מתמטריק – אלדד

📋 סיכום ונוסחאותהנדסה אנליטית: הקו הישר והמעגל

4 יחידות · שאלון 471 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן
⬅️ חזרה לקורס: הנדסה אנליטית – 471

1. נקודות, אורכי קטעים ושטחים

📐 נקודה
(x , y) ← השמאלי x, הימני y
📐 קטע מקביל לציר
על ציר x או מקביל לו: מחסירים את ה־x · על ציר y: מחסירים את ה־y
שטח מלבן = אורך · רוחב
📐 שטח משולש
S = בסיס · גובה2  ·  ישר זווית: S = ניצב · ניצב2
  1. בוחרים בסיס שמונח על ציר.
  2. אורך הבסיס: הפרש השיעורים.
  3. גובה: מהקודקוד שמול הבסיס, בזווית של 90 מעלות. הגובה = המרחק של הקודקוד מהציר.
דוגמה: A(0, 5), B(0, −1), C(3, 3)
בסיס AB = 5 − (−1) = 6 · גובה 3 ← S = 6 · 32 = 9
xyA(0, 5)B(0, −1)C(3, 3)
משולש ABC (כחול): הבסיס AB על ציר y, הגובה מ־C (ירוק חזק) שווה 3 (המרחק של C מציר y).

2. משוואת קו ישר

📐 משוואת ישר
y = mx + b
m – השיפוע (המספר שלפני x) · b – החיתוך עם ציר y (המספר החופשי, יש שכותבים n)
📐 ישרים מקבילים לצירים
y = k ← מקביל לציר x, שיפוע 0
x = k ← מקביל לציר y, שיפוע לא מוגדר
📐 חיתוך עם הצירים
ציר y: מציבים x = 0 · ציר x: מציבים y = 0
🔹 m > 0 ← הישר עולה · m < 0 ← יורד. ככל ש־m רחוק יותר מ־0, הישר תלול יותר.
🔹 נקודה על הישר ← מקיימת את המשוואה: (2, 2) על y = 2x − 2 כי 2 · 2 − 2 = 2
🔹 משוואה לא מסודרת: מבודדים את y. 2y = 2x + 8 ← y = x + 4 · 5x + 12y = 120 ← y = −512x + 10
xy(0, −2)(1, 0)
y = 2x − 2 (כחול) עולה, חותך את הצירים ב־(0, −2) ו־(1, 0) · y = −x + 3 (תכלת) יורד · y = 4 (ירוק חזק) מקביל לציר x · x = −2 (סגול) מקביל לציר y

3. שיפוע ומציאת משוואת ישר

📐 שיפוע לפי שתי נקודות
m = y2 − y1x2 − x1
📐 ישר לפי שיפוע ונקודה
y − y1 = m(x − x1)
📐 חיתוך בין שני ישרים
משווים את ה־y של שני הישרים, מוצאים x, ומציבים כדי למצוא y
דוגמה: דרך (4, 2) ו־(0, 10)
m = 10 − 20 − 4 = −2 ← y − 2 = −2(x − 4) ← y = −2x + 10
הוכחת מקבילית: שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות ← שיפועים שווים: mAB = mDC וגם mAD = mBC
🔹 נקודה על ציר x ← y = 0 · נקודה על ציר y ← x = 0. כך מוצאים קודקודים על הצירים.

4. נוסחת המרחק ונקודת אמצע קטע

📐 נוסחת המרחק (דיסטנס)
d = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
באה ממשפט פיתגורס. נקודות על אותו ציר: מספיק לחסר
📐 נקודת אמצע קטע
xM = x1 + x22  ·  yM = y1 + y22
A(0, 5), B(6, 0): d = √62 + (−5)2 = √61
אמצע הקטע בין (4, 6) ו־(1, 2): (4 + 12, 6 + 22) = (2.5, 4)
הקצה השני: אמצע M(2, 6), קצה A(4, 14)
2 = 4 + x2 ← x = 0 · 6 = 14 + y2 ← y = −2 ← B(0, −2)
🔹 מינוס בריבוע יוצא חיובי. שורש שלא יוצא שלם – אפשר להשאיר כשורש.

5. ישרים מקבילים ומאונכים

📐 מקבילים
m1 = m2
📐 מאונכים (ביניהם 90 מעלות)
m1 · m2 = −1 ← שיפוע הופכי ונגדי
  1. כותבים את השיפוע כשבר: 2 = 21
  2. הופכים: 12
  3. משנים סימן: −12
  4. בודקים: 2 · (−12) = −1
מקביל ל־2y − 8x = 6: מסדרים y = 4x + 3 ← m = 4
מאונך ל־y = 14x + 8 ← m = −4
xy(2, 4)(0, 5)
y = 2x (כחול) ו־y = −12x + 5 (ירוק חזק) מאונכים: 2 · (−12) = −1. נפגשים ב־(2, 4) (סגול)

6. מרובעים במערכת צירים (בגרויות 382)

מקביליתצלעות נגדיות מקבילות (שיפועים שווים). האלכסונים חוצים זה את זה ← נקודת המפגש היא אמצע של כל אלכסון
מלבןכמו מקבילית, וצלעות סמוכות מאונכות: m1 · m2 = −1
ריבועכמו מלבן, והאלכסונים מאונכים זה לזה ונפגשים באמצע
טרפזזוג צלעות מקבילות · S = (בסיס + בסיס) · גובה2
xyA(0, 0)B(1, 3)C(5, 4)D(4, 1)M(2.5, 2)
מקבילית ABCD (כחול): mAB = mDC = 3, mAD = mBC = 14. האלכסונים (תכלת) נפגשים ב־M(2.5, 2) (סגול), אמצע של AC וגם של BD
🔹 קודקוד חסר במקבילית: מוצאים את M כאמצע של אלכסון אחד, ואז את הקודקוד כקצה השני של האלכסון השני.

7. משוואת מעגל

📐 משוואת מעגל
(x − a)2 + (y − b)2 = R2
מרכז (a , b) · רדיוס R · מעגל קנוני (מרכז בראשית): x2 + y2 = R2
מרכז (9, −5), רדיוס 6 ← (x − 9)2 + (y + 5)2 = 36
(x + 5)2 + (y + 4)2 = 9 ← מרכז (−5, −4), R = 3
🔹 מהמשוואה למרכז: הסימן מתהפך (פלוס ← מינוס, מינוס ← פלוס). R הוא השורש של המספר באגף ימין.
📐 חיתוך עם הצירים
ציר y: מציבים x = 0 · ציר x: מציבים y = 0
x2 + (y − 3)2 = 4
ציר y: (y − 3)2 = 4 ← y − 3 = ±2 ← (0, 5), (0, 1)
ציר x: x2 + 9 = 4 ← x2 = −5 ← אין חיתוך
xy(0, 3)(0, 5)(0, 1)
המעגל x2 + (y − 3)2 = 4 (כחול): מרכז (0, 3) (סגול), רדיוס 2 (תכלת), חותך את ציר y ב־(0, 5) ו־(0, 1) (ירוק חזק) ולא חותך את ציר x

8. משיק, מעגל משיק לצירים, מעגל חוסם, השלמה לריבוע

📐 משיק למעגל
בין רדיוס למשיק יש 90 מעלות ← שיפוע המשיק הופכי ונגדי לשיפוע הרדיוס
  1. נקודת ההשקה (מציבים את השיעור הידוע במשוואת המעגל).
  2. שיפוע הרדיוס: מהמרכז לנקודת ההשקה.
  3. שיפוע המשיק: הופכי ונגדי.
  4. y − y1 = m(x − x1)
x2 + y2 = 100, A(−8, 6)
mOA = 6−8 = −34 ← m = 43 ← y − 6 = 43(x + 8)
xyA(−8, 6)(0, 0)
המעגל x2 + y2 = 100 (כחול), הרדיוס OA (תכלת) והמשיק y = 43x + 503 (ירוק חזק) בנקודה A(−8, 6) (סגול)
📐 מעגל משיק לצירים
משיק לציר y ← R = |a| · משיק לציר x ← R = |b|
משיק לשני הצירים ← R = |a| = |b|
📐 מרכז המעגל החוסם
משולש ישר זווית ← אמצע היתר (היתר הוא קוטר)
מלבן או ריבוע ← מפגש האלכסונים
משולש כלשהו ← מפגש האנכים האמצעיים
📐 השלמה לריבוע
x2 − 8x = (x − 4)2 − 16
חצי מהמקדם של x בסוגריים בריבוע, ומורידים את מה שנוסף
x2 + y2 − 8x + 6y = 11
(x − 4)2 − 16 + (y + 3)2 − 9 = 11 ← (x − 4)2 + (y + 3)2 = 36
📐 מיקום נקודה ביחס למעגל
מציבים באגף שמאל: = R2 על המעגל · > R2 בחוץ · < R2 בפנים
🔹 אנך אמצעי יוצא מאמצע הצלע ומאונך לה, לא מהקודקוד.

✔️ סדר פתרון שאלה מבגרות

  1. משרטטים סקיצה ומסמנים את כל הנתונים.
  2. נקודה על ציר ← x = 0 או y = 0. נקודה על ישר ← מציבים במשוואה.
  3. מקביל ← אותו שיפוע · מאונך ← הופכי ונגדי.
  4. ישר: שיפוע ונקודה ← y − y1 = m(x − x1). חיתוך ישרים ← משווים.
  5. אורך ← נוסחת המרחק · אמצע ← נוסחת האמצע · שטח ← בסיס על ציר.
  6. מעגל: מרכז ורדיוס. חוסם משולש ישר זווית ← המרכז באמצע היתר.
🔹 בקורס פותרים בגרויות 382 (2013 א, 2016 חורף, 2017 ב, 2021 א) ובגרויות 481 (חורף 2013, 2016 ב, 2018 א, חורף 2019, 2021 א, 2022 ב).
מתמטריק · eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות