משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה

משוואת ישר מוצאים בדרך כלל לפי שיפוע ונקודה: מציבים ב־y − y1 = m(x − x1) ומסדרים. בעמוד הזה: הנוסחה, השלבים, משוואת ישר לפי שתי נקודות, ואיך בודקים אם נקודה נמצאת על הישר – עם דוגמאות פתורות לבגרות 471.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההנדסה האנליטית המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.

לקורס ההנדסה האנליטית המלא ←

בעמוד הזה:

  1. הנוסחה
  2. שלבים
  3. דוגמה: שיפוע 1 ונקודה (2,0)
  4. דוגמה: שיפוע −2 ונקודה (0,−5)
  5. משוואת ישר לפי שתי נקודות
  6. האם נקודה נמצאת על הישר
  7. טעויות נפוצות
  8. שאלות נפוצות

משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה

y − y1 = m(x − x1)

  • m – השיפוע.
  • (x1 , y1) – נקודה שהישר עובר דרכה.
  • את x ואת y משאירים – הם כל הנקודות שעל הישר. בסוף מסדרים לצורה y = mx + b.

הנוסחה

לכל ישר יש משוואה מהצורה y = mx + b: m הוא השיפוע ו־b הוא נקודת החיתוך עם ציר y. כשיודעים את השיפוע ונקודה אחת על הישר, מציבים אותם בנוסחה

y − y1 = m(x − x1)

ומסדרים. אם נתונות שתי נקודות ולא שיפוע – קודם מוצאים את השיפוע לפי שתי נקודות, ואז ממשיכים באותה נוסחה.

שלבים

  1. מסמנים את הנקודה (x1 , y1) ואת השיפוע m.
  2. מציבים בנוסחה רק את הנקודה ואת השיפוע.
  3. פותחים סוגריים: כופלים את m בכל אחד מהאיברים שבסוגריים.
  4. מעבירים אגפים עד שמגיעים ל־y = ….

דוגמה 1: שיפוע 1 ונקודה (2,0)

מצא את משוואת הישר ששיפועו m = 1 והוא עובר בנקודה (2,0).

פתרון שלב אחר שלב

x1 = 2 , y1 = 0

y − y1 = m(x − x1)

y − 0 = 1(x − 2)

y = x − 2

תשובה: y = x − 2

דוגמה 2: שיפוע −2 ונקודה (0,−5)

מצא את משוואת הישר ששיפועו m = −2 והוא עובר בנקודה (0,−5).

פתרון שלב אחר שלב

x1 = 0 , y1 = −5

מציבים. ה־y שלילי – לכן בסוגריים:

y − (−5) = −2(x − 0)

y + 5 = −2x   |−5

y = −2x − 5

תשובה: y = −2x − 5

דוגמה 3: משוואת ישר לפי שתי נקודות

מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודות (−4,12) ו־(8,16).

פתרון שלב אחר שלב

שלב 1 – השיפוע:

m = 16 − 128 − (−4) = 412

נצמצם ב־4:

m = 13

שלב 2 – משוואת הישר עם הנקודה (8,16):

y − 16 = 13(x − 8)

פותחים סוגריים:

13 · 8 = 83

y − 16 = 13x − 83   |+16

כדי לחבר, כותבים את 16 בשליש:

16 = 483

−83 + 483 = 403

y = 13x + 403

תשובה: y = 13x + 403

בדיקה עם הנקודה השנייה (−4,12): 13 · (−4) + 403 = −43 + 403 = 363 = 12 ✓. אפשר היה לבחור גם את הנקודה הראשונה – התשובה יוצאת אותה.

האם נקודה נמצאת על הישר

נקודה נמצאת על הישר אם היא מקיימת את המשוואה. מציבים את ה־x של הנקודה ובודקים אם יוצא ה־y שלה.

האם הנקודה (4,2) נמצאת על הישר y = x − 2?

פתרון שלב אחר שלב

y = 4 − 2 = 2

יצא בדיוק ה־y של הנקודה.

תשובה: כן, (4,2) נמצאת על הישר

טעויות נפוצות

  • להציב את הנקודה במקום x ו־y – מציבים רק במקום x1 ו־y1.
  • לשכוח לכפול את m באיבר השני שבסוגריים: −2(x − 3) = −2x + 6.
  • מינוס של מספר שלילי: y − (−5) הוא y + 5.
  • להשאיר את התשובה לא מסודרת. בבגרות כותבים בסוף y = mx + b.

שאלות נפוצות

מה ההבדל בין y = mx + b לבין y − y1 = m(x − x1)?

זו אותה משוואה בשתי צורות. y − y1 = m(x − x1) נוחה כשיודעים שיפוע ונקודה, ואחרי פתיחת סוגריים וסידור מגיעים ל־y = mx + b.

איך מוצאים משוואת ישר כשנתונות שתי נקודות?

קודם מוצאים את השיפוע בנוסחה m = (y2 − y1)/(x2 − x1), ואז מציבים את השיפוע ואחת הנקודות ב־y − y1 = m(x − x1). לא משנה איזו נקודה בוחרים.

איך בודקים שהמשוואה שמצאתי נכונה?

מציבים במשוואה את ה־x של נקודה שהישר עובר דרכה. אם יוצא ה־y שלה – המשוואה נכונה.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההנדסה האנליטית המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.

לקורס ההנדסה האנליטית המלא ←

עוד באתר

→ הקודם: שיפוע של ישר לפי שתי נקודות  |  הבא: חיתוך ישר עם הצירים ושרטוט ←

ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
האתר משתמש בעוגיות.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות