שאלת בגרות באנליטית – מעגל ומשיק, פתרון מלא

שאלת בגרות בהנדסה אנליטית משלבת כמה נושאים: ישרים, שיפועים, מעגל ומשיק. בעמוד הזה שתי שאלות מלאות מתוך השיעורים בקורס – מעגל ומשיק, ומקבילית עם מעגל חוסם – כל סעיף פתור שלב אחר שלב בשברים, כמו שכותבים בבגרות 471.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההנדסה האנליטית המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.

לקורס ההנדסה האנליטית המלא ←

בעמוד הזה:

  1. איך ניגשים לשאלה באנליטית
  2. שאלה 1: מעגל, רדיוס ומשיק
  3. שאלה 2: מקבילית ומעגל חוסם
  4. טעויות נפוצות
  5. שאלות נפוצות

הכלים של שאלת אנליטית

  • שיפוע: m = y2 − y1x2 − x1 · משוואת ישר: y − y1 = m(x − x1)
  • מקבילים: m1 = m2 · מאונכים: m1 · m2 = −1
  • אמצע קטע, נוסחת המרחק, (x − a)² + (y − b)² = R²
  • משיק ⊥ רדיוס · זווית ישרה במשולש ← היתר קוטר

איך ניגשים לשאלה באנליטית

  1. משרטטים סקיצה ומסמנים את כל הנתונים.
  2. בכל סעיף שואלים: מה חסר לי – נקודה? שיפוע? רדיוס?
  3. משתמשים בתוצאות של סעיפים קודמים (כמעט תמיד הן נחוצות בהמשך).
  4. בסוף כל סעיף – בדיקה קצרה: נקודה שמצאתם מקיימת את המשוואות?

בעמוד הזה שתי שאלות מלאות מתוך השיעורים בקורס. כל שלב בהן מוסבר בעמודים של הנושאים: משיק למעגל, מעגל חוסם משולש, מקבילית.

שאלה 1: מעגל, רדיוס ומשיק (מבגרות קיץ 2021, שאלון 382)

נתון מעגל שמשוואתו (x − 3)² + (y + 4)² = 50, ונתונה הנקודה A(−2,1). א. הוכח ש־A נמצאת על המעגל. ב. (1) מצא את שיפוע הרדיוס AM. (2) מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה A. ג. הנקודה B נמצאת על המשיק, ושיעור ה־y שלה הוא 16. מצא את שיעור ה־x של B. ד. מצא את משוואת המעגל ש־BM הוא הקוטר שלו.

פתרון שלב אחר שלב

א. מציבים את A במשוואת המעגל:

(−2 − 3)² + (1 + 4)²

= (−5)² + 5² = 25 + 25 = 50

יצא בדיוק 50 ← A על המעגל.

ב(1). המרכז – הנגדי למספרים שבסוגריים: M(3,−4).

mAM = −4 − 13 − (−2) = −55 = −1

ב(2). המשיק מאונך לרדיוס, לכן השיפוע הופכי ונגדי ל־−1: m = 1.

y − 1 = 1 · (x − (−2))

y − 1 = x + 2   |+1

y = x + 3

ג. מציבים y = 16 במשוואת המשיק:

16 = x + 3   |−3

x = 13 ← B(13,16)

ד. המרכז O באמצע הקוטר BM:

xO = 13 + 32 = 8

yO = 16 + (−4)2 = 122 = 6 ← O(8,6)

הרדיוס – המרחק OM:

R² = (3 − 8)² + (−4 − 6)²

= 25 + 100 = 125

(x − 8)² + (y − 6)² = 125

תשובה: ב(1) m = −1   ב(2) y = x + 3   ג x = 13   ד (x − 8)² + (y − 6)² = 125

שאלה 2: מקבילית ומעגל חוסם (מבגרות 2022 מועד ב)

נתונה מקבילית ABCD. הקודקוד B על ציר x, והאלכסון DB מאונך לצלע AB. נתון A(0,−12), ומשוואת הצלע DC היא y = 25x + 17. א. מצאו את B. ב. מצאו את משוואת DB. ג. מצאו את משוואת המעגל החוסם את המשולש ABD. ד. האם הישר BC משיק למעגל בנקודה B? נמקו.

פתרון שלב אחר שלב

א. במקבילית AB ∥ DC, לכן mAB = 25. ישר דרך A(0,−12):

y = 25x − 12

B על ציר x – מציבים y = 0:

0 = 25x − 12   |+12

12 = 25x   |:25

חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך:

x = 12 · 52

נצמצם ב־2:

x = 6 · 5 = 30 ← B(30,0)

ב. DB ⊥ AB – הופכי ונגדי ל־25: mDB = −52.

y − 0 = −52(x − 30)

פותחים סוגריים: 52 · 30 = 75.

y = −52x + 75

ג. D – חיתוך DC ו־DB:

25x + 17 = −52x + 75

25x + 52x = 75 − 17

מכנה משותף 10: 410 + 2510 = 2910.

2910x = 58   |:2910

x = 58 · 1029

נצמצם ב־29:

x = 2 · 10 = 20

y = 25 · 20 + 17 = 8 + 17 = 25

← D(20,25)

הזווית ABD ישרה, לכן היתר AD הוא קוטר והמרכז באמצעו:

x = 0 + 202 = 10

y = −12 + 252 = 132

הרדיוס – המרחק מהמרכז ל־B:

R² = (30 − 10)² + (0 − 132)²

= 400 + 1694

כותבים את 400 ברבעים: 400 = 16004.

R² = 16004 + 1694 = 17694

(x − 10)² + (y − 132)² = 17694

ד. משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. במקבילית BC ∥ AD:

mBC = mAD = 25 − (−12)20 − 0 = 3720

mרדיוס = 0 − 13230 − 10

= −132 · 120 = −1340

3720 · (−1340) = −481800 ≠ −1

הישרים לא מאונכים.

תשובה: א. B(30,0)   ב. y = −52x + 75   ג. (x − 10)² + (y − 132)² = 17694   ד. לא, BC אינו משיק

טעויות נפוצות

  • לא להשתמש בסעיף קודם: בשאלה 2 השיפוע של DB (סעיף ב) הוא הבסיס לסעיף ג.
  • לבדוק משיק לפי "נראה בשרטוט". משיק מוכיחים: המכפלה של שיפוע הישר ושיפוע הרדיוס היא −1.
  • לעבור לעשרוניים באמצע (6.5, 442.25). שברים שומרים על החישוב מדויק.

שאלות נפוצות

מה מופיע בדרך כלל בשאלת אנליטית בבגרות?

שיפועים וישרים מקבילים ומאונכים, נקודות חיתוך, אמצע קטע ומרחק, ומעגל: משוואת מעגל, משיק שמאונך לרדיוס ומעגל החוסם משולש.

איך מוכיחים שישר משיק למעגל בנקודה?

מראים שהנקודה על המעגל, ושמכפלת השיפוע של הישר ושיפוע הרדיוס לאותה נקודה היא −1 – כלומר הישר מאונך לרדיוס.

מה עושים כשמשולש ישר זווית חסום במעגל?

היתר הוא קוטר: מרכז המעגל באמצע היתר, והרדיוס הוא המרחק מהמרכז לאחד הקודקודים.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההנדסה האנליטית המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.

לקורס ההנדסה האנליטית המלא ←

עוד באתר

→ הקודם: מעגל החוסם משולש

ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
האתר משתמש בעוגיות.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות