חוקי לוגריתמים ומשוואות מעריכיות

חוקי לוגריתמים – גם ל־ln וגם ל־log – הם הכלי לפתור משוואות מעריכיות ומשוואות עם ln בשאלון 472. בעמוד: ההגדרה, שלושת החוקים ומעבר בסיס, ותרגילים פתורים מהקורס – כולל שאלות בגרות חורף 2024 וחורף 2025.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס חקירת פונקציית ln המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.

לקורס חקירת פונקציית ln המלא ←

בעמוד הזה:

  1. מה זה לוגריתם
  2. שלושת החוקים ומעבר בסיס
  3. חישובים בלי מחשבון
  4. משוואה מעריכית: ln משני האגפים
  5. בגרות חורף 2025: גדילה באחוזים
  6. בגרות חורף 2024: מתי המשקלים שווים
  7. טעויות נפוצות

חוקי לוגריתמים (גם ל־ln)

logab = c ⟺ ac = b

ln(x·y) = ln x + ln y

ln xy = ln x − ln y

ln(xn) = n·ln x

logab = ln bln a

ln הוא לוגריתם בבסיס e (מקש ln), ו־log בלי בסיס – בבסיס 10. אין חוק לסכום: ln(x + y) ≠ ln x + ln y.

מה זה לוגריתם

לוגריתם עונה על השאלה: "באיזו חזקה צריך להעלות את הבסיס כדי לקבל את המספר?" למשל log28 = 3 כי 2³ = 8. התנאים: a > 0 , a ≠ 1 , b > 0. ושני ערכים מיוחדים: loga1 = 0 , logaa = 1 – ובפרט ln 1 = 0 , ln e = 1 , ln(ec) = c.

שלושת החוקים ומעבר בסיס

חוקדוגמה
מכפלה ← חיבורlog2(4·8) = 2 + 3 = 5
מנה ← חיסורlog2324 = 5 − 2 = 3
חזקה ← כפלlog2(8²) = 2·3 = 6
מעבר בסיסlog28 = ln 8ln 2 = 3

החוקים מופיעים בדף הנוסחאות עם log; עם ln הם בדיוק אותו דבר – וכך פותרים משוואות עם ln.

חישובים בלי מחשבון

חשבו: א. log232 , log 1000 , ln(e4). ב. log64 + log69. ג. log354 − log32. ד. 2ln 3 + ln 2 − ln 18.

פתרון שלב אחר שלב

א. לפי ההגדרה: 25 = 32 ← 5; 10³ = 1000 ← 3; ln(e4) = 4.

ב. חוק המכפלה:

log6(4·9) = log636 = 2

כי 6² = 36.

ג. חוק המנה, ונצמצם ב־2:

log3542 = log327 = 3

כי 3³ = 27.

ד. קודם מכניסים את ה־2 לחזקה: 2ln 3 = ln 9. אחר כך מכפלה: ln 9 + ln 2 = ln 18. ולבסוף:

ln 18 − ln 18 = ln 1818

= ln 1 = 0

תשובה: א. 5 , 3 , 4 ; ב. 2 ; ג. 3 ; ד. 0

חשבו: log224 − log23 , ופתרו: log2(x + 1) = 3.

פתרון שלב אחר שלב

חוק המנה, ונצמצם ב־3:

log2243 = log28 = 3

במשוואה – תחום x + 1 > 0 ← x > −1. לפי ההגדרה:

x + 1 = 2³ = 8

x = 7

תשובה: 3 ; x = 7

משוואה מעריכית: ln משני האגפים

כשהנעלם בחזקה: מבודדים את החזקה, מוציאים ln משני האגפים, ומורידים את החזקה לפי חוק החזקה:

ax = b

x·ln a = ln b

x = ln bln a

פתרו: 2x = 10

פתרון שלב אחר שלב

ln(2x) = ln 10

x·ln 2 = ln 10

מחלקים ב־ln 2:

x = ln 10ln 2

במחשבון: x ≈ 3.32. בדיקה: 23.32 ≈ 10.

תשובה: x = ln 10ln 2 ≈ 3.32

פתרו: 3·1.05t = 6

פתרון שלב אחר שלב

מחלקים ב־3:

1.05t = 2

t·ln 1.05 = ln 2

t = ln 2ln 1.05 ≈ 14.21

תשובה: t ≈ 14.21

בגרות 472 חורף 2025: גדילה באחוזים

במהלך ניפוח של מזרן גדל הנפח שלו בכל דקה ב־22%. בסיום הניפוח היה הנפח גדול פי 7.5 מהנפח בתחילת הניפוח. מצאו כמה דקות נמשך הניפוח.

פתרון שלב אחר שלב

המנה בגדילה:

q = 1 + 22100 = 1.22

לפי M(t) = M0·qt:

M0·1.22t = 7.5·M0

מחלקים ב־M0:

1.22t = 7.5

t·ln 1.22 = ln 7.5

t = ln 7.5ln 1.22 ≈ 10.13

תשובה: הניפוח נמשך כ־10.13 דקות

בגרות 472 חורף 2024: מתי המשקלים שווים

המשקל של קרחון A הוא f(t) = 7·0.96t והמשקל של קרחון B הוא g(t) = 10·0.91t. מצאו אחרי כמה שנים המשקלים שווים.

פתרון שלב אחר שלב

7·0.96t = 10·0.91t

מחלקים את שני האגפים ב־7 וב־0.91t:

0.96t0.91t = 107

חזקות עם אותו מעריך – מחלקים את הבסיסים:

(0.960.91)t = 107

ln משני האגפים:

t·ln 0.960.91 = ln 107

t = ln 107ln 0.960.91 ≈ 6.67

בדיקה: 7·0.966.67 ≈ 5.33 , 10·0.916.67 ≈ 5.33.

תשובה: אחרי כ־6.67 שנים

אותה שיטה בשאלת בגרות חורף 2022 (נבצרים): 10·1.5t = 100·1.2t ← 1.25t = 10 ← t = ln 10ln 1.25 ≈ 10.32 ימים.

טעויות נפוצות

  • לכתוב ln(x + y) = ln x + ln y – אין חוק לסכום.
  • לבלבל בין ln(x²) = 2ln x ל־(ln x)².
  • לחלק ln 10ln 2 כאילו זה ln 5 – זה לא חוק המנה.
  • לשכוח לבדוק תחום הגדרה במשוואה עם לוגריתם.

שאלות נפוצות

מה חוקי הלוגריתמים?

מכפלה ← חיבור: ln(xy) = ln x + ln y. מנה ← חיסור: ln xy = ln x − ln y. חזקה ← כפל: ln(xn) = n·ln x. ומעבר בסיס: logab = ln bln a.

איך פותרים משוואה מעריכית עם ln?

מבודדים את החזקה, מוציאים ln משני האגפים ומורידים את החזקה: ax = b ⇒ x = ln bln a.

מה ההבדל בין ln ל־log?

ln הוא לוגריתם בבסיס e, ו־log בלי בסיס – בבסיס 10. החוקים זהים לשניהם.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס חקירת פונקציית ln המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.

לקורס חקירת פונקציית ln המלא ←

עוד באתר

→ הקודם: שטח עם ln

ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
האתר משתמש בעוגיות.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות