מעגל החוסם משולש – מרכז ורדיוס

מעגל חוסם משולש עובר דרך שלושת הקודקודים. במשולש ישר זווית המרכז באמצע היתר, ובמשולש כלשהו – במפגש האנכים האמצעיים. בעמוד הזה: איך מוצאים את המרכז ואת הרדיוס בכל מקרה, עם שתי דוגמאות פתורות שלב אחר שלב לבגרות 471.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההנדסה האנליטית המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.

לקורס ההנדסה האנליטית המלא ←

בעמוד הזה:

  1. איפה מרכז המעגל החוסם
  2. משולש ישר זווית
  3. דוגמה: משולש ישר זווית
  4. משולש כלשהו – אנכים אמצעיים
  5. דוגמה: A(−3,3) B(5,−1) C(6,6)
  6. טעויות נפוצות
  7. שאלות נפוצות

מרכז המעגל החוסם

הצורה החסומהמרכז המעגל
משולש ישר זוויתאמצע היתר (היתר = קוטר)
מלבן או ריבועמפגש האלכסונים
משולש כלשהומפגש האנכים האמצעיים

הרדיוס = המרחק מהמרכז לאחד הקודקודים.

איפה מרכז המעגל החוסם

מעגל חוסם משולש עובר דרך שלושת הקודקודים. כדי לכתוב את משוואת המעגל צריך את המרכז ואת הרדיוס – והמרכז תלוי בסוג המשולש:

  • משולש ישר זווית – זווית של 90° נשענת על קוטר, לכן היתר הוא קוטר והמרכז באמצע היתר.
  • מלבן או ריבוע – המרכז בנקודת מפגש האלכסונים.
  • משולש כלשהו – המרכז הוא מפגש האנכים האמצעיים. אנך אמצעי יוצא מאמצע הצלע ומאונך לה (לא מהקודקוד!).
  1. מראים שיש זווית ישרה: מכפלת השיפועים של שני הניצבים היא −1 (או שזה נתון).
  2. מוצאים את אמצע היתר – זה המרכז.
  3. הרדיוס – המרחק מהמרכז לאחד הקודקודים (או חצי מהיתר).
  4. מציבים ב־(x − a)² + (y − b)² = R².

דוגמה 1: מעגל החוסם משולש ישר זווית

קודקודי המשולש AEB הם A(−4,4), E(0,2), B(3,8). א. הראו שהזווית E ישרה. ב. מצאו את משוואת המעגל החוסם את המשולש.

פתרון שלב אחר שלב

א.

mEA = 4 − 2−4 − 0 = 2−4 = −12

mEB = 8 − 23 − 0 = 63 = 2

−12 · 2 = −1

מכפלת השיפועים −1 ← EA ⊥ EB, הזווית E ישרה.

ב. היתר AB הוא קוטר, והמרכז O באמצע AB:

xO = −4 + 32 = −12

yO = 4 + 82 = 122 = 6

הרדיוס – המרחק OB:

3 − (−12) = 312 = 72

R² = (72)² + (8 − 6)² = 494 + 4

כותבים את 4 ברבעים: 4 = 164.

R² = 494 + 164 = 654

(x + 12)² + (y − 6)² = 654

תשובה: (x + 12)² + (y − 6)² = 654

במשוואת המעגל צריך רק R², לכן לא חייבים להוציא שורש.

משולש כלשהו – אנכים אמצעיים

  1. בוחרים שתי צלעות. לכל אחת: מוצאים את האמצע ואת השיפוע.
  2. שיפוע האנך האמצעי – הופכי ונגדי לשיפוע הצלע.
  3. כותבים את משוואת כל אנך אמצעי (דרך אמצע הצלע).
  4. משווים בין שני האנכים – נקודת החיתוך היא המרכז.
  5. הרדיוס – המרחק מהמרכז לקודקוד.

דוגמה 2: מעגל החוסם את המשולש A(−3,3), B(5,−1), C(6,6)

מצא את מרכז המעגל החוסם את המשולש שקודקודיו A(−3,3), B(5,−1), C(6,6), ואת משוואת המעגל.

פתרון שלב אחר שלב

אנך אמצעי ל־AB. האמצע:

x = −3 + 52 = 1

y = 3 + (−1)2 = 1 ← (1,1)

mAB = −1 − 35 − (−3) = −48

נצמצם ב־4:

mAB = −12

שיפוע האנך – הופכי ונגדי: 2.

y − 1 = 2(x − 1)

y = 2x − 1

אנך אמצעי ל־AC. האמצע:

x = −3 + 62 = 32 ,   y = 3 + 62 = 92

mAC = 6 − 36 − (−3) = 39

נצמצם ב־3:

mAC = 13

שיפוע האנך: −3.

y − 92 = −3(x − 32)

y − 92 = −3x + 92   |+92

y = −3x + 9

המרכז – משווים בין האנכים:

2x − 1 = −3x + 9   |+3x

5x − 1 = 9   |+1

5x = 10   |:5

x = 2

y = 2 · 2 − 1 = 3 ← (2,3)

הרדיוס – המרחק מהמרכז ל־A:

R² = (−3 − 2)² + (3 − 3)²

= 25 + 0 = 25

בדיקה עם B ועם C: (5 − 2)² + (−1 − 3)² = 9 + 16 = 25 ו־(6 − 2)² + (6 − 3)² = 16 + 9 = 25 ✓

תשובה: המרכז (2,3), המעגל (x − 2)² + (y − 3)² = 25

טעויות נפוצות

  • להעביר "אנך אמצעי" מהקודקוד. האנך האמצעי יוצא מאמצע הצלע (רק במשולש שווה שוקיים האנך האמצעי לבסיס עובר גם דרך הקודקוד).
  • במשולש ישר זווית – לקחת אמצע של ניצב במקום אמצע היתר.
  • לחשב רדיוס בלי בדיקה. מרחק המרכז מכל שלושת הקודקודים חייב לצאת שווה.

שאלות נפוצות

איפה נמצא מרכז המעגל החוסם משולש ישר זווית?

באמצע היתר. זווית של 90° נשענת על קוטר, ולכן היתר הוא קוטר של המעגל, והרדיוס הוא חצי מהיתר.

איך מוצאים מרכז מעגל החוסם משולש כלשהו?

מוצאים משוואות של שני אנכים אמצעיים (דרך אמצע הצלע, שיפוע הופכי ונגדי לצלע) ומשווים ביניהם. נקודת החיתוך היא המרכז.

איפה מרכז המעגל החוסם מלבן?

בנקודת המפגש של האלכסונים. האלכסונים במלבן שווים וחוצים זה את זה, ולכן המפגש רחוק באותו מרחק מכל הקודקודים.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההנדסה האנליטית המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.

לקורס ההנדסה האנליטית המלא ←

עוד באתר

→ הקודם: משוואת משיק למעגל  |  הבא: שאלת בגרות באנליטית – מעגל ומשיק ←

ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
האתר משתמש בעוגיות.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות