ממוצע הנדסי – וסדרה הנדסית עולה, יורדת או מתחלפת
ממוצע הנדסי: בשלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית, ריבוע האיבר האמצעי שווה למכפלת השכנים – b2 = a · c. בעמוד הזה: למה זה נכון, איך פותרים כשהאיברים נתונים עם x, ואיך קובעים אם סדרה הנדסית עולה, יורדת או מתחלפת – עם טבלה ודוגמאות פתורות.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס הסדרות המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.
בעמוד הזה:
- ממוצע הנדסי – שלושה איברים עוקבים
- דוגמה: x , x + 3 , x + 9
- סדרה עולה, יורדת או מתחלפת
- דוגמה: שלוש סדרות
- טעויות נפוצות
ממוצע הנדסי
אם a , b , c שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית:
b2 = a · c
ריבוע האיבר האמצעי שווה למכפלת השכנים
ממוצע הנדסי – שלושה איברים עוקבים
בסדרה הנדסית b = a · q ו־c = b · q. לכן ba = cb – שתי המנות שוות. כופלים בהצלבה ומקבלים b2 = a · c. זה שימושי כשהאיברים נתונים עם נעלם: מקבלים משוואה אחת עם x.
להשוואה, בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא הממוצע החשבוני של שכניו: 2b = a + c (ראו הוכחה שסדרה היא חשבונית).
דוגמה: x , x + 3 , x + 9
דוגמה 1: המספרים x , x + 3 , x + 9 הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית. א. מצאו את x ואת מנת הסדרה. ב. שלושת המספרים הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה. מצאו את האיבר השמיני ואת סכום שמונת האיברים הראשונים.
פתרון שלב אחר שלב
א. ריבוע האיבר האמצעי שווה למכפלת השניים שמשני צדדיו:
(x + 3)2 = x(x + 9)
לפי נוסחת הכפל המקוצר (x + y)2 = x2 + 2xy + y2:
x2 + 6x + 9 = x2 + 9x
מחסרים x2 משני האגפים:
6x + 9 = 9x
9 = 3x
x = 93 = 3
האיברים: 3 , 6 , 12.
q = 63 = 2
בדיקה: 126 = 2 ✓
ב.
a8 = 3 · 27 = 3 · 128 = 384
S8 = 3(28 − 1)2 − 1 = 3 · 255 = 765
תשובה: א. x = 3, q = 2 ב. a8 = 384, S8 = 765
סדרה עולה, יורדת או מתחלפת
| המנה | האיבר הראשון | הסדרה |
|---|---|---|
| q > 1 | a1 > 0 | עולה |
| q > 1 | a1 < 0 | יורדת |
| 0 < q < 1 | a1 > 0 | יורדת |
| 0 < q < 1 | a1 < 0 | עולה |
| q < 0 | כל a1 | מתחלפת |
כשהמנה שלילית, הסימנים מתחלפים (חיובי, שלילי, חיובי…), והסדרה לא עולה ולא יורדת. כשהמנה חיובית, הסדרה עולה או יורדת לפי הסימן של a1 ולפי q – גדולה מ־1 או בין 0 ל־1. הדרך הבטוחה: לכתוב כמה איברים ולבדוק.
דוגמה: שלוש סדרות
דוגמה 2: לכל אחת מהסדרות ההנדסיות קבעו אם היא עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת: (1) a1 = 5 , q = 12 (2) a1 = −2 , q = 3 (3) a1 = 4 , q = −2.
פתרון שלב אחר שלב
כותבים כמה איברים ובודקים:
(1) כופלים כל פעם ב־12:
5 , 52 , 54 , …
איברים חיוביים שקטנים – הסדרה יורדת.
(2)
−2 , −6 , −18 , …
איברים שליליים שהולכים ומתרחקים מאפס כלפי מטה – הסדרה יורדת (אף ש־q > 1).
(3)
4 , −8 , 16 , −32 , …
המנה שלילית, הסימנים מתחלפים – לא עולה ולא יורדת.
תשובה: (1) יורדת (2) יורדת (3) לא עולה ולא יורדת
טעויות נפוצות
- לחשוב שכל סדרה עם q > 1 עולה. אם a1 שלילי – היא יורדת.
- לכתוב (x + 3)2 = x2 + 9. חסר האיבר האמצעי 6x.
- לבלבל בין ממוצע הנדסי b2 = a · c לבין ממוצע חשבוני 2b = a + c.
שאלות נפוצות
מהו ממוצע הנדסי בסדרה הנדסית?
בשלושה איברים עוקבים a, b, c בסדרה הנדסית, ריבוע האיבר האמצעי שווה למכפלת השכנים: b² = a · c.
מתי סדרה הנדסית עולה?
כש־q > 1 והאיבר הראשון חיובי, או כש־0 < q < 1 והאיבר הראשון שלילי.
מהי סדרה הנדסית מתחלפת?
סדרה שהמנה שלה שלילית: הסימנים של האיברים מתחלפים, והיא לא עולה ולא יורדת.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס הסדרות המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.
עוד באתר
- סדרה הנדסית – האיבר הכללי
- סכום סדרה הנדסית
- סדרה הנדסית אין־סופית
- סיכום ונוסחאות – סדרות 472
- עוד דוגמאות פתורות – סדרות – בגרות 472
- שאלות בגרות 472 לפי נושא – סדרות
- בגרות 472 – כל הנושאים
→ הקודם: סכום סדרה הנדסית | הבא: סדרה הנדסית אין־סופית ←