חיתוך מעגל עם הצירים

חיתוך מעגל עם הצירים: עם ציר y מציבים x = 0, ועם ציר x מציבים y = 0, ופותרים בעזרת שורש (±). בעמוד הזה: מעגל קנוני, מעגל שלא חותך ציר, מעגל שמשיק לציר וכמה נקודות חיתוך יכולות להיות – לבגרות 471.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההנדסה האנליטית המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.

לקורס ההנדסה האנליטית המלא ←

בעמוד הזה:

הכלל
דוגמה: x² + y² = 25
דוגמה: מעגל שלא חותך את ציר x
דוגמה: מעגל שמשיק לציר x
כמה נקודות חיתוך יש
טעויות נפוצות
שאלות נפוצות

חיתוך מעגל עם הצירים

חיתוך עם	מציבים	הנקודות
ציר y	x = 0	(0 , y)
ציר x	y = 0	(x , 0)

שורש נותן שני פתרונות (±) ← בדרך כלל שתי נקודות חיתוך עם כל ציר.

הכלל

בדיוק כמו בחיתוך ישר עם הצירים: על ציר y ה־x שווה 0, ועל ציר x ה־y שווה 0. מציבים במשוואת המעגל ופותרים. ההבדל: במעגל יש ריבוע, ולכן כשמוציאים שורש מקבלים שני פתרונות – פלוס ומינוס.

כשבסוגריים יש מספר, למשל (y − 3)² = 4, לא צריך לפתוח סוגריים: מוציאים שורש משני האגפים ומתפצלים לשני מקרים.

דוגמה 1: נקודות החיתוך של x² + y² = 25

מצא את נקודות החיתוך של המעגל x² + y² = 25 עם הצירים.

פתרון שלב אחר שלב

ציר y – מציבים x = 0:

0² + y² = 25

y² = 25

y = ±5 ← (0,5) , (0,−5)

ציר x – מציבים y = 0:

x² + 0² = 25

x = ±5 ← (5,0) , (−5,0)

תשובה: עם ציר y: (0,5) , (0,−5) עם ציר x: (5,0) , (−5,0)

בדיקה בשרטוט: זה מעגל קנוני עם מרכז (0,0) ורדיוס 5, ולכן מהמרכז זזים 5 לכל כיוון על הצירים.

דוגמה 2: מעגל שלא חותך את ציר x

מצא את נקודות החיתוך של המעגל x² + (y − 3)² = 4 עם הצירים.

פתרון שלב אחר שלב

ציר y – מציבים x = 0:

(y − 3)² = 4

מוציאים שורש. לשורש של 4 יש שתי תשובות, 2 ו־−2:

y − 3 = 2 ← y = 5

y − 3 = −2 ← y = 1

הנקודות (0,5) , (0,1).

ציר x – מציבים y = 0:

x² + (0 − 3)² = 4

x² + 9 = 4 |−9

x² = −5

אין שורש למספר שלילי ← אין פתרון.

תשובה: עם ציר y: (0,1) , (0,5). אין חיתוך עם ציר x

למה? המרכז (0,3) והרדיוס 2 – המעגל כולו בין y = 1 ל־y = 5, ולא מגיע לציר x.

דוגמה 3: מעגל שמשיק לציר x

מצא את נקודות החיתוך של המעגל (x − 3)² + (y − 5)² = 25 עם הצירים.

פתרון שלב אחר שלב

ציר y – מציבים x = 0:

(0 − 3)² + (y − 5)² = 25

9 + (y − 5)² = 25 |−9

(y − 5)² = 16

y − 5 = 4 ← y = 9

y − 5 = −4 ← y = 1

ציר x – מציבים y = 0:

(x − 3)² + (0 − 5)² = 25

(x − 3)² + 25 = 25 |−25

(x − 3)² = 0

x − 3 = 0 ← x = 3

יצא פתרון אחד בלבד – המעגל נוגע בציר x בנקודה אחת, כלומר משיק לו.

תשובה: עם ציר y: (0,1) , (0,9) עם ציר x: (3,0) בלבד

זה המעגל מדוגמה 3 בעמוד משוואת מעגל – ואכן יצאו בדיוק הנקודות A(0,1) ו־D(0,9).

כמה נקודות חיתוך יש

אחרי ההצבה יוצא	נקודות חיתוך עם הציר
מספר חיובי (למשל = 16)	שתיים
= 0	אחת – המעגל משיק לציר
מספר שלילי	אין

טעויות נפוצות

לשכוח את המינוס: מ־y² = 25 יוצא y = ±5, שתי נקודות.
לפתוח סוגריים כשאפשר להוציא שורש – עובד, אבל ארוך ופותח פתח לטעויות.
לכתוב "אין פתרון" בלי לנמק. כותבים: x² = −5, אין שורש למספר שלילי.

שאלות נפוצות

איך מוצאים חיתוך של מעגל עם ציר x?

מציבים y = 0 במשוואת המעגל ופותרים. השורש נותן ±, ולכן בדרך כלל יש שתי נקודות (x , 0).

מתי למעגל אין חיתוך עם ציר?

כשאחרי ההצבה מגיעים לריבוע ששווה למספר שלילי, למשל x² = −5. אין שורש למספר שלילי, ולכן המעגל לא מגיע לציר.

מה אומר פתרון אחד בלבד?

שהמעגל נוגע בציר בנקודה אחת – הוא משיק לציר. זה קורה כשהמרחק של המרכז מהציר שווה לרדיוס.

לקורס ההנדסה האנליטית המלא ←

עוד באתר

→ הקודם: מרכז ורדיוס מעגל – השלמה לריבוע | הבא: משוואת משיק למעגל ←