בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (35471) · שאלות לפי נושא

שאלות בגרות 471 לפי נושא – אנליטית + גאומטריה

שאלות הנדסה אנליטית בשילוב גאומטריה (דמיון, חפיפה והוכחות) מבחינות הבגרות בשאלון 471, עם פתרון מלא שלב אחר שלב.

⬅️ חזרה לקורס: הנדסה אנליטית – 471 ⬅️ חזרה לקורס: גיאומטריה – 471

📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 471 לפי נושא

17 שאלות פתורות מבחינות שאלון 471: 5 ללא מעגל ו־12 עם מעגל. לוחצים על מועד ועוברים ישר לשאלה.

ללא מעגל

קיץ 2026 ב חורף 2025 קיץ 2023 ב קיץ 2022 ב קיץ 2022 א

עם מעגל

קיץ 2026 א חורף 2026 קיץ 2025 ב קיץ 2025 א קיץ 2024 ב קיץ 2024 א חורף 2024 קיץ 2023 מיוחד קיץ 2023 א חורף 2023 חורף 2022 נבצרים חורף 2022

ללא מעגל

📅 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 5

📄 נוסח השאלה

בסרטוט טרפז ישר זווית ABCD (∢ABC = 90 מעלות, AD ∥ BC). הקודקוד B נמצא על החלק השלילי של ציר ה־x. נתון: A(0 , 4), אורך הצלע AB הוא 5.

א. מצאו את שיעורי הקודקוד B.

ב. מצאו את משוואת הצלע BC.

נתון כי משוואת האלכסון AC היא y = −13x + 4.

ג. מצאו את אורך הצלע BC.

הנקודה M היא נקודת החיתוך של אלכסוני הטרפז.

ד. הוכיחו: △DMA ∼ △BMC.

נתון כי אורך הקטע AD הוא 3.

ה. מצאו פי כמה גדול שטח המשולש BMC משטח המשולש DMA.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – הקודקוד B

הנקודה B על ציר ה־x, לכן B(x , 0) עם x < 0. משתמשים באורך AB = 5:

5 = √(x − 0)² + (0 − 4)²📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

מעלים בריבוע:

25 = x² + 16

x² = 9

x = 3 או x = −3

B על החלק השלילי של ציר ה־x, לכן x = −3.

✅ פתרון סופי: B(−3 , 0)

סעיף ב – משוואת הצלע BC

m_AB = 4 − 00 − (−3) = 43📐 שיפוע בין שתי נקודותm = y₂ − y₁x₂ − x₁

∢ABC = 90 מעלות, כלומר BC ⊥ AB:

43 · m_BC = −1 ⟸ m_BC = −34📐 ישרים מאונכיםm₁ · m₂ = −1

y − 0 = −34(x − (−3))📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)

y = −34x − 94

✅ פתרון סופי: y = −34x − 94

סעיף ג – אורך הצלע BC

הקודקוד C הוא החיתוך של BC עם האלכסון AC. משווים:

−34x − 94 = −13x + 4

כופלים את שני האגפים ב־12 (מכנה משותף):

−9x − 27 = −4x + 48

מעבירים אגפים:

−9x + 4x = 48 + 27

−5x = 75

x = −15

y = −13 · (−15) + 4 = 5 + 4 = 9

כלומר C(−15 , 9).

BC = √(−15 − (−3))² + (9 − 0)²📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

BC = √(−12)² + 9² = √144 + 81 = √225 = 15

✅ פתרון סופי: BC = 15

סעיף ד – הוכחת הדמיון

בודקים את המשולשים DMA ו־BMC:

1. ∢DMA = ∢BMC📐 זוויות קודקודיותזוויות קודקודיות שוות

2. ∢MAD = ∢MCB📐 ישרים מקביליםזוויות מתחלפות בין מקבילים שוות

(הזווית ∢MAD והזווית ∢MCB הן מתחלפות בין המקבילים AD ∥ BC והחותך AC).

3. △DMA ∼ △BMC📐 משפט דמיוןז.ז – שתי זוויות שוות

✅ פתרון סופי: △DMA ∼ △BMC לפי ז.ז

סעיף ה – יחס השטחים

בדמיון △DMA ∼ △BMC הצלע AD מתאימה לצלע CB. יחס הדמיון:

k = BCAD = 153 = 5

S_BMCS_DMA = 5² = 25📐 יחס שטחים במשולשים דומיםS₁S₂ = k²

✅ פתרון סופי: שטח BMC גדול פי 25

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א	B(−3 , 0)
סעיף ב	y = −34x − 94
סעיף ג	BC = 15
סעיף ד	דמיון ז.ז
סעיף ה	פי 25

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2025, שאלה 4

📄 נוסח השאלה

ABC הוא משולש ישר זווית (∢ABC = 90 מעלות). הצלע AB חותכת את ציר ה־y בנקודה P. נתון כי הישר CP מקביל לציר ה־x. הנקודה E נמצאת על הישר CP כך ש־AE מקביל לציר ה־y (ראו סרטוט).

א. הוכיחו כי △AEP ∼ △CBP.

נתון: יחס הדמיון בין המשולש AEP ובין המשולש CBP הוא 35 , CP = 12.5.

ב. מצאו את אורך הקטע AP.

נתון: A(−6 , 14). שיעור ה־y של הנקודה P קטן מ־14.

ג. מצאו את שיעורי הנקודות P ו־C.

ד. (1) מצאו את משוואת הצלע AB. (2) מצאו את שיעורי הקודקוד B. (3) מצאו את שטח המרובע AEBC.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – הוכחת הדמיון

1. ∢AEP = 90 מעלות📐 ישרים מאונכיםAE מקביל לציר y , EP מקביל לציר x

(הצירים מאונכים זה לזה, ולכן גם AE ⊥ EP.)

2. ∢CBP = ∢ABC = 90 מעלות (נתון).

3. ∢APE = ∢CPB📐 זוויות קודקודיותזוויות קודקודיות שוות

4. △AEP ∼ △CBP📐 משפט דמיוןז.ז – שתי זוויות שוות

✅ פתרון סופי: △AEP ∼ △CBP לפי ז.ז

סעיף ב – אורך AP

בדמיון △AEP ∼ △CBP הקודקודים מתאימים לפי הסדר: A ↔ C , E ↔ B , P ↔ P. לכן AP מתאים ל־CP:

APCP = 35📐 יחס דמיוןצלע במשולש 1צלע מתאימה במשולש 2 = k

AP = 35 · 12.5 = 7.5

✅ פתרון סופי: AP = 7.5

סעיף ג – הנקודות P ו־C

הנקודה P על ציר ה־y: P(0 , p). משתמשים ב־AP = 7.5:

7.5 = √(0 − (−6))² + (p − 14)²📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

מעלים בריבוע:

56.25 = 36 + (p − 14)²

(p − 14)² = 20.25

p − 14 = 4.5 או p − 14 = −4.5

נתון ש־p < 14, ולכן p = 14 − 4.5 = 9.5.

CP מקביל לציר ה־x, לכן ל־C אותו שיעור y כמו ל־P: 9.5. לפי הסרטוט C מימין ל־P, במרחק 12.5:

x_C = 0 + 12.5 = 12.5

✅ פתרון סופי: P(0 , 9.5) , C(12.5 , 9.5)

סעיף ד (1) – משוואת AB

m_AB = 9.5 − 140 − (−6) = −4.56 = −0.75📐 שיפוע בין שתי נקודותm = y₂ − y₁x₂ − x₁

הישר חותך את ציר ה־y ב־P(0 , 9.5):

y = −0.75x + 9.5📐 משוואת ישרy = mx + b

בדיקה: A: −0.75 · (−6) + 9.5 = 4.5 + 9.5 = 14 ✓

✅ פתרון סופי: y = −0.75x + 9.5

סעיף ד (2) – הקודקוד B

∢ABC = 90 מעלות, לכן BC ⊥ AB:

−0.75 · m_BC = −1 ⟸ m_BC = 43📐 ישרים מאונכיםm₁ · m₂ = −1

y − 9.5 = 43(x − 12.5)📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)

B הוא החיתוך של AB ו־BC. מציבים y = −0.75x + 9.5:

−0.75x + 9.5 − 9.5 = 43x − 503

−34x − 43x = −503

מכנה משותף 12:

−9x + 16x12 = −503

25x12 = 503

x = 503 · 1225 = 8

y = −0.75 · 8 + 9.5 = −6 + 9.5 = 3.5

✅ פתרון סופי: B(8 , 3.5)

סעיף ד (3) – שטח המרובע AEBC

הנקודה E על CP (שיעור y 9.5) ומתחת ל־A: E(−6 , 9.5).

האלכסון EC אופקי ומחלק את המרובע לשני משולשים: AEC (מעליו) ו־EBC (מתחתיו).

EC = 12.5 − (−6) = 18.5

הגובה מ־A אל EC: 14 − 9.5 = 4.5. הגובה מ־B אל EC: 9.5 − 3.5 = 6.

S_AEC = 18.5 · 4.52 = 41.625📐 שטח משולשS = צלע · גובה2

S_EBC = 18.5 · 62 = 55.5

S_AEBC = 41.625 + 55.5 = 97.125

✅ פתרון סופי: 97.125 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	דמיון ז.ז
סעיף ב	AP = 7.5
סעיף ג	P(0 , 9.5) , C(12.5 , 9.5)
סעיף ד	y = −0.75x + 9.5 ; B(8 , 3.5) ; 97.125

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 4

📄 נוסח השאלה

במקבילית OABC הקודקוד B מונח על ציר ה־y, והנקודה O היא ראשית הצירים. מן הקודקודים A ו־C העבירו אנכים לציר ה־x, החותכים אותו בנקודות E ו־F בהתאמה (ראו סרטוט). נתון: ∢AOE = ∢COB.

א. (1) הוכיחו: ∢AOE = ∢OCF. (2) הוכיחו כי המשולשים OCF ו־AOE דומים.

שטח המשולש OCF גדול פי 4 משטח המשולש AOE. משוואות הישרים AE ו־CF הן x = 4 ו־x = −4 בהתאמה.

ב. (1) מצאו את יחס הדמיון בין המשולשים OCF ו־AOE. (2) מצאו את אורכי הצלעות OE ו־CF. (3) מצאו את שיעורי הקודקודים C ו־A.

ג. מצאו את שיעורי הקודקוד B.

ד. הוכיחו כי המקבילית OABC היא מלבן.

אלכסוני המלבן OABC נפגשים בנקודה M.

ה. האם נכון כי S_AOE + S_CFO = 2 · S_ABM? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א (1) – ∢AOE = ∢OCF

CF ⊥ ציר ה־x, ו־OB הוא ציר ה־y – גם הוא מאונך לציר ה־x. לכן CF ∥ OB.

∢OCF = ∢COB – זוויות מתחלפות בין המקבילים CF ו־OB (החותך OC).📐 זוויות מתחלפותזוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות

∢COB = ∢AOE – נתון. לכן ∢AOE = ∢OCF.

✅ פתרון סופי: ∢AOE = ∢OCF ✓

סעיף א (2) – דמיון המשולשים

∢OFC = ∢AEO = 90 – אנכים לציר ה־x.

∢OCF = ∢AOE – סעיף א (1).

לכן △OCF ∼ △AOE, בהתאמה C ↔ O , F ↔ E , O ↔ A.📐 משפט דמיון ז.ז.שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים

✅ פתרון סופי: △OCF ∼ △AOE ✓

סעיף ב (1) – יחס הדמיון

k² = 4 → k = 2📐 יחס שטחים במשולשים דומיםיחס השטחים = ריבוע יחס הדמיון

✅ פתרון סופי: k = 2

סעיף ב (2) – OE ו־CF

E על הישר x = 4 ועל ציר ה־x: E(4 , 0), ולכן OE = 4. באותו אופן F(−4 , 0) ו־OF = 4.

לפי ההתאמה C ↔ O , F ↔ E, הצלע CF מתאימה לצלע OE:

CFOE = 2 → CF = 2 · 4 = 8

✅ פתרון סופי: OE = 4 , CF = 8

סעיף ב (3) – שיעורי C ו־A

C מעל F(−4 , 0) במרחק 8: C(−4 , 8).

OF מתאימה ל־AE:

OFAE = 2 → AE = 42 = 2

A מעל E(4 , 0) במרחק 2: A(4 , 2).

✅ פתרון סופי: C(−4 , 8) , A(4 , 2)

סעיף ג – שיעורי B

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן לאלכסונים OB ו־AC אותו אמצע:📐 אלכסוני מקביליתחוצים זה את זה

M = (4 + (−4)2 , 2 + 82) = (0 , 5)📐 אמצע קטע(x₁ + x₂2 , y₁ + y₂2)

M הוא גם אמצע OB, ו־O(0 , 0), ולכן B(0 , 10).

✅ פתרון סופי: B(0 , 10)

סעיף ד – המקבילית היא מלבן

m_OA = 24 = 12📐 שיפועm = y₂ − y₁x₂ − x₁

m_OC = 8−4 = −2

12 · (−2) = −1 ← OA ⊥ OC📐 ישרים מאונכיםm₁ · m₂ = −1

מקבילית עם זווית ישרה היא מלבן.📐 מלבןמקבילית שיש בה זווית ישרה

✅ פתרון סופי: מלבן ✓

סעיף ה – האם השוויון נכון

S_AOE = 4 · 22 = 4 ; S_CFO = 4 · 82 = 16

צד שמאל: 4 + 16 = 20

OA = √4² + 2² = √20📐 מרחק בין נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

OC = √(−4)² + 8² = √80

S_OABC = √20 · √80 = √1,600 = 40

S_ABM = 404 = 10📐 אלכסוני מקביליתמחלקים אותה ל־4 משולשים שווי שטח

צד ימין: 2 · 10 = 20. שני הצדדים שווים.

✅ פתרון סופי: נכון (20 = 20)

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	הוכחות
סעיף ב (1)	k = 2
סעיף ב (2)	OE = 4 , CF = 8
סעיף ב (3)	C(−4 , 8) , A(4 , 2)
סעיף ג	B(0 , 10)
סעיף ד	הוכחה
סעיף ה	נכון

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 5

📄 נוסח השאלה

במשולש ABC הקודקוד A מונח על ציר ה־x. הצלע AC חותכת את ציר ה־y בנקודה D. הצלע CB מקבילה לציר ה־x, וחותכת את ציר ה־y בנקודה E, כמתואר בסרטוט שלפניכם. O היא ראשית הצירים.

א. הוכיחו: △AOD ∼ △CED.

נתון כי משוואת הישר AC היא y = −43x + 4, וכי DODE = 23.

ב. (1) מצאו את אורך הקטע DE. (2) מצאו את משוואת הישר CB.

נתון: הצלע AB מאונכת לצלע AC.

ג. מצאו את משוואת הישר AB.

ד. חשבו את גודל הזווית CDE.

ה. חשבו את שטח המרובע ADEB.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – דמיון המשולשים

∢AOD = ∢CED = 90 – OA על ציר ה־x, ו־CE מקביל לציר ה־x; שניהם מאונכים לציר ה־y.

∢ADO = ∢CDE.📐 זוויות קודקודיותזוויות קודקודיות שוות

לכן △AOD ∼ △CED.📐 משפט דמיון ז.ז.שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים

✅ פתרון סופי: △AOD ∼ △CED ✓

סעיף ב (1) – אורך DE

D – חיתוך AC עם ציר ה־y: D(0 , 4), ולכן DO = 4.

4DE = 23 → DE = 6

✅ פתרון סופי: DE = 6

סעיף ב (2) – משוואת CB

E מעל D על ציר ה־y: E(0 , 4 + 6) = (0 , 10). CB מקביל לציר ה־x, ולכן:

✅ פתרון סופי: y = 10

סעיף ג – משוואת AB

A – חיתוך AC עם ציר ה־x: 0 = −43x + 4 → x = 3, A(3 , 0).

m · (−43) = −1 → m = 34📐 ישרים מאונכיםm₁ · m₂ = −1

y − 0 = 34(x − 3) → y = 0.75x − 2.25📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)

✅ פתרון סופי: y = 0.75x − 2.25

סעיף ד – הזווית CDE

C – חיתוך AC עם y = 10: 10 = −43x + 4 → x = −4.5, C(−4.5 , 10).

במשולש CED, ישר הזווית ב־E: CE = 4.5 , DE = 6.

tan(∢CDE) = 4.56 = 0.75📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד

∢CDE ≈ 36.87

✅ פתרון סופי: ∢CDE ≈ 36.87 מעלות

סעיף ה – שטח המרובע ADEB

B – חיתוך AB עם y = 10: 10 = 0.75x − 2.25 → x = 493, B(493 , 10).

השטח = שטח המשולש ABC פחות שטח המשולש CED.

CB = 493 + 4.5 = 1256 ; הגובה מ־A אל CB: 10

S_ABC = 12 · 1256 · 10 = 6256📐 שטח משולשS = בסיס · גובה2

S_CED = 4.5 · 62 = 13.5

S = 6256 − 13.5 = 625 − 816 = 2723 ≈ 90.67

✅ פתרון סופי: S ≈ 90.67 (בדיוק 2723)

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א	הוכחה
סעיף ב (1)	DE = 6
סעיף ב (2)	y = 10
סעיף ג	y = 0.75x − 2.25
סעיף ד	36.87 מעלות
סעיף ה	2723 ≈ 90.67

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד א', שאלה 5

📄 נוסח השאלה

נתון ריבוע ABCD. הצלע AB עוברת דרך ראשית הצירים O. הצלע AD חותכת את ציר ה־y בנקודה E. הקודקוד C מונח על ציר ה־x (ראו סרטוט).

א. (1) הוכיחו: ∢AEO = ∢BOC. (2) הוכיחו: △OAE ∼ △CBO.

נתון: הנקודה O היא אמצע הצלע AB.

ב. מצאו את היחס BOAE.

נתון: E(0 , −5).

ג. מצאו את אורך הקטע OC ואת שיעורי הנקודה C.

נתון: שיפוע הצלע BC הוא −12.

ד. מצאו את שיעורי הנקודה B.

ה. מצאו את שטח הריבוע ABCD.

ו. האם מתקיים ∢BCO = ∢OCE? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – זוויות ודמיון

(1) במשולש OAE ∢A = 90 (זווית של ריבוע), לכן:

∢AEO = 90 − ∢AOE📐 סכום זוויות במשולש180 מעלות

על הישר AB בנקודה O: ∢AOE + ∢EOC + ∢COB = 180, ו־∢EOC = 90 (בין הצירים):

∢BOC = 90 − ∢AOE

לכן ∢AEO = ∢BOC.

(2) ∢OAE = ∢CBO = 90 (זוויות ריבוע), ו־∢AEO = ∢BOC:

△OAE ∼ △CBO📐 משפט דמיוןז.ז

✅ פתרון סופי: ∢AEO = ∢BOC ; דמיון ז.ז

סעיף ב – היחס BO / AE

נסמן את צלע הריבוע a. O אמצע AB, לכן OA = BO = a2 ו־CB = a.

OACB = AEBO📐 יחס דמיוןיחס בין צלעות מתאימות שווה

a2a = 12 = AEBO

BOAE = 2

✅ פתרון סופי: BOAE = 2

סעיף ג – OC והנקודה C

היתרים המתאימים: OE (במשולש OAE) ו־CO (במשולש CBO). יחס הדמיון 12:

OECO = 12 ⟸ CO = 2 · 5 = 10

C על החלק החיובי של ציר ה־x (לפי הסרטוט): C(10 , 0).

✅ פתרון סופי: OC = 10 , C(10 , 0)

סעיף ד – הנקודה B

BC: y − 0 = −12(x − 10) ⟸ y = −12x + 5📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)

AB ⊥ BC ⟸ m_AB = 2 ⟸ y = 2x (דרך O)📐 ישרים מאונכיםm₁ · m₂ = −1

2x = −12x + 5 ⟸ 2.5x = 5 ⟸ x = 2

y = 4 ← B(2 , 4)

✅ פתרון סופי: B(2 , 4)

סעיף ה – שטח הריבוע

BC = √(10 − 2)² + (0 − 4)² = √80📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

S = BC² = 80📐 שטח ריבועS = a²

✅ פתרון סופי: 80

סעיף ו – האם ∢BCO = ∢OCE

במשולש OBC (∢B = 90): BO = √2² + 4² = √20 , tan∢BCO = √20√80 = 12📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד

במשולש OCE (∢O = 90): tan∢OCE = OEOC = 510 = 12

לשתי הזוויות החדות אותו טנגנס, ולכן הן שוות (כ־26.57 מעלות).

✅ פתרון סופי: כן

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א	דמיון ז.ז
סעיף ב	2
סעיף ג	OC = 10 , C(10 , 0)
סעיף ד	B(2 , 4)
סעיף ה	80
סעיף ו	כן

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

עם מעגל

📅 קיץ 2026 מועד א', שאלה 5

📄 נוסח השאלה

בסרטוט משולש ABC החסום במעגל. הצלע CB היא קוטר במעגל. הצלע AB מקבילה לציר ה־y. המשך הצלע CB חותך את ציר ה־x בנקודה D. דרך הנקודה C העבירו משיק למעגל, החותך את ציר ה־x בנקודה F.

א. (1) הסבירו מדוע הצלע AC מקבילה לציר ה־x. (2) הוכיחו כי △ABC ∼ △CFD.

נתון כי D(8 , 0), וכי משוואת המשיק CF היא y = 43x + 31.

ב. מצאו את אורך הצלע FD.

ג. (1) מצאו את משוואת הצלע CD. (2) מצאו את אורך הצלע CD.

נתון כי יחס הדמיון בין המשולש ABC ובין המשולש CFD הוא 825.

ד. חשבו את היקף המשולש ABC.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א (1) – למה AC מקביל לציר ה־x

CB הוא קוטר, ולכן הזווית ההיקפית שנשענת עליו ישרה: ∢CAB = 90.📐 זווית היקפית על קוטרזווית היקפית הנשענת על קוטר שווה 90 מעלות

כלומר AC ⊥ AB. אבל AB מקביל לציר ה־y, ולכן AC מאונך לציר ה־y.

ישר שמאונך לציר ה־y מקביל לציר ה־x.

✅ פתרון סופי: AC מקביל לציר ה־x

סעיף א (2) – הוכחת הדמיון

(1) ∢CAB = 90 (הוכחנו בסעיף הקודם).

(2) ∢FCD = 90 – CF משיק, ו־CD עובר על הקוטר CB (כלומר על הרדיוס לנקודת ההשקה).📐 משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

(3) ∢ACB = ∢CDF – זוויות מתחלפות, כי AC ∥ FD (שניהם על/מקבילים לציר ה־x) ו־CD חותך אותם.📐 ישרים מקביליםזוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות

משני זוגות זוויות שוות: △ABC ∼ △CFD (ז.ז), כאשר A ↔ C, B ↔ F, C ↔ D.📐 משפט דמיוןז.ז – שתי זוויות שוות

✅ פתרון סופי: הוכח: △ABC ∼ △CFD (ז.ז)

סעיף ב – אורך FD

F על ציר ה־x, ולכן y = 0. מציבים במשוואת המשיק:

0 = 43x + 31📐 חיתוך עם ציר ה־xy = 0

43x = −31

x = −31 · 34 = −934 = −23.25

כלומר F(−23.25 , 0). שתי הנקודות על ציר ה־x, ולכן המרחק הוא הפרש השיעורים:

FD = 8 − (−23.25) = 31.25

✅ פתרון סופי: FD = 31.25

סעיף ג (1) – משוואת CD

CD ⊥ CF (הוכחנו ב־א (2)). השיפוע של CF הוא 43:

43 · m_CD = −1 → m_CD = −34📐 ישרים מאונכיםm₁ · m₂ = −1

הישר עובר דרך D(8 , 0):

y − 0 = −34(x − 8)📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)

y = −34x + 6

✅ פתרון סופי: y = −34x + 6

סעיף ג (2) – אורך CD

C היא נקודת החיתוך של CF ו־CD:

43x + 31 = −34x + 6📐 נקודת חיתוךy₁ = y₂

כופלים ב־12 (מכנה משותף):

16x + 372 = −9x + 72

25x = −300 → x = −12

y = −34 · (−12) + 6 = 9 + 6 = 15

כלומר C(−12 , 15). עכשיו האורך:

CD = √(8 − (−12))² + (0 − 15)²📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

= √20² + 15² = √400 + 225 = √625 = 25

✅ פתרון סופי: CD = 25

סעיף ד – היקף המשולש ABC

חסרה לנו הצלע CF:

CF = √(−12 + 23.25)² + 15² = √126.5625 + 225📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

= √351.5625 = 18.75

בדיקה: פיתגורס ב־△CFD: 18.75² + 25² = 351.5625 + 625 = 976.5625 = 31.25² ✓

היקף המשולש CFD:

P_CFD = 18.75 + 31.25 + 25 = 75

יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון:

P_ABCP_CFD = 825📐 יחס היקפיםP₁P₂ = k

P_ABC = 825 · 75 = 24

(הצלעות של ABC יוצאות 6, 8, 10.)

✅ פתרון סופי: P_ABC = 24

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א (1)	AC מקביל לציר ה־x
סעיף א (2)	הוכח: △ABC ∼ △CFD (ז.ז)
סעיף ב	FD = 31.25
סעיף ג (1)	y = −34x + 6
סעיף ג (2)	CD = 25
סעיף ד	P_ABC = 24

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2026, שאלה 4

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם משולש ABC החסום במעגל. AC הוא קוטר במעגל. הקודקוד A נמצא על ציר ה־y והקודקוד B נמצא על ציר ה־x. דרך הנקודה C העבירו אנך לציר ה־x החותך אותו בנקודה E. הנקודה O היא ראשית הצירים.

א. (1) הוכיחו כי ∢ABO = ∢BCE. (2) הוכיחו כי △AOB ∼ △BEC.

נתון כי יחס הדמיון בין המשולש BEC ובין המשולש AOB הוא 3, וכי A(0 , 12) , B(9 , 0).

ב. (1) מצאו את אורך הצלע BE. (2) מצאו את שיעורי הקודקוד C.

בנקודה C העבירו משיק למעגל.

ג. מצאו את משוואת המשיק.

הנקודה K היא נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה־x.

ד. חשבו את שטח המרובע ABKC.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א (1) – הוכחה ש־∢ABO = ∢BCE

∢ABC = 90 מעלות – זווית היקפית שנשענת על הקוטר AC.📐 זווית על קוטרזווית היקפית שנשענת על קוטר שווה ל־90 מעלות

הנקודות O , B , E על ציר ה־x, ולכן הזוויות ליד B יוצרות זווית שטוחה:

∢ABO + ∢ABC + ∢CBE = 180📐 זווית שטוחהזווית שטוחה = 180 מעלות

∢ABO = 180 − 90 − ∢CBE = 90 − ∢CBE

CE מאונך לציר ה־x, ולכן ∢BEC = 90. במשולש BEC:

∢BCE + ∢CBE + 90 = 180📐 סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש = 180 מעלות

∢BCE = 90 − ∢CBE

שתי הזוויות שוות ל־90 − ∢CBE, ולכן הן שוות זו לזו.

✅ פתרון סופי: ∢ABO = ∢BCE ✓

סעיף א (2) – הוכחת הדמיון

∢AOB = 90 – הצירים מאונכים זה לזה.

∢BEC = 90 – CE מאונך לציר ה־x.

∢ABO = ∢BCE – הוכחנו בסעיף א (1).

יש שתי זוויות שוות בשני המשולשים, ולכן הם דומים.📐 משפט דמיון ז.ז.אם שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש אחר – המשולשים דומים

התאמת הקודקודים: A ↔ B , O ↔ E , B ↔ C.

✅ פתרון סופי: △AOB ∼ △BEC ✓

סעיף ב (1) – אורך BE

מהנקודות הנתונות: AO = 12 (המרחק של A מהראשית), OB = 9.

לפי התאמת הקודקודים, BE מתאימה ל־AO. יחס הדמיון של BEC ל־AOB הוא 3:

BEAO = 3📐 יחס דמיוןהיחס בין צלעות מתאימות שווה ליחס הדמיון

BE = 3 · 12 = 36

✅ פתרון סופי: BE = 36

סעיף ב (2) – שיעורי C

EC מתאימה ל־OB:

ECOB = 3 → EC = 3 · 9 = 27📐 יחס דמיוןהיחס בין צלעות מתאימות שווה ליחס הדמיון

E על ציר ה־x, ימינה מ־B במרחק 36:

x_E = 9 + 36 = 45 , E(45 , 0)

C נמצאת בדיוק מעל E, בגובה 27:

C(45 , 27)

בדיקה: ∢ABC = 90? שיפוע AB: 0 − 129 − 0 = −43, שיפוע BC: 27 − 045 − 9 = 34, מכפלה −1 ✓

✅ פתרון סופי: C(45 , 27)

סעיף ג – משוואת המשיק ב־C

מרכז המעגל M הוא אמצע הקוטר AC:

M = (0 + 452 , 12 + 272) = (22.5 , 19.5)📐 אמצע קטע(x₁ + x₂2 , y₁ + y₂2)

שיפוע הרדיוס MC (הוא על הקוטר AC):

m_AC = 27 − 1245 − 0 = 1545 = 13📐 שיפועm = y₂ − y₁x₂ − x₁

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה:

m · 13 = −1 → m = −3📐 משיק מאונך לרדיוסm₁ · m₂ = −1

משוואת ישר דרך C(45 , 27) עם שיפוע −3:

y − 27 = −3(x − 45)📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)

y − 27 = −3x + 135

y = −3x + 135 + 27 = −3x + 162

✅ פתרון סופי: y = −3x + 162

סעיף ד – שטח המרובע ABKC

נקודה K – חיתוך המשיק עם ציר ה־x, מציבים y = 0:

0 = −3x + 162 → 3x = 162 → x = 54 , K(54 , 0)

מחלקים את המרובע באלכסון BC לשני משולשים: ABC ו־BKC.

משולש ABC – ישר זווית ב־B, הניצבים AB ו־BC:

AB = √(9 − 0)² + (0 − 12)² = √81 + 144 = √225 = 15📐 מרחק בין נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

BC = √(45 − 9)² + (27 − 0)² = √1296 + 729 = √2025 = 45

S_ABC = 15 · 452 = 337.5📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2

משולש BKC – הבסיס BK על ציר ה־x, והגובה הוא ה־y של C:

BK = 54 − 9 = 45 , h = 27

S_BKC = 45 · 272 = 607.5📐 שטח משולשS = בסיס · גובה2

S_ABKC = 337.5 + 607.5 = 945

✅ פתרון סופי: 945 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	הוכחות
סעיף ב (1)	BE = 36
סעיף ב (2)	C(45 , 27)
סעיף ג	y = −3x + 162
סעיף ד	945

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 5

📄 נוסח השאלה

נתון מעגל החותך את החלק החיובי של ציר ה־y בנקודות A ו־D, כמתואר בסרטוט. BD ו־AC הם מיתרים במעגל הנחתכים בנקודה E. נתון כי המיתר BD מקביל לציר ה־x.

א. (1) הסבירו מדוע AB הוא קוטר במעגל. (2) הוכיחו כי ∢CBD = ∢DAC.

נתון: BE = AE.

ב. הוכיחו כי △CBE ≅ △DAE.

נתון: E(−7.5 , 10) , AE = 12.5.

ג. מצאו את שיעורי הנקודות B ו־A.

הנקודה M היא מרכז המעגל.

ד. מצאו את משוואת המעגל.

ה. (1) מהו אורך הצלע BC? נמקו את תשובתכם. (2) חשבו את היקף המרובע BCEM.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א (1) – למה AB קוטר

AD על ציר ה־y ו־BD מקביל לציר ה־x. הצירים מאונכים, ולכן ∢ADB = 90.

זווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר, ולכן AB קוטר.📐 זווית ישרה במעגלזווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר

✅ פתרון סופי: AB קוטר ✓

סעיף א (2) – ∢CBD = ∢DAC

∢CBD ו־∢DAC הן זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת CD, ולכן הן שוות.📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת – שוות

✅ פתרון סופי: ∢CBD = ∢DAC ✓

סעיף ב – הוכחת החפיפה

BE = AE – נתון.

∢CBE = ∢DAE – סעיף א (2).

∢BEC = ∢AED – זוויות קודקודיות.📐 זוויות קודקודיותזוויות קודקודיות שוות

צלע ושתי הזוויות שלידה שוות, ולכן המשולשים חופפים.📐 משפט חפיפה ז.צ.ז.שתי זוויות והצלע שביניהן

התאמה: C ↔ D , B ↔ A , E ↔ E.

✅ פתרון סופי: △CBE ≅ △DAE ✓

סעיף ג – שיעורי B ו־A

BD מקביל לציר ה־x ועובר דרך E(−7.5 , 10), ו־D על ציר ה־y: D(0 , 10). לכן ED = 0 − (−7.5) = 7.5.

במשולש AED הזווית ב־D ישרה (סעיף א):

AD² = AE² − ED² = 12.5² − 7.5² = 156.25 − 56.25 = 100📐 משפט פיתגורסa² + b² = c²

AD = 10 → A(0 , 10 + 10) = (0 , 20)

BE = AE = 12.5, ו־B משמאל ל־E על אותו ישר אופקי:

x_B = −7.5 − 12.5 = −20

✅ פתרון סופי: B(−20 , 10) , A(0 , 20)

סעיף ד – משוואת המעגל

AB קוטר, ולכן המרכז M הוא אמצע AB:

M = (0 + (−20)2 , 20 + 102) = (−10 , 15)📐 אמצע קטע(x₁ + x₂2 , y₁ + y₂2)

R² = MA² = (0 + 10)² + (20 − 15)² = 100 + 25 = 125📐 מרחק בין נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

(x + 10)² + (y − 15)² = 125📐 משוואת מעגל(x − a)² + (y − b)² = R²

✅ פתרון סופי: (x + 10)² + (y − 15)² = 125

סעיף ה (1) – אורך BC

מהחפיפה (סעיף ב), BC מתאימה ל־AD:📐 צלעות מתאימותבמשולשים חופפים הצלעות המתאימות שוות

BC = AD = 10

✅ פתרון סופי: BC = 10

סעיף ה (2) – היקף המרובע BCEM

BC = 10 (סעיף ה (1)).

CE = DE = 7.5 – צלעות מתאימות בחפיפה.

EM = √(−10 + 7.5)² + (15 − 10)² = √6.25 + 25 = √31.25 ≈ 5.590📐 מרחק בין נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

MB = R = √125 ≈ 11.180 – רדיוס.

P = 10 + 7.5 + 5.590 + 11.180 ≈ 34.27

✅ פתרון סופי: P ≈ 34.27 (בדיוק 17.5 + 7.5√5)

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א	הסבר והוכחה
סעיף ב	הוכחה
סעיף ג	B(−20 , 10) , A(0 , 20)
סעיף ד	(x + 10)² + (y − 15)² = 125
סעיף ה (1)	BC = 10
סעיף ה (2)	≈ 34.27

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד א', שאלה 5

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו M. המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה־x בנקודה A. הנקודה B נמצאת על המעגל כך ש־AB הוא קוטר במעגל. דרך הנקודה B העבירו משיק למעגל, החותך את ציר ה־x בנקודה C. נתון כי משוואת המעגל היא (x − 2)² + (y − 6)² = 100.

א. מצאו את שיעורי הנקודה A.

ב. מצאו את משוואת המשיק BC.

ג. מצאו את אורך הצלע AC.

הנקודה D נמצאת על המעגל כך ש־AB חוצה את הזווית DAC.

ד. (1) הסבירו מדוע ∢ADB = 90 מעלות. (2) הוכיחו: △ABC ∼ △ADB.

ה. מצאו פי כמה גדול שטח המשולש ABC משטח המשולש ADB.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – שיעורי A

A על ציר ה־x, ולכן y = 0. מציבים במשוואת המעגל:

(x − 2)² + (0 − 6)² = 100📐 משוואת מעגל(x − a)² + (y − b)² = R²מרכז (a , b), רדיוס R

(x − 2)² + 36 = 100 → (x − 2)² = 64

x − 2 = 8 → x = 10 או x − 2 = −8 → x = −6

A על החלק החיובי של ציר ה־x, ולכן x = 10.

✅ פתרון סופי: A(10 , 0)

סעיף ב – משוואת המשיק BC

AB קוטר, ולכן המרכז M(2 , 6) הוא אמצע AB:

2 = 10 + x_B2 → x_B = −6 , 6 = 0 + y_B2 → y_B = 12📐 אמצע קטע(x₁ + x₂2 , y₁ + y₂2)

B(−6 , 12)

m_MB = 12 − 6−6 − 2 = 6−8 = −34📐 שיפועm = y₂ − y₁x₂ − x₁

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה:

m · (−34) = −1 → m = 43📐 משיק מאונך לרדיוסm₁ · m₂ = −1

y − 12 = 43(x + 6)📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)

y = 43x + 8 + 12 = 43x + 20

✅ פתרון סופי: y = 43x + 20

סעיף ג – אורך AC

C – חיתוך המשיק עם ציר ה־x, מציבים y = 0:

0 = 43x + 20 → 43x = −20 → x = −15 , C(−15 , 0)

A ו־C שתיהן על ציר ה־x:

AC = 10 − (−15) = 25

✅ פתרון סופי: AC = 25

סעיף ד (1) – למה ∢ADB = 90

הזווית ADB היא זווית היקפית שנשענת על הקוטר AB, ולכן היא ישרה.📐 זווית על קוטרזווית היקפית שנשענת על קוטר שווה ל־90 מעלות

✅ פתרון סופי: ∢ADB = 90 מעלות ✓

סעיף ד (2) – הוכחת הדמיון

∢ABC = 90 – BC משיק ו־AB קוטר (רדיוס), והמשיק מאונך לרדיוס.📐 משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

∢ADB = 90 – סעיף ד (1).

∢DAB = ∢BAC – AB חוצה את הזווית DAC.

שתי זוויות שוות בשני המשולשים, ולכן הם דומים.📐 משפט דמיון ז.ז.אם שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש אחר – המשולשים דומים

התאמה: A ↔ A , B ↔ D , C ↔ B.

✅ פתרון סופי: △ABC ∼ △ADB ✓

סעיף ה – פי כמה גדול השטח

אורך הקוטר: AB = 2R = 2 · 10 = 20.

לפי ההתאמה, היתר AC במשולש ABC מתאים ליתר AB במשולש ADB:

k = ACAB = 2520 = 1.25📐 יחס דמיוןהיחס בין צלעות מתאימות

S_ABCS_ADB = k² = 1.25² = 1.5625📐 יחס שטחיםיחס השטחים = k²

בדיקה: BC = √9² + 12² = 15, S_ABC = 20 · 152 = 150; AD = 16 , DB = 12, S_ADB = 16 · 122 = 96; 15096 = 1.5625 ✓

✅ פתרון סופי: פי 1.5625 (כלומר 2516)

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א	A(10 , 0)
סעיף ב	y = 43x + 20
סעיף ג	AC = 25
סעיף ד	הסבר והוכחה
סעיף ה	פי 1.5625

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 4

📄 נוסח השאלה

נתון דלתון ABCD (AB = AD , CB = CD). הקודקוד D מונח על ציר ה־y, שיעור ה־y של הקודקוד D קטן מ־9 (ראו סרטוט). נתון: A(1 , 9) , C(6 , 4). אורך הצלע AD הוא √10.

א. (1) מצאו את שיעורי הקודקוד D. (2) מצאו את משוואת הישר BD.

E היא נקודת החיתוך של אלכסוני הדלתון.

ב. מצאו את שיעורי הנקודה E.

הנקודה F נמצאת על הקטע EC.

ג. הוכיחו כי △ABF ≅ △ADF.

ד. מצאו את שיעורי הנקודה F שעבורה המרובע FBAD הוא מעוין.

ה. לפניכם שתי טענות I–II. קבעו בעבור כל טענה אם היא נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעותיכם. I. המשולש ABC הוא ישר זווית. II. הדלתון ABCD הוא בר חסימה במעגל.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – הקודקוד D והישר BD

(1) D(0 , d) על ציר ה־y. משתמשים ב־AD = √10:

√10 = √(0 − 1)² + (d − 9)²📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

מעלים בריבוע:

10 = 1 + (d − 9)²

(d − 9)² = 9

d − 9 = 3 או d − 9 = −3

נתון d < 9, ולכן d = 6 ← D(0 , 6).

(2) בדלתון האלכסון הראשי AC מאונך לאלכסון BD:

m_AC = 4 − 96 − 1 = −55 = −1📐 שיפוע בין שתי נקודותm = y₂ − y₁x₂ − x₁

−1 · m_BD = −1 ⟸ m_BD = 1📐 אלכסוני דלתוןהאלכסונים מאונכים זה לזהm₁ · m₂ = −1

הישר עובר ב־D(0 , 6):

y = x + 6

✅ פתרון סופי: (1) D(0 , 6) (2) y = x + 6

סעיף ב – הנקודה E

משוואת AC (שיפוע −1 דרך A(1 , 9)):

y − 9 = −1(x − 1) ⟸ y = −x + 10📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)

E הוא החיתוך של AC ו־BD:

x + 6 = −x + 10

2x = 4 ⟸ x = 2

y = 2 + 6 = 8

✅ פתרון סופי: E(2 , 8)

סעיף ג – הוכחת החפיפה

1. AB = AD📐 נתוןצלעות סמוכות שוות בדלתון

2. AF צלע משותפת.

3. ∢BAF = ∢DAF📐 אלכסון ראשי בדלתוןחוצה את זוויות הראש

(הנקודה F על EC, כלומר על האלכסון הראשי AC.)

4. △ABF ≅ △ADF📐 משפט חפיפהצ.ז.צ

✅ פתרון סופי: △ABF ≅ △ADF לפי צ.ז.צ

סעיף ד – הנקודה F שבעבורה FBAD מעוין

במעוין האלכסונים חוצים זה את זה. E הוא אמצע BD (האלכסון הראשי של הדלתון חוצה את BD), ולכן E חייב להיות גם אמצע AF:

2 = 1 + x_F2 ⟸ x_F = 3📐 אמצע קטעx_M = x₁ + x₂2 , y_M = y₁ + y₂2

8 = 9 + y_F2 ⟸ y_F = 7

בדיקה: F(3 , 7) על הישר y = −x + 10 (−3 + 10 = 7) ובין E ל־C ✓. האלכסונים AF ו־BD חוצים זה את זה ומאונכים – לכן FBAD מעוין.

✅ פתרון סופי: F(3 , 7)

סעיף ה – שתי טענות

קודם מוצאים את B: E אמצע BD:

x_B = 2 · 2 − 0 = 4 , y_B = 2 · 8 − 6 = 10 ← B(4 , 10)

טענה I: בודקים אם AB ⊥ BC:

m_AB = 10 − 94 − 1 = 13 , m_BC = 4 − 106 − 4 = −3

13 · (−3) = −1📐 ישרים מאונכיםm₁ · m₂ = −1

לכן ∢ABC = 90 מעלות – נכונה.

טענה II: מהחפיפה △ABC ≅ △ADC (צ.צ.צ) נובע ∢ADC = ∢ABC = 90 מעלות.

∢B + ∢D = 90 + 90 = 180📐 מרובע בר חסימהסכום זוויות נגדיות 180 מעלות

לכן הדלתון בר חסימה במעגל – נכונה.

✅ פתרון סופי: I – נכונה , II – נכונה

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	D(0 , 6) ; y = x + 6
סעיף ב	E(2 , 8)
סעיף ג	חפיפה צ.ז.צ
סעיף ד	F(3 , 7)
סעיף ה	I נכונה , II נכונה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד א', שאלה 5

📄 נוסח השאלה

הקטע AB הוא קוטר במעגל שמרכזו M. הקטע CD משיק למעגל בנקודה A. הנקודה B היא אחת מנקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה־y, כמתואר בסרטוט. AM הוא חוצה זווית CMD.

א. הוכיחו כי משולש CMD הוא שווה שוקיים.

נתון כי משוואת המעגל היא (x + 3)² + (y − 8)² = 45 וכי שיעור ה־y של הנקודה B גדול מ־8.

ב. מצאו את שיעורי הנקודות B ו־A.

נתון כי הקטע CM מקביל לציר ה־x.

ג. מצאו את שיעורי הנקודה C.

הנקודה E היא אמצע הקטע CM, והנקודה F היא אמצע הקטע DM.

ד. (1) הוכיחו כי △CMD ∼ △EMF. (2) חשבו את היחס בין שטח המשולש CMD ובין שטח המשולש EMF.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – CMD שווה שוקיים

MA ⊥ CD, כלומר ∢MAC = ∢MAD = 90.📐 משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

∢CMA = ∢DMA – AM חוצה זווית (נתון).

MA – צלע משותפת.

לכן △CMA ≅ △DMA.📐 משפט חפיפה ז.צ.ז.שתי זוויות והצלע שביניהן

מכאן MC = MD – והמשולש CMD שווה שוקיים.📐 צלעות מתאימותבמשולשים חופפים הצלעות המתאימות שוות

✅ פתרון סופי: MC = MD ✓

סעיף ב – שיעורי B ו־A

מרכז המעגל M(−3 , 8), R² = 45.📐 משוואת מעגל(x − a)² + (y − b)² = R²

B על ציר ה־y, מציבים x = 0:

(0 + 3)² + (y − 8)² = 45 → (y − 8)² = 36 → y − 8 = ±6

y = 14 או y = 2. נתון y > 8, ולכן B(0 , 14).

AB קוטר, ולכן M אמצע AB:📐 אמצע קטע(x₁ + x₂2 , y₁ + y₂2)

−3 = x_A + 02 → x_A = −6 ; 8 = y_A + 142 → y_A = 2

✅ פתרון סופי: B(0 , 14) , A(−6 , 2)

סעיף ג – שיעורי C

m_MA = 2 − 8−6 + 3 = −6−3 = 2📐 שיפועm = y₂ − y₁x₂ − x₁

המשיק CD מאונך לרדיוס MA: m_CD · 2 = −1 → m_CD = −12.📐 ישרים מאונכיםm₁ · m₂ = −1

y − 2 = −12(x + 6) → y = −0.5x − 1📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)

CM מקביל לציר ה־x, ולכן ל־C אותו y כמו ל־M: y = 8.

8 = −0.5x − 1 → 0.5x = −9 → x = −18

✅ פתרון סופי: C(−18 , 8)

סעיף ד (1) – הוכחת הדמיון

ME = 12 MC ו־MF = 12 MD – E ו־F אמצעי הקטעים.

MEMC = MFMD = 12.

∢EMF = ∢CMD – זווית משותפת.

לכן △CMD ∼ △EMF.📐 משפט דמיון צ.ז.צ.שתי צלעות פרופורציונליות והזווית שביניהן שווה

✅ פתרון סופי: △CMD ∼ △EMF ✓

סעיף ד (2) – יחס השטחים

יחס הדמיון: k = MCME = 2.

S_CMDS_EMF = k² = 2² = 4📐 יחס שטחים במשולשים דומיםיחס השטחים = ריבוע יחס הדמיון

✅ פתרון סופי: 4 : 1

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א	הוכחה
סעיף ב	B(0 , 14) , A(−6 , 2)
סעיף ג	C(−18 , 8)
סעיף ד (1)	הוכחה
סעיף ד (2)	4 : 1

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2024, שאלה 5

📄 נוסח השאלה

נתון מעגל שמרכזו M נמצא על החלק החיובי של ציר ה־y. הנקודה O היא ראשית הצירים. המעגל משיק לציר ה־x וחותך את ציר ה־y בנקודה C, כמתואר בסרטוט. דרך הנקודה D שעל המעגל העבירו משיק למעגל. המשיק חותך את ציר ה־x בנקודה B ואת ציר ה־y בנקודה A. נתון כי משוואת המשיק היא 4x + 3y = 40.

א. מצאו את אורך הקטע AB.

ב. הוכיחו כי המרובע OMDB הוא דלתון.

ג. (1) הוכיחו: △ADM ∼ △AOB. (2) מצאו את רדיוס המעגל.

ד. מצאו את משוואת המעגל.

ה. האם הדלתון OMDB בר חסימה במעגל? אם כן – מצאו את השיעורים של מרכז המעגל החוסם את הדלתון. אם לא – הסבירו מדוע.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – אורך AB

A על ציר ה־y (x = 0): 3y = 40 ⟸ y = 403 ← A(0 , 403)

B על ציר ה־x (y = 0): 4x = 40 ⟸ x = 10 ← B(10 , 0)

AB = √10² + (403)²📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

= √100 + 16009 = √25009 = 503

✅ פתרון סופי: AB = 503 ≈ 16.67

סעיף ב – OMDB דלתון

1. MO = MD📐 רדיוסיםכל הרדיוסים במעגל שווים

2. המרכז M על ציר ה־y והמעגל משיק לציר ה־x – נקודת ההשקה היא O. לכן BO ו־BD שני משיקים מהנקודה B:

BO = BD📐 משיקים מנקודהשני משיקים למעגל מאותה נקודה שווים

שני זוגות של צלעות סמוכות שוות ← דלתון.

✅ פתרון סופי: OMDB דלתון

סעיף ג – דמיון ורדיוס

(1)

1. ∢A משותפת.

2. ∢ADM = 90📐 רדיוס ומשיקהרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה

3. ∢AOB = 90 (בין הצירים).

4. △ADM ∼ △AOB📐 משפט דמיוןז.ז

(2) נסמן את הרדיוס R. אז M(0 , R), MD = R , AM = 403 − R. מהדמיון:

AMAB = MDOB📐 יחס דמיוןיחס בין צלעות מתאימות שווה

403 − R503 = R10

כופלים בהצלבה:

10(403 − R) = 503R

4003 − 10R = 503R

כופלים ב־3:

400 − 30R = 50R

80R = 400 ⟸ R = 5

✅ פתרון סופי: (1) דמיון ז.ז (2) R = 5

סעיף ד – משוואת המעגל

המרכז M(0 , 5) והרדיוס 5:

(x − 0)² + (y − 5)² = 25📐 משוואת מעגל(x − a)² + (y − b)² = R²

✅ פתרון סופי: x² + (y − 5)² = 25

סעיף ה – מעגל חוסם לדלתון

בדלתון ∢MOB = 90 (בין הצירים) ו־∢MDB = 90 (רדיוס ומשיק). אלו זוויות נגדיות:

∢O + ∢D = 90 + 90 = 180📐 מרובע בר חסימהסכום זוויות נגדיות 180 מעלות

לכן הדלתון בר חסימה. הזווית ∢MOB = 90 נשענת על MB, ולכן MB קוטר והמרכז באמצעו:

(0 + 102 , 5 + 02) = (5 , 2.5)📐 זווית היקפית של 90נשענת על קוטר

✅ פתרון סופי: כן , המרכז (5 , 2.5)

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א	AB = 503
סעיף ב	דלתון
סעיף ג	דמיון ז.ז ; R = 5
סעיף ד	x² + (y − 5)² = 25
סעיף ה	כן , (5 , 2.5)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 5

📄 נוסח השאלה

נתון מעגל שמרכזו M(6 , 10). המעגל משיק לציר ה־x בנקודה A.

א. מצאו את משוואת המעגל.

הנקודה B היא אחת מנקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה־y, כמתואר בסרטוט. הישר BC משיק למעגל בנקודה B.

ב. (1) מצאו את שיעורי הנקודה B. (2) מצאו את משוואת המשיק למעגל, BC.

נתון: ∢BCA = 90 מעלות.

ג. (1) הוכיחו: AC מקביל ל־MB. (2) הוכיחו: AB חוצה את הזווית CAM.

ד. חשבו את אורך הקטע AC.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – משוואת המעגל

המעגל משיק לציר ה־x ב־A, ולכן MA מאונך לציר: A(6 , 0) ו־R = 10.📐 משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

(x − 6)² + (y − 10)² = 100📐 משוואת מעגל(x − a)² + (y − b)² = R²

✅ פתרון סופי: (x − 6)² + (y − 10)² = 100

סעיף ב (1) – שיעורי B

(0 − 6)² + (y − 10)² = 100 → (y − 10)² = 64 → y − 10 = ±8

y = 18 או y = 2. לפי הסרטוט B מעל M, ולכן B(0 , 18).

✅ פתרון סופי: B(0 , 18)

סעיף ב (2) – משוואת המשיק BC

m_MB = 18 − 100 − 6 = −43📐 שיפועm = y₂ − y₁x₂ − x₁

המשיק מאונך לרדיוס MB: m · (−43) = −1 → m = 34.📐 ישרים מאונכיםm₁ · m₂ = −1

y − 18 = 34(x − 0) → y = 0.75x + 18📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)

✅ פתרון סופי: y = 0.75x + 18

סעיף ג (1) – AC ∥ MB

AC ⊥ BC – נתון ∢BCA = 90.

MB ⊥ BC – רדיוס לנקודת ההשקה.📐 משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

שני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים זה לזה: AC ∥ MB.📐 ישרים מקביליםשני ישרים המאונכים לאותו ישר – מקבילים

✅ פתרון סופי: AC ∥ MB ✓

סעיף ג (2) – AB חוצה את ∢CAM

MA = MB (רדיוסים), ולכן המשולש MAB שווה שוקיים: ∢MAB = ∢MBA.📐 משולש שווה שוקייםזוויות הבסיס שוות

∢MBA = ∢BAC – זוויות מתחלפות בין המקבילים MB ו־AC.📐 זוויות מתחלפותזוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות

לכן ∢MAB = ∢BAC, כלומר AB חוצה את ∢CAM.

✅ פתרון סופי: AB חוצה זווית ✓

סעיף ד – אורך AC

מוצאים את הנקודה C – החיתוך של הישר AC עם המשיק BC, ואז מחשבים את AC.

בסעיף ג (1) הוכחנו AC ∥ MB, ולכן לשני הישרים אותו שיפוע: m_AC = m_MB = −43.📐 ישרים מקביליםm₁ = m₂

y − 0 = −43(x − 6) → y = −43x + 8📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)

החיתוך עם המשיק y = 0.75x + 18:

−43x + 8 = 0.75x + 18

כופלים ב־12:

−16x + 96 = 9x + 216 → −25x = 120 → x = −4.8

y = 0.75 · (−4.8) + 18 = −3.6 + 18 = 14.4, כלומר C(−4.8 , 14.4).

6 − (−4.8) = 10.8 , 0 − 14.4 = −14.4

AC = √10.8² + (−14.4)² = √116.64 + 207.36 = √324 = 18📐 מרחק בין נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

בדיקה: C על הישר AC: −43 · (−4.8) + 8 = 6.4 + 8 = 14.4 ✓

✅ פתרון סופי: AC = 18

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א	(x − 6)² + (y − 10)² = 100
סעיף ב (1)	B(0 , 18)
סעיף ב (2)	y = 0.75x + 18
סעיף ג	הוכחות
סעיף ד	AC = 18

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד א', שאלה 5

📄 נוסח השאלה

המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו M. הצלע AC היא קוטר במעגל. המעגל משיק לציר ה־y בנקודה C וחותך את ציר ה־x בנקודה B, כמתואר בסרטוט. הנקודה D נמצאת על ציר ה־y וידוע כי ∢BAC = ∢ADC.

א. הוכיחו: △ABC ∼ △DCA.

ב. האם BC ∥ AD? נמקו.

נתון: C(0 , 4) , B(−2 , 0).

ג. (1) מצאו את משוואת הצלע AB. (2) מצאו את שיעורי הקודקוד A. (3) מצאו את משוואת המעגל.

ד. (1) מצאו את יחס הדמיון בין המשולש ABC ובין המשולש DCA. (2) מצאו את שטח המרובע ABCD.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – הוכחת הדמיון

1. ∢ABC = 90📐 זווית היקפיתהנשענת על קוטר היא 90 מעלות

2. ∢DCA = 90📐 רדיוס ומשיקהקוטר AC מאונך למשיק (ציר ה־y) בנקודת ההשקה C

3. ∢BAC = ∢ADC (נתון).

4. △ABC ∼ △DCA📐 משפט דמיוןז.ז

✅ פתרון סופי: △ABC ∼ △DCA לפי ז.ז

סעיף ב – האם BC ∥ AD

מהדמיון, הזוויות המתאימות שוות: ∢BCA = ∢DAC.

אלו זוויות מתחלפות בין הישרים BC ו־AD עם החותך AC.📐 ישרים מקביליםזוויות מתחלפות שוות ← מקבילים

✅ פתרון סופי: כן , BC ∥ AD

סעיף ג – AB , A והמעגל

(1) ∢ABC = 90, כלומר AB ⊥ BC:

m_BC = 4 − 00 − (−2) = 2📐 שיפוע בין שתי נקודותm = y₂ − y₁x₂ − x₁

2 · m_AB = −1 ⟸ m_AB = −12📐 ישרים מאונכיםm₁ · m₂ = −1

y − 0 = −12(x + 2) ⟸ y = −12x − 1📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)

(2) AC מאונך לציר ה־y ב־C(0 , 4), לכן AC הוא הישר y = 4:

−12x − 1 = 4 ⟸ x = −10 ← A(−10 , 4)

(3) המרכז הוא אמצע הקוטר AC:

M = (−10 + 02 , 4) = (−5 , 4) , R = 5📐 אמצע קטעx_M = x₁ + x₂2 , y_M = y₁ + y₂2

(x + 5)² + (y − 4)² = 25📐 משוואת מעגל(x − a)² + (y − b)² = R²

✅ פתרון סופי: (1) y = −12x − 1 (2) A(−10 , 4) (3) (x + 5)² + (y − 4)² = 25

סעיף ד – יחס הדמיון ושטח המרובע

(1) לפי סדר האותיות ABC ↔ DCA: BC מתאימה ל־CA.

BC = √2² + 4² = √20 , CA = 10📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

k = BCCA = √2010 = 1√5 ≈ 0.447

(2)

AB = √8² + 4² = √80

S_ABC = √80 · √202 = 402 = 20📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2

S_DCA = 20k² = 20 · 5 = 100📐 יחס שטחיםיחס השטחים = ריבוע יחס הדמיון

S_ABCD = 20 + 100 = 120

✅ פתרון סופי: (1) k = 1√5 (2) 120

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א	דמיון ז.ז
סעיף ב	כן
סעיף ג	y = −12x − 1 ; A(−10 , 4) ; (x + 5)² + (y − 4)² = 25
סעיף ד	k = 1√5 ; 120

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2023, שאלה 5

📄 נוסח השאלה

מעגל שמרכזו M משיק לציר ה־x בנקודה E. המעגל חותך את ציר ה־y בנקודות B ו־C, כמתואר בסרטוט. הנקודה A נמצאת על המשך ME, כמתואר בסרטוט.

א. (1) הסבירו מדוע MA מקביל לציר ה־y. (2) הוכיחו: ∢CBM = ∢BMA.

נתון: אורך הקטע AB שווה לרדיוס המעגל.

ב. (1) הוכיחו: ∢CMB = ∢MBA. (2) הוכיחו: המרובע ABCM הוא מקבילית.

נתון: M(3 , 5).

ג. (1) מצאו את משוואת המעגל. (2) מצאו את שיעורי הנקודות B ו־C. (3) מצאו את שיעורי הנקודה A.

ד. חשבו את שטח המקבילית ABCM.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – MA מקביל לציר y

(1) ME ⊥ ציר ה־x (המעגל משיק לציר ה־x ב־E), וגם ציר ה־y מאונך לציר ה־x. שני ישרים המאונכים לאותו ישר – מקבילים. A על המשך ME, לכן MA ∥ ציר ה־y.📐 רדיוס ומשיקהרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה

(2) BC על ציר ה־y, ולכן BC ∥ MA. ∢CBM ו־∢BMA מתחלפות (חותך BM).📐 זוויות מתחלפותבין ישרים מקבילים הן שוות

✅ פתרון סופי: ∢CBM = ∢BMA

סעיף ב – מקבילית

(1) MB = MC (רדיוסים) ← במשולש MBC: ∢MCB = ∢MBC.

AB = MB (נתון: AB שווה לרדיוס) ← במשולש ABM: ∢BAM = ∢BMA.

לפי סעיף א ∢MBC = ∢BMA, ולכן לשני המשולשים השווי־שוקיים זוויות בסיס שוות. זווית הראש בכל אחד:

∢CMB = 180 − 2∢MBC = 180 − 2∢BMA = ∢MBA📐 משולש שווה שוקייםזוויות הבסיס שוותסכום הזוויות 180

(2) ∢CMB = ∢MBA הן זוויות מתחלפות בין MC ל־BA (חותך MB), ולכן MC ∥ BA. מסעיף א MA ∥ BC.

שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות ← ABCM מקבילית.📐 מקביליתשני זוגות צלעות נגדיות מקבילות

✅ פתרון סופי: ABCM מקבילית

סעיף ג – המעגל והנקודות

(1) המעגל משיק לציר ה־x, לכן הרדיוס הוא המרחק של M(3 , 5) מציר ה־x: R = 5.

(x − 3)² + (y − 5)² = 25📐 משוואת מעגל(x − a)² + (y − b)² = R²

(2) על ציר ה־y x = 0:

9 + (y − 5)² = 25 ⟸ (y − 5)² = 16

y = 9 או y = 1

לפי הסרטוט C למעלה: C(0 , 9) , B(0 , 1).

(3) A על הישר x = 3 מתחת ל־E(3 , 0): A(3 , a) עם AB = 5:

(3 − 0)² + (a − 1)² = 25📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

(a − 1)² = 16 ⟸ a = 5 או a = −3

a = 5 זו M עצמה, ולכן A(3 , −3).

✅ פתרון סופי: (1) (x − 3)² + (y − 5)² = 25 (2) B(0 , 1) , C(0 , 9) (3) A(3 , −3)

סעיף ד – שטח המקבילית

הבסיס BC על ציר ה־y: BC = 9 − 1 = 8. הגובה – המרחק בין BC (ציר ה־y) לבין MA (הישר x = 3): 3.

S = 8 · 3 = 24📐 שטח מקביליתS = a · h

✅ פתרון סופי: 24

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א	MA ∥ ציר y ; זוויות מתחלפות
סעיף ב	מקבילית
סעיף ג	(x − 3)² + (y − 5)² = 25 ; B(0 , 1) , C(0 , 9) ; A(3 , −3)
סעיף ד	24

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022 (פברואר, נבצרים), שאלה 5

📄 נוסח השאלה

נתון מעגל שמרכזו M(6 , 10). המעגל משיק לציר ה־x בנקודה A.

א. מצא את משוואת המעגל.

הנקודה B היא אחת מנקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה־y, כמתואר בציור. הישר BC משיק למעגל בנקודה B.

ב. (1) מצא את שיעורי הנקודה B. (2) מצא את משוואת המשיק למעגל, BC.

נתון: ∢BCA = 90 מעלות.

ג. (1) הוכח: AC מקביל ל־MB. (2) הוכח: AB חוצה את הזווית CAM.

ד. חשב את אורך הקטע AC.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – משוואת המעגל

המעגל משיק לציר ה־x ב־A, ולכן MA מאונך לציר: A(6 , 0) ו־R = 10.📐 משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

(x − 6)² + (y − 10)² = 100📐 משוואת מעגל(x − a)² + (y − b)² = R²

✅ פתרון סופי: (x − 6)² + (y − 10)² = 100

סעיף ב (1) – שיעורי B

(0 − 6)² + (y − 10)² = 100 → (y − 10)² = 64 → y − 10 = ±8

y = 18 או y = 2. לפי הציור B מעל M, ולכן B(0 , 18).

✅ פתרון סופי: B(0 , 18)

סעיף ב (2) – משוואת המשיק BC

m_MB = 18 − 100 − 6 = −43📐 שיפועm = y₂ − y₁x₂ − x₁

המשיק מאונך לרדיוס MB: m · (−43) = −1 → m = 34.📐 ישרים מאונכיםm₁ · m₂ = −1

y − 18 = 34(x − 0) → y = 0.75x + 18📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)

✅ פתרון סופי: y = 0.75x + 18

סעיף ג (1) – AC ∥ MB

AC ⊥ BC – נתון ∢BCA = 90.

MB ⊥ BC – רדיוס לנקודת ההשקה.📐 משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

שני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים זה לזה: AC ∥ MB.📐 ישרים מקביליםשני ישרים המאונכים לאותו ישר – מקבילים

✅ פתרון סופי: AC ∥ MB ✓

סעיף ג (2) – AB חוצה את ∢CAM

MA = MB (רדיוסים), ולכן המשולש MAB שווה שוקיים: ∢MAB = ∢MBA.📐 משולש שווה שוקייםזוויות הבסיס שוות

∢MBA = ∢BAC – זוויות מתחלפות בין המקבילים MB ו־AC.📐 זוויות מתחלפותזוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות

לכן ∢MAB = ∢BAC, כלומר AB חוצה את ∢CAM.

✅ פתרון סופי: AB חוצה זווית ✓

סעיף ד – אורך AC

מוצאים את הנקודה C – החיתוך של הישר AC עם המשיק BC, ואז מחשבים את AC.

בסעיף ג (1) הוכחנו AC ∥ MB, ולכן לשני הישרים אותו שיפוע: m_AC = m_MB = −43.📐 ישרים מקביליםm₁ = m₂

y − 0 = −43(x − 6) → y = −43x + 8📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)

החיתוך עם המשיק y = 0.75x + 18:

−43x + 8 = 0.75x + 18

כופלים ב־12:

−16x + 96 = 9x + 216 → −25x = 120 → x = −4.8

y = 0.75 · (−4.8) + 18 = −3.6 + 18 = 14.4, כלומר C(−4.8 , 14.4).

6 − (−4.8) = 10.8 , 0 − 14.4 = −14.4

AC = √10.8² + (−14.4)² = √116.64 + 207.36 = √324 = 18📐 מרחק בין נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

בדיקה: C על הישר AC: −43 · (−4.8) + 8 = 6.4 + 8 = 14.4 ✓

✅ פתרון סופי: AC = 18

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א	(x − 6)² + (y − 10)² = 100
סעיף ב (1)	B(0 , 18)
סעיף ב (2)	y = 0.75x + 18
סעיף ג	הוכחות
סעיף ד	AC = 18

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 (פברואר, נבצרים)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022 (ינואר), שאלה 5

📄 נוסח השאלה

בסרטוט מתואר מעגל שמרכזו M. הנקודות A , B ו־C נמצאות על המעגל. המשיק למעגל בנקודה A חותך את הישר BC בראשית הצירים O, כמתואר בסרטוט. נתון: AC הוא קוטר במעגל.

א. הוכח: △ABC ∼ △OAC.

נתון: OC = 15 , BC = 3.

ב. מצא את אורך AC.

נתון: M(9 , 1012).

ג. מצא את משוואת המעגל.

נתון: משוואת המשיק למעגל בנקודה A היא y = 2x.

ד. (1) מצא את משוואת הישר AM. (2) מצא את שיעורי הנקודה A.

הישר AM חותך את ציר ה־y בנקודה F.

ה. מצא את גודל הזווית OFA.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – הוכחת הדמיון

1. ∢ABC = 90📐 זווית היקפיתהנשענת על קוטר היא 90 מעלות

2. ∢OAC = 90📐 רדיוס ומשיקהרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה

3. ∢C משותפת.

4. △ABC ∼ △OAC📐 משפט דמיוןז.ז

✅ פתרון סופי: דמיון ז.ז

סעיף ב – אורך AC

לפי סדר האותיות ABC ↔ OAC: BC ↔ AC , AC ↔ OC:

BCAC = ACOC📐 יחס דמיוןיחס בין צלעות מתאימות שווה

AC² = 3 · 15 = 45 ⟸ AC = √45 = 3√5 ≈ 6.71

✅ פתרון סופי: AC = √45 ≈ 6.71

סעיף ג – משוואת המעגל

R = √452 ⟸ R² = 454 = 11.25

(x − 9)² + (y − 10.5)² = 11.25📐 משוואת מעגל(x − a)² + (y − b)² = R²

✅ פתרון סופי: (x − 9)² + (y − 10.5)² = 11.25

סעיף ד – הישר AM והנקודה A

(1) AM מאונך למשיק y = 2x:

2 · m_AM = −1 ⟸ m_AM = −12📐 ישרים מאונכיםm₁ · m₂ = −1

y − 10.5 = −12(x − 9) ⟸ y = −12x + 15📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)

(2) A – חיתוך המשיק עם AM:

2x = −12x + 15 ⟸ 2.5x = 15 ⟸ x = 6

y = 12 ← A(6 , 12)

✅ פתרון סופי: (1) y = −12x + 15 (2) A(6 , 12)

סעיף ה – הזווית OFA

F(0 , 15) (חיתוך AM עם ציר ה־y). במשולש OAF ∢OAF = 90 (משיק ורדיוס):

OA = √6² + 12² = √180 , AF = √6² + 3² = √45📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

tan∢OFA = OAAF = √180√45 = 2 ⟸ ∢OFA ≈ 63.43📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד

✅ פתרון סופי: ≈ 63.43 מעלות

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א	דמיון ז.ז
סעיף ב	√45 ≈ 6.71
סעיף ג	(x − 9)² + (y − 10.5)² = 11.25
סעיף ד	y = −12x + 15 ; A(6 , 12)
סעיף ה	63.43

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 (ינואר)⬆️ חזרה לכפתורים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.

השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.