בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · שאלות לפי נושא
שאלות בגרות 571 לפי נושא – טריגונומטרייה במישור
כל השאלות בנושא טריגונומטרייה במישור מבחינות הבגרות בשאלון 571, מהבחינה החדשה ביותר אחורה. משפט הסינוסים, משפט הקוסינוסים, שטח משולש ומעגל חוסם. בכל שאלה: הנוסח המלא, ומתחתיו פתרון מלא שלב אחר שלב.
📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 571 לפי נושא
20 שאלות פתורות: 20 מבחינות 571 של 2021–2026, מהחדשה לישנה. לוחצים על מועד ועוברים ישר לשאלה. כל שאלה פתורה עד הסוף, שלב אחר שלב, והנוסחה בצד.
📅 קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם משולש שווה שוקיים ABC (AB = AC).
הנקודה E נמצאת על הבסיס BC כך ש־BE = 3 · EC. הנקודה D נמצאת על הצלע AC כך ש־ED מאונך ל־AC. הנקודה M נמצאת על הצלע AB כך ש־EM מאונך ל־AB.
נסמן: EC = k, ואת הזווית ∢ABC (בשאלון היא מסומנת באות) – נתון שהיא בין 30 מעלות ל־90 מעלות. כאן נכתוב אותה ∢B.
א. הביעו באמצעות k ו־∢B את אורכי הקטעים DE ו־ME.
נתון כי סכום שטחי המשולשים CED ו־BEM הוא 1.6k2.
ב. מצאו את הגודל של הזווית ∢B.
נתון כי אורך רדיוס המעגל החוסם את המשולש AED הוא 29.
ג. מצאו את הערך של k.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – DE ו־ME באמצעות k והזווית
המשולש שווה שוקיים, ולכן זוויות הבסיס שוות:📐 משולש שווה שוקייםזוויות הבסיס שוות
∢ACB = ∢ABC = ∢B
הקטעים: EC = k, BE = 3k.
DE: במשולש EDC הזווית D ישרה, EC יתר, ו־DE ניצב מול הזווית C:
sin∢C = DEEC📐 סינוס במשולש ישר זוויתsin = ניצב מול הזוויתיתר
sin∢B = DEk
DE = k · sin∢B
ME: במשולש EMB הזווית M ישרה, BE יתר, ו־ME ניצב מול הזווית B:
sin∢B = MEBE = ME3k📐 סינוס במשולש ישר זוויתsin = ניצב מול הזוויתיתר
ME = 3k · sin∢B
✅ פתרון סופי: DE = k · sin∢B , ME = 3k · sin∢B
סעיף ב – גודל הזווית
נמצא גם את הניצבים השניים.
cos∢C = DCEC📐 קוסינוס במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
⇒ DC = k · cos∢B
cos∢B = BMBE📐 קוסינוס במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
⇒ BM = 3k · cos∢B
שטחי שני המשולשים ישרי הזווית:
SCED = DE · DC2📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
= k sin∢B · k cos∢B2
= k2 sin∢B cos∢B2
SBEM = ME · BM2📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
= 3k sin∢B · 3k cos∢B2
= 9k2 sin∢B cos∢B2
הסכום נתון: 1.6k2
k2 sin∢B cos∢B2
+ 9k2 sin∢B cos∢B2
= 1.6k2
10k2 sin∢B cos∢B2 = 1.6k2
5k2 sin∢B cos∢B = 1.6k2
נחלק ב־5k2:
sin∢B cos∢B = 0.32
נכפול ב־2:
2 sin∢B cos∢B = 0.64📐 סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2 sinx cosx
sin(2∢B) = 0.64
יש שני פתרונות לזווית 2∢B בין 0 ל־180 מעלות:📐 זוויות עם אותו סינוסsin x = sin(180 − x)
2∢B ≈ 39.79
או
2∢B ≈ 180 − 39.79
= 140.21
∢B ≈ 19.9 או ∢B ≈ 70.1
נתון שהזווית בין 30 ל־90 מעלות, ולכן ∢B ≈ 19.9 נפסל.
✅ פתרון סופי: ∢ABC ≈ 70.1 מעלות
סעיף ג – מציאת k
שלב 1 – אורך AE. במשולש AED הזווית ∢ADE ישרה (ED ⊥ AC). לפי משפט הסינוסים במשולש AED:
AEsin∢ADE = 2R📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = csin∢C = 2R
AEsin 90 = 2 · 29
AE1 = 58
AE = 58
שלב 2 – נבטא את AE באמצעות k. נוריד את הגובה AH לבסיס. במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן H אמצע BC:
BC = 3k + k = 4k📐 משולש שווה שוקייםהגובה לבסיס הוא גם תיכון
BH = HC = 2k
HE = BE − BH = 3k − 2k = k
במשולש AHB (ישר זווית ב־H):
tan∢B = AHBH📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מול הזוויתניצב ליד הזווית
⇒ AH = 2k · tan∢B
AH ≈ 2k · tan 70.1
≈ 2k · 2.7625 ≈ 5.525k
במשולש AHE (ישר זווית ב־H):
AE2 = AH2 + HE2📐 משפט פיתגורסניצב2 + ניצב2 = יתר2
582 = (2k · tan∢B)2 + k2
3364 = 4k2tan2∢B + k2
3364 = k2(4tan2∢B + 1)
3364 ≈ k2(4 · 7.6312 + 1)
3364 ≈ 31.525k2
k2 ≈ 336431.525 ≈ 106.71
k ≈ 10.33
(אם מחשבים בלי לעגל את הזווית, יוצא k ≈ 10.328.)
✅ פתרון סופי: k ≈ 10.33
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | DE = k sin∢B ME = 3k sin∢B |
|---|---|
| סעיף ב | ≈ 70.1 מעלות |
| סעיף ג | k ≈ 10.33 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 17 – שטח משולש
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם טרפז ABCD (AB ∥ DC).
נתון כי אורך הבסיס AB שווה לאורך הצלע BC.
נסמן: AB = BC = k; הזווית ∢ACB היא זווית חדה (בשאלון היא מסומנת באות; כאן נקרא לה פשוט ∢ACB).
א. הראו כי AC = 2k · cos∢ACB.
נתון: DC = 2k , AD = 1.2k.
ב. מצאו את גודל הזווית ∢ACB.
ג. מצאו את גודל הזווית ADC.
המשכי הצלעות DA ו־CB נחתכים בנקודה E.
נתון כי האורך של רדיוס המעגל החסום במשולש EDC הוא 14.
ד. מצאו את הערך של k.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – הראו כי AC = 2k · cos∢ACB
במשולש ABC: AB = BC = k, ולכן הוא שווה שוקיים עם בסיס AC.📐 משפטבמשולש שווה שוקיים, הגובה לבסיס הוא גם תיכון
נוריד גובה BN לבסיס AC. הנקודה N היא אמצע AC, כלומר AC = 2 · NC.
במשולש ישר הזווית BNC (∢BNC = 90 מעלות), BC = k הוא היתר ו־NC הוא הניצב ליד הזווית ∢ACB:
cos∢ACB = NCBC = NCk📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
NC = k · cos∢ACB
AC = 2 · NC = 2k · cos∢ACB
✅ פתרון סופי: הוכח: AC = 2k · cos∢ACB
סעיף ב – גודל הזווית ∢ACB
AB ∥ DC, ולכן:📐 משפטזוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
∢ACD = ∢BAC = ∢ACB
(השוויון ∢BAC = ∢ACB – זוויות הבסיס במשולש שווה השוקיים ABC.)
נוריד גובה AH מ־A לצלע DC. במשולש ישר הזווית AHC, היתר הוא AC = 2k · cos∢ACB והזווית ליד C היא ∢ACB:
AH = AC · sin∢ACB📐 נוסחה: sin במשולש ישר זוויתsin = ניצב מול הזוויתיתר
= 2k · cos∢ACB · sin∢ACB
HC = AC · cos∢ACB📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
= 2k · cos2∢ACB
DH = DC − HC
= 2k − 2k · cos2∢ACB
= 2k(1 − cos2∢ACB)
DH = 2k · sin2∢ACB📐 נוסחה: זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
במשולש ישר הזווית AHD נשתמש במשפט פיתגורס:
AD2 = AH2 + DH2📐 משפט: משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
AD2 = 4k2 · cos2∢ACB · sin2∢ACB
+ 4k2 · sin4∢ACB
AD2 = 4k2 · sin2∢ACB · (cos2∢ACB
+ sin2∢ACB)
AD2 = 4k2 · sin2∢ACB📐 נוסחה: זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
AD = 2k · sin∢ACB
נציב AD = 1.2k:
1.2k = 2k · sin∢ACB
sin∢ACB = 1.2k2k = 0.6
הזווית חדה, ולכן:
∢ACB ≈ 36.87 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢ACB ≈ 36.87 מעלות
סעיף ג – גודל הזווית ADC
לפי סעיף ב sin∢ACB = 0.6, ולכן:
cos∢ACB = √1 − 0.62 = √0.64📐 נוסחה: זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
= 0.8
AC = 2k · 0.8 = 1.6k
נבדוק את צלעות המשולש ACD: AC = 1.6k , AD = 1.2k , DC = 2k.
AC2 + AD2 = 2.56k2 + 1.44k2 = 4k2
DC2 = (2k)2 = 4k2
AC2 + AD2 = DC2, ולכן הזווית שמול DC ישרה:📐 משפטהמשפט ההפוך למשפט פיתגורס
∢DAC = 90 מעלות
סכום הזוויות במשולש ACD:📐 משפטסכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢ADC = 180 − 90 − 36.87
= 53.13 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢ADC ≈ 53.13 מעלות
סעיף ד – הערך של k
נמצא את הזוויות במשולש EDC:
∢EDC = ∢ADC = 53.13 מעלות
∢ECD = ∢BCA + ∢ACD
= 36.87 + 36.87 = 73.74 מעלות
📐 משפטסכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢DEC = 180 − 53.13 − 73.74
= 53.13 מעלות
∢DEC = ∢EDC, ולכן המשולש EDC שווה שוקיים: CE = CD = 2k.📐 משפטמול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
לפי סעיף ג CA ⊥ ED, כלומר CA הוא הגובה לבסיס ED.📐 משפטבמשולש שווה שוקיים, הגובה לבסיס הוא גם תיכון וגם חוצה זווית הראש
AE = AD = 1.2k
מרכז המעגל החסום, I, הוא נקודת המפגש של חוצי הזוויות. CA חוצה את ∢ECD, ולכן I נמצא על CA.📐 משפטמרכז המעגל החסום במשולש – מפגש חוצי הזוויות
המעגל משיק ל־ED, והרדיוס לנקודת ההשקה מאונך ל־ED. הקטע IA מאונך ל־ED, ולכן נקודת ההשקה היא A ו־IA = 14.📐 משפטרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק
DI חוצה את הזווית ∢ADC:
∢IDA = 53.132 ≈ 26.57 מעלות
במשולש ישר הזווית IAD (∢IAD = 90 מעלות):
tan∢IDA = IAAD📐 נוסחה: tan במשולש ישר זוויתtan = ניצב מול הזוויתניצב ליד הזווית
tan(26.57) = 141.2k
0.5 = 141.2k
1.2k · 0.5 = 14
0.6k = 14
k = 140.6 = 703 ≈ 23.33
בדיקה בדרך אחרת – בעזרת השטח וחצי ההיקף של המשולש EDC (הבסיס ED = 2 · 1.2k = 2.4k, הגובה CA = 1.6k):
S = 12 · ED · CA
= 12 · 2.4k · 1.6k = 1.92k2
p = 2k + 2k + 2.4k2 = 3.2k
r = Sp = 1.92k23.2k = 0.6k📐 נוסחה: רדיוס המעגל החסוםr = Sp (p – חצי היקף)
אותה משוואה 0.6k = 14 ✓
✅ פתרון סופי: k = 703 ≈ 23.33
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | ≈ 36.87 מעלות |
| סעיף ג | ≈ 53.13 מעלות |
| סעיף ד | k = 703 ≈ 23.33 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 2 – cos במשולש ישר זווית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2026, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם דלתון ABCD (AB = AD , CB = CD).
נתון: ∢BAD = ∢CDB = 2t , 0 < t < 45 (במעלות; בשאלון הזווית מסומנת באות אחרת).
נסמן: AB = k.
א. הביעו באמצעות k ו־t את רדיוס המעגל החוסם את המשולש CDB.
נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABD גדול פי 43 מרדיוס המעגל החוסם את המשולש CDB.
ב. מצאו את גודל הזווית BAD.
הנקודה O היא מרכז המעגל החוסם את המשולש ABD.
דרך הנקודה A העבירו ישר המקביל ל־BD וחותך את המשך הצלע CD בנקודה E.
נתון כי שטח המשולש AOE הוא 70.
ג. מצאו את הערך של k.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – רדיוס המעגל החוסם את CDB
האלכסון BD. במשולש שווה השוקיים ABD (AB = AD = k) נוריד גובה מ־A לבסיס BD. בדלתון הגובה הזה הוא האלכסון AC; הוא חוצה את זווית הראש ואת הבסיס: הזווית ליד A היא t, וחצי הבסיס מול זווית זו.
BD2 = k · sin t📐 סינוס במשולש ישר זוויתsin∢ = aca – ניצב מול הזווית, c – היתר
BD = 2k sin t
הזווית BCD. במשולש CDB (CB = CD) זוויות הבסיס שוות: ∢CDB = ∢CBD = 2t:
∢BCD = 180 − 2t − 2t📐 סכום זוויות במשולש180 מעלות
= 180 − 4t
משפט הסינוסים במשולש CDB (הצלע BD מול הזווית C):
BDsin(180 − 4t) = 2RCDB📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = 2R
2k sin tsin 4t = 2RCDB📐 זוויות משלימותsin(180 − x) = sin x
RCDB = k sin tsin 4t
✅ פתרון סופי: R = k sin tsin 4t
סעיף ב – הזווית BAD
רדיוס המעגל החוסם את ABD – משפט הסינוסים (BD מול הזווית A = 2t):
2k sin tsin 2t = 2RABD📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = 2R
RABD = k sin tsin 2t📐 סינוס של זווית כפולהsin 2t = 2 sin t · cos t
= k sin t2 sin t cos t = k2cos t
לפי הנתון:
RABD = 43 · RCDB
k sin tsin 2t = 43 · k sin tsin 4t
נחלק ב־k sin t (חיובי) ונהפוך:
sin 4tsin 2t = 43
2 sin 2t cos 2tsin 2t = 43📐 סינוס של זווית כפולהsin 4t = 2 sin 2t · cos 2t
2cos 2t = 43
cos 2t = 23
0 < 2t < 90, ולכן:
2t ≈ 48.19
∢BAD = 2t ≈ 48.19
✅ פתרון סופי: ∢BAD ≈ 48.19 מעלות
סעיף ג – הערך של k
הקטע AO. O הוא מרכז המעגל החוסם את ABD, ולכן AO = RABD = k2cos t. המרכז נמצא על האנך האמצעי של BD, כלומר על האלכסון AC.
הזווית OAE. AC ⊥ BD (אלכסוני דלתון מאונכים), ו־AE ∥ BD, ולכן AE ⊥ AC: ∢OAE = 90.
המשולש ADE. ∢DAC = t (האלכסון חוצה את ∢BAD), ולכן:
∢DAE = 90 − t
AE ∥ BD והישר CE חותך אותם, ולכן זוויות מתאימות שוות:
∢AED = ∢CDB = 2t📐 זוויות מתאימותבין ישרים מקבילים זוויות מתאימות שוות
∢ADE📐 סכום זוויות במשולש180 מעלות
= 180 − (90 − t) − 2t
= 90 − t
משפט הסינוסים במשולש ADE (AE מול ∢ADE, ו־AD = k מול ∢AED):
AEsin(90 − t) = ksin 2t📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = 2R
AE = k cos t2 sin t cos t📐 סינוס של זווית כפולהsin 2t = 2 sin t · cos t
= k2 sin t
השטח (משולש ישר זווית, הניצבים AO ו־AE):
SAOE = AO · AE2📐 שטח משולשS = a · h2
= 12 · k2cos t · k2 sin t
SAOE = k28 sin t cos t
= k24 sin 2t
מ־cos 2t = 23:
sin 2t = √1 − 49 = √53📐 זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
SAOE = k24 · √53 = 3k24√5
3k24√5 = 70
k2 = 280√53 ≈ 208.70
k ≈ 14.45
בסרטוט (בקנה מידה): המשולש AOE בתכלת והמעגל החוסם את ABD בירוק מקווקו.
✅ פתרון סופי: k ≈ 14.45
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | R = k sin tsin 4t |
|---|---|
| סעיף ב | ∢BAD ≈ 48.19 מעלות |
| סעיף ג | k ≈ 14.45 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – טריגונומטריה עם מעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית ABC (∢ABC = 90 מעלות). על הצלע AC בנו משולש נוסף ACD כך ש־AC הוא חוצה זווית BAD.
נסמן: AB = k, ואת הזווית ∢CAB (בשאלון היא מסומנת באות; כאן נכתוב ∢CAB).
א. הביעו באמצעות k ו־∢CAB את האורך של AC.
נתון: CD = √3.25 · k , AD = 1.5 · k.
ב. חשבו את הערך של ∢CAB.
הציבו ∢CAB = 60 מעלות וענו על סעיפים ג–ד. הנקודה M היא מרכז המעגל החסום במשולש ABC.
ג. הביעו באמצעות k את רדיוס המעגל החסום במשולש ABC.
הנקודה E היא מרכז המעגל החוסם את המשולש ABC. נתון: ME = 4.
ד. מצאו את k.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – האורך AC
במשולש ישר הזווית ABC: AC היתר, ו־AB = k הניצב ליד הזווית ∢CAB.
cos∢CAB = ABAC = kAC📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
AC = kcos∢CAB
✅ פתרון סופי: AC = kcos∢CAB
סעיף ב – גודל הזווית
AC חוצה את ∢BAD, ולכן ∢CAD = ∢CAB.
נוריד גובה CH מ־C לצלע AD. נקבל משולש ישר זווית ACH שבו AC היתר:
AH = AC · cos∢CAB📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
= kcos∢CAB · cos∢CAB = k
CH = AC · sin∢CAB = k · sin∢CABcos∢CAB📐 נוסחה: tantan = sincos
= k · tan∢CAB
AH = k < 1.5k = AD, לכן H בין A ל־D:
HD = AD − AH = 1.5k − k = 0.5k
CD2 = CH2 + HD2📐 נוסחה: משפט פיתגורס במשולש CHDa2 + b2 = c2
3.25k2 = k2 tan2∢CAB + 0.25k2
tan2∢CAB = 3.25 − 0.25 = 3
tan∢CAB = √3 (זווית חדה)
∢CAB = 60 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢CAB = 60 מעלות
סעיף ג – רדיוס המעגל החסום
עבור ∢CAB = 60 מעלות: AC = kcos60 = 2k ו־BC = AB · tan60 = √3k.
נסמן ב־r את רדיוס המעגל החסום. נקודות ההשקה על הניצבים יוצרות עם B ו־M ריבוע (כי ∢B = 90 מעלות והרדיוסים מאונכים למשיקים), ולכן קטעי המשיקים מ־B שווים ל־r.
קטעי המשיקים: מ־A – k − r, מ־C – √3k − r.📐 משפטשני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה
היתר AC מורכב משני קטעי משיקים (מ־A ומ־C):
(k − r) + (√3k − r) = 2k
2r = √3k − k
r = (√3 − 1)k2 ≈ 0.366k
✅ פתרון סופי: r = (√3 − 1)k2
סעיף ד – מציאת k
המשולש ישר זווית, ולכן מרכז המעגל החוסם E הוא אמצע היתר AC: AE = AC2 = k.📐 משפטבמשולש ישר זווית מרכז המעגל החוסם הוא אמצע היתר
נסמן ב־T את נקודת ההשקה של המעגל החסום על AC. קטע המשיק מ־A הוא AT = k − r, ולכן:
TE = AE − AT = k − (k − r) = r
MT ⊥ AC (רדיוס לנקודת השקה), ולכן המשולש MTE ישר זווית עם ניצבים MT = r ו־TE = r:
ME2 = r2 + r2 = 2r2📐 נוסחה: משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
ME = r√2 = 4 ⇐ r = 4√2 = 2√2
נציב את r מסעיף ג:
(√3 − 1)k2 = 2√2
k = 4√2√3 − 1
נכפול מונה ומכנה ב־(√3 + 1):
k = 4√2(√3 + 1)2
= 2√6 + 2√2 ≈ 7.73
✅ פתרון סופי: k = 2√6 + 2√2 ≈ 7.73
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | AC = kcos∢CAB |
|---|---|
| סעיף ב | ∢CAB = 60 מעלות |
| סעיף ג | r = (√3 − 1)k2 |
| סעיף ד | k = 2√6 + 2√2 ≈ 7.73 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 3 – tan במשולש ישר זווית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
במשולש שווה שוקיים ABC (AC = AB) חסום מעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו r (ראו סרטוט). נסמן: ∢ACB = 2a.
(בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן נסמן אותה a.)
א. (1) הביעו באמצעות r ו־a את אורך הקטע CO. (2) הביעו באמצעות r ו־a את אורך הצלע AC.
נתון כי אורך הצלע AC גדול פי √3 מאורך הקטע CO.
ב. מצאו את הערך של a.
הציבו a = 30 (מעלות) וענו על הסעיפים ג–ד. המעגל חותך את הקטע BO בנקודה K. נתון כי אורך הקטע CK הוא √175.
ג. מצאו את הערך של r.
הנקודה E נמצאת על הצלע CB. נתון כי שטח המשולש CKE הוא 18.
ד. חשבו את אורך הקטע BE.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א (1) – אורך CO
O מרכז המעגל החסום, ולכן CO חוצה את הזווית C:📐 מרכז מעגל חסוםנמצא על חוצי הזוויות; הרדיוס מאונך לצלע בנקודת ההשקה
∢OCB = 2a2 = a
נסמן ב־D את נקודת ההשקה על CB. אז OD ⊥ CB ו־OD = r. במשולש ישר הזווית ODC:
sin a = ODCO = rCO📐 טריגונומטרייה במשולש ישר זוויתsin = נגדי חלקי יתרcos = ליד חלקי יתרtan = נגדי חלקי ליד
CO = rsin a
✅ פתרון סופי: CO = rsin a
סעיף א (2) – אורך AC
במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם גובה וגם תיכון לבסיס. המרכז O נמצא עליו, ולכן נקודת ההשקה D היא אמצע CB, והקטע AD מאונך ל־CB.
במשולש ODC:
tan a = ODCD ⇒ CD = rtan a📐 טריגונומטרייה במשולש ישר זוויתsin = נגדי חלקי יתרcos = ליד חלקי יתרtan = נגדי חלקי ליד
במשולש ישר הזווית ADC (הזווית C היא 2a):
cos(2a) = CDAC
AC = CDcos(2a)
= rtan a · cos(2a)
AC = r · cos asin a · cos(2a)
✅ פתרון סופי: AC = r · cos asin a · cos(2a)
סעיף ב – הערך של a
AC = √3 · CO
r · cos asin a · cos(2a) = √3 rsin a
נכפול ב־sin ar:
cos acos(2a) = √3
cos a = √3 cos(2a)
cos a = √3(2cos2a − 1)📐 זווית כפולהcos(2a) = 2cos2a − 1
2√3 cos2a − cos a − √3 = 0
cos a = 1 ± √1 + 244√3📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b2 − 4ac2a
cos a = 1 ± 54√3
cos a = 64√3 = √32
או
cos a = −1√3
זוויות הבסיס חדות: 2a < 90, ולכן cos a > 0:
cos a = √32 ⇒ a = 30
✅ פתרון סופי: a = 30 מעלות
סעיף ג – הערך של r
כש־a = 30: ∢C = ∢B = 60, ולכן גם ∢A = 60 – המשולש שווה צלעות.
BO = CO = rsin 30 = 2r
K על המעגל, ולכן OK = r:
BK = BO − OK = 2r − r = r
CB = 2CD = 2 · rtan 30
= 2√3 r
נוריד אנך KH ל־CB. במשולש ישר הזווית KHB הזווית B היא ∢OBC = 30:
KH = BK · sin 30 = r2📐 טריגונומטרייה במשולש ישר זוויתsin = נגדי חלקי יתרcos = ליד חלקי יתרtan = נגדי חלקי ליד
BH = BK · cos 30 = √3 r2
CH = CB − BH
= 2√3 r − √3 r2 = 3√3 r2
CK2 = CH2 + KH2📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
CK2 = 27r24 + r24 = 7r2
7r2 = 175
r2 = 25 ⇒ r = 5
✅ פתרון סופי: r = 5
סעיף ד – אורך BE
הגובה מ־K לצלע CB הוא KH = r2 = 2.5.
SCKE = CE · KH2 = CE · 2.52📐 שטח משולשS = a · h2
1.25 · CE = 18
CE = 14.4
CB = 2√3 · 5 = 10√3
≈ 17.32
14.4 < 17.32, ולכן E באמת על הצלע:
BE = CB − CE = 10√3 − 14.4
≈ 2.92
✅ פתרון סופי: BE = 10√3 − 14.4 ≈ 2.92
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א (1) | CO = rsin a |
|---|---|
| סעיף א (2) | AC = r cos asin a cos(2a) |
| סעיף ב | a = 30 מעלות |
| סעיף ג | r = 5 |
| סעיף ד | 10√3 − 14.4 ≈ 2.92 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – טריגונומטרייה עם מעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2025, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו R. מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו־AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל, כמתואר בסרטוט.
נתון: BO ⊥ AO , AE = CE. את הזווית BAC מסמנים בשאלון באות; כאן נסמן ∢BAC = 2 · ∢OAC (בהמשך נראה ש־AO חוצה את הזווית).
א. הביעו באמצעות R ו־∢OAC את האורך של AB.
נתון כי האורך של AB הוא 2.5R, והזווית BAC היא זווית חדה. ב. מצאו את הערך של ∢OAC.
ג. מצאו את היחס בין שטח המשולש ABC ובין שטח המשולש AOB.
נתון כי האורך של רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABC הוא 14. ד. מצאו את הערך של R.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – האורך AB
AO חוצה את הזווית BAC, ולכן ∢OAB = ∢OAC.📐 משפטמרכז מעגל החסום בזווית נמצא על חוצה הזווית – שני המשיקים מנקודה אחת יוצרים זוויות שוות עם הקטע למרכז
במשולש ישר הזווית AEO (OE ⊥ AC, רדיוס לנקודת ההשקה): OE = R הוא הניצב מול הזווית ∢OAC:
sin∢OAC = RAO ⇐ AO = Rsin∢OAC📐 נוסחה: sin במשולש ישר זוויתsin = ניצב מול הזוויתיתר
במשולש ישר הזווית ABO (∢AOB = 90 מעלות): AB היתר ו־AO הניצב ליד הזווית ∢OAB = ∢OAC:
cos∢OAC = AOAB ⇐ AB = AOcos∢OAC📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
AB = Rsin∢OAC · cos∢OAC
AB = 2Rsin(2 · ∢OAC) = 2Rsin∢BAC📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2sin x cos x
✅ פתרון סופי: AB = 2Rsin(2∢OAC)
סעיף ב – גודל הזווית
2Rsin∢BAC = 2.5R
sin∢BAC = 0.8
∢BAC חדה:
∢BAC ≈ 53.13 מעלות
∢OAC = 53.132 ≈ 26.565 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢OAC ≈ 26.565 מעלות
סעיף ג – יחס השטחים
נחשב צלעות באמצעות tan∢OAC: מ־sin∢BAC = 0.8 ו־cos∢BAC = 0.6 נקבל tan∢OAC = 0.5 (אפשר גם במחשבון: tan26.565 ≈ 0.5).
AE = OEtan∢OAC = R0.5 = 2R📐 נוסחה: tan במשולש ישר זוויתtan = ניצב מול הזוויתניצב ליד הזווית
AC = 2 · AE = 4R
SABC = ½ · AB · AC · sin∢BAC📐 נוסחה: שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהןS = ½ · a · b · sin∢C
= ½ · 2.5R · 4R · 0.8 = 4R2
במשולש AOB: הישר AB משיק למעגל, ולכן המרחק של O מ־AB הוא R – זה הגובה לצלע AB:
SAOB = ½ · AB · R = ½ · 2.5R · R📐 נוסחה: שטח משולשS = בסיס · גובה2
= 1.25R2
SABCSAOB = 4R21.25R2 = 3.2 = 165
✅ פתרון סופי: SABCSAOB = 165
סעיף ד – הרדיוס R
נמצא קודם את BC בלי משפט הקוסינוסים: נוריד גובה BH ל־AC (הזווית A חדה, ו־AH < AC):
BH = AB · sin∢BAC = 2.5R · 0.8
= 2R
AH = AB · cos∢BAC = 2.5R · 0.6
= 1.5R
HC = AC − AH = 4R − 1.5R = 2.5R
BC2 = BH2 + HC2 = 4R2 + 6.25R2📐 נוסחה: משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
= 10.25R2
BC = R√10.25
BCsin∢BAC = 2 · 14📐 נוסחה: משפט הסינוסים (עם רדיוס המעגל החוסם)asin∢A = 2Rחוסם
BC = 28 · 0.8 = 22.4
R√10.25 = 22.4 ⇐ R
= 22.4√10.25 ≈ 7.0
✅ פתרון סופי: R = 22.4√10.25 ≈ 7
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | AB = 2Rsin(2∢OAC) |
|---|---|
| סעיף ב | ∢OAC ≈ 26.565 מעלות |
| סעיף ג | 165 = 3.2 |
| סעיף ד | R ≈ 7 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – משפט הסינוסים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
משולש ABC חד זווית חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R.
הנקודה D היא אמצע הקשת הקטנה BC, כמתואר בסרטוט.
נתון: ∢ABC = 60. נסמן: ∢BAC = t.
א. הביעו באמצעות R ו־t את שטחי המשולשים ABC ו־ODC.
נתון כי היחס בין שטח המשולש ABC ובין שטח המשולש ODC הוא 2√3 sin80.
ב. מצאו את הערך של t.
הנקודה E נמצאת על המשך המיתר DC כך ש־∢CAE = 50, כמתואר בסרטוט.
ג. הביעו באמצעות R את רדיוס המעגל החסום במשולש ACE.
(בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן נסמן אותה t. כל הזוויות במעלות.)
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – השטחים
זוויות המשולש: ∢A = t, ∢B = 60, ולכן ∢C = 180 − 60 − t = 120 − t. לפי משפט הסינוסים:
BC = 2R sin t , AB📐 משפט הסינוסיםasin∢A = 2R
= 2R sin(120 − t)
SABC = 12 · AB · BC · sin60📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin∢
הזווית שבין a ו־b
הזווית שבין a ו־b
= 12 · 2R sin(120 − t) · 2R sin t
· √32
SABC = √3R2 sin t · sin(120 − t)
הזווית המרכזית על הקשת BC: ∢BOC = 2∢BAC = 2t. D אמצע הקשת, ולכן ∢DOC = t.📐 זווית מרכזיתשווה לפעמיים זווית היקפית הנשענת על אותה קשת
SODC = 12 · R · R · sin t📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin∢
הזווית שבין a ו־b
הזווית שבין a ו־b
= 12R2 sin t
✅ פתרון סופי: SABC = √3R2 sin t sin(120 − t) , SODC = 12R2 sin t
סעיף ב – הערך של t
SABCSODC = √3R2 sin t sin(120 − t)12R2 sin t
= 2√3 sin(120 − t)
2√3 sin(120 − t) = 2√3 sin80
sin(120 − t) = sin80
120 − t = 80 או 120 − t = 100📐 זוויות שהסינוס שלהן שווהsin x = sin(180 − x)
t = 40 או t = 20
עם t = 20: ∢C = 100 – המשולש לא חד זווית. לכן:
t = 40
✅ פתרון סופי: t = 40
סעיף ג – רדיוס המעגל החסום במשולש ACE
הזוויות של המשולש ACE:
∢ACB = 120 − 40 = 80
∢BCD היקפית על הקשת BD, שהיא חצי מקשת BC: ∢BCD = 12 · ∢BAC = 20.📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
∢ACD = 80 + 20 = 100
∢ACE = 180 − 100 = 80📐 זוויות צמודותסכומן 180 מעלות
∢AEC = 180 − 50 − 80 = 50📐 סכום זוויות במשולש180 מעלות
∢CAE = ∢AEC = 50, ולכן CE = CA.📐 משולש שווה שוקייםמול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
CA = 2R sin60 = R√3📐 משפט הסינוסיםasin∢A = 2R
שטח והיקף:
S = 12 · R√3 · R√3 · sin80📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin∢
הזווית שבין a ו־b
הזווית שבין a ו־b
= 1.5R2 sin80
AEsin80 = R√3sin50📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = 2R
AE = R√3 sin80sin50
AE ≈ 2.227R
p = R√3 + R√3 + 2.227R2 ≈ 2.845R
r = Sp = 1.5R2 · 0.98482.845R📐 רדיוס המעגל החסוםS = r · p
p – חצי ההיקף
p – חצי ההיקף
r ≈ 0.519R
הסרטוט בקנה מידה (המשולש ACE בירוק, המעגל החסום מקווקו):
✅ פתרון סופי: r ≈ 0.519R
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | SABC = √3R2 sin t sin(120 − t) , SODC = 12R2 sin t |
|---|---|
| סעיף ב | t = 40 |
| סעיף ג | r ≈ 0.519R |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – טריגונומטריה עם מעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
במשולש ABC, BD הוא תיכון לצלע AC. הנקודה E נמצאת על הצלע BC. הקטעים AE ו־BD נחתכים בנקודה P (ראו סרטוט). נתון: BP = 3 · PD.
את הזוויות ABP ו־BAP מסמנים בשאלון באותיות; כאן נכתוב ∢ABP ו־∢BAP. נתון: AB = k, ∢BAP < ∢ABP.
א. הביעו את AP ואת BP באמצעות ∢BAP, ∢ABP ו־k.
נתון: AE ⊥ BD, ושטח המשולש ABD הוא k24. ב. מצאו את ∢BAP.
ג. מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את המשולש AEC ובין רדיוס המעגל החוסם את המשולש AEB.
ד. מצאו את אורך רדיוס המעגל החוסם את המשולש AEC, כך שמתקיים ∢ABC = 90 מעלות. הביעו באמצעות k.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – AP ו־BP
∢APB = 180 − (∢BAP + ∢ABP)
APsin∢ABP = BPsin∢BAP📐 נוסחה: משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = csin∢C
= ksin(180 − (∢BAP + ∢ABP))
sin(180 − (∢BAP + ∢ABP))📐 נוסחה: זוויות משלימותsin(180 − x) = sin x
= sin(∢BAP + ∢ABP)
AP = k · sin∢ABPsin(∢BAP + ∢ABP)
BP = k · sin∢BAPsin(∢BAP + ∢ABP)
✅ פתרון סופי: AP = k · sin∢ABPsin(∢BAP + ∢ABP)
BP = k · sin∢BAPsin(∢BAP + ∢ABP)
BP = k · sin∢BAPsin(∢BAP + ∢ABP)
סעיף ב – גודל הזווית
AE ⊥ BD, ולכן ∢APB = 90 מעלות ו־∢BAP + ∢ABP = 90. אז sin(∢BAP + ∢ABP) = 1 ו־sin∢ABP = cos∢BAP:
AP = k · cos∢BAP , BP
= k · sin∢BAP
BD = BP + PD = BP + BP3 = 43BP
= 43k · sin∢BAP
AP ⊥ BD, ולכן AP הוא הגובה מ־A לצלע BD במשולש ABD:
SABD = ½ · BD · AP = ½ · 43k📐 נוסחה: שטח משולשS = בסיס · גובה2
· sin∢BAP · k · cos∢BAP
23k2 sin∢BAP cos∢BAP = k24
sin∢BAP cos∢BAP = 38
sin(2∢BAP) = 2 · 38 = 0.75📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2sin x cos x
2∢BAP ≈ 48.59 או 2∢BAP ≈ 131.41
∢BAP ≈ 24.3 או ∢BAP ≈ 65.7
∢BAP < ∢ABP ו־∢BAP + ∢ABP = 90, ולכן ∢BAP < 45: ∢BAP ≈ 24.3 מעלות.
✅ פתרון סופי: ∢BAP ≈ 24.3 מעלות
סעיף ג – יחס הרדיוסים
RAEC = AC2sin∢AEC , RAEB = AB2sin∢AEB📐 נוסחה: משפט הסינוסים (רדיוס המעגל החוסם)asin∢A = 2R
sin∢AEC = sin∢AEB📐 נוסחה: זוויות צמודותsin(180 − x) = sin x
RAECRAEB = ACAB = ACk
נחשב את AC: D אמצע AC, ולכן AC = 2AD. במשולש ישר הזווית APD:
AP = k · cos24.3 ≈ 0.9114k
PD = BP3 = k · sin24.33 ≈ 0.1371k
AD = √AP2 + PD2📐 נוסחה: משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
AD ≈ √0.8306 + 0.0188 · k
AD ≈ 0.9216k
AC = 2AD ≈ 1.843k
RAECRAEB ≈ 1.843
✅ פתרון סופי: RAECRAEB ≈ 1.843
סעיף ד – רדיוס המעגל החוסם את AEC
הערה: בסעיף זה משתמשים בנתונים BP = 3PD ו־AE ⊥ BD יחד עם ∢ABC = 90 (נתון השטח מסעיף ב לא מתיישב עם זווית ישרה ב־B, ולכן לא משתמשים בו כאן).
נסמן PD = t, אז BP = 3t, ו־AP = h. D אמצע AC, ולכן C נמצאת במרחק 2t מהישר AE בצד של D, ובמרחק h מתחת לישר BD (סימטרייה סביב D).
נשתמש בזווית ∢ABC = 90: במשולש ישר הזווית ABP, ∢ABP = 90 − ∢BAP, ולכן ∢PBC = ∢BAP. מהמשולש ABP: tan∢BAP = BPAP = 3th.
מהנקודה C נוריד אנך לישר BD: הרגל שלו נמצאת במרחק 3t + 2t = 5t מ־B, וגובהו h. לכן tan∢PBC = h5t.
3th = h5t ⇐ h2 = 15t2 ⇐ h = √15t
k2 = AB2 = (3t)2 + h2 = 24t2 ⇐ t📐 נוסחה: משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
= k√24
AC = 2AD = 2√t2 + h2 = 2√16t2📐 נוסחה: משפט פיתגורס במשולש APD
= 8t
E על BC ועל הישר AP: מדמיון המשולשים BPE ו־(המשולש שיוצר האנך מ־C), PE = 35h. במשולש ישר הזווית שבין E, C והאנך מ־C לישר AE: הניצבים 2t ו־25h:
EC = √4t2 + 425 · 15t2 = √6.4t
sin∢AEC = 2t√6.4t = 2√6.4
RAEC = AC2sin∢AEC = 8t · √6.44📐 נוסחה: משפט הסינוסיםasin∢A = 2R
= 2√6.4t
RAEC = 2√6.4 · k√24
= 4k√15 ≈ 1.033k
✅ פתרון סופי: RAEC = 4k√15 ≈ 1.033k
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | AP = k · sin∢ABPsin(∢BAP + ∢ABP) BP = k · sin∢BAPsin(∢BAP + ∢ABP) |
|---|---|
| סעיף ב | ∢BAP ≈ 24.3 מעלות |
| סעיף ג | ≈ 1.843 |
| סעיף ד | 4k√15 ≈ 1.033k |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – משפט הסינוסים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2024, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו R.
ישר היוצא מן הנקודה E חותך את המעגל בנקודות A ו־B.
D היא נקודה על הקשת הגדולה AB כך ש־ED משיק למעגל.
הנקודה C היא אמצע המיתר AB, כמתואר בסרטוט.
נסמן: ∢DOA = 2t , 0 < t < 60 (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן נסמן אותה t. כל הזוויות במעלות).
נתון כי המרחק של מרכז המעגל מן המיתר AB הוא 0.5R.
א. הביעו באמצעות t את הזוויות של המרובע DOCE.
ב. הביעו באמצעות t ו־R את אורך המשיק DE.
נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש AOD הוא 4R7.
ג. מצאו את t.
ד. מצאו את היחס בין שטח המעגל החוסם את המרובע DOCE ובין שטח המעגל שמרכזו O.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – הזוויות של המרובע DOCE
ED משיק ו־OD רדיוס לנקודת ההשקה:📐 משיק ורדיוסהרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק
∢ODE = 90
OC מחבר את המרכז לאמצע המיתר AB:📐 קטע ממרכז המעגל לאמצע מיתרמאונך למיתר
∢OCE = 90
במשולש OCA (ישר זווית ב־C): OA = R , OC = 0.5R:
cos∢AOC = OCOA = 0.5RR = 0.5📐 קוסינוס במשולש ישר זוויתcos∢ = ניצב ליד הזוויתיתר
∢AOC = 60
∢DOC = ∢DOA + ∢AOC = 2t + 60
∢DEC = 360 − 90 − 90 − (60 + 2t)📐 סכום הזוויות במרובע360 מעלות
∢DEC = 120 − 2t
✅ פתרון סופי: ∢ODE = 90 , ∢OCE = 90 , ∢DOC = 60 + 2t , ∢DEC = 120 − 2t
סעיף ב – אורך המשיק DE
נעבוד במשולש ADE.
במשולש AOD שווה השוקיים (OA = OD = R), עם זווית ראש 2t:
זוויות הבסיס: ∢OAD = ∢ODA = 90 − t.
ADsin2t = Rsin(90 − t)📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B
sin(90 − t) = cos t📐 זהותsin(90 − x) = cos x
sin2t = 2 sin t cos t📐 סינוס של זווית כפולהsin2x = 2 sin x cos x
AD = R · 2 sin t cos tcos t = 2R sin t
הזווית בין המשיק DE למיתר DA שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת DA, כלומר לחצי הזווית המרכזית ∢DOA:📐 זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני
∢ADE = 2t2 = t
לפי סעיף א, ∢AED = ∢DEC = 120 − 2t. סכום הזוויות במשולש ADE:
∢DAE = 180 − t − (120 − 2t)
= 60 + t
DEsin∢DAE = ADsin∢AED📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B
DEsin(60 + t) = 2R sin tsin(120 − 2t)
DE = 2R sin t · sin(60 + t)sin(120 − 2t)
✅ פתרון סופי: DE = 2R sin t · sin(60 + t)sin(120 − 2t)
סעיף ג – הערך של t
במשולש AOD: AD = 2R sin t (סעיף ב), והזווית שמולה ∢AOD = 2t. רדיוס המעגל החוסם הוא 4R7:
ADsin∢AOD = 2 · 4R7📐 משפט הסינוסיםasin∢A = 2R
2R sin t2 sin t cos t = 8R7
Rcos t = 8R7
cos t = 78
t ≈ 28.96
✅ פתרון סופי: t ≈ 28.96 מעלות
סעיף ד – יחס השטחים
במרובע DOCE יש שתי זוויות ישרות מול הקטע OE (סעיף א), ולכן OE הוא קוטר המעגל החוסם את המרובע.
הזווית ההיקפית ∢ODE = 90 נשענת על קוטר: הרדיוס של המעגל החוסם הוא OE2.📐 זווית היקפיתזווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר
נחשב את DE עם t ≈ 28.96:
DE
= 2R sin28.96 · sin88.96sin62.09 ≈ 1.0955R
OE2 = OD2 + DE2📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
OE2 = R2 + 1.2001R2 = 2.2001R2
S1S = π(OE2)2πR2 = OE24R2📐 שטח עיגולS = πr2
S1S = 2.2001R24R2 ≈ 0.55
✅ פתרון סופי: ≈ 0.55
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | ∢ODE = 90 , ∢OCE = 90 , ∢DOC = 60 + 2t , ∢DEC = 120 − 2t |
|---|---|
| סעיף ב | DE = 2R sin t · sin(60 + t)sin(120 − 2t) |
| סעיף ג | t ≈ 28.96 מעלות |
| סעיף ד | ≈ 0.55 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – טריגונומטריה עם מעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
המשולש ABC חסום במעגל שרדיוסו R.
המשיק למעגל בנקודה B חותך את המשך הצלע CA בנקודה D (ראו סרטוט).
נתון: ∢DBC = 120 , ∢ABD = x.
א. הביעו באמצעות R ו־x את אורך הצלע AB ואת אורך הצלע BC.
נתון: SBDCSBDA = 1.8.
ב. מצאו את x.
נתון גם: רדיוס המעגל החוסם את המשולש BDA הוא 4.
ג. מצאו את R.
(בשאלון הזווית ABD מסומנת באות יוונית; כאן סימנו אותה באות x.)
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – הצלעות AB ו־BC
BD משיק ב־B, ו־BA מיתר. הזווית ACB היא זווית היקפית על המיתר AB:📐 זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
∢ACB = ∢ABD = x
הנקודה A על הקטע DC, ולכן הקרן BA בתוך הזווית DBC:
∢ABC = 120 − x
∢BAC = 180 − x − (120 − x) = 60📐 סכום זוויות במשולש180
משפט הסינוסים במשולש ABC (המעגל החוסם שלו הוא המעגל הנתון):
ABsin∢ACB = 2R📐 משפט הסינוסיםasin A = 2R
AB = 2R sin x
BCsin∢BAC = 2R📐 משפט הסינוסיםasin A = 2R
BC = 2R sin60 = 2R · √32
BC = √3R
בסרטוט (בקנה מידה, עם הערך של x מסעיף ב): המעגל, המשולש ABC והמשיק BD (סגול):
✅ פתרון סופי: AB = 2R sin x , BC = √3R
סעיף ב – מציאת x
למשולשים BDC ו־BDA יש אותו גובה מ־B לישר DC, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:
SBDCSBDA = DCDA = 1.8📐 משולשים עם גובה משותףיחס השטחים = יחס הבסיסים
הזוויות במשולש BDA:
∢BAD = 180 − 60 = 120
∢ADB = 180 − 120 − x = 60 − x
משפט הסינוסים במשולש BDA:
DAsin x = ABsin(60 − x)📐 משפט הסינוסיםasin A = bsin B
DA = AB · sin xsin(60 − x)
משפט הסינוסים במשולש BDC, שבו ∢DBC = 120 ו־∢BCD = x:
DCsin120 = BCsin(60 − x)📐 משפט הסינוסיםasin A = bsin B
DC = BC · sin120sin(60 − x)
נחלק:
DCDA = BC · sin120AB · sin x
= √3R · √322R sin x · sin x
= 34sin2x
34sin2x = 1.8
sin2x = 37.2 = 512
sin x = √512 ≈ 0.6455
x זווית במשולש BDA עם x < 60, ולכן חדה:
x ≈ 40.2
✅ פתרון סופי: x ≈ 40.2
סעיף ג – מציאת R
משפט הסינוסים במשולש BDA, שרדיוס המעגל החוסם שלו 4. הצלע AB מול הזווית ADB = 60 − x:
ABsin(60 − x) = 2 · 4📐 משפט הסינוסיםasin A = 2R
AB = 8sin(60 − 40.2)
= 8sin19.8 ≈ 2.71
מסעיף א:
AB = 2R sin x
2R · sin40.2 = 8sin19.8
R = 4sin19.8sin40.2
R ≈ 2.1
הערך המדויק:
R = 2√4.2 − 2 ≈ 2.099
✅ פתרון סופי: R ≈ 2.1
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | AB = 2R sin x BC = √3R |
|---|---|
| סעיף ב | x ≈ 40.2 |
| סעיף ג | R ≈ 2.1 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – טריגונומטריה עם מעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2023 מועד ב׳, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
הטרפז ABCD (AB ∥ DC) חסום במעגל. המשכי השוקיים AD ו־BC נחתכים בנקודה E (ראו סרטוט).
נתון: ∢ACB = 60 מעלות, AC = k. נסמן ∢CDE = x (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית).
א. (1) הביעו באמצעות x את הזוויות של המשולש ACE.
(2) הביעו באמצעות x ו־k את AB ואת DC.
נתון: שטח המשולש ABE גדול פי 3 משטח המשולש DCE.
ב. מצאו את x.
נתון: אורך התיכון לצלע EC במשולש AEC הוא √7.
ג. מצאו את k.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א (1) – הזוויות של המשולש ACE
טרפז חסום במעגל הוא שווה שוקיים, ולכן זוויות הבסיס AB שוות:
∢EAB = ∢EBA📐 משפט: טרפז חסום במעגלטרפז חסום במעגל הוא שווה שוקיים
∢CDE היא זווית חיצונית של המרובע החסום ABCD (צמודה ל־∢ADC), ולכן היא שווה לזווית שמול ∢ADC:
∢ABC = ∢CDE = x📐 משפט: זווית חיצונית למרובע חסוםשווה לזווית הפנימית שמול הזווית הצמודה לה
∢EAB = ∢EBA = x
במשולש ABE:
∢E = 180 − 2x📐 משפט: סכום זוויות במשולש180 מעלות
הנקודות E , C , B על ישר אחד, ולכן:
∢ACE = 180 − ∢ACB📐 משפט: זוויות צמודותסכומן 180 מעלות
∢ACE = 180 − 60 = 120
במשולש ACE:
∢CAE = 180 − 120 − (180 − 2x)📐 משפט: סכום זוויות במשולש180 מעלות
∢CAE = 2x − 120
✅ פתרון סופי: ∢CAE = 2x − 120 , ∢ACE = 120 , ∢AEC = 180 − 2x
סעיף א (2) – AB ו־DC
AB: במשולש ABC (∢ABC = x, ∢ACB = 60):
ABsin 60 = ACsin x📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = 2R
AB = k · sin 60sin x = √3k2 sin x
DC: במשולש ADC: ∢DAC = ∢CAE = 2x − 120 , ו־∢ADC = 180 − x (צמודה ל־∢CDE):
DCsin(2x − 120) = ACsin(180 − x)📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = 2R
sin(180 − x) = sin x📐 נוסחה: זהותsin(180 − a) = sin a
DC = k · sin(2x − 120)sin x
✅ פתרון סופי: AB = √3k2 sin x , DC = k sin(2x − 120)sin x
סעיף ב – הזווית x
DC ∥ AB, ולכן △DCE ∼ △ABE (זוויות מתאימות). יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון:
(ABDC)2 = 3📐 משפט: יחס שטחים במשולשים דומיםS1 : S2 = k2
ABDC = √3
נציב מסעיף א (2) (k ו־sin x מצטמצמים):
√32 sin(2x − 120) = √3
2 sin(2x − 120) = 1
sin(2x − 120) = 12
2x − 120 = 30 או 2x − 120 = 150
x = 75 או x = 135
הזוויות של המשולש ACE חיוביות: 2x − 120 > 0 ו־180 − 2x > 0, כלומר 60 < x < 90. לכן:
x = 75
✅ פתרון סופי: x = 75 מעלות
סעיף ג – הערך של k
עם x = 75 הזוויות של המשולש AEC:
∢CAE = 2 · 75 − 120 = 30
∢AEC = 180 − 2 · 75 = 30
∢ACE = 120
∢CAE = ∢AEC, ולכן המשולש שווה שוקיים:
CE = CA = k📐 משפט: משולש שווה שוקייםמול זוויות שוות – צלעות שוות
נסמן ב־M את אמצע EC:
CM = k2
נוריד אנך AH מ־A להמשך EC (מעבר ל־C). הזווית ∢ACH = 180 − 120 = 60. במשולש ACH (ישר־זווית ב־H):
AH = k · sin 60 = √32k📐 נוסחה: טריגונומטריה במשולש ישר־זוויתsin = ניצב מוליתר , cos = ניצב לידיתר
CH = k · cos 60 = k2📐 נוסחה: טריגונומטריה במשולש ישר־זוויתsin = ניצב מוליתר , cos = ניצב לידיתר
MH = MC + CH = k2 + k2 = k
במשולש AMH (ישר־זווית ב־H):
AM2 = AH2 + MH2📐 משפט: משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
AM2 = 34k2 + k2 = 74k2
AM = √72k
לפי הנתון AM = √7:
√72k = √7
k = 2
━ הטרפז והשוקיים (כחול) ━ AC = k (סגול) ━ התיכון AM (ירוק)
הסרטוט בקנה מידה עם התשובות: זווית CDE של 75 מעלות ו־k = 2.
✅ פתרון סופי: k = 2
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א (1) | 2x − 120 , 120 , 180 − 2x |
|---|---|
| סעיף א (2) | AB = √3k2 sin x DC = k sin(2x − 120)sin x |
| סעיף ב | x = 75 |
| סעיף ג | k = 2 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – משפט הסינוסים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2023 מועד א׳, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
דלתון ABCD חסום במעגל שרדיוסו R.
המיתר AC הוא האלכסון הראשי של הדלתון.
הנקודה O היא מרכז המעגל החסום במשולש ABC (ראו סרטוט).
נסמן: ∢CAB = t (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן נסמן אותה t. כל הזוויות במעלות).
א. (1) מצאו את זוויות המשולש AOC (הביעו באמצעות t במידת הצורך).
(2) הביעו את אורך הקטע AO באמצעות t ו־R.
נתון כי אורך הקטע AO הוא R√2.
ב. מצאו את גודל הזווית t.
נתון כי שטח הדלתון הוא 25√3.
ג. מצאו את R.
ד. חשבו את המרחק בין מרכז המעגל החוסם את הדלתון לבין מרכז המעגל החסום במשולש ABC.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א (1) – זוויות המשולש AOC
בדלתון AB = AD , CB = CD, ולכן △ABC ≅ △ADC (צ.צ.צ.) ו־∢B = ∢D. הדלתון חסום במעגל:📐 מרובע חסום במעגלסכום זוויות נגדיות 180
∢B + ∢D = 180
∢ABC = 90
לכן AC הוא קוטר המעגל, ובמשולש ABC:
∢ACB = 90 − t
O מרכז המעגל החסום, ולכן AO ו־CO חוצי זוויות:📐 מרכז מעגל חסוםנקודת המפגש של חוצי הזוויות
∢OAC = t2 , ∢OCA = 90 − t2 = 45 − t2
∢AOC = 180 − t2 − (45 − t2) = 135
✅ פתרון סופי: ∢OAC = t2 , ∢OCA = 45 − t2 , ∢AOC = 135
סעיף א (2) – אורך AO
AC = 2R
AOsin(45 − t2) = ACsin 135📐 משפט הסינוסיםasin A = bsin B
sin 135 = √22
AO = 2R · sin(45 − t2)√22
AO = 2√2 R · sin(45 − t2)
✅ פתרון סופי: AO = 2√2 R · sin(45 − t2)
סעיף ב – גודל הזווית t
2√2 R · sin(45 − t2) = √2 R
sin(45 − t2) = 12
כי 0 < t < 90, הזווית 45 − t2 בין 0 ל־45:
45 − t2 = 30
t = 30
✅ פתרון סופי: t = 30
סעיף ג – הרדיוס R
במשולש ישר הזווית ABC (היתר AC = 2R):📐 טריגונומטרייה במשולש ישר זוויתsin = ניצב מוליתר
cos = ניצב לידיתר
cos = ניצב לידיתר
AB = 2R · cos 30 = R√3
BC = 2R · sin 30 = R
הדלתון מורכב משני משולשים חופפים ABC ו־ADC:
S = 2 · 12 · AB · BC
S = R√3 · R = √3 R2
√3 R2 = 25√3
R2 = 25
R = 5
✅ פתרון סופי: R = 5
סעיף ד – המרחק בין שני המרכזים
מרכז המעגל החוסם הוא M, אמצע הקוטר AC: AM = R = 5. נוריד אנך OH אל AC.
AO = R√2 = 5√2
∢OAH = t2 = 15
במשולש ישר הזווית AOH:📐 טריגונומטרייה במשולש ישר זוויתsin = ניצב מוליתר
cos = ניצב לידיתר
cos = ניצב לידיתר
OH = 5√2 · sin 15 ≈ 1.830
AH = 5√2 · cos 15 ≈ 6.830
MH = AH − AM ≈ 6.830 − 5 = 1.830
MO = √(OH2 + MH2)📐 משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
MO ≈ √(1.8302 + 1.8302)
MO ≈ 2.59
✅ פתרון סופי: MO ≈ 2.59
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א (1) | ∢OAC = t2 , ∢OCA = 45 − t2 , ∢AOC = 135 |
|---|---|
| סעיף א (2) | AO = 2√2 R · sin(45 − t2) |
| סעיף ב | t = 30 |
| סעיף ג | R = 5 |
| סעיף ד | MO ≈ 2.59 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – טריגונומטריה עם מעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2023, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
משולש BCD חסום במעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו R.
הנקודות O ו־E נמצאות על הצלע BD כך שמתקיים OE = ED (ראו סרטוט).
נסמן: ∢CDB = x , CD = m. (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן נסמן אותה x.)
א. הביעו את cos x באמצעות m ו־R.
ב. הוכיחו כי CE = 12√(2m2 + R2).
נתון: BC = EC.
ג. חשבו את x.
מעבירים רדיוס OG המקביל לצלע CD, כמתואר בסרטוט.
ד. חשבו את גודל הזווית OEG.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – cos x
המרכז O נמצא על הצלע BD, ולכן BD הוא קוטר: BD = 2R.
∢BCD = 90📐 משפט: זווית היקפית על קוטרזווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה (90 מעלות)
במשולש ישר־הזווית BCD, CD הוא הניצב שליד הזווית x:
cos x = CDBD = m2R📐 נוסחה: טריגונומטריה במשולש ישר־זוויתcos = ניצב לידיתר
✅ פתרון סופי: cos x = m2R
סעיף ב – אורך CE
E אמצע OD, ולכן ED = R2. במשולש CDE:
CE2 = CD2 + ED2 −📐 משפט: משפט הקוסינוסיםa2 = b2 + c2 − 2bc · cos A
− 2 · CD · ED · cos x
CE2 = m2 + R24 − 2 · m · R2 · m2R
CE2 = m2 + R24 − m22
CE2 = 2m2 + R24
CE = 12√(2m2 + R2)
✅ פתרון סופי: הוכח: CE = 12√(2m2 + R2)
סעיף ג – הזווית x
במשולש ישר־הזווית BCD:
BC2 = BD2 − CD2 = 4R2 − m2📐 משפט: משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
נשווה ל־CE2:
4R2 − m2 = 2m2 + R24
16R2 − 4m2 = 2m2 + R2
15R2 = 6m2
m2 = 2.5R2
m = R√2.5
cos x = R√2.52R = √2.52 ≈ 0.7906
x ≈ 37.76
✅ פתרון סופי: x ≈ 37.76 מעלות
סעיף ד – הזווית OEG
הרדיוס OG מקביל ל־CD, ולכן הזווית בין OG ל־OD שווה לזווית בין DC ל־DB (זוויות מתחלפות):
∢EOG = ∢CDB = x ≈ 37.76📐 משפט: זוויות מתחלפותבין ישרים מקבילים זוויות מתחלפות שוות
במשולש OEG: OG = R , OE = R2:
EG2 = R2 + R24 − 2 · R · R2 · cos x📐 משפט: משפט הקוסינוסיםa2 = b2 + c2 − 2bc · cos A
EG2 = R2(1.25 − √2.52) ≈ 0.4594R2
EG ≈ 0.6778R
sin ∢OEGOG = sin xEG📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = 2R
sin ∢OEG = R · sin 37.760.6778R ≈ 0.9035
יש שתי זוויות עם סינוס כזה: 64.62 או 115.38. OG = R היא הצלע הגדולה במשולש (R > 0.6778R > 0.5R), ולכן הזווית שמולה, ∢OEG, היא הגדולה במשולש. אילו ∢OEG = 64.62, אז ∢OGE = 180 − 37.76 − 64.62 = 77.62 – גדולה ממנה, סתירה. לכן:
∢OEG ≈ 115.38📐 משפט: צלע גדולה – זווית גדולהמול הצלע הגדולה במשולש – הזווית הגדולה
━ המשולש BCD (כחול) ━ CE (ירוק) ━ המשולש OEG (כתום)
הסרטוט בקנה מידה עם x ≈ 37.76 (בסרטוט כאן BD אופקי).
✅ פתרון סופי: ∢OEG ≈ 115.38 מעלות
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | cos x = m2R |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג | x ≈ 37.76 |
| סעיף ד | ∢OEG ≈ 115.38 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 16 – משפט הקוסינוסים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2022 מועד ב׳, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
מנקודה A שמחוץ למעגל שמרכזו O ורדיוסו R העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה D, וישר אחר שחותך את המעגל בנקודה B, כמתואר בסרטוט.
נסמן: ∢AOD = x , ∢AOB = z.
א. הביעו באמצעות x, z ו־R, אם יש צורך, את:
(1) אורך הקטע AO.
(2) אורך הקטע AB.
נתון: AB = √2 R.
ב. הוכיחו כי cos z = sin2x2cos x.
המשולש ADO חסום במעגל אחר שרדיוסו r.
נתון: Rr = 2√75.
ג. מצאו את גודלי הזוויות x ו־z.
(בשאלון הזוויות מסומנות באותיות יווניות; כאן סימנו אותן באותיות x ו־z.)
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א (1) – הקטע AO
AD משיק ב־D, ולכן OD ⊥ AD: המשולש ODA ישר זווית ב־D.📐 רדיוס ומשיקהרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק
cos x = ODAO = RAO📐 cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
AO = Rcos x
✅ פתרון סופי: AO = Rcos x
סעיף א (2) – הקטע AB
במשולש AOB: OB = R, AO = Rcos x, והזווית ביניהן z:
AB2 = R2 + R2cos2x📐 משפט הקוסינוסיםc2 = a2 + b2 − 2ab · cos C
− 2 · R · Rcos x · cos z
AB2 = R2(1 + 1cos2x − 2cos zcos x)
AB = R√1 + 1cos2x − 2cos zcos x
✅ פתרון סופי: AB = R√1 + 1cos2x − 2cos zcos x
סעיף ב – הוכחה
נציב בסעיף א(2):
2R2 = R2(1 + 1cos2x − 2cos zcos x)
2 = 1 + 1cos2x − 2cos zcos x
2cos zcos x = 1cos2x − 1
1cos2x − 1 = 1 − cos2xcos2x = sin2xcos2x📐 זהותsin2x + cos2x = 1
2cos zcos x = sin2xcos2x
נכפול ב־cos x2:
cos z = sin2x2cos x
✅ פתרון סופי: הוכחה
סעיף ג – הזוויות
המשולש ADO ישר זווית ב־D, ולכן היתר AO הוא קוטר המעגל החוסם אותו.📐 זווית היקפית בת 90נשענת על קוטר
r = AO2 = R2cos x
Rr = 2cos x
2cos x = 2√75
cos x = √75 ≈ 0.529
x ≈ 58.05
מסעיף ב:
sin2x = 1 − 725 = 1825
cos z = 18252 · √75 = 95√7 ≈ 0.680
z ≈ 47.13
בסרטוט (בקנה מידה, R = 1): המעגל, המשיק AD והקטע AB (סגול):
✅ פתרון סופי: x ≈ 58.05 , z ≈ 47.13
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א (1) | AO = Rcos x |
|---|---|
| סעיף א (2) | AB = R√1 + 1cos2x − 2cos zcos x |
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג | x ≈ 58.05 z ≈ 47.13 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 16 – משפט הקוסינוסים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2022 מועד א׳, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
המרובע ABCD חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R (ראו סרטוט).
נסמן: ∢DAB = x, x היא זווית חדה. (בשאלון מסומן באות יוונית; כאן x.)
א. הביעו את BD באמצעות R ו־x.
נתון: CD = R√2 , BC = R.
ב. מצאו את x.
נתון: BD הוא חוצה הזווית ABC.
ג. מצאו את ∢ABD.
ד. h1 הוא הגובה לצלע BD במשולש ABD, ו־h2 הוא הגובה לצלע BD במשולש BOD.
מצאו את היחס h1h2.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – BD באמצעות R ו־x
סרטוט מדויק בקנה מידה (לפי הנתונים: x = 75 מעלות):
המשולש ABD חסום באותו מעגל שרדיוסו R. לפי משפט הסינוסים, הצלע BD מול הזווית ∢DAB = x:
BDsin x = 2R📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C = 2R
BD = 2R sin x
✅ פתרון סופי: BD = 2R sin x
סעיף ב – מציאת x
המשולש BCD חסום באותו מעגל.
הזווית ∢BDC (מול BC):
BCsin ∢BDC = 2R📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C = 2R
Rsin ∢BDC = 2R
sin ∢BDC = 12
∢BCD = 180 − x היא זווית קהה (כי x חדה), ולכן שתי הזוויות האחרות במשולש BCD חדות:
∢BDC = 30
הזווית ∢CBD (מול CD):
CDsin ∢CBD = 2R📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C = 2R
R√2sin ∢CBD = 2R
sin ∢CBD = √22
∢CBD = 45
הזווית ∢BCD:
∢BCD = 180 − 30 − 45 = 105📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות
הזווית x: זוויות נגדיות במרובע חסום:
x = 180 − 105 = 75📐 משפט: מרובע חסום במעגלסכום זוויות נגדיות במרובע חסום 180 מעלות
✅ פתרון סופי: x = 75 מעלות
סעיף ג – הזווית ABD
לפי סעיף ב: ∢DBC = ∢CBD = 45.
BD חוצה את הזווית ABC, ולכן:
∢ABD = ∢DBC = 45📐 משפט: חוצה זוויתחוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות
✅ פתרון סופי: ∢ABD = 45 מעלות
סעיף ד – היחס h₁ : h₂
הגובה h1 (במשולש ABD):
∢ADB = 180 − 75 − 45 = 60📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות
ABsin ∢ADB = 2R📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C = 2R
AB = 2R sin 60 = 2R · √32 = R√3
במשולש ישר הזווית שיוצר הגובה h1 עם הצלע AB (היתר):
h1 = AB · sin ∢ABD📐 נוסחה: סינוס במשולש ישר זוויתsin x = ניצב מול הזוויתיתר
h1 = R√3 · sin 45
h1 = R√3 · √22 = R√62
הגובה h2 (במשולש BOD):
הזווית ההיקפית ∢BAD = 75 והזווית המרכזית ∢BOD נשענות על אותה קשת BD:
∢BOD = 2 · 75 = 150📐 משפט: זווית מרכזית וזווית היקפיתזווית מרכזית גדולה פי 2 מזווית היקפית הנשענת על אותה קשת
המשולש BOD שווה שוקיים (OB = OD = R), ולכן הגובה h2 הוא גם חוצה זווית הראש:
∢BOH = 1502 = 75📐 משפט: גובה במשולש שווה שוקייםהגובה לבסיס הוא גם חוצה זווית הראש
(H – עקב הגובה על BD.) במשולש ישר הזווית BOH (היתר OB = R):
h2 = OB · cos ∢BOH📐 נוסחה: קוסינוס במשולש ישר זוויתcos x = ניצב ליד הזוויתיתר
h2 = R cos 75
היחס:
h1h2 = R√62R cos 75 = √62 cos 75
cos 75 ≈ 0.2588
h1h2 ≈ 2.4490.5176 ≈ 4.73
(בערך מדויק: h1h2 = 3 + √3.)
✅ פתרון סופי: h1h2 = √62 cos 75 ≈ 4.73
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | BD = 2R sin x |
|---|---|
| סעיף ב | x = 75 |
| סעיף ג | ∢ABD = 45 |
| סעיף ד | ≈ 4.73 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – משפט הסינוסים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2022 נבצרים, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
בציור שלפניכם מתואר משולש שווה־שוקיים ABC, AB = AC, שחסום במעגל שרדיוסו R. האריכו את הבסיס BC עד לנקודה D והעבירו ישר מהנקודה D לנקודה A.
נתון: ∢BAC = 2x , ∢CAD = x. (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן סימנו אותה ב־x.)
א. הוכיחו כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABD שווה לרדיוס המעגל החוסם את המשולש ACD.
ב. הביעו את שטח המשולש ACD באמצעות R ו־x.
נסמן ב־m את היחס בין שטח המשולש ACD לבין שטח המשולש ABC.
ג. (1) האם ייתכן כי m = 0.5? נמקו.
(2) נתון כי m = 0.6. מצאו את גודלי הזוויות של המשולש ABC.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – רדיוסים שווים
נסמן ב־R1 את רדיוס המעגל החוסם את ABD, וב־R2 את רדיוס המעגל החוסם את ACD.
במשולש ABD, הצלע AD מול הזווית ABD:
ADsin∢ABC = 2R1📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C = 2R
במשולש ACD, הצלע AD מול הזווית ACD:
ADsin∢ACD = 2R2📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C = 2R
הזווית ACD צמודה לזווית ACB, ו־∢ACB = ∢ABC (זוויות בסיס):
sin∢ACD = sin(180 − ∢ACB)📐 נוסחה: זהותsin(180 − a) = sin a
= sin∢ACB = sin∢ABC
לכן שני הביטויים שווים:
2R1 = ADsin∢ABC = ADsin∢ACD = 2R2
R1 = R2
✅ פתרון סופי: הוכחה – R1 = R2
סעיף ב – שטח המשולש ACD
∢ABC = ∢ACB = 180 − 2x2 = 90 − x📐 משפט: סכום זוויות במשולש180 מעלות
במשולש ABC (חסום במעגל שרדיוסו R):
ACsin(90 − x) = 2R📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C = 2R
AC = 2R · sin(90 − x) = 2R cos x📐 נוסחה: זהותsin(90 − a) = cos a
במשולש ACD:
∢ACD = 180 − (90 − x) = 90 + x
∢ADC = 180 − x − (90 + x)📐 משפט: סכום זוויות במשולש180 מעלות
= 90 − 2x
ADsin(90 + x) = ACsin(90 − 2x)📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C = 2R
AD = 2R cos x · cos xcos 2x = 2R cos2xcos 2x📐 נוסחה: זהויותsin(90 + a) = cos a , sin(90 − a) = cos a
SACD = 12 · AC · AD · sin x📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sin C
= 12 · 2R cos x · 2R cos2xcos 2x · sin x
= R2cos2x · 2sin x cos xcos 2x
= R2cos2x · sin 2xcos 2x📐 נוסחה: זווית כפולהsin 2a = 2sin a cos a
= R2cos2x · tan 2x
✅ פתרון סופי: SACD = R2cos2x · tan 2x
סעיף ג (1) – האם m = 0.5?
AB = AC = 2R cos x
SABC = 12 · AB · AC · sin 2x📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sin C
= 12 · (2R cos x)2 · sin 2x
= 2R2cos2x · sin 2x
m = R2cos2x · tan 2x2R2cos2x · sin 2x
= sin 2x2 sin 2x · cos 2x
= 12cos 2x
12cos 2x = 0.5
cos 2x = 1
אבל 2x היא זווית במשולש, כלומר 0 < 2x < 180, ולכן cos 2x < 1. אין פתרון.
✅ פתרון סופי: לא ייתכן
סעיף ג (2) – הזוויות כאשר m = 0.6
12cos 2x = 0.6
cos 2x = 11.2 = 56
2x ≈ 33.56
זו זווית הראש BAC. זוויות הבסיס:
∢ABC = ∢ACB = 180 − 33.562 ≈ 73.22📐 משפט: סכום זוויות במשולש180 מעלות
בדיקה: ∢ADC = 90 − 2x ≈ 56.44 > 0 – מתאים. בסרטוט (בקנה מידה, m = 0.6): המעגל בירוק והמשולש ACD בתכלת:
✅ פתרון סופי: ∢A ≈ 33.56 , ∢B = ∢C ≈ 73.22 מעלות
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | R2cos2x · tan 2x |
| סעיף ג (1) | לא ייתכן |
| סעיף ג (2) | 33.56 , 73.22 , 73.22 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – משפט הסינוסים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 נבצרים⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2022, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O ורדיוסו R.
המיתר CD חותך את הקוטר AB בנקודה F.
המשיק למעגל בנקודה D חותך את המשך הקוטר AB בנקודה E, כמתואר בסרטוט.
נסמן: ∢ADE = x. (בשאלון מסומן באות יוונית; כאן x.)
א. הוכיחו: ∢BAD = 90 − x.
נתון: ED = FD.
ב. הביעו את הזווית CDA באמצעות x.
ג. הביעו באמצעות R ו־x את שטח המשולש AFD.
ד. (1) הביעו באמצעות x את היחס בין שטח המשולש AFD לשטח המשולש AED.
(2) נתון כי היחס שמצאתם בתת־סעיף ד(1) הוא 1 + √3. מצאו את x.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – הוכחה
סרטוט מדויק בקנה מידה (לפי הנתונים: x = 15 מעלות), ומתחתיו הגדלה של אזור המשולשים:
הזווית בין המשיק DE למיתר DA שווה לזווית ההיקפית ∢ABD הנשענת על המיתר AD:
∢ABD = ∢ADE = x📐 משפט: זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
∢ADB = 90📐 משפט: זווית היקפית הנשענת על קוטרזווית היקפית הנשענת על קוטר שווה 90 מעלות
במשולש ABD:
∢BAD = 180 − 90 − x = 90 − x📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ב – הזווית CDA
E , A , F , B על ישר אחד (הקוטר והמשכו). הזווית ∢EAD צמודה לזווית ∢BAD:
∢EAD = 180 − (90 − x) = 90 + x📐 משפט: זוויות צמודותסכום זוויות צמודות 180 מעלות
במשולש AED:
∢AED = 180 − (90 + x) − x📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות
∢AED = 90 − 2x
נתון ED = FD – המשולש EDF שווה שוקיים:
∢DFE = ∢DEF = 90 − 2x📐 משפט: משולש שווה שוקייםמול צלעות שוות מונחות זוויות שוות
∢EDF = 180 − 2(90 − 2x) = 4x📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות
∢CDA = ∢FDA = ∢EDF − ∢EDA
∢CDA = 4x − x = 3x
✅ פתרון סופי: ∢CDA = 3x
סעיף ג – שטח המשולש AFD
הצלע AD במשולש ישר הזווית ABD (היתר AB = 2R):
AD = AB · sin ∢ABD = 2R sin x📐 נוסחה: סינוס במשולש ישר זוויתsin x = ניצב מול הזוויתיתר
הזוויות במשולש AFD:
∢FAD = 90 − x , ∢ADF = 3x
∢AFD = 180 − (90 − x) − 3x📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות
∢AFD = 90 − 2x
הצלע DF – משפט הסינוסים במשולש AFD:
DFsin ∢FAD = ADsin ∢AFD📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C
DFsin(90 − x) = 2R sin xsin(90 − 2x)
DF = 2R sin x cos xcos 2x📐 נוסחה: סינוס של 90 פחות זוויתsin(90 − x) = cos x
DF = R sin 2xcos 2x📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולהsin 2x = 2 sin x cos x
השטח:
SAFD = 12 · AD · DF · sin ∢ADF📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sin C
SAFD = 12 · 2R sin x
· R sin 2xcos 2x · sin 3x
SAFD = R2 sin x · sin 2x · sin 3xcos 2x
✅ פתרון סופי: SAFD = R2 sin x · sin 2x · sin 3xcos 2x
סעיף ד (1) – היחס בין השטחים
למשולשים AFD ו־AED אותו גובה מהקודקוד D לישר EF, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:
SAFDSAED = AFAE📐 נוסחה: שטח משולשS = a · ha2
AF – משפט הסינוסים במשולש AFD:
AFsin 3x = ADsin(90 − 2x)📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C
AF = AD · sin 3xcos 2x
AE – משפט הסינוסים במשולש AED (∢AED = 90 − 2x):
AEsin x = ADsin(90 − 2x)📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C
AE = AD · sin xcos 2x
AFAE = sin 3xsin x
✅ פתרון סופי: SAFDSAED = sin 3xsin x
סעיף ד (2) – מציאת x
sin 3x = sin(2x + x)📐 נוסחה: סינוס של סכום זוויותsin(a + b) =sin a cos b + cos a sin b
sin 3x =
sin 2x cos x + cos 2x sin x
sin 3x =📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולהsin 2x = 2 sin x cos x
2 sin x cos2x + cos 2x sin x
sin 3xsin x = 2cos2x + cos 2x
= (1 + cos 2x) + cos 2x📐 נוסחה: קוסינוס של זווית כפולהcos 2x = 2cos2x − 1
= 1 + 2cos 2x
1 + 2cos 2x = 1 + √3
cos 2x = √32
הזווית ∢AED = 90 − 2x חיובית, ולכן 0 < 2x < 90:
2x = 30
x = 15
✅ פתרון סופי: x = 15 מעלות
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | 3x |
| סעיף ג | R2 sin x sin 2x sin 3xcos 2x |
| סעיף ד (1) | sin 3xsin x |
| סעיף ד (2) | x = 15 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – משפט הסינוסים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R.
נתון כי ∢BAC = 80 מעלות.
נסמן את הזווית AOB ב־a, ואת הצלע AB ב־k (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן a).
א. הוכיחו כי cos a = 1 − k22R2 .
נתון כי k = 34R .
ב. הביעו באמצעות R (בלבד) את שטח המשולש ABC.
נסמן ב־r את רדיוס המעגל החסום במשולש AOB.
ג. חשבו את היחס Rr . בתשובתכם השאירו שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – הוכחת הביטוי ל־cos a
סרטוט בקנה מידה עבור k = 34R: הזווית a = ∢AOB (סגול).
במשולש AOB: OA = OB = R (רדיוסים), AB = k, והזווית בין הרדיוסים היא a. לפי משפט הקוסינוסים:📐 נוסחה: משפט הקוסינוסיםc2 = a2 + b2 − 2ab cos C
k2 = R2 + R2 − 2 · R · R · cos a
k2 = 2R2 − 2R2 cos a
2R2 cos a = 2R2 − k2
cos a = 1 − k22R2
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ב – שטח המשולש ABC
לפי משפט הסינוסים במשולש ABC (הצלע AB מול ∢C):📐 נוסחה: משפט הסינוסיםasin A = 2R
ksin C = 2R
0.75Rsin C = 2R
sin C = 38 = 0.375
C ≈ 22.02
או
C ≈ 157.98
∢A = 80, ולכן ∢C < 100: נשאר C ≈ 22.02.
∢B = 180 − 80 − 22.02 = 77.98📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות
AC = 2R sin B📐 נוסחה: משפט הסינוסיםasin A = 2R
AC = 2R sin 77.98 ≈ 1.956R
S = 12 · AB · AC · sin A📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sin C
S ≈ 12 · 0.75R · 1.956R · sin 80
S ≈ 0.72R2
✅ פתרון סופי: S ≈ 0.72R2
סעיף ג – היחס R/r
לפי סעיף א, עם k = 0.75R:
cos a = 1 − (0.75R)22R2
cos a = 1 − 932 = 2332
sin a = √(1 − (2332)2)📐 נוסחה: זהות יסודיתsin2a + cos2a = 1
sin a = √49532 ≈ 0.6953
(זווית במשולש, ולכן sin a > 0.)
SAOB = 12 · R · R · sin a📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sin C
SAOB ≈ 0.3476R2
PAOB = R + R + 0.75R = 2.75R
0.3476R2 = r · 2.75R2📐 נוסחה: רדיוס המעגל החסוםS = r · P2 (P – היקף המשולש)
r ≈ 0.2528R
Rr ≈ 10.2528 ≈ 3.96
✅ פתרון סופי: Rr ≈ 3.96
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | הוכח |
|---|---|
| סעיף ב | S ≈ 0.72R2 |
| סעיף ג | Rr ≈ 3.96 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 16 – משפט הקוסינוסים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2021 מועד מיוחד⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2021 מועד ב׳, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
במלבן ABCD הצלעות AB ו־AD משיקות למעגל שרדיוסו R בנקודות E ו־K בהתאמה. הקודקוד C נמצא על המעגל (ראו ציור).
א. הוכיחו: ∢KCE = 45.
נתון: ∢KCD = x , 0 < x < 45. (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן סימנו אותה ב־x.)
ב. (1) הביעו באמצעות x את הזוויות של המשולש KCE.
(2) הביעו באמצעות R ו־x את הצלעות של המשולש KCE.
ג. הביעו באמצעות x את היחס EBAE.
נתון: EBAE = √22.
ד. מצאו את x.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – הוכחה ש־∢KCE = 45
נסמן ב־O את מרכז המעגל. רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה:📐 משפט: משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
∢OEA = 90📐 משפט: משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
∢OKA = 90
∢KAE = 90📐 תכונה: מלבןכל זוויות המלבן ישרות
במרובע AEOK שלוש זוויות ישרות, ולכן גם הרביעית:📐 משפט: סכום זוויות במרובע∢1 + ∢2 + ∢3 + ∢4 = 360
∢KOE = 360 − 3 · 90 = 90📐 משפט: סכום זוויות במרובע∢1 + ∢2 + ∢3 + ∢4 = 360
∢KCE היא זווית היקפית הנשענת על אותה קשת KE שעליה נשענת הזווית המרכזית ∢KOE:📐 משפט: זווית היקפית וזווית מרכזיתזווית היקפית = חצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת
∢KCE = 12 · 90 = 45📐 משפט: זווית היקפית וזווית מרכזיתזווית היקפית = חצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת
הסרטוט בקנה מידה עבור x = 15 (לדוגמה).
✅ פתרון סופי: הוכחה – ∢KCE = 45
סעיף ב (1) – זוויות המשולש KCE
∢KCE = 45📐 הוכח: סעיף א∢KCE = 45
במשולש KDC: ∢KDC = 90 (זווית המלבן) ו־∢KCD = x:📐 משפט: סכום זוויות במשולש∢1 + ∢2 + ∢3 = 180
∢DKC = 180 − 90 − x = 90 − x📐 משפט: סכום זוויות במשולש∢1 + ∢2 + ∢3 = 180
KD משיק למעגל ב־K, ו־KC מיתר. הזווית ביניהם שווה לזווית ההיקפית KEC:📐 משפט: זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
∢KEC = ∢DKC = 90 − x📐 משפט: זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
הזווית השלישית במשולש KCE:📐 משפט: סכום זוויות במשולש∢1 + ∢2 + ∢3 = 180
∢CKE = 180 − 45 − (90 − x)📐 משפט: סכום זוויות במשולש∢1 + ∢2 + ∢3 = 180
= 45 + x
✅ פתרון סופי: ∢KCE = 45 , ∢CEK = 90 − x , ∢CKE = 45 + x
סעיף ב (2) – צלעות המשולש KCE
המעגל שרדיוסו R חוסם את המשולש KCE (שלושת הקודקודים עליו). לפי משפט הסינוסים:📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C = 2R
KEsin∢KCE = 2R📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C = 2R
⟹ KE = 2R sin 45
KE = 2R · √22 = √2 R📐 נוסחה: ערך מיוחדsin 45 = √22
CKsin∢CEK = 2R📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C = 2R
⟹ CK = 2R sin(90 − x)
CK = 2R cos x📐 נוסחה: זהותsin(90 − x) = cos x
CEsin∢CKE = 2R📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C = 2R
⟹ CE = 2R sin(45 + x)
✅ פתרון סופי: KE = √2 R , CK = 2R cos x , CE = 2R sin(45 + x)
סעיף ג – היחס EB / AE
AEOK הוא ריבוע (שלוש זוויות ישרות ו־OE = OK = R), ולכן:📐 תכונה: ריבועכל הצלעות שוות
AE = R📐 תכונה: ריבועAE = OE = R
EB משיק למעגל ב־E, ו־EC מיתר. הזווית ביניהם שווה לזווית ההיקפית EKC:📐 משפט: זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
∢BEC = ∢EKC = 45 + x📐 משפט: זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
במשולש EBC ישר הזווית (∢EBC = 90):📐 נוסחה: קוסינוס במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
EB = CE · cos(45 + x)📐 נוסחה: קוסינוס במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
= 2R sin(45 + x) cos(45 + x)
EB = R sin(90 + 2x)📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולה2 sin a cos a = sin 2a
EB = R cos 2x📐 נוסחה: זהותsin(90 + a) = cos a
EBAE = R cos 2xR = cos 2x📐 חישוב: צמצוםR מצטמצם
✅ פתרון סופי: EBAE = cos 2x
סעיף ד – מציאת x
cos 2x = √22📐 נתון: סעיף ג והנתוןEBAE = cos 2x = √22
0 < x < 45, ולכן 0 < 2x < 90:📐 נוסחה: ערך מיוחדcos 45 = √22
2x = 45📐 נוסחה: ערך מיוחדcos 45 = √22
⟹ x = 22.5
הסרטוט בקנה מידה עבור x = 22.5 – במקרה זה המלבן הוא ריבוע.
✅ פתרון סופי: x = 22.5 מעלות
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| א | הוכחה |
|---|---|
| ב (1) | 45 , 90 − x , 45 + x |
| ב (2) | √2 R , 2R cos x , 2R sin(45 + x) |
| ג | cos 2x |
| ד | x = 22.5 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – משפט הסינוסים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2021 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2021 מועד א׳, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
DB ו־DC משיקים למעגל שמרכזו O, כמתואר בסרטוט. רדיוס המעגל: R.
המשך BD חותך את המשך OC בנקודה A. הקטע OD והמיתר BC נחתכים בנקודה M. הקטע CE מאונך ל־AB.
נסמן: ∢ABC = x (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית).
א. הסבר מדוע אפשר לחסום במעגל: (1) את המרובע OBDC ; (2) את המרובע MDEC.
נסמן: d1 הוא קוטר המעגל החוסם את המרובע OBDC; d2 הוא קוטר המעגל החוסם את המרובע MDEC; d3 הוא קוטר המעגל החוסם את המשולש AOD.
ב. הבע באמצעות x ו־R את d1 , את d2 ואת d3.
ג. מצא את הערך של x שבעבורו מתקיים: d2d1 = d1d3 .
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – מרובעים בני חסימה
(1) רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה:
∢OBD = ∢OCD = 90
∢OBD + ∢OCD = 180📐 משפט: מרובע בר חסימהמרובע שסכום שתי זוויות נגדיות בו 180 – בר חסימה
זוויות נגדיות משלימות ל־180, לכן OBDC בר חסימה.
(2) DB = DC ו־OB = OC, לכן OD האנך האמצעי של BC:📐 משפט: משיקים מנקודהקטעי המשיקים שווים, והקטע מהנקודה למרכז חוצה את הזווית המרכזית ומאונך למיתר ההשקה
∢DMC = 90
∢DEC = 90 (CE ⊥ AB)
הנקודות M ו־E רואות את DC בזווית ישרה, לכן MDEC בר חסימה (במעגל שקוטרו DC).📐 משפט: זווית ישרה נשענת על קוטרשתי נקודות שרואות קטע בזווית ישרה נמצאות על מעגל שהקטע הוא קוטרו
✅ פתרון סופי: הוסבר
סעיף ב – הקטרים
הזווית ABC היא זווית בין המשיק BA למיתר BC:📐 משפט: זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית שנשענת על אותה קשת (מחצית הזווית המרכזית)
∢BOC = 2x
∢BOD = x📐 משפט: משיקים מנקודהקטעי המשיקים שווים, והקטע מהנקודה למרכז חוצה את הזווית המרכזית ומאונך למיתר ההשקה
d1: ∢OBD = 90, לכן OD קוטר המעגל החוסם את OBDC. במשולש OBD:📐 נוסחה: טריגונומטריה במשולש ישר זוויתcos x = ניצב לידיתרtan x = ניצב מולניצב ליד
cos x = ROD
d1 = OD = Rcos x
d2: לפי א(2), DC הוא קוטר המעגל החוסם את MDEC:
tan x = BDR
d2 = DC = BD = R tan x
d3: במשולש OBA (∢OBA = 90):
∢OAD = 90 − 2x
במשולש AOD, לפי משפט הסינוסים:📐 נוסחה: משפט הסינוסיםasin A = 2R
d3 = ODsin(90 − 2x)
= Rcos xcos 2x
d3 = Rcos x · cos 2x
✅ פתרון סופי: d1 = Rcos x ; d2 = R tan x ; d3 = Rcos x cos 2x
סעיף ג – מציאת x
d2d1 = R tan x · cos xR = sin x
d1d3 = Rcos x · cos x cos 2xR = cos 2x
sin x = cos 2x
sin x = 1 − 2sin2x📐 נוסחה: זווית כפולהcos 2x = 1 − 2sin2x
2sin2x + sin x − 1 = 0
(2sin x − 1)(sin x + 1) = 0
x זווית חדה (ונדרש 2x < 90 כדי ש־A תהיה קיימת), לכן sin x = −1 נפסל:
sin x = 12
⟹ x = 30
✅ פתרון סופי: x = 30
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | הוסבר |
|---|---|
| סעיף ב | d1 = Rcos x , d2 = R tan x , d3 = Rcos x cos 2x |
| סעיף ג | x = 30 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – טריגו עם מעגל 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2021 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 571 לפי נושא
🎓 רוצים להבין את זה לעומק?
בקורסים של מתמטריק כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.
השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il