משוואת מעגל – הסבר ודוגמאות

משוואת מעגל שמרכזו (a,b) ורדיוסו R היא (x − a)² + (y − b)² = R². בעמוד הזה: מאיפה הנוסחה באה, מעגל קנוני, טבלת דוגמאות, ושאלה מלאה שבה מוצאים את המרכז כמפגש קטרים ואת הרדיוס בנוסחת המרחק – לבגרות 471.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההנדסה האנליטית המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.

לקורס ההנדסה האנליטית המלא ←

בעמוד הזה:

משוואת מעגל
מעגל קנוני
דוגמה: מרכז (9,−5) ורדיוס 6
דוגמאות נוספות
מציאת המרכז והרדיוס מתוך השאלה
טעויות נפוצות
שאלות נפוצות

משוואת מעגל שמרכזו (a,b) ורדיוסו R

(x − a)² + (y − b)² = R²

מעגל קנוני (מרכז בראשית הצירים): x² + y² = R². כדי לכתוב משוואת מעגל צריך שני דברים: מרכז ורדיוס.

משוואת מעגל

מעגל הוא אוסף כל הנקודות שנמצאות במרחק קבוע מנקודה אחת – המרכז. המרחק הקבוע הוא הרדיוס R. אם המרכז הוא (a,b) ונקודה על המעגל היא (x,y), נוסחת המרחק ביניהן שווה ל־R, ומעלים בריבוע:

(x − a)² + (y − b)² = R²

מוצאים את המרכז (a,b).
מוצאים את הרדיוס R – המרחק מהמרכז לנקודה כלשהי על המעגל.
מציבים במקום a, b ו־R. את x ואת y משאירים.
מחשבים את R².

מעגל קנוני

מעגל שהמרכז שלו בראשית הצירים (0,0) נקרא מעגל קנוני:

(x − 0)² + (y − 0)² = R²

← x² + y² = R²

דוגמה 1: מרכז (9,−5) ורדיוס 6

מצא את משוואת המעגל שמרכזו M(9,−5) ורדיוסו R = 6.

פתרון שלב אחר שלב

a = 9 , b = −5 , R = 6

(x − 9)² + (y − (−5))² = 6²

מינוס של מינוס 5 הוא פלוס 5, ו־6 בריבוע הוא 36:

(x − 9)² + (y + 5)² = 36

תשובה: (x − 9)² + (y + 5)² = 36

דוגמאות נוספות

מרכז	רדיוס	משוואת המעגל
(1,2)	3	(x − 1)² + (y − 2)² = 9
(−1,0)	1	(x + 1)² + y² = 1
(3,−2)	2	(x − 3)² + (y + 2)² = 4
(0,0)	√2	x² + y² = 2

שימו לב: בסוגריים מופיע הסימן ההפוך מזה של המרכז. מרכז a = −1 ← (x + 1)². ורדיוס √2 ← R² = (√2)² = 2. איך עושים את הדרך ההפוכה – ראו מציאת מרכז ורדיוס.

דוגמה 3: מציאת המרכז והרדיוס מתוך השאלה

מעגל שמרכזו M חותך את ציר y בנקודות A ו־D. AC ו־DB הם קטרים במעגל. משוואת AC: y = 43x + 1, ומשוואת DB: y = −43x + 9. א. מצא את A ו־D. ב. מצא את M. ג. מצא את משוואת המעגל.

פתרון שלב אחר שלב

א. A ו־D על ציר y, לכן x = 0:

A: y = 43 · 0 + 1 = 1 ← A(0,1)

D: y = −43 · 0 + 9 = 9 ← D(0,9)

ב. המרכז הוא נקודת המפגש של הקטרים – משווים:

43x + 1 = −43x + 9 |+43x

83x + 1 = 9 |−1

83x = 8 |:83

חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך:

x = 8 · 38

נצמצם ב־8:

x = 3

y = 43 · 3 + 1

נצמצם ב־3:

y = 4 + 1 = 5 ← M(3,5)

ג. DM הוא רדיוס. לפי נוסחת המרחק:

R = √(3 − 0)² + (5 − 9)²

= √9 + 16 = √25 = 5

(x − 3)² + (y − 5)² = 25

תשובה: (x − 3)² + (y − 5)² = 25

טעויות נפוצות

להשאיר את הסימן של המרכז בסוגריים: מרכז (9,−5) נותן (y + 5)², לא (y − 5)².
לשכוח להעלות את הרדיוס בריבוע: באגף ימין R², לא R.
לפתוח את הסוגריים בלי צורך. בבגרות משאירים את המשוואה בצורה (x − a)² + (y − b)² = R².

שאלות נפוצות

מה משוואת מעגל?

משוואת מעגל שמרכזו (a,b) ורדיוסו R היא (x − a)² + (y − b)² = R². מציבים את המרכז ואת הרדיוס, ואת x ו־y משאירים.

מהו מעגל קנוני?

מעגל שהמרכז שלו בראשית הצירים (0,0). המשוואה שלו x² + y² = R².

איך מוצאים רדיוס כשנתונים מרכז ונקודה על המעגל?

הרדיוס הוא המרחק בין המרכז לנקודה. מחשבים אותו בנוסחת המרחק, ובמשוואה כותבים את R בריבוע.

לקורס ההנדסה האנליטית המלא ←

עוד באתר

→ הקודם: הוכחת מקבילית באנליטית | הבא: מרכז ורדיוס מעגל – השלמה לריבוע ←