מה הפתרון של שאלה 1 (וקטורים בפירמידה) בבגרות 472 קיץ 2023 מועד מיוחד?

סעיף א: SC = u + v + w , EB = ½u − ½v + ½w , ED = −½u + ½v + ½w; סעיף ב: |w| = 5; סעיף ג: A(3 , 0 , 0), C(0 , 4 , 0), S(3 , 0 , 5); סעיף ד: 6.25

מה הפתרון של שאלה 2 (רגרסיה) בבגרות 472 קיץ 2023 מועד מיוחד?

סעיף א: השיפוע 0.8·Sy/Sx, קטן מ-1; סעיף ב: 80 גרם, סטיית התקן של המשקל 5 גרם, של הקוטר 16/3 ≈ 5.33 מ"מ

מה הפתרון של שאלה 3 (גדילה ודעיכה) בבגרות 472 קיץ 2023 מועד מיוחד?

סעיף א: יישוב א – גרף III, יישוב ב – גרף II; סעיף ב: בערך 430; סעיף ג: אחרי בערך 10.32 ימים; סעיף ד: 36.4%

מה הפתרון של שאלה 4 (חקירת פונקציית e) בבגרות 472 קיץ 2023 מועד מיוחד?

סעיף א: x ≠ 2 , x = 2; סעיף ב: a = 1; סעיף ג: מינימום (3 , e⁴), יורדת עבור x 2

מה הפתרון של שאלה 5 (חקירת פונקציית ln) בבגרות 472 קיץ 2023 מועד מיוחד?

סעיף א: x > 0; סעיף ב: (e⁻² , 0), (e⁴ , 0); סעיף ג: מינימום (e , −9); סעיף ה: גרף III, שטח 0.25

בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 472 (35472) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 472 – קיץ 2023 מועד מיוחד

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – גאומטרייה במרחב וסטטיסטיקה (שאלות 1–2), ופרק שני – גדילה ודעיכה וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 3–5). במועד זה עונים על 3 שאלות לבחירה, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שעה ו־45 דקות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2023 מועד מיוחד

שאלון 472 קיץ 2023 מועד מיוחד – עמוד 1 — עמוד 1 מתוך 5

שאלון 472 קיץ 2023 מועד מיוחד – עמוד 2 — עמוד 2 מתוך 5

שאלון 472 קיץ 2023 מועד מיוחד – עמוד 3 — עמוד 3 מתוך 5

שאלון 472 קיץ 2023 מועד מיוחד – עמוד 4 — עמוד 4 מתוך 5

שאלון 472 קיץ 2023 מועד מיוחד – עמוד 5 — עמוד 5 מתוך 5

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

פרק ראשון – גאומטרייה במרחב, סטטיסטיקה
שאלה 1 – וקטורים בפירמידה שבסיסה מלבן
שאלה 2 – רגרסיה (קוטר ומשקל של שזיפים)
פרק שני – גדילה ודעיכה, חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות
שאלה 3 – גדילה ודעיכה (נדבקים בשלושה יישובים)
שאלה 4 – חקירת פונקציית e (מנה) עם פרמטר
שאלה 5 – חקירת פונקציית ln (מכפלה) וגרף הנגזרת

שאלה 1 – וקטורים בפירמידה שבסיסה מלבן

📄 נוסח השאלה פירמידה SABCD – שאלה 1

נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מלבן. המקצוע SA מאונך לבסיס הפירמידה. הנקודה E היא אמצע המקצוע SC (ראו סרטוט). נסמן: AB = u , AD = v ו־SA = w.

א. הביעו את הווקטורים SC , EB ו־ED באמצעות u , v ו־w.

נתון: EB מאונך ל־ED, |u| = 4 , |v| = 3.

ב. מצאו את |w|.

נתון: D(0 , 0 , 0), הצלע AD מונחת על החלק החיובי של ציר ה־x, הצלע DC מונחת על החלק החיובי של ציר ה־y, שיעור ה־z של הנקודה S הוא חיובי.

ג. מצאו את שיעורי הנקודות A , C ו־S.

ד. חשבו את שטח המשולש DEB.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הבעת SC , EB , ED

הפירמידה לפי קנה מידה (4 על 3, גובה 5). בסגול EB ו־ED, והזווית הישרה ב־E.

במלבן BC = AD = v ו־DC = AB = u.

SC = SA + AB + BC = w + u + v📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY

E אמצע SC, ולכן EC = 12SC:

EB = EC + CB = 12(u + v + w) − v📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY

EB = 12u − 12v + 12w

ED = EC + CD = 12(u + v + w) − u📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY

ED = −12u + 12v + 12w

✅ פתרון סופי: SC = u + v + w
EB = 12u − 12v + 12w
ED = −12u + 12v + 12w

סעיף ב – האורך של w

מה ידוע: במלבן u ⊥ v; SA מאונך לבסיס, ולכן w ⊥ u ו־w ⊥ v:

u·v = 0 u·w = 0 v·w = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a·b = 0

EB·ED = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a·b = 0

14(u − v + w) ·(−u + v + w) = 0

כופלים כל איבר בכל איבר – נשארים רק הריבועים:

−|u|² − |v|² + |w|² = 0📐 אורך וקטור|a|² = a·a

|w|² = 16 + 9 = 25 |w| = 5

✅ פתרון סופי: |w| = 5

סעיף ג – שיעורי A , C , S

A על ציר ה־x במרחק AD = |v| = 3; C על ציר ה־y במרחק DC = |u| = 4:

A(3 , 0 , 0) C(0 , 4 , 0)

SA מאונך לבסיס (מקביל לציר ה־z), אורכו 5, ו־S מעל הבסיס:

S = A + (0 , 0 , 5) = (3 , 0 , 5)📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY

✅ פתרון סופי: A(3 , 0 , 0) , C(0 , 4 , 0) , S(3 , 0 , 5)

סעיף ד – שטח המשולש DEB

נתון EB ⊥ ED – המשולש DEB ישר זווית ב־E.

E = (3 + 02 , 0 + 42 , 5 + 02) = (1.5 , 2 , 2.5)📐 אמצע קטע(x₁ + x₂2 , y₁ + y₂2 , z₁ + z₂2)

B = A + DC = (3 , 4 , 0)📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY

EB = (1.5 , 2 , −2.5) |EB| = √(2.25 + 4 + 6.25) = √12.5📐 אורך וקטור|(x,y,z)| = √(x² + y² + z²)

ED = (−1.5 , −2 , −2.5) |ED| = √12.5📐 אורך וקטור|(x,y,z)| = √(x² + y² + z²)

המשולש DEB (בתכלת) לפי קנה מידה; הזווית ב־E ישרה.

S_DEB = √12.5 · √12.52 = 12.52 = 6.25📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2

✅ פתרון סופי: S_DEB = 6.25 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א	SC = u + v + w EB = 12u − 12v + 12w ED = −12u + 12v + 12w
סעיף ב	\|w\| = 5
סעיף ג	A(3 , 0 , 0) C(0 , 4 , 0) S(3 , 0 , 5)
סעיף ד	6.25

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – רגרסיה (קוטר ומשקל של שזיפים)

📄 נוסח השאלה

חקלאית בעלת מטע עצי שזיף התעניינה בקשר הלינארי שבין קוטר השזיפים (המשתנה x) ובין משקלם (המשתנה y). היא בחרה באקראי 4 שזיפים, מדדה את הקוטר (במילימטרים) של כל אחד מהם, ומדדה את המשקל (בגרמים) של כל אחד מהם.

נמצא כי S_y < S_x (סטיית התקן של משתנה הקוטר גדולה מסטיית התקן של משתנה המשקל), וכי מקדם המתאם הוא r = 0.8. לאחר מכן חישבה החקלאית את ישר הרגרסיה לניבוי משקלם של השזיפים לפי קוטרם.

א. (1) הביעו באמצעות S_x ו־S_y את שיפוע ישר הרגרסיה. (2) האם השיפוע של ישר הרגרסיה גדול מ־1 או קטן מ־1? נמקו את תשובתכם.

נתון כי ישר הרגרסיה לניבוי משקל השזיפים לפי קוטרם הוא y = 34x + 15, וכי x = 80. לפניכם טבלה, ובה נתונים על המשקל של שלושה מתוך ארבעת השזיפים שנבחרו.

שזיף	המשקל (y)
א	70
ב	70
ג	80
ד	?

ב. (1) מצאו את המשקל של שזיף ד. (2) מצאו את סטיית התקן של משקל השזיפים. (3) מצאו את סטיית התקן של קוטר השזיפים.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – שיפוע ישר הרגרסיה

(1)

b = 0.8 · S_yS_x📐 שיפוע ישר הרגרסיהb = r · S_yS_x

(2) נתון S_y < S_x, ולכן S_yS_x < 1:

b = 0.8 · S_yS_x < 0.8 · 1 = 0.8 < 1

✅ פתרון סופי: (1) b = 0.8 · S_yS_x
(2) השיפוע קטן מ־1

סעיף ב – שזיף ד וסטיות התקן

(1) ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים – מציבים x = 80:

y = 34 · 80 + 15 = 60 + 15 = 75📐 ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים(x , y)

70 + 70 + 80 + y₄4 = 75📐 ממוצעy = y₁ + y₂ + … + y_nn

220 + y₄ = 300 y₄ = 80

(2) הסטיות מהממוצע 75: −5 , −5 , 5 , 5.

S_y = √25 + 25 + 25 + 254 = √25 = 5📐 סטיית תקןS = √(y₁ − y)² + … + (y_n − y)²n

(3) משיפוע הישר:

34 = 0.8 · 5S_x = 4S_x📐 שיפוע ישר הרגרסיהb = r · S_yS_x

S_x = 40.75 = 163 ≈ 5.33

בדיקה: S_y = 5 < S_x ≈ 5.33 ✓ – מתאים לנתון.

✅ פתרון סופי: (1) 80 גרם
(2) S_y = 5 גרם
(3) S_x = 163 ≈ 5.33 מילימטר

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א	0.8 · S_yS_x קטן מ־1
סעיף ב	80 גרם 5 גרם 163 ≈ 5.33 מ"מ

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 6 – נקודת הממוצעים, מציאת קו הניבוי

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 4 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – גדילה ודעיכה (נדבקים בשלושה יישובים)

📄 נוסח השאלה שלושה גרפים של מספר הנדבקים – שאלה 3

לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר הנדבקים בנגיף הקורונה לפי ימים בשלושה יישובים: א, ב ו־ג. הפונקצייה המתארת את מספר הנדבקים בכל יום ביישוב א היא M(t) = 10 · (1.5)^t, והפונקצייה המתארת את מספר הנדבקים בכל יום ביישוב ב היא G(t) = 100 · (1.2)^t.

א. מבין הגרפים I–III קבעו איזה גרף מתאר את מספר הנדבקים ביישוב א, ואיזה גרף מתאר את מספר הנדבקים ביישוב ב. נמקו את תשובותיכם.

ב. מה היה מספר הנדבקים ביישוב ב לאחר 8 ימים?

ג. מצאו לאחר כמה ימים היה מספר הנדבקים ביישוב א שווה למספר הנדבקים ביישוב ב.

בזמן הבדיקה הראשונית של יישובים א ו־ב, היה מספר הנדבקים ביישוב ג גדול פי 40 ממספר הנדבקים ביישוב ב, לכן הוחלט לתת ביישוב ג תרופה ניסיונית. בעקבות כך קטן מספר הנדבקים ביישוב ג באופן מעריכי. לאחר 8 ימים היו ביישוב ג 107 נדבקים.

ד. חשבו בכמה אחוזים ירד מספר הנדבקים בכל יום ביישוב ג.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – איזה גרף לכל יישוב

גרף I יורד – זה יישוב ג (דעיכה). גרפים II ו־III עולים.

M(0) = 10 · 1.5⁰ = 10 G(0) = 100 · 1.2⁰ = 100📐 גדילה ודעיכהM(t) = M₀ · q^t

ב־t = 0 גרף II מתחיל גבוה יותר מגרף III, ולכן II הוא יישוב ב (מתחיל ב־100) ו־III הוא יישוב א (מתחיל ב־10). זה מתאים גם לקצב: ב־III הגרף עולה מהר יותר – q = 1.5 גדול מ־q = 1.2, ולכן הוא חוצה את II ועוקף אותו.

✅ פתרון סופי: יישוב א – גרף III ; יישוב ב – גרף II

סעיף ב – יישוב ב אחרי 8 ימים

G(8) = 100 · 1.2⁸ ≈ 100 · 4.2998 ≈ 430📐 גדילה ודעיכהM(t) = M₀ · q^t

✅ פתרון סופי: בערך 430 נדבקים

סעיף ג – מתי מספר הנדבקים שווה

10 · 1.5^t = 100 · 1.2^t

1.5^t1.2^t = 10010 (1.51.2)^t = 10 1.25^t = 10📐 חזקה של מנהaⁿbⁿ = (ab)ⁿ

t = ln 10ln 1.25 ≈ 10.32📐 פתרון משוואה מעריכיתa^t = b ⟹ t = ln bln a

שלושת היישובים לפי קנה מידה: א (כחול), ב (סגול), ג (ירוק). הגרפים של א ו־ב נחתכים ב־t ≈ 10.32.

✅ פתרון סופי: אחרי בערך 10.32 ימים

סעיף ד – אחוז הירידה ביישוב ג

בבדיקה הראשונית (t = 0) ביישוב ב היו G(0) = 100 נדבקים, ולכן ביישוב ג:

40 · 100 = 4,000

4,000 · q⁸ = 107📐 גדילה ודעיכהM(t) = M₀ · q^t

q⁸ = 1074,000 = 0.02675

q = ⁸√0.02675 ≈ 0.636📐 שורש ממעלה nqⁿ = c ⟹ q = ⁿ√c

p = (1 − 0.636) · 100 ≈ 36.4📐 אחוז הירידהp = (1 − q) · 100

✅ פתרון סופי: מספר הנדבקים ביישוב ג ירד בכל יום ב־36.4%

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	א – גרף III ב – גרף II
סעיף ב	בערך 430
סעיף ג	בערך 10.32 ימים
סעיף ד	36.4%

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – גדילה ודעיכה עם גרפים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – חקירת פונקציית e (מנה) עם פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = e^{a + x}x − 2. a הוא פרמטר.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את משוואת האסימפטוטה של הפונקצייה f(x) המאונכת לציר ה־x.

נתון כי הנקודה (4 , e⁵2) נמצאת על גרף הפונקצייה f(x).

ב. מצאו את הפרמטר a.

הציבו בפונקצייה f(x) את הפרמטר a שמצאתם בסעיף ב, וענו על הסעיפים ג–ה.

ג. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה. (2) מצאו את תחומי הירידה של הפונקצייה f(x). (3) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = −f(x) + 13 המוגדרת באותו תחום שבו מוגדרת הפונקצייה f(x).

ה. מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקצייה g(x). נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחום הגדרה ואסימפטוטה אנכית

x − 2 ≠ 0 ⟹ x ≠ 2

ב־x = 2 המכנה 0 והמונה e^a+2 ≠ 0:

x = 2📐 אסימפטוטה אנכיתמכנה = 0 (והמונה ≠ 0)

✅ פתרון סופי: (1) x ≠ 2
(2) x = 2

סעיף ב – מציאת a

f(4) = e^{a + 4}4 − 2 = e^{a + 4}2

e^{a + 4}2 = e⁵2 e^{a + 4} = e⁵

a + 4 = 5 a = 1📐 השוואת בסיסיםe^m = eⁿ ⟹ m = n

✅ פתרון סופי: a = 1

סעיף ג – קיצון, ירידה, וחיתוך עם הצירים

(1) f(x) = e^{x + 1}x − 2. נגזרת של מנה: u = e^x+1 , v = x − 2.

u′ = e^x+1📐 נגזרת e בחזקת פונקציה(e^g(x))′ = g′(x) · e^g(x)

v′ = 1📐 נגזרת חזקה(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

f′(x) = e^x+1(x − 2) − e^x+1 · 1(x − 2)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

f′(x) = e^x+1(x − 3)(x − 2)²

f′(x) = 0 ⟹ x = 3

f(3) = e⁴1 = e⁴ ≈ 54.6

טבלת סימנים: e^x+1 > 0 ו־(x − 2)² > 0, ולכן הסימן של f′ הוא הסימן של x − 3:

x	f′	f
x < 2	−	יורדת
2 < x < 3	−	יורדת
x = 3	0	מינימום
x > 3	+	עולה

מ־− ל־+ ב־x = 3 ⟸ מינימום.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום

(2) תחומי הירידה: x < 2 וגם 2 < x < 3 (שני תחומים נפרדים – בגלל האסימפטוטה).

(3) חיתוך עם ציר ה־y:

f(0) = e¹0 − 2 = −e2 ≈ −1.36

חיתוך עם ציר ה־x: המונה e^x+1 אף פעם לא 0 – אין נקודות חיתוך עם ציר ה־x.

✅ פתרון סופי: (1) מינימום (3 , e⁴)
(2) x < 2 , 2 < x < 3
(3) (0 , −e2) ; אין חיתוך עם ציר ה־x

סעיף ד – סקיצה

כש־x → −∞ המונה שואף ל־0 והמכנה ל־−∞, ולכן הגרף מתקרב לציר ה־x מלמטה. משמאל ל־x = 2 f → −∞, מימין f → +∞; מינימום (3 , e⁴) ואחריו עלייה.

הגרף של f לפי החישוב. הקו המקווקו הוא y = 13 (לסעיף ה).

✅ פתרון סופי: סקיצה למעלה

סעיף ה – חיוביות ושליליות של g

g(x) > 0 ⟺ −f(x) + 13 > 0 ⟺ f(x) < 13

• עבור x < 2: המונה חיובי והמכנה שלילי, ולכן f(x) < 0 < 13 ⟸ g(x) > 0.

