סדרה הנדסית אין־סופית – מתי יש סכום ואיך מחשבים

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס הסדרות המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.

פתרון שלב אחר שלב

q = 612

נצמצם ב־6:

q = 12

המנה בין −1 ל־1, לכן יש סכום. במכנה נכתוב את 1 כשבר עם מכנה 2:

1 − 12 = 22 − 12 = 12

S = 1212

חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך:

S = 12 · 21 = 24

תשובה: S = 24

פתרון שלב אחר שלב

q = −32

בשאלה נתון 4.5, כלומר 4.5 = 92. בדיקה: −3 · −32 = 92 ✓.

q = −32, כלומר מינוס אחד וחצי – זה אינו בין −1 ל־1. האיברים לא קטנים בערכם אלא גדלים: 2 , −3 , 92 , −274 , …. לכן לסדרה אין סכום.

תשובה: אין סכום, כי q = −32 אינה בין −1 ל־1

פתרון שלב אחר שלב

60 = a₁1 − 13

1 − 13 = 33 − 13 = 23

60 = a₁23

כופלים את שני האגפים ב־23:

a₁ = 60 · 23

נצמצם ב־3 (60 חלקי 3 הוא 20):

a₁ = 20 · 2 = 40

a₂ = 40 · 13 = 403

403 הוא 13 ושליש.

תשובה: a₁ = 40, a₂ = 403

פתרון שלב אחר שלב

א. "הראשון גדול מהרביעי פי 8":

a₁ = 8a₄ = 8 · a₁ · q³

מחלקים ב־a₁ (שונה מאפס):

1 = 8q³

q³ = 18

q = 12

"סכום הראשון והחמישי 5,440":

a₁ + a₁ · q⁴ = 5,440

a₁(1 + 116) = 5,440

נכתוב את 1 כ־1616:

a₁ · 1716 = 5,440

כופלים את שני האגפים ב־1617:

a₁ = 5,440 · 1617

נצמצם ב־17 (5,440 חלקי 17 הוא 320):

a₁ = 320 · 16 = 5,120

המנה 12 בין −1 ל־1, לכן יש סכום:

1 − 12 = 12

S = 5,12012

חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך:

S = 5,120 · 21 = 10,240

ב. האיברים a₂ , a₄ , a₆ , …: מדלגים כל פעם על איבר, כלומר כופלים פעמיים ב־q. לכן הם סדרה הנדסית אין־סופית עם מנה q².

a₂ = 5,120 · 12 = 2,560

q² = (12)² = 14

1 − 14 = 44 − 14 = 34

S = 2,56034

חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך:

S = 2,560 · 43 = 10,2403

השבר לא מצטמצם (10,240 לא מתחלק ב־3).

תשובה: א. 10,240 ב. 10,2403

פתרון שלב אחר שלב

א. (1) את a₆ מקבלים כשמציבים n = 5:

a₆ = 4a₅ − 3 · 5

= 32 − 15 = 17

את a₄ מקבלים "אחורה": מציבים n = 4, ואז בכלל מופיעים a₅ ו־a₄:

a₅ = 4a₄ − 3 · 4

8 = 4a₄ − 12

4a₄ = 20

a₄ = 5

(2) בסדרה הנדסית היחס בין כל שני איברים עוקבים שווה. מספיקה דוגמה נגדית אחת:

a₅a₄ = 85 , a₆a₅ = 178

נשווה במכנה משותף 40:

85 = 6440 , 178 = 8540

היחסים שונים, ולכן הסדרה אינה הנדסית.

ב.

b₁ = 8 , b₂ = 5

q = 58

המנה בין −1 ל־1, לכן יש סכום:

1 − 58 = 88 − 58 = 38

S = 838

חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך:

S = 8 · 83 = 643

643 הוא 21 ושליש.

תשובה: א. (1) a₆ = 17, a₄ = 5 (2) לא הנדסית ב. S = 643

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס הסדרות המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.