בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (35471) · שאלות לפי נושא

שאלות בגרות 471 לפי נושא – הסתברות

שאלות הסתברות מבגרויות 471 ומבגרויות ישנות, עם פתרון מלא שלב אחר שלב: קודם שאלות בטבלה דו־ממדית, ובהמשך העמוד שאלות בעץ הסתברות.

⬅️ חזרה לקורס: הסתברות – 471

📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 471 לפי נושא

33 שאלות פתורות: 17 משאלון 471 ו־16 מבגרויות ישנות. בהתחלה 10 שאלות בטבלה דו־ממדית, ובהמשך העמוד 23 שאלות בעץ הסתברות. לוחצים על מועד ועוברים ישר לשאלה.

📊 טבלה דו־ממדית10 שאלות

📅 חורף 2026, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

ביישוב מסוים מעודדים משפחות למחזר בקבוקי זכוכית, אריזות פלסטיק ועוד. ביישוב זה מעודדים משפחות גם להתנדב במוסדות היישוב. בסקר שנערך בקרב כל המשפחות ביישוב, נמצא כי חלק מן המשפחות ממחזרות, ושאר המשפחות אינן ממחזרות. כמו כן חלק מן המשפחות ביישוב מתנדבות, והשאר אינן מתנדבות.

בוחרים באקראי משפחה מן היישוב. ההסתברות שמשפחה זו ממחזרת גדולה ב־0.44 מן ההסתברות שמשפחה זו אינה ממחזרת. 59 מן המשפחות שממחזרות הן משפחות מתנדבות.

א. (1) מצאו את אחוז המשפחות ביישוב שממחזרות. (2) מצאו את אחוז המשפחות ביישוב שממחזרות וגם מתנדבות.

מספר המשפחות ביישוב שממחזרות וגם מתנדבות גדול פי 5 ממספר המשפחות ביישוב שאינן ממחזרות וגם אינן מתנדבות.

ב. בוחרים באקראי משפחה מן היישוב. מהי ההסתברות שמשפחה זו מתנדבת?

ג. בוחרים באקראי משפחה מן היישוב שמתנדבת. מהי ההסתברות שמשפחה זו אינה ממחזרת?

ביישוב זה יש 750 משפחות.

ד. מצאו כמה משפחות ביישוב ממחזרות או מתנדבות.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א (1) – אחוז המשפחות שממחזרות

נסמן: A – המשפחה ממחזרת, B – המשפחה מתנדבת. נסמן P(A) = p.
P(A) = 1 − p📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(A)
ההסתברות לממחזרת גדולה ב־0.44 מההסתברות ללא ממחזרת:
p = (1 − p) + 0.44
מעבירים אגפים:
p + p = 1 + 0.44
2p = 1.44
p = 1.442 = 0.72
✅ פתרון סופי: 72%

סעיף א (2) – ממחזרות וגם מתנדבות

59 מהממחזרות מתנדבות – זו הסתברות מותנית: P(B | A) = 59.
P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)📐 כפל הסתברויותP(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
= 0.72 · 59 = 3.69 = 0.4
✅ פתרון סופי: 40%

סעיף ב – ההסתברות שמשפחה מתנדבת

מספר המשפחות שממחזרות וגם מתנדבות גדול פי 5 ממספר אלה שלא ממחזרות וגם לא מתנדבות:
P(A ∩ B) = P(A ∩ B)5 = 0.45 = 0.08
מי שלא ממחזרות: P(A) = 1 − 0.72 = 0.28. מתוכן חלק מתנדבות וחלק לא:
P(A ∩ B) = P(A) − P(A ∩ B)📐 פירוק לפי טבלהP(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B)
= 0.28 − 0.08 = 0.2
ממלאים טבלה דו־ממדית:
ממחזרת Aלא ממחזרת Aסה"כ
מתנדבת B0.40.20.6
לא מתנדבת B0.320.080.4
סה"כ0.720.281
ההסתברות שמשפחה מתנדבת היא סכום השורה הראשונה:
P(B) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B) = 0.4 + 0.2 = 0.6
✅ פתרון סופי: P(B) = 0.6

סעיף ג – מתנדבת שאינה ממחזרת

יודעים שהמשפחה מתנדבת, ולכן זו הסתברות מותנית:
P(A | B) = P(A ∩ B)P(B)📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= 0.20.6 = 13 ≈ 0.333
✅ פתרון סופי: 13

סעיף ד – כמה משפחות ממחזרות או מתנדבות

"ממחזרות או מתנדבות" – לפחות אחד מהשניים:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)📐 חיבור הסתברויותP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
= 0.72 + 0.6 − 0.4 = 0.92
בדיקה: 1 − P(A ∩ B) = 1 − 0.08 = 0.92 ✓
ביישוב 750 משפחות:
0.92 · 750 = 690
✅ פתרון סופי: 690 משפחות

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א (1)72%
סעיף א (2)40%
סעיף ב0.6
סעיף ג13
סעיף ד690 משפחות
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד א', שאלה 3

📄 נוסח השאלה

חלק מן התלמידים בשכבת י"א בבית ספר מסוים הם בנים והשאר הן בנות. חלק מן התלמידים בשכבה מתנדבים והשאר אינם מתנדבים. 75% מתלמידי השכבה מתנדבים.

35 מן התלמידים שמתנדבים הם בנות. נתון כי מספר הבנות שמתנדבות גדול פי 3 ממספר הבנות שאינן מתנדבות.

א. מהי ההסתברות לבחור באקראי מן השכבה בת שמתנדבת?

ב. מצאו את אחוז הבנים בשכבה.

בוחרים באקראי תלמיד מן השכבה.

ג. ידוע שהתלמיד שנבחר הוא בן. מהי ההסתברות שהוא מתנדב?

בכתבה שהכינה דנה לעיתון השכבה היא כתבה: "אחוז המתנדבות מבין הבנות בשכבה גדול מאחוז המתנדבים מבין הבנים בשכבה".

ד. האם המשפט שכתבה דנה נכון? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – בת שמתנדבת

נסמן: G – בת, G – בן, V – מתנדב/ת. נתון P(V) = 0.75, ו־35 מהמתנדבים הן בנות: P(G | V) = 35.
P(G ∩ V) = P(V) · P(G | V)📐 כפל הסתברויותP(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
= 0.75 · 35 = 0.45
✅ פתרון סופי: 0.45

סעיף ב – אחוז הבנים

הבנות המתנדבות הן פי 3 מהבנות שלא מתנדבות:
P(G ∩ V) = P(G ∩ V)3 = 0.453 = 0.15
P(G) = P(G ∩ V) + P(G ∩ V) = 0.45 + 0.15 = 0.6📐 פירוק לפי טבלהP(G) = P(G ∩ V) + P(G ∩ V)
P(G) = 1 − 0.6 = 0.4📐 מאורע משליםP(G) = 1 − P(G)
ממלאים טבלה דו־ממדית:
בת Gבן Gסה"כ
מתנדב/ת V0.450.30.75
לא מתנדב/ת V0.150.10.25
סה"כ0.60.41
✅ פתרון סופי: 40%

סעיף ג – בן שמתנדב

מהטבלה: בנים מתנדבים P(G ∩ V) = 0.75 − 0.45 = 0.3
P(V | G) = P(G ∩ V)P(G)📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= 0.30.4 = 0.75
✅ פתרון סופי: 0.75

סעיף ד – האם דנה צודקת

אחוז המתנדבות מבין הבנות:
P(V | G) = P(G ∩ V)P(G) = 0.450.6 = 0.75📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
אחוז המתנדבים מבין הבנים (סעיף ג): 0.75.
שני האחוזים שווים – 75% בשני המקרים.
✅ פתרון סופי: לא נכון – האחוזים שווים (75% ו־75%)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א0.45
סעיף ב40%
סעיף ג0.75
סעיף דלא נכון – 75% = 75%
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2025, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בשכבת י"א בבית ספר מסוים לומדים בנים ובנות. לחלקם יש רישיון נהיגה ולשאר אין. 25% מתלמידי השכבה הם בנים שאין להם רישיון נהיגה. ל־13 מן הבנים בשכבה יש רישיון נהיגה.

א. מצאו את אחוז הבנים בשכבה.

ההסתברות לבחור באקראי מן השכבה בן שיש לו רישיון נהיגה שווה להסתברות לבחור באקראי מן השכבה בת שיש לה רישיון נהיגה.

ב. ידוע שנבחר באקראי תלמיד (בן או בת) מן השכבה שאין לו רישיון נהיגה. מהי ההסתברות שהתלמיד שנבחר הוא בן?

בשכבה זו יש 69 בנים.

ג. מצאו כמה תלמידים יש בשכבה סך הכול.

לשכבה הצטרפו 26 תלמידים חדשים (בנים ובנות). בוחרים באקראי שני תלמידים מן השכבה בזה אחר זה (הוצאה ללא החזרה). ההסתברות ששני התלמידים שנבחרו הם בנים היא 215.

ד. מצאו כמה בנים הצטרפו לשכבה.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – אחוז הבנים

נסמן ב־p את ההסתברות שתלמיד הוא בן. ל־13 מהבנים יש רישיון, ולכן ל־23 מהבנים אין רישיון.
23 · p = 0.25📐 כלל הכפלP(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
כופלים ב־32:
p = 0.25 · 32 = 0.375
✅ פתרון סופי: 37.5% בנים

סעיף ב – בן, בידיעה שאין לו רישיון

בן עם רישיון: 13 · 0.375 = 0.125. נתון שגם בת עם רישיון היא 0.125.
בנות: 1 − 0.375 = 0.625. בת בלי רישיון: 0.625 − 0.125 = 0.5.
מסדרים בטבלה דו־ממדית:
רישיוןאין רישיוןסך הכול
בנים0.1250.250.375
בנות0.1250.50.625
סך הכול0.250.751
אין רישיון בכלל: 0.25 + 0.5 = 0.75
בן, בידיעה שאין רישיון: P = 0.250.75 = 13📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 13

סעיף ג – כמה תלמידים בשכבה

69 הבנים הם 37.5% מהשכבה. נסמן ב־N את מספר התלמידים:
0.375 · N = 69📐 מספר = הסתברות · סך הכולn = P · N
N = 690.375 = 184
✅ פתרון סופי: 184 תלמידים

סעיף ד – כמה בנים הצטרפו

אחרי ההצטרפות יש 184 + 26 = 210 תלמידים. נסמן ב־k את מספר הבנים שהצטרפו, כלומר יש עכשיו 69 + k בנים.
69 + k210 · 68 + k209 = 215📐 ללא החזרהP(A , B) = P(A) · P(B | A)
כופלים את שני האגפים ב־210 · 209:
(69 + k)(68 + k) = 2 · 210 · 20915 = 5852
נסמן n = 69 + k (מספר הבנים החדש). אז 68 + k = n − 1:
n(n − 1) = 5852
n² − n − 5852 = 0
n = 1 ± √1 + 4 · 58522 = 1 ± √234092 = 1 ± 1532📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b² − 4ac2a
n = 77  או  n = −76 (נפסל – מספר בנים לא שלילי)
k = 77 − 69 = 8
בדיקה: 77210 · 76209 = 585243890 = 215 ✓
✅ פתרון סופי: 8 בנים

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א37.5%
סעיף ב13
סעיף ג184 תלמידים
סעיף ד8 בנים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד א', שאלה 3

📄 נוסח השאלה

במתחם דירות יש שני סוגי דירות – דירות הפונות לכיוון הפארק ודירות הפונות לכיוון הכביש. ההסתברות שדירה במתחם פונה לכיוון הפארק היא 34. חלק מן הדירות במתחם משופצות, והשאר אינן משופצות. מספר הדירות המשופצות גדול פי 4 ממספר הדירות שאינן משופצות. 28% מן הדירות הפונות לכיוון הכביש הן דירות משופצות.

א. בוחרים באקראי דירה מבין כל הדירות במתחם. (1) מהי ההסתברות לבחור דירה משופצת? (2) מהי ההסתברות לבחור דירה שגם פונה לכיוון הכביש וגם משופצת?

ב. בוחרים באקראי דירה מבין הדירות שאינן משופצות. מהי ההסתברות שדירה זו פונה לכיוון הכביש?

35 דירות במתחם גם פונות לכיוון הכביש וגם משופצות.

ג. מצאו כמה דירות במתחם גם פונות לכיוון הפארק וגם משופצות.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א (1) – דירה משופצת

נסמן: R – משופצת, K – פונה לכביש, K – פונה לפארק. נסמן P(R) = p.
משופצות פי 4 מלא משופצות:
p = 4(1 − p) → p = 4 − 4p → 5p = 4 → p = 0.8📐 מאורע משליםP(R) = 1 − P(R)
✅ פתרון סופי: 0.8

סעיף א (2) – כביש וגם משופצת

P(K) = 1 − 34 = 0.25, ו־28% מדירות הכביש משופצות: P(R | K) = 0.28.
P(K ∩ R) = P(K) · P(R | K) = 0.25 · 0.28 = 0.07📐 כפל הסתברויותP(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
✅ פתרון סופי: 0.07

סעיף ב – לא משופצת, פונה לכביש

P(K ∩ R) = P(K) − P(K ∩ R) = 0.25 − 0.07 = 0.18
P(R) = 1 − 0.8 = 0.2
כביש Kפארק Kסה"כ
משופצת R0.070.730.8
לא משופצת R0.180.020.2
סה"כ0.250.751
P(K | R) = P(K ∩ R)P(R) = 0.180.2 = 0.9📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 0.9

סעיף ג – פארק וגם משופצת

35 דירות הן 7% מכל הדירות. נסמן את מספר הדירות ב־N:
0.07 · N = 35 → N = 350.07 = 500📐 חלק מתוך הכללמספר = N · אחוז
P(K ∩ R) = 0.8 − 0.07 = 0.73
0.73 · 500 = 365
✅ פתרון סופי: 365 דירות

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א (1)0.8
סעיף א (2)0.07
סעיף ב0.9
סעיף ג365 דירות
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022 (פברואר, נבצרים), שאלה 1

📄 נוסח השאלה

בסקר שנערך בין בני נוער בארץ בנושא "נוער בזמן הקורונה: עיסוקים מרכזיים" השתתפו 800 בנים ו־1,200 בנות. אחת השאלות בסקר התייחסה להקדשת הזמן ללימודים (שיעורים בזום, הכנת מטלות ושיעורי בית). על פי הסקר התברר כי 75% מהבנים ו־80% מהבנות הקדישו זמן ללימודים בתקופת משבר הקורונה. נבחר באופן אקראי משתתף בסקר.

א. מהי ההסתברות שנבחר בן שהקדיש זמן ללימודים?

ב. מהי ההסתברות שנבחר משתתף (בן או בת) שלא הקדיש זמן ללימודים?

ג. ידוע שנבחר משתתף שלא הקדיש זמן ללימודים. מהי ההסתברות שנבחר בן?

בכתבה בעיתון על הסקר נכתב כי מקרב בני הנוער שלא הקדישו זמן ללימודים, אחוז הבנים היה גבוה מזה של הבנות.

ד. האם על פי הסקר האמירה בכתבה נכונה? נמק.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – בן שהקדיש זמן

מחשבים מספרים: 0.75 · 800 = 600 בנים הקדישו זמן, 0.8 · 1,200 = 960 בנות.
הקדישו זמןלא הקדישוסה"כ
בנים600200800
בנות9602401,200
סה"כ1,5604402,000
P = 6002,000 = 0.3📐 הסתברותP = מספר המקרים הרצוייםמספר כל המקרים
✅ פתרון סופי: 0.3

סעיף ב – לא הקדיש זמן

P = 200 + 2402,000 = 4402,000 = 0.22
✅ פתרון סופי: 0.22

סעיף ג – בן, בידיעה שלא הקדיש זמן

P = 200440 = 511 ≈ 0.455📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 511 ≈ 0.455

סעיף ד – האם האמירה נכונה

מקרב 440 שלא הקדישו זמן: בנים 200440 ≈ 45.5%, בנות 240440 ≈ 54.5%.
אחוז הבנים נמוך מאחוז הבנות, ולכן האמירה לא נכונה.
✅ פתרון סופי: לא נכונה

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א0.3
סעיף ב0.22
סעיף ג511
סעיף דלא נכונה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 (פברואר, נבצרים)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2023 מועד א', שאלה 3

📄 נוסח השאלה

חלק מן התושבים בכפר מסוים בסין הם צמחונים וכל השאר טבעונים.

ההסתברות שתושב בכפר הוא צמחוני גדולה ב־0.4 מן ההסתברות שתושב הוא טבעוני.

75% מתושבי הכפר אוכלים באמצעות מקלות אכילה בלבד, והשאר אוכלים רק באמצעות סכין ומזלג.

60% מתושבי הכפר שאוכלים באמצעות סכין ומזלג הם צמחונים.

בוחרים באקראי תושב מן הכפר.

א. מהי ההסתברות שהתושב שנבחר הוא צמחוני שאוכל באמצעות מקלות אכילה?

ב. (1) מהי ההסתברות שהתושב שנבחר הוא צמחוני או שהוא אוכל באמצעות מקלות אכילה?
(2) ידוע שהתושב שנבחר הוא צמחוני או שהוא אוכל באמצעות מקלות אכילה. מהי ההסתברות שהתושב הוא צמחוני שאוכל באמצעות מקלות אכילה?

נתון שבכפר חיים 60 תושבים סך הכול.

ג. בוחרים באקראי, בזה אחר זה (ללא החזרה), שני תושבים שחיים בכפר. מהי ההסתברות ששני התושבים שנבחרו הם צמחונים שאוכלים באמצעות מקלות אכילה? בתשובתכם דייקו 3 ספרות אחרי הנקודה העשרונית או רשמו כשבר פשוט.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – צמחוני שאוכל במקלות

נסמן: V – צמחוני, T – טבעוני, M – אוכל במקלות אכילה, K – אוכל בסכין ומזלג.
נסמן P(T) = p. ההסתברות לצמחוני גדולה ב־0.4, ולכן P(V) = p + 0.4.
כל תושב הוא צמחוני או טבעוני, ולכן:
p + (p + 0.4) = 1📐 סכום הסתברויותסכום ההסתברויות של כל האפשרויות הוא 1
2p + 0.4 = 1
2p = 0.6
p = 0.3
P(T) = 0.3 P(V) = 0.3 + 0.4 = 0.7
75% אוכלים במקלות, ולכן בסכין ומזלג:
P(K) = 1 − 0.75 = 0.25📐 משליםP(Ā) = 1 − P(A)
60% מאלה שאוכלים בסכין ומזלג הם צמחונים (שני שלבים: קודם סכין ומזלג, אחר כך צמחוני):
P(K ∩ V) = 0.25 · 0.6 = 0.15📐 הסתברות של שני שלביםP(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
הצמחונים מתחלקים לאוכלים במקלות ולאוכלים בסכין ומזלג:
P(V) = P(V ∩ M) + P(V ∩ K)📐 פירוק לפי שתי אפשרויותP(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B̄)
0.7 = P(V ∩ M) + 0.15
P(V ∩ M) = 0.7 − 0.15 = 0.55
נסכם הכול בטבלה דו־ממדית (ההשלמות בכל שורה ובכל עמודה):
מקלות Mסכין ומזלג Kסך הכול
צמחוני V0.550.150.7
טבעוני T0.20.10.3
סך הכול0.750.251
P(T ∩ M) = 0.75 − 0.55 = 0.2
P(T ∩ K) = 0.25 − 0.15 = 0.1
✅ פתרון סופי: P(V ∩ M) = 0.55

סעיף ב (1) – צמחוני או אוכל במקלות

"צמחוני או אוכל במקלות" – מספיק שאחד מהשניים מתקיים (או שניהם):
P(V ∪ M) = P(V) + P(M) − P(V ∩ M)📐 הסתברות של איחודP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
= 0.7 + 0.75 − 0.55 = 1.45 − 0.55 = 0.9
בדיקה מהטבלה: התושב היחיד שלא מתאים הוא טבעוני שאוכל בסכין ומזלג, ו־1 − 0.1 = 0.9 ✔️
✅ פתרון סופי: 0.9

סעיף ב (2) – הסתברות מותנית

זו הסתברות מותנית: ידוע ש־V ∪ M התקיים. מחפשים:
P(V ∩ M | V ∪ M)
מי שהוא צמחוני ואוכל במקלות נמצא בוודאי בקבוצה "צמחוני או אוכל במקלות", ולכן החיתוך של שני המאורעות הוא פשוט V ∩ M:
P(V ∩ M | V ∪ M) = P(V ∩ M)P(V ∪ M)📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= 0.550.9 = 5590 = 1118 ≈ 0.611
✅ פתרון סופי: 1118 ≈ 0.611

סעיף ג – שני תושבים ללא החזרה

מספר הצמחונים שאוכלים במקלות מתוך 60 התושבים:
0.55 · 60 = 33
בחירה ראשונה: 33 מתאימים מתוך 60. בחירה שנייה (ללא החזרה): נשארו 32 מתאימים מתוך 59:
P = 3360 · 3259📐 הסתברות של שני שלביםP(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
= 10563540 = 88295 ≈ 0.298
✅ פתרון סופי: 88295 ≈ 0.298

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א0.55
סעיף ב (1)0.9
סעיף ב (2)1118 ≈ 0.611
סעיף ג88295 ≈ 0.298
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2023 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.
⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2022 מועד ב', שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בבית מחסה לבעלי חיים מטפלים בכלבים ובחתולים בלבד.

40% מבעלי החיים בבית המחסה הם חתולים, והשאר הם כלבים.

מחצית מבעלי החיים בבית המחסה הם בוגרים, והשאר הם צעירים.

מספר הכלבים הצעירים בבית המחסה גדול פי 2 ממספר הכלבים הבוגרים שם.

א. בוחרים באקראי בעל חיים מבין כל בעלי החיים בבית המחסה. מהי ההסתברות שייבחר כלב בוגר?

ב. בוחרים באקראי חתול מבין כל החתולים בבית המחסה. מהי ההסתברות שייבחר חתול בוגר?

נתון כי בבית המחסה יש 14 כלבים בוגרים.

ג. כמה חתולים יש בבית המחסה?

משפחת לוי החליטה לאמץ שני חתולים מבית המחסה. היא בחרה באקראי, זה אחר זה (ללא החזרה), בשני חתולים מבין כל החתולים שבבית המחסה.

ד. מהי ההסתברות ששני החתולים שבחרה משפחת לוי הם בוגרים? בתשובתכם דייקו 3 ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – כלב בוגר

(נסמן: K – כלב, H – חתול, B – בוגר, Y – צעיר.) נבנה טבלה דו־ממדית של הסתברויות.
40% חתולים, ולכן הכלבים:
P(K) = 1 − 0.4 = 0.6📐 משליםP(Ā) = 1 − P(A)
מחצית בוגרים: P(B) = 0.5 , P(Y) = 0.5
נסמן ב־p את ההסתברות לכלב בוגר. הכלבים הצעירים פי 2, כלומר 2p. יחד הם כל הכלבים:
p + 2p = 0.6📐 חלק מכמותשורה בטבלה: P(K ∩ B) + P(K ∩ Y) = P(K)
3p = 0.6
מחלקים ב־3:
p = 0.2
משלימים את הטבלה (כלב צעיר 0.4, חתול בוגר 0.5 − 0.2 = 0.3, חתול צעיר 0.4 − 0.3 = 0.1):
כלב Kחתול Hסה"כ
בוגר B0.20.30.5
צעיר Y0.40.10.5
סה"כ0.60.41
✅ פתרון סופי: P(K ∩ B) = 0.2

סעיף ב – חתול בוגר מבין החתולים

בוחרים רק מבין החתולים – הסתברות מותנית:
P(B | H) = P(H ∩ B)P(H)📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= 0.30.4 = 34 = 0.75
✅ פתרון סופי: 34 = 0.75

סעיף ג – מספר החתולים

כלבים בוגרים הם 0.2 מכל בעלי החיים. נסמן ב־N את מספר בעלי החיים:
0.2 · N = 14📐 חלק מכמותחלק · כמות = מספר הפריטים
N = 140.2 = 70
החתולים הם 40% מהם:
0.4 · 70 = 28
✅ פתרון סופי: בבית המחסה יש 28 חתולים

סעיף ד – שני חתולים בוגרים

החתולים הבוגרים הם 34 מהחתולים (סעיף ב):
34 · 28 = 21 חתולים בוגרים
בחירה ללא החזרה: בבחירה הראשונה 21 בוגרים מתוך 28, ובשנייה נשארו 20 בוגרים מתוך 27:
P = 2128 · 2027📐 הסתברות של שני שלביםP(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
= 420756 = 59 ≈ 0.556
✅ פתרון סופי: 59 ≈ 0.556

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א0.2
סעיף ב0.75
סעיף ג28 חתולים
סעיף ד≈ 0.556
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2022 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.
⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – חורף 2022 (מועד נבצרים), שאלה 3

📄 נוסח השאלה

מועמדים לבית ספר מסוים נדרשו להיבחן בשתי בחינות: בחינה במתמטיקה ובחינה באנגלית.

80% מן המועמדים עברו את הבחינה במתמטיקה.

60% מן המועמדים עברו את הבחינה באנגלית.

40% מן המועמדים עברו רק אחת משתי הבחינות.

בוחרים באקראי מועמד אחד מבין המועמדים שנבחנו. נסמן ב־p את ההסתברות שהמועמד שנבחר עבר את הבחינה במתמטיקה ולא עבר את הבחינה באנגלית.

א. מצא את p.

ב. אם ידוע שהמועמד הזה עבר רק בחינה אחת, מהי ההסתברות שהוא עבר רק את הבחינה במתמטיקה ולא עבר את הבחינה באנגלית?

ידוע שהיו 200 מועמדים סך הכול.

ג. (1) כמה מבין המועמדים עברו את שתי הבחינות? (2) מבין כל המועמדים בחרו באקראי בזה אחר זה שני מועמדים (ללא החזרה). מהי ההסתברות ששניהם עברו את שתי הבחינות? בתשובתך דייק 3 ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – מציאת p

נסמן: M – עבר מתמטיקה, E – עבר אנגלית. נבנה טבלה דו־ממדית, ונסמן ב־x את ההסתברות שעבר את שתי הבחינות:
P(M ∩ E) = x📐 טבלה דו־ממדיתסכום כל שורה וכל עמודה שווה לסך הכול שלה
E עבר אנגליתĒ לא עברסך הכול
M עבר מתמטיקהx0.8 − x0.8
M̄ לא עבר0.6 − x0.2
סך הכול0.60.41
בשורה של M: עבר מתמטיקה ולא אנגלית:
P(M ∩ Ē) = 0.8 − x
בעמודה של E: עבר אנגלית ולא מתמטיקה:
P(M̄ ∩ E) = 0.6 − x
"עבר רק בחינה אחת" – אחת משתי המשבצות האלה, והסכום הוא 0.4:
(0.8 − x) + (0.6 − x) = 0.4📐 חיבור מאורעות זריםP(A ∪ B) = P(A) + P(B)
1.4 − 2x = 0.4
−2x = −1
x = 0.5
ולכן:
p = P(M ∩ Ē) = 0.8 − 0.5 = 0.3
הטבלה המלאה:
EĒסך הכול
M0.50.30.8
M̄0.10.10.2
סך הכול0.60.41
✅ פתרון סופי: p = 0.3

סעיף ב – רק מתמטיקה, בידיעה שעבר רק בחינה אחת

זו הסתברות מותנית. נסמן: B – עבר רק בחינה אחת, P(B) = 0.4. "רק מתמטיקה" כלול ב־B:
P(M ∩ Ē | B) = P(M ∩ Ē)P(B)📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= 0.30.4 = 34 = 0.75
✅ פתרון סופי: 34 = 0.75

סעיף ג (1) – כמה עברו את שתי הבחינות

ההסתברות לעבור את שתי הבחינות היא 0.5 (מ־א). מכפילים במספר המועמדים:
200 · 0.5 = 100📐 מספר לפי הסתברותמספר = הסתברות · סך הכול
✅ פתרון סופי: 100 מועמדים

סעיף ג (2) – שני מועמדים, שניהם עברו את שתי הבחינות

בבחירה הראשונה: 100 מתוך 200. ללא החזרה – בבחירה השנייה נשארו 99 מתוך 199:
P = 100200 · 99199📐 הסתברות של שני שלביםP(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
= 990039800
≈ 0.2487
≈ 0.249
✅ פתרון סופי: ≈ 0.249

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אp = 0.3
סעיף ב34 = 0.75
סעיף ג (1)100
סעיף ג (2)≈ 0.249
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, חורף 2022 (מועד נבצרים)). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.
⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2021 מועד ב', שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בעיר מסוימת נערך סקר כדי לבדוק את מספר התושבים בעיר שרוכבים על אופניים.

המשתתפים בסקר חולקו לשתי קבוצות: מבוגרים וצעירים.

נסמן ב־x את ההסתברות לבחור באקראי צעיר מבין משתתפי הסקר.

בסקר נמצא:

80% מן הצעירים רוכבים על אופניים.

מספר הצעירים הרוכבים על אופניים גדול פי 4 ממספר המבוגרים שאינם רוכבים על אופניים.

נתון כי ההסתברות לבחור באקראי משתתף בסקר שאיננו רוכב על אופניים היא 0.1.

א. מצא את x.

בחרו באקראי משתתף בסקר.

ב. אם ידוע שנבחר מבוגר, מהי ההסתברות שהוא רוכב על אופניים?

ג. מהי ההסתברות שהמשתתף שנבחר הוא צעיר או שהוא רוכב על אופניים?

ד. נתון כי בסקר השתתפו 3,850 מבוגרים שרוכבים על אופניים. כמה אנשים סך הכול השתתפו בסקר?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – מציאת x

(נסמן: C – צעיר, V – מבוגר, R – רוכב על אופניים, R̄ – לא רוכב.) נבנה טבלה דו־ממדית של הסתברויות.
צעיר נבחר בהסתברות x, ולכן מבוגר:
P(V) = 1 − x📐 משליםP(Ā) = 1 − P(A)
80% מן הצעירים רוכבים, כלומר צעיר וגם רוכב:
P(C ∩ R) = x · 0.8 = 0.8x📐 הסתברות של שני שלביםP(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
הצעירים שאינם רוכבים הם שאר הצעירים:
P(C ∩ R̄) = x − 0.8x = 0.2x📐 חלק מכמותשורה בטבלה: P(C ∩ R) + P(C ∩ R̄) = P(C)
הצעירים הרוכבים גדולים פי 4 מן המבוגרים שאינם רוכבים, ולכן המבוגרים שאינם רוכבים:
P(V ∩ R̄) = 0.8x4 = 0.2x
ההסתברות לבחור מי שאינו רוכב היא 0.1. מחברים את עמודת "לא רוכב":
P(R̄) = P(C ∩ R̄) + P(V ∩ R̄)📐 הסתברות שלמהP(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B)
0.2x + 0.2x = 0.1
0.4x = 0.1
מחלקים ב־0.4:
x = 0.10.4 = 0.25
נשלים את הטבלה עם x = 0.25:
רוכב Rלא רוכב R̄סה"כ
צעיר C0.20.050.25
מבוגר V0.70.050.75
סה"כ0.90.11
(מבוגר ורוכב: 0.75 − 0.05 = 0.7; סך הרוכבים: 1 − 0.1 = 0.9.)
✅ פתרון סופי: x = 0.25

סעיף ב – רוכב, בידיעה שמבוגר

זו הסתברות מותנית: יודעים שנבחר מבוגר.
P(R | V) = P(V ∩ R)P(V)📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= 0.70.75 = 7075 = 1415 ≈ 0.933
✅ פתרון סופי: 1415 ≈ 0.933

סעיף ג – צעיר או רוכב

"צעיר או רוכב" – כל המשתתפים חוץ מאלה שאינם צעירים וגם אינם רוכבים, כלומר חוץ מהמבוגרים שאינם רוכבים:
P(C ∪ R) = 1 − P(V ∩ R̄)📐 משליםP(Ā) = 1 − P(A)
= 1 − 0.05 = 0.95
בדיקה בדרך אחרת:
P(C ∪ R) = P(C) + P(R) − P(C ∩ R)📐 חיבור הסתברויותP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
= 0.25 + 0.9 − 0.2 = 0.95
✅ פתרון סופי: 0.95 = 1920

סעיף ד – מספר המשתתפים

מהטבלה: מבוגרים שרוכבים על אופניים הם 0.7 מכלל המשתתפים. נסמן ב־N את מספר המשתתפים:
0.7 · N = 3850📐 חלק מכמותחלק · כמות = מספר הפריטים
מחלקים ב־0.7:
N = 38500.7 = 5500
✅ פתרון סופי: בסקר השתתפו 5500 אנשים

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אx = 0.25
סעיף ב1415 ≈ 0.933
סעיף ג0.95
סעיף ד5500 משתתפים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2021 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.
⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2013 מועד א', שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בחנות פרחים יש פרחים בשני צבעים: אדום ולבן. כל פרח הוא ורד או ציפורן.

112 מן הפרחים הלבנים הם ורדים, ו־23 מן הפרחים האדומים הם ורדים.

14 מכלל הפרחים בחנות הם ורדים.

א. בוחרים באקראי פרח מן הפרחים בחנות.

(1) מהי ההסתברות שהפרח שנבחר הוא אדום?

(2) ידוע שהפרח שנבחר הוא ורד. מהי ההסתברות שהוא אדום?

ב. בחנות יש 300 ורדים אדומים. כמה פרחים יש בחנות?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א (1) – הסתברות לפרח אדום

נסמן ב־p את ההסתברות שהפרח אדום; אז ההסתברות שהוא לבן היא 1 − p. טבלה דו־ממדית:
אדוםלבןסה״כ
ורד23 · p112 · (1 − p)14
ציפורן13 · p1112 · (1 − p)
סה״כp1 − p1
23p + 112(1 − p) = 14📐 הסתברות שלמהסכום החלקים של "ורד" בשתי העמודות
כופלים ב־12:
8p + 1 − p = 3
7p = 2
p = 27
✅ פתרון סופי: 27

סעיף א (2) – אדום בידיעה שהפרח ורד

נסמן: R – אדום, V – ורד.
P(R ∩ V) = 27 · 23 = 421
P(R | V) = P(R ∩ V)P(V) = 42114📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= 421 · 4 = 1621
✅ פתרון סופי: 1621 ≈ 0.762

סעיף ב – מספר הפרחים בחנות

החלק של ורדים אדומים מכלל הפרחים הוא 421 (סעיף א (2)). נסמן ב־N את מספר הפרחים:
421 · N = 300
N = 300 · 214 = 1575
✅ פתרון סופי: 1575 פרחים

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א (1)27
סעיף א (2)1621
סעיף ב1575
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2013 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.
⬆️ חזרה לכפתורים
🌳 עץ הסתברות23 שאלות

📅 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 3

📄 נוסח השאלה

במפעל מסוים מייצרים מחשבים. כל המחשבים שיוצרו במחזור ייצור מסוים נבדקו בשתי בדיקות איכות כדי לוודא שהם תקינים. בבדיקה הראשונה נמצא ש־80% מן המחשבים הם תקינים. אם מחשב נמצא תקין בבדיקה הראשונה, ההסתברות שבבדיקה השנייה הוא יימצא תקין היא 0.9. אם מחשב לא נמצא תקין בבדיקה הראשונה, ההסתברות שבבדיקה השנייה הוא יימצא תקין היא 0.35. בחרו באקראי מחשב שיוצר במחזור הייצור.

א. מהי ההסתברות שבדיוק באחת הבדיקות המחשב נמצא תקין?

ב. מהי ההסתברות שלפחות באחת הבדיקות המחשב נמצא תקין?

רק מחשב שנמצא תקין בשתי הבדיקות מועבר למכירה. בחרו באקראי מחשב שיוצר במחזור הייצור.

ג. ידוע שהמחשב שנבחר נמצא תקין לפחות באחת הבדיקות. מהי ההסתברות שמחשב זה הועבר למכירה?

נתון כי במחזור ייצור זה ייצרו 250 מחשבים.

ד. מצאו את מספר המחשבים שהועברו למכירה במחזור ייצור זה.

מבין המחשבים שייצרו במחזור ייצור זה, בוחרים באקראי שני מחשבים זה אחר זה (הוצאה ללא החזרה).

ה. מהי ההסתברות שבדיוק מחשב אחד הועבר למכירה?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – תקין בדיוק בבדיקה אחת

מסדרים את הנתונים בעץ הסתברויות (בדיקה 1, ואחריה בדיקה 2):
0.80.2 תקיןלא תקין בדיקה 1בדיקה 2 0.90.1 0.350.65 תקין (0.72)לא תקין (0.08) תקין (0.07)לא תקין (0.13)
"בדיוק בבדיקה אחת" – שני מסלולים: תקין ואז לא תקין, או לא תקין ואז תקין.
תקין ואז לא תקין: 0.8 · 0.1 = 0.08📐 כלל הכפל (לאורך ענף)P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
לא תקין ואז תקין: 0.2 · 0.35 = 0.07
P = 0.08 + 0.07 = 0.15📐 כלל החיבור (מסלולים זרים)P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
✅ פתרון סופי: 0.15

סעיף ב – תקין לפחות בבדיקה אחת

המשלים של "לפחות באחת" הוא "באף בדיקה" – לא תקין בשתי הבדיקות:
לא תקין בשתיהן: 0.2 · 0.65 = 0.13
לפחות באחת: 1 − 0.13 = 0.87📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(Ā)
בדיקה: 0.72 + 0.08 + 0.07 = 0.87 ✓
✅ פתרון סופי: 0.87

סעיף ג – הסתברות מותנית

מועבר למכירה = תקין בשתי הבדיקות:
תקין בשתיהן: 0.8 · 0.9 = 0.72
מחשב שתקין בשתי הבדיקות הוא בוודאי תקין "לפחות באחת", ולכן החיתוך הוא 0.72:
מכירה, בידיעה שתקין לפחות באחת: P = 0.720.87📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= 7287 = 2429 ≈ 0.828
✅ פתרון סופי: 2429 ≈ 0.828

סעיף ד – כמה מחשבים הועברו למכירה

ההסתברות שמחשב הועבר למכירה היא 0.72 (מסעיף ג):
250 · 0.72 = 180📐 מספר = הסתברות · סך הכולn = P · N
✅ פתרון סופי: 180 מחשבים

סעיף ה – שני מחשבים ללא החזרה

מתוך 250 מחשבים: 180 הועברו למכירה, ו־250 − 180 = 70 לא הועברו.
"בדיוק אחד הועבר" – שתי אפשרויות: הראשון כן והשני לא, או הראשון לא והשני כן. אחרי הוצאה ללא החזרה נשארים 249 מחשבים:
הראשון כן, השני לא: 180250 · 70249 = 1260062250📐 ללא החזרהP(A , B) = P(A) · P(B | A)
הראשון לא, השני כן: 70250 · 180249 = 1260062250
P = 1260062250 + 1260062250 = 2520062250
מצמצמים:
2520062250 = 168415 ≈ 0.405
✅ פתרון סופי: 168415 ≈ 0.405

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א0.15
סעיף ב0.87
סעיף ג2429 ≈ 0.828
סעיף ד180 מחשבים
סעיף ה168415 ≈ 0.405
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2026 מועד א', שאלה 3

📄 נוסח השאלה

במשק חקלאי מסוים מגדלים שני סוגים של פלפלים: פלפלים גדולים ופלפלים קטנים. מספר הפלפלים הגדולים גדול פי 4 ממספר הפלפלים הקטנים. בוחרים באקראי פלפל אחד מבין כל הפלפלים במשק החקלאי.

א. מהי ההסתברות שהפלפל שנבחר הוא פלפל קטן?

הפלפלים הגדולים במשק החקלאי הם אדומים או צהובים, והפלפלים הקטנים הם אדומים או ירוקים. 0.6 מן הפלפלים הגדולים הם אדומים. 0.75 מן הפלפלים הקטנים הם אדומים. בוחרים באקראי פלפל אחד מבין כל הפלפלים במשק החקלאי.

ב. מהי ההסתברות שהפלפל שנבחר הוא פלפל גדול צהוב?

ג. (1) מהי ההסתברות שהפלפל שנבחר הוא פלפל אדום? (2) ידוע שנבחר פלפל אדום. מהי ההסתברות שפלפל זה הוא פלפל גדול?

כל הפלפלים במשק החקלאי נשלחים לשני בתי אריזה א' ו־ב'. לבית אריזה א' נשלחים כל הפלפלים האדומים, ולבית אריזה ב' נשלחים כל הפלפלים הצהובים וכל הפלפלים הירוקים.

ד. האם אחוז הפלפלים הגדולים בבית אריזה א' גדול או קטן מאחוז הפלפלים הגדולים בבית אריזה ב'? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – פלפל קטן

נסמן את מספר הפלפלים הקטנים ב־k. הגדולים פי 4, כלומר 4k. סך הכול:
k + 4k = 5k
P(S) = k5k = 15 = 0.2📐 הסתברותמספר המקרים הרצויים חלקי מספר כל המקרים
(נסמן: S – קטן, G – גדול.) ולכן P(G) = 1 − 0.2 = 0.8.
✅ פתרון סופי: P(S) = 0.2

סעיף ב – גדול וצהוב

(נסמן: R – אדום, Y – צהוב.) הגדולים הם אדומים או צהובים. 0.6 מהגדולים אדומים, ולכן הצהובים:
P(Y | G) = 1 − 0.6 = 0.4📐 משליםP(Ā) = 1 − P(A)
בוחרים פלפל שהוא גם גדול וגם צהוב (שני שלבים במשפט: קודם גדול, אחר כך צהוב):
P(G ∩ Y) = 0.8 · 0.4 = 0.32📐 הסתברות של שני שלביםP(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
✅ פתרון סופי: 0.32

סעיף ג (1) – פלפל אדום

פלפל אדום יכול להיות גדול אדום או קטן אדום:
P(G ∩ R) = 0.8 · 0.6 = 0.48📐 הסתברות של שני שלביםP(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
P(S ∩ R) = 0.2 · 0.75 = 0.15
מחברים את שתי האפשרויות:
P(R) = 0.48 + 0.15 = 0.63📐 הסתברות שלמהP(R) = P(G ∩ R) + P(S ∩ R)
✅ פתרון סופי: P(R) = 0.63

סעיף ג (2) – גדול, בידיעה שאדום

זו הסתברות מותנית: יודעים שהפלפל אדום.
P(G | R) = P(G ∩ R)P(R)📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= 0.480.63 = 4863 = 1621 ≈ 0.762
✅ פתרון סופי: 1621 ≈ 0.762

סעיף ד – באיזה בית אריזה יש יותר גדולים

בית אריזה א' – רק אדומים. אחוז הגדולים מתוכם הוא בדיוק מה שחישבנו ב־ג (2):
P(G | R) = 0.480.63 ≈ 0.762 = 76.2%📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
בית אריזה ב' – הצהובים והירוקים, כלומר כל מי שלא אדום:
P(R̄) = 1 − 0.63 = 0.37📐 משליםP(Ā) = 1 − P(A)
הגדולים שבבית ב' הם הגדולים הצהובים (מ־ב: 0.32):
P(G | R̄) = 0.320.37 ≈ 0.865 = 86.5%
משווים: 76.2% < 86.5%.
✅ פתרון סופי: אחוז הגדולים בבית אריזה א' קטן מאחוז הגדולים בבית אריזה ב' (בערך 76.2% לעומת 86.5%).

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אP(S) = 0.2
סעיף ב0.32
סעיף ג (1)P(R) = 0.63
סעיף ג (2)1621 ≈ 0.762
סעיף דאחוז הגדולים בבית אריזה א' קטן מאחוז הגדולים בבית אריזה ב' (בערך 76.2% לעומת 86.5%).
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בשתי מגירות א' ו־ב' יש שני סוגי פירות: תפוחים ואגסים. במגירה א' יש 7 תפוחים ו־11 אגסים. במגירה ב' יש 4 תפוחים ו־6 אגסים. מוציאים באקראי פרי אחד ממגירה א' ואחר כך מוציאים באקראי פרי אחד ממגירה ב'.

א. מהי ההסתברות להוציא שני פירות מסוגים שונים?

ב. (1) מהי ההסתברות להוציא לפחות תפוח אחד? (2) ידוע שהוציאו לפחות תפוח אחד. מהי ההסתברות שהוציאו שני תפוחים?

החזירו כל פרי למגירה שממנה הוציאו אותו. העבירו משתי המגירות את כל הפירות למגירה ג', שהייתה ריקה. לאחר מכן הוסיפו x תפוחים למגירה ג'. מוציאים באקראי שני פירות בזה אחר זה (ללא החזרה) ממגירה ג'.

נתון כי ההסתברות להוציא שני אגסים היא 835.

ג. מצאו את הערך של x.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – שני פירות מסוגים שונים

במגירה א' 18 פירות: P(ת) = 718, P(א) = 1118. במגירה ב' 10 פירות: P(ת) = 410, P(א) = 610.
סוגים שונים: תפוח מא' ואגס מב', או אגס מא' ותפוח מב'. ההוצאות בלתי תלויות, ולכן כופלים לאורך כל ענף ומחברים את הענפים:
P = 718 · 610 + 1118 · 410📐 עץ הסתברויותכופלים לאורך ענף, מחברים בין ענפים
= 42180 + 44180 = 86180 = 4390 ≈ 0.478
✅ פתרון סופי: 4390

סעיף ב (1) – לפחות תפוח אחד

המשלים של "לפחות תפוח אחד" הוא "שני אגסים":
P = 1 − P(אגס, אגס)📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(לא A)
= 1 − 1118 · 610 = 1 − 66180 = 114180 = 1930
✅ פתרון סופי: 1930

סעיף ב (2) – שני תפוחים, בידיעה שלפחות אחד

P(שני תפוחים) = 718 · 410 = 28180
"שני תפוחים" כלול ב"לפחות תפוח אחד", ולכן החיתוך הוא "שני תפוחים":
P = 28180114180📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= 28114 = 1457 ≈ 0.246
✅ פתרון סופי: 1457

סעיף ג – הערך של x

במגירה ג': תפוחים 7 + 4 + x = 11 + x, אגסים 11 + 6 = 17. סך הכול 28 + x פירות.
שני אגסים ללא החזרה – אחרי האגס הראשון נשארים 16 אגסים מתוך 27 + x:
1728 + x · 1627 + x = 835📐 ללא החזרהאחרי כל הוצאה המונה והמכנה קטנים ב־1
כופלים בהצלבה:
272 · 35 = 8(28 + x)(27 + x)
9,520 = 8(28 + x)(27 + x)
מחלקים ב־8:
1,190 = (28 + x)(27 + x)
1,190 = 756 + 28x + 27x + x2📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
x2 + 55x − 434 = 0
(x + 62)(x − 7) = 0📐 טרינוםp · q = c , p + q = b : 62 · (−7) = −434 , 62 − 7 = 55
x = 7 או x = −62 (נפסל – מספר תפוחים לא שלילי)
בדיקה: 1735 · 1634 = 2721190 = 835 ✓
✅ פתרון סופי: x = 7

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א4390
סעיף ב (1)1930
סעיף ב (2)1457
סעיף גx = 7
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 3

📄 נוסח השאלה

גלית ורועי משחקים משחק. כל סיבוב במשחק יכול להסתיים באחת משלוש האפשרויות האלה: ניצחון של גלית, ניצחון של רועי או תיקו. ההסתברות שגלית תנצח בסיבוב כלשהו גדולה פי 3 מן ההסתברות שרועי ינצח בסיבוב כלשהו. ההסתברות שסיבוב יסתיים בתיקו היא 0.28.

א. מצאו את ההסתברות שגלית תנצח בסיבוב כלשהו במשחק.

במשחק שגלית ורועי משחקים יש שני סיבובים. התוצאות של הסיבובים אינן תלויות זו בזו.

ב. מהי ההסתברות ששום סיבוב לא יסתיים בתיקו?

ג. מהי ההסתברות שגלית תנצח לפחות באחד מן הסיבובים?

ד. ידוע שגלית ניצחה לפחות באחד מן הסיבובים. מהי ההסתברות שאחד מן הסיבובים הסתיים בתיקו?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – גלית מנצחת בסיבוב

נסמן ב־p את ההסתברות שרועי מנצח. אז גלית מנצחת בהסתברות 3p. שלוש האפשרויות מכסות הכול:
3p + p + 0.28 = 1📐 סכום ההסתברויותסכום כל האפשרויות = 1
4p = 0.72
p = 0.18
גלית: 3 · 0.18 = 0.54
✅ פתרון סופי: 0.54

סעיף ב – אין תיקו בשני הסיבובים

ההסתברות שסיבוב לא נגמר בתיקו: 1 − 0.28 = 0.72. הסיבובים בלתי תלויים:
0.72 · 0.72 = 0.5184📐 מאורעות בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)
✅ פתרון סופי: 0.5184

סעיף ג – גלית מנצחת לפחות פעם אחת

המשלים: גלית לא מנצחת באף סיבוב. בכל סיבוב היא לא מנצחת בהסתברות 1 − 0.54 = 0.46:
גלית לא מנצחת בשניהם: 0.46 · 0.46 = 0.2116
לפחות ניצחון אחד: 1 − 0.2116 = 0.7884📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(Ā)
✅ פתרון סופי: 0.7884

סעיף ד – הסתברות מותנית

אם גלית ניצחה לפחות פעם אחת, היה לכל היותר תיקו אחד. "אחד מהסיבובים בתיקו" = סיבוב אחד גלית ניצחה וסיבוב אחד תיקו – בשני סדרים אפשריים:
ניצחון ואז תיקו: 0.54 · 0.28 = 0.1512
תיקו ואז ניצחון: 0.28 · 0.54 = 0.1512
יחד: 0.1512 + 0.1512 = 0.3024
תיקו, בידיעה שגלית ניצחה לפחות פעם: P = 0.30240.7884📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= 2873 ≈ 0.384
✅ פתרון סופי: 2873 ≈ 0.384

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א0.54
סעיף ב0.5184
סעיף ג0.7884
סעיף ד2873 ≈ 0.384
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2024, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

חנן משחק במשחק קליעה למטרה. במשחק זה יש שתי תוצאות אפשריות בלבד: קליעה או החטאה. ההסתברות שחנן יקלע בניסיון הראשון היא 35. ההסתברות שחנן יקלע בניסיון השני תלויה בתוצאה של הניסיון הראשון: אם חנן קולע בניסיון הראשון, ההסתברות שהוא יקלע בניסיון השני היא 23. אם חנן מחטיא בניסיון הראשון, ההסתברות שהוא יקלע בניסיון השני היא 716. לחנן יש שני ניסיונות קליעה למטרה.

א. מהי ההסתברות שחנן החטיא בניסיון הראשון וקלע בניסיון השני?

ב. (1) מהי ההסתברות שחנן קלע פעם אחת לפחות? (2) ידוע שחנן קלע פעם אחת לפחות. מהי ההסתברות שהוא קלע פעם אחת בדיוק?

גם לדני יש שני ניסיונות קליעה למטרה. ההסתברות שדני יקלע בכל אחד מן הניסיונות היא p. נתון כי ההסתברות שדני יקלע פעם אחת בדיוק שווה להסתברות שחנן יקלע פעם אחת בדיוק.

ג. מצאו את p (את שתי האפשרויות).

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – החטאה ואז קליעה

החטאה בראשון: 1 − 35 = 25. אחריה קליעה בהסתברות 716:
25 · 716 = 1480 = 740📐 כלל הכפל (מותנה)P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
✅ פתרון סופי: 740 = 0.175

סעיף ב – לפחות פעם אחת, ובדיוק פעם אחת

(1) המשלים: שתי החטאות. אחרי החטאה, החטאה שנייה בהסתברות 1 − 716 = 916:
שתי החטאות: 25 · 916 = 1880 = 940
לפחות פעם: 1 − 940 = 3140📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(Ā)
(2) קליעה אחת בדיוק = קליעה ואז החטאה, או החטאה ואז קליעה:
קליעה ואז החטאה: 35 · (1 − 23) = 35 · 13 = 15
יחד: 15 + 740 = 840 + 740 = 1540 = 38
לפחות פעם אחת כבר ידוע, וכל קליעה אחת בדיוק נכללת בו:
P = 383140 = 38 · 4031 = 1531📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: (1) 3140 = 0.775   (2) 1531 ≈ 0.484

סעיף ג – ההסתברות p של דני

דני קולע פעם אחת בדיוק: קליעה והחטאה בשני סדרים:
2 · p(1 − p) = 38📐 בדיוק הצלחה אחת מתוך שתיים2 · p · (1 − p)
2p − 2p² = 38
כופלים ב־8 ומעבירים אגפים:
16p² − 16p + 3 = 0
p = 16 ± √256 − 19232 = 16 ± 832📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b² − 4ac2a
p = 2432 = 34  או  p = 832 = 14
✅ פתרון סופי: p = 14 או p = 34

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א740
סעיף ב3140 ; 1531
סעיף ג14 או 34
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בקופסה יש 5 כפתורים אדומים ו־4 כפתורים כחולים. דנה משחקת בכפתורים: היא מוציאה באקראי כפתור אחד מן הקופסה. אם יצא כפתור כחול, היא מחזירה אותו לקופסה, ואם יצא כפתור אדום, היא לא מחזירה אותו לקופסה. לאחר מכן, היא מוציאה באקראי כפתור שני מן הקופסה.

א. מהי ההסתברות שדנה הוציאה שני כפתורים בצבעים השונים זה מזה?

ב. מהי ההסתברות שדנה הוציאה לכל היותר כפתור אחד אדום?

רותי ודנה משחקות יחד בכפתורים: הן מטילות מטבע מאוזן שעל צד אחד שלו כתובה האות A ועל הצד האחר כתובה האות B. אם מתקבלת האות A, דנה מוציאה באקראי שני כפתורים מן הקופסה באופן המתואר בפתיח. אם מתקבלת האות B, רותי מוציאה באקראי שני כפתורים מן הקופסה עם החזרה.

ג. מהי ההסתברות ששני הכפתורים שיצאו במשחק הזה היו בצבעים שונים זה מזה?

ד. ידוע ששני הכפתורים שיצאו במשחק הזה היו בצבעים שונים זה מזה. מהי ההסתברות שהכפתור הראשון שיצא היה אדום?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – צבעים שונים אצל דנה

אדום ראשון לא חוזר (נשארים 8 כפתורים). כחול ראשון חוזר (שוב 9):
P(א, כ) = 59 · 48 = 2072 = 518
P(כ, א) = 49 · 59 = 2081
P = 518 + 2081 = 45162 + 40162 = 85162 ≈ 0.525📐 עץ הסתברויותכופלים לאורך ענף, מחברים בין ענפים
✅ פתרון סופי: 85162 ≈ 0.525

סעיף ב – לכל היותר אדום אחד

P = 1 − P(א, א) = 1 − 59 · 48 = 1 − 518 = 1318 ≈ 0.722📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(לא A)
✅ פתרון סופי: 1318 ≈ 0.722

סעיף ג – צבעים שונים במשחק

אצל רותי (עם החזרה):
P = 2 · 59 · 49 = 4081
P = 12 · 85162 + 12 · 4081 = 12 · (85162 + 80162) = 165324 = 55108 ≈ 0.509📐 הסתברות שלמהמטבע: כל אות בהסתברות 12
✅ פתרון סופי: 55108 ≈ 0.509

סעיף ד – הראשון אדום, בידיעה שהצבעים שונים

צבעים שונים וגם הראשון אדום ← אדום ואז כחול:
P = 12 · 518 + 12 · 59 · 49 = 12 · (45162 + 40162) = 85324
P = 85324165324 = 85165 = 1733 ≈ 0.515📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 1733 ≈ 0.515

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א85162
סעיף ב1318
סעיף ג55108
סעיף ד1733
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בקלמר של דנה יש 25 עפרונות זהים בגודלם בשלושה צבעים: 15 עפרונות כחולים, 4 עפרונות אדומים, 6 עפרונות צהובים.

דנה מוציאה באקראי עיפרון מן הקלמר. אם העיפרון הוא כחול או אדום, היא מחזירה את העיפרון לקלמר. אם העיפרון הוא צהוב, היא משאירה אותו מחוץ לקלמר. לאחר מכן דנה מוציאה באקראי עיפרון נוסף מן הקלמר.

א. מהי ההסתברות שדנה תוציא שני עפרונות צהובים?

ב. (1) מהי ההסתברות שדנה תוציא שני עפרונות באותו הצבע? (2) ידוע ששני העפרונות שהוציאה דנה הם באותו הצבע. מהי ההסתברות שהיא הוציאה שני עפרונות אדומים או שני עפרונות צהובים?

דנה החזירה את כל העפרונות לקלמר ונתנה לאחיה מן הקלמר x עפרונות כחולים, 3 עפרונות אדומים ו־2 עפרונות צהובים. לאחר מכן היא הוציאה באקראי שני עפרונות מן הקלמר ללא החזרה.

נתון: ההסתברות שדנה הוציאה עיפרון צהוב ולאחריו עיפרון אדום היא 160.

ג. מצאו את x.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – שני צהובים

אחרי צהוב ראשון הוא לא חוזר: נשארים 5 צהובים מתוך 24 עפרונות.
P = 625 · 524 = 30600 = 120📐 עץ הסתברויותכופלים לאורך ענף
✅ פתרון סופי: 120 = 0.05

סעיף ב (1) – אותו צבע

כחול או אדום חוזרים לקלמר, ולכן בהוצאה השנייה שוב 25 עפרונות:
P(כ, כ) = 1525 · 1525 = 225625 = 0.36
P(א, א) = 425 · 425 = 16625 = 0.0256
P(צ, צ) = 0.05 (סעיף א)
P = 0.36 + 0.0256 + 0.05 = 0.4356📐 חיבור הסתברויותמאורעות זרים – מחברים
✅ פתרון סופי: 0.4356

סעיף ב (2) – אדומים או צהובים, בידיעה שאותו צבע

P = 0.0256 + 0.050.4356 = 0.07560.4356 = 21121 ≈ 0.174📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 21121 ≈ 0.174

סעיף ג – הערך של x

בקלמר נשארו: כחולים 15 − x, אדומים 4 − 3 = 1, צהובים 6 − 2 = 4. סך הכול 25 − x − 5 = 20 − x.
420 − x · 119 − x = 160📐 ללא החזרהאחרי כל הוצאה המכנה קטן ב־1
(20 − x)(19 − x) = 240
380 − 39x + x2 = 240📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
x2 − 39x + 140 = 0
(x − 4)(x − 35) = 0📐 טרינוםp · q = c , p + q = b : (−4)(−35) = 140 , −4 − 35 = −39
x = 4 או x = 35 (נפסל – יש רק 15 כחולים)
בדיקה: 416 · 115 = 4240 = 160 ✓
✅ פתרון סופי: x = 4

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א0.05
סעיף ב (1)0.4356
סעיף ב (2)21121
סעיף גx = 4
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד א', שאלה 3

📄 נוסח השאלה

אוניברסיטה גדולה בדקה את הקשר בין ההישגים הלימודיים של הסטודנטים באוניברסיטה ובין ציוני תעודת הבגרות שלהם. 20% מן הסטודנטים סיימו בהצטיינות את בחינות הבגרות, והשאר סיימו בציונים רגילים. מבין הסטודנטים שסיימו את בחינות הבגרות בהצטיינות, 80% הגיעו להישגים גבוהים באוניברסיטה. מבין הסטודנטים שסיימו את בחינות הבגרות בציונים רגילים, 25% הגיעו להישגים גבוהים באוניברסיטה.

א. בוחרים באקראי סטודנט מן האוניברסיטה. מהי ההסתברות שהוא הגיע להישגים גבוהים באוניברסיטה?

ב. בוחרים באקראי סטודנט שהגיע להישגים גבוהים באוניברסיטה. מהי ההסתברות שהוא סיים את בחינות הבגרות בציונים רגילים?

ג. לפניכם שתי טענות (1)–(2), שפורסמו בתקשורת. קבעו בעבור כל אחת מהן אם היא נכונה, ונמקו. (1) מבין הסטודנטים שהגיעו להישגים גבוהים באוניברסיטה, רובם (מעל 50%) סיימו את בחינות הבגרות בהצטיינות. (2) מבין הסטודנטים שלא הגיעו להישגים גבוהים באוניברסיטה, רובם (מעל 50%) סיימו את בחינות הבגרות בציונים רגילים.

ד. רות וענבל הן סטודנטיות באוניברסיטה, והן סיימו את בחינות הבגרות בציונים רגילים. מהי ההסתברות שבדיוק אחת מהן הגיעה להישגים גבוהים באוניברסיטה?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הישגים גבוהים

הצטיינות והישגים גבוהים: 0.2 · 0.8 = 0.16
רגילים והישגים גבוהים: 0.8 · 0.25 = 0.2
P = 0.16 + 0.2 = 0.36📐 הסתברות שלמה (עץ)סכום כל הענפים שמובילים למאורע
✅ פתרון סופי: 0.36

סעיף ב – רגילים, בידיעה שהישגים גבוהים

P = 0.20.36 = 59 ≈ 0.556📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 59 ≈ 0.556

סעיף ג – שתי טענות

(1) מבין בעלי ההישגים הגבוהים, חלק המצטיינים:
0.160.36 = 49 ≈ 0.444 < 0.5
פחות מחצי – הטענה לא נכונה.
(2) לא הגיעו להישגים גבוהים: 1 − 0.36 = 0.64. מתוכם רגילים: 0.8 · 0.75 = 0.6:
0.60.64 = 0.9375 > 0.5
יותר מחצי – הטענה נכונה.
✅ פתרון סופי: (1) לא נכונה   (2) נכונה

סעיף ד – בדיוק אחת מהשתיים

לכל אחת (רגילים) – הישגים גבוהים 0.25, אחרת 0.75. בדיוק אחת: רות כן וענבל לא, או להפך:
2 · 0.25 · 0.75 = 0.375📐 בדיוק הצלחה אחת מתוך שתיים2 · p · (1 − p)
✅ פתרון סופי: 0.375

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א0.36
סעיף ב59
סעיף ג(1) לא נכונה , (2) נכונה
סעיף ד0.375
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2023, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בקופה יש 36 מטבעות: 18 מטבעות של שני שקלים, 12 מטבעות של חמישה שקלים, ו־6 מטבעות של עשרה שקלים. הוציאו מן הקופה באקראי שני מטבעות ללא החזרה.

א. מהי ההסתברות ששני המטבעות שהוציאו היו זהים?

ב. ידוע ששני המטבעות שהוציאו היו זהים. מהי ההסתברות שהסכום של שני המטבעות שהוציאו היה גבוה מ־5 שקלים?

החזירו את כל המטבעות לקופה והוסיפו x מטבעות של עשרה שקלים לקופה. נתון: לאחר ההוספה, ההסתברות להוציא מן הקופה באקראי ללא החזרה שני מטבעות של חמישה שקלים היא 115.

ג. מצאו את x.

ד. האם ההסתברות להוציא מן הקופה באקראי (ללא החזרה) שני מטבעות זהים גדלה לאחר ההוספה, קטנה או נשארה ללא שינוי? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – שני מטבעות זהים

שני של 2: 1836 · 1735 = 3061260📐 ללא החזרהבמשיכה השנייה יש מטבע אחד פחות
שני של 5: 1236 · 1135 = 1321260
שני של 10: 636 · 535 = 301260
יחד: 306 + 132 + 301260 = 4681260 = 1335 ≈ 0.371
✅ פתרון סופי: 1335 ≈ 0.371

סעיף ב – סכום גבוה מ־5, בידיעה שזהים

שני מטבעות זהים עם סכום מעל 5: שני של 5 (סכום 10) או שני של 10 (סכום 20). שני של 2 נותנים 4 – לא.
P = 132 + 30468 = 162468 = 926 ≈ 0.346📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 926 ≈ 0.346

סעיף ג – מספר המטבעות שהוסיפו

אחרי ההוספה יש 36 + x מטבעות, מתוכם 12 של חמישה שקלים:
1236 + x · 1135 + x = 115
כופלים בהצלבה:
(36 + x)(35 + x) = 15 · 132 = 1980
x² + 71x + 1260 = 1980 ⟸ x² + 71x − 720 = 0
x = −71 ± √5041 + 28802 = −71 ± 892📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b² − 4ac2a
x = 9 (הפתרון x = −80 נפסל)
✅ פתרון סופי: x = 9

סעיף ד – האם ההסתברות לזהים השתנתה

עכשיו 45 מטבעות: 18 של 2, 12 של 5, 15 של 10:
P = 18 · 17 + 12 · 11 + 15 · 1445 · 44 = 306 + 132 + 2101980 = 6481980 ≈ 0.327
לפני ההוספה: 1335 ≈ 0.371. 0.327 < 0.371.
✅ פתרון סופי: ההסתברות קטנה

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א1335
סעיף ב926
סעיף גx = 9
סעיף דקטנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 3

📄 נוסח השאלה

לשירה יש סל ובו x כדורים סך הכול. 12 מן הכדורים שבסל הם ירוקים והשאר אדומים. נתון: ההסתברות להוציא 2 כדורים ירוקים בזה אחר זה עם החזרה היא 0.36.

א. מצאו את x.

שירה מוציאה באקראי כדור מן הסל. אם הכדור אדום, היא מחזירה אותו לסל ושוב מוציאה באקראי כדור מן הסל. אם הכדור ירוק, היא משאירה אותו בחוץ ושוב מוציאה באקראי כדור מן הסל.

ב. מהי ההסתברות ששירה תוציא לפחות כדור ירוק אחד?

ג. אם ידוע ששירה הוציאה לפחות כדור ירוק אחד, מהי ההסתברות שהיא הוציאה שני כדורים בצבעים השונים זה מזה?

לשירה יש סל נוסף, ובו x כדורים (ה־x שמצאתם בסעיף א). גם בסל הזה 12 מן הכדורים הם ירוקים והשאר אדומים. שירה מוציאה באקראי מן הסל הזה שני כדורים עם החזרה.

ד. מהי ההסתברות שכל ארבעת הכדורים שהוציאה שירה משני הסלים היו באותו הצבע?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הערך של x

(12x)2 = 0.36📐 עם החזרהההסתברות זהה בכל הוצאה – כופלים
12x = 0.6 → x = 20
✅ פתרון סופי: x = 20

סעיף ב – לפחות ירוק אחד

12 ירוקים ו־8 אדומים. המשלים: שני אדומים – והאדום חוזר:
P = 1 − 820 · 820 = 1 − 0.16 = 0.84📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(לא A)
✅ פתרון סופי: 0.84

סעיף ג – צבעים שונים, בידיעה שלפחות ירוק אחד

P(י, א) = 1220 · 819 = 96380 = 2495 (הירוק לא חוזר)
P(א, י) = 820 · 1220 = 0.24 = 625
P(שונים) = 2495 + 625 = 234475 ≈ 0.4926
P = 0.49260.84 = 78133 ≈ 0.586📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 78133 ≈ 0.586

סעיף ד – ארבעה כדורים באותו צבע

סל ראשון (ירוק לא חוזר, אדום חוזר):
P(י, י) = 1220 · 1119 = 3395 ; P(א, א) = 0.16
סל שני (עם החזרה):
P(י, י) = 0.62 = 0.36 ; P(א, א) = 0.42 = 0.16
P = 3395 · 0.36 + 0.16 · 0.16 ≈ 0.1251 + 0.0256 ≈ 0.1507📐 עץ הסתברויותכופלים לאורך ענף, מחברים בין ענפים
✅ פתרון סופי: ≈ 0.1507 (בדיוק 1,78911,875)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אx = 20
סעיף ב0.84
סעיף ג78133
סעיף ד≈ 0.1507
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד א', שאלה 3

📄 נוסח השאלה

חברה מסוימת מיינה מועמדים לעבודה בחברה. כדי להתקבל לעבודה בחברה, המועמדים צריכים לעבור בהצלחה את שלושת שלבי המיון. מי שלא עבר בהצלחה את השלב הראשון, לא המשיך לשלב השני, ומי שלא עבר בהצלחה את השלב השני, לא המשיך לשלב השלישי. שלבי המיון היו: שלב ראשון – מבחן התאמה; שלב שני – ריאיון אישי; שלב שלישי – סדנה קבוצתית. כל המועמדים שעברו בהצלחה את כל שלושת השלבים התקבלו לעבודה בחברה.

נתון: 75% מן המועמדים עברו בהצלחה את מבחן ההתאמה. 50% מן המועמדים שעברו בהצלחה את מבחן ההתאמה, עברו בהצלחה את הריאיון האישי. 40% מן המועמדים שעברו בהצלחה את הריאיון האישי, עברו בהצלחה את הסדנה הקבוצתית.

א. בחרו באקראי מועמד. מהי ההסתברות שהוא התקבל לעבודה בחברה?

ב. נטע וגלי השתתפו במיונים האלה. מהי ההסתברות שלכל היותר אחת מהן התקבלה לעבודה בחברה?

ג. גם עדי השתתפה במיונים. מהי ההסתברות שהיא עברה בהצלחה את הריאיון האישי, אם ידוע שהיא לא התקבלה לעבודה בחברה?

ד. ידוע כי 170 מועמדים מבין כל המועמדים לא התקבלו לעבודה בחברה. כמה מועמדים התקבלו לעבודה בחברה?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – התקבל לעבודה

P = 0.75 · 0.5 · 0.4 = 0.15📐 כלל הכפל (מותנה)כופלים לאורך הענף בעץ
✅ פתרון סופי: 0.15

סעיף ב – לכל היותר אחת

המשלים: שתיהן התקבלו:
0.15 · 0.15 = 0.0225
1 − 0.0225 = 0.9775📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(Ā)
✅ פתרון סופי: 0.9775

סעיף ג – עברה ריאיון, בידיעה שלא התקבלה

עברה ריאיון ולא התקבלה = עברה ריאיון ונכשלה בסדנה:
0.75 · 0.5 · 0.6 = 0.225
לא התקבלה: 1 − 0.15 = 0.85
P = 0.2250.85 = 934 ≈ 0.265📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 934 ≈ 0.265

סעיף ד – כמה התקבלו

85% לא התקבלו, וזה 170 מועמדים. נסמן את מספר המועמדים N:
0.85N = 170  ⟸  N = 200
0.15 · 200 = 30
✅ פתרון סופי: 30 מועמדים

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א0.15
סעיף ב0.9775
סעיף ג934
סעיף ד30
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022 (ינואר), שאלה 3

📄 נוסח השאלה

במרכז הקהילתי יש שני חוגים בלבד: חוג כדורגל וחוג טניס. אפשר להשתתף בחוג אחד בלבד מבין שני החוגים האלה. סך כל הבנים המשתתפים בשני החוגים האלה זהה לסך כל הבנות המשתתפות בהם. 80% מן הבנים משתתפים בחוג כדורגל. מספר הבנות המשתתפות בחוג טניס גדול פי 3 ממספר הבנות המשתתפות בחוג כדורגל. בוחרים באקראי משתתף בחוגים (בן או בת).

א. מהי ההסתברות שנבחר בן המשתתף בחוג כדורגל?

ב. אם ידוע שנבחר משתתף בחוג טניס, מהי ההסתברות שנבחר בן?

ידוע כי בשני החוגים במרכז הקהילתי יש 200 משתתפים (בנים ובנות) סך הכול.

ג. (1) כמה משתתפים סך הכול (בנים ובנות) יש בחוג טניס? (2) מבין כל המשתתפים בחוגים בוחרים באקראי שניים בזה אחר זה (ללא החזרה). מהי ההסתברות ששניהם משתתפים בחוג טניס? דייק 3 ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – בן בכדורגל

בנים ובנות – חצי חצי: 0.5 כל אחד. בנות: כדורגל p , טניס 3p, ו־4p = 1  ⟸  p = 0.25.
0.5 · 0.8 = 0.4📐 כלל הכפל (מותנה)כופלים לאורך הענף בעץ
✅ פתרון סופי: 0.4

סעיף ב – בן, בידיעה שבטניס

בן בטניס: 0.5 · 0.2 = 0.1 ; בת בטניס: 0.5 · 0.75 = 0.375
טניס: 0.1 + 0.375 = 0.475
P = 0.10.475 = 419 ≈ 0.211📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 419 ≈ 0.211

סעיף ג – משתתפי הטניס

(1)
0.475 · 200 = 95
(2) ללא החזרה:
95200 · 94199 = 893039800 ≈ 0.224📐 ללא החזרהבמשיכה השנייה יש אחד פחות
✅ פתרון סופי: (1) 95   (2) 0.224

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א0.4
סעיף ב419
סעיף ג95 ; 0.224
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 (ינואר)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בשקית סוכריות יש 2 סוכריות בטעם לימון, וכל שאר הסוכריות בשקית הן בטעם תות.

הוציאו באקראי מן השקית שתי סוכריות בזו אחר זו ללא החזרה.

ההסתברות ששתי הסוכריות שהוציאו מן השקית הן בטעם לימון היא 1153.

א. כמה סוכריות יש בשקית סך הכול?

ב. מהי ההסתברות ששתי הסוכריות שהוציאו מן השקית הן בטעמים שונים?

ג. (1) מהי ההסתברות שהוציאו לפחות סוכרייה אחת בטעם תות? (2) אם ידוע שהוציאו לפחות סוכרייה אחת בטעם תות, מהי ההסתברות ששתי הסוכריות שהוציאו הן בטעמים שונים?

החזירו את כל הסוכריות לשקית והוציאו מן השקית באקראי שלוש סוכריות בזו אחר זו ללא החזרה.

ד. מהי ההסתברות שכל שלוש הסוכריות שהוציאו הן באותו הטעם?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – כמה סוכריות בשקית

נסמן ב־n את מספר הסוכריות בשקית. (נסמן: L – לימון, T – תות.) בהוצאה הראשונה יש 2 סוכריות לימון מתוך n:
P(L) = 2n📐 הסתברותמספר המקרים הרצויים חלקי מספר כל המקרים
ללא החזרה: אחרי שהוציאו סוכריית לימון נשארו 1 לימון מתוך n − 1:
P(L | L) = 1n − 1
P(L ∩ L) = 2n · 1n − 1 = 2n(n − 1)📐 הסתברות של שני שלביםP(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
משווים לנתון:
2n(n − 1) = 1153
כפל בהצלבה:
n(n − 1) = 306
n2 − n − 306 = 0
n = 18 , n = −17📐 נוסחת השורשים במחשבוןMODE 5 3
מספר סוכריות חייב להיות חיובי, ולכן n = 18.
בדיקה: 218 · 117 = 2306 = 1153 ✓
✅ פתרון סופי: 18 סוכריות

סעיף ב – שתי סוכריות בטעמים שונים

מספר סוכריות התות בשקית:
18 − 2 = 16
עץ ההסתברויות (ללא החזרה – בשלב השני נשארו 17 סוכריות):
2/18L1/17L16/17T16/18T2/17L15/17Tהוצאה 1הוצאה 2
"טעמים שונים" – לימון ואחריו תות, או תות ואחריו לימון:
P(L ∩ T) = 218 · 1617 = 32306📐 הסתברות של שני שלביםP(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
P(T ∩ L) = 1618 · 217 = 32306
מחברים את שני המסלולים:
P(שונים) = 32306 + 32306 = 64306 = 32153📐 חיבור מסלולים בעץמסלולים שונים – מחברים את ההסתברויות שלהם
≈ 0.209
✅ פתרון סופי: 32153 ≈ 0.209

סעיף ג (1) – לפחות סוכרייה אחת בטעם תות

ההפך מ"לפחות סוכרייה אחת בטעם תות" הוא "שתי הסוכריות בטעם לימון", וזו הסתברות נתונה:
P(לפחות תות אחת) = 1 − 1153 = 152153📐 משליםP(Ā) = 1 − P(A)
≈ 0.993
✅ פתרון סופי: 152153 ≈ 0.993

סעיף ג (2) – טעמים שונים, בידיעה שיש לפחות תות אחת

זו הסתברות מותנית. נסמן: A – טעמים שונים, B – לפחות סוכרייה אחת בטעם תות.
P(A | B) = P(A ∩ B)P(B)📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
אם שתי הסוכריות בטעמים שונים, אז אחת מהן בטעם תות – כלומר A כלול ב־B, ולכן P(A ∩ B) = P(A) = 32153:
P(A | B) = 32153152153 = 32152 = 419
≈ 0.211
✅ פתרון סופי: 419 ≈ 0.211

סעיף ד – שלוש סוכריות באותו הטעם

"באותו הטעם" – שלוש סוכריות לימון או שלוש סוכריות תות. בשקית יש רק 2 סוכריות לימון, ולכן אי אפשר להוציא 3 סוכריות לימון:
P(L ∩ L ∩ L) = 0
שלוש סוכריות תות, ללא החזרה (16 תות מתוך 18, אחר כך 15 מתוך 17, אחר כך 14 מתוך 16):
P(T ∩ T ∩ T) = 1618 · 1517 · 1416📐 הסתברות של כמה שלביםכופלים את ההסתברויות לאורך המסלול
= 33604896 = 3551
≈ 0.686
מחברים: 0 + 3551 = 3551.
✅ פתרון סופי: 3551 ≈ 0.686

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א18
סעיף ב32153 ≈ 0.209
סעיף ג (1)152153 ≈ 0.993
סעיף ג (2)419 ≈ 0.211
סעיף ד3551 ≈ 0.686
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2021 מועד מיוחד). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.
⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – קיץ 2021 מועד א (מאי), שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בקופסה יש 20 כדורים בשלושה צבעים בלבד: אדום, לבן ושחור.

נתון: 40% מן הכדורים שבקופסה אדומים.

מספר הכדורים השחורים בקופסה גדול פי 3 ממספר הכדורים הלבנים בקופסה.

א. מהי ההסתברות להוציא מן הקופסה באקראי כדור לבן?

ב. הוציאו באקראי כדור מן הקופסה, החזירו אותו והוציאו שוב באקראי כדור מן הקופסה. מהי ההסתברות ששני הכדורים שהוציאו הם באותו צבע?

ג. מתוך הקופסה שבה 20 הכדורים הוציאו באקראי בזה אחר זה שני כדורים ללא החזרה. (1) מהי ההסתברות ששני הכדורים שהוציאו הם באותו צבע? (2) אם ידוע ששני הכדורים שהוציאו הם בצבעים שונים, מהי ההסתברות שהכדור הראשון שהוציאו הוא לבן?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – כדור לבן

מספר הכדורים האדומים – 40% מ־20:
0.4 · 20 = 8
נשארו 20 − 8 = 12 כדורים לבנים ושחורים. נסמן ב־w את מספר הלבנים; השחורים פי 3, כלומר 3w:
w + 3w = 12
4w = 12
w = 3
בקופסה: 8 אדומים, 3 לבנים ו־3 · 3 = 9 שחורים.
P(לבן) = 320 = 0.15📐 הסתברותמספר המקרים הרצויים חלקי מספר כל המקרים
✅ פתרון סופי: 320 = 0.15

סעיף ב – שני כדורים באותו צבע (עם החזרה)

עם החזרה – בכל הוצאה יש שוב 20 כדורים. (נסמן: R – אדום, W – לבן, B – שחור.) "באותו צבע" – שני אדומים, או שני לבנים, או שני שחורים:
P(R ∩ R) = 820 · 820 = 64400📐 הסתברות של שני שלביםP(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
P(W ∩ W) = 320 · 320 = 9400
P(B ∩ B) = 920 · 920 = 81400
מחברים את שלושת המסלולים:
P = 64 + 9 + 81400 = 154400 = 0.385📐 חיבור מסלולים בעץמסלולים שונים – מחברים את ההסתברויות שלהם
✅ פתרון סופי: 0.385

סעיף ג (1) – שני כדורים באותו צבע (ללא החזרה)

ללא החזרה – בהוצאה השנייה נשארו 19 כדורים, ומהצבע שהוצא נשאר אחד פחות:
P(R ∩ R) = 820 · 719 = 56380📐 הסתברות של שני שלביםP(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
P(W ∩ W) = 320 · 219 = 6380
P(B ∩ B) = 920 · 819 = 72380
מחברים:
P(אותו צבע) = 56 + 6 + 72380 = 134380 = 67190
≈ 0.353
✅ פתרון סופי: 67190 ≈ 0.353

סעיף ג (2) – הראשון לבן, בידיעה שהצבעים שונים

ההסתברות שהצבעים שונים היא המשלים של ג (1):
P(שונים) = 1 − 134380 = 246380📐 משליםP(Ā) = 1 − P(A)
"הראשון לבן והצבעים שונים" – הראשון לבן והשני לא לבן (17 כדורים שאינם לבנים מתוך 19):
P(לבן ראשון ∩ שונים) = 320 · 1719 = 51380
הסתברות מותנית:
P(לבן ראשון | שונים) = 51380246380📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= 51246 = 1782
≈ 0.207
✅ פתרון סופי: 1782 ≈ 0.207

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א0.15
סעיף ב0.385
סעיף ג (1)67190 ≈ 0.353
סעיף ג (2)1782 ≈ 0.207
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, קיץ 2021 מועד א (מאי)). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.
⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 481 – חורף 2021 (פברואר), שאלה 3

📄 נוסח השאלה

מנחם ניגש למבחן נהיגה כדי לקבל רישיון נהיגה.

ההסתברות שמנחם לא יעבור מבחן נהיגה אחד היא קבועה, וגדולה פי 4 מן ההסתברות שהוא יעבור אותו.

א. מהי ההסתברות שמנחם יעבור מבחן נהיגה אחד?

בכל פעם שמנחם לא עובר את המבחן, הוא ניגש למבחן נוסף, עד שהוא מצליח לעבור את מבחן הנהיגה.

ידוע שמנחם קיבל רישיון נהיגה.

ב. (1) מהי ההסתברות שמנחם ניגש לשני מבחנים לכל היותר? (2) מהי ההסתברות שמנחם ניגש למבחן שני, אם ידוע שהוא ניגש לשני מבחנים לכל היותר?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הסתברות לעבור מבחן אחד

נסמן ב־p את ההסתברות לעבור. ההסתברות לא לעבור גדולה פי 4, כלומר 4p.
p + 4p = 1📐 סכום הסתברויותמאורע ומשלים – סכום ההסתברויות 1
5p = 1
p = 0.2
✅ פתרון סופי: 0.2

סעיף ב (1) – לכל היותר שני מבחנים

ההסתברות לא לעבור מבחן: 4 · 0.2 = 0.8.
"לכל היותר שני מבחנים" – עבר כבר במבחן הראשון, או נכשל בראשון ועבר בשני:
P(עבר בראשון) = 0.2
P(נכשל ואז עבר) = 0.8 · 0.2 = 0.16📐 הסתברות של שני שלביםP(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
P(לכל היותר שניים) = 0.2 + 0.16 = 0.36📐 חיבור מסלולים בעץמסלולים שונים – מחברים את ההסתברויות שלהם
✅ פתרון סופי: 0.36

סעיף ב (2) – מבחן שני, בידיעה שלכל היותר שניים

"ניגש למבחן שני" וגם "לכל היותר שני מבחנים" – זה בדיוק המסלול "נכשל ואז עבר":
P(שני ∩ לכל היותר שניים) = 0.16
P(שני | לכל היותר שניים) = 0.160.36📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= 1636 = 49
≈ 0.444
✅ פתרון סופי: 49 ≈ 0.444

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א0.2
סעיף ב (1)0.36
סעיף ב (2)49
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 481, חורף 2021 (פברואר)). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.
⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2018 מועד א', שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בסל יש 2 תפוחים ומספר מסוים של אפרסקים.

טל הוציאה באקראי מן הסל שני פירות זה אחר זה בלי החזרה.

ההסתברות שהיא הוציאה שני תפוחים היא 136 .

א. מצא כמה אפרסקים היו בסל לפני שטל הוציאה ממנו פירות.

ב. מהי ההסתברות שהפרי השני שהוציאה טל היה תפוח?

ג. (1) חשב את ההסתברות שטל הוציאה מן הסל שני פירות מאותו הסוג.

(2) ידוע שטל הוציאה מן הסל שני פירות מאותו הסוג. מהי ההסתברות שהיא הוציאה שני אפרסקים?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – מספר האפרסקים

נסמן ב־n את מספר האפרסקים. בסל n + 2 פירות.
2n + 2 · 1n + 1 = 136📐 הוצאה בלי החזרהבכל שלב המכנה קטן ב־1
(n + 2)(n + 1) = 72
n2 + 3n − 70 = 0
(n + 10)(n − 7) = 0 ← n = 7 ( n > 0 )
✅ פתרון סופי: 7 אפרסקים

סעיף ב – הפרי השני תפוח

בסל 9 פירות: 2 תפוחים ו־7 אפרסקים.
P = 29 · 18 + 79 · 28 = 2 + 1472 = 29📐 נוסחת ההסתברות השלמהסכום על כל ענפי העץ: הסתברות הענף · הסתברות המאורע בו
✅ פתרון סופי: 29

סעיף ג (1) – אותו סוג

P = 136 + 79 · 68 = 272 + 4272 = 4472 = 1118
✅ פתרון סופי: 1118

סעיף ג (2) – הסתברות מותנית

P(שני אפרסקים | אותו סוג) = 42724472 = 4244 = 2122📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 2122

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א7
סעיף ב29
סעיף ג (1)1118
סעיף ג (2)2122
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2018 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.
⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2016, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בקופסה יש 5 כדורים: 2 אדומים, 2 כחולים ו־1 לבן.

מוציאים באקראי שני כדורים בזה אחר זה בלי החזרה.

א. מהי ההסתברות ששני הכדורים שהוציאו הם בצבעים שונים?

ב. ידוע ששני הכדורים שהוציאו הם בצבעים שונים. מהי ההסתברות שאחד מהם לבן והאחר אדום?

ג. מהי ההסתברות שלאחר הוצאת שני הכדורים יישארו בקופסה כדורים בשלושה צבעים שונים?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – צבעים שונים

אותו צבע אפשרי רק בשני אדומים או בשני כחולים (יש רק לבן אחד):
P(אותו צבע) = 25 · 14 + 25 · 14 = 420 = 0.2
P(שונים) = 1 − 0.2 = 0.8📐 מאורע משליםP(A̅) = 1 − P(A)
✅ פתרון סופי: 0.8

סעיף ב – הסתברות מותנית

P(לבן ואדום) = 15 · 24 + 25 · 14 = 220 + 220 = 0.2
(כל זוג לבן־אדום הוא בפרט זוג בצבעים שונים.)
P(לבן ואדום | שונים) = 0.20.8 = 14📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 14

סעיף ג – שלושה צבעים נשארים

כדי שיישארו שלושה צבעים: אסור להוציא את הלבן (יש רק אחד), ואסור להוציא שני כדורים מאותו צבע. לכן צריך להוציא אדום אחד וכחול אחד:
P = 25 · 24 + 25 · 24 = 820 = 25
✅ פתרון סופי: 25

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א0.8
סעיף ב14
סעיף ג25
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2016). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.
⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2015 מועד א', שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בתיבה I יש 3 כדורים אדומים ו־6 כדורים ירוקים. בתיבה II יש 12 כדורים אדומים ו־4 כדורים ירוקים.

בוחרים באקראי אחת מן התיבות, ומוציאים ממנה באקראי שני כדורים בזה אחר זה בלי החזרה.

א. מהי ההסתברות ששני הכדורים שהוציאו הם באותו צבע?

ב. מהי ההסתברות ששני הכדורים שהוציאו הם בצבעים שונים?

ג. ידוע ששני הכדורים שהוציאו הם באותו צבע. מהי ההסתברות שהכדורים הוצאו מתיבה I?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – אותו צבע

• תיבה I (9 כדורים): 39 · 28 + 69 · 58 = 6 + 3072 = 0.5
• תיבה II (16 כדורים): 1216 · 1115 + 416 · 315 = 132 + 12240 = 0.6
P(אותו צבע) = 0.5 · 0.5 + 0.5 · 0.6 = 0.55📐 נוסחת ההסתברות השלמהסכום על כל ענפי העץ: הסתברות הענף · הסתברות המאורע בו
✅ פתרון סופי: 0.55

סעיף ב – צבעים שונים

P = 1 − 0.55 = 0.45📐 מאורע משליםP(A̅) = 1 − P(A)
✅ פתרון סופי: 0.45

סעיף ג – הסתברות מותנית

P(I ∩ אותו צבע) = 0.5 · 0.5 = 0.25
P(I | אותו צבע) = 0.250.55 = 511📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 511

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א0.55
סעיף ב0.45
סעיף ג511
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2015 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.
⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2015, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בשקית א' יש 7 מטפחות צהובות ו־5 מטפחות אדומות.

בשקית ב' יש 10 מטפחות: חלקן צהובות והשאר אדומות.

הוציאו באקראי מטפחת אחת משקית א' ומטפחת אחת משקית ב'.

ההסתברות ששתי המטפחות צהובות היא 740 .

א. כמה מטפחות צהובות היו בשקית ב'?

ב. מחזירים כל מטפחת לשקית שממנה הוציאו אותה, ומוציאים באקראי מטפחת משקית א' ומטפחת משקית ב'. ידוע כי המטפחות שהוצאו הן בצבעים שונים. מהי ההסתברות שהמטפחת שהוצאה משקית ב' היא צהובה?

