📋 סיכום ונוסחאותאינטגרלים – פונקציה קדומה וחישוב שטחים

4 יחידות · שאלון 471 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן

⬅️ חזרה לקורס: אינטגרלים – 471

1. אינטגרל פולינום ומציאת פונקציה קדומה

אינטגרל הוא ההפך מנגזרת: חוזרים מהנגזרת אל הפונקציה. את ה־dx תמיד רושמים.

📐 אינטגרל של חזקה

∫xⁿdx = xⁿ⁺¹n+1 + c

מוסיפים לחזקה 1 ומחלקים בחזקה החדשה

📐 מספרים באינטגרל

∫a dx = ax + c

∫a·xⁿdx = a·xⁿ⁺¹n+1 + c

מספר שכופל נשאר · בסכום – כל איבר בנפרד

דוגמה: ∫(6x² − 4x + 5)dx = 6·x³3 − 4·x²2 + 5x + c
= 2x³ − 2x² + 5x + c

📐 פונקציה קדומה

f(x) = ∫f'(x)dx ותמיד + c

עושים אינטגרל לנגזרת ומוסיפים c.
מציבים את הנקודה: x במקום x, y במקום f(x).
פותרים ומוצאים את c.

דוגמה (שיעור 2): f'(x) = 2x + 4, הפונקציה עוברת ב־(1, 5)
f(x) = x² + 4x + c
5 = 1² + 4·1 + c ← c = 0 ← f(x) = x² + 4x

🔹 למה c? המספר "נעלם" בגזירה (x² + 4 נגזרת ל־2x), ולכן לא יודעים אותו בלי נקודה.
🔹 נתון משיק: שיפוע המשיק = f'(x) בנקודת ההשקה. משווים ומוצאים את x, ואת y מהמשיק (שיעור 10).

2. אינטגרלים – שטחים

📐 שטח מתחת לגרף

S = ∫baf(x)dx = F(b) − F(a)

a – תחילת השטח על ציר x, b – הסוף · בשטח בלי c

📐 שטח בין שני גרפים

S = ∫ba(גבוה − נמוך)dx

גבולות: רק על ציר x. לא נתונים? חיתוך עם ציר x (y = 0) או חיתוך בין הגרפים (משווים).
מי למעלה ומי למטה בתחום.
אינטגרל, ואז "הנחש הופך לקו": x²2|100 – מציבים פעם את הגבול העליון ופעם את התחתון, ומחסירים.

y = −x² + 4 (כחול), השטח עם ציר x בין −2 ל־2 (ירוק חלש): S = 1023

שיעור 6: ∫2−2(−x² + 4)dx = (−x³3 + 4x)|2−2
= (−83 + 8) − (83 − 8) = 1023

y = x² − 10x + 21 (כחול), המשיק בנקודת המינימום y = −4 (תכלת), האנך ב־A (ירוק חזק). השטח: S = 223

שיעור 7: גבוה פחות נמוך – הפרבולה פחות המשיק:
∫53(x² − 10x + 21 − (−4))dx = ∫53(x² − 10x + 25)dx = 223

🔹 שמים סוגריים על הפונקציה הנמוכה – המינוס חל על כולה.
🔹 המספר הגדול למעלה, הקטן למטה.

3. שאלות בגרות – אינטגרל של פולינום

בשאלת בגרות: מוצאים נקודות חיתוך, ואז שטח. כשהגבול העליון של השטח מתחלף באמצע – מחלקים את השטח לחלקים.

📐 שטח מפוצל

S = S₁ + S₂

בכל חלק בודקים מי מגביל מלמעלה

f(x) = x² − 4x + 6 (כחול), הישר y = 3 (תכלת), הישר x = 3 (ירוק חזק). S₁ = 3 (מלבן), S₂ = 423

שיעור 9: חיתוך: x² − 4x + 6 = 3 ← (x − 1)(x − 3) = 0 ← (1, 3), (3, 3)
S₁: מ־0 עד 1 מגביל הישר y = 3 ← מלבן 1 · 3 = 3
S₂ = ∫31(x² − 4x + 6)dx = 423
S = 3 + 423 = 723

🔹 צורה מוכרת (מלבן, משולש) – אפשר לחשב בנוסחה, בלי אינטגרל.
🔹 הזזה g(x) = f(x) − k: אותו שטח S ועוד מלבן ברוחב התחום ובגובה k (שיעור 15: S + 4).

4. אינטגרל של פונקציה מורכבת ופונקציית מנה

📐 פונקציה מורכבת

∫(ax + b)ⁿdx = (ax + b)ⁿ⁺¹a(n+1) + c

מעתיקים את הסוגריים, מוסיפים 1 לחזקה, מחלקים בנגזרת הפנימית כפול החזקה החדשה · לא בדף הנוסחאות

דוגמה: ∫(2x + 4)³dx = (2x + 4)⁴2·4 + c = (2x + 4)⁴8 + c

📐 פונקציית מנה – מעלים למונה

1xⁿ = x⁻ⁿ

∫1xⁿdx = ∫x⁻ⁿdx = x⁻ⁿ⁺¹−n+1 + c

∫1(ax + b)ⁿdx = (ax + b)⁻ⁿ⁺¹a(−n+1) + c

דוגמה: ∫1x³dx = ∫x⁻³dx = x⁻²−2 + c

f(x) = x + 4x² (כחול), השטח בין x = 1 ל־x = 2 (ירוק חלש): S = 3.5

שיעור 19: ∫21(x + 4x⁻²)dx = (x²2 − 4x)|21
= (2 − 2) − (12 − 4) = 3.5

🔹 מספר במונה יוצא החוצה: 4x² = 4·x⁻². מספר במכנה יוצא כשבר: 12x⁵ = 12·x⁻⁵.