איברים במקומות זוגיים ואי־זוגיים בסדרה חשבונית
איברים במקומות זוגיים ואי־זוגיים בסדרה חשבונית יוצרים בעצמם סדרה חשבונית – עם הפרש 2d. בעמוד הזה: איך מוצאים את תת־הסדרה, כמה איברים יש בה, סכום האיברים במקומות הזוגיים והאי־זוגיים, וכמה איברים חיוביים יש בסדרה יורדת – עם שתי שאלות פתורות.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס הסדרות המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.
בעמוד הזה:
- הרעיון: תת־סדרה עם הפרש 2d
- כמה איברים יש במקומות הזוגיים והאי־זוגיים
- שאלה מלאה: 86 , 82 , 78 , … , −70
- מספר אי־זוגי של איברים
- טעויות נפוצות
איברים במקומות זוגיים ואי־זוגיים
בסדרה חשבונית עם הפרש d:
a1 , a3 , a5 , …
a2 , a4 , a6 , …
כל אחת מהן סדרה חשבונית עם הפרש 2d
הרעיון: תת־סדרה עם הפרש 2d
האיברים במקומות האי־זוגיים הם a1 , a3 , a5 , …. מ־a1 ל־a3 מוסיפים פעמיים d:
a3 = a1 + 2d
לכן גם הם סדרה חשבונית: האיבר הראשון שלה a1 וההפרש שלה 2d. באותו אופן האיברים במקומות הזוגיים a2 , a4 , … הם סדרה חשבונית שמתחילה ב־a2 עם הפרש 2d. אחרי שמוצאים את האיבר הראשון, את 2d ואת מספר האיברים – מציבים בנוסחת הסכום.
כמה איברים יש במקומות הזוגיים והאי־זוגיים
| בסדרה n איברים | במקומות האי־זוגיים | במקומות הזוגיים |
|---|---|---|
| n זוגי | n2 | n2 |
| n אי־זוגי | n + 12 | n − 12 |
למשל ב־15 איברים: במקומות האי־זוגיים 1, 3, …, 15 יש 15 + 12 = 8 איברים, ובמקומות הזוגיים 7.
שאלה מלאה: 86 , 82 , 78 , … , −70
נתונה סדרה חשבונית: 86 , 82 , 78 , … , −70. א. מצאו את מספר האיברים. ב. (1) כמה איברים חיוביים יש בסדרה? (2) מהו האיבר החיובי הקטן ביותר? (3) חשבו את סכום האיברים החיוביים. ג. החליפו את הסימנים של כל האיברים, והתקבלה הסדרה −86 , −82 , … , 70. חשבו את סכומה. ד. חשבו את סכום האיברים במקומות הזוגיים בסדרה הנתונה. ה. חשבו את סכום האיברים במקומות האי־זוגיים.
פתרון שלב אחר שלב
א.
d = 82 − 86 = −4
האיבר האחרון, −70, הוא an:
−70 = 86 + (n − 1) · (−4)
−156 = (n − 1) · (−4)
n − 1 = −156−4 = 39
n = 40
ב. הסדרה יורדת, לכן האיברים החיוביים הם בהתחלה. מחפשים את המקומות שבהם an > 0:
86 + (n − 1) · (−4) > 0
86 − 4n + 4 > 0
90 > 4n
n < 904
נצמצם ב־2:
n < 452
452 הוא 22 וחצי. n טבעי, לכן n = 1 , 2 , … , 22: יש 22 איברים חיוביים. האיבר החיובי הקטן ביותר הוא האחרון מביניהם:
a22 = 86 + 21 · (−4)
= 86 − 84 = 2
S22 = 22 · (86 + 2)2
נצמצם ב־2 (22 חלקי 2 הוא 11):
= 11 · 88 = 968
ג. כל איבר בסדרה החדשה הוא מינוס האיבר המקביל, ולכן גם הסכום הוא מינוס הסכום של הסדרה הנתונה:
S40 = 40 · (86 + (−70))2
= 20 · 16 = 320
סכום הסדרה החדשה: −320.
ד. במקומות הזוגיים: a2 , a4 , … , a40, כלומר 82 , 74 , 66 , …. ההפרש 2d = −8, ובמקומות 2, 4, …, 40 יש 402 = 20 איברים.
S = 202 · [2 · 82 + 19 · (−8)]
= 10 · [164 − 152]
= 10 · 12 = 120
ה. במקומות האי־זוגיים: a1 , a3 , … , a39, כלומר 86 , 78 , 70 , …. גם כאן ההפרש −8 ויש 20 איברים:
S = [2 · 86 + 19 · (−8)] · 202
= [172 − 152] · 10
= 20 · 10 = 200
בדיקה: זוגיים ועוד אי־זוגיים הם כל הסדרה: 120 + 200 = 320 = S40 ✓
תשובה: א. 40 ב. 22 , 2 , 968 ג. −320 ד. 120 ה. 200
מספר אי־זוגי של איברים
בסדרה חשבונית יש 15 איברים, a1 = 1 ו־d = 3. חשבו את סכום האיברים במקומות האי־זוגיים.
פתרון שלב אחר שלב
האיברים במקומות האי־זוגיים: a1 , a3 , … , a15, כלומר 1 , 7 , 13 , …. ההפרש שלהם:
2d = 2 · 3 = 6
15 אי־זוגי, לכן מספר האיברים:
15 + 12 = 8
S = [2 · 1 + (8 − 1) · 6] · 82
= [2 + 42] · 4
= 44 · 4 = 176
בדיקה: a15 = 1 + 14 · 3 = 43, ו־(1 + 43) · 82 = 176 ✓
תשובה: 176
בסדרה הנדסית האיברים במקומות הזוגיים הם סדרה הנדסית עם מנה q2 – ראו סדרה הנדסית אין־סופית.
טעויות נפוצות
- להשאיר את ההפרש d בתת־הסדרה. מדלגים כל פעם על איבר, ולכן ההפרש הוא 2d.
- לספור לא נכון את האיברים: ב־40 איברים יש 20 במקומות הזוגיים, לא 40.
- להתחיל את תת־הסדרה של המקומות הזוגיים ב־a1. היא מתחילה ב־a2.
- ב־n < 452 לקחת n = 23. n חייב להיות קטן מ־22 וחצי, לכן הגדול ביותר הוא 22.
שאלות נפוצות
איך מחשבים סכום של איברים במקומות הזוגיים בסדרה חשבונית?
האיברים a₂, a₄, a₆, … הם סדרה חשבונית שמתחילה ב־a₂ עם הפרש 2d. סופרים כמה איברים יש בה (n/2 כש־n זוגי) ומציבים בנוסחת הסכום.
מה ההפרש של האיברים במקומות האי־זוגיים?
2d, כי מ־a₁ ל־a₃ מוסיפים את d פעמיים.
כמה איברים חיוביים יש בסדרה יורדת?
פותרים את אי־השוויון aₙ > 0 לפי n, ולוקחים את המספרים הטבעיים שמקיימים אותו.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס הסדרות המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.
עוד באתר
- סכום סדרה חשבונית
- האיבר הכללי בסדרה חשבונית
- סדרה הנדסית אין־סופית
- סיכום ונוסחאות – סדרות 472
- עוד דוגמאות פתורות – סדרות – בגרות 472
- שאלות בגרות 472 לפי נושא – סדרות
- בגרות 472 – כל הנושאים
→ הקודם: מציאת האיבר הכללי מנוסחת הסכום | הבא: סדרה הנדסית – האיבר הכללי ←
