משוואות עם ln – x = e בחזקת a, הצבה וחוקי הלאנים
משוואות עם ln מופיעות בכל חקירת ln: בחיתוך עם ציר x, בנקודות קיצון ובתחום ההגדרה. בעמוד כל השיטות מהקורס עם 12 דוגמאות פתורות: הנוסחה ln x = a ⇒ x = ea, הצבה ln x = t, חוקי הלאנים ו־ln A = ln B, ובדיקת תחום.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס חקירת פונקציית ln המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.
בעמוד הזה:
- הנוסחה ln x = a ⇒ x = ea
- ln לבד
- שיטת ההצבה ln x = t
- חוקי הלאנים ו־ln = ln
- משוואה שמשלבת הכול
- בדיקת תחום ההגדרה
- טעויות נפוצות
משוואות עם ln
ln x = a ⇒ x = ea
ln A = ln B ⇒ A = B
קודם משאירים את ה־ln לבד. יש (ln x)² וגם ln x? מציבים ln x = t. בסוף בודקים שבתוך כל ln יוצא חיובי.
הנוסחה הבסיסית: ln x = a ⇒ x = ea
כדי "להתפטר" מה־ln: רושמים את מה שבתוך ה־ln, ומתחת ל־a שמים e – כלומר e בחזקת a. אותו רעיון כשבפנים יש ביטוי: ln(□) = a ⇒ □ = ea. ושני ערכים לזכור: ln 1 = 0 , ln e = 1.
דוגמאות: ln לבד
פתרו: ln x = 3
פתרון שלב אחר שלב
לפי הנוסחה: רושמים x, ומתחת ל־3 שמים e.
x = e³
תשובה: x = e³
פתרו: 4ln x − 2 = 0
פתרון שלב אחר שלב
מעבירים אגפים כדי להשאיר את ה־ln לבד:
4ln x = 2
מחלקים ב־4, ונצמצם ב־2:
ln x = 24 = 12
לפי הנוסחה:
x = e12 = √e
תשובה: x = √e
פתרו: ln(x − 4) = 1
פתרון שלב אחר שלב
אותה נוסחה – במקום x כתוב x − 4:
x − 4 = e1
מעבירים אגפים:
x = e + 4
תשובה: x = e + 4
שיטת ההצבה ln x = t
כשבמשוואה יש (ln x)² וגם ln x: מציבים ln x = t, פותרים משוואה ריבועית ב־t, חוזרים להצבה ומוצאים x = et לכל פתרון.
פתרו: (ln x)² − 2ln x = 0
פתרון שלב אחר שלב
הצבה ln x = t:
t² − 2t = 0
t(t − 2) = 0
t = 0 , t = 2
חוזרים להצבה:
ln x = 0 ⇒ x = e0 = 1
ln x = 2 ⇒ x = e²
תשובה: x = 1 , x = e²
פתרו: (ln x)² − 4ln x + 3 = 0
פתרון שלב אחר שלב
הצבה ln x = t:
t² − 4t + 3 = 0
(t − 1)(t − 3) = 0
t = 1 , t = 3
חוזרים להצבה:
x = e1 = e , x = e³
תשובה: x = e , x = e³
חוקי הלאנים ו־ln = ln
החוקים מופיעים בדף הנוסחאות עם log – פשוט במקום log רושמים ln (עוד עליהם בעמוד חוקי לוגריתמים):
ln(b·c) = ln b + ln c
ln bc = ln b − ln c
ln ab = b·ln a
פתרו: ln x + ln 3 = ln(x²)
פתרון שלב אחר שלב
חיבור של לאנים הופך לכפל:
ln(3x) = ln(x²)
ln בשני האגפים – מבטלים:
3x = x²
0 = x² − 3x
x(x − 3) = 0
x = 0 , x = 3
בתוך ln x חייב להיות x > 0, לכן x = 0 נפסל.
תשובה: x = 3
פתרו: ln x − ln 5 = ln 7
פתרון שלב אחר שלב
חיסור של לאנים הופך לחילוק:
ln x5 = ln 7
מבטלים ln:
x5 = 71
כפל בהצלבה:
x = 7·5 = 35
תשובה: x = 35
פתרו: ln x + ln(x − 2) = ln 3
פתרון שלב אחר שלב
תחום הגדרה: x > 0 וגם x − 2 > 0 ← x > 2. חיבור לאנים ← כפל:
ln(x(x − 2)) = ln 3
x(x − 2) = 3
x² − 2x − 3 = 0
(x − 3)(x + 1) = 0
x = 3 – בתחום. x = −1 – לא בתחום, נפסל.
תשובה: x = 3
פתרו: ln(x + 3) − ln x = ln 4
פתרון שלב אחר שלב
תחום: x + 3 > 0 וגם x > 0 ← x > 0. חיסור ← חילוק:
ln x + 3x = ln 4
x + 3x = 41
כפל בהצלבה:
x + 3 = 4x
3 = 3x
x = 1
תשובה: x = 1 (בתחום)
משוואה שמשלבת את כל החוקים והצבה
מצאו את x: (ln x)² + ln xe = 3 + ln(e²·x²)
פתרון שלב אחר שלב
פותחים: חילוק – חיסור לאנים; כפל – חיבור לאנים:
(ln x)² + ln x − ln e
= 3 + ln e² + ln x²
שימו לב: (ln x)² – כל ה־ln בריבוע; ln x² – רק ה־x בריבוע. ln e = 1, ולפי חוק החזקה מורידים את ה־2:
(ln x)² + ln x − 1
= 3 + 2ln e + 2ln x
מציבים ln x = t (ו־2ln e = 2):
t² + t − 1 = 3 + 2 + 2t
t² − t − 6 = 0
(t − 3)(t + 2) = 0
t = 3 , t = −2
חוזרים להצבה:
x = e³ , x = e−2 = 1e²
תשובה: x = e³ , x = 1e²
בדיקת תחום ההגדרה
פתרו: ln(−x² + 4x − 3) − ln 0.75 = 0 (בגרות קיץ 2021 מועד מיוחד).
פתרון שלב אחר שלב
תחום: −x² + 4x − 3 > 0 ← 1 < x < 3 (ראו תחום הגדרה של פונקציית ln). בשאלה נתון 0.75, כלומר 34. מעבירים אגפים:
ln(−x² + 4x − 3) = ln 34
−x² + 4x − 3 = 34
כופלים ב־(−4) ומעבירים אגפים:
4x² − 16x + 12 = −3
4x² − 16x + 15 = 0
נוסחת השורשים (או במחשבון):
x = 32 , x = 52
שני הפתרונות בין 1 ל־3 – בתחום.
תשובה: x = 32 , x = 52
טעויות נפוצות
- לבלבל בין (ln x)² ל־ln x²: ln x² = 2ln x, אבל (ln x)² נשאר ומציבים t.
- לכתוב ln(x + y) = ln x + ln y – אין חוק לסכום.
- לא לבדוק תחום הגדרה בסוף – פתרון שנותן שלילי בתוך ln נפסל.
- לשכוח לחזור מ־t ל־x.
שאלות נפוצות
איך פותרים משוואה עם ln?
משאירים את ה־ln לבד ומשתמשים ב־ln x = a ⇒ x = ea. אם יש ln בשני האגפים – מאחדים לפי חוקי הלאנים ומבטלים: ln A = ln B ⇒ A = B.
מתי מציבים t במשוואה עם ln?
כשיש (ln x)² וגם ln x. מציבים ln x = t, פותרים משוואה ריבועית וחוזרים: x = et.
למה צריך לבדוק תחום הגדרה אחרי משוואה עם ln?
כי אחרי ביטול ה־ln עלול לצאת פתרון שבו מה שבתוך ה־ln שלילי או 0 – פתרון כזה נפסל.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס חקירת פונקציית ln המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.
עוד באתר
- תחום הגדרה של פונקציית ln
- חוקי לוגריתמים
- נקודות קיצון בפונקציית ln
- סיכום ונוסחאות – חקירת פונקציית ln
- עוד דוגמאות פתורות – חקירת פונקציית ln
- שאלות בגרות 472 לפי נושא – חקירת פונקציית ln
- בגרות 472 – כל הנושאים
→ הקודם: תחום הגדרה של פונקציית ln | הבא: נגזרת של ln ←