ג. מחזירים שוב כל מטפחת לשקית שממנה הוציאו אותה. בוחרים באקראי שקית, ומוציאים ממנה באקראי בלי החזרה שתי מטפחות. מהי ההסתברות ששתי המטפחות הן אדומות?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – מספר הצהובות בשקית ב'

נסמן ב־y את מספר המטפחות הצהובות בשקית ב'.
712 · y10 = 740📐 אירועים בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)
7y120 = 740
7y = 21
y = 3
✅ פתרון סופי: 3 מטפחות צהובות

סעיף ב – הסתברות מותנית

בשקית ב': 3 צהובות ו־7 אדומות.
• א' צהובה וב' אדומה: 712 · 710 = 49120
• א' אדומה וב' צהובה: 512 · 310 = 15120
צבעים שונים: 49120 + 15120 = 64120
P(ב' צהובה | שונים) = 1512064120 = 1564📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 1564

סעיף ג – שתי אדומות

• שקית א' (5 אדומות מתוך 12): 512 · 411 = 533
• שקית ב' (7 אדומות מתוך 10): 710 · 69 = 715
P = 12 · 533 + 12 · 715📐 נוסחת ההסתברות השלמהסכום על כל ענפי העץ: הסתברות הענף · הסתברות המאורע בו
= 12 · 25 + 77165 = 51165 = 1755
✅ פתרון סופי: 1755

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א3
סעיף ב1564
סעיף ג1755
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2015). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.
⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2013, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בשלוש קופסאות A , B ו־C יש כדורים שחורים ולבנים.

בקופסה A יש 2 כדורים שחורים ו־3 כדורים לבנים.

בקופסה B יש 3 כדורים שחורים ו־2 כדורים לבנים.

בקופסה C יש 4 כדורים שחורים ו־1 כדור לבן.

א. בוחרים באקראי קופסה, ומוציאים ממנה באקראי כדור אחד.

(1) מהי ההסתברות להוציא כדור לבן?

(2) ידוע שהוצא כדור לבן. מהי ההסתברות שהכדור הוצא מקופסה B ?

ב. מקופסה C מוציאים באקראי 2 כדורים זה אחר זה בלי החזרה. מהי ההסתברות שאחרי הוצאת הכדורים לא נותר בקופסה C כדור לבן?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א (1) – הסתברות לכדור לבן

נסמן: L – הוצא כדור לבן. עץ: בחירת קופסה (כל אחת 13), ואז צבע הכדור:
1/3A3/5לבן2/5שחור1/3B2/5לבן3/5שחור1/3C1/5לבן4/5שחור
P(L) = 13 · 35 + 13 · 25 + 13 · 15📐 הסתברות שלמה – חיבור ענפיםמכפילים לאורך כל ענף ומחברים את הענפים המתאימים
= 315 + 215 + 115 = 615 = 25
✅ פתרון סופי: 25 = 0.4

סעיף א (2) – מקופסה B בידיעה שהכדור לבן

P(B ∩ L) = 13 · 25 = 215📐 כפל לאורך ענף בעץמכפילים את ההסתברויות שעל הענף
P(B | L) = P(B ∩ L)P(L)📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= 21525 = 215 · 52 = 13
✅ פתרון סופי: 13

סעיף ב – לא נותר כדור לבן בקופסה C

בקופסה C יש 5 כדורים: 4 שחורים ו־1 לבן. לא נותר כדור לבן ⇔ הכדור הלבן הוא אחד משני הכדורים שהוצאו.
המאורע המשלים: שני הכדורים שהוצאו שחורים (בלי החזרה):
שניהם שחורים: 45 · 34 = 35📐 הוצאה בלי החזרהאחרי כל הוצאה – כדור אחד פחות בקופסה
P = 1 − 35 = 25📐 משליםP(Ā) = 1 − P(A)
✅ פתרון סופי: 25 = 0.4

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א (1)25
סעיף א (2)13
סעיף ב25
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2013). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.
⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2010 מועד ב', שאלה 3

📄 נוסח השאלה

יוסי משחק שלושה משחקי שש־בש, בזה אחר זה.

בכל משחק הוא יכול לנצח או להפסיד (אין תיקו).

אם יוסי ניצח באחד המשחקים, ההסתברות שהוא ינצח במשחק שאחריו היא P,

ואם הוא הפסיד באחד המשחקים, ההסתברות שהוא יפסיד במשחק שאחריו גם היא P.

נתון כי P > 0.5.

א. אם ידוע כי יוסי ניצח במשחק הראשון:

(1) הבע באמצעות P את ההסתברות שיוסי יפסיד במשחק השני וינצח במשחק השלישי.

(2) חשב את P אם נתון גם כי ההסתברות שיוסי ינצח במשחק השלישי היא 1325.

ב. השתמש בערך של P שחישבת, וחשב את ההסתברות שיוסי ינצח במשחק הראשון, אם נתון כי ההסתברות שיוסי ינצח בשלושת המשחקים היא 0.144.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א (1) – הפסד במשחק השני וניצחון בשלישי

ידוע שיוסי ניצח במשחק הראשון. עץ ההסתברויות למשחקים 2 ו־3:
משחק 1:ניצחוןPניצחוןPניצחון1 − Pהפסד1 − Pהפסד1 − PניצחוןPהפסדמשחק 2משחק 3
אחרי ניצחון – הסתברות להפסד היא 1 − P. אחרי הפסד – הסתברות לניצחון היא 1 − P:
הסתברות הענף (הפסד, ניצחון): (1 − P) · (1 − P) = (1 − P)2📐 כפל לאורך ענף בעץמכפילים את ההסתברויות שעל הענף
✅ פתרון סופי: (1 − P)2

סעיף א (2) – חישוב P

ניצחון במשחק השלישי – שני ענפים: (ניצחון, ניצחון) או (הפסד, ניצחון):
P · P + (1 − P)2 = 1325📐 חיבור ענפים בעץמחברים את ההסתברויות של הענפים המתאימים
P2 + 1 − 2P + P2 = 1325
2P2 − 2P + 1 = 0.52
2P2 − 2P + 0.48 = 0
P = 0.6 , P = 0.4📐 משוואה ריבועיתנוסחת השורשים במחשבון (MODE 5 3)
נתון P > 0.5, ולכן P = 0.6.
✅ פתרון סופי: P = 0.6

סעיף ב – ניצחון במשחק הראשון

נסמן ב־q את ההסתברות שיוסי ינצח במשחק הראשון.
ניצחון בשלושת המשחקים: ניצחון ראשון, ואחריו שני ניצחונות (בכל אחד P = 0.6):
q · 0.6 · 0.6 = 0.144📐 כפל לאורך ענף בעץמכפילים את ההסתברויות שעל הענף
0.36q = 0.144
q = 0.1440.36 = 0.4
✅ פתרון סופי: 0.4

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א (1)(1 − P)2
סעיף א (2)P = 0.6
סעיף ב0.4
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2010 מועד ב'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.
⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – קיץ 2010 מועד א', שאלה 3

📄 נוסח השאלה

במכללה מסוימת הסטודנטים למחשבים נבחנים בסוף השנה במבחן בהסתברות וסטטיסטיקה.

במבחן יש שני תרגילים בהסתברות ותרגיל אחד בסטטיסטיקה.

נבחן מקבל ציון עובר או ציון נכשל בכל תרגיל במבחן.

כדי לקבל ציון עובר במבחן כולו על הנבחן לקבל ציון עובר בשני תרגילים לפחות מבין השלושה.

הסיכוי שסטודנט יקבל ציון עובר בתרגיל בהסתברות הוא 60%, והסיכוי שסטודנט יקבל ציון עובר בסטטיסטיקה הוא 80%.

ההסתברויות לקבל ציון עובר או נכשל בתרגילים השונים אינן תלויות זו בזו.

א. (1) מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשלושת התרגילים במבחן?

(2) מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשני תרגילים במבחן וציון נכשל בתרגיל אחד?

(3) מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר במבחן כולו?

ב. נבחן קיבל ציון עובר במבחן כולו. מהי ההסתברות שהוא קיבל ציון עובר בשני התרגילים בהסתברות?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א (1) – עובר בשלושת התרגילים

ההסתברות לעבור תרגיל בהסתברות: 0.6, ולהיכשל בו: 1 − 0.6 = 0.4.
ההסתברות להיכשל בסטטיסטיקה:
1 − 0.8 = 0.2📐 משליםP(Ā) = 1 − P(A)
התרגילים אינם תלויים זה בזה, ולכן כופלים את ההסתברויות:
P = 0.6 · 0.6 · 0.8 = 0.288📐 מאורעות בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)
✅ פתרון סופי: 0.288

סעיף א (2) – עובר בשניים ונכשל באחד

שלוש אפשרויות – התרגיל שנכשלים בו הוא סטטיסטיקה, הסתברות 1 או הסתברות 2 (✓ – עובר, ✗ – נכשל):
הסתברות 1הסתברות 2סטטיסטיקהההסתברות
✓✓✓0.6 · 0.6 · 0.8 = 0.288
✓✓✗0.6 · 0.6 · 0.2 = 0.072
✓✗✓0.6 · 0.4 · 0.8 = 0.192
✗✓✓0.4 · 0.6 · 0.8 = 0.192
P = 0.072 + 0.192 + 0.192 = 0.456📐 חיבור הסתברויות של אפשרויות זרותP(A ∪ B) = P(A) + P(B)
✅ פתרון סופי: 0.456

סעיף א (3) – עובר במבחן כולו

נסמן: W – עבר במבחן כולו. עובר במבחן = עובר בשלושה התרגילים או בשניים בדיוק (שתי אפשרויות זרות):
P(W) = 0.288 + 0.456 = 0.744📐 חיבור הסתברויות של אפשרויות זרותP(A ∪ B) = P(A) + P(B)
✅ פתרון סופי: 0.744

סעיף ב – עבר בשני תרגילי ההסתברות, בידיעה שעבר במבחן

נסמן: H – עבר בשני תרגילי ההסתברות (W – עבר במבחן כולו, כמו בסעיף א (3)).
מי שעבר בשני תרגילי ההסתברות עבר במבחן בכל מקרה, ולכן H ∩ W הוא פשוט H:
P(H ∩ W) = P(H) = 0.6 · 0.6 = 0.36📐 מאורעות בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)
(וזה גם הסכום של שתי השורות הראשונות בטבלה: 0.288 + 0.072 = 0.36.)
P(H | W) = P(H ∩ W)P(W)📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= 0.360.744 = 360744 = 1531 ≈ 0.484
✅ פתרון סופי: 1531 ≈ 0.484

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א (1)0.288
סעיף א (2)0.456
סעיף א (3)0.744
סעיף ב1531 ≈ 0.484
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, קיץ 2010 מועד א'). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.
⬆️ חזרה לכפתורים

📅 בחינה קודמת – שאלון 804 – חורף 2010, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

בתוך שק נמצאים 3 קלפים. לאחד הקלפים יש שני צדדים לבנים, לאחד הקלפים יש שני צדדים שחורים, ולאחד הקלפים יש צד אחד לבן וצד אחר שחור.

מערבבים את הקלפים, ובעיניים עצומות מוציאים קלף מהשק ומניחים אותו על השולחן.

א. מהי ההסתברות ששני צדי הקלף יהיו זהים?

ב. מהי ההסתברות שהצד הגלוי לעין של הקלף יהיה לבן? נמק.

ג. ידוע שהצד הגלוי לעין של הקלף הוא לבן. מהי ההסתברות ששני צדי הקלף הם לבנים?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – שני צדדים זהים

נסמן את הקלפים: A – לבן־לבן, B – שחור־שחור, C – לבן־שחור. לכל קלף אותו סיכוי להיבחר: P(A) = P(B) = P(C) = 13.
עץ ההסתברויות – שלב ראשון: איזה קלף הוצא, שלב שני: איזה צד גלוי:
1/3לבן־לבן1/3שחור־שחור1/3לבן־שחור1לבן1שחור½לבן½שחורהקלף שהוצאהצד הגלוי
שני צדדים זהים יש לשני קלפים: A ו־B.
P(A ∪ B) = 23📐 הסתברותמספר המקרים הרצויים חלקי מספר כל המקרים
✅ פתרון סופי: P = 23

סעיף ב – הצד הגלוי לבן

נסמן: L – הצד הגלוי לבן. הצד הגלוי לבן בשני מסלולים בעץ: קלף A (כל צד לבן), או קלף C שהונח עם הצד הלבן למעלה.
P(A ∩ L) = 13 · 1 = 13📐 הסתברות של שני שלביםP(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
P(C ∩ L) = 13 · 12 = 16
מחברים את שני המסלולים:
P(L) = 13 + 16 = 26 + 16 = 36 = 12📐 הסתברות שלמהP(L) = P(A ∩ L) + P(C ∩ L)
נימוק נוסף: יש בסך הכול 6 צדדים, 3 מהם לבנים, ולכל צד אותו סיכוי להיות למעלה.
✅ פתרון סופי: P(L) = 12

סעיף ג – שני הצדדים לבנים, בידיעה שהגלוי לבן

זו הסתברות מותנית: יודעים שהצד הגלוי לבן.
P(A | L) = P(A ∩ L)P(L)📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= 1312 = 13 · 2 = 23
✅ פתרון סופי: P(A | L) = 23

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א23
סעיף ב12
סעיף ג23
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
📝 השאלה מבחינת בגרות קודמת (שאלון 804, חורף 2010). הנושא שלה נלמד גם היום בשאלון 471, ולכן היא כאן לתרגול.
⬆️ חזרה לכפתורים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.

השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות