מתמטריק – אלדד

עוד דוגמאות פתורות – אינטגרלים – בגרות 471

4 יחידות · שאלון 471 · 4 דוגמאות חדשות עם פתרון מלא

עוד דוגמאות פתורות בסגנון שאלות הבגרות בנושא אינטגרלים (בגרות 471, 4 יחידות). כל דוגמה עם פתרון מלא שלב אחר שלב – כדאי לנסות לפתור לבד, ורק אחר כך להסתכל בפתרון.

דוגמה 1 – מציאת פונקציה מהנגזרת ונקודה

הנגזרת של הפונקציה f(x) היא f'(x) = 3x2 − 12x + 9. גרף הפונקציה עובר בנקודה (2 , 5).
א. מצאו את f(x).
ב. מצאו את נקודת החיתוך של גרף f(x) עם ציר y.
ג. מצאו את נקודות הקיצון של f(x) וקבעו את סוגן.
פתרון:
א. עושים אינטגרל לנגזרת ומוסיפים c:
f(x) = ∫(3x2 − 12x + 9)dx
= 3 · x33 − 12 · x22 + 9x + c
f(x) = x3 − 6x2 + 9x + c
מציבים את הנקודה (2 , 5): x = 2 , f(x) = 5
5 = 23 − 6 · 22 + 9 · 2 + c
5 = 8 − 24 + 18 + c
5 = 2 + c ← c = 3
f(x) = x3 − 6x2 + 9x + 3
ב. מציבים x = 0: f(0) = 3 ← (0 , 3)
ג. משווים את הנגזרת ל־0:
3x2 − 12x + 9 = 0
מחלקים ב־3: x2 − 4x + 3 = 0
(x − 1)(x − 3) = 0 ← x = 1 או x = 3
מציבים בפונקציה:
f(1) = 1 − 6 + 9 + 3 = 7
f(3) = 27 − 54 + 27 + 3 = 3
טבלה: f'(0) = 9 > 0 , f'(2) = 12 − 24 + 9 = −3 < 0 , f'(4) = 48 − 48 + 9 = 9 > 0
xx < 111 < x < 33x > 3
f'(x)+0−0+
f(x)↗מקסימום↘מינימום↗
← max (1 , 7) , min (3 , 3)

דוגמה 2 – שטח בין פרבולה לישר – גבוה פחות נמוך

נתונות הפונקציות f(x) = −x2 + 4x ו־g(x) = x.
א. מצאו את נקודות החיתוך בין שני הגרפים.
ב. חשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים.
פתרון:
א. משווים:
−x2 + 4x = x
מעבירים אגפים: −x2 + 3x = 0
גורם משותף: x(−x + 3) = 0 ← x = 0 או x = 3
g(0) = 0 , g(3) = 3 ← (0 , 0) , (3 , 3)
(0 , 0)(3 , 3)xy
f(x) (כחול), g(x) = x (תכלת), השטח (ירוק)
ב. גבולות על ציר x: מ־0 עד 3
מי למעלה? מציבים מספר מהתחום, x = 1: f(1) = −1 + 4 = 3 , g(1) = 1 ← הפרבולה למעלה.
גבוה פחות נמוך (סוגריים על הנמוך):
S = ∫30(−x2 + 4x − (x))dx = ∫30(−x2 + 3x)dx
אינטגרל:
= (−x33 + 3x22)|30
מציבים גבול עליון פחות גבול תחתון:
= (−273 + 272) − (0)
= −9 + 13.5 ← S = 4.5 יח"ר

דוגמה 3 – שטח מפוצל – פרבולה, ישר וציר x

נתונה הפונקציה f(x) = x2 והישר y = −x + 6.
א. מצאו את נקודת החיתוך של הגרף והישר ברביע הראשון, ואת נקודת החיתוך של הישר עם ציר x.
ב. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, הישר וציר x.
פתרון:
א. משווים: x2 = −x + 6
מעבירים אגפים: x2 + x − 6 = 0
(x + 3)(x − 2) = 0 ← x = −3 או x = 2
ברביע הראשון x > 0 ← x = 2
y = 22 = 4 ← (2 , 4)
הישר עם ציר x – מציבים y = 0: 0 = −x + 6 ← x = 6 ← (6 , 0)
(2 , 4)(6 , 0)S₁S₂xy
f(x) = x² (כחול), הישר (תכלת), השטח (ירוק)
ב. הגבול העליון מתחלף באמצע ← מפצלים את השטח:
מ־0 עד 2 מגביל מלמעלה הגרף f(x) = x2 · מ־2 עד 6 מגביל הישר.
S1 – אינטגרל:
S1 = ∫20x2dx = x33|20 = 83 − 0 = 83
S2 – צורה מוכרת, משולש (בסיס על ציר x מ־2 עד 6, גובה 4):
S2 = 4 · 42 = 8
מחברים:
S = S1 + S2 = 83 + 8 ← S = 1023 יח"ר

דוגמה 4 – אינטגרל של פונקציית מנה ומציאת פרמטר משטח

נתונה הפונקציה f(x) = 4x2.
א. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר x והישרים x = 1 ו־x = 4.
ב. נתונה הפונקציה g(x) = ax2 (a > 0). השטח המוגבל על ידי גרף g(x), ציר x והישרים x = 1 ו־x = 4 שווה 6. מצאו את a.
פתרון:
א. בתחום 1 ≤ x ≤ 4 הפונקציה חיובית ← הגרף מעל ציר x.
פונקציית מנה – מעלים למונה: 4x2 = 4x−2
S = ∫414x−2dx = 4 · x−1−1|41 = (−4x)|41
מציבים גבול עליון פחות גבול תחתון:
= (−44) − (−41) = −1 + 4 ← S = 3 יח"ר
ב. כותבים את האינטגרל עם הפרמטר:
S = ∫41ax−2dx = (−ax)|41 = (−a4) − (−a) = a − a4 = 3a4
משווים לשטח הנתון:
3a4 = 6
כפל בהצלבה: 3a = 24 ← a = 8

להמשך לימוד

📋 לסיכום המלאסיכום ונוסחאות – אינטגרלים✏️ דוגמה פתורה – שטח בין גרף מוזז לציר x – אינטגרלים✏️ דוגמה פתורה – מציאת פרמטר משטח נתון – אינטגרלים✏️ דוגמה פתורה – שטח מתחת לגרף הנגזרת – אינטגרלים✏️ דוגמה פתורה – אינטגרל לעומת שטח – אינטגרלים✏️ דוגמה פתורה – מגרף הנגזרת לפונקציה – אינטגרלים📝 שאלות בגרות בנושא – עם פתרונותפתרון בגרות 4 יחידות -תוכנית חדשה✏️ כל הדוגמאות הפתורות באתרלפי קורס ונושא
מתמטריק · eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
האתר משתמש בעוגיות.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות