS = −∫_a^b f(x) dx

S = 4 + 1 = 5

✅ פתרון סופי: 5 יח״ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x = 16
סעיף ב	x = 16 מקסימום
סעיף ג	f(x) = −x + 8√x − 16
סעיף ד	5

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2014 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2014 מועד א', שאלה 6

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = √x² − 4x + 3 .

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ג. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

ה. האם הישר y = x − 2 חותך את גרף הפונקציה? נמק.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום הגדרה

x² − 4x + 3 ≥ 0📐 שורש ריבועיהביטוי בתוך השורש גדול או שווה ל־0

(x − 1)(x − 3) ≥ 0

פרבולה "מחייכת" עם שורשים 1 ו־3 – אי־שלילית מחוץ לשורשים:

x ≤ 1 או x ≥ 3

✅ פתרון סופי: x ≤ 1 או x ≥ 3

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

f(0) = √3 ← (0 , √3) ( x = 0 בתחום)

√x² − 4x + 3 = 0

x² − 4x + 3 = 0

x = 1 או x = 3

✅ פתרון סופי: (0 , √3) , (1 , 0) , (3 , 0)

סעיף ג – עלייה וירידה

f′(x) = 2x − 42√x² − 4x + 3 = x − 2√x² − 4x + 3📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

המכנה חיובי בתוך התחום (פרט לקצוות), לכן הסימן הוא סימן x − 2. x = 2 לא בתחום.

• כאשר x < 1: x − 2 < 0 ← f′(x) < 0 – יורדת.

• כאשר x > 3: x − 2 > 0 ← f′(x) > 0 – עולה.

הנקודות (1 , 0) ו־(3 , 0) הן מינימום בקצה התחום.

✅ פתרון סופי: x > 3 עולה

✅ פתרון סופי: x < 1 יורדת

סעיף ד – סקיצה

שני ענפים: משמאל ל־x = 1 יורד עד (1 , 0), ומימין ל־x = 3 עולה מ־(3 , 0). הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ה – האם y = x − 2 חותך

√x² − 4x + 3 = x − 2

השורש אי־שלילי, ולכן צריך x − 2 ≥ 0. מעלים בריבוע:

x² − 4x + 3 = x² − 4x + 4

3 = 4

שוויון שקרי – אין פתרון, ולכן הישר לא חותך את הגרף.

✅ פתרון סופי: לא, המשוואה מביאה ל־3 = 4

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	x ≤ 1 או x ≥ 3
סעיף ב	(0 , √3) , (1 , 0) , (3 , 0)
סעיף ג	x > 3 עולה, x < 1 יורדת
סעיף ה	לא

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2014 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2013 מועד ב', שאלה 8

📄 נוסח השאלה

נתונות הפונקציות f(x) = 2√2x − 3 , g(x) = −2√2x − 3 .

א. (1) מצא את תחום ההגדרה המשותף לשתי הפונקציות.

(2) מצא את האסימפטוטות של הפונקציות המקבילות לצירים.

ב. בציור מוצגים הגרפים I ו־II של שתי הפונקציות. קבע איזה גרף מתאר את f(x) ואיזה את g(x) . נמק.

ג. הישר y = 2 חותך את הגרף I בנקודה A .

הישר y = −2 חותך את הגרף II בנקודה B .

מצא את השטח המוגבל על ידי הישר AB , על ידי הגרפים של שתי הפונקציות ועל ידי הישר x = 3 .

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א (1) – תחום הגדרה משותף

2x − 3 > 0📐 שורש במכנההביטוי בתוך השורש גדול מ־0 (לא אפס, כי במכנה)

2x > 3

x > 1.5

✅ פתרון סופי: x > 1.5

סעיף א (2) – אסימפטוטות

כאשר x → 1.5 מימין המכנה → 0 והמונה 2: x = 1.5 אסימפטוטה אנכית לשתי הפונקציות.📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

כאשר x → ∞ המכנה גדל בלי גבול: f(x) → 0 , g(x) → 0 ← y = 0📐 אסימפטוטה אופקיתהערך שהפונקציה מתקרבת אליו כאשר x → ∞

✅ פתרון סופי: x = 1.5 , y = 0

סעיף ב – איזה גרף לאיזו פונקציה

שורש חיובי, ולכן f(x) > 0 בכל התחום – הגרף שמעל ציר ה־x. g(x) = −f(x) < 0 – הגרף שמתחת לציר.

✅ פתרון סופי: f(x) – גרף I

✅ פתרון סופי: g(x) – גרף II

סעיף ג – השטח

2√2x − 3 = 2

√2x − 3 = 1

2x − 3 = 1

x = 2

לכן A(2 , 2). באותו אופן g(x) = −2 נותן x = 2 ← B(2 , −2). הישר AB הוא x = 2.

השטח (בסגול בהיר) בין x = 2 ל־x = 3, כש־f (בכחול) למעלה ו־g (בסגול) למטה:

S = ∫₂³ [f(x) − g(x)] dx = ∫₂³ 4√2x − 3 dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫_a^b [f(x) − g(x)] dx

= ∫₂³ 4(2x − 3)^−½ dx

= [4 · (2x − 3)^½2 · ½]₂³ = [4√2x − 3]₂³📐 אינטגרל של חזקה של ביטוי לינארי∫ (ax + b)ⁿ dx = (ax + b)ⁿ⁺¹a(n + 1) + C

= 4√3 − 4√1 = 4√3 − 4 ≈ 2.93

✅ פתרון סופי: 4√3 − 4 ≈ 2.93

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א (1)	x > 1.5
סעיף א (2)	x = 1.5 , y = 0
סעיף ב	f – I, g – II
סעיף ג	4√3 − 4

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2013 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2013 מועד א', שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x√4x − 6x .

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

(2) מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

(3) מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן.

ב. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

ג. איזה גרף מבין הגרפים I, II, III, IV עשוי לתאר את פונקציית הנגזרת f′(x) בתחום 1 ≤ x ≤ 10 ? נמק.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א (1) – תחום הגדרה

4x ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורשהביטוי בתוך השורש גדול או שווה ל־0

x ≥ 0

✅ פתרון סופי: x ≥ 0

סעיף א (2) – חיתוך עם הצירים

f(0) = 0 ← (0 , 0)

x√4x − 6x = 0

x(√4x − 6) = 0📐 מכפלה שווה 0אחד הגורמים שווה 0

x = 0 או √4x = 6

4x = 36

x = 9

✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (9 , 0)

סעיף א (3) – נקודות קיצון

f′(x) = 1 · √4x + x · 42√4x − 6📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′

((√4x)′ = 42√4x לפי נגזרת של שורש.) מפשטים: √4x = 2√x:

f′(x) = 2√x + 4x4√x − 6

= 2√x + √x − 6 = 3√x − 6

3√x − 6 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

√x = 2

x = 4

f(4) = 4 · √16 − 24 = 16 − 24 = −8

f′(1) = 3 − 6 < 0 , f′(9) = 9 − 6 > 0

x	f′(x)	f(x)
0		מקסימום (קצה)
0 < x < 4	−	↘
4	0	מינימום
x > 4	+	↗

✅ פתרון סופי: (4 , −8) מינימום

✅ פתרון סופי: (0 , 0) מקסימום (קצה)

סעיף ב – סקיצה

הגרף (בכחול) מתחיל ב־(0 , 0), יורד למינימום (4 , −8), עולה וחותך ב־(9 , 0):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ג – הגרף של f′(x)

f′(x) = 3√x − 6

• f′(1) = −3 – שלילי בתחילת התחום, f′(4) = 0 – חותך את ציר ה־x ב־x = 4, ו־f′(10) ≈ 3.49 – חיובי בסוף.

• f′(x) עולה כל הזמן (כמו √x), והעלייה שלה הולכת ונחלשת – גרף עולה ומתעקם כמו גרף שורש.

הגרף שעולה ומתעקם כגרף שורש, מתחיל מתחת לציר ה־x וחותך אותו – גרף IV.

✅ פתרון סופי: IV

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א (1)	x ≥ 0
סעיף א (2)	(0 , 0) , (9 , 0)
סעיף א (3)	(4 , −8) מינ׳, (0 , 0) מקס׳ קצה
סעיף ג	IV

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2013 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2013, שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = √x² − 4x² .

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה).

ג. מצא את נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה, וקבע את סוגן.

ד. (1) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

(2) היעזר בגרף שסרטטת, ומצא את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה בשתי נקודות בדיוק.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

x² − 4 ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורשהביטוי בתוך השורש גדול או שווה ל־0

שורשי הביטוי x = ± 2; פרבולה "מחייכת" – אי־שלילית מחוץ לשורשים: x ≤ −2 או x ≥ 2.

המכנה x² ≠ 0 ← x ≠ 0 (כבר מחוץ לתחום).📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

✅ פתרון סופי: x ≤ −2 או x ≥ 2

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

עם ציר ה־y: x = 0 לא בתחום ← אין חיתוך.

עם ציר ה־x:

√x² − 4 = 0📐 שבר שווה 0המונה שווה 0 (והמכנה לא)

x² = 4

x = ± 2

✅ פתרון סופי: (−2 , 0) , (2 , 0)

סעיף ג – נקודות קיצון מוחלט

u = √x² − 4 , u′ = 2x2√x² − 4 = x√x² − 4

v = x² , v′ = 2x

f′(x) = x√x² − 4 · x² − √x² − 4 · 2xx⁴📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

כופלים מונה ומכנה ב־√x² − 4:

= x³ − 2x(x² − 4)x⁴ √x² − 4

= x³ − 2x³ + 8xx⁴ √x² − 4 = −x³ + 8xx⁴ √x² − 4

= x(8 − x²)x⁴ √x² − 4 = 8 − x²x³ √x² − 4

8 − x² = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

x² = 8

x = ± √8 ≈ ± 2.83

f(√8) = √8 − 48 = 28 = 14

ובאותו אופן f(−√8) = 14 (בפונקציה רק x²).

סימן הנגזרת: f′(2.5) = 8 − 6.25חיובי > 0 , f′(3) = 8 − 9חיובי < 0 ; בצד השלילי x³ < 0 ולכן הסימנים הפוכים: f′(−3) = −1שלילי > 0 , f′(−2.5) = 1.75שלילי < 0.

x	f′(x)	f(x)
x < −√8	+	↗
−√8	0	מקסימום
−√8 < x < −2	−	↘
−2		מינימום (קצה)
2		מינימום (קצה)
2 < x < √8	+	↗
√8	0	מקסימום
x > √8	−	↘

הפונקציה אי־שלילית (שורש חלקי ריבוע), ולכן הערך 0 ב־x = ± 2 הוא הקטן ביותר. כאשר x → ±∞ הפונקציה שואפת ל־0 ולא עוברת את 14, ולכן 14 הוא הערך הגדול ביותר.📐 קיצון מוחלטהערך הגדול ביותר / הקטן ביותר של הפונקציה בכל התחום

✅ פתרון סופי: (± √8 , 14) מקסימום מוחלט

✅ פתרון סופי: (± 2 , 0) מינימום מוחלט

סעיף ד (1) – סקיצה

אין גרף בין −2 ל־2. בכל ענף: מתחיל ב־0, עולה למקסימום 14 ויורד לכיוון 0. הגרף סימטרי לציר ה־y.

הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ד (2) – משיק בשתי נקודות

בשתי נקודות המקסימום השיפוע הוא 0, ושתיהן באותו גובה 14. לכן הישר האופקי y = 14 משיק לגרף בשתי הנקודות (מקווקו, בתכלת בסקיצה).

y = 14📐 משיק בנקודת קיצוןשיפוע המשיק 0 ← ישר אופקי y = f(x₀)

✅ פתרון סופי: y = 14

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x ≤ −2 או x ≥ 2
סעיף ב	(± 2 , 0)
סעיף ג	(± √8 , 14) מקס׳, (± 2 , 0) מינ׳
סעיף ד (2)	y = 14

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2013). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2012 מועד ב', שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = −x² √x + 5 .

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ג. האם יש ערכים של x שעבורם f(x) > 0 ? נמק.

ד. מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של גרף הפונקציה, וקבע את סוגן.

ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

ו. כמה פתרונות יש למשוואה −14 = −x² √x + 5 ? נמק.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

x + 5 ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורשהביטוי בתוך השורש גדול או שווה ל־0

x ≥ −5

✅ פתרון סופי: x ≥ −5

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

f(0) = −0 · √5 = 0 ← (0 , 0)

עם ציר ה־x:

−x² √x + 5 = 0

x² = 0 או √x + 5 = 0📐 מכפלה שווה 0אחד הגורמים שווה 0

x = 0 או x = −5

✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (−5 , 0)

סעיף ג – האם f(x) > 0 ?

x² ≥ 0, ולכן −x² ≤ 0.

√x + 5 ≥ 0📐 ערך של שורששורש ריבועי תמיד גדול או שווה ל־0

מכפלה של מספר אי־חיובי במספר אי־שלילי היא אי־חיובית, ולכן f(x) ≤ 0 לכל x בתחום.

✅ פתרון סופי: לא – תמיד f(x) ≤ 0

סעיף ד – נקודות קיצון

נגזרת של מכפלה:

u = −x² , u′ = −2x

v = √x + 5 , v′ = 12√x + 5📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

f′(x) = −2x√x + 5 − x²2√x + 5📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′

מכנה משותף 2√x + 5:

= −4x(x + 5) − x²2√x + 5

= −4x² − 20x − x²2√x + 5

= −5x² − 20x2√x + 5

−5x² − 20x = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

−5x(x + 4) = 0

x = 0 , x = −4

f(−4) = −16 · √1 = −16

המכנה חיובי (ל־x > −5), והסימן לפי המונה:

f′(−4.5) = −5 · 20.25 + 90חיובי = −11.25חיובי < 0

f′(−1) = −5 + 20חיובי > 0

f′(1) = −5 − 20חיובי < 0

x	f′(x)	f(x)
−5		מקסימום (קצה)
−5 < x < −4	−	↘
−4	0	מינימום
−4 < x < 0	+	↗
0	0	מקסימום
x > 0	−	↘

✅ פתרון סופי: (−5 , 0) מקסימום (קצה)

✅ פתרון סופי: (−4 , −16) מינימום

✅ פתרון סופי: (0 , 0) מקסימום

סעיף ה – סקיצה

הגרף (בכחול) מתחיל ב־(−5 , 0), יורד למינימום (−4 , −16), עולה ל־(0 , 0) (נוגע בציר) ויורד שוב. כולו על ציר ה־x או מתחתיו. הישר של סעיף ו – מקווקו, בתכלת:

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ו – מספר הפתרונות

הפתרונות הם נקודות החיתוך של הגרף עם הישר y = −14.

• בתחום −5 < x < −4: הפונקציה יורדת מ־0 ל־−16, ו־−14 ביניהם ← חיתוך אחד.

• בתחום −4 < x < 0: עולה מ־−16 ל־0 ← חיתוך אחד.

• בתחום x > 0: יורדת מ־0 בלי גבול ← חיתוך אחד.

✅ פתרון סופי: 3 פתרונות

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x ≥ −5
סעיף ב	(0 , 0) , (−5 , 0)
סעיף ג	לא
סעיף ד	(−5 , 0) מקס׳ קצה, (−4 , −16) מינ׳, (0 , 0) מקס׳
סעיף ו	3

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2012 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2012 מועד א', שאלה 8

📄 נוסח השאלה

נתונות שתי פונקציות: f(x) = √12 − 3x , g(x) = −√12 − 3x .

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות.

ב. מצא את תחומי העלייה והירידה של כל אחת מהפונקציות (אם יש כאלה).

ג. מצא את נקודות החיתוך של גרף כל אחת מהפונקציות עם הצירים.

ד. במערכת צירים אחת סרטט בקו מלא סקיצה של גרף הפונקציה f(x) , וסרטט בקו מרוסק סקיצה של גרף הפונקציה g(x) .

ה. העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודה שבה x = 1 , והעבירו ישר אחר המשיק לגרף הפונקציה g(x) בנקודה שבה x = 1 .

(1) מצא את השיעורים של נקודת המפגש בין המשיקים.

(2) מצא את שטח המשולש המוגבל על ידי המשיקים ועל ידי הישר x = 1 .

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – תחום הגדרה

בשתי הפונקציות אותו שורש:

12 − 3x ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורשהביטוי בתוך השורש גדול או שווה ל־0

−3x ≥ −12

מחלקים ב־−3 (המספר שלילי – סימן אי־השוויון מתהפך):

x ≤ 4

✅ פתרון סופי: x ≤ 4 לשתי הפונקציות

סעיף ב – תחומי עלייה וירידה

f′(x) = −32√12 − 3x📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

המונה שלילי והמכנה חיובי (בתוך התחום, x < 4), ולכן f′(x) < 0 תמיד: f(x) יורדת בכל התחום.

g′(x) = −−32√12 − 3x = 32√12 − 3x

כאן המונה חיובי, ולכן g′(x) > 0 תמיד: g(x) עולה בכל התחום.

✅ פתרון סופי: f(x): x < 4 יורדת (אין עלייה)

✅ פתרון סופי: g(x): x < 4 עולה (אין ירידה)

סעיף ג – חיתוך עם הצירים

עם ציר ה־x: √12 − 3x = 0 ← 12 − 3x = 0 ← x = 4 (לשתי הפונקציות).

f(0) = √12 ≈ 3.46 , g(0) = −√12 ≈ −3.46

✅ פתרון סופי: f(x): (4 , 0) , (0 , √12)

✅ פתרון סופי: g(x): (4 , 0) , (0 , −√12)

סעיף ד – סקיצה

f(x) (בכחול, קו מלא) – יורדת עד (4 , 0), מעל ציר ה־x. g(x) (בסגול, קו מרוסק) – עולה עד (4 , 0), מתחת לציר. כל גרף הוא תמונת ראי של השני ביחס לציר ה־x.

✅ פתרון סופי: הגרפים למעלה

סעיף ה (1) – נקודת החיתוך של המשיקים

f(1) = √12 − 3 = 3 , f′(1) = −32 · 3 = −12

y − 3 = −12(x − 1)📐 משוואת ישר לפי נקודה ושיפועy − y₁ = m(x − x₁)

y = −12x + 3.5

g(1) = −3 , g′(1) = 32 · 3 = 12

y + 3 = 12(x − 1)📐 משוואת ישר לפי נקודה ושיפועy − y₁ = m(x − x₁)

y = 12x − 3.5

משווים בין המשיקים:

−12x + 3.5 = 12x − 3.5

7 = x

y = 12 · 7 − 3.5 = 0

✅ פתרון סופי: (7 , 0)

סעיף ה (2) – שטח המשולש

קדקודי המשולש: (1 , 3), (1 , −3), (7 , 0). המשיקים בירוק, המשולש בתכלת:

הצלע על הישר x = 1 היא הבסיס, והגובה אליה הוא המרחק של (7 , 0) מהישר x = 1:

בסיס = 3 − (−3) = 6

גובה = 7 − 1 = 6

S = 6 · 62 = 18📐 שטח משולשS = צלע · הגובה לצלע2

✅ פתרון סופי: 18 יח״ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	x ≤ 4
סעיף ב	f יורדת, g עולה (x < 4)
סעיף ג	f: (4 , 0) , (0 , √12); g: (4 , 0) , (0 , −√12)
סעיף ה (1)	(7 , 0)
סעיף ה (2)	18

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2012 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2011 מועד ב', שאלה 8

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = √x + 2 + √−x + 2 .

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב. מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן.

ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

ד. העבירו ישר דרך נקודות המינימום של הפונקציה. מצא את משוואת הישר.

ה. מצא עבור אילו ערכים של k יש למשוואה f(x) = k שני פתרונות.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – תחום הגדרה

x + 2 ≥ 0 , −x ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורשהביטוי בתוך השורש גדול או שווה ל־0

x ≥ −2 , x ≤ 0

שני התנאים יחד:

✅ פתרון סופי: −2 ≤ x ≤ 0

סעיף ב – נקודות קיצון

f′(x) = 12√x + 2 + −12√−x📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

= 12√x + 2 − 12√−x

12√x + 2 − 12√−x = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

12√x + 2 = 12√−x

√−x = √x + 2

מעלים בריבוע:

−x = x + 2

−2x = 2

x = −1

בדיקה: √1 = √1 ✔.

f(−1) = √1 + √1 + 2 = 4

סימן הנגזרת:

f′(−1.5) = 12√0.5 − 12√1.5 ≈ 0.71 − 0.41 > 0

f′(−0.5) = 12√1.5 − 12√0.5 ≈ 0.41 − 0.71 < 0

x	f′(x)	f(x)
−2		מינימום (קצה)
−2 < x < −1	+	↗ עולה
−1	0	מקסימום
−1 < x < 0	−	↘ יורדת
0		מינימום (קצה)

ערכי הפונקציה בקצות התחום:

f(−2) = 0 + √2 + 2 = 2 + √2 ≈ 3.41

f(0) = √2 + 0 + 2 = 2 + √2 ≈ 3.41

✅ פתרון סופי: (−1 , 4) מקסימום

✅ פתרון סופי: (−2 , 2 + √2) מינימום (קצה)

✅ פתרון סופי: (0 , 2 + √2) מינימום (קצה)

סעיף ג – סקיצה

הגרף מוגדר רק בין x = −2 ל־x = 0: מתחיל ב־(−2 , 3.41), עולה למקסימום (−1 , 4) ויורד ל־(0 , 3.41).

הגרף (בכחול), והישר של סעיף ד (מקווקו, בתכלת):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ד – הישר דרך נקודות המינימום

לשתי נקודות המינימום אותו שיעור y: 2 + √2. לכן הישר ביניהן מקביל לציר ה־x:

y = 2 + √2📐 ישר מקביל לציר xy = k

✅ פתרון סופי: y = 2 + √2 ≈ 3.41

סעיף ה – מתי ל־f(x) = k שני פתרונות

פתרונות המשוואה f(x) = k הם נקודות החיתוך של הגרף עם הישר האופקי y = k.

לפי הסקיצה: ישר אופקי בגובה k חותך את הגרף בשתי נקודות כאשר הוא בין קווי המינימום (כולל) לבין המקסימום (לא כולל):

ב־k = 4 – נקודה אחת (המקסימום).

ב־k = 2 + √2 – שתי נקודות (שתי נקודות הקצה).

מעל 4 או מתחת ל־2 + √2 – אין חיתוך.

✅ פתרון סופי: 2 + √2 ≤ k < 4

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	−2 ≤ x ≤ 0
סעיף ב	(−1 , 4) מקס׳; (−2 , 2 + √2) , (0 , 2 + √2) מינ׳
סעיף ד	y = 2 + √2
סעיף ה	2 + √2 ≤ k < 4

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2011 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2010 מועד ב', שאלה 9

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = √x² + bx + 5 , b הוא פרמטר.

שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה־y הוא −3√5.

א. מצא את הערך של b.

הצב b = −6 ומצא:

ב. את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ג. את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ד. את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

✏️ פתרון שאלה 9

סעיף א – הערך של b

f′(x) = 2x + b2√x² + bx + 5📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

נקודת החיתוך עם ציר ה־y היא בשיעור x = 0:

f′(0) = b2√5

b2√5 = −3√5📐 שיפוע המשיקm = f′(x₀)

כופלים את שני האגפים ב־2√5:

b = −6

✅ פתרון סופי: b = −6

סעיף ב – תחום הגדרה

מעכשיו: f(x) = √x² − 6x + 5.

x² − 6x + 5 ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורשהביטוי בתוך השורש גדול או שווה ל־0

שורשי הביטוי:

x = 1 , x = 5📐 משוואה ריבועיתנוסחת השורשים במחשבון (MODE 5 3)

פרבולה "מחייכת" – אי־שלילית מחוץ לשורשים:

x ≤ 1 או x ≥ 5

✅ פתרון סופי: x ≤ 1 או x ≥ 5

סעיף ג – נקודות חיתוך עם הצירים

עם ציר ה־y (x = 0, בתחום):

f(0) = √5 ← (0 , √5)

עם ציר ה־x (y = 0):

√x² − 6x + 5 = 0

x² − 6x + 5 = 0

x = 1 , x = 5

✅ פתרון סופי: (0 , √5) , (1 , 0) , (5 , 0)

סעיף ד – תחומי עלייה וירידה

f′(x) = 2x − 62√x² − 6x + 5 = x − 3√x² − 6x + 5📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

המכנה חיובי בכל נקודה שבה הנגזרת מוגדרת, ולכן הסימן לפי המונה x − 3.

הנקודה x = 3 (שבה המונה מתאפס) לא בתחום, ולכן אין נקודת קיצון פנימית.

f′(0) = −3√5 < 0

f′(6) = 3√5 > 0

x	f′(x)	f(x)
x < 1	−	↘ יורדת
x > 5	+	↗ עולה

(בקצות התחום (1 , 0) ו־(5 , 0) – מינימום, כי שם f(x) = 0 וזה הערך הקטן ביותר של שורש.)

✅ פתרון סופי: x < 1 יורדת

✅ פתרון סופי: x > 5 עולה

סעיף ה – סקיצה

מסכמים: תחום x ≤ 1 או x ≥ 5, יורדת עד (1 , 0), עולה מ־(5 , 0), חותכת את ציר ה־y ב־(0 , √5), ובין 1 ל־5 אין גרף.

הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

📌 סיכום התשובות – שאלה 9

סעיף א	b = −6
סעיף ב	x ≤ 1 או x ≥ 5
סעיף ג	(0 , √5) , (1 , 0) , (5 , 0)
סעיף ד	x < 1 יורדת, x > 5 עולה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2010 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2010 מועד א', שאלה 9

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = ax − √2 − x² , a הוא פרמטר.

הישר y = −x − √2 משיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה־y.

א. מצא את הערך של a.

הצב a = −1 וענה על הסעיפים ב–ד.

ב. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

(2) פתור את המשוואה f′(x) = 0, ובדוק אם הפתרונות שמצאת מקיימים את המשוואה.

ג. מצא את השיעורים של נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן.

ד. דרך כל אחת מנקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה f(x) העבירו ישר המקביל לציר ה־y. מצא את המרחק בין שני הישרים.

✏️ פתרון שאלה 9

סעיף א – הערך של a

נקודת החיתוך עם ציר ה־y: מציבים x = 0:

f(0) = a · 0 − √2 − 0 = −√2

הנקודה (0 , −√2) (היא נמצאת גם על המשיק, כי −0 − √2 = −√2).

שיפוע המשיק y = −x − √2 הוא m = −1. נגזרים את f(x):

f′(x) = a − −2x2√2 − x²📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

= a + x√2 − x²

f′(0) = a + 0√2 = a

f′(0) = −1📐 שיפוע המשיקm = f′(x₀)

a = −1

✅ פתרון סופי: a = −1

סעיף ב (1) – תחום הגדרה

מעכשיו: f(x) = −x − √2 − x².

2 − x² ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורש הביטוי בתוך השורש גדול או שווה ל־0

x² ≤ 2

−√2 ≤ x ≤ √2

✅ פתרון סופי: −√2 ≤ x ≤ √2

סעיף ב (2) – פתרון המשוואה f′(x) = 0

מסעיף א, עם a = −1:

f′(x) = −1 + x√2 − x²📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

−1 + x√2 − x² = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

x√2 − x² = 1

x = √2 − x²

מעלים את שני האגפים בריבוע:

x² = 2 − x²

2x² = 2

x² = 1

x = 1 , x = −1

בדיקה במשוואה x = √2 − x² (העלאה בריבוע יכולה להוסיף פתרון שאינו מתאים):

x = 1 : 1 = √2 − 1 = 1 ✔ מתאים

x = −1 : −1 ≠ √2 − 1 = 1 ✘ לא מתאים (שורש לא יכול להיות שלילי)

✅ פתרון סופי: x = 1 (הפתרון x = −1 לא מקיים את המשוואה)

סעיף ג – נקודות הקיצון המוחלט

בתוך התחום יש נקודה חשודה אחת: x = 1. בודקים את סימן הנגזרת משני צדדיה:

f′(0) = −1 + 0√2 = −1 < 0

f′(1.2) = −1 + 1.2√0.56 ≈ 0.6 > 0

x	f′(x)	f(x)
−√2 < x < 1	−	↘ יורדת
1	0	מינימום
1 < x < √2	+	↗ עולה

f(1) = −1 − √2 − 1 = −1 − 1 = −2

ערכי הפונקציה בקצות התחום:

f(−√2) = √2 − √2 − 2 = √2 ≈ 1.41

f(√2) = −√2 − √2 − 2 = −√2 ≈ −1.41

משווים את כל הערכים: הגדול ביותר הוא √2 והקטן ביותר הוא −2.📐 קיצון מוחלט בתחום סגורמשווים את ערכי הפונקציה בנקודות הקיצון ובקצות התחום

(הנקודה (√2 , −√2) היא מקסימום מקומי בקצה התחום, אבל לא מוחלט, כי −√2 < √2.)

גרף הפונקציה (בכחול) עם הישרים של סעיף ד (מקווקווים).

✅ פתרון סופי: (−√2 , √2) מקסימום מוחלט

✅ פתרון סופי: (1 , −2) מינימום מוחלט

סעיף ד – המרחק בין הישרים

הישרים המקבילים לציר ה־y דרך נקודות הקיצון המוחלט:

x = −√2 , x = 1

d = 1 − (−√2) = 1 + √2 ≈ 2.41📐 מרחק בין ישרים המקבילים לציר yd = x₂ − x₁

✅ פתרון סופי: 1 + √2 ≈ 2.41

📌 סיכום התשובות – שאלה 9

סעיף א	a = −1
סעיף ב (1)	−√2 ≤ x ≤ √2
סעיף ב (2)	x = 1
סעיף ג	(−√2 , √2) מקס׳ מוחלט, (1 , −2) מינ׳ מוחלט
סעיף ד	1 + √2

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2010 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2010, שאלה 9

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 1√x − 1.

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב. מצא על גרף הפונקציה f(x) נקודה שהמכפלה של שיעור ה־x שלה בשיעור ה־y שלה היא מינימלית.

ג. נתונה הפונקציה g(x) = x√x − 1. היעזר בתשובותיך לסעיף א ולסעיף ב, וסרטט סקיצה של גרף הפונקציה g(x).

✏️ פתרון שאלה 9

סעיף א – תחום הגדרה

הביטוי בתוך השורש חייב להיות אי־שלילי, והשורש נמצא במכנה, ולכן הוא גם שונה מ־0. כלומר הביטוי בתוך השורש חיובי:

x − 1 > 0📐 תחום הגדרה של שורש במכנההביטוי בתוך השורש גדול מ־0

x > 1

✅ פתרון סופי: x > 1

סעיף ב – מכפלה מינימלית

נקודה כללית על הגרף: (x , 1√x − 1), כאשר x > 1. המכפלה של השיעורים:

P(x) = x · 1√x − 1 = x√x − 1

גוזרים לפי נגזרת של מנה:

u = x , u′ = 1

v = √x − 1 , v′ = 12√x − 1📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)

P′(x) = 1 · √x − 1 − x · 12√x − 1x − 1📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

כופלים את המונה ואת המכנה ב־2√x − 1:

= 2(x − 1) − x2(x − 1)√x − 1

= x − 22(x − 1)√x − 1

x − 2 = 0📐 נקודת קיצוןP′(x) = 0

x = 2

בתחום x > 1 המכנה חיובי, והסימן לפי x − 2:

P′(1.5) = −0.5חיובי < 0

P′(3) = 1חיובי > 0

x	P′(x)	P(x)
1 < x < 2	−	↘ יורדת
2	0	מינימום
x > 2	+	↗ עולה

f(2) = 1√2 − 1 = 11 = 1

(המכפלה המינימלית: 2 · 1 = 2.)

✅ פתרון סופי: (2 , 1)

סעיף ג – סקיצה של g(x)

שימו לב: g(x) = x√x − 1 = x · f(x), כלומר g(x) היא בדיוק המכפלה P(x) מסעיף ב.

תחום ההגדרה זהה לסעיף א: x > 1.

מסעיף ב: g(x) יורדת ב־1 < x < 2, עולה ב־x > 2, ויש לה מינימום ב־x = 2:

g(2) = 2√1 = 2

כאשר x מתקרב ל־1 מימין, המכנה מתקרב ל־0 והמונה ל־1, ולכן g(x) שואפת ל־+∞: הישר x = 1 אסימפטוטה אנכית. כל ערכי g(x) חיוביים, ואין חיתוך עם הצירים.

הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הסקיצה בציור (בכחול): מינימום (2 , 2), אסימפטוטה x = 1

📌 סיכום התשובות – שאלה 9

סעיף א	x > 1
סעיף ב	(2 , 1)
סעיף ג	סקיצה: מינימום (2 , 2), אסימפטוטה x = 1

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471 · קורס בעיות קיצון 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2010). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.

השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.