אינטגרל שנותן ln
אינטגרל שנותן ln: שבר שהמכנה שלו בחזקת 1 – 1x או 1mx + b – נותן ln. בעמוד: שתי הנוסחאות, 4 שלבים וחמישה אינטגרלים פתורים מהקורס, כולל מתי התשובה היא לא ln ופיצול מונה.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס חקירת פונקציית ln המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.
בעמוד הזה:
- הנוסחאות
- 4 שלבים
- 8x + 3/x
- 2/(2x + 3)
- 1/x² + 2/x – מתי זה לא ln
- ex + e/x
- (8 − x²)/x – פיצול המונה
- טעויות נפוצות
אינטגרל שנותן ln
∫1x dx = ln|x| + c
∫1mx + b dx = ln|mx + b|m + c
ln יוצא רק כשהמכנה בחזקת 1. מה שבתוך ה־ln – בערך מוחלט.
הנוסחאות: הפוך מהנגזרת של ln
בנגזרת של ln מה שבתוך ה־ln עובר למכנה, ובמונה הנגזרת הפנימית: (ln x)' = 1x , (ln(2x + 4))' = 22x + 4. באינטגרל עושים הפוך: שבר שהמכנה שלו בחזקת 1 נותן ln. בחזקה אחרת, כמו 1x², התשובה היא לא ln – הופכים לחזקה שלילית.
4 שלבים
- מוציאים מספר החוצה: 3x = 3·1x.
- המכנה עובר לתוך ה־ln, בערך מוחלט.
- ב־mx + b מחלקים בנגזרת הפנימית m.
- מוסיפים + c באינטגרל לא מסוים.
דוגמה: ∫(8x + 3/x) dx
חשבו: ∫(8x + 3x) dx
פתרון שלב אחר שלב
∫8x dx – רגיל: 8x²2, ונצמצם ב־2: 4x².
3x = 3·1x – לפי הנוסחה הראשונה: 3ln|x|.
= 4x² + 3ln|x| + c
תשובה: 4x² + 3ln|x| + c
דוגמה: ∫2/(2x + 3) dx
חשבו: ∫22x + 3 dx
פתרון שלב אחר שלב
מוציאים את ה־2 החוצה:
= 2∫12x + 3 dx
המכנה עובר לתוך ה־ln, ומחלקים בנגזרת הפנימית 2:
= 2·ln|2x + 3|2
נצמצם ב־2:
= ln|2x + 3| + c
תשובה: ln|2x + 3| + c
דוגמה: ∫(1/x² + 2/x) dx – מתי זה לא ln
חשבו: ∫(1x² + 2x) dx
פתרון שלב אחר שלב
מפצלים לשני אינטגרלים. 1x² – המכנה בריבוע, התשובה לא ln; הופכים לחזקה שלילית:
= ∫x−2 dx + ∫2x dx
= x−1−1 + 2ln|x|
לפי a−n = 1an:
= −1x + 2ln|x| + c
תשובה: −1x + 2ln|x| + c
דוגמה: ∫(ex + e/x) dx
חשבו: ∫(e·x + ex) dx
פתרון שלב אחר שלב
e הוא מספר רגיל, נשאר לפני ה־x: ∫e·x dx = e·x²2. ex – x במכנה, שייך ל־ln:
e∫1x dx = e·ln|x|
תשובה: e·x²2 + e·ln|x| + c
דוגמה: ∫(8 − x²)/x dx – פיצול המונה
חשבו: ∫8 − x²x dx
פתרון שלב אחר שלב
חייבים לסדר – מפרידים את המונה:
= ∫(8x − x²x) dx
נצמצם ב־x: x²x = x:
= ∫(8x − x) dx
= 8ln|x| − x²2 + c
תשובה: 8ln|x| − x²2 + c
עם גבולות – זה חישוב שטח: ראו שטח עם ln.
טעויות נפוצות
- לכתוב ∫1x² dx = ln x² – ln יוצא רק כשהמכנה בחזקת 1.
- לשכוח לחלק ב־m ב־1mx + b.
- לחלק מונה של כמה איברים בלי לפצל.
- לשכוח ערך מוחלט ו־+ c.
שאלות נפוצות
מה האינטגרל של 1 חלקי x?
∫1x dx = ln|x| + c.
מה האינטגרל של 1 חלקי mx + b?
ln|mx + b|m + c – מחלקים בנגזרת הפנימית m. למשל ∫22x + 3 dx = ln|2x + 3| + c.
האינטגרל של 1 חלקי x בריבוע הוא ln?
לא. המכנה בחזקה 2, לכן כותבים x−2 ומקבלים −1x + c.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס חקירת פונקציית ln המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.
עוד באתר
- נגזרת של ln
- שטח עם ln
- חוקי לוגריתמים
- סיכום ונוסחאות – חקירת פונקציית ln
- עוד דוגמאות פתורות – חקירת פונקציית ln
- שאלות בגרות 472 לפי נושא – חקירת פונקציית ln
- בגרות 472 – כל הנושאים
→ הקודם: חקירת y = ln f(x) – פולינום בתוך ה־ln | הבא: שטח עם ln ←
