בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (35471) · שאלות לפי נושא

שאלות בגרות 471 לפי נושא – התפלגות נורמלית

כל שאלות ההתפלגות הנורמלית מבחינות הבגרות בשאלון 471 (תוכנית חדשה), מהבחינה החדשה ביותר אחורה. בכל שאלה: הנוסח המלא, ומתחתיו פתרון מלא שלב אחר שלב, כולל איך מוציאים את הנתון מתוך הטבלה.

⬅️ חזרה לקורס: התפלגות נורמלית – 471

📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 471 לפי נושא

16 שאלות פתורות משאלון 471. לוחצים על מועד ועוברים ישר לשאלה.

📅 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 1

📄 נוסח השאלה

במדינה מסוימת נערך מחקר ארצי בתחום הבריאות. במחקר נבדק מספר הצעדים היומי שהולך כל אחד מן המשתתפים. נמצא כי מספר הצעדים היומי מתפלג נורמלית, וסטיית התקן היא 800. נמצא כי 37.5% מן המשתתפים במחקר הולכים פחות מ־6,944 צעדים ביום.

א. מצאו את ממוצע מספר הצעדים היומי של המשתתפים במחקר.

משרד הבריאות ממליץ ללכת יותר מ־8,400 צעדים ביום.

ב. מצאו את אחוז המשתתפים במחקר שמקיימים את ההמלצה הזאת.

נמצא כי 14,722 מן המשתתפים במחקר הולכים יותר מ־7,200 צעדים ביום ופחות מ־8,400 צעדים ביום.

ג. על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה אנשים סך הכול השתתפו במחקר?

במחקר נבדק גם מספר שעות השינה ביממה של כל אחד מן המשתתפים. נמצא כי גם מספר שעות השינה ביממה מתפלג נורמלית. ממוצע שעות השינה ביממה של המשתתפים הוא 7 שעות. שרית השתתפה במחקר. מספר שעות השינה של שרית ביממה הוא 9.28, ומספר הצעדים היומי שלה הוא 8,416. ציון התקן של מספר הצעדים היומי של שרית זהה לציון התקן של מספר שעות השינה שלה ביממה.

ד. מצאו את סטיית התקן של מספר שעות השינה ביממה של המשתתפים במחקר.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – ממוצע מספר הצעדים

הממוצע x̄ לא ידוע, סטיית התקן 800. 37.5% מהמשתתפים הולכים פחות מ־6,944 צעדים.
37.5% זה פחות מחצי, לכן 6,944 מתחת לממוצע וציון התקן שלו שלילי. בטבלה יש רק ציונים חיוביים, אז מחפשים את הצד השני: עושים 1 פחות – 1 − 0.375 = 0.625.
נחפש בתוך הטבלה (בטבלה הזאת מסומן Φ(z)) את 0.625: הערך הקרוב ביותר הוא 0.626, בשורה 0.3 ובעמודה 0.02. כלומר ציון התקן הוא 0.32, ושל 6,944 הוא −0.32.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.3 עמודה 0.02
−0.32 = (6944 − x̄) : 800📐 ציון תקןz = x − x̄S
כופלים ב־800:
−256 = 6944 − x̄
x̄ = 6944 + 256 = 7200
✅ פתרון סופי: x̄ = 7,200 צעדים

סעיף ב – אחוז המקיימים את ההמלצה

נחשב את ציון התקן של 8,400:
z = (8400 − 7200) : 800 = 1200 : 800 = 1.5📐 ציון תקןz = x − x̄S
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 1.5 ובעמודה 0.00 רשום 0.933, כלומר 93.3% הולכים פחות מ־8,400.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.5 עמודה 0.00
אנחנו רוצים "יותר מ־8,400" – עושים 1 פחות:
1 − 0.933 = 0.067
✅ פתרון סופי: 6.7% מהמשתתפים

סעיף ג – כמה אנשים השתתפו במחקר

7,200 הוא בדיוק הממוצע, ולכן חצי מהמשתתפים (0.5) מתחתיו. מתחת ל־8,400 יש 0.933 (מסעיף ב). בין 7,200 ל־8,400:
0.933 − 0.5 = 0.433
כלומר 43.3% מכל המשתתפים הם 14,722 אנשים. נסמן את מספר המשתתפים N:
0.433 · N = 14722📐 מספר = הסתברות · סך הכולn = P · N
N = 14722 : 0.433 = 34000
✅ פתרון סופי: 34,000 משתתפים

סעיף ד – סטיית התקן של שעות השינה

ציון התקן של מספר הצעדים של שרית:
z = (8416 − 7200) : 800 = 1216 : 800 = 1.52📐 ציון תקןz = x − x̄S
ציון התקן של שעות השינה שלה זהה – גם הוא 1.52. נסמן ב־S את סטיית התקן של שעות השינה (הממוצע 7):
1.52 = (9.28 − 7) : S = 2.28 : S
S = 2.28 : 1.52 = 1.5
✅ פתרון סופי: S = 1.5 שעות

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אx̄ = 7,200 צעדים
סעיף ב6.7%
סעיף ג34,000 משתתפים
סעיף דS = 1.5 שעות
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2026 מועד א', שאלה 1

📄 נוסח השאלה

במשתלת "עץ ופרח" מגדלים צמחים מסוגים שונים. בשנה מסוימת, אורכי הגבעולים של הצמחים במשתלה התפלגו נורמלית, והאורך הממוצע של הגבעולים היה 64 ס"מ. צמחים שאורך הגבעול שלהם קטן מ־55 ס"מ נמכרים לחנויות מקומיות. נתון כי בשנה זו 32.6% מן הצמחים במשתלה נמכרו לחנויות מקומיות.

א. מצאו את סטיית התקן של אורכי הגבעולים בשנה זו.

צמחים שאורך הגבעול שלהם גדול מ־80 ס"מ נשלחים לייצוא. בשנה זו, 9,540 מן הצמחים במשתלה נשלחו לייצוא.

ב. (1) מצאו את אחוז הצמחים במשתלה שנשלחו לייצוא. (2) על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה צמחים לא נשלחו לייצוא ולא נמכרו לחנויות מקומיות?

בשנה שלאחר מכן, אורכי הגבעולים של הצמחים במשתלה התפלגו נורמלית, וסטיית התקן הייתה 25 ס"מ. גם בשנה זו צמחים שאורך הגבעול שלהם קטן מ־55 ס"מ נמכרו לחנויות מקומיות. בשנה זו גידלו במשתלה 40,000 צמחים סך הכול. 4,000 מן הצמחים נמכרו לחנויות מקומיות.

ג. מצאו את האורך הממוצע של גבעולי הצמחים בשנה זו.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – סטיית התקן

הממוצע x̄ = 64, סטיית התקן S לא ידועה. ידוע ש־32.6% מהצמחים קצרים מ־55 ס"מ.
32.6% זה פחות מחצי, ולכן 55 מתחת לממוצע וציון התקן שלו שלילי. בטבלה יש רק ציוני תקן חיוביים, אז עושים 1 פחות: 1 − 0.326 = 0.674.
נחפש בתוך הטבלה את הערך 0.674: הוא נמצא בשורה 0.4 ובעמודה 0.05, כלומר z = 0.45. לכן ציון התקן של 55 הוא z = −0.45.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.4 עמודה 0.05
−0.45 = 55 − 64S = −9S📐 ציון תקןz = x − x̄S
כופלים את שני האגפים ב־S:
−0.45S = −9
S = −9−0.45 = 20
בדיקה: 55 − 6420 = −920 = −0.45 ✓
✅ פתרון סופי: S = 20 ס"מ

סעיף ב (1) – אחוז הצמחים לייצוא

z = 80 − 6420 = 1620 = 0.8📐 ציון תקןz = x − x̄S
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 0.8 ובעמודה 0.00 רשום 0.788. כלומר 78.8% מהצמחים קצרים מ־80 ס"מ.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.8 עמודה 0.00
לייצוא הולכים הצמחים הגבוהים מ־80, אז עושים 1 פחות:
1 − 0.788 = 0.212
✅ פתרון סופי: 21.2%

סעיף ב (2) – כמה צמחים לא בייצוא ולא בחנויות

קודם מוצאים כמה צמחים יש במשתלה. 9,540 צמחים הם 21.2% מכל הצמחים. נסמן ב־N את מספר כל הצמחים:
0.212 · N = 9,540📐 חלק מכמותk = p · N
N = 9,5400.212 = 45,000
הצמחים שלא נשלחו לייצוא ולא נמכרו לחנויות הם אלה שבין 55 ל־80 ס"מ. מכל הצמחים מורידים את 32.6% הנמוכים ואת 21.2% הגבוהים:
1 − 0.326 − 0.212 = 0.462📐 סכום כל השטחיםכל השטח מתחת לעקומה = 1 (100%)
0.462 · 45,000 = 20,790
בדיקה: 9,540 + 14,670 + 20,790 = 45,000 (כי 0.326 · 45,000 = 14,670) ✓
✅ פתרון סופי: 20,790 צמחים

סעיף ג – הממוצע בשנה הבאה

החלק של הצמחים שנמכרו לחנויות:
4,00040,000 = 0.1
10% קצרים מ־55, כלומר 55 מתחת לממוצע. עושים 1 פחות: 1 − 0.1 = 0.9.
נחפש בתוך הטבלה את הערך 0.900: הוא נמצא בשורה 1.2 ובעמודה 0.08, כלומר z = 1.28. לכן ציון התקן של 55 הוא z = −1.28.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.2 עמודה 0.08
−1.28 = 55 − x̄25📐 ציון תקןz = x − x̄S
כופלים ב־25:
−1.28 · 25 = 55 − x̄ → −32 = 55 − x̄
x̄ = 55 + 32 = 87
בדיקה: 55 − 8725 = −3225 = −1.28 ✓
✅ פתרון סופי: x̄ = 87 ס"מ

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אS = 20 ס"מ
סעיף ב (1)21.2%
סעיף ב (2)20,790 צמחים
סעיף גx̄ = 87 ס"מ
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2026, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

הציונים בבחינה הפסיכומטרית בשנה מסוימת התפלגו נורמלית, וממוצע הציונים היה 550. בשנה זו ניגשה לימור לבחינה הפסיכומטרית. הציון של לימור בבחינה היה 686, וציון התקן שלה היה 1.6.

א. מצאו את סטיית התקן של הציונים בבחינה.

ציון הסף הוא הציון הנמוך ביותר שצריך להשיג בבחינה כדי להתקבל לחוג מסוים. בטבלה מוצג ציון הסף הנדרש כדי להתקבל לחוג לספרות וציון הסף הנדרש כדי להתקבל לחוג לפסיכולוגיה באוניברסיטה מסוימת.

החוג לספרותהחוג לפסיכולוגיה
ציון הסף584669

גם יעל ניגשה לבחינה בשנה זו. נתון כי 57.9% מן הנבחנים קיבלו ציון נמוך מן הציון של יעל.

ב. האם יעל יכולה להתקבל לחוג לספרות? נמקו את תשובתכם.

ג. (1) מצאו את אחוז הנבחנים שיכולים להתקבל לחוג לפסיכולוגיה. (2) מצאו את אחוז הנבחנים שיכולים להתקבל לחוג לספרות אך אינם יכולים להתקבל לחוג לפסיכולוגיה.

נתון כי 8,448 נבחנים יכולים להתקבל לחוג לספרות אך אינם יכולים להתקבל לחוג לפסיכולוגיה.

ד. על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה נבחנים יכולים להתקבל לחוג לפסיכולוגיה?

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – סטיית התקן

נתון: הממוצע x̄ = 550, הציון של לימור x = 686, ציון התקן שלה z = 1.6. סטיית התקן S לא ידועה.
1.6 = 686 − 550S = 136S📐 ציון תקןz = x − x̄S
כופלים את שני האגפים ב־S:
1.6S = 136
S = 1361.6 = 85
בדיקה: 686 − 55085 = 13685 = 1.6 ✓
✅ פתרון סופי: S = 85

סעיף ב – האם יעל יכולה להתקבל לחוג לספרות

57.9% מהנבחנים קיבלו פחות מיעל, כלומר בטבלה צריך למצוא את 0.579.
נחפש בתוך הטבלה את הערך 0.579: הוא נמצא בשורה 0.2 ובעמודה 0.00, כלומר z = 0.2. זה ציון התקן של יעל.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.2 עמודה 0.00
0.2 = x − 55085📐 ציון תקןz = x − x̄S
כופלים ב־85:
x − 550 = 0.2 · 85 = 17
x = 550 + 17 = 567
ציון הסף לספרות הוא 584, והציון של יעל 567 < 584.
✅ פתרון סופי: לא. הציון של יעל הוא 567, נמוך מציון הסף 584.

סעיף ג (1) – אחוז שיכולים להתקבל לפסיכולוגיה

צריך ציון 669 ומעלה. מחשבים את ציון התקן של 669:
z = 669 − 55085 = 11985 = 1.4📐 ציון תקןz = x − x̄S
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 1.4 ובעמודה 0.00 רשום 0.919. כלומר 91.9% מהנבחנים קיבלו פחות מ־669.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.4 עמודה 0.00
אנחנו רוצים את מי שקיבלו יותר מ־669, אז עושים 1 פחות:
1 − 0.919 = 0.081
✅ פתרון סופי: 8.1%

סעיף ג (2) – ספרות אבל לא פסיכולוגיה

אלה הנבחנים שהציון שלהם בין 584 ל־669. מחשבים את ציון התקן של 584:
z = 584 − 55085 = 3485 = 0.4📐 ציון תקןz = x − x̄S
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 0.4 ובעמודה 0.00 רשום 0.655. כלומר 65.5% קיבלו פחות מ־584.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.4 עמודה 0.00
מסעיף ג (1): 91.9% קיבלו פחות מ־669. מי שבין שני הציונים – מחסרים:
0.919 − 0.655 = 0.264📐 שטח בין שני ציוניםהאחוז מתחת לציון הגבוה פחות האחוז מתחת לציון הנמוך
✅ פתרון סופי: 26.4%

סעיף ד – כמה נבחנים יכולים להתקבל לפסיכולוגיה

קודם מוצאים את מספר כל הנבחנים. 8,448 נבחנים הם 26.4% מכולם (סעיף ג (2)). נסמן את מספר הנבחנים ב־N:
0.264 · N = 8,448📐 חלק מתוך הכללמספר = N · אחוז
N = 8,4480.264 = 32,000
לפסיכולוגיה יכולים להתקבל 8.1% מהנבחנים (סעיף ג (1)):
0.081 · 32,000 = 2,592
✅ פתרון סופי: 2,592 נבחנים

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אS = 85
סעיף בלא (567 < 584)
סעיף ג (1)8.1%
סעיף ג (2)26.4%
סעיף ד2,592 נבחנים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 1

📄 נוסח השאלה

הציונים במבחן כניסה לאוניברסיטה מתפלגים נורמלית וסטיית התקן היא 8. 93.3% מן הנבחנים קיבלו ציון נמוך מ־92.

א. מצאו את ממוצע הציונים במבחן.

44% מן הנבחנים, אלה שהציונים שלהם היו הגבוהים ביותר, התקבלו לאוניברסיטה.

ב. האם נבחן שהציון שלו 82 התקבל לאוניברסיטה? נמקו את תשובתכם.

חלק מן הנבחנים מוגדרים מצטיינים, והשאר אינם מוגדרים מצטיינים. נבחנים שהציון שלהם גבוה מ־90 מוגדרים מצטיינים.

ג. מצאו כמה אחוזים מן הנבחנים התקבלו לאוניברסיטה, והם אינם מצטיינים.

2,338 נבחנים התקבלו לאוניברסיטה, והם אינם מצטיינים.

ד. על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה נבחנים סך הכול ניגשו למבחן הכניסה?

לנבחנים שלא התקבלו לאוניברסיטה הייתה אפשרות לגשת למבחן נוסף. גם הציונים במבחן הנוסף מתפלגים נורמלית והממוצע שלהם הוא 81. נדב ניגש לשני המבחנים והציון שלו בכל אחד מהם הוא 72. ציון התקן של נדב בשני המבחנים זהה.

ה. מצאו את סטיית התקן במבחן הנוסף.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – ממוצע הציונים

93.3% קיבלו פחות מ־92, כלומר בטבלה צריך למצוא את 0.933.
נחפש בתוך הטבלה את הערך 0.933: הוא נמצא בשורה 1.5 ובעמודה 0.00, כלומר z = 1.5. זה ציון התקן של 92.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.5 עמודה 0.00
1.5 = 92 − x̄8📐 ציון תקןz = x − x̄S
כופלים ב־8:
92 − x̄ = 12 → x̄ = 92 − 12 = 80
✅ פתרון סופי: x̄ = 80

סעיף ב – האם ציון 82 התקבל

44% העליונים התקבלו, כלומר מתחת לציון הסף נמצאים 100% − 44% = 56%. בטבלה צריך למצוא את 0.560.
נחפש בתוך הטבלה את הערך 0.560: הוא נמצא בשורה 0.1 ובעמודה 0.05, כלומר z = 0.15. זה ציון התקן של ציון הסף.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.1 עמודה 0.05
0.15 = x − 808📐 ציון תקןz = x − x̄S
x − 80 = 0.15 · 8 = 1.2 → x = 81.2
82 > 81.2 – הציון 82 גבוה מציון הסף.
✅ פתרון סופי: כן – ציון הסף הוא 81.2, ו־82 > 81.2

סעיף ג – התקבלו ואינם מצטיינים

אלה שהציון שלהם בין 81.2 ל־90. ציון התקן של 90:
z = 90 − 808 = 108 = 1.25📐 ציון תקןz = x − x̄S
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 1.2 ובעמודה 0.05 רשום 0.894. כלומר 89.4% קיבלו פחות מ־90.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.2 עמודה 0.05
מסעיף ב: 56% קיבלו פחות מ־81.2. מי שבין שני הציונים – מחסרים:
0.894 − 0.560 = 0.334📐 שטח בין שני ציוניםהאחוז מתחת לציון הגבוה פחות האחוז מתחת לציון הנמוך
✅ פתרון סופי: 33.4%

סעיף ד – כמה נבחנים ניגשו

2,338 נבחנים הם 33.4% מכולם. נסמן את המספר הכולל ב־N:
0.334 · N = 2,338📐 חלק מתוך הכללמספר = N · אחוז
N = 2,3380.334 = 7,000
✅ פתרון סופי: 7,000 נבחנים

סעיף ה – סטיית התקן במבחן הנוסף

ציון התקן של נדב במבחן הראשון:
z = 72 − 808 = −88 = −1📐 ציון תקןz = x − x̄S
במבחן הנוסף ציון התקן שלו זהה, z = −1, והממוצע 81:
−1 = 72 − 81S = −9S
כופלים ב־S:
−S = −9 → S = 9
✅ פתרון סופי: S = 9

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אx̄ = 80
סעיף בכן (82 > 81.2)
סעיף ג33.4%
סעיף ד7,000 נבחנים
סעיף הS = 9
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד א', שאלה 1

📄 נוסח השאלה

בבית ספר מסוים נערכה תחרות קפיצה לרוחק. התוצאות שהשיגו המשתתפים בתחרות התפלגו נורמלית. מרחק הקפיצה הממוצע היה 4.2 מטרים. 69.2% מן המשתתפים קפצו למרחק קטן מ־4.5 מטרים.

א. מצאו את סטיית התקן של מרחק הקפיצה.

המשתתפים שמרחק הקפיצה שלהם היה גדול מ־5.16 מטרים זכו במדליה.

ב. מהו אחוז המשתתפים שזכו במדליה?

נתון כי 11 משתתפים זכו במדליה.

ג. על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה משתתפים התחרו בקפיצה לרוחק?

בבית הספר נערכה גם תחרות קפיצה לגובה. גם בתחרות זו התוצאות שהשיגו המשתתפים התפלגו נורמלית. גובה הקפיצה הממוצע היה 1.5 מטרים, וסטיית התקן הייתה 0.2 מטר. אלון השתתף בשתי התחרויות. התוצאה שלו בקפיצה לרוחק הייתה 4.8 מטרים ובקפיצה לגובה 1.75 מטרים.

ד. באיזו מן התחרויות, קפיצה לרוחק או קפיצה לגובה, הייתה התוצאה של אלון מדורגת במקום גבוה יותר בהשוואה למשתתפים האחרים? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – סטיית התקן

נתון: הממוצע x̄ = 4.2. 69.2% קפצו פחות מ־4.5 מטרים, כלומר בטבלה צריך למצוא את 0.692.
נחפש בתוך הטבלה את הערך 0.692: הערך הכי קרוב אליו הוא 0.691, בשורה 0.5 ובעמודה 0.00, כלומר z = 0.5. זה ציון התקן של 4.5.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.5 עמודה 0.00
0.5 = 4.5 − 4.2S = 0.3S📐 ציון תקןz = x − x̄S
כופלים ב־S:
0.5S = 0.3
S = 0.30.5 = 0.6
בדיקה: 4.5 − 4.20.6 = 0.30.6 = 0.5 ✓
✅ פתרון סופי: S = 0.6 מטר

סעיף ב – אחוז הזוכים במדליה

z = 5.16 − 4.20.6 = 0.960.6 = 1.6📐 ציון תקןz = x − x̄S
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 1.6 ובעמודה 0.00 רשום 0.945. כלומר 94.5% קפצו פחות מ־5.16.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.6 עמודה 0.00
הזוכים קפצו יותר מ־5.16, אז עושים 1 פחות:
1 − 0.945 = 0.055
✅ פתרון סופי: 5.5%

סעיף ג – כמה משתתפים התחרו

11 משתתפים הם 5.5% מכל המשתתפים. נסמן את מספר המשתתפים ב־N:
0.055 · N = 11📐 חלק מתוך הכללמספר = N · אחוז
N = 110.055 = 200
✅ פתרון סופי: 200 משתתפים

סעיף ד – באיזו תחרות אלון מדורג גבוה יותר

משווים בין שתי התחרויות לפי ציון התקן – ככל שציון התקן גבוה יותר, המקום ביחס לאחרים גבוה יותר.
zרוחק = 4.8 − 4.20.6 = 0.60.6 = 1📐 ציון תקןz = x − x̄S
zגובה = 1.75 − 1.50.2 = 0.250.2 = 1.25
1.25 > 1. בטבלה: בשורה 1.2 ובעמודה 0.05 רשום 0.894, ובשורה 1.0 ובעמודה 0.00 רשום 0.841 – בגובה אלון עבר יותר משתתפים.
✅ פתרון סופי: בקפיצה לגובה – ציון תקן 1.25 לעומת 1

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אS = 0.6 מטר
סעיף ב5.5%
סעיף ג200 משתתפים
סעיף דקפיצה לגובה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2025, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

אורך החיים של טלפונים שמייצרים במפעל מסוים מתפלג נורמלית. לפניכם גרף ההתפלגות הנורמלית של אורך חיי הטלפונים ועליו חלק מנתוני אורך החיים (בחודשים): 22.7% מהטלפונים חיים פחות מ־12 חודשים, ו־22.7% חיים יותר מ־18 חודשים.

א. מצאו את ממוצע אורך החיים של הטלפונים ואת סטיית התקן.

3.5% מן הטלפונים – אלה שאורך החיים שלהם הוא הקטן ביותר – נחשבים פגומים.

ב. מהו אורך החיים הגדול ביותר של טלפון שנחשב פגום?

בחודש מסוים ייצרו במפעל 2,000 טלפונים.

ג. על פי גרף ההתפלגות הנורמלית, לכמה מן הטלפונים שייצרו בחודש זה יש אורך חיים גדול מ־20 חודשים?

מהנדסים הצליחו להגדיל פי 1.5 את אורך החיים של כל הטלפונים שהמפעל מייצר.

ד. (1) מהו ממוצע אורך החיים החדש של הטלפונים ומהי סטיית התקן החדשה, לאחר ההגדלה? (2) מצאו את אחוז הטלפונים שאורך החיים שלהם קטן מ־12 חודשים, לאחר ההגדלה.

גרף ההתפלגות לשאלה 1
✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – ממוצע וסטיית תקן

בגרף יש שטח שווה (22.7%) משמאל ל־12 ומימין ל־18. ההתפלגות הנורמלית סימטרית סביב הממוצע, ולכן הממוצע באמצע:📐 סימטריה סביב הממוצעשטחים שווים בצדדים ← הממוצע באמצע
x̄ = (12 + 18) : 2 = 15
22.7% מתחת ל־12, כלומר 12 מתחת לממוצע וציון התקן שלו שלילי. בטבלה מחפשים את הצד השני: עושים 1 פחות – 1 − 0.227 = 0.773.
נחפש בתוך הטבלה את 0.773: הוא נמצא בשורה 0.7 ובעמודה 0.05, כלומר ציון התקן הוא 0.75, ושל 12 הוא −0.75.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.7 עמודה 0.05
−0.75 = (12 − 15) : S = −3 : S📐 ציון תקןz = x − x̄S
S = 3 : 0.75 = 4
✅ פתרון סופי: x̄ = 15 חודשים , S = 4 חודשים

סעיף ב – אורך החיים של טלפון פגום

הפגומים הם 3.5% הקצרים ביותר. מחפשים את אורך החיים שמתחתיו 3.5%. זה מתחת לממוצע, אז בטבלה מחפשים את הצד השני: 1 − 0.035 = 0.965.
נחפש בתוך הטבלה את 0.965: הוא נמצא בשורה 1.8 ובעמודה 0.01, כלומר ציון התקן הוא −1.81.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.8 עמודה 0.01
−1.81 = (x − 15) : 4📐 ציון תקןz = x − x̄S
כופלים ב־4:
−7.24 = x − 15
x = 15 − 7.24 = 7.76
✅ פתרון סופי: 7.76 חודשים

סעיף ג – כמה טלפונים חיים יותר מ־20 חודשים

נחשב את ציון התקן של 20:
z = (20 − 15) : 4 = 5 : 4 = 1.25📐 ציון תקןz = x − x̄S
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 1.2 ובעמודה 0.05 רשום 0.894.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.2 עמודה 0.05
אנחנו רוצים "יותר מ־20" – עושים 1 פחות:
1 − 0.894 = 0.106
0.106 · 2000 = 212📐 מספר = הסתברות · סך הכולn = P · N
✅ פתרון סופי: 212 טלפונים

סעיף ד – אחרי ההגדלה פי 1.5

(1) כשכופלים כל ערך במספר, גם הממוצע וגם סטיית התקן נכפלים באותו מספר:📐 כפל בקבועx̄ → k · x̄S → k · S
ממוצע חדש: 1.5 · 15 = 22.5
סטיית תקן חדשה: 1.5 · 4 = 6
(2) ציון התקן של 12 בהתפלגות החדשה:
z = (12 − 22.5) : 6 = −10.5 : 6 = −1.75📐 ציון תקןz = x − x̄S
ציון התקן שלילי, אז מסתכלים בטבלה על 1.75: בשורה 1.7 ובעמודה 0.05 רשום 0.960.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.7 עמודה 0.05
בגלל שהגרף סימטרי, מתחת ל־−1.75 יש מה שמעל 1.75 – עושים 1 פחות:
1 − 0.960 = 0.040, כלומר 4%.
✅ פתרון סופי: (1) ממוצע 22.5 , סטיית תקן 6   (2) 4%

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אx̄ = 15 , S = 4
סעיף ב7.76 חודשים
סעיף ג212 טלפונים
סעיף ד22.5 , 6 ; 4%
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 1

📄 נוסח השאלה

במשתלה מסוימת האורכים של גבעולי פרחים מתפלגים נורמלית. הממוצע של אורך גבעולי הפרחים במשתלה הוא 20 ס"מ. במשתלה ממיינים את הפרחים לשלוש קבוצות: קבוצה א' – פרחים שאורך הגבעול שלהם קצר מ־22 ס"מ. קבוצה ב' – פרחים שאורך הגבעול שלהם בין 22 ס"מ ל־26 ס"מ. קבוצה ג' – שאר הפרחים. נתון כי שיעור הפרחים בקבוצה א' הוא 65.5%.

א. מצאו את סטיית התקן של אורך גבעולי הפרחים במשתלה.

ב. מצאו מהו אחוז הפרחים שבקבוצה ג' מתוך כל הפרחים במשתלה.

יום אחד היו במשתלה 2,000 פרחים סך הכול. במשתלה החליטו להכין זרים מכל הפרחים שבקבוצה ב' כך שבכל זר יהיו 10 פרחים.

ג. על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה זרים הכינו במשתלה ביום זה?

במשתלה אחרת, שגם בה האורכים של גבעולי הפרחים מתפלגים נורמלית, אחוז הפרחים שאורך הגבעול שלהם ארוך מ־24 ס"מ שווה לאחוז הפרחים שבקבוצה ב'. נתון כי סטיית התקן של אורך גבעולי הפרחים בשתי המשתלות זהה.

ד. מצאו את הממוצע של אורך גבעולי הפרחים במשתלה האחרת.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – סטיית התקן

65.5% מהפרחים קצרים מ־22. נחפש בתוך הטבלה את 0.655: הוא נמצא בשורה 0.4 ובעמודה 0.00, כלומר ציון התקן של 22 הוא 0.4.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.4 עמודה 0.00
0.4 = (22 − 20) : S = 2 : S📐 ציון תקןz = x − x̄S
S = 2 : 0.4 = 5
✅ פתרון סופי: S = 5 ס"מ

סעיף ב – אחוז הפרחים בקבוצה ג'

קבוצה ג' – פרחים ארוכים מ־26 ס"מ. נחשב את ציון התקן של 26:
z = (26 − 20) : 5 = 6 : 5 = 1.2📐 ציון תקןz = x − x̄S
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 1.2 ובעמודה 0.00 רשום 0.885, כלומר 88.5% קצרים מ־26.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.2 עמודה 0.00
אנחנו רוצים "ארוכים מ־26" – עושים 1 פחות:
1 − 0.885 = 0.115
✅ פתרון סופי: 11.5%

סעיף ג – כמה זרים

קבוצה ב' – בין 22 ל־26: מה שמתחת ל־26 פחות מה שמתחת ל־22:
0.885 − 0.655 = 0.23
0.23 · 2000 = 460📐 מספר = הסתברות · סך הכולn = P · N
בכל זר 10 פרחים:
460 : 10 = 46
✅ פתרון סופי: 46 זרים

סעיף ד – הממוצע במשתלה האחרת

במשתלה האחרת 23% מהפרחים ארוכים מ־24 ס"מ (כמו קבוצה ב'), וסטיית התקן גם היא 5. קצרים מ־24: עושים 1 פחות – 1 − 0.23 = 0.77.
נחפש בתוך הטבלה את 0.770: הוא נמצא בשורה 0.7 ובעמודה 0.04, כלומר ציון התקן של 24 הוא 0.74.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.7 עמודה 0.04
0.74 = (24 − x̄) : 5📐 ציון תקןz = x − x̄S
כופלים ב־5:
3.7 = 24 − x̄
x̄ = 24 − 3.7 = 20.3
✅ פתרון סופי: x̄ = 20.3 ס"מ

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אS = 5 ס"מ
סעיף ב11.5%
סעיף ג46 זרים
סעיף דx̄ = 20.3 ס"מ
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד א', שאלה 1

📄 נוסח השאלה

במפעל מסוים אורזים מלפפונים על פי אורכם. האורכים של המלפפונים מתפלגים נורמלית. כל המלפפונים שאורכם קטן מ־12 ס"מ נארזים בקופסאות שימורים רגילות. שאר המלפפונים נארזים בקופסאות שימורים גדולות. ידוע כי האורך הממוצע של מלפפונים הוא 10.56 ס"מ, וסטיית התקן היא 3 ס"מ.

א. מצאו את אחוז המלפפונים שנארזים בקופסאות שימורים רגילות.

התברר שיש ביקוש למלפפונים קצרים במיוחד, לכן הוחלט כי המלפפונים יעברו מיון מחדש. נמצא כי רבע מן המלפפונים שאורכם קטן מ־12 ס"מ נחשבים מלפפונים קצרים במיוחד.

ב. (1) מצאו את אחוז המלפפונים הקצרים במיוחד. (2) מצאו את אורכו של המלפפון הארוך ביותר מבין המלפפונים הקצרים במיוחד.

לאחר זמן מה הגיע למפעל משלוח חדש של מלפפונים. גם במשלוח זה האורכים של המלפפונים מתפלגים נורמלית. 50% מן המלפפונים במשלוח זה היו קצרים מ־11.5 ס"מ. 12.5% מן המלפפונים במשלוח זה היו ארוכים מ־14.26 ס"מ.

ג. מצאו את סטיית התקן של אורכי המלפפונים במשלוח החדש.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – אחוז בקופסאות רגילות

z = 12 − 10.563 = 1.443 = 0.48📐 ציון תקןz = x − x̄S
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 0.4 ובעמודה 0.08 רשום 0.684. כלומר 68.4% מהמלפפונים קצרים מ־12 ס"מ.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.4 עמודה 0.08
✅ פתרון סופי: 68.4%

סעיף ב (1) – אחוז הקצרים במיוחד

רבע מהמלפפונים הקצרים מ־12 ס"מ:
14 · 0.684 = 0.171
✅ פתרון סופי: 17.1%

סעיף ב (2) – האורך המקסימלי של קצר במיוחד

הקצרים במיוחד הם 17.1% הקצרים ביותר. מחפשים את האורך x ש־17.1% מהמלפפונים קצרים ממנו.
17.1% זה פחות מחצי, ולכן x מתחת לממוצע וציון התקן שלו שלילי. בטבלה יש רק ציוני תקן חיוביים, אז עושים 1 פחות: 1 − 0.171 = 0.829.
נחפש בתוך הטבלה את הערך 0.829: הוא נמצא בשורה 0.9 ובעמודה 0.05, כלומר z = 0.95. לכן ציון התקן של x הוא z = −0.95.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.9 עמודה 0.05
−0.95 = x − 10.563📐 ציון תקןz = x − x̄S
x − 10.56 = −2.85 → x = 7.71
✅ פתרון סופי: x = 7.71 ס"מ

סעיף ג – סטיית התקן במשלוח החדש

50% קצרים מ־11.5 ← 11.5 הוא בדיוק הממוצע: x̄ = 11.5.📐 ממוצע בהתפלגות נורמליתבדיוק חצי מהערכים מתחת לממוצע
12.5% ארוכים מ־14.26, אז עושים 1 פחות: 1 − 0.125 = 0.875 קצרים מ־14.26.
נחפש בתוך הטבלה את הערך 0.875: הוא נמצא בשורה 1.1 ובעמודה 0.05, כלומר z = 1.15. זה ציון התקן של 14.26.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.1 עמודה 0.05
1.15 = 14.26 − 11.5S = 2.76S📐 ציון תקןz = x − x̄S
S = 2.761.15 = 2.4
✅ פתרון סופי: S = 2.4 ס"מ

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א68.4%
סעיף ב (1)17.1%
סעיף ב (2)7.71 ס"מ
סעיף גS = 2.4 ס"מ
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2024, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

משקלי התינוקות שנולדים בעיר מסוימת מתפלגים נורמלית. נתון כי המשקל הממוצע של התינוקות שנולדים בעיר זו הוא 3.4 ק"ג. 96.41% מן התינוקות בעיר זו נולדים במשקל נמוך מ־5.02 ק"ג.

א. מצאו את סטיית התקן של משקל התינוקות שנולדים בעיר זו.

אורי נולד בעיר זו במשקל נמוך ממשקלם של 9% מן התינוקות שנולדים בה.

ב. מצאו את המשקל שבו נולד אורי.

משקל הנמוך מ־1.5 ק"ג נחשב למשקל נמוך מאוד לתינוק שנולד.

ג. (1) מהו אחוז התינוקות שנולדים במשקל נמוך מאוד בעיר זו? (2) בשנה מסוימת נולדו בעיר זו 20,000 תינוקות. על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה מן התינוקות האלה נולדו במשקל נמוך מאוד?

שחר נולד בעיר אחרת, באותו המשקל שבו נולד אורי. משקל התינוקות בעיר שבה נולד שחר מתפלגים נורמלית עם סטיית תקן של 0.8. משקל הלידה של שחר ומשקל הלידה של אורי הם בעלי אותו ציון תקן.

ד. מצאו את המשקל הממוצע של התינוקות בעיר שבה נולד שחר.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – סטיית התקן

96.41% מתחת ל־5.02. נחפש בתוך הטבלה את 0.964: הוא נמצא בשורה 1.8 ובעמודה 0.00, כלומר ציון התקן של 5.02 הוא 1.8.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.8 עמודה 0.00
1.8 = (5.02 − 3.4) : S = 1.62 : S📐 ציון תקןz = x − x̄S
S = 1.62 : 1.8 = 0.9
✅ פתרון סופי: S = 0.9 ק"ג

סעיף ב – המשקל של אורי

9% מהתינוקות כבדים מאורי, לכן קלים ממנו: עושים 1 פחות – 1 − 0.09 = 0.91.
נחפש בתוך הטבלה את 0.910: הוא נמצא בשורה 1.3 ובעמודה 0.04, כלומר z = 1.34.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.3 עמודה 0.04
1.34 = (x − 3.4) : 0.9📐 ציון תקןz = x − x̄S
1.206 = x − 3.4 ⟸ x = 4.606
✅ פתרון סופי: ≈ 4.61 ק"ג

סעיף ג – משקל נמוך מאוד

(1) נחשב את ציון התקן של 1.5:
z = (1.5 − 3.4) : 0.9 = −1.9 : 0.9 ≈ −2.11📐 ציון תקןz = x − x̄S
ציון התקן שלילי, אז מסתכלים בטבלה על 2.11: בשורה 2.1 ובעמודה 0.01 רשום 0.983.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 2.1 עמודה 0.01
בגלל שהגרף סימטרי, מתחת ל־−2.11 יש מה שמעל 2.11 – עושים 1 פחות:
1 − 0.983 = 0.017
(2)
0.017 · 20000 = 340📐 מספר = הסתברות · סך הכולn = P · N
✅ פתרון סופי: (1) 1.7%   (2) 340 תינוקות

סעיף ד – הממוצע בעיר של שחר

שחר שוקל כמו אורי (4.606 ק"ג) ובעל אותו ציון תקן z = 1.34. נסמן את הממוצע ב־x̄:
1.34 = (4.606 − x̄) : 0.8📐 ציון תקןz = x − x̄S
כופלים ב־0.8:
1.072 = 4.606 − x̄
x̄ = 4.606 − 1.072 = 3.534
✅ פתרון סופי: x̄ ≈ 3.53 ק"ג

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אS = 0.9 ק"ג
סעיף ב≈ 4.61 ק"ג
סעיף ג1.7% ; 340
סעיף ד≈ 3.53 ק"ג
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

בבית ספר מסוים נערכו שני מבחני מתכונת במתמטיקה. הציונים בכל אחד ממבחני המתכונת מתפלגים נורמלית. במתכונת הראשונה היה הציון הממוצע 65.05, וסטיית התקן של הציונים הייתה 15. הציון שקיבלה שירה במתכונת הראשונה היה 70.

א. מהו אחוז התלמידים שקיבלו ציון נמוך מן הציון שקיבלה שירה במתכונת הראשונה?

הציון שקיבלה שירה במתכונת השנייה היה 78. אחוז התלמידים שקיבלו ציון נמוך מן הציון שקיבלה שירה במתכונת השנייה זהה לאחוז התלמידים שקיבלו ציון נמוך מן הציון שלה במתכונת הראשונה. סטיית התקן של הציונים במתכונת השנייה הייתה 10.

ב. חשבו את הציון הממוצע במתכונת השנייה.

אריאל קיבל ציון זהה בשתי המתכונות. ידוע כי במתכונת הראשונה קיבלו 29.8% מן התלמידים ציון גבוה ממנו.

ג. (1) מהו הציון שקיבל אריאל בשתי המתכונות? (2) באיזו משתי המתכונות הצליח אריאל יותר יחסית לכל התלמידים שנבחנו? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – אחוז מתחת לשירה במתכונת הראשונה

z = 70 − 65.0515 = 4.9515 = 0.33📐 ציון תקןz = x − x̄S
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 0.3 ובעמודה 0.03 רשום 0.629. כלומר כ־62.9% מהתלמידים קיבלו פחות משירה. בטבלה מפורטת יותר רשום 0.6293, כלומר 62.93%.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.3 עמודה 0.03
✅ פתרון סופי: 62.93%

סעיף ב – הממוצע במתכונת השנייה

אותו אחוז מתחת לציון ← אותו ציון תקן: z = 0.33.📐 ציון תקן ואחוזוןאותו אחוז מתחת ⟺ אותו z
0.33 = 78 − x̄10📐 ציון תקןz = x − x̄S
78 − x̄ = 3.3 → x̄ = 74.7
✅ פתרון סופי: x̄ = 74.7

סעיף ג (1) – הציון של אריאל

29.8% קיבלו יותר מאריאל, אז עושים 1 פחות: 1 − 0.298 = 0.702 קיבלו פחות ממנו.
נחפש בתוך הטבלה את הערך 0.702: הוא נמצא בשורה 0.5 ובעמודה 0.03, כלומר z = 0.53. זה ציון התקן של אריאל במתכונת הראשונה.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.5 עמודה 0.03
0.53 = a − 65.0515📐 ציון תקןz = x − x̄S
a − 65.05 = 7.95 → a = 73
✅ פתרון סופי: 73

סעיף ג (2) – באיזו מתכונת הצליח יותר

z2 = 73 − 74.710 = −0.17📐 ציון תקןz = x − x̄S
במתכונת הראשונה z1 = 0.53 – מעל הממוצע. בשנייה z2 = −0.17 – מתחת לממוצע. ציון תקן גבוה יותר = הצלחה יחסית גבוהה יותר.
✅ פתרון סופי: במתכונת הראשונה

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א62.93%
סעיף ב74.7
סעיף ג (1)73
סעיף ג (2)במתכונת הראשונה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 1

📄 נוסח השאלה

חברת קוסמטיקה החליטה לערוך מחקר, ובו לבדוק את קצב התארכות שיער הראש של אנשים בס"מ לשנה. החברה בדקה מספר רב של אנשים. היא גילתה שקצב התארכות השיער שלהם מתפלג נורמלית, והתבררו שני נתונים:

i. השיער של 50% מן הנבדקים התארך בפחות מ־12 ס"מ בשנה.
ii. השיער של 33% מן הנבדקים התארך ביותר מ־12.56 ס"מ בשנה.

א. מהו קצב ההתארכות הממוצע של השיער של הנבדקים?

ב. מהי סטיית התקן של קצב התארכות השיער של הנבדקים?

חברת הקוסמטיקה הכריזה שהיא הצליחה לפתח שמפו שמגביר ב־10% את קצב התארכות השיער.

ג. לפי ההכרזה, מה יהיה הממוצע החדש ומה תהיה סטיית התקן החדשה של קצב התארכות השיער בקרב אוכלוסיית האנשים שישתמשו בשמפו זה?

ד. החברה בדקה מהו אחוז הנבדקים במחקר שקצב התארכות השיער שלהם הוא בין הממוצע ובין סטיית תקן אחת מעל הממוצע. לפי הכרזת החברה, אם ישתמשו כל הנבדקים בשמפו שהיא פיתחה, האם אחוז זה יגדל, יקטן או לא ישתנה? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הממוצע

50% מתחת ל־12 ← 12 הוא בדיוק הממוצע.📐 ממוצע בהתפלגות נורמליתבדיוק חצי מהערכים מתחת לממוצע
✅ פתרון סופי: x̄ = 12 ס"מ בשנה

סעיף ב – סטיית התקן

33% התארכו ביותר מ־12.56, אז עושים 1 פחות: 1 − 0.33 = 0.67 התארכו בפחות מ־12.56.
נחפש בתוך הטבלה את הערך 0.670: הוא נמצא בשורה 0.4 ובעמודה 0.04, כלומר z = 0.44. זה ציון התקן של 12.56.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.4 עמודה 0.04
0.44 = 12.56 − 12S = 0.56S📐 ציון תקןz = x − x̄S
S = 0.560.44 ≈ 1.27
✅ פתרון סופי: S ≈ 1.27 ס"מ

סעיף ג – ממוצע וסטיית תקן אחרי השמפו

כל קצב גדל ב־10%, כלומר נכפל ב־1.1. אז גם הממוצע וגם סטיית התקן נכפלים ב־1.1:📐 כפל כל הנתונים במספרx̄′ = k · x̄ , S′ = k · S
x̄′ = 1.1 · 12 = 13.2
S′ = 1.1 · 0.560.44 = 0.6160.44 = 1.4
✅ פתרון סופי: x̄′ = 13.2 , S′ = 1.4

סעיף ד – האם האחוז ישתנה

"בין הממוצע לסטיית תקן אחת מעליו" זה תמיד בין ציון תקן 0 לציון תקן 1.
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 1.0 ובעמודה 0.00 רשום 0.841. מתחת לממוצע נמצאים בדיוק 0.5, אז מחסרים: 0.841 − 0.5 = 0.341 – כ־34.1% (בטבלה מפורטת יותר: 34.13%).
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.0 עמודה 0.00
ההתפלגות החדשה עדיין נורמלית (כל הערכים נכפלו באותו מספר), ולכן התחום עדיין בין ציון תקן 0 ל־1 – והאחוז נשאר אותו אחוז.
✅ פתרון סופי: לא ישתנה

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א12 ס"מ
סעיף בS ≈ 1.27
סעיף ג13.2 , 1.4
סעיף דלא ישתנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד א', שאלה 1

📄 נוסח השאלה

בבריכת "גלי גיל" מתאמנים לתחרות במשחה של "100 מטר חופשי". השיא שנקבע בעבר במשחה זה היה 51 שניות. קבוצה גדולה של שחיינים מתאמנת לקראת התחרות במשחה זה. זמני השחייה של השחיינים בקבוצה מתפלגים נורמלית עם ממוצע של 57 שניות וסטיית תקן של 2 שניות. בוחרים באקראי שחיין מן הקבוצה.

א. מהי ההסתברות שהשחיין שנבחר ישבור את השיא שנקבע בעבר (כלומר, ישחה בזמן קצר יותר מזמן השיא)?

בבריכה מתאמנות שתי קבוצות: קבוצה של 150 שחיינים שממוצע זמן המשחה שלהם הוא 57 שניות, וקבוצה של 150 שחיינים שממוצע זמן המשחה שלהם הוא 58 שניות.

ב. מהו הממוצע של זמן המשחה של כל 300 השחיינים?

נתון כי זמני המשחה של כל 300 השחיינים מתפלגים נורמלית, וכי זמן המשחה של 50 מבין 300 השחיינים הוא פחות מ־54 שניות.

ג. מהי סטיית התקן של זמני המשחה של כל 300 השחיינים?

בוחרים באקראי שחיין מבין כל 300 השחיינים.

ד. מהי ההסתברות שהשחיין שנבחר ישבור את השיא שנקבע בעבר?

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – שבירת השיא בקבוצה הגדולה

נחשב את ציון התקן של 51:
z = (51 − 57) : 2 = −6 : 2 = −3📐 ציון תקןz = x − x̄S
ציון התקן שלילי, אז מסתכלים בטבלה על 3. נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 3.0 ובעמודה 0.00 רשום 0.999.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 3.0 עמודה 0.00
בגלל שהגרף סימטרי, מתחת ל־−3 יש בדיוק מה שמעל 3 – עושים 1 פחות:
1 − 0.999 = 0.001
✅ פתרון סופי: 0.001

סעיף ב – הממוצע של 300 השחיינים

x̄ = 150 · 57 + 150 · 58300📐 ממוצע משוקללx̄ = סכום כל הזמניםמספר השחיינים
= 8550 + 8700300 = 17250300 = 57.5
✅ פתרון סופי: 57.5 שניות

סעיף ג – סטיית התקן

50300 = 16 ≈ 0.167 מהשחיינים מתחת ל־54.
54 מתחת לממוצע, אז ציון התקן שלו שלילי. בטבלה מחפשים את הצד השני: עושים 1 פחות – 1 − 0.167 = 0.833.
נחפש בתוך הטבלה את 0.833: הערך הקרוב ביותר הוא 0.834, בשורה 0.9 ובעמודה 0.07. כלומר ציון התקן הוא 0.97, ושל 54 הוא −0.97.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.9 עמודה 0.07
−0.97 = (54 − 57.5) : S = −3.5 : S📐 ציון תקןz = x − x̄S
S = 3.5 : 0.97 ≈ 3.61
✅ פתרון סופי: S ≈ 3.61 שניות

סעיף ד – שבירת השיא מבין 300

z = (51 − 57.5) : 3.61 = −6.5 : 3.61 ≈ −1.8📐 ציון תקןz = x − x̄S
בטבלה: בשורה 1.8 ובעמודה 0.00 רשום 0.964.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.8 עמודה 0.00
מתחת ל־−1.8 – עושים 1 פחות:
1 − 0.964 = 0.036
✅ פתרון סופי: 0.036

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א0.001
סעיף ב57.5 שניות
סעיף גS ≈ 3.61
סעיף ד0.036
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2023, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

במטע דובדבנים גדול בדקו כמה קילוגרם דובדבנים מניב כל עץ בשנה רגילה. המשקל הממוצע של הדובדבנים שמניב עץ במטע הוא 40 ק"ג. ההתפלגות של משקל הדובדבנים שמניב כל אחד מן העצים במטע היא נורמלית.

א. מהו החציון של משקל הדובדבנים שמניב עץ במטע?

נתון: אחוז העצים במטע שמניבים פחות מ־30 ק"ג דובדבנים בשנה הוא 18.1%.

ב. מהי סטיית התקן? בתשובתכם דייקו שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

במטע יש 300 עצי דובדבן. בעבור העצים במטע שמניבים יותר מ־55 ק"ג דובדבנים מתבצע סבב קטיף נוסף.

ג. בעבור כמה עצים במטע (בקירוב) מתבצע סבב קטיף נוסף?

ד. בשנה מסוימת ירד הממוצע של משקל הדובדבנים שהניבו העצים במטע ב־20% לעומת שנה רגילה, וסטיית התקן לא השתנתה. כמה עצים במטע (בקירוב) הניבו יותר מ־55 ק"ג דובדבנים בשנה זו?

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – החציון

בהתפלגות נורמלית הגרף סימטרי סביב הממוצע, ולכן החציון שווה לממוצע.📐 התפלגות נורמליתממוצע = חציון = שכיח
✅ פתרון סופי: 40 ק"ג

סעיף ב – סטיית התקן

18.1% מתחת ל־30, כלומר 30 מתחת לממוצע וציון התקן שלו שלילי. בטבלה יש רק ציונים חיוביים, אז מחפשים את הצד השני: עושים 1 פחות – 1 − 0.181 = 0.819.
נחפש בתוך הטבלה את 0.819: הוא נמצא בשורה 0.9 ובעמודה 0.01, כלומר ציון התקן הוא 0.91, ושל 30 הוא −0.91.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.9 עמודה 0.01
−0.91 = (30 − 40) : S = −10 : S📐 ציון תקןz = x − x̄S
S = 10 : 0.91 ≈ 10.99
✅ פתרון סופי: S ≈ 10.99 ק"ג

סעיף ג – סבב קטיף נוסף

נחשב את ציון התקן של 55:
z = (55 − 40) : 10.99 = 15 : 10.99 ≈ 1.36📐 ציון תקןz = x − x̄S
נסתכל בתוך הטבלה: בשורה 1.3 ובעמודה 0.06 רשום 0.913, כלומר 91.3% מהעצים מניבים פחות מ־55 ק"ג.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.3 עמודה 0.06
אנחנו רוצים "יותר מ־55" – עושים 1 פחות:
1 − 0.913 = 0.087
0.087 · 300 ≈ 26📐 מספר = הסתברות · סך הכולn = P · N
✅ פתרון סופי: כ־26 עצים

סעיף ד – שנה עם ממוצע נמוך

הממוצע החדש: 40 · 0.8 = 32 ק"ג, וסטיית התקן נשארת 10.99.
z = (55 − 32) : 10.99 = 23 : 10.99 ≈ 2.09📐 ציון תקןz = x − x̄S
בטבלה: בשורה 2.0 ובעמודה 0.09 רשום 0.982.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 2.0 עמודה 0.09
יותר מ־55 – עושים 1 פחות: 1 − 0.982 = 0.018.
0.018 · 300 ≈ 5.4
✅ פתרון סופי: כ־5 עצים

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א40
סעיף בS ≈ 10.99
סעיף גכ־26
סעיף דכ־5
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד א', שאלה 2

📄 נוסח השאלה

חברה להפצת תוכן דיגיטלי בדקה כמה זמן ביום אנשים מאזינים לפודקאסטים (הסכתים) באתר אינטרנט מסוים. על פי הבדיקה, 100,000 אנשים מאזינים לפודקאסטים באתר, וזמן ההאזנה שלהם ביום מתפלג נורמלית. התברר כי זמן ההאזנה הממוצע לאדם הוא 35.65 דקות, וסטיית התקן של זמן ההאזנה היא 15 דקות.

א. מהו אחוז האנשים שמאזינים לפודקאסטים פחות מ־10 דקות ביום?

ב. כמה אנשים מאזינים לפודקאסטים יותר משעה אחת (60 דקות) ביום?

אחרי שינוי בתוכני הפודקאסטים באתר, החברה בדקה שוב את משך זמן ההאזנה של אותם 100,000 אנשים, ומצאה שזמן ההאזנה הממוצע ביום לאדם גדל: הממוצע לאחר השינוי היה 42 דקות. עם זאת, אחוז האנשים שמאזינים לפודקאסטים באתר פחות מ־10 דקות נשאר ללא שינוי.

ג. (1) חשבו את סטיית התקן של זמן ההאזנה לאחר השינוי. (2) פי כמה גדל מספר האנשים שמאזינים לפודקאסטים יותר משעה אחת ביום – לאחר השינוי?

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – פחות מ־10 דקות

נחשב את ציון התקן של 10:
z = (10 − 35.65) : 15 = −25.65 : 15 = −1.71📐 ציון תקןz = x − x̄S
ציון התקן שלילי, אז מסתכלים בטבלה על 1.71. נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 1.7 ובעמודה 0.01 רשום 0.956.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.7 עמודה 0.01
0.956 זה השטח מתחת ל־1.71. בגלל שהגרף סימטרי, מתחת ל־−1.71 נמצא בדיוק מה שמעל 1.71 – עושים 1 פחות:
1 − 0.956 = 0.044
✅ פתרון סופי: 4.4%

סעיף ב – יותר משעה

ציון התקן של 60:
z = (60 − 35.65) : 15 = 24.35 : 15 ≈ 1.62📐 ציון תקןz = x − x̄S
בטבלה: בשורה 1.6 ובעמודה 0.02 רשום 0.947, כלומר 94.7% מאזינים פחות משעה.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.6 עמודה 0.02
אנחנו רוצים "יותר משעה" – עושים 1 פחות:
1 − 0.947 = 0.053
0.053 · 100000 = 5300📐 מספר = הסתברות · סך הכולn = P · N
✅ פתרון סופי: 5,300 אנשים

סעיף ג – אחרי השינוי

(1) האחוז מתחת ל־10 לא השתנה, לכן ציון התקן של 10 נשאר −1.71:
−1.71 = (10 − 42) : S = −32 : S📐 ציון תקןz = x − x̄S
S = 32 : 1.71 ≈ 18.71
(2) ציון התקן של 60 אחרי השינוי:
z = (60 − 42) : 18.71 = 18 : 18.71 ≈ 0.96
בטבלה: בשורה 0.9 ובעמודה 0.06 רשום 0.831.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.9 עמודה 0.06
יותר משעה – עושים 1 פחות: 1 − 0.831 = 0.169, כלומר 0.169 · 100000 = 16900 אנשים.
16900 : 5300 ≈ 3.2
✅ פתרון סופי: (1) S ≈ 18.71   (2) פי 3.2 בערך

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א4.4%
סעיף ב5,300
סעיף גS ≈ 18.71 ; פי 3.2
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022 (פברואר, נבצרים), שאלה 2

📄 נוסח השאלה

בשירות הטלפוני של חברת הביטוח "אלון" זמן ההמתנה של אדם למענה אנושי מתפלג נורמלית. זמן ההמתנה הממוצע של אדם למענה אנושי הוא 1.8 דקות. ידוע כי 30.8% מהאנשים שפונים לשירות הטלפוני של החברה ממתינים למענה אנושי מעל 2 דקות.

א. מהו החציון של זמן ההמתנה?

ב. חשב את סטיית התקן של זמן ההמתנה למענה אנושי.

ג. (1) מהו אחוז האנשים שממתינים למענה אנושי פחות מדקה אחת? (2) מהו אחוז האנשים שזמן ההמתנה שלהם למענה אנושי הוא בין הממוצע לבין סטיית תקן אחת מעל הממוצע?

בעקבות פניות של לקוחות החברה נעשו שינויים בשירות המענה האנושי, ובעקבותיהם זמן ההמתנה הממוצע למענה אנושי ירד ל־1.2 דקות, אך סטיית התקן נשארה ללא שינוי. לאחר השינוי בשירות נבדק אחוז האנשים שזמן ההמתנה שלהם למענה אנושי הוא בין הממוצע לבין סטיית תקן אחת מעל הממוצע.

ד. האם האחוז שנבדק השתנה לעומת האחוז שהיה לפני השינוי בשירות? נמק.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – החציון

בהתפלגות נורמלית החציון שווה לממוצע.📐 חציון בהתפלגות נורמליתבדיוק חצי מהערכים מתחת לממוצע
✅ פתרון סופי: 1.8 דקות

סעיף ב – סטיית התקן

30.8% ממתינים יותר מ־2 דקות, אז עושים 1 פחות: 1 − 0.308 = 0.692 ממתינים פחות מ־2 דקות.
נחפש בתוך הטבלה את הערך 0.692: הערך הכי קרוב אליו הוא 0.691, בשורה 0.5 ובעמודה 0.00, כלומר z = 0.5. זה ציון התקן של 2 דקות.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.5 עמודה 0.00
0.5 = 2 − 1.8S = 0.2S📐 ציון תקןz = x − x̄S
S = 0.20.5 = 0.4
✅ פתרון סופי: S = 0.4 דקות

סעיף ג (1) – פחות מדקה

z = 1 − 1.80.4 = −0.80.4 = −2📐 ציון תקןz = x − x̄S
ציון התקן שלילי. בטבלה יש רק ציוני תקן חיוביים, אז נסתכל על 2:
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 2.0 ובעמודה 0.00 רשום 0.977. כלומר 0.977 מהשטח נמצא משמאל לציון תקן 2.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 2.0 עמודה 0.00
בגלל הסימטריה של העקומה, מתחת ל־2 סטיות תקן מתחת לממוצע נמצא אותו חלק כמו מעל 2 סטיות תקן מעליו – עושים 1 פחות:
1 − 0.977 = 0.023 – כ־2.3% (בטבלה מפורטת יותר: 0.9772, כלומר 2.28%).
✅ פתרון סופי: 2.28%

סעיף ג (2) – בין הממוצע לסטיית תקן מעליו

"בין הממוצע לסטיית תקן אחת מעליו" זה בין ציון תקן 0 לציון תקן 1.
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 1.0 ובעמודה 0.00 רשום 0.841. מתחת לממוצע נמצאים בדיוק 0.5, אז מחסרים: 0.841 − 0.5 = 0.341 – כ־34.1% (בטבלה מפורטת יותר: 34.13%).
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.0 עמודה 0.00
✅ פתרון סופי: 34.13%

סעיף ד – האם האחוז השתנה

גם אחרי השינוי התחום "בין הממוצע לסטיית תקן אחת מעליו" הוא בין ציון תקן 0 לציון תקן 1, וההתפלגות עדיין נורמלית. לכן האחוז נשאר 34.13%.
✅ פתרון סופי: לא השתנה

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א1.8
סעיף ב0.4
סעיף ג (1)2.28%
סעיף ג (2)34.13%
סעיף דלא השתנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 (פברואר, נבצרים)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022 (ינואר), שאלה 2

📄 נוסח השאלה

בבית ספר מסוים נערכו שני מבחני מתכונת במתמטיקה. הציונים בכל אחד ממבחני המתכונת מתפלגים נורמלית. במתכונת הראשונה היה הציון הממוצע 65.05, וסטיית התקן של הציונים הייתה 15. הציון שקיבלה שירה במתכונת הראשונה היה 70.

א. מהו אחוז התלמידים שקיבלו ציון נמוך מן הציון שקיבלה שירה במתכונת הראשונה?

הציון שקיבלה שירה במתכונת השנייה היה 78. אחוז התלמידים שקיבלו ציון נמוך מן הציון שקיבלה שירה במתכונת השנייה זהה לאחוז התלמידים שקיבלו ציון נמוך מן הציון שלה במתכונת הראשונה. סטיית התקן של הציונים במתכונת השנייה הייתה 10.

ב. (1) חשב את הציון הממוצע במתכונת השנייה. (2) מהו החציון של הציונים במתכונת השנייה? נמק.

אריאל קיבל ציון זהה בשתי המתכונות. ידוע כי במתכונת הראשונה קיבלו 29.8% מן התלמידים ציון גבוה ממנו.

ג. (1) מהו הציון שקיבל אריאל בשתי המתכונות? (2) באיזו משתי המתכונות הצליח אריאל יותר יחסית לכל התלמידים שנבחנו? נמק את תשובתך.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – מתחת לציון של שירה

נחשב את ציון התקן של 70:
z = (70 − 65.05) : 15 = 4.95 : 15 = 0.33📐 ציון תקןz = x − x̄S
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 0.3 ובעמודה 0.03 רשום 0.629.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.3 עמודה 0.03
כלומר 62.9% מהתלמידים קיבלו ציון נמוך משל שירה.
✅ פתרון סופי: 62.9%

סעיף ב – הממוצע והחציון במתכונת השנייה

(1) אותו אחוז מתחת לציון ← אותו ציון תקן, z = 0.33. נסמן את הממוצע x̄:
0.33 = (78 − x̄) : 10📐 ציון תקןz = x − x̄S
3.3 = 78 − x̄ ⟸ x̄ = 74.7
(2) בהתפלגות נורמלית הגרף סימטרי סביב הממוצע, ולכן החציון שווה לממוצע.📐 התפלגות נורמליתממוצע = חציון
✅ פתרון סופי: (1) 74.7   (2) 74.7

סעיף ג – הציון של אריאל

(1) 29.8% קיבלו יותר ממנו, לכן מתחתיו: עושים 1 פחות: 1 − 0.298 = 0.702.
נחפש בתוך הטבלה את 0.702: הוא נמצא בשורה 0.5 ובעמודה 0.03, כלומר z = 0.53.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.5 עמודה 0.03
0.53 = (x − 65.05) : 15📐 ציון תקןz = x − x̄S
7.95 = x − 65.05 ⟸ x = 73
(2) ציון התקן של 73 במתכונת השנייה:
z = (73 − 74.7) : 10 = −0.17
במתכונת הראשונה הציון שלו מעל הממוצע (z = 0.53), ובשנייה מתחת לממוצע (z = −0.17). ציון תקן גבוה יותר = הצלחה יחסית גבוהה יותר.
✅ פתרון סופי: (1) 73   (2) במתכונת הראשונה

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א62.9%
סעיף ב74.7 ; 74.7
סעיף ג73 ; הראשונה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 (ינואר)⬆️ חזרה לכפתורים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.

השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות