שטח משולש במערכת צירים

שטח משולש במערכת צירים מחשבים ב־S = בסיס · גובה2: בוחרים בסיס שמונח על ציר, והגובה הוא המרחק של הקודקוד השלישי מהציר. בעמוד הזה: השלבים, משולש שנוצר משני ישרים וציר x ודוגמה עם שברים – פתרונות מלאים לבגרות 471.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההנדסה האנליטית המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.

לקורס ההנדסה האנליטית המלא ←

בעמוד הזה:

  1. הנוסחה
  2. שלבים
  3. דוגמה: בסיס על ציר y
  4. דוגמה: משולש שנוצר משני ישרים וציר x
  5. דוגמה עם שברים
  6. טעויות נפוצות
  7. שאלות נפוצות

שטח משולש במערכת צירים

S = בסיס · גובה2

  • בוחרים בסיס שמונח על ציר x או על ציר y.
  • הגובה = המרחק של הקודקוד שמול הבסיס מאותו ציר.
  • במשולש ישר זווית: S = ניצב · ניצב2.

הנוסחה

שטח משולש הוא בסיס כפול גובה חלקי 2. הגובה יורד מהקודקוד שמול הבסיס ויוצר עם הבסיס זווית של 90°. במערכת צירים כדאי לבחור בסיס שמונח על אחד הצירים: אז אורך הבסיס הוא הפרש פשוט, והגובה הוא המרחק של הקודקוד השלישי מהציר.

  • בסיס על ציר x ← הגובה הוא ה־y של הקודקוד השלישי (בלי מינוס).
  • בסיס על ציר y ← הגובה הוא ה־x של הקודקוד השלישי (בלי מינוס).

שלבים

  1. מוצאים את הקודקודים (לרוב חיתוך עם הצירים וחיתוך בין שני ישרים).
  2. בוחרים בסיס שמונח על ציר ומחשבים את אורכו.
  3. מורידים גובה מהקודקוד שמול הבסיס – המרחק שלו מהציר.
  4. מציבים ב־S = בסיס · גובה2.

דוגמה 1: בסיס על ציר y

קודקודי המשולש ABC: A(0,5), B(0,−1), ו־C נמצא בנקודה שה־x שלה 3. מצא את שטח המשולש.

פתרון שלב אחר שלב

הבסיס AB על ציר y:

AB = 5 − (−1) = 6

הגובה מ־C לציר y הוא ה־x של C:

h = 3

S = 6 · 32 = 182 = 9

תשובה: S = 9

דוגמה 2: משולש שנוצר משני ישרים וציר x

הישרים y = 2x + 2 ו־y = −12x + 192 יוצרים עם ציר x את המשולש ABC. A ו־B על ציר x, ו־C נקודת החיתוך של הישרים. א. מצא את A ו־B. ב. מצא את C. ג. חשב את שטח המשולש.

פתרון שלב אחר שלב

א. על ציר x מציבים y = 0. בישר הראשון:

0 = 2x + 2   |−2

−2 = 2x   |:2

x = −1 ← A(−1,0)

בישר השני:

0 = −12x + 192   |·2

0 = −x + 19

x = 19 ← B(19,0)

ב. משווים בין הישרים:

2x + 2 = −12x + 192   |·2

4x + 4 = −x + 19   |+x

5x + 4 = 19   |−4

5x = 15   |:5

x = 3

y = 2 · 3 + 2 = 8 ← C(3,8)

ג. הבסיס AB על ציר x. A בצד השלילי, לכן מחברים את המרחקים מראשית הצירים:

AB = 1 + 19 = 20

הגובה מ־C לציר x הוא ה־y של C:

h = 8

S = 20 · 82 = 1602 = 80

תשובה: A(−1,0) , B(19,0) , C(3,8) , S = 80

דוגמה 3: שטח עם שברים

הישרים y = 2x − 3 ו־y = −14x + 6 יוצרים עם ציר x את המשולש ABC, כש־A ו־C על ציר x ו־B נקודת החיתוך B(4,5). חשב את שטח המשולש.

פתרון שלב אחר שלב

A – בישר y = 2x − 3 מציבים y = 0:

0 = 2x − 3   |+3

3 = 2x   |:2

x = 32 ← A(32 , 0)

C – בישר השני מציבים y = 0:

0 = −14x + 6   |·4

0 = −x + 24

x = 24 ← C(24,0)

הבסיס:

AC = 24 − 32 = 482 − 32 = 452

הגובה – ה־y של B:

h = 5

S = 452 · 52 = 22522

חילוק ב־2 הוא כפל ב־12:

2252 · 12 = 2254 = 5614

תשובה: S = 2254 = 5614

טעויות נפוצות

  • לשכוח לחלק ב־2.
  • לחסר כשנקודה אחת בצד השלילי: מ־−1 עד 19 המרחק 20, לא 18.
  • לקחת גובה עם מינוס – גובה הוא אורך ותמיד חיובי.
  • לבחור בסיס שלא על ציר. אפשר, אבל אז צריך נוסחת מרחק ומשוואת גובה – הרבה יותר עבודה.

שאלות נפוצות

איך מחשבים שטח משולש במערכת צירים?

בוחרים צלע שמונחת על ציר x או על ציר y כבסיס. הגובה הוא המרחק של הקודקוד השלישי מאותו ציר. מציבים ב־S = בסיס · גובה / 2.

מה הגובה כשהבסיס על ציר x?

הגובה הוא ערך ה־y של הקודקוד שמול הבסיס, בלי סימן מינוס. למשל לקודקוד (3,8) הגובה 8.

מה עושים כשאף צלע לא על ציר?

אפשר להשתמש בצלע מקבילה לציר, או במשולש ישר זווית (שטח = ניצב · ניצב / 2) כשמראים בעזרת שיפועים שיש זווית ישרה.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההנדסה האנליטית המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.

לקורס ההנדסה האנליטית המלא ←

עוד באתר

→ הקודם: ישרים מקבילים ומאונכים  |  הבא: הוכחת מקבילית באנליטית ←

ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
האתר משתמש בעוגיות.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות