עוד דוגמאות פתורות – חקירת פונקציית ln – בגרות 472

פתרון:
א. תחום הגדרה: מה שבתוך ה־ln גדול מ־0
x + 2 > 0 ← x > −2
x − 1 > 0 ← x > 1
התחום המשותף: x > 1
חוק הלאנים: ln b + ln c = ln(b · c)
ln((x + 2)(x − 1)) = ln 4
ln שווים ← מה שבפנים שווה:
(x + 2)(x − 1) = 4
פותחים סוגריים: x² − x + 2x − 2 = 4
מעבירים אגפים: x² + x − 6 = 0
(x + 3)(x − 2) = 0 ← x = −3 או x = 2
בודקים בתחום: x = −3 לא מקיים x > 1 ← נפסל
← x = 2
בדיקה: ln 4 + ln 1 = ln 4 + 0 = ln 4 ✔
ב. תחום הגדרה: x > 0
הצבה: ln x = t
t² − 3t + 2 = 0
(t − 1)(t − 2) = 0 ← t = 1 או t = 2
חוזרים להצבה: ln x = a ⇒ x = e^a
ln x = 1 ← x = e¹ = e
ln x = 2 ← x = e²
שני הפתרונות חיוביים, בתחום ← x = e , x = e²

פתרון:
א. תחום הגדרה: בתוך ה־ln: x > 0 , מכנה: x ≠ 0
התחום המשותף: x > 0
ב. משווים f(x) = 0: מנה שווה 0 ← המונה שווה 0
ln x = 0 ← x = e⁰ = 1 ← (1 , 0)
ג. גוזרים לפי נגזרת של מנה:
מונה: u = ln x , u' = 1x
מכנה: v = x , v' = 1
f'(x) = u'v − uv'v² = 1x · x − ln x · 1x² = 1 − ln xx²
משווים לאפס: (רק את המונה)
1 − ln x = 0 ← ln x = 1 ← x = e (בתחום)
מציבים בפונקציה: f(e) = ln ee = 1e ≈ 0.37
טבלה: (רק מתוך התחום) f'(1) = 1 − 01 = 1 > 0 , f'(e²) = 1 − 2e⁴ < 0

x	0 < x < e	e	x > e
f'(x)	+	0	−
f(x)	↗	מקסימום	↘

← max (e , 1e)
ד. אנכית – בקצה התחום ובמכנה, x = 0:
מציבים מספר קרוב מאוד ל־0 מימין: f(0.01) = ln 0.010.01 ≈ −460.5 ← y → −∞
← x = 0 אסימפטוטה אנכית
אופקית – רק x → ∞:
עם ∞: המכנה x גדל הרבה יותר מהר מ־ln x ← f → 0
מספרים (גדולים מאוד, כי ln עולה לאט): f(1000) ≈ 0.0069 , f(1000000) ≈ 0.0000138 ← מתקרב ל־0
← y = 0 (בצד x → ∞)

פתרון:
תחום הגדרה: x > 0
א. משווים f(x) = 0:
(ln x)² − 2ln x = 0
גורם משותף: ln x(ln x − 2) = 0
ln x = 0 ← x = e⁰ = 1
ln x − 2 = 0 ← ln x = 2 ← x = e²
← (1 , 0) , (e² , 0)
ב. גוזרים: ((ln x)ⁿ)' = n(ln x)ⁿ⁻¹ · 1x
f'(x) = 2ln x · 1x − 2 · 1x = 2ln x − 2x
משווים לאפס: (המונה)
2ln x − 2 = 0 ← 2ln x = 2 ← ln x = 1 ← x = e
מציבים בפונקציה: f(e) = (ln e)² − 2ln e = 1 − 2 = −1
טבלה: f'(1) = 2 · 0 − 21 = −2 < 0 , f'(e²) = 4 − 2e² > 0

x	0 < x < e	e	x > e
f'(x)	−	0	+
f(x)	↘	מינימום	↗

← min (e , −1)
ג. משוואת המשיק:
1. f(1) = 0 − 0 = 0 ← נקודת ההשקה (1 , 0)
2. m = f'(1) = −2 (חישבנו בטבלה)
3. y − 0 = −2(x − 1)
y = −2x + 2

פתרון:
א. משווים: 4x + 1 = −x + 4
כופלים במכנה (x + 1): 4 = (−x + 4)(x + 1)
פותחים סוגריים: 4 = −x² − x + 4x + 4
מעבירים אגפים: x² − 3x = 0
גורם משותף: x(x − 3) = 0 ← x = 0 או x = 3
y(0) = 4 , y(3) = −3 + 4 = 1 ← (0 , 4) , (3 , 1)
ב. מי למעלה? מציבים x = 1:
ישר: −1 + 4 = 3
פונקציה: 42 = 2 ← הישר למעלה
פונקציה קדומה: ∫ 1mx + bdx = ln|mx + b|m
∫ 4x + 1dx = 4ln|x + 1|
S = ∫₀³ (−x + 4 − 4x + 1)dx
= [−x²2 + 4x − 4ln|x + 1|]₀³
מציבים גבולות:
= (−92 + 12 − 4ln 4) − (0 + 0 − 4ln 1)
(ln 1 = 0)
= 7.5 − 4ln 4 − 0
S = 7.5 − 4ln 4 ≈ 1.955