בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (35471) · שאלות לפי נושא

שאלות בגרות 471 לפי נושא – חקירת פונקציות

כל שאלות חקירת הפונקציה מבחינות הבגרות בשאלון 471: פונקציה רציונלית, פולינום, פונקציה עם פרמטר וחקירה לפי גרף הנגזרת, כולל סעיפי השטח והאינטגרל שבתוכן. מהבחינה החדשה ביותר אחורה, ובכל שאלה הנוסח המלא ומתחתיו פתרון מלא שלב אחר שלב.

⬅️ חזרה לקורס: חקירת פונקציות – 471

📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 471 לפי נושא

79 שאלות פתורות: 21 משאלון 471 ו־58 מבגרויות ישנות. לוחצים על מועד ועוברים ישר לשאלה.

ליד כל מועד כתוב מה יש בשאלה: פרמטר · שטח · הזזות · גרף נגזרת · משיק

בגרויות חדשות – שאלון 471

בגרויות ישנות

📅 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 6 פרמטר · הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 4x²x² − 9 + a. a הוא פרמטר.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. הוכיחו כי הפונקציה f(x) היא זוגית.

נתון כי גרף הפונקציה f(x) חותך את ציר ה־x בנקודה שבה x = √3.

ג. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 2 בפונקציה f(x) וענו על הסעיפים ד–ו.

ד. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. (2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגה. (3) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. (4) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה.

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = f(x − 7).

ו. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה g(x). (2) האם הפונקציה g(x) היא זוגית? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום הגדרה

x² − 9 ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0

x² ≠ 9

x ≠ 3 , x ≠ −3

✅ פתרון סופי: x ≠ ±3

סעיף ב – הפונקציה זוגית

מציבים −x במקום x:

f(−x) = 4(−x)²(−x)² − 9 + a📐 פונקציה זוגיתf(−x) = f(x)

= 4x²x² − 9 + a = f(x)📐 ריבוע של מספר נגדי(−x)² = x²

גם תחום ההגדרה x ≠ ±3 סימטרי סביב 0. לכן f(x) זוגית ✓

✅ פתרון סופי: f(−x) = f(x) ← זוגית

סעיף ג – הערך של a

הנקודה (√3 , 0) על הגרף, לכן f(√3) = 0:

4 · (√3)²(√3)² − 9 + a = 0

4 · 33 − 9 + a = 0📐 ריבוע של שורש(√a)² = a

12−6 + a = 0

−2 + a = 0

a = 2

✅ פתרון סופי: a = 2

סעיף ד (1) – חיתוך עם הצירים

מעכשיו f(x) = 4x²x² − 9 + 2.

ציר ה־y – מציבים x = 0:

f(0) = 00 − 9 + 2 = 0 + 2 = 2 ← (0 , 2)

ציר ה־x – פותרים f(x) = 0:

4x²x² − 9 + 2 = 0

כופלים ב־(x² − 9) (לא אפס בתחום):

4x² + 2(x² − 9) = 0

4x² + 2x² − 18 = 0📐 פתיחת סוגרייםa(b + c) = ab + ac

6x² = 18

x² = 3

x = √3 או x = −√3

שניהם בתחום ההגדרה (√3 ≈ 1.73).

✅ פתרון סופי: (0 , 2) , (√3 , 0) , (−√3 , 0)

סעיף ד (2) – נקודת קיצון

גוזרים. הנגזרת של הקבוע 2 היא 0, ואת השבר גוזרים לפי נגזרת של מנה עם u = 4x² , v = x² − 9:

f′(x) = 8x(x² − 9) − 4x² · 2x(x² − 9)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

f′(x) = 8x³ − 72x − 8x³(x² − 9)²

f′(x) = −72x(x² − 9)²

−72x = 0 ⟸ x = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

המכנה (x² − 9)² תמיד חיובי, לכן סימן f′ הוא סימן −72x. טבלה (כולל x = ±3 שמחוץ לתחום):

	x < −3	−3	−3 < x < 0	0	0 < x < 3	3	x > 3
f′	+	✕	+	0	−	✕	−
f	↗	✕	↗	מקס׳	↘	✕	↘

הצבות לבדיקת הסימן: f′(−1) = 7264 > 0 , f′(1) = −7264 < 0.

f(0) = 2

✅ פתרון סופי: מקסימום (0 , 2)

סעיף ד (3) – עלייה וירידה

לפי הטבלה בסעיף הקודם:📐 עלייה וירידהf′ > 0 ← עולהf′ < 0 ← יורדת

✅ פתרון סופי: עולה: x < −3 , −3 < x < 0 יורדת: 0 < x < 3 , x > 3

סעיף ד (4) – אסימפטוטות

אנכיות – איפה שהמכנה מתאפס והמונה לא: ב־x = ±3 המונה 4 · 9 = 36 ≠ 0.

x = 3 , x = −3

אופקית – בשבר 4x²x² − 9 החזקה הגבוהה במונה ובמכנה שווה (2), לכן לוקחים את יחס המקדמים:

4x²x² − 9 → 41 = 4📐 אסימפטוטה אופקיתחזקות שוות ← y = מקדם במונהמקדם במכנה

y = 4 + 2 = 6

✅ פתרון סופי: x = 3 , x = −3 , y = 6

סעיף ה – סקיצה

מסמנים: אסימפטוטות x = ±3 ו־y = 6, חיתוכים (0 , 2) , (±√3 , 0) ומקסימום (0 , 2).

משמאל ל־x = −3 הגרף עולה מ־y = 6 ל־+∞. באמצע הגרף עולה מ־−∞ עד המקסימום ויורד ל־−∞. מימין ל־x = 3 הוא יורד מ־+∞ אל y = 6. הגרף סימטרי סביב ציר ה־y (פונקציה זוגית).

✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ו – הפונקציה g(x) = f(x − 7)

(1) g(x) = f(x − 7) היא הזזה של f ב־7 יחידות ימינה. כל אסימפטוטה אנכית זזה 7 ימינה, והאופקית לא משתנה:

x = −3 + 7 = 4 , x = 3 + 7 = 10📐 הזזה אופקיתf(x − k) ← הזזה ימינה ב־k

y = 6

(2) הגרף של f סימטרי סביב x = 0, ולכן הגרף של g סימטרי סביב x = 7 – לא סביב ציר ה־y.

דוגמה: g(−4) מוגדרת (−4 ≠ 4 , 10), אבל g(4) לא מוגדרת. לכן לא ייתכן g(−4) = g(4).

תחום ההגדרה לא סימטרי סביב 0📐 פונקציה זוגיתg(−x) = g(x) לכל x

✅ פתרון סופי: (1) x = 4 , x = 10 , y = 6 (2) לא זוגית

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	x ≠ ±3
סעיף ב	זוגית: f(−x) = f(x)
סעיף ג	a = 2
סעיף ד	(0 , 2) , (±√3 , 0) ; מקסימום (0 , 2) ; עולה x < −3 , −3 < x < 0 ; יורדת 0 < x < 3 , x > 3 ; x = ±3 , y = 6
סעיף ה	סקיצה
סעיף ו	x = 4 , x = 10 , y = 6 ; לא זוגית

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2026 מועד א', שאלה 6 הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 72 − 18xx² + 9 − 1, המוגדרת לכל x.

א. מצאו את משוואת האסימפטוטה המקבילה לציר ה־x של הפונקציה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

ג. (1) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן. (2) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = |f(x)|, המוגדרת לכל x.

ה. (1) מצאו את משוואת האסימפטוטה המקבילה לציר ה־x של הפונקציה g(x). (2) קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקציה g(x). נמקו את קביעתכם.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – אסימפטוטה אופקית

בשבר 72 − 18xx² + 9 החזקה הגבוהה במכנה (x²) גדולה מהחזקה במונה (x), ולכן כש־x → ±∞ השבר שואף ל־0:

72 − 18xx² + 9 → 0📐 אסימפטוטה אופקיתחזקה במכנה גדולה מהחזקה במונה ← השבר שואף ל־0

f(x) → 0 − 1 = −1

✅ פתרון סופי: y = −1

סעיף ב – נקודות חיתוך עם הצירים

עם ציר ה־y – מציבים x = 0:

f(0) = 72 − 00 + 9 − 1 = 8 − 1 = 7📐 חיתוך עם ציר ה־yx = 0

עם ציר ה־x – פותרים f(x) = 0:

72 − 18xx² + 9 − 1 = 0📐 חיתוך עם ציר ה־xy = 0

72 − 18xx² + 9 = 1

כופלים במכנה – הוא תמיד חיובי, ולכן אף פעם לא 0:

72 − 18x = x² + 9

0 = x² + 18x + 9 − 72

x² + 18x − 63 = 0

a = 1 , b = 18 , c = −63

b² − 4ac = 324 + 252 = 576 , √576 = 24📐 נוסחת השורשיםx_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

x_1,2 = −18 ± 242

x₁ = 62 = 3 , x₂ = −422 = −21

בדיקה: f(3) = 72 − 5418 − 1 = 1 − 1 = 0 ✓

✅ פתרון סופי: (0 , 7)

✅ פתרון סופי: (3 , 0) , (−21 , 0)

סעיף ג (1) – נקודות קיצון

גוזרים את השבר לפי נגזרת של מנה. המספר −1 נגזר ל־0:

u = 72 − 18x , u′ = −18

v = x² + 9 , v′ = 2x

f′(x) = (−18)(x² + 9) − (72 − 18x) · 2x(x² + 9)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

פותחים סוגריים במונה:

= −18x² − 162 − 144x + 36x²(x² + 9)²

= 18x² − 144x − 162(x² + 9)²

משווים ל־0 (מספיק שהמונה יהיה 0):

18x² − 144x − 162 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

מחלקים ב־18:

x² − 8x − 9 = 0

(x − 9)(x + 1) = 0📐 טרינוםx² + bx + c = (x + p)(x + q)p · q = c , p + q = b

x = 9 או x = −1

מוצאים את ה־y:

f(−1) = 72 + 181 + 9 − 1 = 9010 − 1 = 9 − 1 = 8

f(9) = 72 − 16281 + 9 − 1 = −9090 − 1 = −1 − 1 = −2

טבלת סימנים של f′(x) (המכנה חיובי, הסימן לפי (x − 9)(x + 1)):

x	f′(x)	f(x)
x < −1	+	↗ עולה
−1	0	מקסימום
−1 < x < 9	−	↘ יורדת
9	0	מינימום
x > 9	+	↗ עולה

✅ פתרון סופי: (−1 , 8) מקסימום

✅ פתרון סופי: (9 , −2) מינימום

סעיף ג (2) – תחומי עלייה וירידה

מטבלת הסימנים:

✅ פתרון סופי: עלייה: x < −1 או x > 9

✅ פתרון סופי: ירידה: −1 < x < 9

סעיף ד – סקיצה

מסמנים: אסימפטוטה y = −1, חיתוכים (−21 , 0), (3 , 0), (0 , 7), מקסימום (−1 , 8) ומינימום (9 , −2). משמאל הגרף מתקרב לאסימפטוטה מלמעלה, ומימין – מלמטה.

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ה (1) – אסימפטוטה של g(x)

ערך מוחלט הופך כל ערך שלילי לחיובי. f(x) שואפת ל־−1, ולכן:

g(x) = |f(x)| → |−1| = 1📐 ערך מוחלט|a| = a אם a ≥ 0|a| = −a אם a < 0

✅ פתרון סופי: y = 1

סעיף ה (2) – איזה גרף מתאר את g(x)

מה צריך לראות בגרף של g(x) = |f(x)|:

• הגרף כולו מעל ציר ה־x או עליו, ונוגע בציר ב־x = −21 וב־x = 3 (שם f = 0).📐 ערך מוחלט של פונקציההחלקים שמתחת לציר ה־x משתקפים למעלה

• האסימפטוטה היא y = 1 (מעל ציר ה־x) – ולא ציר ה־x.

• המקסימום הגבוה (−1 , 8) נמצא משמאל לציר ה־y, והגרף חותך את ציר ה־y ב־(0 , 7), קצת מתחתיו.

• המינימום (9 , −2) של f הופך לנקודת מקסימום חדשה (9 , 2).

בגרפים I ו־II אין אסימפטוטה y = 1. בגרף III המקסימום הגבוה נמצא מימין לציר ה־y. רק גרף IV מתאים לכל התנאים.

✅ פתרון סופי: גרף IV

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	y = −1
סעיף ב	(0 , 7) (3 , 0) , (−21 , 0)
סעיף ג (1)	(−1 , 8) מקסימום (9 , −2) מינימום
סעיף ג (2)	עלייה: x < −1 או x > 9 ירידה: −1 < x < 9
סעיף ד	הסקיצה למעלה
סעיף ה (1)	y = 1
סעיף ה (2)	גרף IV

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2026, שאלה 6 פרמטר · שטח · הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = a(x − 4)², המוגדרת בתחום x ≠ 4. a הוא פרמטר חיובי. נתון כי בנקודה שבה x = 6, שיפוע המשיק לגרף הפונקצייה f(x) הוא −3.

א. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 12, וענו על הסעיפים ב–ה.

ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה f(x). (3) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x).

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת f′(x) זהה לתחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

ד. (1) קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את גרף פונקציית הנגזרת f′(x). (2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי הישר x = 3, על ידי ציר ה־x ועל ידי ציר ה־y.

נתונה הפונקצייה g(x) = f′(x) + 2.

ה. בכמה גדול השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה g(x), על ידי הישר x = 3, על ידי ציר ה־x ועל ידי ציר ה־y, מן השטח שמצאתם בסעיף ד (2)? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – הערך של a

גוזרים לפי נגזרת של מנה. u = a (קבוע), v = (x − 4)²:

u′ = 0

v′ = 2(x − 4)¹ · 1 = 2(x − 4)📐 נגזרת של ביטוי בחזקה[(ax + b)ⁿ]′ = n(ax + b)^{n − 1} · a

f′(x) = 0 · (x − 4)² − a · 2(x − 4)(x − 4)⁴📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

מצמצמים ב־(x − 4):

f′(x) = −2a(x − 4)(x − 4)⁴ = −2a(x − 4)³

שיפוע המשיק ב־x = 6 הוא −3:

f′(6) = −3📐 שיפוע המשיקm = f′(x₀)

−2a(6 − 4)³ = −3 → −2a8 = −3

כופלים ב־8:

−2a = −24

מחלקים ב־−2:

a = 12

✅ פתרון סופי: a = 12

סעיף ב (1) – חיתוך עם הצירים

מעכשיו f(x) = 12(x − 4)².

חיתוך עם ציר ה־x – מציבים y = 0:

12(x − 4)² = 0

שבר שווה 0 רק כשהמונה 0, אבל המונה 12 ≠ 0 – אין פתרון.📐 שבר שווה לאפסab = 0 ⟺ a = 0 (ו־b ≠ 0)

חיתוך עם ציר ה־y – מציבים x = 0:

f(0) = 12(0 − 4)² = 1216 = 34

✅ פתרון סופי: עם ציר ה־x: אין ; עם ציר ה־y: (0 , 34)

סעיף ב (2) – אסימפטוטות

אנכית: המכנה מתאפס כש־(x − 4)² = 0, כלומר x = 4, והמונה שם 12 ≠ 0:

x = 4📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0

אופקית: במונה חזקה 0 (מספר), במכנה חזקה 2. החזקה במכנה גדולה יותר:

y = 0📐 אסימפטוטה אופקיתחזקה במכנה גדולה מבמונה ← y = 0

✅ פתרון סופי: x = 4 , y = 0

סעיף ב (3) – תחומי עלייה וירידה

מסעיף א: f′(x) = −24(x − 4)³. המונה −24 אף פעם לא 0, ולכן אין נקודות קיצון (f′(x) ≠ 0).

בודקים את סימן הנגזרת משני צידי x = 4 (נקודה שלא בתחום):📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדת

f′(3) = −24(−1)³ = −24−1 = 24 > 0 ← עולה

f′(5) = −241³ = −24 < 0 ← יורדת

x	f′(x)	f(x)
x < 4	+	↗ עולה
x = 4	לא מוגדרת	לא מוגדרת
x > 4	−	↘ יורדת

✅ פתרון סופי: עלייה: x < 4

✅ פתרון סופי: ירידה: x > 4

סעיף ג – סקיצה

מסמנים: אסימפטוטה אנכית x = 4, אסימפטוטה אופקית y = 0 (ציר ה־x), חיתוך (0 , 34). הפונקצייה חיובית תמיד (מונה חיובי, מכנה בריבוע), עולה משמאל ל־4 ויורדת מימין ל־4. ליד x = 4 הגרף עולה לאינסוף משני הצדדים.

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ד (1) – איזה גרף מתאר את f′(x)

מסעיף ב (3) יודעים את סימן הנגזרת: f′(x) > 0 כש־x < 4 (הגרף מעל ציר ה־x), ו־f′(x) < 0 כש־x > 4 (הגרף מתחת לציר).

בנוסף f′(x) = −24(x − 4)³: ליד x = 4 המכנה קרוב ל־0, ולכן הנגזרת שואפת לאינסוף (משמאל) ולמינוס אינסוף (מימין). רחוק מ־4 הנגזרת מתקרבת ל־0.

רק בגרף III הענף השמאלי מעל ציר ה־x ועולה לאינסוף, והענף הימני מתחת לציר ה־x.

✅ פתרון סופי: גרף III

סעיף ד (2) – השטח מתחת לגרף הנגזרת

בתחום 0 ≤ x ≤ 3 הנגזרת חיובית (סעיף ב (3)), ולכן השטח שווה לאינטגרל. הפונקצייה הקדומה של f′(x) היא f(x) עצמה:

S = ∫30 f′(x) dx = f(3) − f(0)📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)

f(3) = 12(3 − 4)² = 121 = 12

f(0) = 34 (סעיף ב (1))

S = 12 − 34 = 11.25

✅ פתרון סופי: S = 11.25 יחידות שטח

סעיף ה – בכמה גדול השטח של g(x)

g(x) = f′(x) + 2 – הגרף של f′(x) מוזז 2 יחידות למעלה. בתחום 0 ≤ x ≤ 3 גם g(x) חיובית, ולכן:

S_g = ∫30 (f′(x) + 2) dx📐 אינטגרל של סכום∫(f + g) = ∫f + ∫g

= ∫30 f′(x) dx + ∫30 2 dx

= 11.25 + [2x] = 11.25 + (2 · 3 − 2 · 0) = 11.25 + 6 = 17.25

ההפרש הוא מלבן ברוחב 3 (מ־0 עד 3) ובגובה 2 (ההזזה למעלה): 3 · 2 = 6.

✅ פתרון סופי: השטח גדול ב־6 יחידות שטח (17.25 − 11.25)

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	a = 12
סעיף ב (1)	אין חיתוך עם ציר ה־x ; (0 , 34)
סעיף ב (2)	x = 4 , y = 0
סעיף ב (3)	עולה x < 4 , יורדת x > 4
סעיף ד (1)	גרף III
סעיף ד (2)	11.25
סעיף ה	גדול ב־6

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 6 פרמטר · הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = 12x(x + 4)².

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה f(x). (3) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x. (4) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

הישר y = k וגרף הפונקצייה f(x) נפגשים בנקודה אחת בדיוק, k > 0.

ג. מצאו את הערך של k.

נתונה הפונקצייה g(x) = f(x) + 1.

ד. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה g(x). (2) בעבור הערך של k שמצאתם, כמה נקודות משותפות יש לישר y = k ולגרף הפונקצייה g(x)? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום הגדרה

(x + 4)² ≠ 0 → x ≠ −4📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0

✅ פתרון סופי: x ≠ −4

סעיף א (2) – אסימפטוטות

אנכית: המכנה מתאפס ב־x = −4, והמונה שם 12 · (−4) = −48 ≠ 0:

x = −4📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0

אופקית: במונה חזקה 1, במכנה חזקה 2 (אחרי פתיחת הריבוע). החזקה במכנה גדולה יותר:

y = 0📐 אסימפטוטה אופקיתחזקה במכנה גדולה מבמונה ← y = 0

✅ פתרון סופי: x = −4 , y = 0

סעיף א (3) – חיתוך עם ציר ה־x

12x(x + 4)² = 0 → 12x = 0 → x = 0📐 שבר שווה לאפסab = 0 ⟺ a = 0

✅ פתרון סופי: (0 , 0)

סעיף א (4) – נקודת קיצון

נגזרת של מנה: u = 12x , u′ = 12 ; v = (x + 4)²:

v′ = 2(x + 4)📐 נגזרת של ביטוי בחזקה[(ax + b)ⁿ]′ = n(ax + b)^{n − 1} · a

f′(x) = 12(x + 4)² − 12x · 2(x + 4)(x + 4)⁴📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

מוציאים גורם משותף 12(x + 4) מהמונה ומצמצמים:

f′(x) = 12(x + 4)[(x + 4) − 2x](x + 4)⁴ = 12(4 − x)(x + 4)³

12(4 − x) = 0 → x = 4📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

f(4) = 488² = 4864 = 34

בודקים את סימן הנגזרת (כולל משני צידי x = −4):

f′(−5) = 12 · 9(−1)³ = −108 < 0 ← יורדת

f′(0) = 4864 > 0 ← עולה

f′(5) = 12 · (−1)9³ < 0 ← יורדת

x	f′(x)	f(x)
x < −4	−	↘ יורדת
−4	לא מוגדרת	לא מוגדרת
−4 < x < 4	+	↗ עולה
4	0	מקסימום
x > 4	−	↘ יורדת

✅ פתרון סופי: מקסימום (4 , 34)

סעיף ב – סקיצה

מסמנים: אסימפטוטות x = −4 ו־y = 0, חיתוך (0 , 0), מקסימום (4 , 34). משמאל ל־−4 הגרף מתחת לציר ה־x ויורד למינוס אינסוף. מימין ל־−4 הוא עולה ממינוס אינסוף דרך הראשית עד המקסימום, ואז יורד ומתקרב ל־0 מלמעלה.

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ג – הערך של k

הפונקצייה חיובית רק כש־x > 0, ושם היא עולה מ־0 עד 34 ואחר כך יורדת חזרה לכיוון 0.

• אם 0 < k < 34 – הישר חותך את הגרף פעמיים (פעם בעלייה, פעם בירידה).

• אם k > 34 – אין נקודה משותפת.

• אם k = 34 – הישר נוגע בגרף רק בנקודת המקסימום.

✅ פתרון סופי: k = 34

סעיף ד (1) – אסימפטוטות של g(x)

g(x) = f(x) + 1 – אותו גרף מוזז 1 למעלה. האסימפטוטה האנכית לא זזה, והאופקית עולה ב־1.📐 הזזה אנכיתf(x) + c ← הזזה של c למעלה

✅ פתרון סופי: x = −4 , y = 1

סעיף ד (2) – כמה נקודות משותפות

הישר y = 34 פוגש את g כש־f(x) + 1 = 34, כלומר כש־f(x) = −14.

• משמאל ל־−4: f יורדת מ־0 (מתחת לציר) עד מינוס אינסוף – מקבלת את הערך −14 פעם אחת.

• בין −4 ל־0: f עולה ממינוס אינסוף עד 0 – מקבלת את הערך −14 פעם אחת.

• כש־x > 0: f חיובית – אין.

(בחישוב: x = −28 ± 16√3, כלומר x ≈ −55.7 ו־x ≈ −0.29.)

✅ פתרון סופי: 2 נקודות משותפות

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)	x ≠ −4
סעיף א (2)	x = −4 , y = 0
סעיף א (3)	(0 , 0)
סעיף א (4)	מקסימום (4 , 34)
סעיף ג	k = 34
סעיף ד (1)	x = −4 , y = 1
סעיף ד (2)	2

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד א', שאלה 6 שטח · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = x² − 9x² + 1 + 1, המוגדרת לכל x.

א. מצאו את משוואת האסימפטוטה המקבילה לציר ה־x של הפונקצייה f(x).

ב. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה. (2) רשמו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x).

ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

ה. (1) קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). נמקו את קביעתכם. (2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = 2 ו־x = −2.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – אסימפטוטה אופקית

בשבר x² − 9x² + 1 החזקה הגבוהה במונה ובמכנה שווה (2), ולכן השבר שואף ל־11 = 1:

x² − 9x² + 1 → 1📐 אסימפטוטה אופקיתחזקות שוות ← y = מקדם במונהמקדם במכנה

ועוד 1 שמחוץ לשבר:

y = 1 + 1 = 2

✅ פתרון סופי: y = 2

סעיף ב (1) – נקודת קיצון

הנגזרת של +1 היא 0. גוזרים את השבר לפי נגזרת של מנה: u = x² − 9 , u′ = 2x ; v = x² + 1 , v′ = 2x.

f′(x) = 2x(x² + 1) − (x² − 9) · 2x(x² + 1)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

פותחים סוגריים במונה:

2x³ + 2x − 2x³ + 18x = 20x

f′(x) = 20x(x² + 1)²

20x = 0 → x = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

f(0) = 0 − 90 + 1 + 1 = −9 + 1 = −8

סימן הנגזרת (המכנה תמיד חיובי, הסימן לפי 20x):

f′(−1) = −204 = −5 < 0 ← יורדת

f′(1) = 204 = 5 > 0 ← עולה

x	f′(x)	f(x)
x < 0	−	↘ יורדת
0	0	מינימום
x > 0	+	↗ עולה

✅ פתרון סופי: מינימום (0 , −8)

סעיף ב (2) – עלייה וירידה

מטבלת הסימנים שבסעיף ב (1):

✅ פתרון סופי: עלייה: x > 0

✅ פתרון סופי: ירידה: x < 0

סעיף ג – חיתוך עם ציר ה־x

מציבים y = 0:

x² − 9x² + 1 + 1 = 0

מעבירים אגף וכופלים ב־x² + 1 (תמיד חיובי):

x² − 9 = −(x² + 1)

x² − 9 = −x² − 1

2x² = 8 → x² = 4

x = 2 או x = −2📐 שורש ריבועיx² = a → x = ±√a

✅ פתרון סופי: (2 , 0) , (−2 , 0)

סעיף ד – סקיצה

מסמנים: אסימפטוטה y = 2, מינימום (0 , −8), חיתוכים (−2 , 0) ו־(2 , 0). הפונקצייה יורדת משמאל ל־0 ועולה מימין ל־0, ומתקרבת ל־2 מלמטה בשני הצדדים. הגרף סימטרי לציר ה־y.

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ה (1) – איזה גרף מתאר את f′(x)

f′(x) = 20x(x² + 1)²:

• f′(0) = 0 – הגרף עובר בראשית הצירים.

• x < 0: f′(x) < 0 – הגרף מתחת לציר ה־x; x > 0: f′(x) > 0 – מעליו (הפונקצייה יורדת ואחר כך עולה).

• רחוק מהראשית הנגזרת מתקרבת ל־0 (המכנה גדל הרבה יותר מהמונה).

רק גרף I עובר בראשית, מתחת לציר משמאל ומעליו מימין.

✅ פתרון סופי: גרף I

סעיף ה (2) – השטח

בין −2 ל־0 הנגזרת שלילית (השטח מתחת לציר), ובין 0 ל־2 חיובית. מחשבים כל חלק לחוד. הפונקצייה הקדומה של f′(x) היא f(x):

∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)

הערכים (מסעיפים ב, ג): f(−2) = 0 , f(0) = −8 , f(2) = 0.

∫0−2 f′(x) dx = f(0) − f(−2) = −8 − 0 = −8 ← שטח 8 (מתחת לציר)

∫20 f′(x) dx = f(2) − f(0) = 0 − (−8) = 8

S = 8 + 8 = 16📐 שטח מתחת לצירשטח = ערך מוחלט של האינטגרל

✅ פתרון סופי: S = 16 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	y = 2
סעיף ב (1)	מינימום (0 , −8)
סעיף ב (2)	יורדת x < 0 , עולה x > 0
סעיף ג	(2 , 0) , (−2 , 0)
סעיף ה (1)	גרף I
סעיף ה (2)	16

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2025, שאלה 6 פרמטר · הזזות · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x² + x + ax. a ≠ 0 הוא פרמטר.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה (אם יש כאלה).

נתון כי גרף הפונקציה f(x) עובר בנקודה (5 , 9.2).

ב. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 16, וענו על סעיפים ג–ה.

ג. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

g(x) היא פונקציה שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x). נגזרת הפונקציה g(x) מקיימת g′(x) = f(x) − 11.

ה. (1) סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת g′(x). (2) מצאו את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקציה g(x), וקבעו את סוגן.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום הגדרה ואסימפטוטות

x ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0

אנכית: ב־x = 0 המכנה מתאפס, והמונה שווה 0 + 0 + a = a ≠ 0. לכן יש אסימפטוטה אנכית x = 0.

אופקית: החזקה במונה (2) גדולה מהחזקה במכנה (1), ולכן אין אסימפטוטה אופקית.📐 אסימפטוטה אופקיתחזקה במונה גדולה יותר ← אין

✅ פתרון סופי: (1) x ≠ 0 (2) x = 0 בלבד

סעיף ב – הערך של a

מציבים את הנקודה (5 , 9.2):

5² + 5 + a5 = 9.2

30 + a5 = 9.2

כופלים ב־5:

30 + a = 46

a = 16

✅ פתרון סופי: a = 16

סעיף ג – נקודות קיצון

עכשיו f(x) = x² + x + 16x. גוזרים לפי נגזרת של מנה עם u = x² + x + 16 , v = x:

f′(x) = (2x + 1) · x − (x² + x + 16) · 1x²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

f′(x) = 2x² + x − x² − x − 16x² = x² − 16x²

x² − 16 = 0 ⟸ x = 4 או x = −4📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

המכנה x² חיובי, לכן הסימן של f′ הוא הסימן של x² − 16. הצבות: f′(−5) = 925 > 0 , f′(−1) = −151 = −15 , f′(1) < 0 , f′(5) > 0.

	x < −4	−4	−4 < x < 0	0	0 < x < 4	4	x > 4
f′	+	0	−	✕	−	0	+
f	↗	מקס׳	↘	✕	↘	מינ׳	↗

f(−4) = 16 − 4 + 16−4 = 28−4 = −7

f(4) = 16 + 4 + 164 = 364 = 9

✅ פתרון סופי: מקסימום (−4 , −7) , מינימום (4 , 9)

סעיף ד – סקיצה

אסימפטוטה x = 0 (ציר ה־y), אין חיתוך עם הצירים (x² + x + 16 = 0 – אין פתרון, כי 1 − 64 < 0). משמאל: עולה עד המקסימום (−4 , −7) ויורדת ל־−∞. מימין: יורדת מ־+∞ עד המינימום (4 , 9) ועולה.

✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ה – הפונקציה g(x)

(1) g′(x) = f(x) − 11 – זה הגרף של f מוזז 11 יחידות למטה. כל נקודה יורדת ב־11:

(−4 , −7) → (−4 , −18) (4 , 9) → (4 , −2)📐 הזזה אנכיתf(x) − k ← הזזה למטה ב־k

האסימפטוטה x = 0 נשארת.

(2) נקודות הקיצון של g הן איפה ש־g′(x) = 0, כלומר f(x) = 11:

x² + x + 16x = 11

כופלים ב־x:

x² + x + 16 = 11x

x² − 10x + 16 = 0

x = 10 ± √100 − 642 = 10 ± 62📐 נוסחת השורשיםx_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

x = 8 או x = 2

הסוג לפי הסימן של g′ (מהגרף שלה): ב־0 < x < 2 הגרף מעל הציר (g′ > 0), בין 2 ל־8 מתחת (g′ < 0), ואחרי 8 שוב מעל.

	0 < x < 2	2	2 < x < 8	8	x > 8
g′	+	0	−	0	+
g	↗	מקס׳	↘	מינ׳	↗

ב־x < 0 מתקיים g′(x) ≤ −18 < 0 – אין שם קיצון.

✅ פתרון סופי: (2) מקסימום ב־x = 2 , מינימום ב־x = 8

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	x ≠ 0 ; x = 0
סעיף ב	a = 16
סעיף ג	מקס׳ (−4 , −7) , מינ׳ (4 , 9)
סעיף ד	סקיצה
סעיף ה	מקס׳ x = 2 , מינ׳ x = 8

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 6 פרמטר · הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x + 45x − x² − b. b הוא פרמטר.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן (הביעו באמצעות b, אם יש צורך).

נתון כי הישר y = −1 משיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודת המינימום שלה.

ג. מצאו את b.

הציבו b = 2 בפונקציה f(x) וענו על סעיפים ד–ה.

ד. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה. (2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה). (3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x), שפונקציית הנגזרת שלה מקיימת g′(x) = f(x) + 1. תחום ההגדרה של g(x) זהה לתחום ההגדרה של f(x).

ה. קבעו אם לפונקציה g(x) יש נקודות קיצון. נמקו את קביעתכם.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום הגדרה

5x − x² ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0

x(5 − x) ≠ 0📐 הוצאת גורם משותףab − ac = a(b − c)

x ≠ 0 , x ≠ 5

✅ פתרון סופי: x ≠ 0 , x ≠ 5

סעיף ב – נקודות קיצון

הנגזרת של הקבוע b היא 0. גוזרים את השבר לפי נגזרת של מנה עם u = x + 4 , v = 5x − x² , v′ = 5 − 2x:

f′(x) = 1 · (5x − x²) − (x + 4)(5 − 2x)(5x − x²)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

פותחים סוגריים במונה: (x + 4)(5 − 2x) = 5x − 2x² + 20 − 8x = −2x² − 3x + 20

המונה: 5x − x² − (−2x² − 3x + 20) = x² + 8x − 20

f′(x) = x² + 8x − 20(5x − x²)²

x² + 8x − 20 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

x = −8 ± √64 + 802 = −8 ± 122📐 נוסחת השורשיםx_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

x = 2 או x = −10

המכנה ריבוע (חיובי), לכן הסימן של f′ הוא הסימן של x² + 8x − 20 (פרבולה "מחייכת", שלילית בין השורשים):

	x < −10	−10	−10 < x < 0	0	0 < x < 2	2	2 < x < 5	5	x > 5
f′	+	0	−	✕	−	0	+	✕	+
f	↗	מקס׳	↘	✕	↘	מינ׳	↗	✕	↗

f(−10) = −6−50 − 100 − b = 125 − b

f(2) = 610 − 4 − b = 1 − b

✅ פתרון סופי: מקסימום (−10 , 125 − b) , מינימום (2 , 1 − b)

סעיף ג – הפרמטר b

משיק אופקי y = −1 בנקודת המינימום, כלומר ערך הפונקציה במינימום הוא −1:

1 − b = −1

b = 2

✅ פתרון סופי: b = 2

סעיף ד – אסימפטוטות, חיתוכים וסקיצה

מעכשיו f(x) = x + 45x − x² − 2.

(1) אנכיות: ב־x = 0 המונה 4, ב־x = 5 המונה 9 – שניהם ≠ 0 ← x = 0 , x = 5.

אופקית: החזקה במונה (1) קטנה מהחזקה במכנה (2), לכן השבר שואף ל־0, והפונקציה ל־0 − 2 = −2.📐 אסימפטוטה אופקיתחזקה במונה קטנה יותר ← y = 0

y = −2

(2) ציר ה־y: x = 0 לא בתחום – אין חיתוך. ציר ה־x:

x + 45x − x² = 2

כופלים במכנה:

x + 4 = 10x − 2x²

2x² − 9x + 4 = 0

x = 9 ± √81 − 324 = 9 ± 74

x = 4 או x = 0.5

(3) מקסימום (−10 , −1.96) , מינימום (2 , −1):

✅ פתרון סופי: (1) x = 0 , x = 5 , y = −2 (2) (0.5 , 0) , (4 , 0) , אין חיתוך עם ציר y

סעיף ה – האם ל־g(x) יש קיצון

g′(x) = f(x) + 1. קיצון של g יכול להיות רק היכן ש־g′ = 0 ו־g′ מחליפה סימן.

בתחום 0 < x < 5 הערך הקטן ביותר של f הוא המינימום −1, ולכן f(x) ≥ −1 ו־g′(x) = f(x) + 1 ≥ 0. היא מתאפסת רק ב־x = 2 ולא מחליפה סימן.

ב־x < 0 הערך הגדול ביותר של f הוא −1.96, ולכן g′ ≤ −0.96 < 0.

ב־x > 5 הפונקציה f עולה מ־−∞ אל האסימפטוטה y = −2, כלומר f < −2 ו־g′ < 0.

אין מקום שבו g′ מחליפה סימן.📐 קיצוןg′ = 0 וגם החלפת סימן

✅ פתרון סופי: אין ל־g(x) נקודות קיצון

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	x ≠ 0 , 5
סעיף ב	מקס׳ (−10 , 125 − b) , מינ׳ (2 , 1 − b)
סעיף ג	b = 2
סעיף ד	x = 0 , x = 5 , y = −2 ; (0.5 , 0) , (4 , 0)
סעיף ה	אין קיצון

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד א', שאלה 6 גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = 2x²x² − 9 + 4.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.

ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

ה. קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). נמקו את תשובתכם.

ו. קבעו בעבור כל אחד מן ההיגדים (1)–(2) שלפניכם אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם. (1) בכל נקודה בתחום x > 3 שיפוע המשיק לגרף הפונקצייה f(x) הוא חיובי. (2) בכל נקודה בתחום x < −3 שיפוע המשיק לגרף הפונקצייה f(x) הוא חיובי.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום הגדרה

x² − 9 ≠ 0 → x² ≠ 9 → x ≠ ±3📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0

✅ פתרון סופי: x ≠ 3 , x ≠ −3

סעיף א (2) – אסימפטוטות

אנכיות: המכנה מתאפס ב־x = ±3, והמונה שם 2 · 9 = 18 ≠ 0:

x = 3 , x = −3📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0

אופקית: בשבר החזקות במונה ובמכנה שוות (2), ולכן השבר שואף ליחס המקדמים 21 = 2. מוסיפים את ה־4:

y = 2 + 4 = 6📐 אסימפטוטה אופקיתחזקות שוות ← y = מקדם מוביל במונהמקדם מוביל במכנה

✅ פתרון סופי: x = ±3 , y = 6

סעיף ב – נקודת קיצון

נגזרת של מנה: u = 2x² , u′ = 4x ; v = x² − 9 , v′ = 2x. הנגזרת של 4 היא 0.

f′(x) = 4x(x² − 9) − 2x² · 2x(x² − 9)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

= 4x³ − 36x − 4x³(x² − 9)² = −36x(x² − 9)²

−36x = 0 → x = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

f(0) = 0−9 + 4 = 4

המכנה ריבוע – תמיד חיובי. לכן הסימן של f′ הפוך לסימן של x:

f′(−1) = 3664 > 0 ← עולה

f′(1) = −3664 < 0 ← יורדת

x	f′(x)	f(x)
x < −3	+	↗ עולה
−3 < x < 0	+	↗ עולה
0	0	מקסימום
0 < x < 3	−	↘ יורדת
x > 3	−	↘ יורדת

✅ פתרון סופי: מקסימום (0 , 4)

סעיף ג – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y: f(0) = 4 (מסעיף ב).

ציר ה־x:

2x²x² − 9 + 4 = 0

כופלים ב־x² − 9:

2x² + 4(x² − 9) = 0 → 6x² − 36 = 0 → x² = 6

x = ±√6 ≈ ±2.449

✅ פתרון סופי: (0 , 4) , (√6 , 0) , (−√6 , 0)

סעיף ד – סקיצה

מסמנים: אסימפטוטות x = ±3 ו־y = 6, מקסימום (0 , 4), חיתוכים (±√6 , 0). בין −3 ל־3 הגרף כמו "כיפה" עם השיא ב־4, ויורד למינוס אינסוף ליד האסימפטוטות. משני הצדדים הענפים מעל y = 6: משמאל עולה לפלוס אינסוף ליד −3, ומימין יורד מפלוס אינסוף ומתקרב ל־6.

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ה – איזה גרף מתאר את f′(x)

מהטבלה: f′ > 0 לכל x < 0 (בלי −3), f′ < 0 לכל x > 0 (בלי 3), ו־f′(0) = 0.

לכן גרף הנגזרת: מעל ציר ה־x משמאל לראשית, עובר דרך הראשית, ומתחת לציר מימין לה.📐 קשר בין פונקציה לנגזרתf′ > 0 ← עולה ; f′ < 0 ← יורדת

גרף I: הענף השמאלי מתחת לציר – נפסל. גרף II: בין האסימפטוטות הנגזרת עולה ושלילית משמאל לראשית – נפסל. גרף III: הענף האמצעי חותך את ציר ה־y מעל הראשית, כלומר f′(0) ≠ 0 – נפסל.

גרף IV: חיובי משמאל, עובר דרך הראשית, ושלילי מימין – מתאים.

✅ פתרון סופי: גרף IV

סעיף ו – נכון או לא נכון

(1) בתחום x > 3: −36x < 0 והמכנה חיובי, ולכן f′(x) < 0 – השיפוע שלילי.📐 שיפוע המשיקm = f′(x)

(2) בתחום x < −3: −36x > 0 והמכנה חיובי, ולכן f′(x) > 0 – השיפוע חיובי.

✅ פתרון סופי: (1) לא נכון

✅ פתרון סופי: (2) נכון

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)	x ≠ ±3
סעיף א (2)	x = ±3 , y = 6
סעיף ב	מקסימום (0 , 4)
סעיף ג	(0 , 4) , (±√6 , 0)
סעיף ה	גרף IV
סעיף ו	(1) לא נכון ; (2) נכון

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2024, שאלה 6 שטח · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

הפונקציה f(x) מוגדרת בתחום x ≠ ±4. בסרטוט מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x), המוגדרת באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת חותך את ציר ה־x רק בנקודה (0 , 0).

א. מצאו את שיעור ה־x של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגה.

ב. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

נתון כי לפונקציה f(x) יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה היא y = 2. אחד מן הביטויים I–III שלפניכם מייצג את הפונקציה f(x):
I. x²x² + 16 + 1
II. x²x² − 16 + 2
III. x²x² − 16 + 1

ג. קבעו איזה מן הביטויים I–III מייצג את הפונקציה f(x). נמקו את קביעתכם.

ד. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישר x = 2.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – נקודת הקיצון

מהגרף: משמאל ל־0 הגרף של f′ מעל ציר ה־x (f′ > 0), ומימין ל־0 מתחתיו (f′ < 0).

ב־x = 0 הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן מ־+ ל־−.📐 סוג הקיצון לפי הנגזרתמ־+ ל־− ← מקסימוםמ־− ל־+ ← מינימום

✅ פתרון סופי: x = 0 – מקסימום

סעיף ב – עלייה וירידה

לפי הסימן של f′ בגרף:📐 עלייה וירידהf′ > 0 ← עולהf′ < 0 ← יורדת

x	x < −4	−4	−4 < x < 0	0	0 < x < 4	4	x > 4
f′	+	✕	+	0	−	✕	−
f	↗	✕	↗	מקס׳	↘	✕	↘

✅ פתרון סופי: עולה: x < −4 , −4 < x < 0 ; יורדת: 0 < x < 4 , x > 4

סעיף ג – איזה ביטוי

I: המכנה x² + 16 אף פעם לא 0, כלומר מוגדרת לכל x – אבל נתון x ≠ ±4. לא מתאים.

II: השבר שואף ל־1 (מקדמי x²), ולכן הפונקציה ל־1 + 2 = 3 – אסימפטוטה y = 3. לא מתאים.📐 אסימפטוטה אופקיתחזקות שוות ← y = מקדם במונהמקדם במכנה

III: x² − 16 = 0 ⟸ x = ±4 לא בתחום ✓, ואסימפטוטה y = 1 + 1 = 2 ✓.

בדיקה: f′(x) = 2x(x² − 16) − x² · 2x(x² − 16)² = −32x(x² − 16)² – מתאפסת רק ב־0, חיובית משמאל ושלילית מימין ✓.

✅ פתרון סופי: ביטוי III : f(x) = x²x² − 16 + 1

סעיף ד – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y: f(0) = 0−16 + 1 = 1 ← (0 , 1).

ציר ה־x:

x²x² − 16 = −1

כופלים במכנה:

x² = −x² + 16

2x² = 16 ⟸ x² = 8

x = ±√8 = ±2√2 ≈ ±2.83

✅ פתרון סופי: (0 , 1) , (2√2 , 0) , (−2√2 , 0)

סעיף ה – סקיצה

אסימפטוטות x = ±4 , y = 2. מקסימום (0 , 1). בצדדים החיצוניים הגרף מעל y = 2 (עולה לפני −4, יורד אחרי 4).

✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ו – השטח

בין 0 ל־2 הגרף של f′ מתחת לציר ה־x, לכן השטח הוא מינוס האינטגרל:

S = −∫₀² f′(x) dx = −[f(2) − f(0)] = f(0) − f(2)📐 אינטגרל מסוים∫_a^b f′(x) dx = f(b) − f(a)

f(2) = 44 − 16 + 1 = −13 + 1 = 23

S = 1 − 23 = 13

✅ פתרון סופי: S = 13

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	x = 0 מקסימום
סעיף ב	עולה x < 0 (x ≠ −4) , יורדת x > 0 (x ≠ 4)
סעיף ג	III
סעיף ד	(0 , 1) , (±2√2 , 0)
סעיף ו	13

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 · קורס אינטגרלים 471

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 6 פרמטר · הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = 2xx² − a, a הוא פרמטר. נתון כי גרף הפונקצייה f(x) עובר דרך הנקודה (3 , 1.2).

א. מצאו את a.

הציבו a = 4 בפונקצייה f(x) וענו על הסעיפים ב–ו.

ב. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

ג. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה f(x).

ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x) (אם יש כאלה).

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = −f(x) + 1.

ו. (1) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה g(x). (2) כמה פתרונות יש למשוואה g(x) = 1? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – הערך של a

2 · 33² − a = 1.2 → 69 − a = 1.2📐 נקודה על גרףמציבים את שיעוריה במשוואה

9 − a = 61.2 = 5 → a = 4

✅ פתרון סופי: a = 4

סעיף ב – תחום הגדרה

x² − 4 ≠ 0 → x ≠ ±2📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0

✅ פתרון סופי: x ≠ ±2

סעיף ג – אסימפטוטות

אנכיות: x = ±2 – המכנה מתאפס, והמונה שם ±4 ≠ 0.📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0

אופקית: חזקה 1 במונה וחזקה 2 במכנה: y = 0.📐 אסימפטוטה אופקיתחזקה במכנה גדולה מבמונה ← y = 0

✅ פתרון סופי: x = ±2 , y = 0

סעיף ד – עלייה וירידה

f′(x) = 2(x² − 4) − 2x · 2x(x² − 4)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

= 2x² − 8 − 4x²(x² − 4)² = −2x² − 8(x² − 4)²

המונה −2x² − 8 = −2(x² + 4) שלילי תמיד, והמכנה ריבוע חיובי. לכן f′(x) < 0 בכל התחום – אין נקודות קיצון.

x	f′(x)	f(x)
x < −2	−	↘ יורדת
−2 < x < 2	−	↘ יורדת
x > 2	−	↘ יורדת

✅ פתרון סופי: יורדת: x < −2 , −2 < x < 2 , x > 2

✅ פתרון סופי: עלייה: אין

סעיף ה – סקיצה

הגרף עובר דרך הראשית (0 , 0) (היחידה שבה המונה 0), יורד בכל אחד משלושת התחומים, ומתקרב ל־y = 0 בקצוות. משמאל ל־−2 הוא מתחת לציר, מימין ל־2 מעליו.

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ו (1) – סקיצה של g(x)

−f(x) – שיקוף של הגרף ביחס לציר ה־x (עכשיו עולה בכל תחום), ו־+1 – הזזה של 1 למעלה. האסימפטוטות: x = ±2 ו־y = 1, והגרף עובר דרך (0 , 1).📐 שיקוף והזזה−f(x) ← שיקוף ; f(x) + c ← הזזה למעלה

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ו (2) – פתרונות של g(x) = 1

−f(x) + 1 = 1 → f(x) = 0

2xx² − 4 = 0 → x = 0

פתרון אחד בלבד. בסקיצה: הישר y = 1 הוא האסימפטוטה, והגרף חוצה אותה רק ב־(0 , 1).

✅ פתרון סופי: פתרון אחד (x = 0)

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	a = 4
סעיף ב	x ≠ ±2
סעיף ג	x = ±2 , y = 0
סעיף ד	יורדת בכל התחום
סעיף ו (2)	פתרון אחד

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 6

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = 9 − 4x²1 − x².

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את האסימפטוטות של הפונקצייה f(x) המאונכות לצירים. (3) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים. (4) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה. (5) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x).

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

ג. נתונה הפונקצייה g(x) המקיימת g′(x) = f(x). לפונקציות f(x) ו־g(x) יש אותו תחום הגדרה. מצאו את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקצייה g(x), וקבעו את סוגן. נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום הגדרה

1 − x² ≠ 0 → x² ≠ 1 → x ≠ ±1📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0

✅ פתרון סופי: x ≠ ±1

סעיף א (2) – אסימפטוטות

אנכיות: המכנה מתאפס ב־x = ±1, והמונה שם 9 − 4 = 5 ≠ 0:

x = 1 , x = −1📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0

אופקית: חזקות שוות (2) במונה ובמכנה:

y = −4−1 = 4📐 אסימפטוטה אופקיתחזקות שוות ← y = מקדם מוביל במונהמקדם מוביל במכנה

✅ פתרון סופי: x = ±1 , y = 4

סעיף א (3) – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y: f(0) = 91 = 9.

9 − 4x² = 0 → x² = 2.25 → x = ±1.5📐 שבר שווה לאפסab = 0 ⟺ a = 0

✅ פתרון סופי: (0 , 9) , (1.5 , 0) , (−1.5 , 0)

סעיף א (4) – נקודת קיצון

u = 9 − 4x² , u′ = −8x ; v = 1 − x² , v′ = −2x:

f′(x) = −8x(1 − x²) − (9 − 4x²)(−2x)(1 − x²)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

= −8x + 8x³ + 18x − 8x³(1 − x²)² = 10x(1 − x²)²

10x = 0 → x = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

f(0) = 9

המכנה ריבוע – חיובי. לכן הסימן של f′ כסימן של x:

f′(−0.5) = −50.5625 < 0 ← יורדת

f′(0.5) = 50.5625 > 0 ← עולה

x	f′(x)	f(x)
x < −1	−	↘ יורדת
−1 < x < 0	−	↘ יורדת
0	0	מינימום
0 < x < 1	+	↗ עולה
x > 1	+	↗ עולה

✅ פתרון סופי: מינימום (0 , 9)

סעיף א (5) – עלייה וירידה

מהטבלה שבסעיף א (4):

✅ פתרון סופי: עלייה: 0 < x < 1 או x > 1

✅ פתרון סופי: ירידה: x < −1 או −1 < x < 0

סעיף ב – סקיצה

בין −1 ל־1 הגרף כמו "קערה" עם מינימום ב־(0 , 9), ועולה לפלוס אינסוף ליד האסימפטוטות. מחוץ לתחום הזה הגרף מגיע ממינוס אינסוף ליד x = ±1, חוצה את ציר ה־x ב־±1.5, ומתקרב ל־y = 4 מלמטה.

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ג – נקודות הקיצון של g(x)

ל־g יש קיצון כש־g′(x) = f(x) = 0 והסימן מתחלף: ב־x = ±1.5.📐 נקודת קיצוןg′(x) = 0 והנגזרת מחליפה סימן

סימן f מהסקיצה: חיובית כש־x < −1.5, שלילית כש־−1.5 < x < −1, חיובית בין −1 ל־1, שלילית כש־1 < x < 1.5, חיובית כש־x > 1.5.

ב־x = −1.5: g′ עוברת מ־+ ל־− ← g עולה ואז יורדת ← מקסימום.

ב־x = 1.5: g′ עוברת מ־− ל־+ ← g יורדת ואז עולה ← מינימום.

(ב־x = ±1 g לא מוגדרת, ולכן אין שם קיצון.)

✅ פתרון סופי: מקסימום ב־x = −1.5

✅ פתרון סופי: מינימום ב־x = 1.5

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)	x ≠ ±1
סעיף א (2)	x = ±1 , y = 4
סעיף א (3)	(0 , 9) , (±1.5 , 0)
סעיף א (4)	מינימום (0 , 9)
סעיף א (5)	עולה x > 0 , יורדת x < 0 (בלי ±1)
סעיף ג	מקס׳ ב־x = −1.5 , מינ׳ ב־x = 1.5

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד א', שאלה 6 שטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x + 4x².

א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)?

ב. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x. בתשובתכם דייקו 2 ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגה.

ד. אחד מן הגרפים I–III בסוף השאלה מתאר את הפונקציה f(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x), על ידי הישר x = 1, על ידי הישר x = 2 ועל ידי ציר ה־x.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום הגדרה

x² ≠ 0 ⟸ x ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0

✅ פתרון סופי: x ≠ 0

סעיף ב – חיתוך עם ציר x

x + 4x² = 0

כופלים ב־x²:

x³ + 4 = 0 ⟸ x³ = −4

x = −∛4 ≈ −1.59

✅ פתרון סופי: (−1.59 , 0)

סעיף ג – נקודת קיצון

כותבים 4x² = 4x⁻²:

f′(x) = 1 − 8x⁻³ = 1 − 8x³📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

1 − 8x³ = 0 ⟸ x³ = 8 ⟸ x = 2📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

f(2) = 2 + 44 = 3

הצבות: f′(−1) = 1 + 8 > 0 , f′(1) = 1 − 8 < 0 , f′(3) = 1 − 827 > 0:

x	x < 0	0	0 < x < 2	2	x > 2
f′	+	✕	−	0	+
f	↗	✕	↘	מינ׳	↗

✅ פתרון סופי: מינימום (2 , 3)

סעיף ד – איזה גרף

ליד x = 0 השבר 4x² חיובי וגדול מאוד משני הצדדים – הגרף עולה ל־+∞ משני צדי ציר ה־y.

משמאל: הפונקציה עולה וחותכת את ציר ה־x ב־−1.59. מימין: יורדת למינימום (2 , 3) ועולה.

בגרפים I ו־II הענף השמאלי יורד, וליד ציר ה־y יורד ל־−∞ – לא מתאים. רק בגרף III הענף השמאלי עולה ל־+∞ ובענף הימני יש מינימום.

✅ פתרון סופי: גרף III

סעיף ה – השטח

בין 1 ל־2 הפונקציה חיובית (מעל ציר ה־x):

S = ∫₁² (x + 4x⁻²) dx = [x²2 − 4x]₁²📐 אינטגרל של חזקה∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1

= (42 − 42) − (12 − 4) = 0 − (−3.5) = 3.5

✅ פתרון סופי: S = 3.5

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	x ≠ 0
סעיף ב	(−1.59 , 0)
סעיף ג	מינימום (2 , 3)
סעיף ד	גרף III
סעיף ה	3.5

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 · קורס אינטגרלים 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2023, שאלה 8 שטח · הזזות · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

הפונקציה f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x) מוגדרות לכל x. לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת f′(x). נתון: פונקציית הנגזרת מתאפסת בנקודות x = −3 , x = 0 , x = 3 בלבד, כמתואר בסרטוט.

א. (1) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x). (2) מה הם שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), ומהו סוגן? נמקו.

ב. אחד מן הגרפים I–III (בתמונה השנייה למטה) מתאר את גרף הפונקציה f(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

נתון כי גרף הפונקציה f(x) עובר דרך ראשית הצירים. נסמן ב־S₁ את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי הישר x = −3 ועל ידי ציר ה־x בתחום −3 ≤ x ≤ 0. נסמן ב־S₂ את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי הישר x = 3 ועל ידי ציר ה־x בתחום 0 ≤ x ≤ 3.

ג. האם מתקיים S₁ + S₂ = ∫₋₃³ f(x) dx? נמקו את קביעתכם.

נתונה הפונקציה g(x) = f(x − 4).

ד. מה הם שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקציה g(x), ומהו סוגן? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – עלייה, ירידה וקיצון

(1) מהגרף: f′ < 0 ל־x < −3, f′ > 0 בין −3 ל־3 (ב־0 רק נוגעת בציר), ו־f′ < 0 ל־x > 3.

x	x < −3	−3	−3 < x < 0	0	0 < x < 3	3	x > 3
f′	−	0	+	0	+	0	−
f	↘	מינ׳	↗	—	↗	מקס׳	↘

(2) ב־x = −3 הנגזרת עוברת מ־− ל־+ ← מינימום. ב־x = 3 מ־+ ל־− ← מקסימום. ב־x = 0 אין החלפת סימן ← לא קיצון.📐 סוג הקיצון לפי הנגזרתמ־+ ל־− ← מקסימוםמ־− ל־+ ← מינימום

✅ פתרון סופי: יורדת x < −3 , x > 3 ; עולה −3 < x < 3 ; מינ׳ x = −3 , מקס׳ x = 3

סעיף ב – איזה גרף

צריך: יורד עד מינימום ב־−3, עולה (עם נקודה שטוחה ב־0) עד מקסימום ב־3, ואז יורד.

גרף III מתאים. בגרף II הסדר הפוך (מקסימום משמאל, מינימום מימין), ובגרף I יש שני מינימומים.

✅ פתרון סופי: גרף III

סעיף ג – האם הסכום שווה לאינטגרל

f(0) = 0 ו־f עולה בין −3 ל־3. לכן ב־−3 ≤ x < 0 f(x) < 0 (מתחת לציר), וב־0 < x ≤ 3 f(x) > 0.

∫₋₃³ f(x) dx = −S₁ + S₂📐 אינטגרל ושטחשטח מתחת לציר נספר במינוס

−S₁ + S₂ ≠ S₁ + S₂ (כי S₁ > 0)

✅ פתרון סופי: לא – האינטגרל שווה ל־S₂ − S₁

סעיף ד – הקיצון של g(x)

g(x) = f(x − 4) הוא הגרף של f מוזז 4 יחידות ימינה.📐 הזזה ימינהf(x − k) ← הזזה ב־k ימינה

המינימום: −3 + 4 = 1 ; המקסימום: 3 + 4 = 7.

✅ פתרון סופי: מינימום x = 1 , מקסימום x = 7

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	מינ׳ x = −3 , מקס׳ x = 3
סעיף ב	גרף III
סעיף ג	לא
סעיף ד	מינ׳ x = 1 , מקס׳ x = 7

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 · קורס אינטגרלים 471

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2023, שאלה 6 שטח · הזזות · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 5xx² + 4 + 1.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

ג. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = 2 · f(x).

ה. אחד מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת g′(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

ו. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת g′(x), על ידי הישר x = 1 ועל ידי הצירים.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום ואסימפטוטות

(1) x² + 4 ≥ 4 > 0 – המכנה אף פעם לא 0.

(2) אין אסימפטוטה אנכית (המכנה לא מתאפס).

השבר שואף ל־0 (חזקה במונה קטנה מבמכנה), ולכן f(x) → 0 + 1 = 1.📐 אסימפטוטה אופקיתחזקה במונה קטנה יותר ← y = 0

✅ פתרון סופי: (1) כל x (2) y = 1 (אין אנכית)

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y: f(0) = 0 + 1 = 1 ← (0 , 1).

ציר ה־x:

5xx² + 4 = −1

כופלים במכנה:

5x = −x² − 4 ⟸ x² + 5x + 4 = 0

(x + 1)(x + 4) = 0 ⟸ x = −1 או x = −4

✅ פתרון סופי: (0 , 1) , (−1 , 0) , (−4 , 0)

סעיף ג – נקודות קיצון

f′(x) = 5(x² + 4) − 5x · 2x(x² + 4)² = 20 − 5x²(x² + 4)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

20 − 5x² = 0 ⟸ x² = 4 ⟸ x = ±2📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

f(2) = 108 + 1 = 2.25 , f(−2) = −108 + 1 = −0.25

המכנה חיובי; הסימן לפי 20 − 5x² (חיובי בין −2 ל־2):

x	x < −2	−2	−2 < x < 2	2	x > 2
f′	−	0	+	0	−
f	↘	מינ׳	↗	מקס׳	↘

✅ פתרון סופי: מינימום (−2 , −0.25) , מקסימום (2 , 2.25)

סעיף ד – סקיצה

אסימפטוטה y = 1, מינימום (−2 , −0.25), מקסימום (2 , 2.25):

✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ה – איזה גרף הוא g′(x)

g′(x) = 2f′(x) = 10(4 − x²)(x² + 4)²📐 נגזרת של פונקציה כפול מספר(k · f)′ = k · f′

g′(0) = 4016 = 2.5 > 0. g′ חיובית בין −2 ל־2, שלילית מחוץ לתחום הזה, ושואפת ל־0 בשני הקצוות. היא גם סימטרית לציר ה־y (יש בה רק x²).

רק בגרף III יש שיא חיובי על ציר ה־y עם ירידה מתחת לציר ה־x בשני הצדדים. גרף II שלילי ב־0, וגרפים I ו־IV אינם סימטריים.

✅ פתרון סופי: גרף III

סעיף ו – השטח

בין 0 ל־1 g′ > 0 (מעל ציר ה־x):

S = ∫₀¹ g′(x) dx = g(1) − g(0)📐 אינטגרל מסוים∫_a^b f′(x) dx = f(b) − f(a)

g(1) = 2f(1) = 2(1 + 1) = 4 , g(0) = 2f(0) = 2

S = 4 − 2 = 2

✅ פתרון סופי: S = 2

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	כל x ; y = 1
סעיף ב	(0 , 1) , (−1 , 0) , (−4 , 0)
סעיף ג	מינ׳ (−2 , −0.25) , מקס׳ (2 , 2.25)
סעיף ה	גרף III
סעיף ו	2

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 · קורס אינטגרלים 471

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 8 פרמטר · שטח · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

הפונקצייה f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x) מוגדרות לכל x. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x). פונקציית הנגזרת f′(x) חותכת את ציר ה־x בנקודות שבהן x = −1 , x = 0 , x = a בלבד (a > 0 הוא פרמטר).

א. מה הם שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), ומהו סוגן? אם יש צורך, הביעו באמצעות a.

נתון כי הפונקצייה היא f(x) = 3x⁴ − 4x³ − 12x² + 12.

ב. (1) מצאו את a. (2) מצאו את שיעורי ה־y של נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x).

גרף הפונקצייה f(x) חותך את ציר ה־x בשתי נקודות שונות.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה f(x), על ידי הישר המשיק לגרף הפונקצייה f(x) בנקודה שבה x = a ועל ידי הישר x = −1.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – נקודות הקיצון מגרף הנגזרת

קיצון יש היכן ש־f′ חותכת את הציר ומחליפה סימן. מהגרף:📐 קשר בין פונקציה לנגזרתf′ מ־− ל־+ ← מינימום ; מ־+ ל־− ← מקסימום

ב־x = −1: f′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימום.

ב־x = 0: מפלוס למינוס ← מקסימום.

ב־x = a: ממינוס לפלוס ← מינימום.

✅ פתרון סופי: מינ׳ ב־x = −1 , מקס׳ ב־x = 0 , מינ׳ ב־x = a

סעיף ב (1) – הערך של a

f′(x) = 12x³ − 12x² − 24x📐 נגזרת של פולינום(xⁿ)′ = n · x^{n − 1}

= 12x(x² − x − 2) = 12x(x − 2)(x + 1)

האפסים: x = 0 , x = −1 , x = 2.

✅ פתרון סופי: a = 2

סעיף ב (2) – שיעורי ה־y של נקודות הקיצון

f(−1) = 3 + 4 − 12 + 12 = 7

f(0) = 12

f(2) = 48 − 32 − 48 + 12 = −20

✅ פתרון סופי: מינ׳ (−1 , 7) , מקס׳ (0 , 12) , מינ׳ (2 , −20)

סעיף ג – סקיצה

הגרף יורד מלמעלה עד המינימום (−1 , 7) (מעל הציר), עולה למקסימום (0 , 12), יורד, חוצה את ציר ה־x, מגיע למינימום (2 , −20), ועולה וחוצה שוב. כך יש בדיוק שתי נקודות חיתוך עם ציר ה־x.

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ד – השטח

המשיק ב־x = 2: f′(2) = 0, ולכן משיק אופקי y = −20.📐 משוואת משיקy − f(a) = f′(a)(x − a)

בין x = −1 ל־x = 2 הגרף מעל הישר y = −20 (המינימום הנמוך ביותר הוא −20):

S = ∫2−1 [f(x) − (−20)] dx = ∫2−1 (3x⁴ − 4x³ − 12x² + 32) dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫ba (עליונה − תחתונה) dx

= [0.6x⁵ − x⁴ − 4x³ + 32x]📐 אינטגרל של חזקה∫ xⁿ dx = x^{n + 1}n + 1

x = 2 : 19.2 − 16 − 32 + 64 = 35.2

x = −1 : −0.6 − 1 + 4 − 32 = −29.6

S = 35.2 − (−29.6) = 64.8

✅ פתרון סופי: S = 64.8 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	מינ׳ −1 , מקס׳ 0 , מינ׳ a
סעיף ב (1)	a = 2
סעיף ב (2)	7 , 12 , −20
סעיף ד	S = 64.8

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 6 פרמטר · שטח · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = 2x − bx − 4 + 1, b הוא פרמטר.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

נתון כי גרף הפונקצייה f(x) חותך את ציר ה־y בנקודה (0 , 2.5).

ב. מצאו את b.

הציבו את הערך של b שמצאתם בסעיף ב בפונקצייה f(x), וענו על הסעיפים ג–ז.

ג. מצאו את משוואות האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקצייה f(x).

ד. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x.

ה. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x) (אם יש כאלה).

ו. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

ז. (1) אחד מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם. (2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי הישר x = 1, על ידי ציר ה־x ועל ידי ציר ה־y.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום הגדרה

x − 4 ≠ 0 → x ≠ 4📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0

✅ פתרון סופי: x ≠ 4

סעיף ב – הערך של b

f(0) = 0 − b0 − 4 + 1 = b4 + 1📐 נקודה על גרףמציבים את שיעוריה במשוואה

b4 + 1 = 2.5 → b4 = 1.5 → b = 6

✅ פתרון סופי: b = 6

סעיף ג – אסימפטוטות

f(x) = 2x − 6x − 4 + 1.

אנכית: x = 4 – המונה שם 8 − 6 = 2 ≠ 0.📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0

אופקית: חזקות שוות – השבר שואף ל־21 = 2, ועוד 1: y = 3.📐 אסימפטוטה אופקיתחזקות שוות ← y = מקדם מוביל במונהמקדם מוביל במכנה

✅ פתרון סופי: x = 4 , y = 3

סעיף ד – חיתוך עם ציר ה־x

2x − 6x − 4 + 1 = 0

כופלים ב־x − 4:

2x − 6 + x − 4 = 0 → 3x = 10 → x = 103

✅ פתרון סופי: (103 , 0)

סעיף ה – עלייה וירידה

f′(x) = 2(x − 4) − (2x − 6) · 1(x − 4)² = 2x − 8 − 2x + 6(x − 4)² = −2(x − 4)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

המונה שלילי והמכנה ריבוע חיובי ← f′(x) < 0 בכל התחום. אין נקודות קיצון.

x	f′(x)	f(x)
x < 4	−	↘ יורדת
x > 4	−	↘ יורדת

✅ פתרון סופי: יורדת: x < 4 , x > 4

✅ פתרון סופי: עלייה: אין

סעיף ו – סקיצה

שני ענפים יורדים. משמאל ל־4: מתחיל קרוב ל־y = 3, עובר ב־(0 , 2.5) וב־(103 , 0) ויורד למינוס אינסוף. מימין ל־4: יורד מפלוס אינסוף ומתקרב ל־y = 3.

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ז (1) – איזה גרף מתאר את f′(x)

f′(x) = −2(x − 4)²: שלילית בכל התחום (כל הגרף מתחת לציר ה־x), שואפת למינוס אינסוף משני צידי x = 4, ושואפת ל־0 בקצוות.📐 קשר בין פונקציה לנגזרתf′ < 0 ← הפונקצייה יורדת

רק בגרף II שני הענפים מתחת לציר ויורדים למינוס אינסוף ליד האסימפטוטה.

✅ פתרון סופי: גרף II

סעיף ז (2) – השטח

בין x = 0 ל־x = 1 הנגזרת שלילית – השטח מתחת לציר. הפונקצייה הקדומה של f′ היא f:

S = −∫10 f′(x) dx = f(0) − f(1)📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)

f(1) = −4−3 + 1 = 73

S = 2.5 − 73 = 15 − 146 = 16

✅ פתרון סופי: S = 16 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	x ≠ 4
סעיף ב	b = 6
סעיף ג	x = 4 , y = 3
סעיף ד	(103 , 0)
סעיף ה	יורדת בכל התחום
סעיף ז (1)	גרף II
סעיף ז (2)	16

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד א', שאלה 8 פרמטר · שטח · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

הפונקציה f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x) מוגדרות לכל x. בסרטוט מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x). פונקציית הנגזרת מתאפסת בנקודות x = −2 , x = 0 , x = 2 בלבד.

א. הסתמכו על הסרטוט וקבעו את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) ואת סוגן.

S הוא השטח הנמצא ברביע הרביעי ומוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x) ועל ידי ציר ה־x. נתון: S = 8 , f(2) = 312.

ב. מצאו את f(0).

נתון: f(−2) = f(2). לפונקציה f(x) אין אסימפטוטה אופקית.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ד. בעבור אילו ערכי k הישר y = k חותך את גרף הפונקציה f(x) ב־2 נקודות שונות בדיוק? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – נקודות קיצון

מהסרטוט: f′ < 0 ל־x < −2, f′ > 0 בין −2 ל־0, f′ < 0 בין 0 ל־2, ו־f′ > 0 ל־x > 2.

x	x < −2	−2	−2 < x < 0	0	0 < x < 2	2	x > 2
f′	−	0	+	0	−	0	+
f	↘	מינ׳	↗	מקס׳	↘	מינ׳	↗

לפי החלפת הסימן:📐 סוג הקיצון לפי הנגזרתמ־+ ל־− ← מקסימוםמ־− ל־+ ← מינימום

✅ פתרון סופי: מינימום x = −2 , x = 2 ; מקסימום x = 0

סעיף ב – f(0)

ברביע הרביעי f′ < 0 – זה בין 0 ל־2:

S = −∫₀² f′(x) dx = −[f(2) − f(0)] = f(0) − f(2)📐 אינטגרל מסוים∫_a^b f′(x) dx = f(b) − f(a)

8 = f(0) − 3.5 ⟸ f(0) = 11.5

✅ פתרון סופי: f(0) = 11.5

סעיף ג – סקיצה

מינימום (−2 , 3.5) ו־(2 , 3.5), מקסימום (0 , 11.5). אין אסימפטוטה אופקית, והפונקציה עולה ל־+∞ בשני הצדדים. (הסקיצה – צורה בלבד.)

✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ד – ערכי k

ישר אופקי y = k:

k < 3.5 – אין חיתוך.

k = 3.5 – נוגע בשני המינימומים: 2 נקודות.

3.5 < k < 11.5 – 4 נקודות.

k = 11.5 – 3 נקודות (כולל המקסימום).

k > 11.5 – נקודה אחת בכל צד: 2 נקודות.

✅ פתרון סופי: k = 3.5 או k > 11.5

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	מינ׳ x = ±2 , מקס׳ x = 0
סעיף ב	f(0) = 11.5
סעיף ד	k = 3.5 או k > 11.5

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 · קורס אינטגרלים 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד א', שאלה 6 פרמטר · הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 4x² − 1x² − 1.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה. (3) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ב. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגה.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = −f(x) + k, k הוא פרמטר. נתון: משוואת האסימפטוטה האופקית של הפונקציה g(x) היא y = 1.

ד. (1) מצאו את k. (2) מה הם שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x), ומהו סוגה?

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום, אסימפטוטות וחיתוכים

(1)

x² − 1 ≠ 0 ⟸ x ≠ ±1📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0

(2) ב־x = ±1 המונה 4 − 1 = 3 ≠ 0 ← אסימפטוטות אנכיות x = 1 , x = −1.

אופקית: חזקות שוות במונה ובמכנה: y = 41 = 4.📐 אסימפטוטה אופקיתחזקות שוות ← y = מקדם במונהמקדם במכנה

(3) ציר ה־y: f(0) = −1−1 = 1 ← (0 , 1). ציר ה־x:

4x² − 1 = 0 ⟸ x² = 14 ⟸ x = ±12

✅ פתרון סופי: (1) x ≠ ±1 (2) x = ±1 , y = 4 (3) (0 , 1) , (±0.5 , 0)

סעיף ב – נקודת קיצון

f′(x) = 8x(x² − 1) − (4x² − 1) · 2x(x² − 1)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

המונה: 8x³ − 8x − 8x³ + 2x = −6x

f′(x) = −6x(x² − 1)²

−6x = 0 ⟸ x = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

x	x < −1	−1	−1 < x < 0	0	0 < x < 1	1	x > 1
f′	+	✕	+	0	−	✕	−
f	↗	✕	↗	מקס׳	↘	✕	↘

✅ פתרון סופי: מקסימום (0 , 1)

סעיף ג – סקיצה

אסימפטוטות x = ±1 , y = 4. בין −1 ל־1 "כיפה" עם מקסימום (0 , 1); בצדדים הגרף מעל y = 4.

✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ד – הפונקציה g(x)

(1) f → 4, לכן g → −4 + k:

−4 + k = 1 ⟸ k = 5

(2) g = −f + 5 – שיקוף של f סביב ציר ה־x והזזה ב־5 למעלה. השיקוף הופך מקסימום למינימום:

g(0) = −1 + 5 = 4

g′(x) = −f′(x) = 6x(x² − 1)² – שלילית משמאל ל־0 וחיובית מימין ← מינימום.📐 נגזרת(−f + k)′ = −f′

✅ פתרון סופי: (1) k = 5 (2) מינימום (0 , 4)

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	x ≠ ±1 ; x = ±1 , y = 4 ; (0 , 1) , (±0.5 , 0)
סעיף ב	מקסימום (0 , 1)
סעיף ד	k = 5 ; מינימום (0 , 4)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022 (פברואר, נבצרים), שאלה 7 שטח · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 1(4x − 1)² − 4.

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) רשום את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים. (3) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים. (4) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x). (5) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ב. אחד משלושת הגרפים שבסוף השאלה, I, II, III, הוא גרף פונקציית הנגזרת f′(x). ציין מיהו ונמק.

ג. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = 1 ו־x = 2.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א (1) – תחום הגדרה

4x − 1 ≠ 0 → x ≠ 14📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0

✅ פתרון סופי: x ≠ 14

סעיף א (2) – אסימפטוטות

אנכית: x = 14 – המונה 1 ≠ 0.📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0

אופקית: השבר שואף ל־0 כש־x גדל, ולכן y = −4.📐 אסימפטוטה אופקיתחזקה במכנה גדולה מבמונה ← השבר שואף ל־0

✅ פתרון סופי: x = 14 , y = −4

סעיף א (3) – חיתוך עם הצירים

f(0) = 11 − 4 = −3

1(4x − 1)² = 4 → (4x − 1)² = 14 → 4x − 1 = ±12

x = 38 או x = 18

✅ פתרון סופי: (0 , −3) , (18 , 0) , (38 , 0)

סעיף א (4) – עלייה וירידה

f′(x) = −2(4x − 1)⁻³ · 4 = −8(4x − 1)³📐 נגזרת של ביטוי בחזקה[(ax + b)ⁿ]′ = n(ax + b)^{n − 1} · a

כש־x < 14: (4x − 1)³ < 0 ← f′ > 0. כש־x > 14: f′ < 0.

x	f′(x)	f(x)
x < ¼	+	↗ עולה
¼	לא מוגדרת	לא מוגדרת
x > ¼	−	↘ יורדת

✅ פתרון סופי: עולה: x < 14

✅ פתרון סופי: יורדת: x > 14

סעיף א (5) – סקיצה

משמאל ל־14 הגרף עולה מ־y = −4, עובר ב־(0 , −3) וב־(18 , 0), ושואף לפלוס אינסוף. מימין ל־14 הוא יורד מפלוס אינסוף, חוצה ב־(38 , 0), ומתקרב ל־y = −4.

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ב – גרף הנגזרת

f′ חיובית משמאל ל־14 ושלילית מימין, שואפת לפלוס אינסוף משמאל לאסימפטוטה ולמינוס אינסוף מימינה, ושואפת ל־0 בקצוות.📐 קשר בין פונקציה לנגזרתf′ > 0 ← עולה ; f′ < 0 ← יורדת

רק גרף II מתאים: ענף שמאלי מעל הציר העולה לאינסוף, וענף ימני מתחת לציר.

✅ פתרון סופי: גרף II

סעיף ג – השטח

בין x = 1 ל־x = 2 הנגזרת שלילית – השטח מתחת לציר. הפונקציה הקדומה של f′ היא f:

S = −∫21 f′(x) dx = f(1) − f(2)📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)

= (19 − 4) − (149 − 4) = 19 − 149 = 40441 ≈ 0.091

✅ פתרון סופי: S = 40441 ≈ 0.091

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א (1)	x ≠ 14
סעיף א (2)	x = 14 , y = −4
סעיף א (3)	(0 , −3) , (18 , 0) , (38 , 0)
סעיף א (4)	עולה x < 14 , יורדת x > 14
סעיף ב	גרף II
סעיף ג	40441

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 (פברואר, נבצרים)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022 (פברואר, נבצרים), שאלה 6 הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x² − 4x + 5x − 2.

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) רשום את משוואת האסימפטוטה של הפונקציה f(x) המאונכת לציר ה־x. (3) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים, אם יש כאלה. (4) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן. (5) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = |f(x)|.

ב. (1) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g(x). (2) רשום את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה g(x), וקבע את סוגן. (3) כמה פתרונות יש למשוואה g(x) = 3? נמק.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום הגדרה

x − 2 ≠ 0 → x ≠ 2📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0

✅ פתרון סופי: x ≠ 2

סעיף א (2) – אסימפטוטה אנכית

המכנה מתאפס ב־x = 2, והמונה שם 4 − 8 + 5 = 1 ≠ 0.📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0

✅ פתרון סופי: x = 2

סעיף א (3) – חיתוך עם הצירים

ציר ה־x: x² − 4x + 5 = 0.

b² − 4ac = 16 − 20 = −4 < 0📐 נוסחת השורשיםכש־b² − 4ac < 0 אין פתרון

אין חיתוך עם ציר ה־x.

ציר ה־y: f(0) = 5−2 = −2.5.

✅ פתרון סופי: (0 , −2.5) ; עם ציר ה־x: אין

סעיף א (4) – נקודות קיצון

f′(x) = (2x − 4)(x − 2) − (x² − 4x + 5)(x − 2)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

= 2x² − 8x + 8 − x² + 4x − 5(x − 2)² = x² − 4x + 3(x − 2)²

x² − 4x + 3 = 0 → (x − 1)(x − 3) = 0📐 טרינוםp · q = c , p + q = b

x = 1 או x = 3

f(1) = 1 − 4 + 5−1 = −2 ; f(3) = 9 − 12 + 51 = 2

f′(0) = 34 > 0

f′(1.5) = −0.750.25 < 0

f′(2.5) = −0.750.25 < 0

f′(4) = 34 > 0

x	f′(x)	f(x)
x < 1	+	↗ עולה
1	0	מקסימום
1 < x < 2	−	↘ יורדת
2	לא מוגדרת	לא מוגדרת
2 < x < 3	−	↘ יורדת
3	0	מינימום
x > 3	+	↗ עולה

✅ פתרון סופי: מקסימום (1 , −2)

✅ פתרון סופי: מינימום (3 , 2)

סעיף א (5) – סקיצה

משמאל ל־2 הגרף כולו מתחת לציר ה־x: עולה למקסימום (1 , −2) ויורד למינוס אינסוף ליד x = 2. מימין ל־2 הגרף כולו מעל הציר: יורד מפלוס אינסוף למינימום (3 , 2) ועולה.

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ב (1) – סקיצה של g(x) = |f(x)|

החלק שמתחת לציר ה־x (משמאל ל־2) משתקף כלפי מעלה, והחלק שמעל הציר נשאר כמו שהוא.📐 ערך מוחלט של פונקצייההחלקים השליליים משתקפים ביחס לציר ה־x

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ב (2) – נקודות הקיצון של g(x)

המקסימום (1 , −2) של f משתקף והופך למינימום (1 , 2).

המינימום (3 , 2) נשאר מינימום.

✅ פתרון סופי: מינימום (1 , 2)

✅ פתרון סופי: מינימום (3 , 2)

סעיף ב (3) – פתרונות של g(x) = 3

בכל אחד משני הענפים של g הגרף יורד מאינסוף למינימום 2 ועולה שוב לאינסוף. הישר y = 3 מעל 2, ולכן הוא חותך כל ענף פעמיים.

בדיקה: x² − 4x + 5 = ±3(x − 2) → x² − 7x + 11 = 0 או x² − x − 1 = 0 – לכל אחת שני פתרונות ✓

✅ פתרון סופי: 4 פתרונות

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)	x ≠ 2
סעיף א (2)	x = 2
סעיף א (3)	(0 , −2.5)
סעיף א (4)	מקס׳ (1 , −2) , מינ׳ (3 , 2)
סעיף ב (2)	מינ׳ (1 , 2) , מינ׳ (3 , 2)
סעיף ב (3)	4

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 (פברואר, נבצרים)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022 (ינואר), שאלה 6 פרמטר · שטח · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 44x² − 1 + b, b הוא פרמטר.

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. (1) מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה (אם צריך, הבע באמצעות b). (2) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

נתון כי הישר y = −2 משיק לפונקציה f(x) בנקודת הקיצון שלה.

ג. מצא את b.

הצב את b שמצאת בסעיף ג בפונקציה וענה על הסעיפים ד–ו.

ד. (1) מצא את האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x). (2) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

ה. אחד מן הגרפים I–III שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). קבע איזה מהם, ונמק את קביעתך.

ו. מצא את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי הישר x = 13 ועל ידי ציר ה־x.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום הגדרה

4x² − 1 ≠ 0 ⟸ x² ≠ 14 ⟸ x ≠ ±12📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0

✅ פתרון סופי: x ≠ ±12

סעיף ב – קיצון, עלייה וירידה

כותבים f(x) = 4(4x² − 1)⁻¹ + b:

f′(x) = −4(4x² − 1)⁻² · 8x

f′(x) = −32x(4x² − 1)²📐 נגזרת של חזקה מורכבת(gⁿ)′ = n · gⁿ⁻¹ · g′

−32x = 0 ⟸ x = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

f(0) = 4−1 + b = b − 4

x	x < −0.5	−0.5	−0.5 < x < 0	0	0 < x < 0.5	0.5	x > 0.5
f′	+	✕	+	0	−	✕	−
f	↗	✕	↗	מקס׳	↘	✕	↘

✅ פתרון סופי: (1) מקסימום (0 , b − 4) (2) עולה x < 0 (x ≠ −0.5) , יורדת x > 0 (x ≠ 0.5)

סעיף ג – הפרמטר b

b − 4 = −2 ⟸ b = 2

✅ פתרון סופי: b = 2

סעיף ד – אסימפטוטות וסקיצה

(1) אנכיות: x = ±12 (המונה 4 ≠ 0).

אופקית: השבר שואף ל־0, ולכן f → 0 + 2 = 2.📐 אסימפטוטה אופקיתחזקה במונה קטנה יותר ← y = 0

(2) מקסימום (0 , −2); בצדדים הגרף מעל y = 2:

✅ פתרון סופי: (1) x = ±0.5 , y = 2

סעיף ה – איזה גרף הוא f′(x)

f′(x) = −32x(4x² − 1)²: חיובית לכל x < 0 ושלילית לכל x > 0, עוברת בראשית, ויש לה אסימפטוטות אנכיות ב־x = ±0.5. ליד −0.5 היא שואפת ל־+∞ וליד 0.5 ל־−∞.

גרף II מתאים: הענף האמצעי יורד מ־+∞ דרך הראשית ל־−∞, הענף השמאלי מעל ציר ה־x והימני מתחתיו.

✅ פתרון סופי: גרף II

סעיף ו – השטח

בין 0 ל־13 f′ < 0 (מתחת לציר), לכן השטח הוא מינוס האינטגרל:

S = −∫₀^1/3 f′(x) dx = f(0) − f(13)📐 אינטגרל מסוים∫_a^b f′(x) dx = f(b) − f(a)

f(13) = 449 − 1 + 2 = 4−59 + 2 = −7.2 + 2 = −5.2

S = −2 − (−5.2) = 3.2

✅ פתרון סופי: S = 3.2

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	x ≠ ±0.5
סעיף ב	מקסימום (0 , b − 4)
סעיף ג	b = 2
סעיף ד	x = ±0.5 , y = 2
סעיף ה	גרף II
סעיף ו	3.2

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 · קורס אינטגרלים 471

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 (ינואר)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2026 מועד א', שאלה 6 פרמטר · הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 2x² − 17x² − 1 + a. a הוא פרמטר.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x). הביעו את תשובתכם באמצעות a אם יש צורך.

ב. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגה. הביעו את תשובתכם באמצעות a אם יש צורך.

נתון כי שיעור ה־y של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x) הוא 20.

ג. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 3 בפונקציה f(x), וענו על הסעיפים ד–ו.

ד. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = −f(x) + 9 שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ו. (1) מצאו את משוואת האסימפטוטה המקבילה לציר ה־x של הפונקציה g(x). (2) האם גרף הפונקציה g(x) חותך את ציר ה־x? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום הגדרה

אסור שהמכנה יהיה 0:

x² − 1 ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

x² ≠ 1

x ≠ 1 , x ≠ −1

✅ פתרון סופי: x ≠ 1 , x ≠ −1

סעיף א (2) – אסימפטוטות

אסימפטוטות אנכיות – בנקודות שבהן המכנה מתאפס. בודקים שהמונה שם לא 0:

x = 1 : 2 · 1 − 17 = −15 ≠ 0📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה 0 והמונה שונה מ־0

x = −1 : 2 · 1 − 17 = −15 ≠ 0

ולכן יש שתי אסימפטוטות אנכיות: x = 1 ו־x = −1.

אסימפטוטה אופקית – בשבר החזקה הגבוהה במונה ובמכנה שווה (x²), ולכן השבר שואף ליחס בין המקדמים של x²:

2x² − 17x² − 1 → 21 = 2📐 אסימפטוטה אופקיתחזקות שוות במונה ובמכנה ← יחס המקדמים של החזקה הגבוהה

f(x) → 2 + a

✅ פתרון סופי: x = 1 , x = −1

✅ פתרון סופי: y = 2 + a

סעיף ב – נקודת קיצון

גוזרים את השבר לפי נגזרת של מנה. הפרמטר a הוא מספר, ולכן נגזר ל־0:

u = 2x² − 17 , u′ = 4x

v = x² − 1 , v′ = 2x

f′(x) = 4x(x² − 1) − (2x² − 17) · 2x(x² − 1)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

פותחים סוגריים במונה:

= 4x³ − 4x − 4x³ + 34x(x² − 1)²

= 30x(x² − 1)²

משווים ל־0 (מספיק שהמונה יהיה 0):

30x = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

x = 0

מוצאים את ה־y – מציבים x = 0 בפונקציה:

f(0) = 0 − 170 − 1 + a = −17−1 + a = 17 + a

טבלת סימנים של f′(x) (המכנה חיובי, הסימן לפי 30x):

x	f′(x)	f(x)
x < −1	−	↘ יורדת
−1 < x < 0	−	↘ יורדת
0	0	מינימום
0 < x < 1	+	↗ עולה
x > 1	+	↗ עולה

✅ פתרון סופי: (0 , 17 + a) מינימום

סעיף ג – הערך של a

שיעור ה־y של נקודת הקיצון הוא 17 + a, והוא נתון 20:

17 + a = 20

a = 20 − 17

a = 3

✅ פתרון סופי: a = 3

סעיף ד – נקודות חיתוך עם הצירים

מציבים a = 3 ומכנים למכנה משותף:

f(x) = 2x² − 17x² − 1 + 3 = 2x² − 17 + 3(x² − 1)x² − 1

= 2x² − 17 + 3x² − 3x² − 1 = 5x² − 20x² − 1

עם ציר ה־y – מציבים x = 0:

f(0) = 0 − 200 − 1 = 20📐 חיתוך עם ציר ה־yx = 0

עם ציר ה־x – פותרים f(x) = 0 (מספיק שהמונה יהיה 0):

5x² − 20 = 0📐 חיתוך עם ציר ה־xy = 0

5x² = 20

x² = 4

x = 2 , x = −2

שתי הנקודות בתחום ההגדרה (שונות מ־±1).

✅ פתרון סופי: (0 , 20)

✅ פתרון סופי: (2 , 0) , (−2 , 0)

סעיף ה – סקיצה

מסמנים: אסימפטוטות אנכיות x = 1 ו־x = −1, אסימפטוטה אופקית y = 2 + 3 = 5, מינימום (0 , 20) וחיתוכים (2 , 0), (−2 , 0).

לפי טבלת הסימנים: משמאל ל־x = −1 הפונקציה יורדת מהאסימפטוטה y = 5 (מתחתיה) אל −∞; בין −1 ל־1 היא יורדת מ־+∞ עד המינימום (0 , 20) ועולה שוב ל־+∞; מימין ל־x = 1 היא עולה מ־−∞ ומתקרבת ל־y = 5 מלמטה.

גרף הפונקציה (בכחול):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ו (1) – אסימפטוטה אופקית של g(x)

f(x) שואפת ל־5 (מצאנו y = 2 + a ו־a = 3). מציבים בפונקציה g(x):

g(x) = −f(x) + 9 → −5 + 9 = 4📐 אסימפטוטה אופקיתהערך שהפונקציה שואפת אליו כש־x → ±∞

✅ פתרון סופי: y = 4

סעיף ו (2) – האם g(x) חותך את ציר ה־x

חיתוך עם ציר ה־x פירושו g(x) = 0:

−f(x) + 9 = 0📐 חיתוך עם ציר ה־xy = 0

f(x) = 9

5x² − 20x² − 1 = 9

כופלים במכנה (בתחום ההגדרה הוא שונה מ־0):

5x² − 20 = 9(x² − 1)

5x² − 20 = 9x² − 9

−11 = 4x²

x² = −114

ריבוע של מספר לא יכול להיות שלילי – אין פתרון. (רואים זאת גם בגרף: בין −1 ל־1 הפונקציה f(x) גדולה או שווה ל־20, ומחוץ לתחום הזה היא קטנה מ־5, ולכן אף פעם לא שווה 9.)

✅ פתרון סופי: לא. גרף הפונקציה g(x) אינו חותך את ציר ה־x, כי למשוואה f(x) = 9 אין פתרון.

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)	x ≠ ±1
סעיף א (2)	x = ±1 , y = 2 + a
סעיף ב	(0 , 17 + a) מינימום
סעיף ג	a = 3
סעיף ד	(0 , 20) , (2 , 0) , (−2 , 0)
סעיף ה	סקיצה
סעיף ו (1)	y = 4
סעיף ו (2)	לא חותך

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2026 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 6 פרמטר · שטח · הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 16x² + x² .

א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) ?

ב. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).

ג. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן.

ד. מצאו את תחומי העלייה של הפונקציה f(x) .

ה. אחד מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקציה f(x) . קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

נתונה הפונקציה g(x) = f(x) − c , c הוא פרמטר. הפונקציות f(x) ו־g(x) מוגדרות באותו תחום. נתון כי גרף הפונקציה g(x) משיק לציר ה־x .

ו. (1) מצאו את הערך של c . (2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x) , על ידי הישר x = 6 ועל ידי ציר ה־x .

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום הגדרה

יש שבר עם x² במכנה. אסור לחלק ב־0:

x² ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0

x ≠ 0

✅ פתרון סופי: x ≠ 0

סעיף ב – אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית: בודקים את הנקודה שמחוץ לתחום ההגדרה.

כש־x מתקרב ל־0, המכנה x² מתקרב ל־0 והמונה הוא 16, ולכן השבר שואף לאינסוף:

16x² → ∞📐 אסימפטוטה אנכיתמספר : (מתקרב ל־0) ← אינסוף

x = 0 אסימפטוטה אנכית

אסימפטוטה אופקית: בודקים מה קורה כש־x → ±∞.

16x² → 0 ו־ x² → ∞

כלומר f(x) → ∞ ולא מתקרבת למספר קבוע, ולכן אין אסימפטוטה אופקית.

✅ פתרון סופי: x = 0 אסימפטוטה אנכית

✅ פתרון סופי: אין אסימפטוטה אופקית

סעיף ג – נקודות קיצון

כותבים את השבר כחזקה עם מעריך שלילי, כדי לגזור בקלות:

16x² = 16x⁻²📐 חזקה שלילית1aⁿ = a⁻ⁿ

f(x) = 16x⁻² + x²

f′(x) = 16 · (−2)x⁻³ + 2x📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · x^{n − 1}

f′(x) = −32x⁻³ + 2x

f′(x) = −32x³ + 2x

משווים את הנגזרת ל־0:

−32x³ + 2x = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

2x = 32x³

כופלים ב־x³ (מותר, כי x ≠ 0):

2x⁴ = 32

x⁴ = 16

x = 2 או x = −2

מציבים בפונקציה כדי למצוא את שיעור ה־y:

f(2) = 164 + 4 = 4 + 4 = 8

f(−2) = 164 + 4 = 4 + 4 = 8

קובעים את הסוג בטבלה. מציבים בנגזרת f′(x) = −32x³ + 2x נקודה מכל תחום:

f′(−3) = −32−27 − 6 ≈ 1.19 − 6 < 0

f′(−1) = −32−1 − 2 = 32 − 2 > 0

f′(1) = −32 + 2 < 0

f′(3) = −3227 + 6 ≈ −1.19 + 6 > 0

x	f′(x)	f(x)
x < −2	−	↘ יורדת
−2	0	מינימום
−2 < x < 0	+	↗ עולה
0	לא מוגדרת	אסימפטוטה
0 < x < 2	−	↘ יורדת
2	0	מינימום
x > 2	+	↗ עולה

✅ פתרון סופי: (−2 , 8) מינימום

✅ פתרון סופי: (2 , 8) מינימום

סעיף ד – תחומי עלייה

מטבלת הסימנים, הפונקציה עולה איפה שהנגזרת חיובית:

✅ פתרון סופי: עלייה: −2 < x < 0 או x > 2

סעיף ה – זיהוי הגרף

לפי מה שמצאנו: יש אסימפטוטה אנכית x = 0, ויש שתי נקודות מינימום, (−2 , 8) ו־(2 , 8), שתיהן מעל ציר ה־x.

גרף I – בצד שמאל אין מינימום (הגרף רק עולה), ולכן הוא לא מתאים.

גרפים III ו־IV – יש בהם חלקים מתחת לציר ה־x, אבל כל ערכי הפונקציה חיוביים (16x² > 0 ו־x² > 0), ולכן הם לא מתאימים.

גרף II – שני ענפים מעל ציר ה־x, בכל ענף נקודת מינימום אחת, ושני הענפים עולים לאינסוף ליד x = 0. זה מתאים לכל מה שמצאנו.

✅ פתרון סופי: גרף II

סעיף ו (1) – הערך של c

g(x) = f(x) − c – זו הזזה של הגרף של f(x) למטה ב־c יחידות.

הגרף של f(x) נמצא כולו מעל ציר ה־x, והנקודות הכי נמוכות שלו הן המינימום, בגובה y = 8.

כדי שהגרף המוזז ישיק לציר ה־x, נקודות המינימום צריכות לרדת בדיוק לציר, כלומר לגובה 0:

8 − c = 0📐 משיק לציר ה־xערך המינימום = 0

c = 8

✅ פתרון סופי: c = 8

סעיף ו (2) – השטח

g(x) = 16x² + x² − 8

הגרף של g(x) משיק לציר ה־x בנקודות (2 , 0) ו־(−2 , 0), ונמצא מעל הציר בכל מקום אחר.

השטח המוגבל על ידי הגרף, הישר x = 6 וציר ה־x הוא בין x = 2 (נקודת ההשקה) ובין x = 6 (בירוק):

S = ∫₂⁶ ( 16x² + x² − 8 ) dx📐 שטח בין גרף לציר ה־xS = ∫_a^b f(x) dx (כשהגרף מעל הציר)

כותבים 16x² = 16x⁻² ומוצאים פונקציה קדומה:

16 · x⁻¹−1 + x³3 − 8x📐 פונקציה קדומה∫ xⁿ dx = x^{n + 1}n + 1

F(x) = −16x + x³3 − 8x

מציבים את הגבולות:

F(6) = −166 + 2163 − 48 = −83 + 72 − 48 = 2113

F(2) = −162 + 83 − 16 = −8 + 83 − 16 = −2113

S = F(6) − F(2) = 2113 − (−2113) = 4223📐 אינטגרל מסוים∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)

✅ פתרון סופי: S = 4223 ≈ 42.67 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	x ≠ 0
סעיף ב	x = 0 ; אין אופקית
סעיף ג	(−2 , 8) , (2 , 8) מינימום
סעיף ד	−2 < x < 0 או x > 2
סעיף ה	גרף II
סעיף ו (1)	c = 8
סעיף ו (2)	4223

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 · קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2023 מועד מיוחד). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – חורף 2022 (מועד נבצרים), שאלה 6

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 2x² − 3x − 9x².

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים.

ג. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

ד. מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה.

ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ו. נתון כי הפונקציה g(x) מקיימת: g′(x) = f(x). (g(x) ו־g′(x) מוגדרות באותו התחום.) העבירו משיקים לגרף הפונקציה g(x) המקבילים לציר ה־x. מה הם שיעורי ה־x של נקודות ההשקה של המשיקים האלה? נמק.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום הגדרה

אסור שהמכנה יהיה 0:

x² ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

x ≠ 0

✅ פתרון סופי: x ≠ 0

סעיף ב – אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – המכנה מתאפס ב־x = 0. בודקים את המונה:

x = 0 : 0 − 0 − 9 = −9 ≠ 0📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה 0 והמונה שונה מ־0

אסימפטוטה אופקית – החזקה הגבוהה במונה ובמכנה שווה (x²), ולכן השבר שואף ליחס המקדמים:

2x² − 3x − 9x² → 21 = 2📐 אסימפטוטה אופקיתחזקות שוות במונה ובמכנה ← יחס המקדמים של החזקה הגבוהה

✅ פתרון סופי: x = 0

✅ פתרון סופי: y = 2

סעיף ג – נקודות חיתוך עם הצירים

עם ציר ה־y: x = 0 לא בתחום ההגדרה, ולכן אין נקודת חיתוך עם ציר ה־y.

עם ציר ה־x – פותרים f(x) = 0 (מספיק שהמונה יהיה 0):

2x² − 3x − 9 = 0📐 חיתוך עם ציר ה־xy = 0

x₁ = 3 x₂ = −1.5📐 נוסחת השורשים במחשבוןMODE 5 3

בדיקה: f(3) = 18 − 9 − 99 = 0 ✓

✅ פתרון סופי: אין חיתוך עם ציר ה־y

✅ פתרון סופי: (3 , 0) , (−1.5 , 0)

סעיף ד – נקודת קיצון

גוזרים לפי נגזרת של מנה:

u = 2x² − 3x − 9 , u′ = 4x − 3

v = x² , v′ = 2x

f′(x) = (4x − 3) · x² − (2x² − 3x − 9) · 2xx⁴📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

פותחים סוגריים במונה:

= 4x³ − 3x² − 4x³ + 6x² + 18xx⁴

= 3x² + 18xx⁴

מצמצמים ב־x (מותר, כי x ≠ 0):

= 3x + 18x³

משווים ל־0 (מספיק שהמונה יהיה 0):

3x + 18 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

x = −6

f(−6) = 72 + 18 − 936 = 8136 = 2.25

טבלת סימנים של f′(x) = 3x + 18x³ (גם המונה וגם המכנה משנים סימן):

x	f′(x)	f(x)
x < −6	+	↗ עולה
−6	0	מקסימום
−6 < x < 0	−	↘ יורדת
x > 0	+	↗ עולה

לדוגמה: f′(−10) = −12−1000 > 0 , f′(−1) = 15−1 < 0 , f′(1) = 21 > 0.

✅ פתרון סופי: (−6 , 2.25) מקסימום

סעיף ה – סקיצה

מסמנים: אסימפטוטה אנכית x = 0 (ציר ה־y), אסימפטוטה אופקית y = 2, מקסימום (−6 , 2.25) וחיתוכים (−1.5 , 0), (3 , 0).

משמאל הגרף עולה מכיוון האסימפטוטה y = 2 (מעליה) עד המקסימום, ואז יורד ל־−∞ ליד x = 0. מימין ל־x = 0 הגרף עולה מ־−∞ ומתקרב ל־y = 2 מלמטה.

גרף הפונקציה (בכחול):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ו – משיקים לגרף g(x) המקבילים לציר ה־x

משיק המקביל לציר ה־x הוא משיק ששיפועו 0. השיפוע של המשיק לגרף g(x) הוא g′(x):

g′(x) = 0📐 משיק מקביל לציר ה־xשיפוע המשיק = הנגזרת בנקודה = 0

נתון g′(x) = f(x), ולכן:

f(x) = 0

את המשוואה הזו פתרנו בסעיף ג:

x = 3 , x = −1.5

✅ פתרון סופי: x = 3 , x = −1.5 (שם g′(x) = f(x) = 0)

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	x ≠ 0
סעיף ב	x = 0 , y = 2
סעיף ג	(3 , 0) , (−1.5 , 0); אין חיתוך עם ציר ה־y
סעיף ד	(−6 , 2.25) מקסימום
סעיף ה	סקיצה
סעיף ו	x = 3 , x = −1.5

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, חורף 2022 (מועד נבצרים)). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2021 מועד ב', שאלה 6 פרמטר · שטח · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = a6x² − x³ . a > 0 הוא פרמטר.

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) רשום את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים.

ב. מצא את שיעור ה־x של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה.

ג. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

נתון: שיעור ה־y של נקודת הקיצון של הפונקציה הוא 14.

ד. מצא את a.

ה. (1) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x). (2) סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת, f′(x).

ו. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישר x = 2.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום הגדרה

במכנה אסור 0:

6x² − x³ ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

מוציאים גורם משותף x²:

x²(6 − x) ≠ 0📐 מכפלה שווה 0a · b = 0 → a = 0או b = 0

x ≠ 0 וגם x ≠ 6

✅ פתרון סופי: x ≠ 0 , x ≠ 6

סעיף א (2) – אסימפטוטות

אסימפטוטות אנכיות – בנקודות שבהן המכנה 0 והמונה (a > 0) שונה מ־0:

x = 0 , x = 6📐 אסימפטוטה אנכיתמכנה = 0 ומונה ≠ 0

אסימפטוטה אופקית – החזקה הגבוהה במונה (0) קטנה מהחזקה הגבוהה במכנה (3):

y = 0📐 אסימפטוטה אופקיתחזקה במונה קטנה מחזקה במכנה ← y = 0

✅ פתרון סופי: x = 0 , x = 6 , y = 0

סעיף ב – נקודת הקיצון

גוזרים לפי נגזרת של מנה:

u = a , u′ = 0

v = 6x² − x³ , v′ = 12x − 3x²

f′(x) = 0 · (6x² − x³) − a(12x − 3x²)(6x² − x³)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

f′(x) = −a(12x − 3x²)(6x² − x³)²

משווים ל־0 (מספיק שהמונה יהיה 0):

−a(12x − 3x²) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

מחלקים ב־−a (מותר כי a > 0):

12x − 3x² = 0

3x(4 − x) = 0📐 מכפלה שווה 0a · b = 0 → a = 0או b = 0

x = 0 (לא בתחום ההגדרה) או x = 4

טבלת סימנים של f′(x). המכנה חיובי (ריבוע), ולכן הסימן לפי המונה −a · 3x(4 − x). מציבים נקודה בכל תחום:

x = −1 : −a(−12 − 3) = 15a > 0

x = 1 : −a(12 − 3) = −9a < 0

x = 5 : −a(60 − 75) = 15a > 0

x = 7 : −a(84 − 147) = 63a > 0

x	f′(x)	f(x)
x < 0	+	↗ עולה
0	לא מוגדרת	אסימפטוטה
0 < x < 4	−	↘ יורדת
4	0	מינימום
4 < x < 6	+	↗ עולה
6	לא מוגדרת	אסימפטוטה
x > 6	+	↗ עולה

✅ פתרון סופי: x = 4 – נקודת מינימום

סעיף ג – תחומי עלייה וירידה

מטבלת הסימנים:

✅ פתרון סופי: עלייה: x < 0 או 4 < x < 6 או x > 6

✅ פתרון סופי: ירידה: 0 < x < 4

סעיף ד – הערך של a

נקודת המינימום היא (4 , 14). מציבים בפונקציה:

14 = a6 · 4² − 4³📐 נקודה על גרףy = f(x)

14 = a96 − 64

14 = a32

כופלים ב־32:

a = 324 = 8

✅ פתרון סופי: a = 8

סעיף ה (1) – סקיצה של f(x)

עם a = 8: f(x) = 86x² − x³. מה שידוע לנו:

• אסימפטוטות x = 0 , x = 6 , y = 0.

• אין חיתוך עם הצירים (המונה 8 לא מתאפס, ו־x = 0 לא בתחום).

• מינימום (4 , 14).

סימן הפונקציה – לפי המכנה x²(6 − x):

x = 7 : f(7) = 8294 − 343 = 8−49 < 0 ← מתחת לציר

x = −1 : f(−1) = 86 + 1 = 87 > 0 ← מעל הציר

כלומר: משמאל ל־0 הגרף מעל ציר ה־x ועולה; בין 0 ל־6 הוא מעל הציר, יורד עד המינימום ועולה; מימין ל־6 הוא מתחת לציר ועולה לכיוון 0. הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ה (2) – סקיצה של f′(x)

f′(x) = −8(12x − 3x²)(6x² − x³)². מה שידוע לנו על הנגזרת:

• היא לא מוגדרת ב־x = 0 וב־x = 6 (אסימפטוטות אנכיות).

• היא מתאפסת רק ב־x = 4 – חותכת את ציר ה־x בנקודה (4 , 0).

• מטבלת הסימנים: חיובית כש־x < 0 , שלילית כש־0 < x < 4 , חיובית כש־4 < x < 6 וגם כש־x > 6.

• החזקה במונה (2) קטנה מהחזקה במכנה (6), ולכן y = 0 אסימפטוטה אופקית גם של הנגזרת.📐 אסימפטוטה אופקיתחזקה במונה קטנה מחזקה במכנה ← y = 0

ליד x = 0: משמאל הנגזרת שואפת לאינסוף (למעלה), ומימין – למינוס אינסוף (למטה). ליד x = 6 משני הצדדים היא שואפת לאינסוף (למעלה). הגרף (בירוק):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ו – השטח

בין x = 2 ל־x = 4 הנגזרת שלילית (מתחת לציר ה־x), ובנקודה x = 4 היא פוגשת את הציר. לכן השטח הוא:

S = −∫₂⁴ f′(x) dx📐 שטח מתחת לציר ה־xS = −∫_a^b f(x) dx

הפונקציה הקדומה של f′(x) היא f(x) עצמה:

S = −[f(x)]₂⁴ = −(f(4) − f(2)) = f(2) − f(4)📐 אינטגרל מסוים∫_a^b f′(x) dx = f(b) − f(a)

f(2) = 86 · 4 − 8 = 816 = 12

f(4) = 14 (מסעיף ד)

S = 12 − 14 = 14

✅ פתרון סופי: S = 14

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)	x ≠ 0 , x ≠ 6
סעיף א (2)	x = 0 , x = 6 , y = 0
סעיף ב	x = 4 מינימום
סעיף ג	עלייה: x < 0 או 4 < x < 6 או x > 6 ירידה: 0 < x < 4
סעיף ד	a = 8
סעיף ה	הסקיצות למעלה
סעיף ו	14

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2021 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 6 פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 3x²x² − 4x + 3 + a. a הוא פרמטר.

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. מצא את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x) (אם יש צורך, הבע באמצעות a).

ג. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן (אם יש צורך, הבע באמצעות a).

ד. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

נתון: האסימפטוטה האופקית של הפונקציה f(x) נמצאת מתחת לציר ה־x.

ה. בחר ערך מסוים של a שמתאים לנתון. נמק את בחירתך.

הצב בפונקציה f(x) את a שבחרת וענה על סעיפים ו–ז.

ו. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ז. מצא משוואת ישר המקביל לציר ה־x וחותך את גרף הפונקציה f(x) בנקודה אחת בלבד (מצא את 3 האפשרויות).

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום הגדרה

אסור שהמכנה יהיה 0:

x² − 4x + 3 ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

פותרים את המשוואה x² − 4x + 3 = 0:

(x − 1)(x − 3) = 0📐 טרינוםx² + bx + c = (x + p)(x + q)p · q = c , p + q = b

x = 1 , x = 3

✅ פתרון סופי: x ≠ 1 , x ≠ 3

סעיף ב – אסימפטוטות

אסימפטוטות אנכיות – בנקודות שבהן המכנה מתאפס. בודקים שהמונה שם לא 0:

x = 1 : 3 · 1² = 3 ≠ 0📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה 0 והמונה שונה מ־0

x = 3 : 3 · 3² = 27 ≠ 0

אסימפטוטה אופקית – החזקה הגבוהה במונה ובמכנה שווה (x²), ולכן השבר שואף ליחס המקדמים:

3x²x² − 4x + 3 → 31 = 3📐 אסימפטוטה אופקיתחזקות שוות במונה ובמכנה ← יחס המקדמים של החזקה הגבוהה

f(x) → 3 + a

✅ פתרון סופי: x = 1 , x = 3

✅ פתרון סופי: y = 3 + a

סעיף ג – נקודות קיצון

גוזרים לפי נגזרת של מנה (a נגזר ל־0):

u = 3x² , u′ = 6x

v = x² − 4x + 3 , v′ = 2x − 4

f′(x) = 6x(x² − 4x + 3) − 3x²(2x − 4)(x² − 4x + 3)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

פותחים סוגריים במונה:

= 6x³ − 24x² + 18x − 6x³ + 12x²(x² − 4x + 3)²

= −12x² + 18x(x² − 4x + 3)²

משווים ל־0 (מספיק שהמונה יהיה 0):

−12x² + 18x = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

מוציאים גורם משותף:

−6x(2x − 3) = 0

x = 0 , x = 1.5

מוצאים את ה־y:

f(0) = 00 − 0 + 3 + a = a

f(1.5) = 3 · 2.252.25 − 6 + 3 + a = 6.75−0.75 + a = −9 + a

טבלת סימנים של f′(x) (המכנה חיובי, הסימן לפי −6x(2x − 3)):

x	f′(x)	f(x)
x < 0	−	↘ יורדת
0	0	מינימום
0 < x < 1	+	↗ עולה
1 < x < 1.5	+	↗ עולה
1.5	0	מקסימום
1.5 < x < 3	−	↘ יורדת
x > 3	−	↘ יורדת

✅ פתרון סופי: (0 , a) מינימום

✅ פתרון סופי: (1.5 , a − 9) מקסימום

סעיף ד – תחומי עלייה וירידה

מטבלת הסימנים (בלי הנקודות x = 1 ו־x = 3 שאינן בתחום):

✅ פתרון סופי: עלייה: 0 < x < 1 או 1 < x < 1.5

✅ פתרון סופי: ירידה: x < 0 או 1.5 < x < 3 או x > 3

סעיף ה – בחירת ערך של a

האסימפטוטה האופקית היא y = 3 + a. היא מתחת לציר ה־x כאשר:

3 + a < 0

a < −3

נבחר למשל a = −4: אז האסימפטוטה היא y = 3 − 4 = −1, והיא אכן מתחת לציר ה־x.

✅ פתרון סופי: a = −4 (כל a < −3 מתאים)

סעיף ו – סקיצה (עם a = −4)

עם a = −4: f(x) = 3x²x² − 4x + 3 − 4.

מסמנים: אסימפטוטות אנכיות x = 1, x = 3, אסימפטוטה אופקית y = −1, מינימום (0 , −4) ומקסימום (1.5 , −13).

לפי טבלת הסימנים: משמאל הגרף יורד מהאסימפטוטה y = −1 עד המינימום ועולה ל־+∞ ליד x = 1. בין x = 1 ל־x = 3 הגרף עולה מ־−∞ עד המקסימום ויורד שוב ל־−∞. מימין ל־x = 3 הגרף יורד מ־+∞ ומתקרב ל־y = −1.

גרף הפונקציה (בכחול):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ז – ישרים מקבילים לציר ה־x שחותכים בנקודה אחת

ישר מקביל לציר ה־x הוא y = k. מסתכלים על כל אחד משלושת חלקי הגרף:

• משמאל ל־x = 1: ערכי הפונקציה הם y ≥ −4 (המינימום הוא −4).

• בין x = 1 ל־x = 3: ערכי הפונקציה הם y ≤ −13 (המקסימום הוא −13).

• מימין ל־x = 3: ערכי הפונקציה הם y > −1 (מעל האסימפטוטה).

אפשרות 1: y = −4 נוגע רק בנקודת המינימום (0 , −4) – בחלק האמצעי הערכים קטנים מ־−13 ובחלק הימני גדולים מ־−1.

אפשרות 2: y = −13 נוגע רק בנקודת המקסימום (1.5 , −13) – בחלק השמאלי הערכים גדולים או שווים ל־−4 ובחלק הימני גדולים מ־−1.

אפשרות 3: האסימפטוטה y = −1. בחלק הימני הגרף לא מגיע אליה. בודקים כמה פעמים הגרף חותך אותה:

3x²x² − 4x + 3 − 4 = −1

3x²x² − 4x + 3 = 3

כופלים במכנה:

3x² = 3x² − 12x + 9

12x = 9

x = 0.75

יש נקודת חיתוך אחת בלבד: (0.75 , −1). לכל ישר אחר יש 0 או 2 נקודות חיתוך.

✅ פתרון סופי: y = −4 , y = −13 , y = −1

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	x ≠ 1 , x ≠ 3
סעיף ב	x = 1 , x = 3 , y = 3 + a
סעיף ג	(0 , a) מינימום, (1.5 , a − 9) מקסימום
סעיף ד	עלייה: 0 < x < 1 , 1 < x < 1.5 ירידה: x < 0 , 1.5 < x < 3 , x > 3
סעיף ה	a = −4 (כל a < −3)
סעיף ו	סקיצה
סעיף ז	y = −4 , y = −13 , y = −1

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2021 מועד מיוחד). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2021 מועד א (מאי), שאלה 7 שטח · הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = (x² + 2x + 1) · (2x − 1) המוגדרת לכל x.

א. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

ב. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן.

ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ד. חשב את השטח הנמצא ברביע השלישי ומוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי ציר ה־y.

נתונה הפונקציה g(x) = f(x) − 4.

נסמן ב־S את השטח הנמצא ברביע השלישי ומוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x), על ידי ציר ה־x, על ידי ציר ה־y ועל ידי האנך לציר ה־x העובר דרך נקודת המקסימום של הפונקציה.

ה. בכמה גדול השטח S מן השטח שחישבת בסעיף ד? נמק.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – נקודות חיתוך עם הצירים

עם ציר ה־y:

f(0) = (0 + 0 + 1) · (0 − 1) = −1📐 חיתוך עם ציר ה־yx = 0

עם ציר ה־x – מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים 0:

(x² + 2x + 1)(2x − 1) = 0📐 חיתוך עם ציר ה־xy = 0

x² + 2x + 1 = (x + 1)² = 0 → x = −1📐 נוסחת כפל מקוצר(a + b)² = a² + 2ab + b²

2x − 1 = 0 → x = 0.5

✅ פתרון סופי: (0 , −1)

✅ פתרון סופי: (−1 , 0) , (0.5 , 0)

סעיף ב – נקודות קיצון

פותחים סוגריים כדי לגזור בקלות:

f(x) = 2x³ − x² + 4x² − 2x + 2x − 1

= 2x³ + 3x² − 1

f′(x) = 6x² + 6x📐 נגזרת של פולינום(axⁿ)′ = n · ax^{n − 1}

6x² + 6x = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

6x(x + 1) = 0

x = 0 , x = −1

f(0) = −1

f(−1) = 2 · (−1) + 3 · 1 − 1 = 0

x	f′(x)	f(x)
x < −1	+	↗ עולה
−1	0	מקסימום
−1 < x < 0	−	↘ יורדת
0	0	מינימום
x > 0	+	↗ עולה

✅ פתרון סופי: (−1 , 0) מקסימום

✅ פתרון סופי: (0 , −1) מינימום

סעיף ג – סקיצה

הגרף עולה עד המקסימום (−1 , 0) (נוגע בציר ה־x), יורד עד המינימום (0 , −1) ועולה שוב, וחותך את ציר ה־x ב־(0.5 , 0).

גרף הפונקציה (בכחול; בתכלת – השטח של סעיף ד):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ד – שטח ברביע השלישי

ברביע השלישי השטח נמצא בין x = −1 (שם הגרף נוגע בציר ה־x) ל־x = 0 (ציר ה־y). שם הגרף מתחת לציר ה־x, ולכן מחסרים: ציר ה־x פחות הגרף:

S₁ = ∫₋₁⁰ (0 − f(x)) dx📐 שטח מתחת לציר ה־xS = ∫ (הפונקציה העליונה − התחתונה) dx

= ∫₋₁⁰ (−2x³ − 3x² + 1) dx

= [−x⁴2 − x³ + x]₋₁⁰📐 אינטגרל של פולינום∫ xⁿ dx = x^{n + 1}n + 1 + c

= 0 − (−12 + 1 − 1)

= 0 − (−12) = 12

✅ פתרון סופי: 12 יחידות שטח

סעיף ה – בכמה גדול S

g(x) = f(x) − 4 – הזזה של גרף f(x) 4 יחידות למטה. נקודת המקסימום זזה ל־(−1 , −4), והאנך דרכה הוא x = −1.

בתחום −1 ≤ x ≤ 0 הגרף של g(x) כולו מתחת לציר ה־x (הערך הגבוה ביותר שם הוא −4):

S = ∫₋₁⁰ (0 − g(x)) dx📐 שטח מתחת לציר ה־xS = ∫ (הפונקציה העליונה − התחתונה) dx

= ∫₋₁⁰ (−f(x) + 4) dx

= ∫₋₁⁰ (−f(x)) dx + ∫₋₁⁰ 4 dx

האינטגרל הראשון הוא השטח מסעיף ד, 12:

= 12 + [4x]₋₁⁰ = 12 + 4 = 412

ההפרש בין השטחים:

S − S₁ = 412 − 12 = 4

נימוק: ההזזה למטה ב־4 מוסיפה לשטח מלבן שרוחבו 1 (מ־x = −1 עד x = 0) וגובהו 4.

✅ פתרון סופי: השטח S גדול ב־4 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	(0 , −1) , (−1 , 0) , (0.5 , 0)
סעיף ב	(−1 , 0) מקסימום, (0 , −1) מינימום
סעיף ג	סקיצה
סעיף ד	12
סעיף ה	גדול ב־4

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2021 מועד א (מאי)). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2021 מועד א (מאי), שאלה 6 פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = −1x + 2 + kx + 6. k הוא פרמטר.

נתון כי לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון בנקודה שבה x = −3.

א. מצא את הפרמטר k.

הצב k = 9 בפונקציה f(x) וענה על הסעיפים ב–ג.

ב. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצא את האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים. (3) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן. (4) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה: g(x) = f′(x).

ג. אחד מן הגרפים I–IV שלפניך מתאר את גרף הפונקציה g(x). קבע איזה, ונמק את קביעתך.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – מציאת k

גוזרים כל שבר. הנגזרת של ax + b היא −a(x + b)²:

f′(x) = 1(x + 2)² − k(x + 6)²📐 נגזרת של שבר(1g(x))′ = −g′(x)g²(x)

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת – מציבים x = −3:

1(−3 + 2)² − k(−3 + 6)² = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

1 − k9 = 0

k9 = 1

k = 9

✅ פתרון סופי: k = 9

סעיף ב (1) – תחום הגדרה

אסור שאחד המכנים יהיה 0:

x + 2 ≠ 0 , x + 6 ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

✅ פתרון סופי: x ≠ −2 , x ≠ −6

סעיף ב (2) – אסימפטוטות

אנכיות – כל מכנה מתאפס, והמונה שלו (−1 או 9) שונה מ־0:

x = −2 , x = −6📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה 0 והמונה שונה מ־0

אופקית – בכל שבר המכנה ממעלה 1 והמונה מספר, ולכן כל שבר שואף ל־0:

−1x + 2 → 0 , 9x + 6 → 0📐 אסימפטוטה אופקיתחזקה במכנה גדולה מהחזקה במונה ← השבר שואף ל־0

f(x) → 0 + 0 = 0

✅ פתרון סופי: x = −2 , x = −6

✅ פתרון סופי: y = 0

סעיף ב (3) – נקודות קיצון

עם k = 9:

f′(x) = 1(x + 2)² − 9(x + 6)²

1(x + 2)² = 9(x + 6)²📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

כפל בהצלבה:

(x + 6)² = 9(x + 2)²

מוציאים שורש משני האגפים (פלוס או מינוס):

x + 6 = 3(x + 2)

x + 6 = 3x + 6 → x = 0

x + 6 = −3(x + 2)

x + 6 = −3x − 6 → 4x = −12 → x = −3

מוצאים את ה־y:

f(0) = −12 + 96 = −0.5 + 1.5 = 1

f(−3) = −1−1 + 93 = 1 + 3 = 4

סימן הנגזרת: מכנה משותף (x + 2)²(x + 6)² (חיובי), והמונה:

(x + 6)² − 9(x + 2)²

= x² + 12x + 36 − 9x² − 36x − 36

= −8x² − 24x = −8x(x + 3)

x	f′(x)	f(x)
x < −6	−	↘ יורדת
−6 < x < −3	−	↘ יורדת
−3	0	מינימום
−3 < x < −2	+	↗ עולה
−2 < x < 0	+	↗ עולה
0	0	מקסימום
x > 0	−	↘ יורדת

✅ פתרון סופי: (−3 , 4) מינימום

✅ פתרון סופי: (0 , 1) מקסימום

סעיף ב (4) – סקיצה

נקודות עזר: מכנה משותף נותן f(x) = 8x + 12(x + 2)(x + 6), ולכן חיתוך עם ציר ה־x ב־x = −1.5, וחיתוך עם ציר ה־y ב־(0 , 1) (נקודת המקסימום).

משמאל ל־x = −6 הגרף יורד מ־y = 0 אל −∞. בין x = −6 ל־x = −2 הגרף יורד מ־+∞ עד המינימום (−3 , 4) ועולה שוב ל־+∞. מימין ל־x = −2 הגרף עולה מ־−∞ דרך (−1.5 , 0) עד המקסימום (0 , 1), ויורד ומתקרב ל־y = 0.

גרף הפונקציה (בכחול):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ג – איזה גרף מתאר את g(x) = f′(x)

מטבלת הסימנים של f′(x):

f′(x) < 0 ⟸ יורדת , f′(x) > 0 ⟸ עולה📐 הקשר בין הנגזרת לפונקציהפונקציה עולה ← נגזרת חיוביתפונקציה יורדת ← נגזרת שלילית

• משמאל ל־x = −6 הפונקציה יורדת, ולכן g(x) < 0 – זה פוסל את I ואת III (שבהם החלק השמאלי מעל ציר ה־x).

• g(0) = f′(0) = 0 (ב־x = 0 יש מקסימום), כלומר גרף g(x) עובר בראשית הצירים. בגרף II הגרף חותך את ציר ה־x משמאל לציר ה־y, ובגרף IV הוא עובר בראשית.

• בגרף IV גם רואים: שלילי משמאל, בין שתי האסימפטוטות עובר משלילי לחיובי (ב־x = −3), ומימין עובר מחיובי לשלילי (ב־x = 0) – בדיוק כמו בטבלה.

✅ פתרון סופי: גרף IV

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	k = 9
סעיף ב (1)	x ≠ −2 , x ≠ −6
סעיף ב (2)	x = −2 , x = −6 , y = 0
סעיף ב (3)	(−3 , 4) מינימום, (0 , 1) מקסימום
סעיף ב (4)	סקיצה
סעיף ג	IV

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2021 מועד א (מאי)). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – חורף 2021 (מועד חורף מאוחר, אפריל), שאלה 6 שטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 16x² − x².

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצא את האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים (אם יש כאלה).

ב. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ג. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ה. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישר x = 1.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום הגדרה

המכנה x² לא יכול להיות 0:

x² ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

x ≠ 0

✅ פתרון סופי: x ≠ 0

סעיף א (2) – אסימפטוטות

אנכית – המכנה מתאפס ב־x = 0 והמונה 16 שונה מ־0:

x = 0📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה 0 והמונה שונה מ־0

אופקית – השבר 16x² שואף ל־0, אבל −x² שואף ל־−∞. לכן הפונקציה לא מתקרבת לשום ישר אופקי:

f(x) → −∞

✅ פתרון סופי: x = 0

✅ פתרון סופי: אסימפטוטה אופקית – אין

סעיף ב – נקודות חיתוך עם הצירים

עם ציר ה־y – x = 0 לא בתחום ההגדרה, ולכן אין נקודת חיתוך.

עם ציר ה־x:

16x² − x² = 0📐 חיתוך עם ציר ה־xy = 0

16x² = x²

כופלים ב־x²:

16 = x⁴

x = 2 , x = −2

✅ פתרון סופי: עם ציר ה־y – אין

✅ פתרון סופי: (2 , 0) , (−2 , 0)

סעיף ג – תחומי עלייה וירידה

כותבים 16x² = 16x⁻² וגוזרים:

f′(x) = −32x⁻³ − 2x = −32x³ − 2x📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · x^{n − 1}

מכנה משותף:

f′(x) = −32 − 2x⁴x³

= −(32 + 2x⁴)x³

−(32 + 2x⁴)x³ = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

המונה תמיד שלילי (32 + 2x⁴ > 0), ולכן הנגזרת אף פעם לא מתאפסת – אין נקודות קיצון. הסימן נקבע לפי x³:

x	f′(x)	f(x)
x < 0	+	↗ עולה
0	לא מוגדר	—
x > 0	−	↘ יורדת

לדוגמה: f′(−1) = 32 + 2 = 34 > 0 , f′(1) = −32 − 2 = −34 < 0.

✅ פתרון סופי: עלייה: x < 0

✅ פתרון סופי: ירידה: x > 0

סעיף ד – סקיצה

הפונקציה זוגית (f(−x) = f(x)), ולכן הגרף סימטרי לציר ה־y. ליד x = 0 הגרף עולה ל־+∞, חותך את ציר ה־x ב־(−2 , 0) וב־(2 , 0), ובקצוות יורד ל־−∞.

גרף הפונקציה (בכחול; בתכלת – השטח של סעיף ה):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ה – השטח

השטח נמצא בין הישר x = 1 לבין נקודת החיתוך x = 2. שם הגרף מעל ציר ה־x (f(1) = 15):

S = ∫₁² (16x² − x²) dx📐 שטח מתחת לגרףS = ∫ (הפונקציה העליונה − התחתונה) dx

= ∫₁² (16x⁻² − x²) dx

= [−16x − x³3]₁²📐 אינטגרל של חזקה∫ xⁿ dx = x^{n + 1}n + 1 + c

= (−8 − 83) − (−16 − 13)

= −1023 + 1613

= 523

✅ פתרון סופי: 523 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)	x ≠ 0
סעיף א (2)	x = 0, אופקית – אין
סעיף ב	(2 , 0) , (−2 , 0)
סעיף ג	עלייה x < 0, ירידה x > 0
סעיף ד	סקיצה
סעיף ה	523

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, חורף 2021 (מועד חורף מאוחר, אפריל)). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – חורף 2021 (מועד נבצרים, מרץ), שאלה 7 פרמטר · שטח · משיק

📄 נוסח השאלה

נתונות הפונקציות f(x) = −3x² + 5x ו־g(x) = x² − 3x + c. c הוא פרמטר.

לגרפים של שתי הפונקציות יש נקודה משותפת A, ובה יש להם משיק משותף.

א. (1) מצא את שיעורי הנקודה A. (2) מצא את הערך של c.

ב. מצא את משוואת המשיק המשותף.

נסמן: S₁ – השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x), על ידי המשיק המשותף ועל ידי ציר ה־y. S₂ – השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x), על ידי המשיק המשותף ועל ידי ציר ה־y.

ג. מצא את היחס S₁S₂.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א (1) – הנקודה A

משיק משותף בנקודה משותפת – באותה נקודה שני הגרפים בעלי אותו שיפוע:

f′(x) = −6x + 5 , g′(x) = 2x − 3📐 נגזרת של פולינום(axⁿ)′ = n · ax^{n − 1}

−6x + 5 = 2x − 3📐 משיק משותףf′(x) = g′(x)

−8x = −8

x = 1

f(1) = −3 + 5 = 2

✅ פתרון סופי: A(1 , 2)

סעיף א (2) – הערך של c

גם g(x) עובר ב־A(1 , 2):

g(1) = 2📐 נקודה על גרףמציבים את שיעורי הנקודה בפונקציה

1 − 3 + c = 2

c = 4

✅ פתרון סופי: c = 4

סעיף ב – משוואת המשיק המשותף

m = f′(1) = −6 + 5 = −1

y − 2 = −1(x − 1)📐 משוואת ישר לפי נקודה ושיפועy − y₁ = m(x − x₁)

y = −x + 1 + 2

y = −x + 3

✅ פתרון סופי: y = −x + 3

סעיף ג – היחס בין השטחים

שני השטחים בין ציר ה־y (x = 0) לנקודת ההשקה (x = 1). הפרבולה f(x) "בוכה" ולכן המשיק מעליה; הפרבולה g(x) "מחייכת" ולכן המשיק מתחתיה.

הציור (כחול f, ירוק g, סגול המשיק; תכלת S₁, צהוב S₂):

S₁ = ∫₀¹ [(−x + 3) − (−3x² + 5x)] dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫ (הפונקציה העליונה − התחתונה) dx

= ∫₀¹ (3x² − 6x + 3) dx

= [x³ − 3x² + 3x]₀¹📐 אינטגרל של פולינום∫ xⁿ dx = x^{n + 1}n + 1 + c

= 1 − 3 + 3 − 0 = 1

S₂ = ∫₀¹ [(x² − 3x + 4) − (−x + 3)] dx

= ∫₀¹ (x² − 2x + 1) dx

= [x³3 − x² + x]₀¹

= 13 − 1 + 1 − 0 = 13

היחס:

S₁S₂ = 113 = 3

✅ פתרון סופי: S₁S₂ = 3

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א (1)	A(1 , 2)
סעיף א (2)	c = 4
סעיף ב	y = −x + 3
סעיף ג	3

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, חורף 2021 (מועד נבצרים, מרץ)). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – חורף 2021 (מועד נבצרים, מרץ), שאלה 6

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = −x² − 2x + 8x².

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים.

ג. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ד. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן.

ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

הנגזרת של הפונקציה g(x) היא f(x). תחום ההגדרה של g(x) זהה לתחום ההגדרה של f(x).

ו. מצא את שיעורי ה־x של הנקודות על גרף הפונקציה g(x) שבהן המשיק לגרף מקביל לציר ה־x.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום הגדרה

המכנה לא יכול להיות 0:

x² ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

x ≠ 0

✅ פתרון סופי: x ≠ 0

סעיף ב – אסימפטוטות

אנכית – המכנה מתאפס ב־x = 0, והמונה שם 8 ≠ 0:

x = 0📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה 0 והמונה שונה מ־0

אופקית – החזקה הגבוהה במונה ובמכנה שווה (2), ולכן היחס בין המקדמים:

y = −11 = −1📐 אסימפטוטה אופקיתחזקות שוות במונה ובמכנה ← y = מקדם במונה חלקי מקדם במכנה

✅ פתרון סופי: x = 0

✅ פתרון סופי: y = −1

סעיף ג – נקודות חיתוך עם הצירים

עם ציר ה־y – x = 0 לא בתחום ההגדרה, ולכן אין.

עם ציר ה־x – שבר שווה 0 כשהמונה 0:

−x² − 2x + 8 = 0📐 חיתוך עם ציר ה־xy = 0

כופלים ב־−1:

x² + 2x − 8 = 0

x_1,2 = −2 ± √4 + 322📐 נוסחת השורשים (MODE 5 3)x_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

= −2 ± 62

x = 2 , x = −4

✅ פתרון סופי: עם ציר ה־y – אין

✅ פתרון סופי: (2 , 0) , (−4 , 0)

סעיף ד – נקודות קיצון

נוח לפרק את השבר לשלושה:

f(x) = −1 − 2x + 8x²

= −1 − 2x⁻¹ + 8x⁻²

f′(x) = 2x⁻² − 16x⁻³ = 2x² − 16x³📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · x^{n − 1}

מכנה משותף:

f′(x) = 2x − 16x³

2x − 16x³ = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

2x − 16 = 0

x = 8

f(8) = −64 − 16 + 864 = −7264 = −98

x	f′(x)	f(x)
x < 0	+	↗ עולה
0	לא מוגדר	—
0 < x < 8	−	↘ יורדת
8	0	מינימום
x > 8	+	↗ עולה

לדוגמה: f′(−1) = −18−1 = 18 > 0 , f′(1) = −14 < 0 , f′(10) = 41000 > 0.

✅ פתרון סופי: (8 , −98) מינימום

סעיף ה – סקיצה

משמאל: הגרף עולה מכיוון y = −1 (מעליה), חותך ב־(−4 , 0) ועולה ל־+∞ ליד x = 0. מימין: יורד מ־+∞, חותך ב־(2 , 0), ממשיך לרדת עד המינימום (8 , −1.125) ועולה שוב ומתקרב ל־y = −1 מלמטה.

גרף הפונקציה (בכחול):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ו – משיקים המקבילים לציר ה־x

משיק מקביל לציר ה־x – השיפוע שלו 0, כלומר g′(x) = 0:

g′(x) = 0📐 משיק מקביל לציר ה־xהשיפוע 0 ← הנגזרת 0

נתון g′(x) = f(x), ולכן מחפשים איפה f(x) = 0 – אלה נקודות החיתוך מסעיף ג:

f(x) = 0 → x = 2 , x = −4

✅ פתרון סופי: x = 2 , x = −4

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	x ≠ 0
סעיף ב	x = 0 , y = −1
סעיף ג	(2 , 0) , (−4 , 0)
סעיף ד	(8 , −98) מינימום
סעיף ה	סקיצה
סעיף ו	x = 2 , x = −4

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – חורף 2021 (פברואר), שאלה 6 פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = bx²x² − 4x + 3. b הוא פרמטר.

לפונקציה f(x) יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה היא y = 2.

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מהו ערכו של הפרמטר b?

הצב את הערך של b שמצאת, וענה על הסעיפים ב–ג.

ב. (1) מצא את משוואות האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה f(x). (2) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה). (3) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן.

ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום הגדרה

המכנה לא יכול להיות 0:

x² − 4x + 3 = 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

x_1,2 = 4 ± √16 − 122📐 נוסחת השורשים (MODE 5 3)x_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

= 4 ± 22

x = 3 , x = 1

✅ פתרון סופי: x ≠ 1 , x ≠ 3

סעיף א (2) – הערך של b

במונה ובמכנה החזקה הגבוהה היא 2, ולכן האסימפטוטה האופקית היא היחס בין המקדמים שלהן:

y = b1 = b📐 אסימפטוטה אופקיתחזקות שוות במונה ובמכנה ← y = מקדם במונה חלקי מקדם במכנה

b = 2

✅ פתרון סופי: b = 2

סעיף ב (1) – אסימפטוטות אנכיות

עם b = 2: f(x) = 2x²x² − 4x + 3. בנקודות שבהן המכנה מתאפס, המונה 2x² שונה מ־0 (2 ו־18):

x = 1 , x = 3📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה 0 והמונה שונה מ־0

✅ פתרון סופי: x = 1 , x = 3

סעיף ב (2) – נקודות חיתוך עם הצירים

f(0) = 03 = 0📐 חיתוך עם ציר ה־yx = 0

2x² = 0 → x = 0📐 חיתוך עם ציר ה־xהמונה שווה 0

שתי הדרכים נותנות את אותה נקודה – ראשית הצירים.

✅ פתרון סופי: (0 , 0)

סעיף ב (3) – נקודות קיצון

גוזרים לפי נגזרת של מנה, u = 2x² , v = x² − 4x + 3:

f′(x) = 4x(x² − 4x + 3) − 2x²(2x − 4)(x² − 4x + 3)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

פותחים את המונה:

4x³ − 16x² + 12x − 4x³ + 8x²

= −8x² + 12x = −4x(2x − 3)

f′(x) = −4x(2x − 3)(x² − 4x + 3)²

−4x(2x − 3) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

x = 0 , x = 1.5

f(0) = 0

f(1.5) = 2 · 2.252.25 − 6 + 3 = 4.5−0.75 = −6

המכנה בריבוע חיובי, ולכן הסימן לפי המונה:

x	f′(x)	f(x)
x < 0	−	↘ יורדת
0	0	מינימום
0 < x < 1	+	↗ עולה
1 < x < 1.5	+	↗ עולה
1.5	0	מקסימום
1.5 < x < 3	−	↘ יורדת
x > 3	−	↘ יורדת

✅ פתרון סופי: (0 , 0) מינימום

✅ פתרון סופי: (1.5 , −6) מקסימום

סעיף ג – סקיצה

משמאל ל־x = 1: הגרף יורד מכיוון y = 2 עד המינימום (0 , 0), ואז עולה ל־+∞. בין x = 1 ל־x = 3: עולה מ־−∞ עד המקסימום (1.5 , −6) ויורד ל־−∞. מימין ל־x = 3: יורד מ־+∞ ומתקרב ל־y = 2.

גרף הפונקציה (בכחול):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)	x ≠ 1 , x ≠ 3
סעיף א (2)	b = 2
סעיף ב (1)	x = 1 , x = 3
סעיף ב (2)	(0 , 0)
סעיף ב (3)	(0 , 0) מינימום (1.5 , −6) מקסימום
סעיף ג	סקיצה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, חורף 2021 (פברואר)). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2020 מועד ב, שאלה 6 פרמטר · שטח · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 3xx² − 1 + 2.

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים. (3) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים. (4) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).

לפניך ארבעה גרפים I–IV.

ב. איזה מן הגרפים I–IV הוא גרף פונקציית הנגזרת, f′(x)? נמק.

ג. a > 3 הוא פרמטר. השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי הישרים x = 3 ו־x = a ועל ידי ציר ה־x שווה ל־0.5. מצא את a.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום הגדרה

x² − 1 ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

x² ≠ 1

✅ פתרון סופי: x ≠ 1 , x ≠ −1

סעיף א (2) – אסימפטוטות

אנכיות – המכנה מתאפס ב־x = ±1, והמונה 3x שם ±3 ≠ 0:

x = 1 , x = −1📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה 0 והמונה שונה מ־0

אופקית – בשבר החזקה במכנה גדולה מהחזקה במונה, ולכן השבר שואף ל־0:

3xx² − 1 → 0📐 אסימפטוטה אופקיתחזקה במכנה גדולה מהחזקה במונה ← השבר שואף ל־0

f(x) → 0 + 2 = 2

✅ פתרון סופי: x = 1 , x = −1

✅ פתרון סופי: y = 2

סעיף א (3) – נקודות חיתוך עם הצירים

f(0) = 0−1 + 2 = 2📐 חיתוך עם ציר ה־yx = 0

3xx² − 1 + 2 = 0📐 חיתוך עם ציר ה־xy = 0

כופלים במכנה:

3x + 2(x² − 1) = 0

2x² + 3x − 2 = 0

x_1,2 = −3 ± √9 + 164📐 נוסחת השורשים (MODE 5 3)x_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

= −3 ± 54

x = 0.5 , x = −2

✅ פתרון סופי: (0 , 2)

✅ פתרון סופי: (0.5 , 0) , (−2 , 0)

סעיף א (4) – תחומי עלייה וירידה

f′(x) = 3(x² − 1) − 3x · 2x(x² − 1)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

= 3x² − 3 − 6x²(x² − 1)²

= −3x² − 3(x² − 1)² = −3(x² + 1)(x² − 1)²

−3(x² + 1)(x² − 1)² = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

אין פתרון: x² + 1 > 0 תמיד. המונה תמיד שלילי והמכנה תמיד חיובי, ולכן f′(x) < 0 בכל תחום ההגדרה – אין נקודות קיצון, והפונקציה יורדת בכל תחום.

x	f′(x)	f(x)
x < −1	−	↘ יורדת
−1 < x < 1	−	↘ יורדת
x > 1	−	↘ יורדת

גרף f(x) לעזרה (בכחול):

✅ פתרון סופי: ירידה: x < −1 , −1 < x < 1 , x > 1

✅ פתרון סופי: עלייה: אין

סעיף ב – גרף הנגזרת

מסעיף א (4): f′(x) = −3(x² + 1)(x² − 1)².

• f′(x) < 0 לכל x בתחום – כל הגרף מתחת לציר ה־x. זה פוסל את II (הענפים החיצוניים מעל הציר), את III (החלק האמצעי מעל הציר) ואת IV (כולו מעל הציר).

• בדיקה: f′(0) = −3 (החלק האמצעי מתחת לציר), ויש אסימפטוטות אנכיות x = ±1.

✅ פתרון סופי: גרף I

סעיף ג – מציאת a

גרף הנגזרת מתחת לציר ה־x, ולכן השטח הוא מינוס האינטגרל. הפונקציה הקדומה של f′(x) היא f(x):

S = ∫₃^a (0 − f′(x)) dx📐 שטח מתחת לציר ה־xS = ∫ (הפונקציה העליונה − התחתונה) dx

= [−f(x)]₃^a📐 פונקציה קדומה של נגזרת∫ f′(x) dx = f(x) + c

= f(3) − f(a)

f(3) = 98 + 2 = 3.125

3.125 − f(a) = 0.5

f(a) = 2.625

3aa² − 1 + 2 = 2.625

3aa² − 1 = 0.625

כופלים במכנה:

3a = 0.625a² − 0.625

כופלים ב־8:

24a = 5a² − 5

5a² − 24a − 5 = 0

a_1,2 = 24 ± √576 + 10010📐 נוסחת השורשים (MODE 5 3)x_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

= 24 ± 2610

a = 5 , a = −0.2

נתון a > 3, ולכן a = −0.2 נפסל.

✅ פתרון סופי: a = 5

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)	x ≠ ±1
סעיף א (2)	x = ±1 , y = 2
סעיף א (3)	(0 , 2) , (0.5 , 0) , (−2 , 0)
סעיף א (4)	יורדת בכל התחום; אין עלייה
סעיף ב	I
סעיף ג	a = 5

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2020 מועד ב). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2020 מועד א, שאלה 6 פרמטר · שטח · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x − 1x² − 4x − a. a הוא פרמטר.

הישר x = −1 הוא אסימפטוטה של הפונקציה f(x).

א. מצא את הערך של a.

הצב a = 5, וענה על הסעיפים ב–ה.

ב. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצא את משוואות כל האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים. (3) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה). (4) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים. (5) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ג. מצא את משוואות האסימפטוטות של פונקציית הנגזרת f′(x) המאונכות לצירים.

ד. איזה מן הגרפים I–IV שלפניך מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)? נמק.

ה. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = 0 ו־x = 4.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – הערך של a

באסימפטוטה האנכית המכנה מתאפס. מציבים x = −1 במכנה:

(−1)² − 4 · (−1) − a = 0📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה 0 והמונה שונה מ־0

1 + 4 − a = 0

a = 5

בדיקה: המונה ב־x = −1 הוא −2 ≠ 0.

✅ פתרון סופי: a = 5

סעיף ב (1) – תחום הגדרה

x² − 4x − 5 = 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

x_1,2 = 4 ± √16 + 202📐 נוסחת השורשים (MODE 5 3)x_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

= 4 ± 62

x = 5 , x = −1

✅ פתרון סופי: x ≠ 5 , x ≠ −1

סעיף ב (2) – אסימפטוטות

אנכיות – המונה x − 1 לא מתאפס ב־x = 5 וב־x = −1:

x = 5 , x = −1📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה 0 והמונה שונה מ־0

אופקית:

y = 0📐 אסימפטוטה אופקיתחזקה במכנה גדולה מהחזקה במונה ← y = 0

✅ פתרון סופי: x = 5 , x = −1 , y = 0

סעיף ב (3) – עלייה וירידה

f′(x) = 1 · (x² − 4x − 5) − (x − 1)(2x − 4)(x² − 4x − 5)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

= x² − 4x − 5 − (2x² − 6x + 4)(x² − 4x − 5)²

= −x² + 2x − 9(x² − 4x − 5)²

−x² + 2x − 9 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

b² − 4ac = 4 − 36 = −32 < 0📐 דיסקרימיננטהשלילית ← אין פתרון

למונה אין שורשים והמקדם של x² שלילי, ולכן המונה תמיד שלילי. המכנה בריבוע חיובי. לכן f′(x) < 0 בכל התחום:

x	f′(x)	f(x)
x < −1	−	↘ יורדת
−1 < x < 5	−	↘ יורדת
x > 5	−	↘ יורדת

✅ פתרון סופי: עלייה: אין

✅ פתרון סופי: ירידה: x < −1 , −1 < x < 5 , x > 5

סעיף ב (4) – נקודות חיתוך עם הצירים

f(0) = −1−5 = 15📐 חיתוך עם ציר ה־yx = 0

x − 1 = 0 → x = 1📐 חיתוך עם ציר ה־xהמונה שווה 0

✅ פתרון סופי: (0 , 15) , (1 , 0)

סעיף ב (5) – סקיצה

הפונקציה יורדת בכל אחד משלושת התחומים: משמאל ל־x = −1 יורדת מ־y = 0 ל־−∞; בין האסימפטוטות יורדת מ־+∞ דרך (0 , 0.2) ו־(1 , 0) ל־−∞; מימין ל־x = 5 יורדת מ־+∞ אל y = 0.

גרף הפונקציה (בכחול):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ג – אסימפטוטות של הנגזרת

f′(x) = −x² + 2x − 9(x² − 4x − 5)²: המכנה מתאפס ב־x = 5 וב־x = −1 (המונה לא, הוא תמיד שלילי). במכנה החזקה 4 ובמונה 2, ולכן f′(x) → 0.

x = 5 , x = −1 , y = 0📐 אסימפטוטותאנכית: המכנה 0; אופקית: חזקה במכנה גדולה ← y = 0

✅ פתרון סופי: x = 5 , x = −1 , y = 0

סעיף ד – גרף הנגזרת

מסעיף ב (3): f′(x) < 0 בכל התחום – כל הגרף מתחת לציר ה־x, עם שתי אסימפטוטות אנכיות.

• בגרפים I ו־II יש חלקים מעל ציר ה־x. בגרף III הענף הימני מעל ציר ה־x. בגרף IV כל שלושת הענפים מתחת לציר.

✅ פתרון סופי: גרף IV

סעיף ה – השטח

בין x = 0 ל־x = 4 אין אסימפטוטה, והנגזרת שלילית – השטח מתחת לציר. הפונקציה הקדומה של f′(x) היא f(x):

S = ∫₀⁴ (0 − f′(x)) dx📐 שטח מתחת לציר ה־xS = ∫ (הפונקציה העליונה − התחתונה) dx

= [−f(x)]₀⁴📐 פונקציה קדומה של נגזרת∫ f′(x) dx = f(x) + c

= f(0) − f(4)

f(4) = 316 − 16 − 5 = −0.6

S = 0.2 − (−0.6) = 0.8

✅ פתרון סופי: 0.8 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	a = 5
סעיף ב (1)	x ≠ 5 , x ≠ −1
סעיף ב (2)	x = 5 , x = −1 , y = 0
סעיף ב (3)	יורדת בכל התחום
סעיף ב (4)	(0 , 15) , (1 , 0)
סעיף ב (5)	סקיצה
סעיף ג	x = 5 , x = −1 , y = 0
סעיף ד	IV
סעיף ה	0.8

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2020 מועד א). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – חורף 2020, שאלה 6 פרמטר · שטח · הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 3x² − 6x.

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה. (3) מצא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x. בתשובתך השאר שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית. (4) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = f(x) + c. c הוא פרמטר.

נתון כי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x) נמצאת על ציר ה־x.

ב. (1) מצא את c. (2) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g(x).

ג. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x), על ידי הישר x = −3 ועל ידי ציר ה־x.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום הגדרה

x² ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

✅ פתרון סופי: x ≠ 0

סעיף א (2) – נקודת קיצון

f(x) = 3x⁻² − 6x

f′(x) = −6x⁻³ − 6 = −6x³ − 6📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · x^{n − 1}

−6x³ − 6 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

6x³ = −6

x³ = −1

x = −1

f(−1) = 31 + 6 = 9

בדיקת סימן הנגזרת בכל תחום:

x	f′(x)	f(x)
x < −1	−	↘ יורדת
−1	0	מינימום
−1 < x < 0	+	↗ עולה
x > 0	−	↘ יורדת

לדוגמה: f′(−2) = 68 − 6 < 0 , f′(−0.5) = 48 − 6 > 0 , f′(1) = −12 < 0.

✅ פתרון סופי: (−1 , 9) מינימום

סעיף א (3) – חיתוך עם ציר ה־x

3x² − 6x = 0📐 חיתוך עם ציר ה־xy = 0

כופלים ב־x²:

3 − 6x³ = 0

x³ = 0.5

x = ∛0.5 ≈ 0.79

✅ פתרון סופי: (0.79 , 0)

סעיף א (4) – סקיצה

משמאל: הגרף יורד מ־+∞ עד המינימום (−1 , 9) ועולה ל־+∞ ליד x = 0. מימין: יורד מ־+∞ דרך (0.79 , 0) ל־−∞.

גרף הפונקציה (בכחול):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ב (1) – מציאת c

g(x) = f(x) + c – הזזה אנכית ב־c. נקודת הקיצון זזה ל־(−1 , 9 + c), והיא על ציר ה־x:

9 + c = 0📐 נקודה על ציר ה־xy = 0

c = −9

✅ פתרון סופי: c = −9

סעיף ב (2) – סקיצה של g(x)

הגרף של f(x) יורד 9 יחידות: המינימום ב־(−1 , 0) – הגרף נוגע בציר ה־x.

גרף g(x) (בירוק; בתכלת – השטח של סעיף ג):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ג – השטח

g(x) = 3x² − 6x − 9. השטח בין x = −3 לנקודת ההשקה x = −1, שם הגרף מעל ציר ה־x:

S = ∫₋₃⁻¹ (3x⁻² − 6x − 9) dx📐 שטח מתחת לגרףS = ∫ (הפונקציה העליונה − התחתונה) dx

= [−3x − 3x² − 9x]₋₃⁻¹📐 אינטגרל של חזקה∫ xⁿ dx = x^{n + 1}n + 1 + c

= (3 − 3 + 9) − (1 − 27 + 27)

= 9 − 1 = 8

✅ פתרון סופי: 8 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)	x ≠ 0
סעיף א (2)	(−1 , 9) מינימום
סעיף א (3)	(0.79 , 0)
סעיף א (4)	סקיצה
סעיף ב (1)	c = −9
סעיף ב (2)	סקיצה
סעיף ג	8

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, חורף 2020). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2019 מועד ב, שאלה 7 שטח · משיק

📄 נוסח השאלה

לפניך סרטוט של גרף הפונקציה f(x) = (x − 3)⁴ − 16, המוגדרת לכל x.

א. מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x).

ב. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x.

העבירו משיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודה שבה x = 4.

ג. (1) מצא את משוואת המשיק. (2) חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי המשיק, על ידי ציר ה־x ועל ידי ציר ה־y (השטח המסומן בסרטוט).

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – נקודת קיצון

f′(x) = 4(x − 3)³📐 נגזרת של חזקה של ביטוי((ax + b)ⁿ)′ = n · a(ax + b)^{n − 1}

4(x − 3)³ = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

x = 3

f(3) = 0 − 16 = −16

x	f′(x)	f(x)
x < 3	−	↘ יורדת
3	0	מינימום
x > 3	+	↗ עולה

✅ פתרון סופי: (3 , −16) מינימום

סעיף ב – חיתוך עם ציר ה־x

(x − 3)⁴ − 16 = 0📐 חיתוך עם ציר ה־xy = 0

(x − 3)⁴ = 16

מוציאים שורש רביעי (פלוס או מינוס):

x − 3 = 2 → x = 5

x − 3 = −2 → x = 1

✅ פתרון סופי: (1 , 0) , (5 , 0)

סעיף ג (1) – משוואת המשיק

f(4) = 1 − 16 = −15

m = f′(4) = 4 · 1³ = 4

y + 15 = 4(x − 4)📐 משוואת ישר לפי נקודה ושיפועy − y₁ = m(x − x₁)

y = 4x − 16 − 15

y = 4x − 31

✅ פתרון סופי: y = 4x − 31

סעיף ג (2) – השטח המסומן

השטח בין ציר ה־y (x = 0) לנקודת ההשקה (x = 4). מלמטה – המשיק. מלמעלה: עד x = 1 – ציר ה־x (שם הגרף מעל הציר), ומ־x = 1 עד x = 4 – גרף הפונקציה. לכן מחלקים לשני חלקים:

הציור (כחול – הפונקציה, סגול – המשיק, תכלת – השטח):

S₁ = ∫₀¹ [0 − (4x − 31)] dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫ (הפונקציה העליונה − התחתונה) dx

= ∫₀¹ (31 − 4x) dx

= [31x − 2x²]₀¹📐 אינטגרל של פולינום∫ xⁿ dx = x^{n + 1}n + 1 + c

= 31 − 2 = 29

S₂ = ∫₁⁴ [(x − 3)⁴ − 16 − (4x − 31)] dx

= ∫₁⁴ [(x − 3)⁴ − 4x + 15] dx

= [(x − 3)⁵5 − 2x² + 15x]₁⁴📐 אינטגרל של חזקה של ביטוי∫ (ax + b)ⁿ dx = (ax + b)^{n + 1}a(n + 1) + c

= (15 − 32 + 60) − (−325 − 2 + 15)

= 28.2 − 6.6 = 21.6

מחברים:

S = 29 + 21.6 = 50.6

✅ פתרון סופי: 50.6 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	(3 , −16) מינימום
סעיף ב	(1 , 0) , (5 , 0)
סעיף ג (1)	y = 4x − 31
סעיף ג (2)	50.6

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2019 מועד ב). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2019 מועד ב, שאלה 6 שטח · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x²x² + 2x − 3.

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצא את האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x).

ב. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן.

ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ד. (1) סרטט סקיצה של גרף הנגזרת f′(x) בתחום −3 < x < 1. (2) הסתמך על הסרטוט בתת־סעיף ד (1) וחשב את השטח המוגבל על ידי גרף הנגזרת f′(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישר x = −2.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום הגדרה

x² + 2x − 3 = 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

x_1,2 = −2 ± √4 + 122📐 נוסחת השורשים (MODE 5 3)x_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

= −2 ± 42

x = 1 , x = −3

✅ פתרון סופי: x ≠ 1 , x ≠ −3

סעיף א (2) – אסימפטוטות

אנכיות – המונה x² שונה מ־0 ב־x = 1 וב־x = −3:

x = 1 , x = −3📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה 0 והמונה שונה מ־0

אופקית – חזקות שוות (2), יחס המקדמים:

y = 11 = 1📐 אסימפטוטה אופקיתחזקות שוות במונה ובמכנה ← y = מקדם במונה חלקי מקדם במכנה

✅ פתרון סופי: x = 1 , x = −3

✅ פתרון סופי: y = 1

סעיף ב – נקודות קיצון

f′(x) = 2x(x² + 2x − 3) − x²(2x + 2)(x² + 2x − 3)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

= 2x³ + 4x² − 6x − 2x³ − 2x²(x² + 2x − 3)²

= 2x² − 6x(x² + 2x − 3)² = 2x(x − 3)(x² + 2x − 3)²

2x(x − 3) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

x = 0 , x = 3

f(0) = 0

f(3) = 99 + 6 − 3 = 912 = 0.75

x	f′(x)	f(x)
x < −3	+	↗ עולה
−3 < x < 0	+	↗ עולה
0	0	מקסימום
0 < x < 1	−	↘ יורדת
1 < x < 3	−	↘ יורדת
3	0	מינימום
x > 3	+	↗ עולה

✅ פתרון סופי: (0 , 0) מקסימום

✅ פתרון סופי: (3 , 0.75) מינימום

סעיף ג – סקיצה

משמאל ל־x = −3: עולה מכיוון y = 1 ל־+∞. בין x = −3 ל־x = 1: עולה מ־−∞ עד המקסימום (0 , 0) ויורד ל־−∞. מימין ל־x = 1: יורד מ־+∞ עד המינימום (3 , 0.75) ועולה ומתקרב ל־y = 1.

גרף הפונקציה (בכחול):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ד (1) – סקיצה של הנגזרת

בתחום −3 < x < 1: f′(x) = 2x(x − 3)(x + 3)²(x − 1)².

• f′(x) > 0 ב־−3 < x < 0 ו־f′(x) < 0 ב־0 < x < 1 (מהטבלה), ו־f′(0) = 0.

• ליד x = −3 המונה 36 > 0 והמכנה שואף ל־0 ← f′(x) → +∞. ליד x = 1 המונה −4 < 0 ← f′(x) → −∞.

גרף f′(x) (בירוק; בתכלת – השטח של ד (2)):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ד (2) – השטח

בין x = −2 ל־x = 0 גרף הנגזרת מעל ציר ה־x. הפונקציה הקדומה של f′(x) היא f(x):

S = ∫₋₂⁰ f′(x) dx📐 שטח מתחת לגרףS = ∫ (הפונקציה העליונה − התחתונה) dx

= [f(x)]₋₂⁰📐 פונקציה קדומה של נגזרת∫ f′(x) dx = f(x) + c

f(−2) = 44 − 4 − 3 = −43

S = 0 − (−43) = 43

✅ פתרון סופי: 43 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)	x ≠ 1 , x ≠ −3
סעיף א (2)	x = 1 , x = −3 , y = 1
סעיף ב	(0 , 0) מקס׳ , (3 , 0.75) מינ׳
סעיף ג	סקיצה
סעיף ד (1)	סקיצה
סעיף ד (2)	43

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2019 מועד ב). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2019 מועד א, שאלה 7 פרמטר · שטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = −13x³ + 9x + a המוגדרת לכל x. a הוא פרמטר.

א. מצא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־y (אם יש צורך, הבע באמצעות a).

ב. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) (אם יש צורך, הבע באמצעות a), וקבע את סוגן.

ג. מצא את הערך של a שבעבורו נקודת המינימום של הפונקציה f(x) נמצאת על ציר ה־x. נמק.

הצב a = 18 במשוואת הפונקציה f(x), וענה על הסעיפים ד–ו.

ד. רשום את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה.

ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ו. (1) חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x), ציר ה־x וציר ה־y ברביע השני. (2) A היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־y, ו־B היא נקודת המינימום של הפונקציה f(x). הראה שגרף הפונקציה f(x) מחלק את המשולש ABO לשני שטחים שהיחס ביניהם הוא 1:3 (O – ראשית הצירים).

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – חיתוך עם ציר ה־y

f(0) = 0 + 0 + a = a📐 חיתוך עם ציר ה־yx = 0

✅ פתרון סופי: (0 , a)

סעיף ב – נקודות קיצון

f′(x) = −x² + 9📐 נגזרת של פולינום(axⁿ)′ = n · ax^{n − 1}

−x² + 9 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

x² = 9 → x = 3 , x = −3

f(3) = −9 + 27 + a = 18 + a

f(−3) = 9 − 27 + a = a − 18

x	f′(x)	f(x)
x < −3	−	↘ יורדת
−3	0	מינימום
−3 < x < 3	+	↗ עולה
3	0	מקסימום
x > 3	−	↘ יורדת

לדוגמה: f′(0) = 9 > 0 , f′(±4) = −7 < 0.

✅ פתרון סופי: (−3 , a − 18) מינימום

✅ פתרון סופי: (3 , 18 + a) מקסימום

סעיף ג – מינימום על ציר ה־x

נקודה על ציר ה־x – שיעור ה־y שלה 0:

a − 18 = 0📐 נקודה על ציר ה־xy = 0

a = 18

✅ פתרון סופי: a = 18

סעיף ד – נקודות הקיצון עבור a = 18

(−3 , 18 − 18) = (−3 , 0)

(3 , 18 + 18) = (3 , 36)

✅ פתרון סופי: (−3 , 0) מינימום

✅ פתרון סופי: (3 , 36) מקסימום

סעיף ה – סקיצה

הגרף יורד עד המינימום (−3 , 0) (נוגע בציר ה־x), עולה דרך (0 , 18) עד המקסימום (3 , 36) ויורד ל־−∞.

הציור (כחול – הפונקציה; סגול – הצלע AB; תכלת – השטח מתחת לגרף; צהוב – השטח בין הגרף ל־AB):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ו (1) – שטח ברביע השני

ברביע השני השטח בין x = −3 (שם הגרף נוגע בציר) ל־x = 0, והגרף מעל ציר ה־x:

S₁ = ∫₋₃⁰ (−13x³ + 9x + 18) dx📐 שטח מתחת לגרףS = ∫ (הפונקציה העליונה − התחתונה) dx

= [−x⁴12 + 4.5x² + 18x]₋₃⁰📐 אינטגרל של פולינום∫ xⁿ dx = x^{n + 1}n + 1 + c

= 0 − (−8112 + 40.5 − 54)

= 0 − (−6.75 − 13.5)

= 20.25

✅ פתרון סופי: 20.25 יחידות שטח

סעיף ו (2) – היחס 1:3

A(0 , 18) , B(−3 , 0) , O(0 , 0). המשולש ישר זווית ב־O:

S_ABO = 3 · 182 = 27📐 שטח משולשS = a · h2

הגרף עובר מ־B ל־A בתוך המשולש (מתחת לצלע AB), ולכן מחלק אותו לשטח שמתחת לגרף (S₁) ולשטח שבין הגרף לצלע AB:

S₂ = 27 − 20.25 = 6.75

S₂S₁ = 6.7520.25 = 13

✅ פתרון סופי: היחס 1 : 3

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	(0 , a)
סעיף ב	(−3 , a − 18) מינ׳ , (3 , 18 + a) מקס׳
סעיף ג	a = 18
סעיף ד	(−3 , 0) מינ׳ , (3 , 36) מקס׳
סעיף ה	סקיצה
סעיף ו (1)	20.25
סעיף ו (2)	6.75 : 20.25 = 1 : 3

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2019 מועד א). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2019 מועד א, שאלה 6 פרמטר · הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 3x²x² + x − 2.

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצא את האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המקבילות לצירים. (3) מצא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים. (4) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן. (5) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

ב. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ג. האם גרף הפונקציה f(x) חותך את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה f(x)? אם הוא חותך את האסימפטוטה, מצא את שיעורי נקודת החיתוך.

ד. נתון: לפונקציה g(x) = f(x) + c (c הוא פרמטר) יש אסימפטוטה אופקית y = 5. מצא את c. נמק.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום הגדרה

x² + x − 2 = 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

x_1,2 = −1 ± √1 + 82📐 נוסחת השורשים (MODE 5 3)x_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

= −1 ± 32

x = 1 , x = −2

✅ פתרון סופי: x ≠ 1 , x ≠ −2

סעיף א (2) – אסימפטוטות

אנכיות – המונה 3x² שונה מ־0 ב־x = 1 וב־x = −2:

x = 1 , x = −2📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה 0 והמונה שונה מ־0

אופקית – חזקות שוות, יחס המקדמים:

y = 31 = 3📐 אסימפטוטה אופקיתחזקות שוות במונה ובמכנה ← y = מקדם במונה חלקי מקדם במכנה

✅ פתרון סופי: x = 1 , x = −2 , y = 3

סעיף א (3) – חיתוך עם הצירים

f(0) = 0−2 = 0📐 חיתוך עם ציר ה־yx = 0

3x² = 0 → x = 0📐 חיתוך עם ציר ה־xהמונה שווה 0

✅ פתרון סופי: (0 , 0)

סעיף א (4) – נקודות קיצון

f′(x) = 6x(x² + x − 2) − 3x²(2x + 1)(x² + x − 2)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

= 6x³ + 6x² − 12x − 6x³ − 3x²(x² + x − 2)²

= 3x² − 12x(x² + x − 2)² = 3x(x − 4)(x² + x − 2)²

3x(x − 4) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

x = 0 , x = 4

f(0) = 0

f(4) = 4816 + 4 − 2 = 4818 = 83

x	f′(x)	f(x)
x < −2	+	↗ עולה
−2 < x < 0	+	↗ עולה
0	0	מקסימום
0 < x < 1	−	↘ יורדת
1 < x < 4	−	↘ יורדת
4	0	מינימום
x > 4	+	↗ עולה

✅ פתרון סופי: (0 , 0) מקסימום

✅ פתרון סופי: (4 , 83) מינימום

סעיף א (5) – עלייה וירידה

מהטבלה:

✅ פתרון סופי: עלייה: x < −2 , −2 < x < 0 , x > 4

✅ פתרון סופי: ירידה: 0 < x < 1 , 1 < x < 4

סעיף ב – סקיצה

משמאל ל־x = −2: עולה מכיוון y = 3 ל־+∞. בין האסימפטוטות: עולה מ־−∞ עד המקסימום (0 , 0) ויורד ל־−∞. מימין ל־x = 1: יורד מ־+∞, חוצה את y = 3 ב־(2 , 3), מגיע למינימום (4 , 83) ועולה ומתקרב ל־y = 3 מלמטה.

גרף הפונקציה (בכחול):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ג – חיתוך עם האסימפטוטה האופקית

3x²x² + x − 2 = 3📐 חיתוך גרף עם ישרמשווים את הפונקציה לישר

כופלים במכנה:

3x² = 3x² + 3x − 6

0 = 3x − 6

x = 2

x = 2 בתחום ההגדרה, ולכן יש נקודת חיתוך.

✅ פתרון סופי: כן , (2 , 3)

סעיף ד – הערך של c

g(x) = f(x) + c – הזזה אנכית ב־c. גם האסימפטוטה האופקית זזה ב־c: מ־y = 3 ל־y = 3 + c.

3 + c = 5📐 הזזה אנכיתf(x) + c – כל הגרף זז ב־c

c = 2

✅ פתרון סופי: c = 2

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)	x ≠ 1 , x ≠ −2
סעיף א (2)	x = 1 , x = −2 , y = 3
סעיף א (3)	(0 , 0)
סעיף א (4)	(0 , 0) מקס׳ , (4 , 83) מינ׳
סעיף א (5)	עלייה x < −2 , −2 < x < 0 , x > 4 ירידה 0 < x < 1 , 1 < x < 4
סעיף ב	סקיצה
סעיף ג	(2 , 3)
סעיף ד	c = 2

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2019 מועד א). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – חורף 2019, שאלה 7 פרמטר · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

הפונקציה f(x) מוגדרת לכל x ≠ 0 . בציור שלפניך מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x) , המוגדרת גם היא לכל x ≠ 0 , וחותכת את ציר ה־x בנקודות (−2 , 0) , (2 , 0) .

א. מצא את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן על פי הגרף.

נתון: f′(x) = −1x² + a לכל x ≠ 0 . a > 0 הוא פרמטר.

ב. מצא את a .

ענה על סעיף ג בעבור x > 0 . שיעור ה־y של נקודת המינימום של הפונקציה f(x) הוא 10.

ג. (1) כתוב ביטוי אלגברי לפונקציה f(x) .

(2) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) בעבור x > 0 .

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – קיצון לפי גרף הנגזרת

• ב־x = −2: משמאל הגרף של f′ מעל הציר ( f′ > 0 ), מימין מתחתיו ( f′ < 0 ) ← מקסימום.📐 קשר בין הנגזרת לפונקציהf′(x) > 0 ← עולה ; f′(x) < 0 ← יורדת

• ב־x = 2: משמאל f′ < 0, מימין f′ > 0 ← מינימום.

✅ פתרון סופי: x = −2 מקסימום

✅ פתרון סופי: x = 2 מינימום

סעיף ב – הערך של a

f′(2) = 0 ← −14 + a = 0 ← a = 14

✅ פתרון סופי: a = 14

סעיף ג (1) – הביטוי של f(x)

f(x) = 1x + x4 + C📐 אינטגרל של חזקה∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C

f(2) = 10 ← 12 + 24 + C = 10 ← C = 9📐 נקודה על גרףy₀ = f(x₀)

✅ פתרון סופי: f(x) = 1x + x4 + 9

סעיף ג (2) – סקיצה ל־x > 0

ליד x = 0 מימין f → +∞; יורד עד המינימום (2 , 10) ואחר כך עולה. הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x = −2 מקס׳ , x = 2 מינ׳
סעיף ב	a = 14
סעיף ג (1)	f(x) = 1x + x4 + 9

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, חורף 2019). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2018 מועד ב, שאלה 6 שטח · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x²(x − 4)² , המוגדרת לכל x .

ענה על הסעיפים א–ג. פתח סוגריים אם יש צורך.

א. (1) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

(2) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן.

(3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

(4) מצא את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).

ב. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) ועל ידי ציר ה־x .

ג. סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת, f′(x) .

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – חיתוך עם הצירים

f(0) = 0

x²(x − 4)² = 0 ← x = 0 , x = 4

✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (4 , 0)

סעיף א (2) – נקודות קיצון

f′(x) = 2x(x − 4)² + x² · 2(x − 4)📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′

= 2x(x − 4)[(x − 4) + x] = 2x(x − 4)(2x − 4) = 4x(x − 2)(x − 4)

4x(x − 2)(x − 4) = 0 ← x = 0 , 2 , 4📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

f(2) = 4 · 4 = 16

f′(−1) = −60 < 0 , f′(1) = 12 > 0 , f′(3) = −12 < 0 , f′(5) = 60 > 0

x	f′(x)	f(x)
x < 0	−	↘
0	0	מינימום
0 < x < 2	+	↗
2	0	מקסימום
2 < x < 4	−	↘
4	0	מינימום
x > 4	+	↗

✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (4 , 0) מינימום

✅ פתרון סופי: (2 , 16) מקסימום

סעיף א (3) – סקיצה

הגרף (בכחול); השטח של סעיף ב צבוע בסגול:

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף א (4) – חיוביות ושליליות

מכפלה של שני ריבועים – תמיד ≥ 0, ומתאפסת רק ב־x = 0 , 4.

✅ פתרון סופי: חיובית: x < 0 , 0 < x < 4 , x > 4

✅ פתרון סופי: שלילית: אין

סעיף ב – השטח

f(x) = x²(x² − 8x + 16) = x⁴ − 8x³ + 16x²

S = ∫₀⁴ (x⁴ − 8x³ + 16x²) dx📐 שטח מתחת לגרףS = ∫_a^b f(x) dx

= [x⁵5 − 2x⁴ + 16x³3]₀⁴📐 אינטגרל של חזקה∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C

= 10245 − 512 + 10243 = 51215 ≈ 34.13

✅ פתרון סופי: ≈ 34.13 יח״ר

סעיף ג – סקיצה של f′(x)

f′(x) = 4x(x − 2)(x − 4) – פולינום ממעלה שלישית עם שורשים 0 , 2 , 4; הסימנים לפי הטבלה בסעיף א (2):

✅ פתרון סופי: הגרף (בסגול) למעלה

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	(0 , 0) , (4 , 0) מינ׳ , (2 , 16) מקס׳
סעיף ב	34.13
סעיף ג	סקיצה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2018 מועד ב). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2018 מועד א', שאלה 6 שטח · הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 1(x − 3)² + 4 .

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) .

(2) מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים.

(3) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) .

(4) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

ב. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) , על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = 4 ו־x = 5 .

נתונה הפונקציה g(x) = f(x) − 4 .

ג. מהו השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x) , על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = 4 ו־x = 5 ? נמק.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום הגדרה

x − 3 ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

✅ פתרון סופי: x ≠ 3

סעיף א (2) – אסימפטוטות

x = 3: המכנה מתאפס והמונה 1 ≠ 0.📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

1(x − 3)² → 0 כאשר x → ±∞ ← f(x) → 4📐 אסימפטוטה אופקיתהערך ש־f(x) מתקרבת אליו כאשר x → ±∞

✅ פתרון סופי: x = 3 , y = 4

סעיף א (3) – עלייה וירידה

f′(x) = −2(x − 3)⁻³ = −2(x − 3)³📐 נגזרת של חזקה מורכבת((x + a)ⁿ)′ = n(x + a)ⁿ⁻¹

• x < 3: (x − 3)³ < 0 ← f′ > 0 – עולה.

• x > 3: f′ < 0 – יורדת.

✅ פתרון סופי: עלייה: x < 3

✅ פתרון סופי: ירידה: x > 3

סעיף א (4) – סקיצה

הגרף (בכחול) מעל y = 4 משני צדי x = 3; השטח של סעיף ב צבוע בסגול:

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ב – השטח

S = ∫₄⁵ [(x − 3)⁻² + 4] dx📐 שטח מתחת לגרףS = ∫_a^b f(x) dx

= [−1x − 3 + 4x]₄⁵📐 אינטגרל של חזקה של ביטוי לינארי∫ (ax + b)ⁿ dx = (ax + b)ⁿ⁺¹a(n + 1) + C

= (−12 + 20) − (−1 + 16) = 19.5 − 15 = 4.5

✅ פתרון סופי: 412 יח״ר

סעיף ג – השטח מתחת ל־g(x)

הגרף של g הוא הגרף של f מוזז 4 יחידות למטה (עדיין מעל ציר ה־x). מהשטח יורד מלבן ברוחב 1 ובגובה 4:📐 הזזה אנכיתg(x) = f(x) + k – כל הגרף זז ב־k בציר ה־y

S = 4.5 − 4 · 1 = 0.5

✅ פתרון סופי: 12 יח״ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	x ≠ 3 ; x = 3 , y = 4 ; עולה x < 3 , יורדת x > 3
סעיף ב	4.5
סעיף ג	0.5

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2018 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2018, שאלה 6 פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 4x(x − 1)² + a . a הוא פרמטר.

ענה על סעיף א. הבע באמצעות a במידת הצורך.

א. (1) מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) ?

(2) מה הן משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים?

(3) מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגה.

(4) מה הם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) ?

נתון: לפונקציה יש אסימפטוטה שמשוואתה היא y = −3 .

ב. מהו ערך הפרמטר a ?

הצב את הערך של a שמצאת וענה על הסעיפים ג–ד.

ג. (1) מצא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־y .

(2) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

ד. עבור אילו ערכים של k הישר y = k חותך את גרף הפונקציה f(x) בנקודה אחת בדיוק?

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום הגדרה

x − 1 ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

✅ פתרון סופי: x ≠ 1

סעיף א (2) – אסימפטוטות

x = 1: המכנה מתאפס והמונה 4 ≠ 0.📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

השבר 4x(x − 1)² שואף ל־0 כאשר x → ±∞ (מעלת מונה קטנה), ולכן f(x) → a.📐 אסימפטוטה אופקיתהערך ש־f(x) מתקרבת אליו כאשר x → ±∞

✅ פתרון סופי: x = 1 , y = a

סעיף א (3) – נקודת הקיצון

f′(x) = 4(x − 1)² − 4x · 2(x − 1)(x − 1)⁴📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

= 4(x − 1) − 8x(x − 1)³ = −4x − 4(x − 1)³

−4x − 4 = 0 ← x = −1📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

f(−1) = −44 + a = a − 1

f′(−2) = 4−27 < 0 , f′(0) = −4−1 > 0 ← מינימום

✅ פתרון סופי: (−1 , a − 1) מינימום

סעיף א (4) – עלייה וירידה

f′(2) = −121 < 0

x	f′(x)	f(x)
x < −1	−	↘
−1	0	מינימום
−1 < x < 1	+	↗
1	לא מוגדר
x > 1	−	↘

✅ פתרון סופי: עלייה: −1 < x < 1

✅ פתרון סופי: ירידה: x < −1 או x > 1

סעיף ב – הערך של a

האסימפטוטה האופקית היא y = a ← a = −3

✅ פתרון סופי: a = −3

סעיף ג (1) – חיתוך עם ציר ה־y

f(0) = 0 − 3 = −3

✅ פתרון סופי: (0 , −3)

סעיף ג (2) – סקיצה

משמאל: מ־y = −3 (מלמטה) יורד למינימום (−1 , −4), עולה דרך (0 , −3) אל +∞. מימין: יורד מ־+∞ אל y = −3 (מלמעלה). הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ד – נקודת חיתוך אחת בדיוק

• הענף הימני ( x > 1 ) מקבל את כל הערכים y > −3, כל אחד פעם אחת.

• הענף השמאלי: ל־−4 < k < −3 שתי נקודות, ל־k = −4 נקודה אחת (המינימום), ל־k = −3 נקודה אחת ( (0 , −3) ), ול־k > −3 נקודה אחת.

לכן: k > −3 – שתי נקודות (אחת בכל ענף); k = −3 – רק (0 , −3); k = −4 – רק המינימום; −4 < k < −3 – שתיים.

✅ פתרון סופי: k = −3 , k = −4

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	x ≠ 1 ; x = 1 , y = a ; (−1 , a − 1) מינימום
סעיף ב	a = −3
סעיף ג (1)	(0 , −3)
סעיף ד	k = −3 , k = −4

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2018). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2017 מועד ב', שאלה 6 הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 5(2x − 4)² .

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) .

ב. מצא את האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x) .

ג. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) .

ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

ה. (1) מצא את האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה −f(x) .

(2) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה −f(x) .

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום הגדרה

2x − 4 ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

✅ פתרון סופי: x ≠ 2

סעיף ב – אסימפטוטות

x = 2: המכנה מתאפס והמונה 5 ≠ 0.📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

מעלת המונה (0) קטנה ממעלת המכנה (2): y = 0📐 אסימפטוטה אופקיתמעלת המונה קטנה ממעלת המכנה ← y = 0

✅ פתרון סופי: x = 2 , y = 0

סעיף ג – עלייה וירידה

f′(x) = 5 · (−2)(2x − 4)⁻³ · 2 = −20(2x − 4)³📐 נגזרת של פונקציה מורכבת((ax + b)ⁿ)′ = n · a(ax + b)ⁿ⁻¹

• x < 2: (2x − 4)³ < 0 ← f′(x) > 0 – עולה.

• x > 2: (2x − 4)³ > 0 ← f′(x) < 0 – יורדת.

✅ פתרון סופי: עלייה: x < 2

✅ פתרון סופי: ירידה: x > 2

סעיף ד – סקיצה

הגרף חיובי (מונה חיובי, מכנה ריבוע); עולה ל־+∞ משני צדי x = 2. חיתוך עם ציר ה־y: f(0) = 516. הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ה (1) – אסימפטוטות של −f(x)

שיקוף ביחס לציר ה־x משאיר את x = 2 ואת y = 0 (השיקוף של y = 0 הוא עצמו).📐 שיקוף−f(x) – שיקוף של הגרף ביחס לציר ה־x

✅ פתרון סופי: x = 2 , y = 0

סעיף ה (2) – סקיצה של −f(x)

אותו גרף, משוקף מתחת לציר ה־x (בסגול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בסגול) למעלה

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	x ≠ 2
סעיף ב	x = 2 , y = 0
סעיף ג	עלייה: x < 2 ; ירידה: x > 2
סעיף ה (1)	x = 2 , y = 0

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2017 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2017 מועד א', שאלה 6 פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 2x² + 4x² − a , 0 < a הוא פרמטר.

ענה על סעיף א. הבע את תשובותיך באמצעות a במידת הצורך.

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) .

(2) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

(3) מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה f(x) .

לפונקציה f(x) יש אסימפטוטה אנכית x = 1 .

ב. מצא את a .

הצב את a שמצאת בסעיף ב, וענה על הסעיפים ג–ה.

ג. (1) האם לפונקציה f(x) יש אסימפטוטה אנכית נוספת? אם כן – מהי? אם לא – נמק.

(2) מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגה.

(3) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) .

ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

ה. עבור אילו ערכים של k אין פתרון למשוואה f(x) = k ? נמק.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום הגדרה

x² − a ≠ 0 ← x² ≠ a📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

✅ פתרון סופי: x ≠ ±√a

סעיף א (2) – חיתוך עם הצירים

f(0) = 4−a = −4a ← (0 , −4a)

2x² + 4 ≥ 4 > 0 – המונה לא מתאפס, אין חיתוך עם ציר ה־x.

✅ פתרון סופי: (0 , −4a)

סעיף א (3) – אסימפטוטה אופקית

מעלות שוות: y = 21 = 2📐 אסימפטוטה אופקיתמעלות שוות ← y = יחס המקדמים המובילים

✅ פתרון סופי: y = 2

סעיף ב – הערך של a

√a = 1 ← a = 1

✅ פתרון סופי: a = 1

סעיף ג (1) – אסימפטוטה אנכית נוספת

המכנה x² − 1 מתאפס גם ב־x = −1, והמונה שם 6 ≠ 0.📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

✅ פתרון סופי: כן, x = −1

סעיף ג (2) – נקודת הקיצון

f′(x) = 4x(x² − 1) − (2x² + 4) · 2x(x² − 1)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

= 4x³ − 4x − 4x³ − 8x(x² − 1)² = −12x(x² − 1)²

−12x = 0 ← x = 0 , f(0) = −4📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

f′(−0.5) > 0 , f′(0.5) < 0 ← מקסימום

✅ פתרון סופי: (0 , −4) מקסימום

סעיף ג (3) – עלייה וירידה

המכנה ריבוע (חיובי), והסימן הוא סימן −12x:

x	f′(x)	f(x)
x < −1	+	↗
−1 < x < 0	+	↗
0	0	מקסימום
0 < x < 1	−	↘
x > 1	−	↘

✅ פתרון סופי: עלייה: x < −1 או −1 < x < 0

✅ פתרון סופי: ירידה: 0 < x < 1 או x > 1

סעיף ד – סקיצה

הענפים החיצוניים מעל y = 2 (כי f(x) − 2 = 6x² − 1 חיובי כאשר |x| > 1); הענף האמצעי מתחת, עם מקסימום (0 , −4). הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ה – אין פתרון ל־f(x) = k

• הענפים החיצוניים מקבלים את כל הערכים y > 2 ( y = 2 אסימפטוטה – לא מתקבל).

• הענף האמצעי מקבל את כל הערכים y ≤ −4.

הישר y = k לא פוגש את הגרף כאשר הוא בין שני התחומים:

✅ פתרון סופי: −4 < k ≤ 2

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	x ≠ ±√a ; (0 , −4a) ; y = 2
סעיף ב	a = 1
סעיף ג	x = −1 ; (0 , −4) מקסימום
סעיף ה	−4 < k ≤ 2

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2017 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2017, שאלה 6 פרמטר · הזזות · משיק

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x − 22x + 4 .

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

(2) מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

(3) מצא את האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המקבילות לצירים.

(4) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה (אם יש כאלה), ואת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה (אם יש כאלה). נמק.

(5) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

ב. בנקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x מעבירים משיק לגרף הפונקציה. בנקודה נוספת, P , שעל גרף הפונקציה, גם מעבירים משיק. שני המשיקים מקבילים זה לזה. מצא את שיעורי הנקודה P .

ג. הפונקציה g(x) מקיימת g(x) = f(x) + C . האסימפטוטה האופקית של g(x) מתלכדת עם ציר ה־x . מצא את C . הסבר את תשובתך.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום הגדרה

2x + 4 ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

✅ פתרון סופי: x ≠ −2

סעיף א (2) – חיתוך עם הצירים

f(0) = −24 = −0.5 ← (0 , −0.5)

x − 2 = 0 ← (2 , 0)

✅ פתרון סופי: (0 , −0.5) , (2 , 0)

סעיף א (3) – אסימפטוטות

x = −2: המכנה מתאפס והמונה שם −4 ≠ 0.📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

מעלות שוות: y = 12 = 0.5📐 אסימפטוטה אופקיתמעלות שוות ← y = יחס המקדמים המובילים

✅ פתרון סופי: x = −2 , y = 0.5

סעיף א (4) – קיצון, עלייה וירידה

f′(x) = 1 · (2x + 4) − (x − 2) · 2(2x + 4)² = 8(2x + 4)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

המונה 8 לא מתאפס ← אין נקודות קיצון. המכנה ריבוע, חיובי ← f′(x) > 0 בכל התחום.

✅ פתרון סופי: אין קיצון

✅ פתרון סופי: עלייה: x < −2 או x > −2 ; ירידה: אין

סעיף א (5) – סקיצה

שני ענפים עולים: משמאל ל־x = −2 מעל y = 0.5 ועולה ל־+∞, מימין עולה מ־−∞ אל 0.5. הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ב – הנקודה P

m = f′(2) = 864 = 18📐 שיפוע המשיקm = f′(x₀)

8(2x + 4)² = 18📐 ישרים מקביליםשיפועים שווים

(2x + 4)² = 64 ← 2x + 4 = 8 או 2x + 4 = −8

x = 2 (הנקודה הנתונה) או x = −6

f(−6) = −8−8 = 1

✅ פתרון סופי: P(−6 , 1)

סעיף ג – הערך של C

הוספת קבוע מזיזה את כל הגרף אנכית, ולכן האסימפטוטה האופקית של g היא y = 0.5 + C.📐 הזזה אנכיתg(x) = f(x) + C – כל הגרף זז ב־C בציר ה־y

האסימפטוטה מתלכדת עם ציר ה־x ( y = 0 ): 0.5 + C = 0

✅ פתרון סופי: C = −0.5

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)	x ≠ −2
סעיף א (2)	(0 , −0.5) , (2 , 0)
סעיף א (3)	x = −2 , y = 0.5
סעיף א (4)	אין קיצון, עולה בכל התחום
סעיף ב	P(−6 , 1)
סעיף ג	C = −0.5

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2017). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2016 מועד ב', שאלה 8 פרמטר · שטח

📄 נוסח השאלה

נתונות הפונקציות f(x) = x² − 6x + 5 , g(x) = x² − 10x + a . a הוא פרמטר.

הגרפים של שתי הפונקציות נחתכים בנקודה C ששיעור ה־x שלה הוא 4 (ראה ציור).

א. מצא את הערך של a .

ב. דרך נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־y העבירו ישר המקביל לציר ה־x (ראה ציור). מצא את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות ועל ידי הישר (השטח הצבוע בציור).

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – הערך של a

f(4) = 16 − 24 + 5 = −3 ← C(4 , −3)

g(4) = −3 ← 16 − 40 + a = −3 ← a = 21📐 נקודה על גרףy₀ = f(x₀)

✅ פתרון סופי: a = 21

סעיף ב – השטח

f(0) = 5 ← הישר y = 5

חיתוך הישר עם g(x) = x² − 10x + 21:

x² − 10x + 21 = 5 ← x² − 10x + 16 = 0 ← x = 2 או x = 8

השטח (בסגול): מ־x = 0 עד x = 2 בין הישר y = 5 (למעלה) ל־f, ומ־x = 2 עד x = 4 בין g (למעלה) ל־f.

S₁ = ∫₀² [5 − (x² − 6x + 5)] dx = ∫₀² (6x − x²) dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫_a^b [f(x) − g(x)] dx(העליון פחות התחתון)

= [3x² − x³3]₀² = 12 − 83 = 283

S₂ = ∫₂⁴ [(x² − 10x + 21) − (x² − 6x + 5)] dx = ∫₂⁴ (16 − 4x) dx

= [16x − 2x²]₂⁴ = 32 − 24 = 8

S = 283 + 8 = 523 = 1713

✅ פתרון סופי: 1713 יח״ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	a = 21
סעיף ב	1713

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2016 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2016 מועד ב', שאלה 7 גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 2 − x(x − 1)² .

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ג. מצא את האסימפטוטות של גרף הפונקציה המאונכות לצירים.

ד. מצא את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה.

ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

ו. לפניך שלושה גרפים I, II, III. איזה מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x) ? נמק.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

x − 1 ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

✅ פתרון סופי: x ≠ 1

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

f(0) = 21 = 2 ← (0 , 2)

2 − x = 0 ← x = 2 ← (2 , 0)

✅ פתרון סופי: (0 , 2) , (2 , 0)

סעיף ג – אסימפטוטות

x = 1: המכנה מתאפס והמונה שם 1 ≠ 0.📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

מעלת המונה (1) קטנה ממעלת המכנה (2): y = 0📐 אסימפטוטה אופקיתמעלת המונה קטנה ממעלת המכנה ← y = 0

✅ פתרון סופי: x = 1 , y = 0

סעיף ד – עלייה וירידה

f′(x) = −(x − 1)² − (2 − x) · 2(x − 1)(x − 1)⁴📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

= −(x − 1) − 2(2 − x)(x − 1)³ = x − 3(x − 1)³

x − 3 = 0 ← x = 3 , f(3) = −14📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

f′(0) = −3−1 > 0 , f′(2) = −11 < 0 , f′(4) = 127 > 0

x	f′(x)	f(x)
x < 1	+	↗
1	לא מוגדר
1 < x < 3	−	↘
3	0	מינימום
x > 3	+	↗

✅ פתרון סופי: עלייה: x < 1 או x > 3

✅ פתרון סופי: ירידה: 1 < x < 3

סעיף ה – סקיצה

ליד x = 1 משני הצדדים f → +∞ (המונה → 1). מינימום (3 , −14). הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ו – הגרף של f′(x)

• f′ > 0 כאשר x < 1 וכאשר x > 3, f′ < 0 כאשר 1 < x < 3, ו־f′(3) = 0.

• אסימפטוטה אנכית x = 1: משמאל f′ → +∞, מימין f′ → −∞. כאשר x → ±∞: f′ → 0.

רק בגרף II: מימין לאסימפטוטה הגרף עולה מ־−∞, חוצה את ציר ה־x פעם אחת ונשאר חיובי. בגרף I הענף השמאלי שלילי, ובגרף III הענף הימני מתחיל ב־+∞.

✅ פתרון סופי: II

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x ≠ 1
סעיף ב	(0 , 2) , (2 , 0)
סעיף ג	x = 1 , y = 0
סעיף ד	עלייה: x < 1 , x > 3 ; ירידה: 1 < x < 3
סעיף ו	II

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2016 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2016 מועד א', שאלה 7 שטח

📄 נוסח השאלה

פונקציית הנגזרת של הפונקציה f(x) היא f′(x) = 3x² − 12x + 9 .

א. מצא את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן.

ב. הישר y = 4 משיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודת המקסימום שלה.

(1) מצא את הפונקציה f(x) .

(2) מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

ג. דרך נקודת המינימום של הפונקציה f(x) העבירו אנך לציר ה־x . חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) , על ידי המשיק y = 4 , על ידי ציר ה־y ועל ידי האנך.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – נקודות קיצון

3x² − 12x + 9 = 0 ← x² − 4x + 3 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

(x − 1)(x − 3) = 0 ← x = 1 , x = 3

f′(0) = 9 > 0 , f′(2) = −3 < 0 , f′(4) = 9 > 0

x	f′(x)	f(x)
x < 1	+	↗
1	0	מקסימום
1 < x < 3	−	↘
3	0	מינימום
x > 3	+	↗

✅ פתרון סופי: x = 1 מקסימום

✅ פתרון סופי: x = 3 מינימום

סעיף ב (1) – מציאת f(x)

f(x) = x³ − 6x² + 9x + C📐 אינטגרל של חזקה∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C

f(1) = 4 ← 1 − 6 + 9 + C = 4 ← C = 0📐 נקודה על גרףy₀ = f(x₀)

✅ פתרון סופי: f(x) = x³ − 6x² + 9x

סעיף ב (2) – חיתוך עם הצירים

f(0) = 0

x(x² − 6x + 9) = 0 ← x(x − 3)² = 0 ← x = 0 , x = 3

✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (3 , 0)

סעיף ג – השטח

נקודת המינימום (3 , 0) – האנך x = 3. בין x = 0 ל־x = 3 הישר y = 4 מעל הגרף (השטח בסגול):

S = ∫₀³ [4 − (x³ − 6x² + 9x)] dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫_a^b [f(x) − g(x)] dx(העליון פחות התחתון)

= [4x − x⁴4 + 2x³ − 4.5x²]₀³

= 12 − 20.25 + 54 − 40.5 = 5.25

✅ פתרון סופי: 5.25 יח״ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x = 1 מקסימום, x = 3 מינימום
סעיף ב (1)	f(x) = x³ − 6x² + 9x
סעיף ב (2)	(0 , 0) , (3 , 0)
סעיף ג	5.25

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2016 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2016 מועד א', שאלה 6 פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = m − 4x(x − 1)² . m הוא פרמטר.

לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x = 3 .

א. מצא את הערך של m .

הצב m = 8 , וענה על הסעיפים ב–ה.

ב. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים.

ג. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ד. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ואת נקודת הקיצון שלה, וקבע את סוגה.

ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה, ומצא בעזרתה עבור אילו ערכים של x מתקיים f(x) > 0 וגם f′(x) > 0 .

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – הערך של m

f′(x) = −4(x − 1)² − (m − 4x) · 2(x − 1)(x − 1)⁴📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

מצמצמים ב־(x − 1):

= −4(x − 1) − 2(m − 4x)(x − 1)³ = 4x + 4 − 2m(x − 1)³

f′(3) = 0 ← 12 + 4 − 2m = 0 ← m = 8📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

✅ פתרון סופי: m = 8

סעיף ב – אסימפטוטות

x = 1 – המכנה מתאפס, המונה שם 4 ≠ 0.📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

מעלת המונה (1) קטנה ממעלת המכנה (2): y = 0📐 אסימפטוטה אופקיתמעלת המונה קטנה ממעלת המכנה ← y = 0

✅ פתרון סופי: x = 1 , y = 0

סעיף ג – חיתוך עם הצירים

f(0) = 81 = 8 ← (0 , 8)

8 − 4x = 0 ← x = 2 ← (2 , 0)

✅ פתרון סופי: (0 , 8) , (2 , 0)

סעיף ד – עלייה, ירידה וקיצון

f′(x) = 4x − 12(x − 1)³

f′(0) = −12−1 > 0 , f′(2) = −41 < 0 , f′(4) = 427 > 0

x	f′(x)	f(x)
x < 1	+	↗
1	לא מוגדר
1 < x < 3	−	↘
3	0	מינימום
x > 3	+	↗

f(3) = 8 − 124 = −1

✅ פתרון סופי: עלייה: x < 1 או x > 3

✅ פתרון סופי: ירידה: 1 < x < 3

✅ פתרון סופי: (3 , −1) מינימום

סעיף ה – סקיצה ו־f > 0 וגם f′ > 0

הגרף (בכחול):

• f(x) > 0 כאשר x < 2 ( x ≠ 1 ) – הגרף מעל ציר ה־x.

• f′(x) > 0 כאשר x < 1 או x > 3 – הפונקציה עולה.

החיתוך של שני התנאים:

✅ פתרון סופי: x < 1

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	m = 8
סעיף ב	x = 1 , y = 0
סעיף ג	(0 , 8) , (2 , 0)
סעיף ד	(3 , −1) מינימום
סעיף ה	x < 1

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2016 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2016, שאלה 7 פרמטר · שטח · משיק

📄 נוסח השאלה

נתונות הפונקציות f(x) = −x² + 16 , g(x) = −x² − ax . a הוא פרמטר.

המשיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודת הקיצון שלה משיק גם לגרף הפונקציה g(x) בנקודה שבה x = −4 .

א. מצא את הערך של a .

הצב a = 8 , וענה על הסעיפים ב–ג.

ב. (1) מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) ושל גרף הפונקציה g(x) עם הצירים.

(2) סרטט באותה מערכת צירים סקיצה של גרף הפונקציה f(x) וסקיצה של גרף הפונקציה g(x) .

ג. A היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם החלק השלילי של ציר ה־x , ו־B היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם החלק השלילי של ציר ה־x .

חשב את השטח ברביע השני המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות ועל ידי הקטע AB .

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – הערך של a

f′(x) = −2x ← x = 0 , f(0) = 16 ← המשיק: y = 16📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

הישר y = 16 משיק ל־g ב־x = −4 – שיפוע 0 ו־g(−4) = 16:

g′(x) = −2x − a ← g′(−4) = 8 − a = 0 ← a = 8📐 שיפוע המשיקm = g′(x₀)

בדיקה: g(−4) = −16 + 32 = 16 ✔

✅ פתרון סופי: a = 8

סעיף ב (1) – חיתוך עם הצירים

f: f(0) = 16 ; −x² + 16 = 0 ← x = ±4

g: g(0) = 0 ; −x(x + 8) = 0 ← x = 0 , x = −8

✅ פתרון סופי: f: (0 , 16) , (4 , 0) , (−4 , 0)

✅ פתרון סופי: g: (0 , 0) , (−8 , 0)

סעיף ב (2) – סקיצה

שתי פרבולות "בוכות": f (בכחול) עם קודקוד (0 , 16), g (בסגול) עם קודקוד (−4 , 16):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ג – השטח

A(−4 , 0) , B(−8 , 0). נקודת החיתוך של הגרפים:

−x² + 16 = −x² − 8x ← x = −2 , y = 12

השטח (בסגול): מ־x = −8 עד x = −4 בין g לציר ה־x, ומ־x = −4 עד x = −2 בין g (למעלה) ל־f:

S₁ = ∫₋₈⁻⁴ (−x² − 8x) dx = [−x³3 − 4x²]₋₈⁻⁴📐 שטח מתחת לגרףS = ∫_a^b f(x) dx

= (643 − 64) − (5123 − 256) = 1283

S₂ = ∫₋₄⁻² [(−x² − 8x) − (−x² + 16)] dx = ∫₋₄⁻² (−8x − 16) dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫_a^b [f(x) − g(x)] dx(העליון פחות התחתון)

= [−4x² − 16x]₋₄⁻² = (−16 + 32) − (−64 + 64) = 16

S = 1283 + 16 = 1763 ≈ 58.67

✅ פתרון סופי: 5823 ≈ 58.67 יח״ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	a = 8
סעיף ב (1)	f: (0 , 16) , (±4 , 0) ; g: (0 , 0) , (−8 , 0)
סעיף ג	≈ 58.67

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2016). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2015 מועד ב', שאלה 7 פרמטר · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

בציור שלפניך מוצג הגרף של הפונקציה f(x) = 4x + 1ax² − 2x . a הוא פרמטר.

א. מצא את הערך של a .

הצב a = 1 , וענה על הסעיפים ב–ד.

ב. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) .

ג. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) .

ד. (1) מה הן האסימפטוטות המאונכות לצירים של פונקציית הנגזרת f′(x) ?

(2) סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x) בתחום 0 < x < 2 .

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – הערך של a

מהציור, לגרף אסימפטוטה אנכית x = 2 ← המכנה מתאפס ב־x = 2:📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

a · 2² − 2 · 2 = 0

4a − 4 = 0

a = 1

(המונה ב־x = 2 הוא 9 ≠ 0 ✔)

✅ פתרון סופי: a = 1

סעיף ב – תחום הגדרה

x² − 2x ≠ 0 ← x(x − 2) ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

✅ פתרון סופי: x ≠ 0 , x ≠ 2

סעיף ג – עלייה וירידה

f′(x) = 4(x² − 2x) − (4x + 1)(2x − 2)(x² − 2x)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

= 4x² − 8x − 8x² + 6x + 2(x² − 2x)² = −4x² − 2x + 2(x² − 2x)²

−4x² − 2x + 2 = 0 ← 2x² + x − 1 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

(2x − 1)(x + 1) = 0 ← x = 0.5 או x = −1

המכנה חיובי, והסימן הוא סימן −4x² − 2x + 2 – פרבולה "בוכה", חיובית בין השורשים:

x	f′(x)	f(x)
x < −1	−	↘
−1 < x < 0	+	↗
0 < x < 0.5	+	↗
0.5 < x < 2	−	↘
x > 2	−	↘

✅ פתרון סופי: עלייה: −1 < x < 0 או 0 < x < 0.5

✅ פתרון סופי: ירידה: x < −1 או 0.5 < x < 2 או x > 2

סעיף ד – הנגזרת

• אנכיות: המכנה (x² − 2x)² מתאפס ב־x = 0 וב־x = 2 (המונה שם 2 ו־−18).📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

• אופקית: מעלת המונה (2) קטנה ממעלת המכנה (4) ← y = 0.📐 אסימפטוטה אופקיתמעלת המונה קטנה ממעלת המכנה ← y = 0

• בתחום 0 < x < 2: f′ > 0 עד x = 0.5, f′(0.5) = 0, ואחר כך f′ < 0. ליד 0 מימין f′ → +∞, ליד 2 משמאל f′ → −∞.

הסקיצה (בסגול):

✅ פתרון סופי: x = 0 , x = 2 , y = 0

✅ פתרון סופי: הסקיצה (בסגול) למעלה

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	a = 1
סעיף ב	x ≠ 0 , x ≠ 2
סעיף ג	עלייה: −1 < x < 0 , 0 < x < 0.5
סעיף ד (1)	x = 0 , x = 2 , y = 0

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2015 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2015 מועד ב', שאלה 6 שטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 8(2x − 1)³ המוגדרת לכל x .

א. (1) מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

(2) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).

ב. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

ג. הגרף של הפונקציה g(x) הוא קו ישר. ישר זה עובר דרך נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

(1) מצא את משוואת הישר.

(2) מצא את הערך של g(14) ואת הערך של f(14) .

(3) מצא את השטח ברביע הרביעי, המוגבל על ידי הישר ועל ידי גרף הפונקציה f(x) .

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – חיתוך עם הצירים

f(0) = 8 · (−1)³ = −8 ← (0 , −8)

8(2x − 1)³ = 0 ← 2x − 1 = 0 ← x = 0.5

✅ פתרון סופי: (0 , −8) , (0.5 , 0)

סעיף א (2) – עלייה וירידה

f′(x) = 8 · 3(2x − 1)² · 2 = 48(2x − 1)²📐 נגזרת של פונקציה מורכבת((ax + b)ⁿ)′ = n · a(ax + b)ⁿ⁻¹

(2x − 1)² ≥ 0 תמיד, ומתאפס רק ב־x = 0.5 – הנגזרת לא מחליפה סימן.

לכן הפונקציה עולה לכל x (ב־x = 0.5 משיק אופקי, אבל לא קיצון).

✅ פתרון סופי: עלייה: כל x ; ירידה: אין

סעיף ב – סקיצה

הגרף (בכחול) עולה כל הזמן, ומשיק אופקית לציר ה־x ב־(0.5 , 0):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ג (1) – משוואת הישר

m = 0 − (−8)0.5 − 0 = 16📐 שיפוע לפי שתי נקודותm = y₂ − y₁x₂ − x₁

חותך את ציר ה־y ב־−8 ← y = 16x − 8

✅ פתרון סופי: y = 16x − 8

סעיף ג (2) – הערכים ב־x = 1/4

g(0.25) = 4 − 8 = −4

f(0.25) = 8 · (−0.5)³ = 8 · (−0.125) = −1

✅ פתרון סופי: g(14) = −4

✅ פתרון סופי: f(14) = −1

סעיף ג (3) – השטח ברביע הרביעי

בין x = 0 ל־x = 0.5 גרף f (בכחול) מעל הישר (בסגול) – לפי סעיף ג (2): −1 > −4.

S = ∫₀^0.5 [8(2x − 1)³ − (16x − 8)] dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫_a^b [f(x) − g(x)] dx(העליון פחות התחתון)

= [ 8(2x − 1)⁴2 · 4 − 8x² + 8x ]₀^0.5📐 אינטגרל של חזקה של ביטוי לינארי∫ (ax + b)ⁿ dx = (ax + b)ⁿ⁺¹a(n + 1) + C

= [ (2x − 1)⁴ − 8x² + 8x ]₀^0.5 = (0 − 2 + 4) − (1 − 0 + 0) = 1

✅ פתרון סופי: 1 יח״ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)	(0 , −8) , (0.5 , 0)
סעיף א (2)	עולה לכל x
סעיף ג (1)	y = 16x − 8
סעיף ג (2)	g = −4 , f = −1
סעיף ג (3)	1

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2015 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2015 מועד א', שאלה 8 פרמטר · שטח

📄 נוסח השאלה

בציור שלפניך מוצג גרף של הפונקציה f(x) בתחום 1 < x < 10 .

גרף הפונקציה f(x) בתחום 1 עד 10, עם הפרמטר k על ציר ה־y

הסתמך על הגרף של f(x) ועל הערכים הרשומים על הצירים, וענה על הסעיפים א–ד.

א. מצא עבור אילו ערכים של x השונים מ־7 מתקיים: (1) f′(x) < 0 (2) f′(x) > 0 (3) f′(x) = 0 . נמק.

ב. נתון: ∫₇⁹ k dx = 8 , k הוא הפרמטר המסומן על ציר ה־y בציור. מצא את הערך של הפונקציה f(x) בנקודה שבה x = 9 .

ג. סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x) בתחום 2 ≤ x ≤ 6 .

ד. מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x) ועל ידי ציר ה־x בתחום 2 ≤ x ≤ 4 .

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א (1) – f′(x) < 0

הנגזרת שלילית היכן שהפונקציה יורדת:📐 קשר בין הנגזרת לפונקציהf′(x) > 0 ← עולה ; f′(x) < 0 ← יורדת

1 < x < 2 , 4 < x < 6

✅ פתרון סופי: 1 < x < 2

✅ פתרון סופי: 4 < x < 6

סעיף א (2) – f′(x) > 0

הנגזרת חיובית היכן שהפונקציה עולה:

2 < x < 4 , 6 < x < 7

✅ פתרון סופי: 2 < x < 4

✅ פתרון סופי: 6 < x < 7

סעיף א (3) – f′(x) = 0

• בנקודות הקיצון: x = 2 , 4 , 6 (המשיק אופקי).

• בקטע הקבוע 7 < x < 10 (קו ישר אופקי – שיפוע 0).

✅ פתרון סופי: x = 2 , x = 4 , x = 6

✅ פתרון סופי: 7 < x < 10

סעיף ב – f(9)

∫₇⁹ k dx = [kx]₇⁹ = 9k − 7k = 2k📐 אינטגרל של קבוע∫ k dx = kx + C

2k = 8 ← k = 4

בתחום 7 < x < 10 הפונקציה קבועה ושווה ל־k:

f(9) = k = 4

✅ פתרון סופי: f(9) = 4

סעיף ג – סקיצה של f′(x)

• f′ = 0 ב־x = 2 , 4 , 6.

• f′ > 0 ב־2 < x < 4 (מעל ציר ה־x), f′ < 0 ב־4 < x < 6 (מתחתיו).

הסקיצה (בסגול) – צורה איכותית בלבד:

✅ פתרון סופי: הסקיצה (בסגול) למעלה

סעיף ד – השטח מתחת ל־f′(x)

בתחום 2 ≤ x ≤ 4 מתקיים f′(x) ≥ 0, ולכן:

S = ∫₂⁴ f′(x) dx = f(4) − f(2)📐 אינטגרל של נגזרת∫_a^b f′(x) dx = f(b) − f(a)

מהגרף: f(4) = 4.5 , f(2) = 1

S = 4.5 − 1 = 3.5

✅ פתרון סופי: 3.5 יח״ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א (1)	1 < x < 2 , 4 < x < 6
סעיף א (2)	2 < x < 4 , 6 < x < 7
סעיף א (3)	x = 2 , 4 , 6 ; 7 < x < 10
סעיף ב	4
סעיף ד	3.5

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2015 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2015 מועד א', שאלה 7 פרמטר · שטח · משיק

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x² + ax + b . הישר y = −2x − 1 משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x = −2 (ראה ציור).

א. מצא את הערכים של a ושל b .

ב. מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) , על ידי המשיק, על ידי הישר y = 12x + 112 ועל ידי ציר ה־y (השטח הצבוע בציור).

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – a ו־b

f′(x) = 2x + a📐 נגזרת של פולינום(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

f′(−2) = −2 ← −4 + a = −2 ← a = 2📐 שיפוע המשיקm = f′(x₀)

נקודת ההשקה על המשיק: y = −2(−2) − 1 = 3 ← (−2 , 3)

f(−2) = 3 ← 4 − 4 + b = 3 ← b = 3📐 נקודה על גרףy₀ = f(x₀)

✅ פתרון סופי: a = 2

✅ פתרון סופי: b = 3

סעיף ב – השטח

f(x) = x² + 2x + 3

חיתוך המשיק עם הישר השני:

−2x − 1 = 0.5x + 1.5

−2.5x = 2.5

x = −1

לכן מ־x = −2 עד x = −1 החסם התחתון הוא המשיק, ומ־x = −1 עד x = 0 (ציר ה־y) – הישר השני. הפרבולה מעל שניהם.

S₁ = ∫₋₂⁻¹ [(x² + 2x + 3) − (−2x − 1)] dx = ∫₋₂⁻¹ (x + 2)² dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫_a^b [f(x) − g(x)] dx(העליון פחות התחתון)

= [(x + 2)³3]₋₂⁻¹ = 13

S₂ = ∫₋₁⁰ [(x² + 2x + 3) − (0.5x + 1.5)] dx = ∫₋₁⁰ (x² + 1.5x + 1.5) dx

= [x³3 + 0.75x² + 1.5x]₋₁⁰ = 0 − (−13 + 0.75 − 1.5) = 1312

S = 13 + 1312 = 1712 = 1512

✅ פתרון סופי: 1512 יח״ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	a = 2 , b = 3
סעיף ב	1512

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2015 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2015 מועד א', שאלה 6

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = −x² + 2x + 3x² .

א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

ב. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים.

ג. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ד. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן.

ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

ו. נתון כי g′(x) = f(x) . מצא את שיעורי ה־x של הנקודות שבהן המשיקים לגרף הפונקציה g(x) מקבילים לציר ה־x .

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום הגדרה

x² ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

✅ פתרון סופי: x ≠ 0

סעיף ב – אסימפטוטות

המכנה מתאפס ב־x = 0 והמונה שם 3 ≠ 0: x = 0📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

מעלות שוות (2): y = −11 = −1📐 אסימפטוטה אופקיתמעלות שוות ← y = יחס המקדמים המובילים

✅ פתרון סופי: x = 0 , y = −1

סעיף ג – חיתוך עם הצירים

x = 0 לא בתחום – אין חיתוך עם ציר ה־y.

−x² + 2x + 3 = 0

x² − 2x − 3 = 0

(x − 3)(x + 1) = 0

x = 3 או x = −1

✅ פתרון סופי: (3 , 0) , (−1 , 0)

סעיף ד – נקודות קיצון

נוח לפרק: f(x) = −1 + 2x + 3x²

f′(x) = −2x² − 6x³ = −2x − 6x³📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

−2x − 6 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

x = −3

f(−3) = −9 − 6 + 39 = −129 = −43

f′(−4) = 2−64 < 0 , f′(−1) = −4−1 > 0 , f′(1) = −8 < 0

x	f′(x)	f(x)
x < −3	−	↘
−3	0	מינימום
−3 < x < 0	+	↗
0	לא מוגדר
x > 0	−	↘

✅ פתרון סופי: (−3 , −43) מינימום

סעיף ה – סקיצה

ליד x = 0 משני הצדדים f(x) → +∞ (המונה → 3). הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ו – משיקים מקבילים לציר ה־x של g(x)

משיק מקביל לציר ה־x ← g′(x) = 0 ← f(x) = 0📐 שיפוע המשיקm = g′(x₀)

מסעיף ג: x = 3 , x = −1

✅ פתרון סופי: x = 3 , x = −1

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	x ≠ 0
סעיף ב	x = 0 , y = −1
סעיף ג	(3 , 0) , (−1 , 0)
סעיף ד	(−3 , −43) מינימום
סעיף ו	x = 3 , x = −1

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2015 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2015, שאלה 6 הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 2x² − x .

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) .

(2) מצא את האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המקבילות לצירים.

(3) מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה), וקבע את סוגן.

(4) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

ב. נתונה הפונקציה g(x) המקיימת g(x) = f(x) − 2 . הסתמך על סעיף א, וענה על התת־סעיפים שלפניך:

(1) מה הן האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה g(x) ?

(2) מה הם השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה g(x) (אם יש כאלה)?

(3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g(x) .

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום הגדרה

x² − x ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

x(x − 1) ≠ 0

✅ פתרון סופי: x ≠ 0 , x ≠ 1

סעיף א (2) – אסימפטוטות

המכנה מתאפס ב־x = 0 וב־x = 1 והמונה 2 ≠ 0.📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

מעלת המונה (0) קטנה ממעלת המכנה (2): y = 0📐 אסימפטוטה אופקיתמעלת המונה קטנה ממעלת המכנה ← y = 0

✅ פתרון סופי: x = 0 , x = 1 , y = 0

סעיף א (3) – נקודות קיצון

f′(x) = 0 · (x² − x) − 2(2x − 1)(x² − x)² = −2(2x − 1)(x² − x)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

−2(2x − 1) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

x = 0.5

f(0.5) = 20.25 − 0.5 = −8

f′(0.25) > 0 (המונה −2(−0.5) = 1 > 0) , f′(0.75) < 0

x	f′(x)	f(x)
x < 0	+	↗
0	לא מוגדר
0 < x < 0.5	+	↗
0.5	0	מקסימום
0.5 < x < 1	−	↘
1	לא מוגדר
x > 1	−	↘

✅ פתרון סופי: (0.5 , −8) מקסימום

סעיף א (4) – סקיצה

הגרף (בכחול): משמאל ל־x = 0 מעל הציר ועולה ל־+∞; בין 0 ל־1 מתחת לציר עם מקסימום (0.5 , −8); מימין ל־1 יורד מ־+∞ אל 0.

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ב (1) – אסימפטוטות של g(x)

הורדה של 2 מזיזה את הגרף 2 יחידות למטה: האסימפטוטות האנכיות לא משתנות, והאופקית יורדת מ־y = 0 ל־y = −2.📐 הזזה אנכיתg(x) = f(x) + k – כל הגרף זז ב־k בציר ה־y

✅ פתרון סופי: x = 0 , x = 1 , y = −2

סעיף ב (2) – נקודות קיצון של g(x)

g′(x) = f′(x) ← אותו x ואותו סוג.

g(0.5) = −8 − 2 = −10

✅ פתרון סופי: (0.5 , −10) מקסימום

סעיף ב (3) – סקיצה של g(x)

אותו גרף מוזז 2 יחידות למטה (בסגול), עם האסימפטוטה y = −2:

✅ פתרון סופי: הגרף (בסגול) למעלה

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)	x ≠ 0 , x ≠ 1
סעיף א (2)	x = 0 , x = 1 , y = 0
סעיף א (3)	(0.5 , −8) מקסימום
סעיף ב (1)	x = 0 , x = 1 , y = −2
סעיף ב (2)	(0.5 , −10) מקסימום

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2015). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2014 מועד ג', שאלה 7 שטח · משיק

📄 נוסח השאלה

הפונקציה f(x) מוגדרת לכל x שונה מ־1. נתון כי פונקציית הנגזרת של f(x) היא f′(x) = 1 − 1(x − 1)² .

הישר y = 3 משיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודת המינימום שלה.

א. מצא את השיעורים של נקודת המינימום של הפונקציה f(x) .

ב. מצא את הפונקציה f(x) , ואת השיעורים של נקודת המקסימום שלה.

ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

ד. העבירו משיק לגרף הפונקציה f(x) המקביל למשיק y = 3 . שני המשיקים יוצרים מלבן עם ציר ה־y ועם האסימפטוטה האנכית של הפונקציה f(x) . מצא את שטח המלבן.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – נקודת המינימום

1 − 1(x − 1)² = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

(x − 1)² = 1

x − 1 = 1 או x − 1 = −1

x = 2 או x = 0

f′(−1) = 1 − 14 > 0 , f′(0.5) = 1 − 4 < 0

f′(1.5) = 1 − 4 < 0 , f′(3) = 1 − 14 > 0

x	f′(x)	f(x)
x < 0	+	↗
0	0	מקסימום
0 < x < 1	−	↘
1	לא מוגדר
1 < x < 2	−	↘
2	0	מינימום
x > 2	+	↗

הישר y = 3 משיק בנקודת המינימום, ולכן שיעור ה־y שלה הוא 3.

✅ פתרון סופי: (2 , 3) מינימום

סעיף ב – f(x) ונקודת המקסימום

f′(x) = 1 − (x − 1)⁻²

f(x) = x − (x − 1)⁻¹−1 + C = x + 1x − 1 + C📐 אינטגרל של חזקה של ביטוי לינארי∫ (ax + b)ⁿ dx = (ax + b)ⁿ⁺¹a(n + 1) + C

f(2) = 3📐 נקודה על גרףy₀ = f(x₀)

2 + 1 + C = 3

C = 0

f(0) = 0 + 1−1 = −1 ← (0 , −1) מקסימום (סעיף א)

✅ פתרון סופי: f(x) = x + 1x − 1

✅ פתרון סופי: (0 , −1) מקסימום

סעיף ג – סקיצה

אסימפטוטה אנכית x = 1 (המכנה של 1x − 1 מתאפס).📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

משמאל ל־x = 1: עולה עד מקסימום (0 , −1) ואז יורד ל־−∞. מימין: יורד מ־+∞ עד מינימום (2 , 3) ואז עולה. הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ד – שטח המלבן

משיק מקביל ל־y = 3 הוא משיק אופקי ( f′ = 0 ) – בנקודת המקסימום (0 , −1): y = −1.📐 ישרים מקביליםשיפועים שווים

המלבן (בסגול) תחום בין x = 0 (ציר ה־y) ל־x = 1, ובין y = −1 ל־y = 3:

S = (1 − 0) · (3 − (−1)) = 1 · 4 = 4

✅ פתרון סופי: 4 יח״ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	(2 , 3) מינימום
סעיף ב	f(x) = x + 1x − 1 , (0 , −1) מקסימום
סעיף ד	4

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2014 מועד ג'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2014 מועד ג', שאלה 6 שטח · משיק

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = −x² − 2 .

B ו־C הן נקודות על גרף הפונקציה כך ש־BC מקביל לציר ה־x . הנקודה B נמצאת ברביע הרביעי.

דרך הנקודה B העבירו משיק לגרף הפונקציה (ראה ציור). המשיק מקביל לישר y = −2x + 1 .

א. מצא את משוואת המשיק.

ב. דרך הנקודה C העבירו אנך ל־BC (ראה ציור).

S₁ הוא השטח המוגבל על ידי הגרף של f(x) ועל ידי הישר BC (השטח בתכלת בציור).

S₂ הוא השטח המוגבל על ידי הגרף של f(x) , על ידי המשיק ועל ידי האנך (השטח בסגול בציור).

מצא את היחס S₁S₂ .

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – משוואת המשיק

המשיק מקביל ל־y = −2x + 1 ← m = −2📐 ישרים מקביליםשיפועים שווים

f′(x) = −2x📐 נגזרת של פולינום(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

−2x = −2 ← x = 1📐 שיפוע המשיקm = f′(x₀)

f(1) = −1 − 2 = −3 ← B(1 , −3) (ברביע הרביעי ✔)

y + 3 = −2(x − 1) ← y = −2x − 1📐 משוואת ישר לפי נקודה ושיפועy − y₁ = m(x − x₁)

✅ פתרון סופי: y = −2x − 1

סעיף ב – היחס בין השטחים

הפרבולה סימטרית לציר ה־y, ולכן C(−1 , −3) והאנך הוא x = −1.📐 סימטריה של פרבולהפרבולה מהצורה y = ax² + c סימטרית לציר ה־y

S₁ = ∫₋₁¹ [(−x² − 2) − (−3)] dx = ∫₋₁¹ (1 − x²) dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫_a^b [f(x) − g(x)] dx(העליון פחות התחתון)

= [x − x³3]₋₁¹ = 23 − (−23) = 43

בין x = −1 ל־x = 1 המשיק מעל הגרף:

S₂ = ∫₋₁¹ [(−2x − 1) − (−x² − 2)] dx = ∫₋₁¹ (x² − 2x + 1) dx

= [ x³3 − x² + x ]₋₁¹ = 13 − (−73) = 83

S₁S₂ = 4383 = 12

✅ פתרון סופי: S₁S₂ = 0.5

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	y = −2x − 1
סעיף ב	0.5

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2014 מועד ג'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2014 מועד ב', שאלה 6 משיק

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 1 − 1(x − 5)² .

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

(2) מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים.

(3) מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

(4) מצא את הסימן של פונקציית הנגזרת f′(x) בתחום x < 5 , ואת הסימן שלה בתחום x > 5 .

ב. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

ג. העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x = 4 . מצא את השיעורים של נקודות החיתוך של המשיק עם האסימפטוטות של הפונקציה.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום הגדרה

x − 5 ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

x ≠ 5

✅ פתרון סופי: x ≠ 5

סעיף א (2) – אסימפטוטות

המכנה מתאפס ב־x = 5 והמונה 1 ≠ 0: x = 5📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

כאשר x → ±∞: 1(x − 5)² → 0 ← f(x) → 1: y = 1📐 אסימפטוטה אופקיתהערך ש־f(x) מתקרבת אליו כאשר x → ±∞

✅ פתרון סופי: x = 5 , y = 1

סעיף א (3) – חיתוך עם הצירים

f(0) = 1 − 125 = 0.96 ← (0 , 0.96)

1 − 1(x − 5)² = 0

(x − 5)² = 1

x − 5 = 1 או x − 5 = −1

x = 6 או x = 4

✅ פתרון סופי: (0 , 0.96)

✅ פתרון סופי: (4 , 0) , (6 , 0)

סעיף א (4) – סימן הנגזרת

f′(x) = −(−2)(x − 5)⁻³📐 נגזרת של חזקה מורכבת((x + a)ⁿ)′ = n(x + a)ⁿ⁻¹

= 2(x − 5)³

• כאשר x < 5: (x − 5)³ < 0 ← f′(x) < 0 (שלילית – הפונקציה יורדת).

• כאשר x > 5: (x − 5)³ > 0 ← f′(x) > 0 (חיובית – הפונקציה עולה).

✅ פתרון סופי: x < 5: f′(x) < 0

✅ פתרון סופי: x > 5: f′(x) > 0

סעיף ב – סקיצה

הגרף מתחת לאסימפטוטה y = 1 (כי 1(x − 5)² > 0), ובשני הצדדים של x = 5 יורד ל־−∞. הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ג – המשיק בנקודה x = 4

f(4) = 0 (סעיף א (3)) ← נקודת ההשקה (4 , 0)

m = f′(4) = 2(−1)³ = −2📐 שיפוע המשיקm = f′(x₀)

y − 0 = −2(x − 4) ← y = −2x + 8📐 משוואת ישר לפי נקודה ושיפועy − y₁ = m(x − x₁)

• עם x = 5: y = −10 + 8 = −2 ← (5 , −2)

• עם y = 1: 1 = −2x + 8 ← x = 3.5 ← (3.5 , 1)

המשיק (בסגול):

✅ פתרון סופי: (5 , −2) , (3.5 , 1)

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)	x ≠ 5
סעיף א (2)	x = 5 , y = 1
סעיף א (3)	(0 , 0.96) , (4 , 0) , (6 , 0)
סעיף א (4)	x < 5 שלילית, x > 5 חיובית
סעיף ג	(5 , −2) , (3.5 , 1)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2014 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2014 מועד א', שאלה 7 גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

f(x) היא פונקציה המוגדרת לכל x . בציור מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x) , העובר דרך הנקודות (1 , 0) , (−2 , 0) .

א. (1) על פי הגרף של f′(x) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) .

(2) מהו שיעור ה־x של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x) , ומהו סוג הקיצון? נמק.

(3) נתון כי f′(x) = 4x³ − 12x + 8 . שיעור ה־y של נקודת הקיצון של הפונקציה הוא −10 . מצא את f(x) .

ב. מצא את השיעורים של הנקודות שבהן שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x) הוא 0.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א (1) – עלייה וירידה מתוך גרף הנגזרת

• כאשר x < −2 הגרף של f′ מתחת לציר ה־x: f′(x) < 0 – f יורדת.📐 קשר בין הנגזרת לפונקציהf′(x) > 0 ← עולה ; f′(x) < 0 ← יורדת

• כאשר x > −2 (פרט ל־x = 1 שבה f′ = 0) הגרף מעל הציר: f′(x) > 0 – f עולה.

✅ פתרון סופי: x > −2 עולה

✅ פתרון סופי: x < −2 יורדת

סעיף א (2) – נקודת הקיצון

• ב־x = −2 הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן מ־− ל־+ ← מינימום.

ב־x = 1 הנגזרת מתאפסת (הגרף משיק לציר) אבל לא מחליפה סימן – אין שם קיצון.

✅ פתרון סופי: x = −2 מינימום

סעיף א (3) – מציאת f(x)

f(x) = x⁴ − 6x² + 8x + C📐 אינטגרל של חזקה∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C

f(−2) = −10📐 נקודה על גרףy₀ = f(x₀)

16 − 24 − 16 + C = −10

−24 + C = −10

C = 14

✅ פתרון סופי: f(x) = x⁴ − 6x² + 8x + 14

סעיף ב – שיפוע משיק 0

שיפוע 0 ← f′(x) = 0 ← x = −2 , x = 1 (נתון בגרף).📐 שיפוע המשיקm = f′(x₀)

f(−2) = −10 (סעיף א (3)) ← (−2 , −10)

f(1) = 1 − 6 + 8 + 14 = 17 ← (1 , 17)

✅ פתרון סופי: (−2 , −10) , (1 , 17)

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א (1)	x > −2 עולה, x < −2 יורדת
סעיף א (2)	x = −2 מינימום
סעיף א (3)	f(x) = x⁴ − 6x² + 8x + 14
סעיף ב	(−2 , −10) , (1 , 17)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2014 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2014, שאלה 9 גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

נגזרת הפונקציה f(x) היא f′(x) = x − 16x³ .

א. (1) מצא את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן.

(2) נתון כי שיעור ה־y של כל אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה הוא 4. מצא את f(x) .

ב. (1) מצא את האסימפטוטה של הפונקציה f(x) המאונכת לציר ה־x , וסרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

(2) סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x) .

✏️ פתרון שאלה 9

סעיף א (1) – נקודות הקיצון

x − 16x³ = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

כופלים ב־x³ ( x ≠ 0 ):

x⁴ − 16 = 0

x⁴ = 16

x = 2 , x = −2

f′(−3) = −3 + 1627 < 0 , f′(−1) = −1 + 16 > 0

f′(1) = 1 − 16 < 0 , f′(3) = 3 − 1627 > 0

x	f′(x)	f(x)
x < −2	−	↘
−2	0	מינימום
−2 < x < 0	+	↗
0	לא מוגדר
0 < x < 2	−	↘
2	0	מינימום
x > 2	+	↗

✅ פתרון סופי: x = −2 , x = 2 – שתיהן מינימום

סעיף א (2) – מציאת f(x)

f′(x) = x − 16x⁻³

f(x) = x²2 − 16 · x⁻²−2 + C = x²2 + 8x² + C📐 אינטגרל של חזקה∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C

f(2) = 4📐 נקודה על גרףy₀ = f(x₀)

42 + 84 + C = 4

2 + 2 + C = 4

C = 0

(בדיקה: f(−2) = 2 + 2 = 4 ✔)

✅ פתרון סופי: f(x) = x²2 + 8x²

סעיף ב (1) – אסימפטוטה וסקיצה של f(x)

ב־x = 0 המכנה של 8x² מתאפס: x = 0📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

הפונקציה חיובית, שני מינימום (±2 , 4), ושואפת ל־+∞ ליד x = 0 ובקצוות. הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: x = 0

סעיף ב (2) – סקיצה של f′(x)

• f′(x) = 0 ב־x = ± 2 (סעיף א (1)), וסימני f′(x) לפי הטבלה.

• אסימפטוטה אנכית x = 0: ליד 0 מימין f′(x) → −∞, משמאל f′(x) → +∞.

• כאשר x רחוק מ־0 השבר 16x³ זניח, והגרף קרוב לישר y = x.

הגרף של f′(x) (בסגול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בסגול) למעלה

📌 סיכום התשובות – שאלה 9

סעיף א (1)	x = ±2 מינימום
סעיף א (2)	f(x) = x²2 + 8x²
סעיף ב (1)	x = 0

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2014). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2014, שאלה 7 שטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = (2x − 2)⁴ − 3 .

דרך נקודת המינימום של הפונקציה העבירו ישר המאונך לציר ה־x , ודרך נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה־y העבירו ישר המקביל לציר ה־x (ראה ציור).

א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

ב. מצא את משוואת האנך ואת משוואת המקביל.

ג. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי האנך ועל ידי המקביל (השטח המסומן בציור).

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

פולינום (אין שבר ואין שורש) מוגדר לכל x.

✅ פתרון סופי: כל x

סעיף ב – האנך והמקביל

f′(x) = 4(2x − 2)³ · 2 = 8(2x − 2)³📐 נגזרת של פונקציה מורכבת((ax + b)ⁿ)′ = n · a(ax + b)ⁿ⁻¹

8(2x − 2)³ = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

2x − 2 = 0

x = 1

f′(0) = 8 · (−8) < 0 , f′(2) = 8 · 8 > 0 ← מינימום

f(1) = 0 − 3 = −3 ← (1 , −3) ; האנך: x = 1

f(0) = (−2)⁴ − 3 = 16 − 3 = 13 ← המקביל: y = 13

✅ פתרון סופי: x = 1 (האנך)

✅ פתרון סופי: y = 13 (המקביל)

סעיף ג – השטח

השטח בין x = 0 (שם הגרף פוגש את המקביל) לבין x = 1 (האנך). המקביל y = 13 מעל הגרף:

S = ∫₀¹ [13 − ((2x − 2)⁴ − 3)] dx = ∫₀¹ [16 − (2x − 2)⁴] dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫_a^b [f(x) − g(x)] dx(העליון פחות התחתון)

= [16x − (2x − 2)⁵2 · 5]₀¹📐 אינטגרל של חזקה של ביטוי לינארי∫ (ax + b)ⁿ dx = (ax + b)ⁿ⁺¹a(n + 1) + C

= (16 − 0) − (0 − (−2)⁵10)

= 16 − 3210 = 16 − 3.2 = 12.8

✅ פתרון סופי: 12.8 יח״ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	כל x
סעיף ב	x = 1 , y = 13
סעיף ג	12.8

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2014). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2013 מועד ב', שאלה 7 גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 9(x + 1)² − 1 .

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ג. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים.

ד. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה (אם יש כאלה).

ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

ו. איזה מבין הגרפים I, II, III, IV שלפניך מציג סקיצה של פונקציית הנגזרת f′(x) ? נמק.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

x + 1 ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

x ≠ −1

✅ פתרון סופי: x ≠ −1

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

f(0) = 91 − 1 = 8 ← (0 , 8)

9(x + 1)² − 1 = 0

9(x + 1)² = 1

(x + 1)² = 9

x + 1 = 3 או x + 1 = −3

x = 2 או x = −4

✅ פתרון סופי: (0 , 8) , (2 , 0) , (−4 , 0)

סעיף ג – אסימפטוטות

המכנה מתאפס ב־x = −1 והמונה 9 ≠ 0: x = −1📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

כאשר x → ±∞: 9(x + 1)² → 0, ולכן f(x) → −1: y = −1📐 אסימפטוטה אופקיתהערך ש־f(x) מתקרבת אליו כאשר x → ±∞

✅ פתרון סופי: x = −1 , y = −1

סעיף ד – תחומי עלייה וירידה

f′(x) = 9 · (−2)(x + 1)⁻³ = −18(x + 1)³📐 נגזרת של חזקה מורכבת((x + a)ⁿ)′ = n(x + a)ⁿ⁻¹

המונה −18 לא מתאפס ← אין נקודות קיצון. הסימן תלוי רק ב־(x + 1)³:

• כאשר x < −1: (x + 1)³ < 0 ← f′(x) > 0 – עולה.

• כאשר x > −1: (x + 1)³ > 0 ← f′(x) < 0 – יורדת.

✅ פתרון סופי: x < −1 עולה

✅ פתרון סופי: x > −1 יורדת

סעיף ה – סקיצה

אסימפטוטות מקווקוות (בתכלת); משמאל לאסימפטוטה האנכית הגרף עולה, מימינה יורד; שני הענפים עולים ל־+∞ ליד x = −1. הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ו – הגרף של f′(x)

f′(x) = −18(x + 1)³

• f′(x) > 0 כאשר x < −1 ו־f′(x) < 0 כאשר x > −1 (סעיף ד): הענף השמאלי מעל ציר ה־x, הימני מתחתיו.

• אסימפטוטה אנכית x = −1; כאשר x → ±∞: f′(x) → 0 – אסימפטוטה אופקית y = 0 (ציר ה־x).

• f′(0) = −18 – הגרף חותך את ציר ה־y מתחת לציר ה־x (הענף הימני עובר דרך ציר ה־y).

גרף II מתאים לכל התכונות: האסימפטוטה האנכית משמאל לציר ה־y, ענף שמאלי מעל ציר ה־x, וענף ימני מתחתיו שחוצה את ציר ה־y. בגרף I הענף הימני לא חוצה את ציר ה־y, בגרף III הענף הימני חותך את ציר ה־x (כלומר יש בו f′(x) = 0), ובגרף IV הסימנים הפוכים.

✅ פתרון סופי: II

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x ≠ −1
סעיף ב	(0 , 8) , (2 , 0) , (−4 , 0)
סעיף ג	x = −1 , y = −1
סעיף ד	x < −1 עולה, x > −1 יורדת
סעיף ו	II

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2013 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2013 מועד א', שאלה 9 שטח · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

בציור שלפניך מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x) של הפונקציה f(x) בתחום 0 ≤ x ≤ 4 .

השטח S₁ המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת ועל ידי ציר ה־x בתחום 0 ≤ x ≤ 2 שווה ל־4 ,

והשטח S₂ המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת ועל ידי ציר ה־x בתחום 2 ≤ x ≤ 4 שווה גם הוא ל־4 .

נתון: f(0) = 0 .

א. (1) מצא את f(2) .

(2) מצא את f(4) .

ב. מצא את השיעורים של נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה f(x) בתחום הנתון, וקבע את סוגה. נמק.

ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) בתחום הנתון.

✏️ פתרון שאלה 9

סעיף א (1) – f(2)

בתחום 0 ≤ x ≤ 2 הגרף של f′(x) מעל ציר ה־x, ולכן האינטגרל שווה לשטח:

∫₀² f′(x) dx = f(2) − f(0)📐 אינטגרל מסוים של נגזרת∫_a^b f′(x) dx = f(b) − f(a)

4 = f(2) − 0

f(2) = 4

✅ פתרון סופי: f(2) = 4

סעיף א (2) – f(4)

בתחום 2 ≤ x ≤ 4 הגרף מתחת לציר ה־x, ולכן האינטגרל שווה למינוס השטח:

∫₂⁴ f′(x) dx = f(4) − f(2)📐 אינטגרל מסוים של נגזרת∫_a^b f′(x) dx = f(b) − f(a)

−4 = f(4) − 4

f(4) = 0

✅ פתרון סופי: f(4) = 0

סעיף ב – נקודת הקיצון הפנימית

לפי הגרף: f′(x) > 0 ב־0 < x < 2, f′(2) = 0, ו־f′(x) < 0 ב־2 < x < 4.

הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית ב־x = 2 ← f(x) עולה ואחר כך יורדת ← מקסימום.📐 סוג נקודת קיצוןהנגזרת מחליפה סימן מ־+ ל־− ← מקסימום

השיעור y מסעיף א (1): f(2) = 4.

✅ פתרון סופי: (2 , 4) מקסימום

סעיף ג – סקיצה

לפי הסעיפים: f(x) מתחילה ב־(0 , 0), עולה עד המקסימום (2 , 4) ויורדת עד (4 , 0). סקיצה (בכחול):

(זו סקיצה של הצורה: הנקודות והעלייה/הירידה מדויקות; הצורה בין הנקודות לא נקבעת לגמרי מהנתונים.)

✅ פתרון סופי: הסקיצה (בכחול) למעלה

📌 סיכום התשובות – שאלה 9

סעיף א (1)	f(2) = 4
סעיף א (2)	f(4) = 0
סעיף ב	(2 , 4) מקסימום

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2013 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2013 מועד א', שאלה 8 פרמטר · שטח

📄 נוסח השאלה

בציור שלפניך מוצגים הגרפים של הפונקציות: f(x) = (x − a)² , g(x) = 16(x − a)² . a הוא פרמטר גדול מ־0.

א. מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה g(x) (הבע באמצעות a במידת הצורך).

אחת מנקודות החיתוך בין הגרפים של הפונקציות היא הנקודה שבה x = a + 2 .

S₁ הוא השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) , על ידי ציר ה־x ועל ידי הישר x = a + 2 (השטח המקווקו בציור).

S₂ הוא השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x) , על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = a + 2 ו־x = a + 3 (השטח האפור בציור).

ב. חשב את היחס S₁S₂ .

(הציור שורטט מחדש לפי הפונקציות עם a = 3 לדוגמה: f(x) בכחול, g(x) בסגול.)

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – אסימפטוטות של g(x)

המכנה (x − a)² מתאפס ב־x = a והמונה 16 ≠ 0: x = a📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

כאשר x → ±∞ המכנה גדל בלי גבול: g(x) → 0 ← y = 0📐 אסימפטוטה אופקיתהערך ש־g(x) מתקרבת אליו כאשר x → ±∞

✅ פתרון סופי: x = a , y = 0

סעיף ב – היחס בין השטחים

הגרף של f(x) נוגע בציר ה־x ב־x = a (קודקוד הפרבולה), ולכן S₁ הוא מ־x = a עד x = a + 2:

S₁ = ∫_a^a+2 (x − a)² dx📐 שטח בין גרף לציר xS = ∫_a^b f(x) dx

= [(x − a)³3]_a^a+2📐 אינטגרל של חזקה מורכבת∫ (x − a)ⁿ dx = (x − a)ⁿ⁺¹n + 1 + C

= 2³3 − 03 = 83

S₂ = ∫_a+2^a+3 16(x − a)⁻² dx📐 שטח בין גרף לציר xS = ∫_a^b f(x) dx

= [16 · (x − a)⁻¹−1]_a+2^a+3 = [−16x − a]_a+2^a+3📐 אינטגרל של חזקה מורכבת∫ (x − a)ⁿ dx = (x − a)ⁿ⁺¹n + 1 + C

= (−163) − (−162) = −163 + 8 = 83

S₁S₂ = 8383 = 1

✅ פתרון סופי: S₁S₂ = 1

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	x = a , y = 0
סעיף ב	1

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2013 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2013, שאלה 8 פרמטר · שטח · משיק

📄 נוסח השאלה

הגרף של הפונקציה f(x) = x² + 4x + 6 משיק לגרף של הפונקציה g(x) = −x² + c בנקודה A (ראה ציור).

א. (1) נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה A . הבע באמצעות t בשתי דרכים את שיפוע המשיק המשותף בנקודה A .

(2) מצא את השיעורים של הנקודה A ואת הערך של c .

ב. המשיק המשותף בנקודה A מחלק את השטח המוגבל על ידי שני הגרפים ועל ידי ציר ה־y לשני שטחים (ראה ציור). הראה כי שני השטחים שווים.

(הציור שורטט מחדש לפי הפונקציות: f(x) בכחול, g(x) בסגול, המשיק בירוק.)

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א (1) – השיפוע בשתי דרכים

f′(x) = 2x + 4 , g′(x) = −2x📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

השיפוע ב־A לפי f: f′(t) = 2t + 4📐 שיפוע המשיקm = f′(x₀)

השיפוע ב־A לפי g: g′(t) = −2t

✅ פתרון סופי: m = 2t + 4

✅ פתרון סופי: m = −2t

סעיף א (2) – הנקודה A והערך של c

זה אותו משיק, ולכן השיפועים שווים:

2t + 4 = −2t

4t = −4

t = −1

f(−1) = 1 − 4 + 6 = 3 ← A(−1 , 3)

g(−1) = 3📐 נקודה משותפת לשני גרפיםf(x₀) = g(x₀)

−1 + c = 3

c = 4

✅ פתרון סופי: A(−1 , 3)

✅ פתרון סופי: c = 4

סעיף ב – שני השטחים שווים

משוואת המשיק: שיפוע m = −2 · (−1) = 2, דרך (−1 , 3):

y − 3 = 2(x + 1) ← y = 2x + 5📐 משוואת ישר לפי נקודה ושיפועy − y₁ = m(x − x₁)

שני השטחים בין x = −1 לציר ה־y (x = 0). העליון (בתכלת): f(x) מעל המשיק:

S₁ = ∫₋₁⁰ [(x² + 4x + 6) − (2x + 5)] dx = ∫₋₁⁰ (x² + 2x + 1) dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫_a^b [f(x) − g(x)] dx(העליון פחות התחתון)

= [x³3 + x² + x]₋₁⁰📐 אינטגרל של חזקה∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C

= 0 − (−13 + 1 − 1) = 13

התחתון (בסגול בהיר): המשיק מעל g(x):

S₂ = ∫₋₁⁰ [(2x + 5) − (−x² + 4)] dx = ∫₋₁⁰ (x² + 2x + 1) dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫_a^b [f(x) − g(x)] dx

= 13 (אותו אינטגרל בדיוק)

לכן S₁ = S₂ = 13.

✅ פתרון סופי: S₁ = S₂ = 13

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א (1)	2t + 4 , −2t
סעיף א (2)	A(−1 , 3) , c = 4
סעיף ב	S₁ = S₂ = 13

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2013). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2012 מועד ב', שאלה 9 שטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 4(2x + 1)² .

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים.

ג. דרך נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה־y העבירו ישר המקביל לציר ה־x . הישר חותך את גרף הפונקציה בנקודה נוספת A (ראה ציור).

(1) מצא את השיעורים של הנקודה A .

(2) מהנקודה A הורידו אנך לציר ה־x . חשב את השטח המוגבל על ידי האנך, על ידי הישר המקביל לציר ה־x , על ידי גרף הפונקציה, על ידי הישר x = 12 ועל ידי ציר ה־x (השטח המקווקו בציור).

(הציור שורטט מחדש לפי הפונקציה: f(x) בכחול, השטח בסגול בהיר.)

✏️ פתרון שאלה 9

סעיף א – תחום הגדרה

2x + 1 ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

x ≠ −0.5

✅ פתרון סופי: x ≠ −0.5

סעיף ב – אסימפטוטות

המכנה מתאפס ב־x = −0.5 והמונה 4 ≠ 0: x = −0.5📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

כאשר x → ±∞ המכנה גדל בלי גבול והמונה קבוע, ולכן f(x) → 0: y = 0📐 אסימפטוטה אופקיתהערך ש־f(x) מתקרבת אליו כאשר x → ±∞

✅ פתרון סופי: x = −0.5 , y = 0

סעיף ג (1) – הנקודה A

f(0) = 41² = 4 ← הישר המקביל לציר ה־x הוא y = 4.

4(2x + 1)² = 4

(2x + 1)² = 1

2x + 1 = 1 או 2x + 1 = −1

x = 0 או x = −1

x = 0 היא נקודת החיתוך עם ציר ה־y, ולכן הנקודה הנוספת היא x = −1.

✅ פתרון סופי: A(−1 , 4)

סעיף ג (2) – השטח המקווקו

בין x = −1 ל־x = 0 הגרף נמצא מעל הישר y = 4 (ליד האסימפטוטה), ולכן שם השטח חסום מלמעלה על ידי הישר y = 4 – זה מלבן. בין x = 0 ל־x = 12 השטח חסום מלמעלה על ידי הגרף.

S₁ = 1 · 4 = 4📐 שטח מלבןS = a · b

S₂ = ∫₀^0.5 4(2x + 1)⁻² dx📐 שטח בין גרף לציר xS = ∫_a^b f(x) dx(הגרף מעל הציר)

= [4 · (2x + 1)⁻¹−1 · 2]₀^0.5 = [−22x + 1]₀^0.5📐 אינטגרל של חזקה של ביטוי לינארי∫ (ax + b)ⁿ dx = (ax + b)ⁿ⁺¹a(n + 1) + C

= (−22) − (−21) = −1 + 2 = 1

S = S₁ + S₂ = 4 + 1 = 5

✅ פתרון סופי: 5 יח״ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 9

סעיף א	x ≠ −0.5
סעיף ב	x = −0.5 , y = 0
סעיף ג (1)	A(−1 , 4)
סעיף ג (2)	5

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2012 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2012 מועד א', שאלה 7 פרמטר · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x² − 42x − 1 .

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) .

ב. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המקבילות לצירים (אם יש כאלה).

ג. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

ד. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה (אם יש כאלה).

ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

ו. לפניך סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x) בתחום הגדרתה. עבור אילו ערכים של k הישר y = k אינו חותך את הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x) ? נמק.

(הסקיצה שורטטה מחדש לפי f′(x), בכחול; האסימפטוטות מקווקוות.)

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

2x − 1 ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

2x ≠ 1

x ≠ 12

✅ פתרון סופי: x ≠ 12

סעיף ב – אסימפטוטות

ב־x = 12 המכנה מתאפס, והמונה: (12)² − 4 = −3.75 ≠ 0:

x = 12📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

החזקה הגבוהה במונה (2) גדולה מהחזקה הגבוהה במכנה (1), ולכן אין אסימפטוטה אופקית.📐 אסימפטוטה אופקיתחזקת המונה גדולה מחזקת המכנה ← אין

✅ פתרון סופי: x = 12 (אין אסימפטוטה אופקית)

סעיף ג – חיתוך עם הצירים

עם ציר ה־y (x = 0):

f(0) = 0 − 40 − 1 = 4

עם ציר ה־x (y = 0):

x² − 4 = 0📐 שבר שווה 0המונה שווה 0 (והמכנה לא)

x² = 4

x = ± 2

✅ פתרון סופי: (0 , 4) , (2 , 0) , (−2 , 0)

סעיף ד – תחומי עלייה וירידה

u = x² − 4 , u′ = 2x

v = 2x − 1 , v′ = 2

f′(x) = 2x(2x − 1) − (x² − 4) · 2(2x − 1)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

= 4x² − 2x − 2x² + 8(2x − 1)²

= 2x² − 2x + 8(2x − 1)²

2x² − 2x + 8 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

במחשבון אין פתרון – המונה לא מתאפס לעולם.📐 משוואה ריבועיתנוסחת השורשים במחשבון (MODE 5 3)

המונה הוא פרבולה "מחייכת" שלא חותכת את ציר ה־x, ולכן הוא תמיד חיובי. גם המכנה (ריבוע) תמיד חיובי.

לכן f′(x) > 0 בכל תחום ההגדרה: אין נקודות קיצון, והפונקציה עולה משני צדי האסימפטוטה.

f′(0) = 81 = 8 > 0 (בדיקה)

✅ פתרון סופי: x < 12 או x > 12 עולה; אין ירידה

סעיף ה – סקיצה

אסימפטוטה אנכית x = 12 (מקווקווה, בתכלת), הפונקציה עולה בשני הענפים, חיתוכים (−2 , 0), (0 , 4), (2 , 0).

הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ו – ערכי k

בסקיצה של f′(x): אסימפטוטה אנכית x = 12 ואסימפטוטה אופקית. נמצא אותה:

f′(x) = 2x² − 2x + 84x² − 4x + 1

מעלות שוות במונה ובמכנה: y = 24 = 12📐 אסימפטוטה אופקית – מעלות שוותy = מקדם החזקה הגבוהה במונהמקדם החזקה הגבוהה במכנה

לפי הסקיצה, הגרף של f′(x) כולו מעל האסימפטוטה y = 12 ומקבל את כל הערכים הגדולים מ־12 (ליד x = 12 הוא עולה ל־+∞).

(בדיקה: f′(x) − 12 = 7.5(2x − 1)² > 0.)

לכן ישר אופקי y = k לא חותך את הגרף כאשר הוא על האסימפטוטה או מתחתיה.

✅ פתרון סופי: k ≤ 12

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x ≠ 12
סעיף ב	x = 12
סעיף ג	(0 , 4) , (±2 , 0)
סעיף ד	עולה בכל התחום, אין קיצון
סעיף ו	k ≤ 12

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2012 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2012, שאלה 7 גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x² − 5x + 3 .

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

(2) מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

(3) מצא את משוואת האסימפטוטה של הפונקציה המאונכת לציר ה־x .

(4) מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן.

(5) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

ב. (1) מצא את משוואות האסימפטוטות של פונקציית הנגזרת f′(x) המקבילות לצירים.

(2) איזה מבין הגרפים I, II, III, IV שלפניך מתאר את הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x) ? נמק.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א (1) – תחום הגדרה

x + 3 ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

x ≠ −3

✅ פתרון סופי: x ≠ −3

סעיף א (2) – חיתוך עם הצירים

עם ציר ה־y (x = 0):

f(0) = 0 − 50 + 3 = −53

עם ציר ה־x (y = 0):

x² − 5 = 0📐 שבר שווה 0המונה שווה 0 (והמכנה לא)

x² = 5

x = ± √5

✅ פתרון סופי: (0 , −53) , (√5 , 0) , (−√5 , 0)

סעיף א (3) – אסימפטוטה אנכית

ב־x = −3 המכנה מתאפס, והמונה: (−3)² − 5 = 4 ≠ 0.

x = −3📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

✅ פתרון סופי: x = −3

סעיף א (4) – נקודות קיצון

u = x² − 5 , u′ = 2x

v = x + 3 , v′ = 1

f′(x) = 2x(x + 3) − (x² − 5) · 1(x + 3)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

= 2x² + 6x − x² + 5(x + 3)²

= x² + 6x + 5(x + 3)²

x² + 6x + 5 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

x = −1 , x = −5📐 משוואה ריבועיתנוסחת השורשים במחשבון (MODE 5 3)

f(−1) = 1 − 5−1 + 3 = −42 = −2

f(−5) = 25 − 5−5 + 3 = 20−2 = −10

המכנה חיובי, ולכן הסימן לפי המונה:

f′(−6) = 36 − 36 + 5חיובי > 0

f′(−4) = 16 − 24 + 5חיובי < 0

f′(−2) = 4 − 12 + 5חיובי < 0

f′(0) = 59 > 0

x	f′(x)	f(x)
x < −5	+	↗ עולה
−5	0	מקסימום
−5 < x < −3	−	↘ יורדת
−3 < x < −1	−	↘ יורדת
−1	0	מינימום
x > −1	+	↗ עולה

✅ פתרון סופי: (−5 , −10) מקסימום

✅ פתרון סופי: (−1 , −2) מינימום

סעיף א (5) – סקיצה

לפי הסעיפים הקודמים: אסימפטוטה x = −3 (מקווקווה, בתכלת), מקסימום (−5 , −10) משמאל לה, מינימום (−1 , −2) מימינה, וחיתוכים (±√5 , 0), (0 , −53).

הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ב (1) – אסימפטוטות של הנגזרת

f′(x) = x² + 6x + 5(x + 3)² = x² + 6x + 5x² + 6x + 9

אנכית: ב־x = −3 המכנה מתאפס, והמונה 9 − 18 + 5 = −4 ≠ 0:

x = −3📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

אופקית: המונה והמכנה באותה מעלה (2), ולכן היחס בין המקדמים של x²:

y = 11 = 1📐 אסימפטוטה אופקית – מעלות שוותy = מקדם החזקה הגבוהה במונהמקדם החזקה הגבוהה במכנה

✅ פתרון סופי: x = −3 , y = 1

סעיף ב (2) – איזה גרף מתאר את f′(x)?

מה שאנחנו יודעים על f′(x):

• אסימפטוטה אנכית x = −3 ואסימפטוטה אופקית y = 1 (סעיף ב (1)).

• f′(x) = 0 ב־x = −5 וב־x = −1 (סעיף א (4)) – הגרף חותך את ציר ה־x בשתי נקודות.

• f′(x) > 0 כאשר x < −5 ו־x > −1, ו־f′(x) < 0 בין −5 ל־−1 (טבלה בסעיף א (4)).

• ליד x = −3 המונה שלילי (−4) והמכנה חיובי וקטן, ולכן f′(x) → −∞ משני הצדדים.

הגרף שמתאים לכל התכונות: שני ענפים שיורדים ל־−∞ ליד האסימפטוטה האנכית, כל ענף חותך את ציר ה־x פעם אחת, ובקצוות מתקרב ל־y = 1 מלמטה – זה גרף IV.

✅ פתרון סופי: IV

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א (1)	x ≠ −3
סעיף א (2)	(0 , −53) , (±√5 , 0)
סעיף א (3)	x = −3
סעיף א (4)	(−5 , −10) מקס׳, (−1 , −2) מינ׳
סעיף ב (1)	x = −3 , y = 1
סעיף ב (2)	IV

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2012). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2011 מועד ב', שאלה 9 פרמטר · שטח · משיק

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 1(x − 2)² + a , a הוא פרמטר.

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

(2) מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (הבע באמצעות a אם יש צורך).

ב. (1) מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה־y (הבע באמצעות a).

(2) חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי המשיק שמצאת בתת־סעיף ב (1) ועל ידי הישר x = −1.

✏️ פתרון שאלה 9

סעיף א (1) – תחום הגדרה

x − 2 ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

x ≠ 2

✅ פתרון סופי: x ≠ 2

סעיף א (2) – אסימפטוטות

המכנה מתאפס ב־x = 2 והמונה 1 לא: x = 2📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

כאשר x → ±∞: 1(x − 2)² → 0, ולכן f(x) → a:

y = a📐 אסימפטוטה אופקיתהערך ש־f(x) מתקרבת אליו כאשר x → ±∞

✅ פתרון סופי: x = 2 , y = a

סעיף ב (1) – משוואת המשיק

f(0) = 1(0 − 2)² + a = 14 + a

נקודת ההשקה: (0 , 14 + a). נגזרת (כותבים 1(x − 2)² = (x − 2)⁻²):

f′(x) = −2(x − 2)⁻³ = −2(x − 2)³📐 נגזרת של חזקה מורכבת((x − a)ⁿ)′ = n(x − a)ⁿ⁻¹

f′(0) = −2(−2)³ = −2−8 = 14

y − (14 + a) = 14(x − 0)📐 משוואת ישר לפי נקודה ושיפועy − y₁ = m(x − x₁)

y = 14x + 14 + a

✅ פתרון סופי: y = 14x + 14 + a

סעיף ב (2) – השטח

השטח נמצא בין x = −1 לבין נקודת ההשקה x = 0. בציור – למשל עם a = 0 (השטח לא תלוי ב־a): הגרף (בכחול) מעל המשיק (בירוק):

הפרש בין הגרף למשיק:

f(x) − y = 1(x − 2)² + a − 14x − 14 − a

= (x − 2)⁻² − 14x − 14

S = ∫₋₁⁰ [(x − 2)⁻² − 14x − 14] dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫_a^b [f(x) − g(x)] dx(העליון פחות התחתון)

= [−1x − 2 − x²8 − x4]₋₁⁰📐 אינטגרל של חזקה מורכבת∫ (x − a)ⁿ dx = (x − a)ⁿ⁺¹n + 1 + C

= [−1−2 − 0 − 0] − [−1−3 − 18 + 14]

= 12 − [13 − 18 + 28]

= 12 − [13 + 18]

= 1224 − 824 − 324 = 124 ≈ 0.042

✅ פתרון סופי: 124 ≈ 0.042

📌 סיכום התשובות – שאלה 9

סעיף א (1)	x ≠ 2
סעיף א (2)	x = 2 , y = a
סעיף ב (1)	y = 14x + 14 + a
סעיף ב (2)	124

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2011 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2011 מועד א', שאלה 7 פרמטר · הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x + 5x² − a + b . a ו־b הם פרמטרים.

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא x ≠ ± 2 ,

ואחת האסימפטוטות של הפונקציה היא y = 2 .

א. מצא את הערך של a ואת הערך של b . נמק.

הצב a = 4 ו־b = 2 , וענה על הסעיפים ב–ג.

ב. (1) מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

(2) מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן. בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

(3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

ג. נתונה הפונקציה g(x) = x + 5x² − 4 .

בלי חקירה נוספת קבע במה שונות נקודות הקיצון של g(x) מנקודות הקיצון של f(x) . נמק.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – הערכים של a ו־b

הפונקציה לא מוגדרת כאשר המכנה מתאפס:

x² − a = 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

x² = a

נתון שהמכנה מתאפס ב־x = ± 2, ולכן:

a = 2² = 4

כאשר x → ±∞ החזקה במכנה גבוהה מהחזקה במונה, ולכן x + 5x² − 4 → 0:

f(x) → 0 + b = b📐 אסימפטוטה אופקיתהערך ש־f(x) מתקרבת אליו כאשר x → ±∞

האסימפטוטה האופקית היא y = b, והאסימפטוטות האנכיות הן x = ± 2. לכן האסימפטוטה y = 2 היא האופקית:

b = 2

✅ פתרון סופי: a = 4 , b = 2

סעיף ב (1) – חיתוך עם הצירים

מעכשיו: f(x) = x + 5x² − 4 + 2.

עם ציר ה־y (x = 0):

f(0) = 5−4 + 2 = −1.25 + 2 = 0.75

עם ציר ה־x (y = 0):

x + 5x² − 4 + 2 = 0

כופלים ב־x² − 4:

x + 5 + 2(x² − 4) = 0

2x² + x − 3 = 0

x = 1 , x = −1.5📐 משוואה ריבועיתנוסחת השורשים במחשבון (MODE 5 3)

✅ פתרון סופי: (0 , 0.75) , (1 , 0) , (−1.5 , 0)

סעיף ב (2) – נקודות קיצון

גוזרים לפי נגזרת של מנה:

u = x + 5 , u′ = 1

v = x² − 4 , v′ = 2x

f′(x) = 1 · (x² − 4) − (x + 5) · 2x(x² − 4)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

= x² − 4 − 2x² − 10x(x² − 4)²

= −x² − 10x − 4(x² − 4)²

−x² − 10x − 4 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

x ≈ −0.42 , x ≈ −9.58📐 משוואה ריבועיתנוסחת השורשים במחשבון (MODE 5 3)

(בדיוק: x = −5 ± √21.)

המכנה חיובי, ולכן סימן הנגזרת לפי המונה. בודקים גם משני צדי x = −2 ו־x = 2:

f′(−11) = −121 + 110 − 4חיובי < 0

f′(−5) = −25 + 50 − 4חיובי > 0

f′(−1) = −1 + 10 − 4חיובי > 0

f′(0) = −4חיובי < 0

f′(3) = −9 − 30 − 4חיובי < 0

x	f′(x)	f(x)
x < −9.58	−	↘ יורדת
−9.58	0	מינימום
−9.58 < x < −2	+	↗ עולה
−2 < x < −0.42	+	↗ עולה
−0.42	0	מקסימום
−0.42 < x < 2	−	↘ יורדת
x > 2	−	↘ יורדת

f(−9.58) = −4.5891.78 − 4 + 2 ≈ 1.95

f(−0.42) = 4.580.1764 − 4 + 2 ≈ 0.80

✅ פתרון סופי: (−9.58 , 1.95) מינימום

✅ פתרון סופי: (−0.42 , 0.80) מקסימום

סעיף ב (3) – סקיצה

אסימפטוטות (מקווקוות, בתכלת): x = −2, x = 2, y = 2. מינימום (−9.58 , 1.95) (קרוב מאוד לאסימפטוטה האופקית), מקסימום (−0.42 , 0.80), חיתוכים (−1.5 , 0), (0 , 0.75), (1 , 0).

הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ג – נקודות הקיצון של g(x)

g(x) = x + 5x² − 4 = f(x) − 2

הגרף של g(x) הוא הגרף של f(x) מוזז 2 יחידות למטה.📐 הזזה אנכיתy = f(x) − k: הגרף יורד k יחידות

הזזה למטה לא משנה איפה הפונקציה עולה ואיפה יורדת (גם g′(x) = f′(x)), ולכן לנקודות הקיצון אותם שיעורי x ואותו סוג, ושיעור ה־y קטן ב־2:

(−9.58 , 1.95 − 2) = (−9.58 , −0.05) מינימום

(−0.42 , 0.80 − 2) = (−0.42 , −1.20) מקסימום

✅ פתרון סופי: שיעורי ה־x וסוג הקיצון זהים; שיעור ה־y של כל נקודה קטן ב־2

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	a = 4 , b = 2
סעיף ב (1)	(0 , 0.75) , (1 , 0) , (−1.5 , 0)
סעיף ב (2)	(−9.58 , 1.95) מינ׳, (−0.42 , 0.80) מקס׳
סעיף ג	אותם x, y קטן ב־2

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2011 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2011, שאלה 8 פרמטר · משיק

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x³ − ax , a הוא פרמטר.

המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x = √33 מקביל לציר ה־x.

א. מצא את הערך של a.

הצב את הערך של a שמצאת, וענה על הסעיפים ב–ג.

ב. בציור שלפניך מתואר גרף הפונקציה f(x).

(1) מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

(2) היעזר בגרף, ומצא את התחומים שבהם הפונקציה חיובית, ואת התחומים שבהם הפונקציה שלילית.

(3) f(x) = g′(x). מצא את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקציה g(x), וקבע את סוגן.

ג. הישר y = −7 משיק לגרף הפונקציה g(x) בנקודת המקסימום של g(x). מצא את g(x).

(הציור שורטט מחדש לפי הפונקציה עם a = 1: f(x) בכחול.)

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – הערך של a

f′(x) = 3x² − a📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

f′(√33) = 0📐 משיק מקביל לציר xשיפוע המשיק 0: f′(x₀) = 0

3 · (√33)² − a = 0

3 · 39 − a = 0

1 − a = 0

a = 1

✅ פתרון סופי: a = 1

סעיף ב (1) – חיתוך עם הצירים

מעכשיו: f(x) = x³ − x.

עם ציר ה־y: f(0) = 0 ← (0 , 0).

עם ציר ה־x:

x³ − x = 0

x(x² − 1) = 0📐 הוצאת גורם משותףמכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0

x = 0 , x² = 1

x = 0 , x = 1 , x = −1

✅ פתרון סופי: (−1 , 0) , (0 , 0) , (1 , 0)

סעיף ב (2) – תחומי חיוביות ושליליות

לפי הגרף: הגרף מעל ציר ה־x בין −1 ל־0 ומימין ל־1, ומתחת לציר משמאל ל־−1 ובין 0 ל־1.

f(−2) = −8 + 2 = −6 < 0 , f(−0.5) = −0.125 + 0.5 = 0.375 > 0

f(0.5) = 0.125 − 0.5 = −0.375 < 0 , f(2) = 8 − 2 = 6 > 0

✅ פתרון סופי: −1 < x < 0 או x > 1 חיובית

✅ פתרון סופי: x < −1 או 0 < x < 1 שלילית

סעיף ב (3) – נקודות הקיצון של g(x)

נתון g′(x) = f(x). לכן נקודות הקיצון של g(x) הן במקומות שבהם f(x) = 0 ו־f(x) מחליפה סימן.

g′(x) = 0 ← x = −1 , 0 , 1📐 נקודת קיצוןg′(x) = 0 והנגזרת מחליפה סימן

מסעיף ב (2) – סימן g′(x) = f(x):

x	g′(x) = f(x)	g(x)
x < −1	−	↘
−1	0	מינימום
−1 < x < 0	+	↗
0	0	מקסימום
0 < x < 1	−	↘
1	0	מינימום
x > 1	+	↗

✅ פתרון סופי: x = −1 מינימום , x = 0 מקסימום , x = 1 מינימום

סעיף ג – מציאת g(x)

g(x) = ∫ (x³ − x) dx = x⁴4 − x²2 + C📐 אינטגרל של חזקה∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C

נקודת המקסימום של g(x) היא בשיעור x = 0 (סעיף ב (3)). הישר y = −7 משיק שם, ולכן הנקודה (0 , −7) נמצאת על גרף g(x):

g(0) = −7📐 נקודה על גרףy₀ = g(x₀)

0 − 0 + C = −7

C = −7

✅ פתרון סופי: g(x) = x⁴4 − x²2 − 7

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	a = 1
סעיף ב (1)	(−1 , 0) , (0 , 0) , (1 , 0)
סעיף ב (2)	−1 < x < 0 , x > 1 חיובית; x < −1 , 0 < x < 1 שלילית
סעיף ב (3)	x = ±1 מינ׳, x = 0 מקס׳
סעיף ג	g(x) = x⁴4 − x²2 − 7

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2011). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2011, שאלה 7

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 3x − 3 − 3x − 1.

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב. מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים.

ג. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן.

ד. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה).

ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

ו. האם יש לגרף הפונקציה נקודה שבה y = −5? נמק.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

x − 3 ≠ 0 , x − 1 ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

x ≠ 3 , x ≠ 1

✅ פתרון סופי: x ≠ 1 , x ≠ 3

סעיף ב – אסימפטוטות

אסימפטוטות אנכיות – בנקודות שבהן המכנה מתאפס (והמונה לא):

x = 1 , x = 3📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה שונה מ־0

אסימפטוטה אופקית: כאשר x → ±∞ כל אחד מהשברים 3x − 3 → 0 ו־3x − 1 → 0:

y = 0 − 0 = 0📐 אסימפטוטה אופקיתהערך ש־f(x) מתקרבת אליו כאשר x → ±∞

✅ פתרון סופי: x = 1 , x = 3 , y = 0

סעיף ג – נקודות קיצון

f′(x) = −3(x − 3)² + 3(x − 1)²📐 נגזרת של 1x מורחבת(kx − a)′ = −k(x − a)²

−3(x − 3)² + 3(x − 1)² = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

3(x − 1)² = 3(x − 3)²

(x − 1)² = (x − 3)²

x² − 2x + 1 = x² − 6x + 9

4x = 8

x = 2

f(2) = 32 − 3 − 32 − 1 = −3 − 3 = −6

בודקים את סימן הנגזרת (כולל משני צדי נקודות אי־ההגדרה):

f′(0) = −39 + 31 = 223 > 0

f′(1.5) = −32.25 + 30.25 ≈ 10.67 > 0

f′(2.5) = −30.25 + 32.25 ≈ −10.67 < 0

f′(4) = −31 + 39 = −223 < 0

x	f′(x)	f(x)
x < 1	+	↗ עולה
1	לא מוגדר	אסימפטוטה
1 < x < 2	+	↗ עולה
2	0	מקסימום
2 < x < 3	−	↘ יורדת
3	לא מוגדר	אסימפטוטה
x > 3	−	↘ יורדת

✅ פתרון סופי: (2 , −6) מקסימום

סעיף ד – חיתוך עם הצירים

עם ציר ה־y (x = 0):

f(0) = 3−3 − 3−1 = −1 + 3 = 2

עם ציר ה־x (y = 0): מכנה משותף:

f(x) = 3(x − 1) − 3(x − 3)(x − 3)(x − 1) = 6(x − 3)(x − 1)

המונה 6 לא מתאפס לעולם, ולכן אין חיתוך עם ציר ה־x.📐 שבר שווה 0רק כאשר המונה שווה 0

✅ פתרון סופי: (0 , 2) (אין חיתוך עם ציר ה־x)

סעיף ה – סקיצה

לפי כל הסעיפים: אסימפטוטות x = 1, x = 3 (מקווקוות, בתכלת), הגרף מתקרב ל־y = 0 בשני הקצוות, מקסימום (2 , −6) בין האסימפטוטות, וחיתוך (0 , 2).

הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הגרף (בכחול) למעלה

סעיף ו – האם יש נקודה עם y = −5?

מהסקיצה ומטבלת העלייה והירידה:

בתחום x < 1 ובתחום x > 3: המכנה (x − 3)(x − 1) חיובי, ולכן f(x) > 0.

בתחום 1 < x < 3: הערך הגדול ביותר הוא המקסימום −6, ולכן f(x) ≤ −6.

אם כך, הפונקציה לא מקבלת אף ערך בין −6 ל־0, ובפרט לא את −5.

(בדיקה אלגברית: 6(x − 3)(x − 1) = −5 ← 5x² − 20x + 21 = 0, ובמחשבון אין פתרון.)

✅ פתרון סופי: לא – ערכי הפונקציה הם f(x) > 0 או f(x) ≤ −6

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	x ≠ 1 , x ≠ 3
סעיף ב	x = 1 , x = 3 , y = 0
סעיף ג	(2 , −6) מקסימום
סעיף ד	(0 , 2)
סעיף ו	לא

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2011). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2010 מועד ב', שאלה 8 פרמטר · שטח · משיק

📄 נוסח השאלה

בציור שלפניך מתואר גרף הפונקציה f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − a , a הוא פרמטר.

א. מצא את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן.

ב. נקודת המינימום של הפונקציה נמצאת על הישר y = −8x + 14. מצא את הערך של a.

ג. דרך נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה־y העבירו משיק לגרף הפונקציה, ודרך נקודת המקסימום של הפונקציה העבירו ישר המקביל לציר ה־y (ראה ציור).

חשב את השטח המקווקו המוגבל על ידי המשיק, על ידי הישר המקביל לציר ה־y, על ידי גרף הפונקציה ועל ידי ציר ה־x.

(הציור שורטט מחדש לפי הפונקציה עם a = 6 מסעיף ב: f(x) בכחול, המשיק בירוק, השטח בסגול בהיר.)

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – נקודות הקיצון

f′(x) = 6x² − 18x + 12📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

6x² − 18x + 12 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

x = 1 , x = 2📐 משוואה ריבועיתנוסחת השורשים במחשבון (MODE 5 3)

בודקים את סימן הנגזרת:

f′(0) = 12 > 0

f′(1.5) = 6 · 2.25 − 27 + 12 = −1.5 < 0

f′(3) = 54 − 54 + 12 = 12 > 0

x	f′(x)	f(x)
x < 1	+	↗ עולה
1	0	מקסימום
1 < x < 2	−	↘ יורדת
2	0	מינימום
x > 2	+	↗ עולה

✅ פתרון סופי: x = 1 מקסימום

✅ פתרון סופי: x = 2 מינימום

סעיף ב – הערך של a

נקודת המינימום היא בשיעור x = 2. מציבים בישר y = −8x + 14 כדי למצוא את שיעור ה־y שלה:

y = −8 · 2 + 14 = −2

הנקודה (2 , −2) נמצאת גם על גרף הפונקציה:

f(2) = −2📐 נקודה על גרףy₀ = f(x₀)

2 · 8 − 9 · 4 + 12 · 2 − a = −2

16 − 36 + 24 − a = −2

4 − a = −2

a = 6

✅ פתרון סופי: a = 6

סעיף ג – השטח המקווקו

מעכשיו: f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 6.

נקודת החיתוך עם ציר ה־y:

f(0) = −6 ← (0 , −6)

f′(0) = 12

y − (−6) = 12(x − 0)📐 משוואת ישר לפי נקודה ושיפועy − y₁ = m(x − x₁)

y = 12x − 6

המשיק חותך את ציר ה־x:

12x − 6 = 0

x = 0.5

נקודת המקסימום: f(1) = 2 − 9 + 12 − 6 = −1, הישר המקביל לציר ה־y הוא x = 1.

השטח המקווקו = השטח שבין ציר ה־x לגרף f(x) מ־x = 0 עד x = 1 (הגרף מתחת לציר), פחות המשולש שבין המשיק לציר ה־x מ־x = 0 עד x = 0.5.

השטח בין ציר ה־x לגרף (הציר הוא העליון):

S₁ = ∫₀¹ [0 − (2x³ − 9x² + 12x − 6)] dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫_a^b [f(x) − g(x)] dx(העליון פחות התחתון)

= [−x⁴2 + 3x³ − 6x² + 6x]₀¹📐 אינטגרל של חזקה∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C

= (−0.5 + 3 − 6 + 6) − 0 = 2.5

המשולש: קדקודים (0 , 0), (0.5 , 0), (0 , −6) – ניצבים באורך 0.5 ו־6:

S₂ = 0.5 · 62 = 1.5📐 שטח משולש ישר זוויתS = a · b2

S = 2.5 − 1.5 = 1

✅ פתרון סופי: S = 1

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	x = 1 מקס׳, x = 2 מינ׳
סעיף ב	a = 6
סעיף ג	1

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2010 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2010 מועד א', שאלה 8 פרמטר · שטח · משיק

📄 נוסח השאלה

נתונות שתי פונקציות: f(x) = 3x² − 4x + c , g(x) = −x² + bx.

b ו־c הם פרמטרים.

ישר משיק לגרפים של שתי הפונקציות בנקודה המשותפת לשניהם שבה x = 1 (ראו ציור).

א. (1) מצא את הערך של b.

(2) מצא את הערך של c.

הצב את הערך של b ואת הערך של c שמצאת בסעיף א, וענה על הסעיפים ב ו־ג.

ב. מצא את משוואת המשיק המשותף לשני הגרפים.

ג. S₁ הוא השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x), על ידי המשיק המשותף ועל ידי ציר ה־y.

S₂ הוא השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x), על ידי המשיק המשותף ועל ידי ציר ה־y.

מצא את היחס S₁S₂.

(הציור שורטט מחדש לפי הפונקציות: f(x) בכחול, g(x) בסגול, המשיק בירוק.)

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א (1) – הערך של b

המשיק משותף לשני הגרפים בנקודה שבה x = 1, ולכן השיפוע של שני הגרפים בנקודה זו שווה.

נגזרים את שתי הפונקציות:

f′(x) = 6x − 4📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

g′(x) = −2x + b

מציבים x = 1:

f′(1) = 6 · 1 − 4 = 2

g′(1) = −2 · 1 + b = −2 + b

f′(1) = g′(1)📐 שיפוע המשיקm = f′(x₀)

−2 + b = 2

b = 4

✅ פתרון סופי: b = 4

סעיף א (2) – הערך של c

הנקודה שבה x = 1 משותפת לשני הגרפים, ולכן ערכי הפונקציות בה שווים:

f(1) = g(1)📐 נקודה משותפת לשני גרפיםf(x₀) = g(x₀)

f(1) = 3 · 1² − 4 · 1 + c = c − 1

g(1) = −1² + 4 · 1 = 3

c − 1 = 3

c = 4

✅ פתרון סופי: c = 4

סעיף ב – משוואת המשיק המשותף

מעכשיו: f(x) = 3x² − 4x + 4 , g(x) = −x² + 4x.

נקודת ההשקה: (1 , 3) (מסעיף א: g(1) = 3), והשיפוע: m = 2.

y − 3 = 2(x − 1)📐 משוואת ישר לפי נקודה ושיפועy − y₁ = m(x − x₁)

y − 3 = 2x − 2

y = 2x + 1

✅ פתרון סופי: y = 2x + 1

סעיף ג – היחס בין השטחים

שני השטחים נמצאים בין ציר ה־y (x = 0) לבין נקודת ההשקה (x = 1):

השטח S₁ (בתכלת): גרף f(x) (בכחול) מעל המשיק (בירוק):

S₁ = ∫₀¹ [(3x² − 4x + 4) − (2x + 1)] dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫_a^b [f(x) − g(x)] dx(הגרף העליון פחות התחתון)

= ∫₀¹ (3x² − 6x + 3) dx

= [x³ − 3x² + 3x]₀¹📐 אינטגרל של חזקה∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C

= (1 − 3 + 3) − 0 = 1

השטח S₂ (בסגול בהיר): המשיק (בירוק) מעל גרף g(x) (בסגול):

S₂ = ∫₀¹ [(2x + 1) − (−x² + 4x)] dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫_a^b [f(x) − g(x)] dx

= ∫₀¹ (x² − 2x + 1) dx

= [x³3 − x² + x]₀¹📐 אינטגרל של חזקה∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C

= (13 − 1 + 1) − 0 = 13

היחס:

S₁S₂ = 113 = 3

✅ פתרון סופי: S₁S₂ = 3

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א (1)	b = 4
סעיף א (2)	c = 4
סעיף ב	y = 2x + 1
סעיף ג	S₁S₂ = 3

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 | קורס אינטגרלים 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2010 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2010, שאלה 7 פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = ax² + 2x + 16bx² − 8x + 16 , a ו־b הם פרמטרים.

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא x ≠ 4.

א. מצא את הערך של b.

ב. הצב את הערך של b שמצאת בסעיף א, וענה על התת־סעיפים (1) ו־(2).

(1) הבע באמצעות a את האסימפטוטה של הפונקציה המקבילה לציר ה־x.

(2) האסימפטוטה של הפונקציה המקבילה לציר ה־x וגרף הפונקציה נחתכים בנקודה שעל ציר ה־y. מצא את הערך של a.

ג. הצב גם את הערך של a שמצאת בתת־סעיף ב (2), וענה על התת־סעיפים (1), (2) ו־(3).

(1) מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה (אם יש כאלה).

(2) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. נמק.

(3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – מציאת b

הנקודה היחידה שאינה בתחום ההגדרה היא x = 4, ולכן המכנה מתאפס ב־x = 4:

b · 4² − 8 · 4 + 16 = 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שווה ל־0 בנקודה שמחוץ לתחום

16b − 32 + 16 = 0

16b − 16 = 0

16b = 16

b = 1

בדיקה: עבור b = 1 המכנה הוא

x² − 8x + 16 = (x − 4)²📐 נוסחת הכפל המקוצר(a − b)² = a² − 2ab + b²

והוא מתאפס רק ב־x = 4, כנדרש.

✅ פתרון סופי: b = 1

סעיף ב (1) – האסימפטוטה המקבילה לציר ה־x

f(x) = ax² + 2x + 16x² − 8x + 16

החזקה הגבוהה במונה ובמכנה שווה (x²), ולכן:

y = a1 = a📐 אסימפטוטה אופקית (חזקות שוות)y = המקדם של החזקה הגבוהה במונההמקדם של החזקה הגבוהה במכנה

✅ פתרון סופי: y = a

סעיף ב (2) – מציאת a

נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה־y:

f(0) = a · 0 + 0 + 160 − 0 + 16 = 1616 = 1📐 חיתוך עם ציר yx = 0

הנקודה (0 , 1) נמצאת גם על האסימפטוטה y = a, ולכן:

a = 1

✅ פתרון סופי: a = 1

סעיף ג (1) – נקודות הקיצון

מציבים a = 1 , b = 1:

f(x) = x² + 2x + 16(x − 4)²

גוזרים לפי נגזרת של מנה:

u = x² + 2x + 16 , u′ = 2x + 2

v = (x − 4)²

v′ = 2(x − 4) · 1 = 2(x − 4)📐 נגזרת של ביטוי בחזקה[(ax + b)ⁿ]′ = n · a · (ax + b)^{n − 1}

f′(x) = u′v − uv′v²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

מחשבים את המונה בנפרד:

u′v − uv′ = (2x + 2)(x − 4)² − (x² + 2x + 16) · 2(x − 4)

מוציאים (x − 4) גורם משותף:

= (x − 4)[(2x + 2)(x − 4) − 2(x² + 2x + 16)]

= (x − 4)[2x² − 8x + 2x − 8 − 2x² − 4x − 32]

= (x − 4)(−10x − 40)

המכנה: v² = (x − 4)⁴. מצמצמים ב־(x − 4):

f′(x) = −10x − 40(x − 4)³

−10x − 40 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

−10x = 40

x = −4

f(−4) = 16 − 8 + 16(−4 − 4)² = 2464 = 38

סוג הנקודה – טבלת סימנים של f′(x) (בודקים גם את x = 4, שלא בתחום ההגדרה):

f′(−5) = 50 − 40(−9)³ = 10−729 < 0

f′(0) = −40(−4)³ = −40−64 > 0

f′(5) = −901³ < 0

x	f′(x)	f(x)
x < −4	−	↘ יורדת
−4	0	מינימום
−4 < x < 4	+	↗ עולה
4	לא מוגדרת	—
x > 4	−	↘ יורדת

✅ פתרון סופי: (−4 , 38) מינימום

סעיף ג (2) – תחומי עלייה וירידה

הנימוק – טבלת הסימנים של f′(x) מסעיף ג (1): הפונקציה עולה כאשר f′(x) > 0 ויורדת כאשר f′(x) < 0.

f′(x) > 0 → עולה📐 תחומי עלייה וירידהf′(x) < 0 → יורדת

✅ פתרון סופי: עלייה: −4 < x < 4

✅ פתרון סופי: ירידה: x < −4 או x > 4

סעיף ג (3) – סקיצה

נתונים לסקיצה: אסימפטוטה אנכית x = 4 (המכנה מתאפס והמונה לא), אסימפטוטה אופקית y = 1, חיתוך עם ציר ה־y בנקודה (0 , 1), מינימום (−4 , 38).

אין חיתוך עם ציר ה־x: המונה x² + 2x + 16 תמיד חיובי (במחשבון MODE 5 3 אין לו פתרון), ולכן גם f(x) > 0 לכל x בתחום.

משני צדי x = 4 הגרף עולה לכיוון +∞ (גם המונה וגם המכנה חיוביים). הגרף (בכחול):

✅ פתרון סופי: הסקיצה בציור (בכחול)

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א	b = 1
סעיף ב (1)	y = a
סעיף ב (2)	a = 1
סעיף ג (1)	(−4 , 38) מינימום
סעיף ג (2)	עלייה: −4 < x < 4 ; ירידה: x < −4 או x > 4
סעיף ג (3)	סקיצה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2010). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2009 מועד ב', שאלה 8 פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = −x² − a(x − 1)² , a הוא פרמטר.

א. מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה.

ב. גרף הפונקציה חותך את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה בנקודה P.

(1) הבע באמצעות a את שיעור ה־x של הנקודה P.

(2) נתון כי שיעור ה־x של הנקודה P הוא 3.5. מצא את הערך של a.

ג. הצב את הערך של a שמצאת בתת־סעיף ב (2), ומצא:

(1) את תחום ההגדרה של הפונקציה.

(2) את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

(3) את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגה.

ד. האם הפונקציה עולה בתחום x < 1? נמק.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – אסימפטוטה אופקית

פותחים את המכנה:

(x − 1)² = x² − 2x + 1📐 נוסחת הכפל המקוצר(a − b)² = a² − 2ab + b²

f(x) = −x² − ax² − 2x + 1

החזקה הגבוהה במונה ובמכנה שווה (x²), ולכן האסימפטוטה האופקית היא מנת המקדמים של x²:

y = −11 = −1📐 אסימפטוטה אופקית (חזקות שוות)y = המקדם של החזקה הגבוהה במונההמקדם של החזקה הגבוהה במכנה

✅ פתרון סופי: y = −1

סעיף ב (1) – שיעור ה־x של P

בנקודת החיתוך עם האסימפטוטה y = −1, ערך הפונקציה הוא −1:

−x² − a(x − 1)² = −1📐 חיתוך גרף עם ישרf(x) = −1

כופלים במכנה:

−x² − a = −(x − 1)²

−x² − a = −(x² − 2x + 1)📐 נוסחת הכפל המקוצר(a − b)² = a² − 2ab + b²

−x² − a = −x² + 2x − 1

מוסיפים x² לשני האגפים:

−a = 2x − 1

1 − a = 2x

x = 1 − a2

✅ פתרון סופי: x_P = 1 − a2

סעיף ב (2) – מציאת a

1 − a2 = 3.5

כופלים ב־2:

1 − a = 7

−a = 6

a = −6

✅ פתרון סופי: a = −6

סעיף ג (1) – תחום הגדרה

מציבים a = −6:

f(x) = −x² − (−6)(x − 1)² = −x² + 6(x − 1)²

(x − 1)² ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0

x − 1 ≠ 0

x ≠ 1

✅ פתרון סופי: x ≠ 1

סעיף ג (2) – חיתוך עם הצירים

חיתוך עם ציר ה־y:

f(0) = −0 + 6(0 − 1)² = 61 = 6📐 חיתוך עם ציר yx = 0

חיתוך עם ציר ה־x (מספיק שהמונה יהיה 0):

−x² + 6 = 0📐 חיתוך עם ציר xy = 0

x² = 6

x = √6 או x = −√6

שני הערכים שונים מ־1, ולכן בתחום ההגדרה.

✅ פתרון סופי: (0 , 6)

✅ פתרון סופי: (√6 , 0)

✅ פתרון סופי: (−√6 , 0)

סעיף ג (3) – נקודת הקיצון וסוגה

גוזרים לפי נגזרת של מנה:

u = −x² + 6 , u′ = −2x

v = (x − 1)²

v′ = 2(x − 1) · 1 = 2(x − 1)📐 נגזרת של ביטוי בחזקה[(ax + b)ⁿ]′ = n · a · (ax + b)^{n − 1}

f′(x) = u′v − uv′v²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

מחשבים את המונה בנפרד:

u′v − uv′ = −2x(x − 1)² − (−x² + 6) · 2(x − 1)

מוציאים 2(x − 1) גורם משותף:

= 2(x − 1)[−x(x − 1) − (−x² + 6)]

= 2(x − 1)(−x² + x + x² − 6)

= 2(x − 1)(x − 6)

המכנה: v² = [(x − 1)²]² = (x − 1)⁴

f′(x) = 2(x − 1)(x − 6)(x − 1)⁴

מצמצמים ב־(x − 1):

f′(x) = 2(x − 6)(x − 1)³

= 2x − 12(x − 1)³

2x − 12 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

2x = 12

x = 6

f(6) = −36 + 6(6 − 1)² = −3025 = −1.2

טבלת סימנים של f′(x) (בודקים גם את x = 1, שלא בתחום ההגדרה):

f′(0) = −12(−1)³ = 12 > 0

f′(2) = 4 − 121³ = −8 < 0

f′(7) = 14 − 126³ = 2216 > 0

x	f′(x)	f(x)
x < 1	+	↗ עולה
1	לא מוגדרת	—
1 < x < 6	−	↘ יורדת
6	0	מינימום
x > 6	+	↗ עולה

✅ פתרון סופי: (6 , −1.2) מינימום

סעיף ד – האם הפונקציה עולה כאשר x < 1

בתחום x < 1: המונה 2x − 12 שלילי, וגם המכנה (x − 1)³ שלילי (חזקה אי־זוגית של מספר שלילי).

f′(x) = שלילישלילי > 0

f′(x) > 0📐 תחום עלייהf′(x) > 0 → f(x) עולה

כך גם רואים בטבלת הסימנים מסעיף ג (3).

✅ פתרון סופי: כן, הפונקציה עולה בתחום x < 1, כי בתחום זה f′(x) > 0

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	y = −1
סעיף ב (1)	x_P = 1 − a2
סעיף ב (2)	a = −6
סעיף ג (1)	x ≠ 1
סעיף ג (2)	(0 , 6) , (±√6 , 0)
סעיף ג (3)	(6 , −1.2) מינימום
סעיף ד	כן, כי f′(x) > 0 בתחום

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2009 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2009 מועד א', שאלה 7 פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x²x − a , a הוא פרמטר שונה מ־0.

א. (1) מצא את השיעורים של הנקודות שבהן נגזרת הפונקציה שווה ל־0 (הבע באמצעות a במידת הצורך).

(2) נתון כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על הישר y = x + 4. מצא את ערך הפרמטר a.

ב. הצב את ערך הפרמטר a שמצאת, וקבע את סוג נקודות הקיצון של הפונקציה.

ג. מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א (1) – הנקודות שבהן הנגזרת שווה ל־0

תחום ההגדרה: המכנה שונה מ־0, כלומר x ≠ a.

גוזרים לפי נגזרת של מנה:

u = x² , u′ = 2x

v = x − a , v′ = 1

f′(x) = 2x(x − a) − x² · 1(x − a)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

פותחים סוגריים במונה:

= 2x² − 2ax − x²(x − a)²

= x² − 2ax(x − a)²

משווים ל־0 (מספיק שהמונה יהיה 0):

x² − 2ax = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

מוציאים x כגורם משותף:

x(x − 2a) = 0

x = 0 או x = 2a

שני הערכים שונים מ־a (כי a ≠ 0), ולכן הם בתחום ההגדרה. מוצאים את ה־y:

f(0) = 00 − a = 0

f(2a) = (2a)²2a − a = 4a²a = 4a

✅ פתרון סופי: (0 , 0)

✅ פתרון סופי: (2a , 4a)

סעיף א (2) – מציאת a

בודקים כל נקודה על הישר y = x + 4. הנקודה (0 , 0):

0 = 0 + 4 → 0 = 4

לא נכון, ולכן הנקודה הזו לא על הישר. מציבים את הנקודה השנייה:

4a = 2a + 4📐 נקודה על ישרמציבים את שיעורי הנקודה במשוואת הישר

4a − 2a = 4

2a = 4

a = 2

✅ פתרון סופי: a = 2

סעיף ב – סוג נקודות הקיצון

מציבים את ערך הפרמטר שמצאנו, a = 2:

f(x) = x²x − 2

f′(x) = x² − 4x(x − 2)²

נקודות החשודות לקיצון: x = 0 , x = 4. תחום ההגדרה: x ≠ 2.

f(0) = 0

f(4) = 164 − 2 = 162 = 8

טבלת סימנים של f′(x) (המכנה חיובי, הסימן לפי המונה x(x − 4)):

x	f′(x)	f(x)
x < 0	+	↗ עולה
0	0	מקסימום
0 < x < 2	−	↘ יורדת
2	לא מוגדרת	—
2 < x < 4	−	↘ יורדת
4	0	מינימום
x > 4	+	↗ עולה

בדיקת סימן בנקודות: f′(−1) = 1 + 49 > 0 , f′(1) = 1 − 41 < 0 , f′(3) = 9 − 121 < 0 , f′(5) = 25 − 209 > 0

✅ פתרון סופי: (0 , 0) מקסימום

✅ פתרון סופי: (4 , 8) מינימום

סעיף ג – תחומי עלייה וירידה

עבור a = 2, מטבלת הסימנים (זוכרים ש־x = 2 לא בתחום ההגדרה):

✅ פתרון סופי: עלייה: x < 0 או x > 4

✅ פתרון סופי: ירידה: 0 < x < 2 או 2 < x < 4

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א (1)	(0 , 0) , (2a , 4a)
סעיף א (2)	a = 2
סעיף ב	(0 , 0) מקסימום , (4 , 8) מינימום
סעיף ג	עלייה: x < 0 או x > 4 ; ירידה: 0 < x < 2 או 2 < x < 4

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471

📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2009 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.

⬆️ חזרה לכפתורים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.

השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.