• עבור x > 2: הערך הקטן ביותר של f הוא המינימום e⁴ ≈ 54.6 > 13, ולכן f(x) > 13 ⟸ g(x) < 0.

✅ פתרון סופי: חיובית: x < 2 ; שלילית: x > 2

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	x ≠ 2 x = 2
סעיף ב	a = 1
סעיף ג	מינימום (3 , e⁴) ירידה x < 2 , 2 < x < 3 (0 , −e2)
סעיף ד	סקיצה
סעיף ה	חיובית x < 2 שלילית x > 2

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 15 – קיצון עם מנה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – חקירת פונקציית ln (מכפלה) וגרף הנגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = (2 + ln x) · (−4 + ln x).

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

ה. (1) אחד מן הגרפים I–III שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם. (2) חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי הישר x = √e ועל ידי ציר ה־x.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – תחום הגדרה

x > 0📐 תחום הגדרה של lnln x ⟸ x > 0

✅ פתרון סופי: x > 0

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y (x = 0) לא בתחום – אין חיתוך עם ציר ה־y.

ציר ה־x: מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים 0:

2 + ln x = 0 ln x = −2 x = e⁻²📐 ln של חזקת eln(e^k) = k ; ln x = k ⟺ x = e^k

−4 + ln x = 0 ln x = 4 x = e⁴📐 ln של חזקת eln(e^k) = k ; ln x = k ⟺ x = e^k

✅ פתרון סופי: (e⁻² , 0) , (e⁴ , 0) ; אין חיתוך עם ציר ה־y

סעיף ג – נקודת הקיצון

נגזרת של מכפלה: u = 2 + ln x , v = −4 + ln x, ולשניהם הנגזרת 1x.

u′ = v′ = 1x📐 נגזרת של ln(ln x)′ = 1x

f′(x) = 1x · (−4 + ln x) + (2 + ln x) · 1x📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′

= 2ln x − 2x = 2(ln x − 1)x

ln x − 1 = 0 ⟹ x = e📐 ln של חזקת eln(e^k) = k ; ln x = k ⟺ x = e^k

f(e) = (2 + 1)(−4 + 1) = 3 · (−3) = −9

הסימן של f′ לפי ln x − 1 (x > 0): שלילי עבור 0 < x < e, חיובי עבור x > e.

מ־− ל־+ ב־x = e ⟸ מינימום.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום

✅ פתרון סופי: מינימום (e , −9)

סעיף ד – סקיצה

כש־x → 0⁺ ln x → −∞ ושני הגורמים שליליים, ולכן f → +∞. יורדת עד המינימום (e , −9), חותכת את ציר ה־x ב־e⁻² ≈ 0.14 וב־e⁴ ≈ 54.6, ועולה.

הגרף של f לפי החישוב (נקודת החיתוך e⁻² ≈ 0.14 צמודה לציר ה־y).

✅ פתרון סופי: סקיצה למעלה

סעיף ה – גרף הנגזרת והשטח

(1) מסעיף ג: f′(x) = 2(ln x − 1)x – מוגדרת רק עבור x > 0, שלילית עבור 0 < x < e, מתאפסת רק ב־x = e (לא בראשית), וחיובית אחר כך.

• גרף II מתחיל גבוה מעל ציר ה־x – כלומר f′ > 0 ליד 0 ✗
• גרף I חותך את ציר ה־x בראשית ✗
• גרף III מתחיל מלמטה, חותך את ציר ה־x בנקודה חיובית ונשאר חיובי ✓

(2) בין x = √e ≈ 1.65 ל־x = e (שם f′ חותכת את הציר) הנגזרת שלילית – השטח מתחת לציר:

גרף הנגזרת לפי החישוב; השטח בין x = √e ל־x = e (בתכלת).

S = |∫_√e^e f′(x)dx| = |f(e) − f(√e)|📐 אינטגרל של נגזרת ∫_a^b f′(x)dx = f(b) − f(a)

f(√e) = (2 + 0.5)(−4 + 0.5) = 2.5 · (−3.5) = −8.75

S = |−9 − (−8.75)| = 0.25

✅ פתרון סופי: (1) גרף III
(2) S = 0.25

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א	x > 0
סעיף ב	(e⁻² , 0) , (e⁴ , 0)
סעיף ג	מינימום (e , −9)
סעיף ד	סקיצה
סעיף ה	גרף III 0.25

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 17 – מציאת נקודות קיצון עם נגזרת מכפלה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 472 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.