שיפוע של ישר לפי שתי נקודות

שיפוע של ישר אומר כמה הישר עולה או יורד. בעמוד הזה: נוסחת השיפוע לפי שתי נקודות m = y2 − y1x2 − x1, מה אומר הסימן של השיפוע, ואיך מוצאים שיפוע גם ממשוואה לא מסודרת – עם דוגמאות פתורות שלב אחר שלב לבגרות 471.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההנדסה האנליטית המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.

לקורס ההנדסה האנליטית המלא ←

בעמוד הזה:

  1. נוסחת השיפוע
  2. מה אומר השיפוע
  3. שלבים
  4. דוגמה: (4,2) ו־(0,10)
  5. דוגמה: (−4,12) ו־(8,16)
  6. שיפוע מתוך משוואה לא מסודרת
  7. טעויות נפוצות
  8. שאלות נפוצות

שיפוע של ישר העובר דרך שתי נקודות

m = y2 − y1x2 − x1

  • (x1 , y1) – נקודה אחת, (x2 , y2) – הנקודה השנייה.
  • לא משנה איזו נקודה ראשונה – רק לא לערבב: x1 ו־y1 מאותה נקודה.

נוסחת השיפוע

השיפוע m הוא הנטייה של הישר יחסית לציר x. כשנתונות שתי נקודות על הישר, מחלקים את ההפרש בין ערכי ה־y בהפרש בין ערכי ה־x:

m = y2 − y1x2 − x1

במונה – כמה הישר עלה או ירד. במכנה – כמה התקדמנו ימינה. אחרי שמצאנו את השיפוע אפשר למצוא גם את משוואת הישר לפי שיפוע ונקודה.

מה אומר השיפוע

השיפועהישרדוגמה
m > 0עולה (משמאל לימין)y = 2x + 4
m < 0יורדy = −5x
m = 0מקביל לציר xy = 3

ככל שהמספר רחוק יותר מ־0 – הישר תלול יותר. כשהמשוואה מסודרת בצורה y = mx + b, השיפוע הוא המספר שלפני ה־x: בישר y = 2x + 4 השיפוע הוא m = 2, והישר עולה.

שלבים למציאת שיפוע לפי שתי נקודות

  1. מסמנים נקודה אחת (x1,y1) ואת השנייה (x2,y2).
  2. מציבים בנוסחה: במונה y2 − y1, במכנה x2 − x1 – באותו סדר.
  3. מחשבים. מספר שלילי מציבים בתוך סוגריים: 8 − (−4) = 12.
  4. מצמצמים את השבר אם אפשר, ואומרים במה מצמצמים.

דוגמה 1: השיפוע של הישר העובר דרך (4,2) ו־(0,10)

מצא את שיפוע הישר העובר דרך הנקודות (4,2) ו־(0,10).

פתרון שלב אחר שלב

(x1,y1) = (4,2)

(x2,y2) = (0,10)

מציבים בנוסחת השיפוע:

m = 10 − 20 − 4 = 8−4 = −2

השיפוע שלילי – הישר יורד.

תשובה: m = −2

דוגמה 2: השיפוע של הישר העובר דרך (−4,12) ו־(8,16)

מצא את שיפוע הישר העובר דרך הנקודות (−4,12) ו־(8,16).

פתרון שלב אחר שלב

(x1,y1) = (−4,12)

(x2,y2) = (8,16)

ה־x של הנקודה הראשונה שלילי, לכן במכנה כותבים אותו בסוגריים:

m = 16 − 128 − (−4) = 48 + 4 = 412

נצמצם ב־4:

412 = 13

תשובה: m = 13

דוגמה 3: שיפוע מתוך משוואה לא מסודרת

מצא את השיפוע של הישר 5x + 12y = 120.

פתרון שלב אחר שלב

השיפוע הוא המקדם של x רק כשהמשוואה מסודרת בצורה y = mx + b. לכן קודם מסדרים:

5x + 12y = 120   |−5x

12y = −5x + 120   |:12

y = −512x + 12012

נצמצם ב־12:

12012 = 10

y = −512x + 10

המקדם של x הוא השיפוע:

תשובה: m = −512

אפשר לבדוק בדרך שנייה: הישר חותך את הצירים ב־A(24,0) וב־B(0,10) (ראו חיתוך ישר עם הצירים). לפי נוסחת השיפוע: m = 10 − 00 − 24 = 10−24, ונצמצם ב־2: −512 – אותה תשובה.

טעויות נפוצות

  • לערבב בין הנקודות: במונה y2 − y1 ובמכנה x1 − x2 – זה הופך את הסימן של השיפוע.
  • לשכוח סוגריים סביב מספר שלילי: 8 − (−4) הוא 12, לא 4.
  • לקרוא את השיפוע ממשוואה לא מסודרת: ב־2y = 6x + 4 השיפוע הוא 3 ולא 6 – קודם מחלקים ב־2.
  • לשים את ההפרש של ה־x במונה. ה־y תמיד למעלה.

שאלות נפוצות

האם משנה איזו נקודה היא הראשונה בנוסחת השיפוע?

לא. אם מחליפים את הסדר, גם המונה וגם המכנה מחליפים סימן, והשיפוע יוצא אותו דבר. רק צריך ש־x1 ו־y1 יהיו מאותה נקודה.

מה השיפוע של ישר המקביל לציר x?

השיפוע שווה 0, כי ערכי ה־y של כל הנקודות שווים והמונה יוצא 0. ישר כזה כותבים y = מספר.

מה השיפוע של ישר המקביל לציר y?

לישר כזה אין שיפוע: ערכי ה־x שווים, המכנה יוצא 0, ואי אפשר לחלק ב־0. ישר כזה כותבים x = מספר.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההנדסה האנליטית המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.

לקורס ההנדסה האנליטית המלא ←

עוד באתר

הבא: משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה ←

ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
האתר משתמש בעוגיות.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות